1-3节 随机事件的概率

1. 几何概率
定义
若对于一随机试验 , 每个样本点出现是等可 能的 , 样 本空间 Ω所含的样本点个数为无 穷多个 , 且具有非零 的, 有限的几何度量 , 即0 < m (Ω ) < ∞, 则称这一随机试 验是一几何概型的 .
当随机试验的样本空间是某个区域,并且任 定义 当随机试验的样本空间是某个区域 并且任 长度, 意一点落在度量 (长度 面积 体积 相同的子区域 长度 面积, 体积) 是等可能的,则事件 是等可能的 则事件 A 的概率可定义为
实验者 德.摩根 摩根 蒲丰 K.皮尔逊 皮尔逊 K.皮尔逊 皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
f 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H ) n的增大
1 . 2
重要结论
较小时波动幅度比较大,当 频率当 n 较小时波动幅度比较大 当 n 逐渐增 频率趋于稳定值, 大时 , 频率趋于稳定值 这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的 了事件在试验中出现可能性的大小 它就是事件的 概率. 概率
1.3
随机事件的概率
一、频率的定义与性质 二、概率的统计定义 三、古典概型 四、几何概型 五、再论概率
1.31 频率与概率 一、频率的定义与性质 1. 定义 在相同的条件下 , 进行了 n 次试验 , 在这 n 次试验中 , 事件 A 发生的次数 v A 称为事件 A 发 生的频数 .比值 成 f n ( A).
2、实际推断原理（P12） 、实际推断原理（ ） • 实际不可能事件 • 实际必然事件 • 实际推断原理
P( A) → 0
P( A) → 1
若在某试验中，一事件A的概率非常接近于 A 零,那么可以实际推断，若进行一次试验，在实 验的结果中事件A是不会出现的，从而实际上 可将A看作以（实际）不可能事件。
第一章 概率论的基本概念
几何概型
解： 以 x , y 分别表示甲乙二船到达的时刻， 于是 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24. y 即 点 M 落在图中的阴影部 24 分。所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果。 由于每船在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的。 0 24 x
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率 观察正面出现的次数及频率. 试验 序号
1 2 3 4 5 6 7
n=5 nH
2 3 1 5 1 2 4
n = 50
f
0.4 0.6
nH
f
n = 500 nH f
0.44 251 22 0.502 1 在 处 0.50 大 249 波 动较 25 0.498 2 0.2 21 0.42 256 0.512 n的增大 频率 f 呈现出稳定性 的增大, 随1.0 的增大 247 0.494 25 0.50 1 在 处 动 小 波 较 2 24 0.48 0.502 0.2 251 0.4 0.8 18 27 0.36 0.54
称此为概率的古典定义 称此为概率的古典定义. 概率的古典定义 称A中的样本点为A的有利场合。 的有利场合。 的有利场合
3、古典概型的几类基本问题 、 复习： 复习：排列与组合的基本概念 乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法
加法公式：设完成一件事可有两种途径，第 一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方 法，则完成这件事共有n1+n2种方法。
二、概率的统计定义
1.概率的定义 1.概率的定义 在随机试验中,若事件 出现的频率 出现的频率m/n随 在随机试验中,若事件A出现的频率 随 着试验次数n的增加,趋于某一常数 着试验次数 的增加,趋于某一常数p, 0 ≤ p ≤ 1 的增加 则定义事件A的概率为 记作P( )= 的概率为p, )=p 则定义事件 的概率为 ,记作 (A)= . 概率的性质)（P11） 性质 (概率的性质 概率的性质 (1) 非负性：对任一事件 ,有 P( A) ≥ 0; 非负性：对任一事件A 有 (2)规范性：P(Ω) = 1；
k n k n
种取法.
K类n个元素的排列问题 (1) 两类 个元素 两类n个元素
例8(P15) n个乒乓球中有r个白球，n-r个黄球，将这n个球排 成一列，求可能的排列总数。
n 答： 2类n个元素的不同排列数： r
(2) k类n个元素 类 个元素 例：一堆n个球中有k类不同的球，其中第i种球有ri 个， 求这n个球可能的排列总数。
2. 古典概型中事件概率的计算公式
的样本空间由n 个样本点构成, 设试验 E 的样本空间由 个样本点构成 A 的任意一个事件,且包含 个样本点, 为 E 的任意一个事件 且包含 m 个样本点 则事 出现的概率记为: 件 A 出现的概率记为
m A中样本点的个数 . P(A)= = n Ω中样本点总数
波动最小 262 0.524 258 0.516
从上述数据可得 (1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 频率有随机波动性 即对于同样的 随机波动性 f 不一定相同 不一定相同; (2) 抛硬币次数 n 较小时 频率 f 的随机波动幅 较小时, 度较大, 呈现出稳定性.即 度较大 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性 即 附近摆动, 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动 且 逐渐稳定于 0.5.
.M(x,y)
第一章 概率论的基本概念
几何概型
0 两船会面的条件是： 若甲先到，则 ≤ y − x ≤ 6; 若乙先到 ，则 ≤ x − y ≤ 8; 0
阴影部分的面积 P( A ) = 24 正方形的面积 1 242 − (182 +162 ) 2 = = 0.4965 2 24 6
y
y-x =6 y-x = -8
vA
n
称为事件 A 发生的频率 , 并记
2. 性质
的任一事件, 设 A 是随机试验 E 的任一事件 则
(1) 非负性：f n ( A) ≥ 0;
(2)规范性：f n (Ω) = 1；
（3）有限可加性：若事件A与B互不相容，则 f n ( A + B) = f n ( A) + f n ( B)
由这三条性质可推出: (4) f n (Φ ) = 0;
n n-1 n-2
n-k+1
共有A =n(n-1)…(n k+1)种排列方式 (n种排列方式. 共有Ank=n(n-1) (n-k+1)种排列方式. 又称为非重复抽样或不放回抽样. 又称为非重复抽样或不放回抽样
组合:从含有n个元素的集合中随机抽取k个,共有
n A n! C ≡ = = k k! k!(n − k )!
r
r2 2
L xk 的系数；
rk
C 特别：k=2时， n 为二项式系数。
性质（P16）
4.典型例题 • 利用古典概型求解概率的步骤： Step1:求样本点总数n; Step2:求事件A的有利场合数m； m Step3:利用 P(A) 求P(A). P(A)=
n
P17） 球随机地分配到n 例11 （P17）把r个球随机地分配到n个箱子中 (r≤n)， 箱子中至多有一球的概率 至多有一球的概率。 去(r≤n)，求每箱子中至多有一球的概率。
有重复排列：从含有n个元素的集合中随机 抽取k 次，每次取一个（取后放回），记录 其结果后，将记录结果排成一列，
n n n
n
共有nk种排列方式.
（又称为重复抽样 又称为重复抽样 或又放回抽样） 或又放回抽样
无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次， 每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列， 每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，
A p = n
r n r
某班级有n 个人(n≤ 某班级有 个人 ≤365)， ， 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？ 的概率有多大？
例12 (P18) 袋中有 a 只黄球，b 只白球．从中任意 取出 k 只球，试求第 k 次取出的球是黄球的概 率． 例13(P19) 设有 100 件产品，其中有 5 件次品，今 从中任取 3 件，问其中恰有 2 件次品的概率是多少?
例13的推广：
N 设有 N 件产品，其中有 1 件次品，有N 2件正品，今 从中任取 n 件，问其中恰有 k ( k ≤ N 1 ) 件次品的概 率是多少?
所求的概率为：
C C p = C
k N1 k n N
n−k N2
此式即为超几何分布 超几何分布的概率公式。 超几何分布
四、几何概型
概率的古典定义具有可计算性的优点, 概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也 有明显的局限性.要求样本点有限 点有限,如果样本空间中的 有明显的局限性.要求样本点有限 如果样本空间中的 样本点有无限个, 概率的古典定义就不适用了. 样本点有无限个 概率的古典定义就不适用了. 把有限个样本点推广到无限个样本点的场 人们引入了几何概型 合,人们引入了几何概型 由此形成了确定概率 人们引入了几何概型. 的另一方法 ——几何方法 几何方法. 几何方法
0
8
24 x
பைடு நூலகம்
蒲丰投针试验
蒲丰资料
例2 1777年,法国科学家蒲丰 年 法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 提出了投针 法国科学家蒲丰 试验问题.平面上画有等距离为 平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直 试验问题 平面上画有等距离为 的一些平行直 现向此平面任意投掷一根长为l( 的针,试求 线,现向此平面任意投掷一根长为 <a )的针 试求 现向此平面任意投掷一根长为 的针 针与任一平行直线相交的概率. 针与任一平行直线相交的概率 解 以 x表示针投到平面上时 , 以