高一上数学各知识点梳理：反函数
反函数知识点大一
反函数知识点大一反函数是高等数学中的一个重要概念，它与原函数紧密相关，是理解微积分和函数性质的基础。
本文将介绍反函数的定义、性质以及在求导和解方程中的应用。
一、反函数的定义在函数的基本概念中，我们知道函数是一种对应关系，每一个自变量对应一个唯一的因变量。
而反函数则是对这种对应关系进行逆转。
具体而言，对于函数f(x)，如果存在一个函数g(y)，使得当y=f(x)时，有x=g(y)，则称g(y)为f(x)的反函数。
二、反函数的性质1. 原函数与反函数的复合恒等如果f(x)和g(y)是互为反函数的函数对，那么f(g(y))=y和g(f(x))=x对任意y和x成立。
这意味着原函数和反函数的复合等于自变量或因变量本身。
2. 反函数的定义域与值域互换对于函数f(x)及其反函数g(y)，f(x)的定义域等于g(y)的值域，而f(x)的值域等于g(y)的定义域。
即对于任意x在f(x)的定义域，都存在唯一的y使得f(x)=y，同样对于任意y在g(y)的定义域，都存在唯一的x使得g(y)=x。
3. 原函数和反函数的图像关于y=x对称如果函数f(x)有反函数g(y)，那么f(x)和g(y)的图像关于直线y=x对称，即在平面直角坐标系中，它们的图像通过对称变换重合。
三、反函数的求导对于函数f(x)及其反函数g(y)，如果f(x)在某区间内连续且可导，并且f'(x)≠0，则反函数g(y)在对应的区间内也连续且可导，并且有g'(y)=1/f'(x)。
这一性质在求导计算和函数性质分析中非常实用，可以简化问题的求解过程。
四、解方程中的应用反函数在解方程中有广泛的应用。
如果方程f(x)=c有唯一实根，则可通过求f(x)的反函数g(y)，将方程转化为y=c，从而得到x=g(c)的解。
这种方法在实际问题中常用于求解复杂方程的根，简化计算步骤，提高求解的准确性。
总结：反函数是数学中的重要概念，与原函数密切相关。
大一反函数知识点归纳总结
大一反函数知识点归纳总结反函数是数学中一个重要的概念，大一学生在学习函数的过程中，也会接触到反函数的知识。
本文将对大一反函数的知识点进行归纳总结，希望能帮助大家更好地理解反函数的概念和应用。
1. 反函数的定义和性质在介绍反函数之前，我们首先需要了解函数的定义和性质。
函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素上，而且每个元素只有唯一的对应关系。
函数的定义域是指函数可以接受的输入值的集合，值域是指函数可以得到的输出值的集合。
反函数是对函数的逆运算，它将函数的输出值映射回函数的输入值。
对于函数f(x)来说，若存在一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x，同时g(f(x)) = x，那么g(x)就是f(x)的反函数。
反函数的定义域等于原函数的值域，值域等于原函数的定义域。
反函数的性质：- 反函数存在的前提是原函数必须是一对一的，即函数的每一个输出值都对应唯一一个输入值。
- 反函数与原函数的图像关于y=x对称，即反函数的图像是原函数的图像沿y=x镜像对称得到的。
- 若f(x)在[a, b]上是递增函数，则反函数g(x)也在[f(a), f(b)]上是递增函数；若f(x)在[a, b]上是递减函数，则反函数g(x)也在[f(a), f(b)]上是递减函数。
2. 反函数的求法如何求反函数呢？一般而言，可以按以下步骤进行求解：（1）将原函数表达式中的x和y互换位置，得到关于y的表达式。
（2）解这个关于y的方程，得到y关于x的表达式。
（3）将y关于x的表达式中的y和x互换位置，得到反函数的表达式。
需要注意的是，有些函数的反函数并不是显式表达式，而是用隐式方程的形式给出。
3. 反函数的应用反函数在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：（1）求解方程：当我们需要解一个方程时，可以通过求解函数的反函数来得到方程的解。
（2）函数复合：在复合函数中，若我们已知复合函数和其中一个函数，可以通过求解反函数，解出另一个函数。
反函数-高中数学知识点讲解
反函数
1．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x
＝g（y）．若对于y 在中的任何一个值，通过x＝g（y），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表
示y 是自变量，x 是因变量是y 的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记
作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x 和y 互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x 对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x 对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C （其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y 轴垂直的直线
截时能过 2 个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
1/ 1。
【高1数学】14-反函数
反函数基础概念 一、基础知识概述本周主要学习了反函数，了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，掌握并会灵活应用互为反函数的函数图象间的关系．二、重难点知识归纳1、反函数的概念： （1）只有自变量x 与其对应的函数值y 是一一对应的函数才存在反函数，反函数的对应法则是原函数对应法则f 的逆对应，反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．（2）互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称，即点),(b a 在)(x f y =的图象上，则点),(a b 必在)(1x f y -=图象上．（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．2、反函数的性质： （1）)(1x fy -=是)(x f y =的反函数，则)(x f y =也是)(1x f y -=的反函数，即)(x f y =和)(1x f y -=互为反函数．（2）函数)(x f y =存在反函数的充要条件是函数)(x f y =是定义域到值域的一一映射．（3）函数)(x f y =和反函数)(1x fy -=的定义域，值域互换，即：函数)(x f y = 函数)(1x f y -= 定义域A C 值域C A 3、互为反函数的图象关系：函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称． 4、反函数与函数的其它性质的联系：（1）反函数与原函数：x x ff =-)]([1，x x f f =-)]([1． 注意：)]([11x ff --并不是反函数的反函数，而是)(1x f y -=与自身形成的复合函数，谨防出现)()]([11x f x f f =--的错误作法．（2）反函数与单调性：如果函数)(x f y =有单调性，则反函数)(1x f y -=也有与)(x f y =一致的单调性，即)(x f y =在],[b a 上为增函数，则)(1x f y -=在)](,)([b f a f 上为增函数；)(x f y =在],[b a 上为减函数，则)(1x f y -=在)](,)([a f b f 上为减函数．典型例题例1、求下列函数的反函数：（1）⎩⎨⎧<-≥-=)0(12)0(1)(2x x x x x f ；（2）)23(321)(≥-+=x x x f ；（3）)1(12)(2>-=x x x x f ． 解析： （1）分析：求分段函数的反函数，也应分段来求，要注意分段后在所分区间内函数的值域． 设)(x f y =，则：当0≥x 时，1-≥y ，∴12+=y x ，又0≥x ，∴1+=y x ，即)1(1)(1-≥+=-x x x f ．当0<x 时，1-<y ，∴21+=y x ，∴)1(21)(1-<+=-x x x f ． ∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+-≥+=-)1(21)1(1)(1x x x x x f ． （2）分析：求无理函数的反函数，应先求函数的值域．设)(x f y =，则因23≥x ，∴1≥y ． ∴321-=-x y ，∴]3)1[(212+-=y x ， ∴)1(]3)1[(21)(21≥+-=-x x x f ． （3）分析：求二次分式函数的反函数，一要注意函数的值域，二要注意函数的定义域，即在开方求x 时注意x 的取值范围．)(x f y =，∵1>x ，∴0<y ．x yx y 22=-，即022=-+y x yx ．∵0<y ，∴yy y y x 22112442+±-=+±-=． ∵1>x ，0<y ．∴yy x 211+--=． ∴)0(11)(21<+--=-x x x x f ． 点评：分段函数的反函数也是分段函数，一般是先分别求出各区间的反函数，再归纳．在求反函数的过程中，如果在反解x 时需要进行开方运算，特别要注意x 的取值范围，有时还要结合值域来考虑． 例2、已知函数)05(251)(2≤≤-+-=x ax x f ，点)4,2(-- P 在它的反函数的图象上．（1）求)(x f 的反函数)(1x f-； （2）证明)(1x f -在其定义域上是减函数．分析：先由题设条件求出参数a 的值后，再求反函数．解析：（1）∵)4,2(-- P 在)(x f 的反函数图象上，∴)2,4('-- P 在函数)(x f y =的图象上，∴251612+-=-a ．∴92516=+a ，∴1-=a ，即251)(2+--=x x f ．∵05≤≤-x ，∴1)(4≤≤-x f ． 由2512+--=x y 得：22)1(25-=+-y x ．∴22)1(25--=y x ，∵05≤≤-x ，∴2)1(25---=y x ， ∴)14()1(25)(21≤≤----=-x x x f ．（2）∵2)1(25--=x u 在]1,4[ -上是增函数，故对1x 、2x ]1,4[ -∈，当21x x <时，有210u u ≤≤．又u -在0≥u 上是减函数，∴21u u ->-，即)()(2111x f x f-->．∴21)1(25)(---==-x x fy 在]1,4[ -上是减函数．点评： 当点),(b a 在函数)(x f 的图象上时，),(a b 必在)(x f 的反函数的图象上．另外，由于函数与其反函数具有相同的单调性，故可以先证)(x f 在]0,5[ -上是减函数，从而)(1x f -在]1,4[ -上是减函数． 例3、判断函数)(1)(2R x x x x f ∈++= 是否存在反函数，若存在，求出)(1x f -．若不存在，说明理由．分析：函数)(x f 存在反函数的充要条件是确定函数的对应是一一对应．即对于值域中的一个y 值，方程)(x f y =有唯一的解x ，则函数存在反函数，否则，不存在反函数．解析：设120++=x x y ．∵R x ∈，∴x x x -≥>+||12，∴00>y ，∴120+=-x x y ，∴12020=-x y y ． ∵00>y ，∴02021y y x -=．∴函数)(1)(2R x x x x f ∈++= 存在反函数． 由以上证明过程知)0(21)(21>-=-x x x x f ． 点评：根据函数和反函数的概念可知，在定义域上的单调函数一定存在反函数．因此本题还可通过证明)(x f 在R 上是单调函数来证明)(x f 存在反函数． 例4、已知函数b kx y +=的图象过)2,1( 点，它的反函数)(1x f -的图象过)0,4( 点，求函数)(x f 的解析式．解析：)(1x f -的图象过)0,4( 点，)(1x f -与)(x f 的图象关于直线x y =对称，∴)(x f 的图象过)4,0( ，又由已知也过)2,1( 点，∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧+=+=24204k b b k b ， ∴42)(+-=x x f ．说明：)(x f y =图象上点),(b a 关于x y =的对称点),(a b 必在)(1x f y -=的图象上．基础练习一、选择题1、函数d cx b ax x f ++=)(的反函数为)(1x f -，若433)1(1++=+-x x x f ，则a 、b 、c 、d 的值依次为（ ）A ．1、2、3、1B ．－1、2、3、－1C ．1、－2、－3、1D ．－1、2、－3、－12、若函数)(x f y =的反函数是)(x g y =，b a f =)(，0≠ab ，则)(b g 等于（ ）A ．aB ．a 1C ．bD ．b1 3、已知函数)(x f y =的反函数是21x y --=，则函数)(x f y =的定义域为（ ）A ．)0,1( -B ．]1,1[ -C ．]0,1[ -D ．]1,0[4、已知函数)(x f 的图象过点)1,0( ，则)4(x f -的反函数的图象过点（ ）A ．)4,1(B ．)1,4(C ．)0,3(D ．)3,0(5、设点)2,1( P 既在函数b ax y +=的图象上，又在它的反函数的图象上，则（ ） A ．3-=a ，7=b B ．1=a ，2=b C ．1-=a ，3=b D ．2=a ，1=b6、奇函数)(x f 的反函数是)(1x f -，若a a f -=)(，则)()(1a f a f -+-的值是（ ）A ．a 2B ．a 2-C ．0D ．无法确定7、若函数)(x f y =的图象只经过第一、四象限，那么函数)(1x f -的图象一定经过（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第一、四象限8、对于]1,0[ ∈x 的所有x 值，函数2)(x x f =与其反函数)(1x f-的相应函数值间一定有（ ）A ．)()(1x f x f -≥B ．)()(1x f x f -≤C ．)()(1x f x f -<D ．)()(1x f x f -=9、若)0(32)1(2≤+-=-x x x x f ，则)(1x f -为（ ）A ．)2(2≥-x xB ．)2(21≥--x xC ．)3(2≥--x xD ．)3(2≤-x x10、设函数)01(11)(2≤≤---=x x x f ，则函数)(1x f -的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题 11、函数a x x x f ++=1)(与函数12)(-+=x b x x g 的图象关于x y =对称，则=+b a _________． 12、若函数21++=x ax y 在其定义域内存在反函数，则a 的取值范围是___________． 13、函数)1(1≥+=x x x y 的反函数=-)(1x f ___________． 三、解答题14、已知)21(12)(≠++=x a x x x f ． （1）求它的反函数；（2）若函数)(x f 的图象关于x y =对称，求a 的值；（3）若af 2)3(1-=-，求a 的值． 15、已知函数)1(12≥-=x x y 的图像为1C ，函数)(xg y =的图像为2C ，1C 与2C 关于直线x y =对称，又)(x g y =的定义域为M ，对于任意1x 、2x M ∈，且21x x ≠，试比较|)()(|21x g x g -与||21x x -的大小．16、已知13)(-+=x ax x f ．（1）求)(x f y =的反函数)(1x fy -=的值域； （2）若点)7,2( 是)(1x f y -=的图象上的一点，求)(x f y =的值域．。
高一数学竞赛第五讲 反函数
的定义域)”，分段函数的反函数要分段处理。 2、求分段函数的反函数应先求出各个区间
上的反函数，然后合并写成分段函数的形式；求 反函数的步骤，一般是一解二换三定也可以是一 换二解三定，第（3）题就是先换后解。
值域〕。 ②运用原函数与其反函数转化关系求值。
原函数的定义域和值域分别是其反函数的值域和定义域，因为要求函 数的定义（值）域可以转化为求其反函数的值（定义）域。由于
f [ f 1(x)] x 也 可 以 用 其 转 化 有 关 反 函 数 问 题 。 如 f 1(x) 是 函 数
f (x) 2x 2x 的 反 函 数 ， 若 f 1(x) 1 ， 求 f (x) 的 值 。 因 为 2
【例 3】证明：函数 y ex ex 的反函数是奇函数，且它在 (0, ) 上是增函数。 2
f [ f 1(x)] f (1) 所以 x 2 21 3 ， 22
所以 f (x) f (3) 2 2 1 7 2
2
22 4
Hale Waihona Puke ③运用原函数与其反函数转化关系探求函数性质。 原函数与其反函数在单调性、图象关系上有很多性质，如性质
2、3、4。这些转化关系在解题中常有应用。如已知函数
性质 3 若奇函数存在反函数，则其反函数仍是奇函数。
性质 4 若函数 y f (x) 是单调函数，则它的反函数 y f 1(x) 的 单调性和原函数 y f (x) 的单调性相同。
性质 5 函数 y f (x) 为自身反函数的等价条件是它自身的图象 关于直线 y x 对称。 性质 6 设函数 y f (x)(x A, y B) 存在反函数 y f 1(x)(x B, y A) 则 f 1[ f (x)] x(x A) f [ f 1(x)] x(x B) ，即反函数与原
大一反函数所有知识点
大一反函数所有知识点反函数是函数学习中的重要内容，它在解方程、求极限以及构建数学模型等方面都有广泛的应用。
在大一的学习中，我们需要掌握与反函数相关的一些基本概念和性质。
本文将从以下几个方面进行论述：什么是反函数、如何求反函数、反函数的性质以及反函数在实际问题中的应用。
一、什么是反函数（Inverse Function）在函数学习的过程中，我们已经学习了函数的定义和性质。
通常来说，对于函数f(x)而言，如果对于每一个自变量x的取值，都能唯一确定一个因变量f(x)的值，那么我们就称f(x)为一个函数。
那么，反函数就是对于给定的函数f(x)，如果存在一个函数g(y)，使得对于任意的y在定义域Dg内，有g(y) = x，那么我们称g(y)为函数f(x)的反函数。
二、如何求反函数1. 判断反函数是否存在对于函数f(x)，我们需要首先判断它是否可逆。
常见的条件是：函数f(x)在定义域上是单调递增或者单调递减的，即如果对于任意的x1和x2，有x1 < x2，则f(x1) < f(x2)，或者f(x1) > f(x2)。
2. 求反函数的步骤如果函数f(x)可以求反函数，那么我们可以按照以下步骤来求解：（1）设反函数为g(y)，则先将f(x)中的自变量x和因变量y进行交换，得到x = f(y)。
（2）然后，我们对x进行求解，得到y = g(x)。
3. 反函数的符号表示在表示反函数时，通常用函数f(x)的小写字母x代表反函数，即y = f^(-1)(x)。
这是为了和函数f(x)的自变量y进行区分。
三、反函数的性质1. 函数与反函数的性质如果函数f(x)和它的反函数f^(-1)(x)存在，那么它们具备以下性质：（1）函数f(x)和它的反函数f^(-1)(x)互为反函数。
（2）函数f(f^(-1)(x)) = x，对于定义域内的任意x成立；函数f^(-1)(f(x)) = x，对于定义域内的任意x成立。
高中数学-必修一5.3函数的应用5.4反函数-知识点
1高中数学-必修一5.3函数的应用5.4反函数-知识点1、建立函数关系时，如果知道是哪一种函数关系，可以用待定系数法，如果不知道是哪一种函数关系，则根据题意把有关变量及其关系用式子表示出来。
2、对于分段函数，各段的定义域不能出现重复或遗漏，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”。
3、双勾函数（也叫耐克函数）：f(x)=ax+b/x 。
解析式f(x)=ax+b/x 图像a ＞0，b ＞0 a ＜0，b ＜0 a ＞0，b ＜0 a ＜0，b ＞0定义域{x/x ≠0} 值域(﹣∞，﹣2ab ]∪[2ab ，+∞） R 渐近线y=ax 和 x=0 对称中心（0,0） 性质①有拐点(±a b ,±2ab )； ②有2个递增区间,2个递减区间.① 无 拐点；②在(-∞,0)和(0,+∞)上单调性 相同 。
4、使得f(x)= 0 的 x 的值叫做函数的 零点，也是图像与x 轴交点的横坐标。
5、函数f(x)的零点个数问题，可以转化为方程f(x)=0的实数根的个数问题，若函数f(x)=g(x)-h(x)，还可以转化为函数g(x)和h(x)图像的交点的个数问题，并通过图像法来求解。
例:已知函数f(x)=a x x --22，若函数f(x)没有零点/有2个零点/有3个零点/有4个零点，求a 对应的取值范围。
解析：函数f(x)的零点问题可转化为函数y 1= x x 22- 和函数y 2= a 的交点个数问题，通过画图即可求解。
6、如果在区间[a,b]上，函数y=f(x)的图像是一段连续曲线，并且f(a)f(b)＜0，那y=f(x)在区间[a,b]上一定有零点。
7、用二分法求函数零点近似值的步骤：（1）确定区间(a,b)，验证f(a)f(b)＜0，（2）求区间(a,b)的中点x1，①若f(x1)=0，则函数的零点就是x1；②若f(a)f(x1)＜0，则零点x0∈(a，x1)；③若f(x1)f(b)＜0，则零点x0∈(x1，b)。
反函数常用知识点总结2页
反函数常用知识点总结2页反函数常用知识点总结：1.反函数的定义：对于函数f的定义域D和值域R，如果对于任意的x∈D，有f(f^(-1)(x))=x成立，即f^(-1)(f(x))=x成立，则称函数f^(-1)为函数f 的反函数。
2.反函数的唯一性：如果函数f有反函数，则反函数是唯一的。
3.反函数的存在性：函数f有反函数的充分必要条件是，函数f是一对一的和映射的。
4.一对一函数：如果对于定义域D中的不同元素x1≠x2，函数f(x1)≠f(x2)，则称函数f是一对一的。
5.映射函数：对于函数f的定义域D中的任意元素x1、x2，如果x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)。
如果定义域D中的任意元素都有这个性质，那么函数f是映射函数。
6.判断反函数的方法：可以使用水平线切割法来判断函数是否有反函数。
对于函数y=f(x)，在其图象上作一水平线y=k，如果这条水平线与函数y=f(x)的图象有且仅有一个交点，则函数f(x)是一对一的，从而有反函数。
7.反函数的求解：反函数的求解可以通过以下步骤进行：① 将函数y=f(x)表示为x关于y的函数形式；② 交换x和y，并对y求导得到dy/dx，并解y关于x的表达式；③ 将所得表达式表示为y=f^(-1)(x)，即得到反函数。
8.反函数的性质：① 若函数f有反函数，则有f^(-1)^(-1)(x)=f(x)；②若函数f有反函数，则有f(f^(-1)(x))=x，f^(-1)(f(x))=x成立；③ 若函数f和g均有反函数，则复合函数f(g(x))和g(f(x))分别有反函数g^(-1)(x)和f^(-1)(x)。
9.反函数与求导：如果函数f有反函数，则f'(f^(-1)(x))=(f^(-1))'(x)，即反函数和原函数求导的结果互为倒数。
10.反函数的定义域和值域：如果函数f有反函数，则反函数的定义域等于原函数的值域，反函数的值域等于原函数的定义域。
11.反函数与基本初等函数的反函数：① 幂函数的反函数是指数函数；② 指数函数的反函数是对数函数；③ 三角函数的反函数分别是反三角函数。
反函数知识点
反函数知识点、概念总结1.反比例函数：形如y=k/x，（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式xy=k，y=kx(-1)。
2.自变量的取值范围：（1）k≠0；（2）在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；（3）函数y的取值范围也是任意非零实数。
3.图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和y=-x。
对称中心是：原点。
4.反比例函数的几何意义|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
即：过反比例函数y=k/x（k不等于0），图像上一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=（x的绝对值）*（y的绝对值）=（x*y）的绝对值=k的绝对值。
5. 反比例函数的性质：（1）（增减性）当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。
（2）k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0.（3）因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
（4）在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1=S2=|K|（5）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
（6）若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A、B 两点关于原点对称。
（7）设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2+4k·m ≥（不小于）0.（8）反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
反函数知识点总结大全
反函数知识点总结大全一、基本概念1. 反函数的定义：设函数f是定义在集合A上的函数，如果对于A中的每一个x都有唯一的一个y使得f(x) = y，那么就存在一个函数g，使得g(y) = x。
则称g为函数f的反函数，记作g = f^(-1)。
反函数是满足f(g(x))=x和g(f(x))=x的一对函数。
2. 反函数存在的条件：一个函数有反函数的充分必要条件是该函数是一一映射的。
即对于函数f，如果对于不同的x1和x2，有f(x1)≠f(x2)，则称f是一一映射。
3. 反函数的表示：在一定条件下，函数的反函数可以表示为y=f^(-1)(x)，转换为x=f(y)。
可以通过求解来得到。
4. 反函数的组合：当两个函数互为反函数时，它们的反函数构成一对互为互逆的函数，进行组合后恰好得到自变量x，即(f^(-1)◦f)(x) = x。
二、性质1. 函数和反函数的图像关系：函数和它的反函数的图像分别关于y=x对称。
这意味着反函数的图像是原函数图像沿着y=x轴做对称得到的。
2. 反函数的导数关系：如果函数f在点x处可导且f'(x)≠0，则它的反函数g也在点y=f(x)处可导，且g'(y) = 1 / f'(x)。
3. 反函数的定义域和值域：一个函数的定义域和值域可以通过反函数来确定。
函数f的定义域是它的值域的反函数的定义域，函数f的值域是它的定义域的反函数的值域。
4. 函数和反函数的性质：反函数的奇偶性、周期性和单调性与原函数相似。
如果原函数是奇函数，那么反函数也是奇函数。
如果原函数是周期性函数，那么反函数也是周期性函数。
如果原函数是单调函数，那么反函数也是单调函数。
三、图像1. 原函数和反函数的图像：原函数和反函数的图像关于y=x轴对称。
通过这种方法，可以很方便得到反函数的图像。
2. 举例：y = f(x)，求f^(-1)(x)图像。
可以先画出原函数的图像，然后再对该图像进行关于y=x的对称处理。
高一反函数知识点
高一反函数知识点随着数学课程的深入学习，高中一年级的学生将接触到更多的数学概念和知识点。
在这篇文章中，我将为大家介绍高一学生将学习的一个重要内容，那就是反函数（Inverse Function）。
一、反函数的定义及性质反函数指的是由一个函数得到的新函数，其输入和输出之间的关系与原函数相反。
如果一个函数f的定义域与值域分别为A和B，那么对于B中的每一个元素b，存在一个唯一的元素a，使得f(a) = b。
这时候我们将这个新函数称为f的反函数，记作f^-1。
一个函数与其反函数之间存在以下几个性质：1. 函数f与其反函数f^-1互为关联：f(f^-1(x)) = x，f^-1(f(x)) = x。
即使用一个函数后再使用其反函数，或者先使用反函数再使用原函数，最终结果都会回到原来的输入。
2. 函数与其反函数的图像关于直线y = x对称：如果一个点(x, y)在函数f的图像上，那么点(y, x)则会在反函数f^-1的图像上。
3. 函数的定义域和值域互换：如果f的定义域为A，值域为B，那么f^-1的定义域就是B，值域就是A。
二、求反函数的方法在学习反函数时，我们面临的主要问题就是如何求得一个函数的反函数。
下面是几种常见的求反函数的方法：1. 代数法对于一些简单的函数，我们可以使用代数法求取其反函数。
具体的步骤是：- 将函数表示为y = f(x)的形式；- 将原方程中的y替换为x，将x替换为y，并且解出y；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。
2. 图像法对于一些能够绘制出函数图像的函数，我们可以使用图像法求取其反函数。
具体的步骤是：- 绘制出函数f的图像；- 将图像关于直线y = x进行对称；- 根据对称后的图像，确定反函数的图像。
3. 复合函数法对于一些较为复杂的函数，我们可以使用复合函数法求取其反函数。
具体的步骤是：- 假设函数f的反函数为f^-1(x)，即y = f^-1(x)；- 将f(y)替换为x，并解出关于y的方程；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。
函数反函数知识点总结
函数反函数知识点总结一、函数的定义和性质1.1 函数的定义函数是数学中一种非常基本的概念，它描述了一种特定的映射关系，即对于集合A中的每一个元素a，都有且仅有一个元素b与之对应。
数学上通常用符号f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数通常可以用一个公式或者一个图像来描述。
函数的数学定义可以表述为：设A和B是两个非空的集合，如果对于A中的每一个元素x，都存在B中的唯一元素y与之对应，称y是x的像，记作y=f(x)，其中f是从A到B的映射（即f:A→B）。
这时，我们称f为从A到B的一个函数，记作f:A→B。
1.2 函数的性质函数具有许多重要的性质，其中最重要的包括单调性、奇偶性、周期性和反函数等。
单调性：函数的单调性描述了函数的增减规律。
如果对于函数f(x)，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称f(x)为增函数；如果当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则称f(x)为减函数。
奇偶性：函数的奇偶性描述了函数在对称轴上的对称性。
如果对于函数f(x)，对于任意x，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于任意x，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
周期性：函数的周期性描述了函数在一定区间内的重复性。
如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意x，有f(x+T)=f(x)，则称f(x)具有周期T。
反函数：如果对于函数f(x)，存在一个函数g(y)，使得对于任意x，有g(f(x))=x，且对于任意y，有f(g(y))=y，那么称g(y)为f(x)的反函数，记作g(x)=f^(-1)(x)。
二、反函数的定义和性质2.1 反函数的定义反函数是函数的一个重要概念，它描述了函数的逆映射关系。
如果对于函数f(x)，存在一个函数g(y)，使得对于任意x，有g(f(x))=x，且对于任意y，有f(g(y))=y，那么称g(y)为f(x)的反函数，记作g(x)=f^(-1)(x)。
高一数学反函数知识点
五．指数函数与对数函数的关系-----反函数
1.反函数的概念及互为反函数两函数间的关系
(1).反函数概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，
而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数.
函数y=f(x)的反函数通常用x=f -1(y)表示。
要点诠释：
a. 对于任意一个函数y=f(x)，不一定总有反函数，只有当确定一个函数的映射是一一映射时，
这个函数才存在反函数；
b.反函数也是函数，因为它符合函数的定义.
(2).互为反函数的图象关系：
关于直线y=x对称；
(3).互为反函数的定义域和值域关系：
反函数的定义域与值域是原函数的值域和定义域.
(4).求反函数的方法步骤：
(1)由原函数求出它的值域；(2)由原函数y=f(x)反解出x=f -1(y)；
(3)交换x, y改写成y=f -1(x)；(4)用f(x)的值域确定f -1(x)的定义域.
2.指数函数与对数函数的关系
指数函数与对数函数互为反函数.
x x x x。
高考数学反函数知识点
高考数学反函数知识点在高考数学中，反函数是一个重要的知识点。
通过学习反函数，我们可以更深入地理解函数概念，并在解决实际问题中灵活运用。
一、反函数的定义函数可以理解为一种映射关系，将一组自变量映射到一组因变量。
反函数则是指这个映射关系的逆过程，即将因变量映射回相应的自变量。
如果函数y=f(x)的定义域是X，值域是Y，那么反函数y=f^(-1)(x)的定义域是Y，值域是X。
二、反函数的性质1. 函数与反函数互为逆过程。
即函数f和反函数f^(-1)满足以下关系：f(f^(-1)(x))=x，f^(-1)(f(x))=x。
2. 函数与反函数的图像关于y=x对称。
这意味着函数的图像和其反函数的图像在y=x这条直线上对称。
三、求反函数的方法要求一个函数的反函数，可以按照以下步骤进行：1. 将函数中的自变量x和因变量y互换，得到y=f(x)。
2. 求解方程y=f(x)，将x表示为y的函数，得到y=f^(-1)(x)。
四、反函数的存在性和唯一性并非所有函数都存在反函数。
函数的反函数存在的条件是函数必须是一一对应的。
也就是说，函数中的每一个自变量对应一个唯一的因变量，且不同的自变量对应不同的因变量。
如果函数是一对一的，那么它的反函数存在且唯一。
五、反函数的应用1. 求解方程。
通过求解方程y=f(x)，可以将x表示为关于y的函数，从而求得该方程的解。
2. 函数关系的理解。
通过研究函数和反函数之间的关系，可以更深入地理解它们之间的性质和特点。
3. 函数图像的分析。
函数图像和其反函数图像在y=x上对称，通过对函数图像和反函数图像的分析，可以更好地理解函数的形态和性质。
六、注意事项在使用反函数时，需要注意以下几点：1. 函数必须是一对一的，否则反函数不存在。
2. 反函数的定义域和值域与原函数相反。
3. 在求解方程时，要注意是否使用了正确的反函数。
结语通过学习反函数知识点，我们可以更深入地理解函数的概念和性质。
掌握反函数的定义、性质、求解方法和应用，对于高考数学的考查和实际问题的解决都具有重要意义。
反函数的知识点总结
反函数的知识点总结一、反函数的概念反函数是函数的一个重要概念，它是指对于一个给定的函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)，使得对于f的定义域中的任意x，都有f(g(x))=x和g(f(x))=x，那么g就是f的反函数，记作g=f^(-1)。
也就是说，反函数是对原函数进行逆运算的函数。
反函数的存在与否直接与原函数的性质有关，比如函数是否是一一对应的，以及函数的定义域和值域等。
二、反函数的性质1. 对于函数f(x)，其反函数f^(-1)(x)的定义域和值域是原函数f(x)的值域和定义域，即f^(-1)(x)的定义域是f(x)的值域，f^(-1)(x)的值域是f(x)的定义域。
2. 对于反函数f^(-1)(x)，有f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x成立。
3. 若原函数f(x)是一一对应的，则其反函数f^(-1)(x)也是一一对应的。
一一对应的函数是指对于不同的自变量，其函数值必然不同。
4. 原函数f(x)和其反函数f^(-1)(x)的图象关于y=x对称。
三、反函数的求解方法求解函数的反函数，一般有以下几种方法：1. 通过代数方法直接求解对于一些简单的函数，可以通过代数方法直接求解其反函数。
比如对于f(x)=2x+3，可以通过代数运算得到其反函数f^(-1)(x)=(x-3)/2。
2. 通过图像求解通过作出原函数的图象，再通过求出其关于y=x的对称图象，得到反函数的图象，从而得到反函数的表达式。
3. 通过换元法求解对于一些复杂的函数，可以通过换元法来求解其反函数。
比如对于f(x)=e^x，可以通过令y=e^x来求解其反函数。
4. 通过迭代法求解对于一些无法用代数方法求解的函数，可以通过迭代法来求解其反函数。
迭代法是通过反复逼近的方式来求解函数的反函数。
四、反函数的应用反函数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，其中包括以下几个方面：1. 函数的逆运算反函数是对原函数进行逆运算的函数，它可以帮助我们对原函数进行逆运算，从而解决一些实际问题。
反函数常用知识点总结
反函数常用知识点总结一、函数的定义及性质回顾1. 函数的定义：设A、B是非空集合，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A的每一个元素x，都有唯一确定的元素y与之对应，则称f是从A到B的一个函数，记作f：A→B。
2. 反函数的定义：设f：A→B是一个函数，如果对于每个y∈B，都存在唯一的x∈A，使得f(x)=y，那么就称f的反函数。
二、反函数的求解方法1. 基本方法：设f(x) = y，则反函数为x = f^(-1)(y)。
2. 对称法则：交换x和y，即将f(x) = y改写为f^(-1)(y) = x。
三、反函数的性质1. 定理1：若f是从A到B的一对一函数，则它的反函数存在且也是从B到A的一对一函数。
证明：由f是一对一函数，对于每个y∈B，恰有一个x∈A使得f(x)=y。
令x=f^(-1)(y)，则有f(x)=y，由此可知f^(-1)(y)=x。
因此，f^(-1)(y)是从B到A的一对一函数。
2. 定理2：若f是从A到B的一个函数，并且f^(-1)是从B到A的一对一函数，则f是一个一对一函数。
证明：设f(x₁)=f(x₂)，则有f^(-1)(f(x₁))=f^(-1)(f(x₂))，即x₁=x₂。
因此，f是一个一对一函数。
3. 定理3：若f是从A到B的一个函数，并且f^(-1)是从B到A的一个一对一函数，则f^(-1)是从B到A的满射。
证明：设y∈B，由f^(-1)是一对一函数可知，存在一个唯一的x∈A使得f^(-1)(y)=x。
因此，f^(-1)是从B到A的满射。
四、反函数的图像及定义域、值域的关系1. 反函数的图像：反函数f^(-1)的图像是由函数f的图像关于直线y=x作镜像而成的。
2. 定义域和值域的关系：设f：A→B是一个函数，则f的定义域是A，值域是f(A)。
而f的反函数f^(-1)的定义域是B，值域是f^(-1)(B)。
五、反函数与反比例函数的关系1. 反比例函数的性质：反比例函数y=k/x的反函数是y=k/x。
高一数学函数知识点总结归纳(3篇)
高一数学函数知识点总结归纳【（一）、映射、函数、反函数】1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.2、对于函数的概念，应注意如下几点：（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.（2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.（3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的复合函数，其中g（x）为内函数，f（u）为外函数.3、求函数y=f（x）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;（2）由y=f（x）的解析式求出x=f-1（y）;（3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1（x），并注明定义域.注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.②熟悉的应用，求f-1（x0）的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.【（二）、函数的解析式与定义域】1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）.（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域是指满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，而已知f[g（x）]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f（x）的定义域，即g（x）的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况（1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.（2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.（3）若题设给出复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法求函数f（x）的表达式，这时必须求出g（x）的值域，这相当于求函数的定义域.（4）若已知f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）是未知量外，还出现其他未知量（如f（-x），等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f（x）的表达式.【（三）、函数的值域与最值】1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.（3）反函数法：利用函数f（x）与其反函数f-1（x）的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如（a≠0）的函数值域可采用此法求得.（4）配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.（6）判别式法：把y=f（x）变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.（7）利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上（或某个定义域的子集上）的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.（8）数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是（0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是（-∞，-2]∪[2，+∞），但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积（体积）（最小）”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.【（四）、函数的奇偶性】1、函数的奇偶性的定义：对于函数f（x），如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x）（或f（-x）=f（x）），那么函数f（x）就叫做奇函数（或偶函数）.正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必要不充分条件;（2）f（x）=-f（x）或f（-x）=f（x）是定义域上的恒等式.（奇偶性是函数定义域上的整体性质）.2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。
反函数常用知识点总结
反函数常用知识点总结1.反函数的定义：如果存在一个函数f和它的逆函数g，则称f为可逆函数，并且g称为f的反函数。
反函数的定义域是f的值域，值域是f的定义域。
2.判断是否存在反函数：一个函数是否有反函数，需要满足两个条件：首先，函数必须是可逆的，即每个输入对应唯一的输出；其次，函数的定义域和值域需互相转换。
3.反函数的求解：若函数f的反函数g存在，求解g的方法是将f(x)的等式转化为x的等式，并解出x。
例如，如果f(x)=y，则g(y)=x。
4.反函数的图像关系：函数f和它的反函数g的图像是关于y=x对称的。
也就是说，反函数的图像是把原函数的横坐标和纵坐标互换后的结果。
5. 隐函数求反函数：有些函数难以直接求出反函数，可以通过隐函数求解的方法求得。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，通过将x和y互换位置，并解出x，可以得到反函数。
6.组合函数的反函数：如果f和g是互为反函数的两个函数，且h(x)=f(g(x))，则h的反函数是g的反函数与f的反函数的组合，即h的反函数是g的反函数和f的反函数的复合函数。
7.其他特殊函数的反函数：对于一些常见的函数，如指数函数、对数函数、三角函数等，它们的反函数有着特殊的性质和求解方法，需要单独进行学习和掌握。
8.反函数的性质：反函数具有以下性质：-f和g互为反函数，当且仅当f(g(x))=x和g(f(x))=x；-若函数f(x)在一些区间上是严格单调的，则它在该区间上存在反函数；-反函数的导数与原函数的导数之间存在关系，即(f^(-1))'(x)=1/f'(f^(-1)(x))。
9.反函数的应用：反函数在实际问题中有广泛的应用，例如在统计学中用于求解概率分布的逆变换方法、在经济学中用于求解供需函数的反函数等。
10.限制反函数的定义域与值域：有时候，为了使反函数存在或满足其中一种性质，需要限制原函数的定义域和值域。
例如，对于幂函数f(x)=x^n，为了求解其反函数，需要将定义域限制为非负实数，值域限制为非负实数或正实数，才能确保反函数的存在性与单调性。
高一数学 反函数与函数性质
城东蜊市阳光实验学校高一数学反函数与函数性质知识点1：反函数1．12-=x y 的反函数为；12+=x x y 的反函数为； x y =的反函数为；x y 2=的反函数为；x y 3log =的反函数为。
2．二次函数x x x f 4)(2-=是否存在反函数？；要使x x x f 4)(2-=存在反函数，那么定义域为〔写出任意一个即可〕；x x x f 4)(2-=，(]2,∞-∈x 的反函数为 。
3．原函数与反函数关于对称，假设原函数经过点〔b a ,〕，那么反函数必经过点，假设)(x f y =的反函数经过点〔2，4〕，那么)4(f =。
知识点二：定义域、值域4．x y )21(=，(]2,∞-∈x 的值域；x y 31log =，(]9,0∈x 的值域。
5．x y 24-=定义域，值域。
)4(log )2(log 33x x y -++=定义域，值域。
)23(log 5.0-=x y 定义域。
6．4391-+=+x x y 的值域，4log log 32122--=x x y 的值域。
知识点三：函数奇偶性7．c bx ax x f ++=2)(为奇函数，那么c b a ,,满足；假设为偶函数，那么c b a ,,满足。
8．x x x f a -+=11log )(，假设3)(=b f ，那么)(b f -=，xa x f 211)(--=为奇函数，那么a 的值是。
9．,3)2(,5sin )(=++=f xb x ax x f 那么)2(-f =；)(x f 为奇函数，5)()(+=x af x g 在()4,1上有最小值7，那么)(x g 在)1,4(--的最值为。
10．)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，11)()(-=+x x g x f ，那么=)(x f ，)(x g =。
11．定义域在R 上的奇函数)(x f ，()+∞∈,0x 时，32)(2+-=x x x f ，求)(x f 的解析式。
高一反函数总结
反函数总结1、反函数的定义一般地，对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，若对于A 中的任何一个y 值，在D 中都有______________________和它对应，这样通过反解得到的x 关于y 的函数叫做函数()y f x =的反函数，记作____________,习惯上改写成____________1)反函数也是函数，因为它符合函数的定义； 2)3))(1x fy -=的反函数是_____________2、互为反函数的函数的图像关系：1）函数图像是由点构成的，由y=与y=)(1x f-互为反函数的关系可知：当y=中的x=a 时y=b ，则在y=)(1x f-中,当x=b 时y=________。
所以，如果点(,)a b 在函数y=的图像上，那么，点___________一定在函数y=)(1x f-的图像上。
2）函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x fy -=的图象关于____________对称.反之，若两个函数的图象关于________对称，则这两个函数一定是互为反函数.应用：⑴利用对称性作反函数的图像若)(x f y =的图象已作出或比较好作，那么它的反函数)(1x fy -=的图象可以由)(x f y =的图象关于直线y=x 对称而得到；⑵利用反函数的定义域求原函数的值域； 1．已知函数f (x )=x 2－1 (x ≤－2)，那么f －1(4)=______________． 2、已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 3、若点P (1，2)在函数y=b ax +的图象上，又在它的反函数的图象上，求a ,b 的值.)(x f )(x f )(x f4、已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f－1( x )的图像是( )3（1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域，在求反函数时，应先确定原函数的值域. 反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式（2）求反函数的步骤是“一解”“二换”“三注明”.所谓一解，即是首先由给出原函数的解析式y=f(x)，反解出用y 表示x 的式子x=f 1-(y)；二换，即是将x=f1-(y)中的x,y 两个字母互换，解到y=f1-(x)即为所求的反函数（即先解后换）.三注明，求出函数关系式后，一定要在后面注明定义域（千万别忘了）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7、反函数一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．设函数f (x)＝1－2x 1-(－1≤x ≤0)，则函数y ＝f －1(x )的图象是）B.－ －1 O x 2．函数y =1－1-x (x ≥1)的反函数是 （ ）A ．y =(x －1)2＋1，x ∈RB ．y =(x －1)2－1，x ∈RC ．y =(x －1)2＋1，x ≤1D ．y =(x －1)2－1，x ≤13．若f (x －1)= x 2－2x ＋3 (x ≤1)，则f －1(4)等于（ ）A ．2B ．1－2C ．－2D ．2－2 4．与函数y=f (x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是（ ）A ．y=－f (x )B ．y= f -1(x )C ．y =－f -1(x )D ．y =－f -1(－x ) 5．设函数()[]()242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为（ ）A ．[)4,-+∞B ．[)0,+∞C ．[]0,4D ．[]0,126．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于 （ ） A ．a B ．1a - C ．b D ．1b -7．已知函数()13ax f x x +=-的反函数就是()f x 本身，则a 的值为 （ ）A ．3-B ．1C ．3D ．1- 8．若函数()f x 存在反函数，则方程()()f x c c =为常数 （ ）A ．有且只有一个实数根B ．至少有一个实数根C ．至多有一个实数根D ．没有实数根9．函数f (x )=－22·12-x (x ≤－1)的反函数的定义域为 （ ）A ．(－∞，0］B ．(－∞，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)10．若函数f (x )的图象经过点(0，－1)，则函数f (x ＋4)的反函数的图象必经过点（ ）A ．(－1，4)B ．(－4，－1)C ．(－1，－4)D ．(1，－4)11．函数f(x)＝x1(x ≠0)的反函数f －1(x)＝（ ）A ．x(x ≠0)B ．x 1 (x ≠0) C ．－x(x ≠0) D ．－x 1 (x ≠0) 12、点(2，1)既在函数f (x )=abx a +1的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数组(a ，b )有 （ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）13．若函数f (x )存在反函数f －1(x )，则f －1[f (x )]=___ ； f [f －1(x )]=___ __．14．已知函数y ＝f (x )的反函数为f －1(x )＝x －1(x ≥0)，那么函数f (x )的定义域为__ _． 15．设f (x )=x 2－1(x ≤－2)，则f －1(4)=__ ________．16．已知f (x )＝f －1(x )＝xm x ++12(x ≠－m )，则实数m = ．三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．（1）已知f (x ) = 4x －2x ＋1 ，求f －1(0)的值．（2）设函数y = f (x )满足 f (x －1) = x 2－2x ＋3 (x ≤ 0)，求 f －1(x ＋1)．18．判断下列函数是否有反函数，如有反函数，则求出它的反函数．（1）2()42()f x x x x R =-+∈； （2）2()42(2)f x x x x =-+≤． （3）1(0)1,,(0)x x y x x +>⎧=⎨-<⎩19．已知f (x )=13-+x ax （1）求y =f (x )的反函数 y = f －1 (x )的值域;（2）若(2，7)是 y = f －1 (x )的图象上一点，求y=f (x )的值域．20．已知函数2(1)2(0)f x x x x +=+>，（1）求1()fx -及其1(1)f x -+；（2）求(1)y f x =+的反函数．21．己知()211x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭(x ≥1)，（1）求()f x 的反函数1()f x -，并求出反函数的定义域；（2）判断并证明1()f x -的单调性．22．给定实数a ，a ≠0，且a ≠1，设函数11--=ax x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠∈a x R x 1,且．试证明：这个函数的图象关于直线y =x 成轴对称图形．参考答案一、选择题： DCCDD ACCAC BA二、填空题：13.x ，x ，14.x ≥－1，15.－5，16.m ＝－2三、解答题：17.解析：（１）设f －1(0)=a ，即反函数过(0，a)， ∴原函数过(a ，0)．代入得 ：0=4a－2a ＋1，2a (2a －2)=0，得a =1，∴f)0(1-=1．（２）先求f (x )的反函数)2(1)1(),3(2)(11≥--=+∴≥--=--x x x f x x x f ．18.解析：⑴令()0,y f x ==得到对应的两根：120,4x x ==这说明函数确定的映射不是一一映射，因而它没有反函数．⑵由2()42f x x x =-+2(2)2x =--，得2(2)2x y -=+∵2x ≤，∴ 22x x -==，互换,x y 得2y =又由2()42(2)f x x x x =-+≤的值域可得反函数定义域为[2,),-+∞∴反函数为1()2f x x -=-∈[2,)-+∞．⑶由1(0)y x x =+>得其反函数为1(1)y x x =->； 又由1(0)y x x =-<得其反函数为1(1)y x x =+<-．综上可得，所求的反函数为1(1)1(1)x x y x x ->⎧=⎨+<-⎩．注：求函数()y f x =的反函数的一般步骤是：⑴反解，由()y f x =解出1()x f y -=，写出y 的取值范围；⑵互换,x y ，得1()y fx -=；⑶写出完整结论(一定要有反函数的定义域)．⑷求分段函数的反函数，应分段逐一求解；分段函数的反函数也是分段函数．19.解析：（１）反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．∴反函数的值域为{y|y 1,≠∈y R }（２）∵(2，7)是y =f －1(x)的图象上一点，∴(7，2)是y =f (x )上一点．∴,215215)1(2132)(212327≠-+=-+-=-+=∴=∴-+=x x x x x x f a a ∴f (x )的值域为{y |y ≠2}．20．解析：⑴∵22(1)211(1)1(0)f x x x x x +=++-=+->，∴2()1(1)f x x x =->，其值域为{|0}y y >，又由21(1)y x x +=> 得x =∴1()0)f x x -=>， ∴1(1)1)f x x -+=>-．⑵由2()2(0)y f x x x x ==+>，解得1(1)x y =>-∴(1)y f x =+的反函数为1y =(1)x >-．说明：1(1)y f x -=+并不是(1)y f x =+的反函数，而是1()y f x +=的反函数．题中有1(1)y fx -=+的形式，我们先求出1()y f x -=，才能求出1(1)y f x -=+．21.解析：⑴21()1,1011x y x x y x -=⇒=≥≥⇒≤<+设， 即1()fx -的定义域为[)0,1；⑵设11121201,01,()()0x x f x f x --≤<<∴≤∴-=<，1112()()f x f x --<，即1()f x -在[)1,0上单调递增．22、证法一:且则意一点是这个函数的图象上任设点,1,),(ax y x P ≠''' .11-'-'='x a x y ……①).,(),(x y P x y y x P '''=''的坐标为的对称点关于直线易知点由①式得⎩⎨⎧-'=-''-'=-'',1)1(1)1(y y a x x x a y 即……②由此得a =1，与已知矛盾，.01≠-'∴y a 又由②式得 11-'-'='y a y x这说明点P ′（y ′,x ′）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y =x 成轴对称图形.证法二:先求所给函数的反函数:由),1,(11ax R x ax x y ≠∈--=得 y (ax －1)=x －1， 即 (ay －1)x =y －1．得代入所给函数的解析式则假如,,1,01a y ay ==-111--=ax x a 即 ax －a =ax －1，由此得a=1，与已知矛盾，所以ay －1≠0． 因此得到).1,(,11)1,(11,1,11a x R x ax x y ax R x ax x y ay ay y x ≠∈--=≠∈--=≠--=且的反函数是且这表明函数其中由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f －1(x)的图象关于直线y=x 对称，所以函数)1,(11ax R x ax x y ≠∈--=且的图象关于直线y =x 成轴对称图形.。