2.2.1.1 对数
高中数学 2.2.1.1对数课件 新人教A版必修1
提示：①a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使(－12)x＝2成
立，所以log(－
1 2
)2不存在，所以a不能小于0.②a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N
＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定．③a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无 数个值，不能确定．
1
30
思考 1 对数恒等式 a logaN＝N 成立的条件是什么？ 提示：成立的条件是a>0，a≠1且N>0.
思考 2 用 a logaN (a>0 且 a≠1，N>0)化简求值的关键是什么？
提示：用 a logaN (a>0 且 a≠1，N>0)化简求值的关键是凑准公式的结构，尤其是对数的底数和幂底数 要一致，为此要灵活应用幂的运算性质．
思考 根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1＝？logaa＝？
提示： ∵对任意a>0且a≠1，都有a0＝1， ∴化成对数式为loga1＝0； ∵a1＝a，∴化成对数式为logaa＝1.
1
24
[典例示法] 例3 求下列各式中x的值． (1)logx27＝32；(2)log2x＝－23； (3)x＝log2719；(4)log3(lgx)＝1.
题目(1)(2)中的对数式化为指数式是怎样的？题目(3)(4)呢？
3
提示：(1)化为指数式x2
＝27，(2)化为指数式2－23
＝x，(3)化为指数式27x＝19，(4)化为指数式31＝lgx.
1
25
[解]
(1)由logx27＝32可得x32 ＝27，
2
对数总结知识点
对数总结知识点一、对数的定义1.1 对数的基本概念对数是指数的倒数，它描述了某个数在底数为固定值时的指数。
设a和b是两个实数，并且a>0且a≠1，若a的x次幂等于b，即a^x=b，则称x是以a为底b的对数，记作x=loga(b)。
其中，a称为对数的底数，b称为真数，x称为指数。
对数的底数a通常取2、e或者10。
1.2 对数的特性对数有几个重要的特性：（1）当b=a^1时，对数的值为1，即loga(a)=1；（2）当b=1时，对数的值为0，即loga(1)=0；（3）当b=a^0时，对数的值不存在，即loga(0)是无意义的，因为0没有对数；（4）当b=a^(-1)时，对数的值等于-1，即loga(a^(-1))=-1；（5）当a=1时，对数不存在，因为1的任何次幂都是1，没有唯一的对数。
以上就是对数的基本概念和特性，通过这些概念，我们可以初步了解对数的意义和性质。
接下来，我们将介绍对数的性质和运算规则。
二、对数的性质和运算规则2.1 对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质在对数的运算中起着重要的作用。
下面我们来介绍对数的性质：（1）对数的反函数性质：指数函数和对数函数是互为反函数的，即a^loga(x)=x，loga(a^x)=x；（2）对数的除法性质：loga(x/y)=loga(x)-loga(y)，即对数的商等于对数的差；（3）对数的乘法性质：loga(xy)=loga(x)+loga(y)，即对数的积等于对数的和；（4）对数的幂性质：loga(x^k)=k*loga(x)，即对数的幂等于指数与对数的乘积。
通过以上性质，我们可以在对数的运算中简化表达式，更方便地进行计算和推导。
接下来，我们来介绍对数的运算规则。
2.2 对数的运算规则对数的运算规则主要包括：换底公式、对数的乘除法、对数的幂运算等。
（1）换底公式：当底数相同时，不同的对数可以相互转化，即loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中a、b、c为正数，且a≠1，c≠1。
初中数学知识点指数函数与对数函数的概念与性质
初中数学知识点指数函数与对数函数的概念与性质初中数学知识点：指数函数与对数函数的概念与性质指数函数与对数函数是数学中重要的函数形式。
它们在数学、科学和工程领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍指数函数与对数函数的概念与性质。
一、指数函数的概念与性质指数函数是以正实数为底数的幂函数，它的定义域为实数集，值域为正实数集。
形式上，指数函数可以表示为：\[ y = a^x \]其中，a代表底数，x代表指数，y代表函数值。
1.1 指数函数的定义域和值域指数函数中的底数a必须是正实数而不能为零或负数，因为负数和零没有实数次幂的定义。
指数函数的定义域为实数集，即一切实数。
值域为正实数集，即大于零的实数。
1.2 指数函数的特点指数函数具有以下几个特点：（1）指数函数在底数不变的情况下，随着指数增大而增大，随着指数减小而减小。
（2）当指数为0时，指数函数的值为1。
（3）指数函数在不同的底数下，增长的速度不同，底数越大，增长的速度越快。
1.3 指数函数的图象指数函数的图象一般呈现为一个逐渐上升或下降的曲线，具体的形状取决于底数的大小和正负。
二、对数函数的概念与性质对数函数是指数函数的逆运算，它的定义域为正实数集，值域为实数集。
形式上，对数函数可以表示为：\[ y = \log_a{x} \]其中，a代表底数，x代表函数值，y代表指数。
2.1 对数函数的定义域和值域对数函数中的底数a必须是正实数且不等于1，因为负数和1没有实数对数的定义。
对数函数的定义域为正实数集，即大于零的实数。
值域为实数集。
2.2 对数函数的特点对数函数具有以下几个特点：（1）对数函数在底数不变的情况下，随着函数值的增大而指数增大，随着函数值的减小而指数减小。
（2）当函数值为1时，对数函数的指数为0。
（3）对数函数在不同的底数下，增长的速度不同，底数越大，增长的速度越慢。
2.3 对数函数的图象对数函数的图象一般呈现为一个先上升后趋于平缓的曲线，具体的形状取决于底数的大小。
人教A版必修一2.2.1.1对数与对数运算
2.2.1 对数与对数运算 第1课时 对 数
1. 定义：一般地，如果 ax=N （ a>0 ，且 a≠1 ），那么数 x 叫做 以a为底N的对数，记作 x loga N ，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数loga N（a＞0，且a≠1）具有下列简单性质 （1）负数和零没有对数，即N＞0； （2）1的对数为零，即loga1=0； （3）底的对数等于1，即logaa=1.
3.常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数.记作 lg N .
4.自然对数：以e为底的对数称为自然对数.记作ln N.
5.对数与指数间的关系：当a＞0，a≠1时，
1.logaN=b化为指数式是（ C ）
（A）aN=b （C）ab=N 解析：根据定义可知，logaN=bab=N，故选C. 2.logab=1成立的条件是（ D ） （A）a=b （C）a>0，且a≠1 （D）a>0，a=b≠1 （B）a=b，且b>0 （B）ba=N （D）bN=a
规律方法：利用对数与指数间的互化关系时，要注意各
字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的.
思路点拨：解答本题可利用对数的基本性质，合理运 用提供的信息求解.
规律方法：有关真数为“底数”和“1”的对数，可以利用对数的性 质直接得出其值为“1”和“0”，但有时需要底数变形后才可以利用 此规律.
解析：logab有意义，则a>0，a≠1，且b>0；
又由logab=1知a=b.故a>0，a=b≠1.
3.有下列说法 ①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e为底的对数叫做自然对数.
高中数学的技巧大揭秘掌握指数与对数的运算法则
高中数学的技巧大揭秘掌握指数与对数的运算法则高中数学的技巧大揭秘：掌握指数与对数的运算法则数学作为一门学科，对于很多高中生来说是一项具有挑战性的学科。
尤其是指数与对数的运算，常常被认为是数学中较为复杂和晦涩的内容。
然而，一旦掌握了指数与对数的运算法则，我们就能够轻松解决许多与指数和对数相关的问题。
本文将揭示一些高中数学中关于指数与对数运算的技巧和方法，希望对同学们有所帮助。
一、指数的基本运算法则指数运算法则是指对于指数的加、减、乘、除等基本运算规则。
我们先来看一下指数的加减法。
1.1 指数的加减法当指数相同且底数相同时，我们可以直接对底数进行相应的运算，指数保持不变。
举个例子：2² + 3² = 4 + 9 = 13当指数相同时，底数不同的情况下，我们可以将不同底数的指数用同一个底数表示，并对底数进行计算。
例如：2³ + 3³ = 8 + 27 = 351.2 指数的乘法当进行指数的乘法时，我们可以相应地将底数进行乘法运算，指数相加。
例如：2² × 2³ = 4 × 8 = 32这意味着对同一个底数进行指数乘法时，只需要将指数相加即可达到相应的计算结果。
1.3 指数的除法对于指数的除法，我们可以将底数进行除法运算，指数相减。
举个例子：2⁴ ÷ 2² = 16 ÷ 4 = 4同样地，对于同一个底数进行指数除法时，只需要将指数相减即可得到相应的计算结果。
二、对数的基本运算法则在掌握了指数的基本运算法则后，我们继续探讨对数的运算法则。
对数运算法则包括对数的相加、相减、乘法和除法。
2.1 对数的相加法则当有两个对数进行相加时，我们可以使用对应的指数的乘法。
具体而言，可以将两个对数对应的指数相加来获得新的指数，并使用相同的底数表示。
举个例子：log a + log b = log (a × b)2.2 对数的相减法则与对数的相加法则相反，当有两个对数进行相减时，我们可以使用对应的指数的除法。
高一数学人教版必修1 第二章《基本初等函数》同步课件2.2.1.1
其中错误说法的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
数学 必修1
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
学案·新知自解
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解析： 只有符合 a>0，且 a≠1，N>0，才有 ax＝N⇔x＝logaN，故(2)错误．由 定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确．
答案： C
数学 必修1
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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解析： 因为 lg 10＝1，所以 lg(lg 10)＝lg 1＝0，①正确； 因为 ln e＝1，所以 lg(ln e)＝lg 1＝0，②正确； 若 10＝lg x，则 x＝1010，③错误； 由 log25x＝12，得 x＝2512＝5，④错误． 答案： ①②
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提示： 设ab＝N，则b＝logaN. ∴ab＝alogaN＝N.
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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1．对于下列说法：
(1)零和负数没有对数；
(2)任何一个指数式都可以化成对数式；
(3)以 10 为底的对数叫做自然对数；
(4)以 e 为底的对数叫做常用对数．
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1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19；(2)43＝64； (3)log1327＝－3；(4)log x64＝－6.
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高中数学公式大全指数与对数的幂运算与对数运算公式
高中数学公式大全指数与对数的幂运算与对数运算公式数学是一门具有广泛应用的学科，不论是在学术研究还是实际生活中，数学公式都扮演着重要的角色。
在高中数学中，指数与对数是两个重要的概念，它们的公式在解题过程中经常被用到。
本文将为您提供高中数学公式大全，重点介绍指数与对数的幂运算与对数运算公式。
1. 指数与幂运算公式指数与幂运算是指数函数的基本运算法则，它包括以下几个公式：1.1 指数幂运算法则（1）指数相同，底数相乘：a^m × a^n = a^(m+n)。
例子：2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。
（2）幂相同，底数相乘：a^m × b^m = (a × b)^m。
例子：2^3 × 3^3 = (2 × 3)^3 = 6^3。
（3）指数的乘方：(a^m)^n = a^(m×n)。
例子：(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12。
（4）幂的乘方：(a × b)^m = a^m × b^m。
例子：(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4 = 16 × 81。
1.2 指数的乘法法则（1）指数相加：a^m × a^n = a^(m+n)。
例子：2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。
（2）底数相乘：(a × b)^m = a^m × b^m。
例子：(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4 = 16 × 81。
2. 对数运算公式对数是指数的逆运算，它有以下几个重要的运算公式：2.1 对数幂运算法则（1）底数相同，幂相加：loga(x × y) = loga(x) + loga(y)。
例子：log2(4 × 8) = log2(4) + log2(8)。
（2）幂的乘方：loga(x^m) = m × loga(x)。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1.1对数练习(含解析)新人教A版必修1
课时21 对数对数的意义①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①与② B ．②与④ C ．② D ．①②③④ 答案 C解析 对于①，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 无意义，因此①不正确；对于②，对数值相等，底数相同，因此，真数相等，所以②正确；对于③，有M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但不一定有M ＝N ，③错误；对于④，当M ＝N ＝0时，log a M 2与log a N 2无意义，所以④错误，由以上可知，只有②正确．2．求下列各式中x 的取值范围： (1)lg (x －10)； (2)log (x －1)(x ＋2)； (3)log (x ＋1)(x －1)2.解 (1)由题意有x －10>0，即x >10，即为所求； (2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2；(3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.3答案507解析 因为m ＝log 37，所以3m ＝7，则3m ＋3－m ＝7＋7－1＝507.4．将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式： (1)35＝243；(2)2－5＝132；(3)log 1381＝－4；(4)log 2128＝7.解 (1)log 3243＝5；(2)log 2132＝－5；(3)13－4＝81；(4)27＝128.对数性质的应用(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)log 3(2x ＋2)＝1.解 (1)由log 8x ＝－23，得x ＝8－23＝(23)－23＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2－2＝14；(2)由log x 27＝34，得x 34＝27.∴x ＝2743＝(33)43＝34＝81；(3)由log 3(2x ＋2)＝1，得2x ＋2＝3， 所以x ＝12.对数恒等式的应用(2)计算23＋log23＋35－log39.解(1)令t＝10x，则x＝lg t，∴f(t)＝lg t，即f(x)＝lg x，∴f(3)＝lg 3；(2)23＋log23＋35－log39＝23·2log23＋353log39＝23×3＋359＝24＋27＝51.一、选择题1．下列四个命题，其中正确的是( )①对数的真数是非负数；②若a>0且a≠1，则log a1＝0；③若a>0且a≠1，则log a a＝1；④若a>0且a≠1，则a log a2＝2.A．①②③ B．②③④C．①③ D．①②③④答案 B解析①对数的真数为正数，①错误；②∵a0＝1，∴log a1＝0，②正确；③∵a1＝a，∴log a a＝1，③正确；④由对数恒等式a log a N＝N，得a log a2＝2，④正确．2．2x＝3化为对数式是( )A．x＝log32 B．x＝log23C．2＝log3x D．2＝log x3答案 B解析由2x＝3得x＝log23，选B.3．化简：0.7log 0.78等于( ) A ．2 2 B ．8 C.18 D ．2答案 B解析 由对数恒等式a log aN ＝N ，得0.7log 0.78＝8.∴选B. 4．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝( ) A ．3 B ．±3 C．9 D ．2 答案 A解析 ∵log 2(log x 9)＝1，∴log x 9＝2，即x 2＝9， 又∵x >0，∴x ＝3.5．若log a 3＝m ，log a 2＝n ，则a m ＋2n的值是( )A ．15B ．75C ．12D ．18 答案 C解析 由log a 3＝m ，得a m＝3，由log a 2＝n ，得a n＝2， ∴am ＋2n＝a m ·(a n )2＝3×22＝12.二、填空题6．已知log 2x ＝2，则x －12＝________.答案 12解析 ∵log 2x ＝2，∴x ＝22＝4， 4－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.7．若lg (ln x )＝0，则x ＝________. 答案 e解析 ∵lg (ln x )＝0，∴ln x ＝1，∴x ＝e.8．若集合{x ，xy ，lg xy }＝{0，|x |，y }，则log 8(x 2＋y 2)＝________. 答案 13解析 ∵x ≠0，y ≠0，∴lg xy ＝0，∴xy ＝1， 则{x,1,0}＝{0，|x |，y }，∴x ＝y ＝－1， log 8 (x 2＋y 2)＝log 82＝log 8813＝13.三、解答题9．(1)已知log 189＝a ，log 1854＝b ，求182a －b的值；(2)已知log x 27＝31＋log 32，求x 的值．解 (1)18a ＝9,18b＝54，182a －b＝a218b＝9254＝8154＝32； (2)∵log x 27＝31×3log 32＝31×2＝6， ∴x 6＝27，∴x ＝2716＝(33)16＝ 3.10．求下列各式中x 的值：(1)log 4(log 3x )＝0；(2)lg (log 2x )＝1； (3)log 2[log 12(log 2x )]＝0.解 (1)∵log 4(log 3x )＝0，∴log 3x ＝40＝1， ∴x ＝31＝3；(2)∵lg (log 2x )＝1，∴log 2x ＝10，∴x ＝210＝1024；(3)由log 2[log 12(log 2x )]＝0，得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，x ＝ 2.。
对数与对数运算教案-人教版高中数学必修一第二章2.2.1 第二课时
第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数2.2.1.对数与对数运算第二课时对数运算1 教学目标1.1 知识与技能：[1]掌握对数的运算性质，能正确地利用对数的运算性质进行对数运算；[2]掌握对数换底公式的运用 .能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数。
[3]对数及其运算性质的综合应用1.2过程与方法：[1]通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．1.3 情感态度与价值观：[1]通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .[2]在学习过程中培养学生探究的意识.[3]让学生理解运算法则之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神．2教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]重点：对数式运算性质及时推导过程；[2]对数换底公式。
[3]对数及其运算性质的综合应用2.2 教学难点[1]难点：对数运算性质的发现过程及其证明；[2]对数换底公式的证明和应用。
3 专家建议启发学生从对数运算性质入手，了解对数在数学史上的重要作用，了解对数对大数运算的简化作用，降低运算的数量级，掌握一定量的对数计算基本模型，在熟练运用对数运算性质的基础上以对数的思维模式去考虑和处理问题，加深对于运算性质和换底公式的理解和运用，掌握对数运算的特殊性，为下一节学习对数函数打好基础.高考中对数的考查方式一般以选择题或填空题的形式出现。
4 教学方法实验探究——归纳总结——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。
从今天我们开始进入新一节内容的学习：对数与对数运算。
【板书】2.2.1.对数与对数运算第二课时【师】我们知道了对数的基本定义和性质,请认真回忆一下!【板书或投影】对数基本知识点1、对数的定义b N a =log其中 ),1()1,0(+∞∈ a 与 ),0(+∞∈N （负数与零没有对数）；b ∈（文字表述:N 为正数，a 为非1正数，b 为任意实数）两类特殊对数：（1）常用对数：以10为底，记作lgN ．(2)自然对数：以无理数e=2.71828……为底,记作lnN ．2、三组互化式)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且lg 10b N N b =⇔=ln b N N e b =⇔=3、两个恒值（1） 01log =a （2） 1log =a a4、两个嵌套式（迭代式）（1）对数恒等式N a N a =log（2）)10( log ≠>=a a b a b a 且5．指数运算法则,(R n m a a a n m n m ∈=⋅+),()(R n m a a mn n m ∈=)()(R n b a ab n n n ∈⋅=【生】对数定义式是......,指数式与对数式的转化......,对数恒等式,自然对数、常用对数【师】注意每个字母的取值X 围:底数，10≠>a a 且，真数N>0;再回忆一下指数运算的几个式子【板书或投影】)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且指数的运算性质n m n m a a a +=⋅; n m n m a a a -=÷mn n m a a =)( ; m nm na a = 6.2 新知介绍[1] 对数的运算性质【师】下面请同学们自行推导对数的运算性质！（5 分钟）【板演/PPT 】教师演示对数运算性质三式的证明。
对数知识点总结集合
对数知识点总结集合一、对数的概念1.1 对数的定义对数是数学中常见的概念，它是指数的逆运算。
对数以一个常数为底数，另一个数为真数，找到一个指数，使得底数的这个指数等于真数。
对数的定义形式如下：如果 a>0 且a≠1，且a ≠ 1，那么称指数x是以a为底的数b的对数。
记作x=log_ab，读作“以a为底b的对数等于x”，其中a为底数，b为真数，x为对数。
1.2 对数的性质对数具有一些基本性质，这些性质在处理对数运算时非常重要。
（1）对数的底数必须是大于0且不等于1的实数。
（2）对数的真数必须是大于0的实数。
（3）对数的值与指数的值之间具有一一对应的关系，即以a为底的b的对数等于x，等价于a的x次幂等于b。
（4）对数运算遵循对数法则，包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法则等。
二、对数的运算2.1 对数的运算法则对数的运算规则与指数运算法则非常类似，具体包括以下几个方面的法则：（1）对数的乘法法则：log_ab + log_ac = log_a(bc)（2）对数的除法法则：log_ab - log_ac = log_a(b/c)（3）对数的幂法则：log_ab^m = m*log_ab（4）对数的换底公式：log_ab = log_cb / log_ca2.2 对数的应用对数的运算在实际问题中具有广泛的应用，特别是在科学、工程、经济等领域。
例如在计算机科学中，对数常常用于分析算法的时间复杂度；在经济学中，对数常常用于分析利润的增长率和复合增长；在生物学中，对数常常用于分析细胞的增长增殖率等。
三、常用对数与自然对数3.1 常用对数与自然对数常用对数以10为底数，通常用lg表示，而自然对数以常数e为底数，通常用ln表示。
常用对数和自然对数之间的换底公式为：lg_ab = ln_b / ln_103.2 常用对数与自然对数的特性常用对数与自然对数具有一些特性和性质，如：（1）lg_ac = ln_c / ln_a（2）ln_a = lg_a / lg_e3.3 常用对数与自然对数的应用常用对数和自然对数在实际问题中具有广泛的应用，如在计算机科学和工程学中，常用对数和自然对数常常用于描述和分析一些复杂系统的性能和特性；在金融学和经济学中，常用对数和自然对数常常用于描述和分析一些金融商品、利率和风险等。
高考数学第一轮复习：2.2.2 第1课时 对数函数的图象及性质
【例 1】 (1)若 a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正 确的是( )
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
(2)下列不等式成立的是(其中 a>0 且 a≠1)( )
A．loga5.1<loga5.9
B．log1 2.1>log1 2.2
2
2
C．log1.1(a＋1)<log1.1a D．log32.9<log0.52.2
单调性
在(0，＋∞)上是 ____增__函__数
在(0，＋∞)上是 ___减__函__数_
知识点3 反函数
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与__y____a_x_(_a___0_,_a___1_)___
互为反函数．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
题型一 对数函数的概念及应用
例1若函数f(x) ＝log(a＋ 1)x ＋(a2－2a－8)是对数函数， 则a＝
2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学 会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分 析．
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________.
a2－2a－8＝0， 解析 由题意可知a＋1>0，
a＋1≠1，
解得 a＝4.
答案 4
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题型二 对数型函数的定义域
【例 2】 (1)函数 f(x)＝ 21－x＋ln(x＋1)的定义域为________； (2)函数 f(x)＝ log1 12x＋1的定义域为________．
对数的概念知识点总结
对数的概念知识点总结一、对数的概念1.1 对数的定义对数是指数的倒数。
设a和b是正实数，且a≠1，a的x次幂等于b，那么x叫做以a为底数的对数，记作loga b=x。
其中，a称为底数，b称为真数，x称为对数。
1.2 对数的性质（1）对数的基本性质：①对数的法则：loga (MN) = loga M + loga N。
②对数的乘积法则：loga(M/N) = loga M − loga N。
③对数的幂法则：loga (M^x) = x loga M。
④对数的换底公式：loga b = logc b / logc a。
（2）对数的特殊性：loga 1 = 0。
1.3 对数函数对数函数是以对数为自变量的函数，一般记作y = loga x。
对数函数是单调递增的，其图像是一个不断向上增长的曲线。
1.4 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用，比如在科学和工程领域，对数可以用来简化和解决复杂的计算问题。
在财务和经济领域，对数可以用来描述复利和增长速度。
此外，在信息论和统计学中，对数也有着重要的应用。
二、对数的运算2.1 对数的运算规则（1）对数方程的求解：利用对数的性质和公式，可以将对数方程转化为指数方程，从而求解未知数的值。
（2）对数的应用：利用对数的特性和公式，可以将复杂的计算问题简化为更容易处理的形式，从而提高计算的效率和精度。
2.2 对数的反运算对数的反运算是指数运算，即将以a为底数的对数转化为以a为底数的指数形式，从而得到真数的值。
2.3 对数的实际应用对数在实际中有广泛的应用，比如在科学和工程领域中，对数可以用来描述复杂的物理现象和工程问题。
在金融和经济领域中，对数可以用来描述复利和增长速度。
在信息论和统计学中，对数可以用来处理大量数据和计算概率。
三、对数的性质3.1 对数的底数对数的底数一般取为10，自然对数的底数为e。
对数的底数不同，其计算和性质都有所不同。
3.2 对数的长度对数的长度是指对数所具有的位数，一般取整数部分。
《对数与对数运算》教案(第1课时)
2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排 3课时教学过程第1课时 对数与对数运算(1)导入新课思路1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？2.假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ 抽象出：1.(21)4＝？(21)x ＝0.125⇒x=? 2.(1+8%)x =2⇒x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.新知探究 提出问题(对于课本P 572.1.2的例8) ①利用计算机作出函数y=13×1.01x 的图象.②从图象上看,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿…? ③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？ 即1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,x 分别等于多少？ ④你能否给出一个一般性的结论?活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题③,定义一种新的运算.对问题④,借助③,类比到一般的情形. 讨论结果：①如图2-2-1-1.图2-2-1-1②在所作的图象上,取点P,测出点P 的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.③1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,要求x 分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,即若1318=1.01x ,则x 称作以1.01为底的1318的对数.其他的可类似得到,这种运算叫做对数运算.④一般性的结论就是对数的定义:一般地,如果a(a>0,a≠1)的x 次幂等于N,就是a x =N,那么数x 叫做以a 为底N 的对数(logarithm),记作x=log a N,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 有了对数的定义,前面问题的x 就可表示了: x=log 1.011318,x=log 1.011320,x=log 1.011330. 由此得到对数和指数幂之间的关系:例如：42=16⇔2=log 416;102=100⇔2=log 10100;421=2⇔21=log 42;10-2=0.01⇔-2=log 100.01①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1?②根据对数定义求log a 1和log a a(a>0,a≠1)的值. ③负数与零有没有对数? ④Na alog =N 与log a a b =b(a>0,a≠1)是否成立?讨论结果：①这是因为若a ＜0,则N 为某些值时,b 不存在,如log （－2）21; 若a=0,N 不为0时,b 不存在,如log 03,N 为0时,b 可为任意正数,是不唯一的,即log 00有无数个值;若a=1,N 不为1时,b 不存在,如log 12,N 为1时,b 可为任意数,是不唯一的,即log 11有无数个值.综之,就规定了a ＞0且a≠1. ②log a 1=0,log a a=1.因为对任意a>0且a≠1,都有a 0=1,所以log a 1=0. 同样易知：log a a=1.即1的对数等于0,底的对数等于1.③因为底数a ＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b ∈R ,a b ＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数. ④因为a b =N,所以b=log a N,a b =a Na alog =N,即a Na alog =N.因为a b =a b ,所以log a a b =b.故两个式子都成立.(a Na alog =N 叫对数恒等式)思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗? 活动：同学们阅读课本P 68的内容,教师引导,板书. 解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN.例如：log 105简记作lg5;log 103.5简记作lg3.5. ②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数log e N 简记作lnN. 例如：log e 3简记作ln3;log e 10简记作ln10. 应用示例思路1例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式： （1）54=625;（2）2-6=641;（3）(31)m =5.73; (4)log 2116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.活动：学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.对（1）根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数. 对（2）根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底641的对数.对（3）根据指数式与对数式的关系,m 在指数位置上,m 是以31为底5.73的对数. 对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是21的-4次幂. 对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂. 对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e 的2.303次幂. 解：（1）log 5625=4;（2）log 2641=-6;（3）log 315.73=m; （4）(21)-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e 2.303=10. 思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题?活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照.解答：若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N 与b 在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据. 变式训练课本P 64练习 1、2.例2求下列各式中x 的值: （1）log 64x=32-;（2）log x 8=6; （3）lg100=x;（4）-lne 2=x. 活动：学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.解：（1）因为log 64x=-32,所以x=6432-=(2))32(6-⨯=2-4=161.（2）因为log x 8=6,所以x 6=8=23=(2)6.因为x>0,因此x=2. （3）因为lg100=x,所以10x =100=102.因此x=2.（4）因为-lne 2=x,所以lne 2=-x,e -x =e 2.因此x=-2.点评：本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解. 变式训练求下列各式中的x ： ①log 4x=21;②log x 27=43;③log 5（log 10x ）=1. 解：①由log 4x=21,得x=421=2;②由log x 27=43,得x 43=27,所以x=2734=81;③由log 5（log 10x ）=1,得log 10x=5,即x=105.点评：在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.思路2例1以下四个命题中,属于真命题的是（ ） （1）若log 5x=3,则x=15 （2）若log 25x=21,则x=5 （3）若log x 5=0,则x=5 （4）若log 5x=－3,则x=1251 A.（2）（3） B.（1）（3） C.（2）（4） D.（3）（4） 活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义. 对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果. 对于（1）因为log 5x=3,所以x=53=125,错误;对于（2）因为log 25x=21,所以x=2521=5,正确;对于（3）因为log x 5=0,所以x 0=5,无解,错误; 对于（4）因为log 5x=－3,所以x=5-3=1251,正确. 总之（2）（4）正确. 答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据. 例2对于a ＞0,a≠1,下列结论正确的是（ ）（1）若M=N,则log a M=log a N （2）若log a M=log a N,则M=N （3）若log a M 2=log a N 2,则M=N（4）若M=N,则log a M 2=log a N 2 A.（1）（3） B.（2）（4） C.（2） D.（1）（2）（4） 活动：学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价. 回想对数的有关规定.对（1）若M=N,当M 为0或负数时log a M≠log a N,因此错误; 对（2）根据对数的定义,若log a M=log a N,则M=N,正确; 对（3）若log a M 2=log a N 2,则M=±N,因此错误;对（4）若M=N=0时,则log a M 2与log a N 2都不存在,因此错误. 综上,（2）正确. 答案：C点评：0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个. 例3计算：(1)log 927;(2)log 4381;(3)log )32((2-3);(4)log 345625.活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.解法一：(1)设x=log 927,则9x =27,32x =33,所以x=23; (2)设x=log 4381,则(43)x =81,34x =34,所以x=16; (3)令x=log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1,所以(2+3)x =(2+3)-1,x=-1; (4)令x=log 345625,所以(345)x =625,534x=54,x=3.解法二：(1)log 927=log 933=log 9923=23; (2)log 4381=log 43(43)16=16; (3)log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1=-1;(4)log 345625=log 345(345)3=3.点评：首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据. 变式训练课本P 64练习 3、4. 知能训练1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x ＝2;（4）2x ＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=91;(7)(41)-2=16. 解：(1)2＝log 416;(2)0＝log 31;(3)ｘ＝log 4２;(4)ｘ＝log 20.5;(5)4=log 5625; (6)-2=log 391;(7)-2=log 4116. 2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)ｘ＝log 527;(2)ｘ＝log 87;(3)ｘ＝log 43;(4)ｘ＝log 731; (5)log 216=4;(6)log 3127=-3;(7)logx3=6;(8)log x 64=-6;(9)log 2128=7;(10)log 327=a.解：(1)5x ＝27;(2)8x ＝７;(3)4x ＝3;(4)7x ＝31;(5)24=16;(6)(31)-3=27;(7)(3)6 =x;(8)x -6=64;(9)27=128;(10)3a =27. 3.求下列各式中x 的值: (1)log 8x=32-;(2)log x 27=43;(3)log 2（log 5x ）=1;(4)log 3（lgx ）=0.解：(1)因为log 8x=32-,所以x=832-=(23)32-=)32(32-⨯=2-2=41;(2)因为log x 27=43,所以x 43=27=33,即x=(33)34=34=81;(3)因为log 2（log 5x ）=1,所以log 5x=2,x=52=25; (4)因为log 3（lgx ）=0,所以lgx=1,即x=101=10. 4.(1)求log 84的值;(2)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m +n 的值.解：(1)设log 84=x,根据对数的定义有8x =4,即23x =22,所以x=32,即log 84=32; (2)因为log a 2=m,log a 3=n,根据对数的定义有a m =2,a n =3,所以a 2m +n =(a m )2·a n =(2)2·3=4×3=12.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用. 拓展提升请你阅读课本75页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础. 课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数. 作业课本P 74习题2.2A 组 1、2. 【补充作业】1.将下列指数式与对数式互化,有x 的求出x 的值. （1）521-=51;（2）log 24=x;（3）3x =271; （4）(41)x=64;（5）lg0.000 1=x;（6）lne 5=x. 解：（1）521-=51化为对数式是log 551=21-; （2）x=log 24化为指数式是(2)x=4,即22x=22,2x=2,x=4; （3）3x =271化为对数式是x=log 3271,因为3x =(31)3=3-3,所以x=-3; （4）(41)x =64化为对数式是x=log 4164,因为(41)x =64=43,所以x=-3; （5）lg0.0001=x 化为指数式是10x =0.0001,因为10x =0.000 1=10-4,所以x=-4;（6）lne 5=x 化为指数式是e x =e 5,因为e x =e 5,所以x=5.2.计算51log 53log333+的值.解：设x=log 351,则3x =51,(321)x =(51)21,所以x=log513.所以351log 5log 3333+=513log 35+=515+=556. 3.计算Nc b c b a a log log log ∙∙(a>0,b>0,c>0,N>0).解：Nc b c b a alog log log ∙∙=Nc c b b log log ∙=Nc clog =N.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备. (设计者：路致芳)。
2016高一人教A版数学必修1课件：2.2.2第1课时 对数函数的图象及性质
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• 1．判断：(正确的打“√”，错误的打 “×”)
• (1)y ＝ log2x2 与 y ＝ logx3 都 不 是 对 数 函 数．( )
• (2) 对 数 函 数 的 图 象 一 定 在 y 轴 右 侧．( )
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• 求下列函数的定义域：
(1)y＝ lg（2－x）；
(2)y＝log3（31x－2）； (3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
• 【思路探究】 对于(1)首先要保证根式有
意义，对于(2)首先要保证分母不为0，对于
• 【解】 当a＞1时，a越大图象越靠近x 轴，
• ∴C2对应的a值大于C4对应的a值，
• ∴C2对应的a值为2.2，C4对应的a值为1.1.
• 当0＜a＜1时，a越小图象越靠近x轴，
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∴C1 对应的 a 值为110，C3 对应的 a 值为12. 综上所述，C1，C2，C3，C4 对应的 a 值依次为110， 2.2，12，1.1.
【解析】 因为 y＝ xln(1－x)，所以x1≥ －0x， >0，
解得 0≤x<1.
【答案】 B
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• 4．(1)函数y＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1) 恒过定点________．
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（3）令log3 81 =x，则3x=81 x=4
（4）令log0.41=x，则0.4x=1 x=0
课堂检测————限时5分钟
1. 若 log 2 x 3 ，则x=（ A. 4 B. 6 C. 8 ）． D. 9
2. log ( 3 2 ) ( 3 2 ) = （ ）． A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 3.对数式中 log( a2) (5 a) b ，实数a的取值范围是 （ ）． (,5) B．(2,5) A． C．(2, ) D． (2,3) (3,5) 4. 计算：（1）log5625 （2）lg0.001．
log a N x a x N
(a>0,a≠1)
3．会由指数运算求简单的对数值
进步是从看到自己的落后开始的；高明是 从解剖自己的弱点开始的。
loga a ，
N
. ( 0,
)
b
R
2 loga 1 0
loga a 1
对数式要注意的事项： （1）a、N的范围：a>0且a≠1和N>0. 注意：负数与零没有对数 （2）对数符号是一个完整的符号.
对数与指数的区别与联系?
a N log a N x
x
（a>0,a≠1）
a x N
名称 式子
指数式ax=N
底数
指数
幂
对数式logaN=x
底数
对数
真数
常用对数与自然对数的定义
(1)以10为底的对数叫做常用对数. 为了方便,N的常用对数log10N简记为:lgN. (2)以e为底的对数叫做自然对数. 为了方便,N的自然对数logeN简记为:lnN.
例1.把下列指数式化成对数式，对数式化为指数式
若 2 =4
若3 =
x
x
则x= 2 则x= -1
则x=
1 3
若2x=3
？
对数的定义
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数，
记作
x log. a N源自其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
反思： 1.对数logaN=b中的a，N, b的取值范围是什 么 ？为什么？ 2. loga 1 答案 : 1. a＞0 a≠1
(1) 5 625
4
(3) log 1 16 4
解 （1） log
(3)
5 625 4
4
1 m (2) ( ) 5.73 3 (4) ln 10 2.303
5.73 m
3
2
（2） log 1
1 2
16
(4)
e
2.303
10
练习 把下列指数式化成对数式，对数式化为指数式
2.2
2.2.1
对数函数
对数与对数运算
对数
第1课时
（1）理解对数的概念，掌握对数的基本性质
（2）掌握对数式与指数式的互化.
1. x=logaN 底数 真数 2. b=logaN 3. 10为底 lg lg3.5 4. e为底 ln ln10 预习自测 1.B 2.D 3. 1 1 4. 2 2
口答：
1 (1) 2 64
6
(2) lg 0.01 2
解（1
1 2 log 2 6 （2）10 0.01 64
例2.求下列各式中x的值
2 2 (2) ln e x (1) log 64 x 3
解
1 (1) x 64 (4 ) 4 16 2 2 x (2) ln e x, e e x 2
2
2 3
2 3 3
练习： （1） logx 8 6 ； （3） log3 81 ；
lg100 x （2） （4） log 0.4 1
1 6 1 2
解 (1)
x 6 8, x 0 x 8
1 6
(23 )
2
2
2
,10 100 (2) 10 100
x
x 2
1. C 4 (1) 4 2. B (2) -3 3. D
请同学们结合本节课的学习，说出你有什么收获？
1．对数的定义
一般地,如果a(a>0,a≠1)的 x 次幂等于N, 即ax=N,
那么数x叫做以a为底N的对数, 记作 logaN=x (式中的a叫做对数的底数,N叫做真数).
2．掌握指数式与对数式的互化