专题03 命题形式变化及真假判定(解析版)

专题03 命题形式变化及真假判定

【热点聚焦与扩展】

（一）命题结构变换

1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则 （1）否命题：“若，则” （2）逆命题：“若，则” （3）逆否命题：“若，则”

2、，

（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为 （2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为

3、命题的否定：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法

（1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多个→至少个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时均变为：

或→且 且→或

（3）全称命题与存在性命题的否定

全称命题： 存在性命题： 规律为：两变一不变

① 两变：量词对应发生变化（），条件要进行否定 ② 一不变：所属的原集合的不变化

（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联.

1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同.而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联

p q p ⌝q ⌝q p q ⌝p ⌝p q ∨p q ∧p q ∨p q ∧p ⌝n 1n +,p q ,p q ⌝⌝p q p ⌝q ⌝p q p ⌝q ⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∀∈→⌝∃∈⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∃∈→⌝∀∈⌝∀⇔∃()p x ()p x ⇒⌝x M

2、，，如下列真值表所示：

简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、：与命题真假相反. 4、全称命题：

真：要证明每一个中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：

真：只需在举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明中所有的元素均不能使命题成立

【经典例题】

例1、【2020年高考全国Ⅱ卷文理16】设有下列四个命题： 1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．

则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①41p p ∧②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④

【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题

1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利

用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假．再利用复合命题的真假可得出结论． 【解析】对于命题

1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，

p q ∨p q ∧p ⌝p M M M

同理3l 与2l 的交点B 也在平面α内，∴AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题

3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴

直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．

综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④．

【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活应用，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查复合命题真假的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线面的位置关系，理解或命题、且命题、非命题的含义及其真值表．

例2．【四川省宜宾市2020届高三三模】下列命题是假命题的是（ ）

A ．000sin cos x R x x ∃∈-，

B ．00cos 1x R x ∃∈≥，

C ．()01ln x x x ∀∈+∞-≥，，

D ．(0)tan 2

x x x π

∀∈>，，

【答案】A

【解析】因为sin cos )4

x x x π

-=

-，其值域为[，所以A 项错误；

因为cos [1,1]x ∈-，所以B 项正确；

令()1ln =--f x x x ，11'()1x f x x x

-=-

=， 当01x <<时，'()0f x <，当1x >时，'()0f x >，

所以函数()1ln =--f x x x 在(0,1)上单调减，在(1,)+∞上单调增， 所以()1ln =--f x x x 在1x =处取得最小值，且(1)0f =， 所以()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，所以C 项正确；

借助于三角函数线，可知(0)tan 2

x x x π∀∈>，，

，所以D 项正确；故选：A.

【专家解读】该题考查的是有关命题真假的判断，涉及到的知识点有三角函数的值域，导数的应用，属于简单题目.

例3．【2020届陕西省西安中学高三四模】已知命题p ：x R ∃∈，20x ->；命题q ：0x ∀≥x <，则下列说法中正确的是 A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题 D ．()p q ∨⌝是假命题

【答案】C

【解析】命题p ，003,20x x ∃=->，即命题p 为真，

对命题q ，去111

424

x x =

=>= ，所以命题q 为假，p ⌝为真 所以()p q ∧⌝是真命题，故选：C.

【专家解读】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可； (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表；

(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.

例4．【湖南省长沙市长郡中学2020届高三三模】已知命题:p x R ∃∈，2

230x x ++<，则命题p 的否定

是（ ）

A ．x R ∃∈，2230x x ++>

B ．x R ∀∈，2230x x ++≤

C ．x R ∀∈，2230x x ++≥

D ．x R ∀∈，2230x x ++>

【答案】C

【解析】命题p 为特称命题，其否定为:p x R ⌝∀∈，2230x x ++≥. 故选：C.

【专家解读】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题. 例5．【河北省鸡泽县第一中学2020年高三三模】下列命题是真命题的为( ) A ．若＝，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则＝

D ．若x

【答案】A 【解析】由得x=y ，而由x 2=1得x=±1，

由x=y ，

不一定有意义，而x ＜y 得不到x 2＜y 2，故选A ．