高一数学用样本估计总体试题
高一数学用样本估计总体试题答案及解析
高一数学用样本估计总体试题答案及解析1.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120,130），[130,140），[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从身高在[120,130内的学生中选取的人数应为．【答案】10【解析】由频率分布直方图可得：；则[120,130），[130,140），[140,150]三组人数所占的比例为，则在[120,130内选取的人数应为.【考点】频率分布直方图.2.设的平均数是，标准差是，则另一组数的平均数和标准差分别是_________.【答案】，.【解析】另一组数的平均数为：，标准差为：，所以则另一组数的平均数和标准差分别是，.【考点】统计中的期望与方差.3.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在[60，70)的汽车大约( )A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆【答案】D【解析】时速在[60，70)的频率为，故汽车大约有辆.【考点】频率分布直方图的应用.4.某校五四演讲比赛中，七位评委为一选手打出的分数如下：90 86 90 97 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为；方差为故选B.【考点】样本平均数和方差的计算.5.统计某校800名学生的数学期末成绩，得到频率分布直方图如图所示，若考试采用100分制，并规定不低于60分为及格，则及格率为．【答案】0.8【解析】由图形可知及格率为,答案为0.8.【考点】频率分布直方图6.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是( ).A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】C.【解析】分析表格可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小说明丙成绩发挥的较为稳定，所以最佳人选为丙.【考点】数据的平均数与方差的意义.7.一次选拔运动中，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图，记录的平均身高为177cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为( )A．5B．6C．7D．8【答案】D【解析】由图可知7名同学的身高分别为180、181、170、173、，178、179而7名同学的平均身高为177，所以有得=178，所以【考点】茎叶图8.由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为 .（从小到大排列）【答案】【解析】由已知不妨假设，则，又因为标准差等于，所以，且都是正整数，观察分析可知这组数据只可为：１，１，３，３．【考点】１．平均数与中位数；２．标准差；３．方程组思想．9.某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70km/h，否则视为违规扣分，某天有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图，如下图所示，则违规扣分的汽车大约为辆.【答案】120.【解析】易求得70-80这组的频率为1-0.05-0.18-0.38-0.27=0.12，则违规扣分的汽车大约为辆.【考点】频率分布直方图中每组对应的长方形面积为，总面积为1，频数=频率样本容量.10.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________．【答案】0．04；440【解析】由频率分布直方图得：，解得；志愿者年龄在[25,35)的人数为．【考点】概率与统计．11.将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用表示，则x的值为( )A．0B．4C．5D．7【答案】A【解析】如果是最高得分的话，,所以是最大值，那么,解得,故选A.【考点】茎叶图12.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差______.【答案】3.2【解析】由平均数及方差的定义可得；.【考点】样本数据的数字特征：平均值与方差.13.在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少；(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内.【答案】（1）第二小组的频率为，补全的频率分布直方图详见解析；（2）100人；（3）九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内.【解析】（1）先从所给的直方图中得出第一、三、四、五小组的频率，然后用1减去第一、三、四、五小组的频率和得到第二小组的频率，接着由确定第二小组的小长方形的高，从而可补全频率分布直方图；（2）用第二小组的频数除以该组的频率，即可计算出九年两个班参赛学生的总人数；（3）要确定中位数所在的小组，只需先确定各小组的频数，从第一小组开始累加，当和达到总人数的一半时的组就是中位数所在的小组.试题解析：(1)∵各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05∴第二小组的频率为：∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高，则补全的频率分布直方图如图所示(2)设九年级两个班参赛的学生人数为人∵第二小组的频数为40人，频率为0.40∴，解得所以这两个班参赛的学生人数为100人(3)因为0.3×100＝30，0.4×100＝40，0.15×100＝15，0.10×100＝10，0.05×100=5即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30，40，15，10，5所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内【考点】1.频率分布直方图；2.转化与运算能力.14.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160, 则中间一组（即第五组）的频数为（）A．12B．24C．36D．48【答案】C【解析】设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为 1，可得0.18+16d=1 可以求得d=∴中间一组的频数为：160×（0.02+4d）=36．故答案为：36．故选C。
高一数学用样本估计总体试题答案及解析
高一数学用样本估计总体试题答案及解析1.一个样本的平均数是4，则这个样本的方差是．【答案】5【解析】由样本的平均数是4可得；所以样本的方差为.【考点】样本数值特征.2.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在[60，70)的汽车大约( )A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆【答案】D【解析】时速在[60，70)的频率为，故汽车大约有辆.【考点】频率分布直方图的应用.3.某班5次数学测验中，甲、乙两同学的成绩如下： ( )甲：90 82 88 96 94；乙：94 86 88 90 92A．甲的平均成绩比乙好B．甲的平均成绩比乙差C．甲乙平均分相同,甲的成绩稳定性比乙好D．甲乙平均分相同,乙的成绩稳定性比甲好【答案】D【解析】因为,,所以有,,所以答案选D.【考点】样本平均数与方差4.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是．【答案】13【解析】由题可知在的人数比率为，故人数约为13.【考点】频率分布直方图.5.假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数：甲：109101011119111010乙：81014710111081512估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性．【解析】由已知数据利用平均值公式先计算出甲供货商的平均供货时间和乙供货商的平均供货时间，哪个供货商的平均供货时间小，则该供货商交货时间短一些；然后利用方差公式计算出甲供货商的交货时间的方差与甲供货商的交货时间的方差，比较方差大小，方差小的供货商交货时间具有一致性与可靠性.试题解析：因为=(10+9+10+10+11+11+9+11+10+10)=10.1，=[+ +++++ + ++]=0.49，=(8+10+14+7+10+11+10+8+15+12)=10.5，=[+ +++++ + ++]=6.05，所以＜，＜，所以甲供货商交货时间短一些，甲供货商交货时间具有一致性与可靠性. 考点:样本的均值与方差；总体估计6.一组数据6，7，7，8，7的方差= ．【答案】【解析】数据6，7，7，8，7的平均数∴．故答案为．【考点】平均数公式;方差的计算公式.7.将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用表示，则x的值为( )A．0B．4C．5D．7【答案】A【解析】如果是最高得分的话，,所以是最大值，那么,解得,故选A.【考点】茎叶图8.甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示，则下列结论正确的是()A．，且甲比乙成绩稳定B．，且乙比甲成绩稳定C．，且甲比乙成绩稳定D．，且乙比甲成绩稳定【答案】A【解析】由茎叶图可得，，所以，从茎叶图中看出甲的成绩比乙更集中（也可计算），所以甲的方差比乙的方差小，故甲比乙的成绩更稳定，所以选A.【考点】茎叶图与平均数.9.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为()A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】本题主要考查平均数与方差的求法，熟记方差公式，属于基础题型.由题意知，所剩数据为90，90,93，94，93，所以其平均值为；方差为，故选B.【考点】样本数据的数字特征：平均数与方差.10.某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：(1)求出表中字母所对应的数值；(2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在149.5～165.5范围内有多少人？【答案】（1），，，；（2）详见解析；（3）342人.【解析】（1）在145.5～149.5这组数据中频率是，频数为8，可得到样本空量为，即，用50减去其它各组中的频数，得到的值，从而再计算出的值，表示总频率，得；（2）根据频率分布表所给的分组和频率，作出频率分布直方图；（3）根据频率分布表中的数据，可得高一女生身高在149.5～165.5的频率，然后用高一女生的总人数乘以这个频率即可得到该校高一女生身高在149.5～165.5范围内的人数.试题解析：(1)由题意落在区间165.5～169.5内数据频数频率为，总频率(2)频率分布直方图如下(3)该所学校高一女生身高在149.5～165.5 之间的比例为，则该校高一女生在此范围内的人数为450×0.76＝342(人).【考点】频率分布表及频率分布直方图.11.某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如下该种产品日需求量的频率分布直方图．（1）求图中的值，并估计日需求量的众数；（2）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为件()，纯利润为元．（ⅰ）将表示为的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润不少于元的概率．【答案】（1）,日需求量的众数为125件；（2）（ⅰ）（ⅱ）【解析】（1）利用频率分布直方图中所有的小长方形的面积之和为一求出的值，利用直方图中最高的小长方形底边的中点的横坐标求出众数；（2）（ⅰ）设当天的需求量为件，当时，全部售出，获利元；若，剩余件，可得纯利润为元，由此可将表示为的函数（分段函数）；（ⅱ）由（ⅰ）中所得函数解出纯利润不少于元时的范围，再利用直方图中频率估计相应的概率值.试题解析：解：(1)由直方图可知：（0.013+0.015+0.017++0.030）×10=1，∴. 2分∵∴估计日需求量的众数为125件. 4分（2）（ⅰ）当时， 6分当时， 8分∴. 9分（ⅱ）若由得,∵，∴. 11分∴由直方图可知当时的频率是，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7. 14分【考点】1、频率分布直方图的应用；2、分段函数.12.已知x,y取值如下表：从散点图中可以看出y与x线性相关，且回归方程为＝0.95x+a，则a＝＿＿＿【答案】2.6【解析】根据题意，由于散点图中可以看出y与x线性相关，且回归方程为＝0.95x+a，x的平均值为2，y的平均值为4.5，则可知回归方程必定过样本中心点（2,4.5），代入可知得到a的值为2.6，故答案为2.6.【考点】回归方程点评：主要是考查了回归方程的基本运用，属于基础题。
用样本估计总体 - 简单 - 习题
用样本估计总体一、选择题（共12小题；共60分）1. 下列说法正确的是A. 在两组数据中，平均数较大的一组方差较大B. 平均数反应数据的集中趋势，方差则反应数据离平均数的波动大小C. 方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方之后求和D. 在两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高2. 一组数据，，，，，，，，，，，，的中位数是A. B. C. D.3. 下列说法正确的是：A. 甲、乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况—样B. 期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好C. 期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好D. 期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好4. 下列关于茎叶图的叙述正确的是A. 茎叶图可以展示未分组的原始数据，它与频率分布表以及频率分布直方图的处理方式不同B. 对于重复的数据，只算一个C. 茎叶图中的叶是“茎”十进制的上一级单位D. 作茎叶图的程序是：第一步画出茎；第二步画出叶；第三步将“叶子”，任意排列5. 茎叶图记录了甲、乙两组各名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的众数为，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则，的值分别为A. ，B. ，C. ，D. ，6. 下图是某公司个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据在区间内的频率为A. B. C. D.7. 某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，，，．若低于分的人数是，则该班的学生人数是A. B. C. D.8. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各场比赛得分情况用茎叶图表示如下：根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是A. 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B. 甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C. 甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定9. 甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数方差从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10. 一个频数分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，若样本中数据在内的频率为，则样本中在内的数据个数为A. B. C. D.11. 将某选手的个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，个剩余分数的平均分为，现场做的个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示：则个剩余分数的方差为A. B. C. D.12. 一名射击运动员射击次，命中环数如下，则该运动员命中环数的标准差为A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 在频率分布直方图中，各个小矩形的面积表示．14. 用茎叶图对两组数据进行比较时，左侧的叶按的顺序写，右侧的叶按的顺序写．15. —组数据从小到大排列后，如果第个数和第个数的平均数是这组数据的中位数，则该组数据共有个数．16. 从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，则分以上的人数为．17. 为了比较甲、乙两名划艇运动员的成绩，在相同的条件下对他们进行了次测验，测得他们的平均速度（单位：）分别如下：甲：，，，，，；乙：，，，，，．已知两名运动员成绩的茎叶图如图所示，则运动员更优秀．三、解答题（共5小题；共65分）18. 有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中随机抽取了台，记录上午之间各自的销售情况（单位：元）：甲：，，，，，，，，，，，，，，，；乙：，，，，，，，，，，，，，，，．试用两种不同的方式分别表示上面的数据，并简要说明各自的优点．19. 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题：（1）这一组的频数，频率分别是多少；（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（分及以上为及格）．20. 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了根棉花的纤维长度（单位：），结果如下：甲品种：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；乙品种：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．请由以上数据设计茎叶图．21. 为了调查高二年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了名同学，他们每天完成作业所需时间（单位：分钟）分别为，，，，，，，．（1）求这组数据的众数、中位数．（2）求这名学生每天完成家庭作业的平均时间．按照学校要求，学生每天完成家庭作业所需的平均时间不能超过分钟，该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求? 22. 某校从高一年级学生中随机抽取名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，，后得到如下频率分布直方图．（1）求分数在内的频率；（2）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（3）用分层抽样的方法在分以上（含分）的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取人，求其中恰有人的分数不低于分的概率．。
高中数学必修二 9 2 用样本估计总体(精讲)(含答案)
9.2 用样本估计总体（精讲）考法一总体取值规律的估计【例1】（2021·全国高一课时练习）某市2020年4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45，（1）完成频率分布表；（2）作出频率分布直方图；（3）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优；在51~100之间时，空间质量为良；在101~150之间时，空间质量为轻微污染；在151~200之间时，空间质量为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.【答案】（1）频率分布表见解析；（2）频率分布直方图见解析；（3）该市空气质量有待进一步改善.【解析】（1）频率分布表（2）频率分布直方图（3）答对下述两条中的一条即可:①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的1 15；有26天处于良的水平，占当月天数的13 15；处于优或良的天数共有28天，占当月天数的1415.说明该市空气质量基本良好.②轻微污染有2天，占当月天数的115.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的1730，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善.【一隅三反】1．（2020·全国高一单元测试）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：用户用水量频数直方图用户用水量扇形统计图（1）此次抽样调查的样本容量是________；（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析，79.2°；（3）4.08万户.【解析】（1）1010%100÷=；（2）用水15～20吨的户数为100－10－36－24－8＝22(户)，“15～20吨”部分的圆心角的度数为22 36079.2100︒⨯=︒（3）1022366 4.08100++⨯=(万户)所以该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格．2．（2020·全国高一单元测试）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数. 【答案】（1）M ＝40，0.075p =，0.125a =；（2）90人. 【解析】（1）由[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=，所以M ＝40. 因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，m ＝3.330.07540p M ===. 因为a 是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以250.125405a ==⨯. （2）因为该校高一学生有360人，分组[10，15）内的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为3600.25⨯=90人.3．（2021·北京丰台区）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW ·h 至350kW ·h 之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．（I ）求a 的值；（Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW ·h 的户数；（III ）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW ·h ）的建议，并简要说明理由． 【答案】（I ）0.006；（Ⅱ）18；（III ）245.5 kW ·h.【解析】（1）因为()0.00240.00360.00440.00240.0012501a +++++⨯=，所以0.006a =； （2）根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW ·h ”的频率为()0.00240.0012500.18+⨯=， 所以用电量大于250kW ·h 的户数为：1000.1818⨯=， 故用电量大于250kW ·h 有18户；（3）因为前三组的频率和为：()0.00240.00360.006500.60.8++⨯=<，前四组的频率之和为()0.00240.00360.0060.0044500.820.8+++⨯=>， 所以频率为0.8时对应的数据在第四组， 所以第一档用电标准为：0.80.620050245.50.22-+⨯≈kW ·h.故第一档用电标准为245.5 kW ·h.4．（2021·陕西咸阳市）某微商对某种产品每天的销售量（单位：件）进行为期一个月（按30天计算）的数据统计分析，并得出了这种产品该月销售量的频率分布直方图（如图）.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率.（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）若微商在一天的销售量不低于25件，则上级商企会给微商赠送100元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.【答案】（Ⅰ）0.02；（Ⅱ）10800元. 【解析】（Ⅰ）由题意可得1[1(0.010.060.070.04)5]0.025a =-+++⨯=． （Ⅱ）根据频率分布直方图知，日销售量不低于25件的天数为： ()0.040.025309+⨯⨯=（天）， 一个月可获得的礼金数为9100900⨯=（元），依此可以估计该微商一年内获得的礼金数为9001210800⨯=元. 【点睛】本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查样本估计总体以及运算求解能力、数形结合思想的应用，是基础题．考法二 总体百分数的估计【例2】（2020·天津和平区）已知一组数据为4,5,67,8,8,,第40百分位数是（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】C【解析】因为有6位数，所以640 2.4⨯=%，所以第40百分位数是第三个数6.故选：C 【一隅三反】1．（2020·山东菏泽市·高一期末）数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（ ） A ．3 B ．3.5C ．3.6D ．4【答案】D【解析】由6⨯60%=3.6，所以数据1，2，3，4，5，6的60%分位数是第四个数，故选：D2．（2021·山东高一期末）已知从某中学高一年级随机抽取20名女生，测量她们的身高（单位：cm ），把这20名同学的身高数据从小到大排序：148.0 149.0 150.0 152.0 154.0 154.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 159.0 161.0 162.0 163.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 则这组数据的第75百分位数是（ ） A ．163.0 B ．164.0C ．163.5D ．164.5【答案】A【解析】因为这组数据从小到大已排序，所以这组数据的第75百分位数为第200.7515⨯=个数，即为163.0故选：A3．（2020·山东滨州市·高一期末）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[]0,10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（ ） A ．7 B ．7.5C ．8D ．9【答案】C【解析】该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9，且680% 4.8⨯=，故选：C.考法三 总体集中趋势的估计【例3】（2021·湖北荆州市）因受新冠疫情的影响，某企业的产品销售面临困难.为了改变现状，该企业欲借助电商和“网红”直播带货扩大销售.受网红效应的影响，产品销售取得了较好的效果.现将该企业一段时间内网上销售的日销售额统计整理后绘制成如下图所示的频率分布直方图：请根据图中所给数据，求： （1）实数a 的值；（2）该企业网上销售日销售额的众数和中位数； （3）该企业在统计时间段内网上销售日销售额的平均数. 【答案】（1）0.012；（2）55万元，57万元；（3）57.4万元. 【解析】（1）由频率分布直方图知：(0.0080.0160.0200.0180.0100.0042)101a ++++++⨯=，解得：0.012a =；（2）用频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点值作为众数的近似值，得众数为55万元；因为第一个小矩形的面积为0.08，第二个小矩形的面积为0.12， 第三个小矩形的面积为0.16，0.080.120.160.36++=，设第四个小矩形中底边的一部分长为x ，则0.0200.50.36x ⨯=-，解得7x =， 所以中位数为50757+=万元； （3）依题意，日销售额的平均值为：250.08350.12450.16550.20650.18750.12850.10950.0457.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以该企业在统计时间段内网上销售日销售额的平均数为57.4万元. 【一隅三反】1．（2020·定边县第四中学高一期末）如图，从参加数学竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：（Ⅰ）79.5-89.5这一组的频数、频率分别是多少？ （Ⅱ）估计这次数学竞赛的平均成绩是多少？（Ⅲ）估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）. 【答案】（Ⅰ）15；0.25；（Ⅱ）70.5；（Ⅲ）75%. 【解析】（Ⅰ）79.589.5这一组的频率为0.025100.25⨯=，79.589.5这一组的频数为600.2515⨯=；（Ⅱ）估计这次数学竞赛的平均成绩是：44.50.154.50.1564.50.1574.50.384.50.2594.50.0570.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故估计这次数学竞赛的平均成绩是70.5.（Ⅲ）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）()10.010.0151075%P =-+⨯=. 2．（2021·河北唐山市·开滦第一中学高一期末）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段[)[)[]40,50,50,60,,90,100⋯后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试的众数m 与中位数n （结果保留一位小数）； （2）估计这次考试的优秀率（80分及以上为及格）和平均分． 【答案】（1）75m =，73.3n =；（2）优秀率30%，平均分71分. 【解析】（1）众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为75m =（分）前三个小矩形面积为0.01100.015100.015100.4⨯+⨯+⨯=， ∵中位数要平分直方图的面积， ∴0.50.47073.30.03n -=+=.（2）依题意，80及以上的分数所在的第五、六组， 频率和为 ()0.0250.005100.3+⨯=， 所以，抽样学生成绩的合格率是30%， 利用组中值估算抽样学生的平均分：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，估计这次考试的平均分是71分.3．（2021·吉林市）某城市100户居民的月平均用水量（单位：吨），以[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14)分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中x 的值；并估计出月平均用水量的众数. （2）求月平均用水量的中位数及平均数；（3）在月平均用水量为[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则应在[10,12)这一组的用户中抽取多少户？（4）在第（3）问抽取的样本中，从[10,12)[12,14)这两组中再随机抽取2户，深入调查，则所抽取的两户不是来自同一个组的概率是多少？【答案】(1) x =0.075，7；(2) 6.4，5.36；(3) 2；（4）23. 【解析】(1)根据频率和为1，得2×(0.02+0.095+0.11+0.125+x +0.05+0.025)=1， 解得x =0.075；由图可知,最高矩形的数据组为[6,8)，所以众数为()16872+=； (2) [2,6)内的频率之和为(0.02+0.095+0.11)×2=0.45；设中位数为y ，则0.45+(y −6)×0.125=0.5，解得y =6.4，∴中位数为6.4；平均数为()210.0230.09550.1170.12590.075110.025 5.36⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(3)月平均用电量为[10,12)的用户在四组用户中所占的比例为0.0520.1250.0750.050.02511=+++， ∴月平均用电量在[10,12)的用户中应抽取11×211=2(户). （4）月平均用电量在[12,14)的用户中应抽取11×111=1(户)， 月平均用电量在[10,12)的用户设为A 、B , 月平均用电量在[12,14)的用户设为C ，从[10,12)，[12,14)这两组中随机抽取2户共有 ,,AB AC BC ，3种情况，其中，抽取的两户不是来自同一个组的有,,AC BC ，2种情况， 所以，抽取的两户不是来自同一个组的概率为23. 考点四 总体离散程度的估计【例4】（2021·山东威海市·高一期末）如图所示的四组数据，标准差最小的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对A ，()12106206302402516x =⨯+⨯+⨯+⨯=，s == 对B ，()16102202306402516x =⨯+⨯+⨯+⨯=，s == 对C ，()13105205303402516x =⨯+⨯+⨯+⨯=，10s ==， 对D ，()15103203305402516x =⨯+⨯+⨯+⨯=，s == 所以标准差最小的是A.故选：A.【一隅三反】1．（2020·全国高一）已知数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则123x +，223x +，…，23n x +的平均数和方差分别为（ ）A ．x 和2sB ．23x +和24sC ．23x +和2sD ．23x +和24129s s ++ 【答案】B【解析】因为数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，所以123x +，223x +，…，23n x +的平均数和方差分别为23x +和24s故选：B2．（2020·安徽蚌埠市·蚌埠二中高一月考）一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）A ．17.2，3.6B ．54.8，3.6C ．17.2，0.4D ．54.8，0.4 【答案】C【解析】设一组数据为i x (1,2,3,,)i n =，平均数为x ，方差为21s ，所得一组新数据为i y (1,2,3,,)i n =，平均数为y ，方差为22s ，则350i i y x =-(1,2,3,,)i n =，12 1.6n y y y y n +++==， 所以123503503501.6n x x x n -+-++-=， 所以350 1.6x -=，所以51.617.23x ==， 由题意得22222121()()() 3.6n s y y y y y y n ⎡⎤=-+-++-=⎣⎦， 所以222121(350 1.6)(350 1.6)(350 1.6) 3.6n x x x n⎡⎤--+--++--=⎣⎦， 所以2221219(17.2)(17.2)(17.2) 3.6n x x x n ⎡⎤⨯-+-++-=⎣⎦ 所以2221219()()() 3.6n x x x x x x n⎡⎤⨯-+-++-=⎣⎦， 所以219 3.6s =，所以210.4s =.故选：C.3．（2020·唐山市第十一中学）已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13．7，18．3，20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则a ，b 的值分别为（ ）．A ．10，11B ．10.5，9.5C ．10.4，10.6D ．10.5，10.5 【答案】D【解析】由于样本共有10个值，且中间两个数为a ，b ，依题意，得10.52a b +=，即21b a =-． 因为平均数为23371213.718.320101()0a b +++++++++÷=，所以要使该样本的方差最小，只需()()221010a b -+-最小．又()()()()222221010102110242221a b a a a a -+-=-+--=-+， 所以当4210.522a -=-=⨯时，()()221010a b -+-最小，此时10.5b =． 故选：D4．（2021·合肥市第六中学=）为了测试小班教学的实践效果，刘老师对A 、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为A x ，B x ，A 、B 两班学生成绩的方差分别为2A s ，2B s ，则观察茎叶图可知（ ）A ．AB x x <，22A B s s < B ．A B x x >，22A B s s <C ．A B x x <，22A B s s >D ．A B x x >，22A B s s >【答案】B【解析】根据茎叶图中数据的分布可得，A 班学生的分数多集中在[]70,80之间， B 班学生的分数集中在[]50,70 之间，所以A B x x >.相对两个班级的成绩分布来说，A 班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离散，所以22A B s s <.故选：B。
高中数学必修第二册用样本估计总体练习题(平均数、方差、众数、百分位数等)
用样本估计总体（平均数、众数、方差、百分位数等）一、单选题1.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩(环数)如下面的频数条形统计图所示．则甲、乙、丙三人训练成绩方差S甲2,S乙2,S丙2的大小关系是()A. S丙2<S乙2<S甲2B. S丙2<S甲2<S乙2C. S乙2<S丙2<S甲2D. S乙2<S甲2<S丙22.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花的纤维长度(棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示．估计棉花的纤维长度的样本数据的80%分位数是()A. 28mmB. 28.5mmC. 29mmD. 29.5mm3.某校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年４月18日∼27日(共10天)学生在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图.根据组合图判断，下列结论正确的是()A. 这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小B. 前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差C. 这10天学生在线学习人数在逐日增加D. 前5天在线学习人数增长比例的极差大于后5天在线学习人数增长比例的极差4.下列说法中，正确的是()A. 数据5，4，4，3，5，2的众数是4B. 一组数据的标准差的平方是这组数据的方差C. 数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半D. 频率分布直方图中各小矩形的面积等于相应各组的频数5.为促进精准扶贫，某县计划引进一批果树树苗免费提供给贫困户种植.为了解果树树苗的生长情况，现从甲、乙两个品种中各随机抽取了100株，进行高度测量，并将高度数据制作成了如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图求得甲、乙两个品种高度的平均值都是66.5，用样本估计总体，则下列描述正确的是()A. 甲品种的平均高度高于乙品种，且乙品种比甲品种长的整齐B. 乙品种的平均高度高于甲品种，且甲品种比乙品种长的整齐C. 甲、乙品种的平均高度差不多，且甲品种比乙品种长的整齐D. 甲、乙品种的平均高度差不多，且乙品种比甲品种长的整齐6.从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为()A. 92,85B. 92,88C. 95,88D. 96,857.已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2，方差是13，那么另一组数3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的平均数，方差分别是()A. 2，13B. 2，1 C. 4，3 D. 4，238.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数x8.68.98.98.2方差s2 3.5 3.5 2.1 5.6从这四人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁9.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为s A和s B，则()A. x A>x B，s A>s BB. x A<x B，s A<s BC. x A>x B，s A<s BD. x A<x B，s A>s B10.某工厂的机器上有一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修.现有甲、乙两名工人同时从事这项工作，下表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数．日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日甲3546463784乙4745545547由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加工人的人数为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）11.某赛季甲乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如表：场次123456甲得分31162434189乙得分232132113510则下列说法正确的是()A. 甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差B. 甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C. 甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定12.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，每组数据取中间值为代表，则下列说法正确的是()A. 此样本数据的中位数估计值为12B. 此样本数据的众数估计值为12C. 此样本数据的均值估计值为11.52D. 若将样本数据中每个数扩大1倍，则数据的方差也扩大1倍第II卷（非选择题）三、单空题13.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为．14.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则60分为成绩的第百分位数．15.为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量(单位：本)等数据，图是根据数据绘制的统计图表的一部分．下面有四个推断：①这200名学生阅读量的平均数可能是26本；②这200名学生阅读量的75%分位数在区间[30,40)内；③这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内；④这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间[20,30)内．所有合理推断的序号是．四、多空题16.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)年龄组[25,30)对应小长方形的高度为；(2)由频率分布直方图估计这800名志愿者年龄的85%分位数为岁．(精确到0.01)五、解答题17.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．(1)求x;(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数);(3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．18.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式．(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值．(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．19.某校研究性学习课题小组为了了解某市工薪阶层的工资水平，从该市工薪阶层中随机调查了50位市民，调查结果如下表．(1)完成下图的月收入频率分布直方图(注意填写纵坐标);(2)估计该市市民月收入的第25和70百分位数．20.起源于汉代的“踢键子”运动，虽有两千多年历史，但由于简便易行，至今仍很流行．某校为丰富课外活动、增强学生体质，在高一年级进行了“踢键子”比赛，以学生每分钟踢毯子的个数记录分值，一个记一分．参赛学生踢键子的分值均在40∼100分之间，从中随机抽取了100个样本学生踢键子的成绩进行统计分析，绘制了如图所示的频率分布直方图，并称得分在80∼90之间为“踢毽健将”，90分以上为“踢建达人”．(1)求样本的平均值x(同一组数据用该区间的中点值代替)；(2)求下列数据的四分位数．13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20．(3)求上述数据的40百分位数。
5.1.4用样本估计总体(原卷版)
频数
频率
10
24
2
合计
1
(1)写出表中 、 及图中 的值（不需过程）；
(2)若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间 上的人数；
(3)估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01）
【变式11】4．（2023·高一课时练习）某校240名学生参加某次数学选择题测验（共10题每题1分），随机调查了20个学生的成绩如下：
A．a的值为0.005
B．估计这组数据的众数为75
C．估计这组数据的第85百分位数为86
D．估计成绩低于60分的有25人
【变式13】3．（2022·安徽·涡阳县第九中学高一期末）某县在创文明县城期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解市民的学习成果，该县从某社区随机抽取了160名市民作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分为100分，将数据收集，并整理得到频率分布直方图，如图所示：
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该100名射击爱好者的射击平均得分（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)该俱乐部计划招募成绩位列前10%的滑雪爱好者组成集训队备战明年的滑雪俱乐部联盟赛，请根据图中信息，估计集训队入围成绩（记为k）．
【变式21】3.（2023下·湖南益阳·高一统考期末）某校有高一学生1000人，其中男生 600人，女生 400人，为了解该校全体高一学生的身高信息，甲与乙分别进行了调查.
成绩
1分
2分
3分
4分
5分
6分
7分
8分
9分
10分
人数
6
0
0
2
4
2
高一数学必修3同步练习：2-2-2用样本的数字特征估计总体的数字特
2-2-2用样本的数字特征估计总体的数字特一、选择题1．甲、乙两中学生在一年里学科平均分相等，但他们的方差不相等，正确评价他们的学习情况是()A．因为他们平均分相等，所以学习水平一样B．成绩平均分虽然一样，方差较大的，说明潜力大，学习态度端正C．表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差小的成绩稳定D．平均分相等，方差不等，说明学习不一样，方差较小的同学，学习成绩不稳定，忽高忽低[答案] C2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是()A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3[答案] D3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a[答案] D4．甲、乙两台机床同时生产一种零件，现要检验它们的运行情况，统计10天中两台机床每天出次品数分别为甲：0,1,0,2,2,0,3,1,2,4；乙：2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.则从平均数考试，甲、乙两台机器出次品数较少的为( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不能比较[答案] B[解析] x 甲＝110(0＋1＋0＋2＋…＋4)＝1.5，x 乙＝110(2＋3＋…＋1)＝1.2.x 乙<x 甲．5．已知一个样本中含有5个数据3,5,7,4,6，则样本方差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B[解析] x ＝3＋5＋7＋4＋655，则方差s 2＝15[(3－5)2＋(5－5)2＋(7－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2]＝2.6．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( )A．63 B．64C．65 D．66[答案] A[解析]甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数分别是36和27，则中位数之和是36＋27＝63.7．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：s 123差，则有( )A ．s 3>s 1>s 2B ．s 2>s 1>s 3C ．s 1>s 2>s 3D ．s 2>s 3>s 1[答案] B8．某市在非典期间一手抓防治非典，一手抓经济发展，下表是利群超市5月份一周的利润情况记录：A ．6.51万元B ．6.4万元C ．1.47万元D ．5.88万元[答案] A[解析] 从表中一周的利润可得一天的平均利润为 x ＝0.20＋0.17＋0.23＋0.21＋0.23＋0.18＋0.257＝0.21.又五月份共有31天，∴五月份的总利润约是0.21×31＝6.51(万元)．9．(2011～2012·江西南昌一模)甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示，如图所示．若甲、乙小组的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列结论正确的是( )A.x甲>x乙，甲比乙成绩稳定B.x甲>x乙，乙比甲成绩稳定C.x甲<x乙，甲比乙成绩稳定D.x甲<x乙，乙比甲成绩稳定[答案] A[解析]根据茎叶图可知，甲组5名同学的成绩分别是88,89,90,91,92，乙组5名同学的成绩分别是83,84,88,89,91，可得x甲＝90，x乙＝87，故有x甲>x乙；s2甲＝2，s2乙＝9.2，故有s2甲>s2乙，所以甲比乙的成绩稳定，所以选A.10．如图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为()A．46 B．36C．56 D．60[答案] A[解析] 根据频数分布直方图，可估计有4人成绩在[0,20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20,40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40,60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60,80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80,100)之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考虑总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1 380，平均数＝1 38030＝46.二、填空题11．已知样本101,100,99，a ，b 的平均数为100，方差为2，这个样本中的数据a 与b 的取值为________．[答案] 102,98或98,102[解析] 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2002＋(a －100)2＋(b －100)2＝10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝102b ＝98或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝98b ＝102. 12．(2012·广东高考卷)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)[答案] 1,1,3,3[解析] 不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，得：x 2＋x 3＝4，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8⇒x 1＋x 4＝4 s 2＝1⇔(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝4⇒①如果有一个数为0或4；则其余数为2，不合题意； ②只能取|x 1－2|＝1；得：这组数据为1,1,3,3.13．某班50名学生右眼视力的检查结果如下表所示：[答案] 1.2 0.814.(2011～2012·江苏南京高三一模)为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为________．[答案] 5[解析] 由茎叶图可知，该篮球运动员6场比赛的得分分别是14,17,18,18,20,21，得分的平均数x ＝14＋17＋18＋18＋20＋216＝18，根据方差公式得s 2＝16[(14－18)2＋(17－18)2＋(18－18)2＋(18－18)2＋(20－18)2＋(21－18)2]＝5.三、解答题15．对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：(1)(2)谁的各门功课发展较平衡？[解析] (1)x 甲＝15(60＋80＋70＋90＋70)＝74，x 乙＝15(80＋60＋70＋80＋75)＝73，故甲的平均成绩较好．(2)s 2甲＝15[(60－74)2＋(80－74)2＋(70－74)2＋(90－74)2＋(70－74)2]＝104，s 2乙＝15[(80－73)2＋(60－73)2＋(70－73)2＋(80－73)2＋(75－73)2]＝56，由s 2甲>s 2乙，知乙的各门功课发展较平衡．16．某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B 进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)完成所附的茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A 与B 的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．[解析] (1)(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了的展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．(3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A 的亩产稳定性较差．17．某学校高一(1)班和高一(2)班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下：(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算上上游了！”(2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议．[分析](1)根据平均数、中位数、众数所反映的情况来分析；(2)结合方差的意义来提出建议．[解析](1)由于(1)班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上游，成绩应该属于中游．但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游．(2)①班成绩的中位数是87分，说明高于87分(含87)的人数占一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助．②班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学习优异的也很少，建议采取措施提高优秀率．18．从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成绩分布，将样本分成6组，得到频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高的比为1:1:3:6:4:2，最右边的一组的频数是8.请结合直方图的信息，解答下列问题：(1)样本容量是多少？(2)成绩落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数和频率．(3)估计这次数学竞赛成绩的众数、中位数和平均数．[解析] (1)从左到右各小组的频率分别为117，117，317，617，417，217样本容量为8217＝68. (2)成绩落在70～80之间的人数最多；频率为617；频数为68×617＝24.(3)众数的估计值是75，中位数的估计值是70＋12－117－117－317617×10 ＝4556≈75.83. 平均数的估计值是117×45＋117×55＋317×65＋617×75＋417×85＋217×95＝75.。
《用样本估计总体》典型例题
《用样本估计总体》典型例题【考情分析】用样本的频率分布估计总体分布的有关问题在高考中的常考题型有两个:(1)根据频率分布表和频率分布直方图进行频数或频率的计算,这种考查形式出现的频率很高;(2)频率分布直方图的绘制,这种考查形式常出现在解答题中,用样本的数字特征估计总体的数字特征也是高考中的常考题型,从近几年高考命题的趋势可以看出,对本节概念的考查开始逐步朝着对数据分析能力考查的方向发展,题目往往需结合相关数字特征的统计意义进行求解.题型1统计图表的信息读取(逻辑推理)典例1、[推测解释能力](2018·全国卷I)某地区经过1年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下列结论中不正确的是( )A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半思路本题以实际生活为背景考查了统计图表信息提取的知识,图表命题涉及广泛,解决本题时要注意题目条件中的“农村的经济收入增加了一倍,实现翻番”,否则计算出错,导致判断失误.解析方法一(通解)设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,则由图可得建设前种植收入为0.6a,其他收入为0.04a,养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a,其他收入为0.1a,养殖收入为0.6a,养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a,所以只有A是错误的.方法二(优解)因为0.6<0.37×2,所以新农村建设后,种植收入增加,而不是减少,所以A是错误的.答案A题型2与统计图表有关的计算(数据分析)典例2、[分析计算能力(2020-天津卷)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),⋯,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A.10B.18C.20D.36×组距,进行求解思路本题通过分析、读取频率分布直方图中数据的信息,利用公式频率=频率组距运算.解析根据题意,在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的频率为(6.25+5.00)×0.02= 0.225,则个数为80×0.225=18.答案 B题型3数字特征的含义与计算(数据分析)典例3-1[概括理解能力](全国II卷)为了评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n 块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,x3,⋯,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A.x1,x2,x3,⋯,x n的平均数B.x1,x2,x3,⋯,x n的标准差C.x1,x2,x3,⋯,x n的最大值D.x1,x2,x3,⋯,x n的中位数思路 本题依据数据的数字特征的意义,分析判断数据运用数字特征进行评价时,应从平均数、众数、中位数、方差、极差等多个角度对这组数据进行分析,全面考虑各数字特征的优缺点. 解析 平均数和中位数都能反映一组数据的集中趋势,而且平均数能反映一组数据的平均水平;标准差和方差都能反映一组数据的稳定程度.答案 B典例3-2、(2019-江苏卷)已知一组数据6,7,8,9,10,则该组数据的方差是_________.思路 本题考查了平均数和方差的计算公式,解决本题的关键是熟记平均数和方差的计算公式,本题考查了学生的分析计算能力和数学运算核心素养.解析 由平均数公式可得这组数据的平均数为8,则方差为(−2)2+(−1)2+0+0+12+226=53. 答案 53题型4用样本数字特征估计总体数字特征的简单计算典例4、[简单问题解决能力]某学校高一年级共有三个班,按优秀率进行评选.1班30人,优秀率30%,2班35人,优秀率60%,三班35人,优秀率40%,则全年级优秀率为_________.解析 本题通过优秀率、加权平均数来考查样本估计总体的数字特征,分析题意,根据班级优秀率求解全年级优秀率.由于某学校高一年级共有三个班,按优秀率进行评选:1班30人,优秀率30%,2班35人,优秀率60%,三班35人,优秀率40%,则全年级优秀率为:30×30%+35×60%+35×40%30+35+35=44%.答案 44%题型5用样本数字特征估计总体数字特征的综合计算(数学建模)典例5、[综合问题解决能力](2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B 两组,每组100只,其中A 组小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲,乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).思路本题属于样本平均值估计总体的综合应用,根据频率分布直方图的特征,通过数据分析,在频率分布直方距计算a的值.解析(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1−0.05−0.15−0.70=0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.。
随机抽样、用样本估计总体习题及答案解析
随机抽样、用样本估计总体1.某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100根中,有 根棉花纤维的长度小于20 mm.惠生活 观影指南爱尚嘟嘟园迅播影院请支持我们，有更多资源和动力【答案】 30【解析】 因为频率分布直方图的矩形的高为,频率概率故矩形的高⨯组距即为频率.从图中可知长 度小于20 mm 的频率为(0.01+0.01+0.04)50⨯=.3,又总体为100根,故纤维长度小于20 mm 的根 数为1000⨯.3=30根. 惠生活 观影指南 爱尚 嘟嘟园 迅播影院 请支持我们，有更多资源和动力 课后作业夯基基础巩固2.从2 008名学生中选取50名学生参加全国数学联赛,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽 样从2 008人中剔除8人,剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取,则这2 008名学生中每人入选的概率( )A.不全相等B.均不相等C.都相等,且为502008D.都相等,且为140【答案】 C 【解析】 随机抽样过程中,保证每个个体被抽取的可能性是相等的,所以每人入选的概率都相等,且为502008. 3.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名,现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年 级的学生中应抽取的人数为… ( )A.6B.8C.10D.12【答案】 B【解析】 分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本,设从高二年级抽取的学生数为n ,则30640n=,得n =8. 4.某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的 频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )A.90B.75C.60D.45【答案】A【解析】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)⨯2=0.3,频数为36.样本总数为36120 03= ..∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)20⨯=.75, ∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为1200⨯.75=90.5.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92【答案】A【解析】按照从小到大的顺序排列为87,89,90,91,92,93,94,96.∵有8个数据,∴中位数是中间两个数的平均数:91922+=91.5,平均数为8789909192939496918+++++++=.5,故选A.6.一组数据的平均数是4.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( )A.55.2,3.6B.55.2,56.4C.64.8,63.6D.64.8,3.6【答案】D【解析】每一个数据都加上60时,平均数也应加上60,而方差不变.7.为了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本,考虑采取系统抽样,则分段的间隔k为.【答案】40【解析】在系统抽样中,确定分段间隔k,对编号进行分段,(N k N n=为总体的容量,n 为样本的容量), ∴12004030N k n ===. 8.高三(1)班共有56人,学号依次为1,2,3,…,56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本,已知 学号为6,34,48的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为 .【答案】 20【解析】 根据题意,56人应分为4组,每组14人,第一组为6号,第二组为6+14=20号,第三组为20+14=34号,第四组为34+14=48号,故还有一个同学的学号为20.9.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量,产品数量的分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95],由此得到频率分布直方图如图,则由此估计该厂工人一天生产该产品数量在[55,70)的人数约占该厂工人总数的百分率是 .【答案】 52.5%【解析】 结合频率分布直方图可以看出:生产数量在[55,65)的人数频率为0.04100⨯=.4,生产数量在[65,75)的人数频率为0.025⨯10=0.25,而生产数量在[65,70)的人数频率约为0.25⨯102=.125,那么生产数量在[55,70)的人数频率约为0.4+0.125=0.525,即52.5%. 10.(2011江苏高考,6)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的方差2s = .【答案】 165【解析】 ∵10685675x ++++==, ∴2s = 22222(107)(67)(87)(57)(67)1655-+-+-+-+-=. 11.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了该运动员在6场比赛中的得分,用茎叶图表示如图,则该组数据的方差为.【答案】 5 【解析】 该运动员6场的总得分为14+17+18+18+20+21=108,平均得分为10818(6=分),方差为 2222221[(1418)(1718)(1818)(1818)(2018)(2118)]56-+-+-+-+-+-=,故填5. 12.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如 下表:惠生活 观影指南 爱尚 嘟嘟园 迅播影院 请支持我们，有更多资源和动力(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息?(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差,并判断选谁参加比赛更合适【解】 (1)画茎叶图,如图所示,中间数为数据的十位数.从这个茎叶图上可以看出,甲、乙的得分情况都是分布均匀的,只是乙更好一些;乙的中位数是33.5,甲的中位数是33.因此乙总体得分情况比甲好(2)根据公式得3333x x =,=甲乙;s =甲 3.96s ,=乙 3.35;甲的中位数是33,乙的中位数是综合比较选乙参加比赛较为合适.。
高中数学第二章统计221用样本的频率分布估计总体分布练习含解析新人教A版必修
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布A级基础巩固一、选择题1．没有信息的损失，所有的原始数据都可以从图中得到的统计图是( )A．总体密度曲线B．茎叶图C．频率分布折线图D．频率分布直方图答案：B2．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的频率为( )B．C．D．解析：数据总个数n＝10，又落在区间[22，30)内的数据个数为4，故所求的频率为410＝0.4.答案：B3．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．下图是某路段的一个检测点对300辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可得出将被处罚的汽车数为( )A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆解析：车速大于或等于70 km/h的汽车数为×10×300＝60(辆)．答案：C4．一个社会调查机构就某地区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图)，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 000)(单位：元)月收入段应抽出的人数为( )A．5 B．25 C．50 D．2 500解析：组距＝500，在[2 500，3 000)的频率＝0.000 5×500＝，样本数为100，则在[2 500，3 000)内应抽100×＝25(人)．答案：B5．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，仅知道后5组的频数和为62.设视力在到之间的学生数为a，最大频率为，则a的值为( )A．27 B．48 C．54 D．64解析：由已知，视力在到之间的学生数为100×＝32，又视力在到之间的频率为1－＋0.5)×－62100＝，所以视力在到之间的学生数为100×＝22，所以视力在到之间的学生数a ＝32＋22＝54.答案：C二、填空题6．某市共有5 000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组/分频数频率[80，90)①②[90，100)[100，110)[110，120)36[120，130)[130，140)12③[140，150]合计④根据上面的频率分布表，可以①处的数值为________，②处的数值为________． 解析：由位于[110，120)的频数为36，频率＝36n＝，得样本容量n ＝120，所以[130，140)的频率＝12120＝，②处的数值＝1－－－－－－＝； ①处的数值为×120＝3. 答案：37．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中抽取的人数应为________．解析：所有小矩形的面积和等于10×＋＋0.020＋a ＋0.035)＝1，解得a ＝；100名同学中，身高在[120，130)内的学生数是10××100＝30，身高在[130，140)内的学生数是10××100＝20，身高在[140，150]内的学生数是10××100＝10，则三组内的总学生数是30＋20＋10＝60，抽样比是1860＝310，所以身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为10×310＝3.答案： 38．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15，25)内的人数为________．答案：60三、解答题9．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00－10：00间各自的点击量，得到如图所示的茎叶图．(1)甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？ (2)甲、乙两个网站哪个更受欢迎？请说明理由．解：(1)甲网站点击量在[10，40]内的有17，20，38，32，共有4天，则频率为414＝27. (2)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．10．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？ 解：(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08.又因为第二小组的频率＝第二小组的频数样本容量，所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝120.08＝150.(2)由题意估计该学校高一学生的达标率约为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%.B 级 能力提升1．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图所示是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18解析：志愿者的总人数为20（＋）×1＝50，所以第三组的人数为50×＝18，有疗效的人数为18－6＝12.答案：C2．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．解析：由题意可知，这35名运动员的分组情况为，第一组(130，130，133，134，135)，第二组(136，136，138，138，138)，第三组(139，141，141，141，142)，第四组(142，142，143，143，144)，第五组(144，145，145，145，146)，第六组(146，147，148，150，151)，第七组(152，152，153，153，153)，故成绩在区间[139，151]上的运动员恰有4组，则运动员人数为4.答案：43．从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分): [40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[70，80)分的学生所占总体的百分比．解：(1)频率分布表如下：成绩分组频数频率[40，50)2[50，60)3[60，70)10[70，80)15[80，90)12[90，100]8合计50(2)由题意知组距为10，取小矩形的高根据表格画出如下的频率分布直方图：(3)由频率分布直方图，可估计成绩在[70，80)分的学生所占总体的百分比是×10＝＝30%.。
2024_2025学年新教材高中数学课时检测53用样本估计总体的集中趋势含解析湘教版必修第一册
课时跟踪检测(五十三) 用样本估计总体的集中趋势[A 级 基础巩固]1．已知一组数据为－3，5，7，x ，11，且这组数据的众数为5，那么该组数据的中位数是( )A ．7B ．5C ．6D ．11解析：选B 由这组数据的众数为5，可知x ＝5.把这组数据由小到大排列为－3，5，5，7，11，可知中位数为5.2．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：选D 将数据从小到大排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，则平均数a ＝110×(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位数b ＝15，众数c ＝17，明显a ＜b ＜c ，故选D.3．某班级统计一次数学测试后的成果，并制成如下频率分布表，依据该表估计该班级的数学测试平均分为( )A ．80B ．81C ．82D ．83解析：选C 平均分x －＝65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.2＝82，故选C. 4．某中学高一年级从甲、乙两个班级中各选出7名学生参与数学竞赛，他们取得的成果(满分100分)如下：甲 78 79 80 8x 85 96 92 乙 76 81 81 8y 91 96 91其中x ，y 处污损．若甲班学生成果的平均数是85分，乙班学生成果的中位数是83分，则x ＋y 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．16解析：选B 甲班学生成果的平均数为x －甲＝17×(78＋79＋80＋80＋x ＋85＋96＋92)＝85(分)，解得x ＝5，乙班学生成果的中位数是83分，所以y ＝3，所以x ＋y ＝8.5．某房地产公司为了解小区业主对户型结构——平层与复式结构的满足度，实行分层抽样方式对中心公园小区的业主进行问卷调查.20位已购买平层户型的业主满足度平均分为8，30位已购买复式户型的业主满足度平均分为9.若用样本平均数估计该小区业主对户型结构满足度的平均分，则其值为( )A ．8.4B ．8.5C ．8.6D ．8.7解析：选C 估计小区业主对户型结构满足度的平均分为X －＝2020＋30×8＋3020＋30×9＝8.6，故选C.6．已知一组数据4，2a ，3－a ，5，6的平均数为4，则a 的值是________． 解析：由平均数公式可得4＋2a ＋（3－a ）＋5＋65＝4，解得a ＝2.答案：27．某同学将全班某次数学考试成果整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示)，据此估计此次考试成果的众数是________．解析：依据频率分布折线图，得折线的最高点对应的值是115，据此估计此次考试成果的众数是115.答案：1158．对共有10人的一个数学小组做一次数学测试，测试题由10道单项选择题构成，每答对1题得5分，答错或不答得0分，批阅后的统计得分状况如表所示：则这次测试的平均成果为________分．解析：由题意得50分的有2人，得45分的有2人，得40分的有4人，得35分的有2人，则平均成果为50×2＋45×2＋40×4＋35×210＝42(分)．答案：429．下表是某校学生日睡眠时间(单位：h)的抽样频率分布表，试估计该校学生的平均日睡眠时间.解：法一：总睡眠时间约为 6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2＝739(h)．故估计该校学生的平均日睡眠时间约为7.39 h. 法二：求各组中值与对应频率之积的和．6．25×0.05＋6.75×0.17＋7.25×0.33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39(h)．故估计该校学生的平均日睡眠时间约为7.39 h.10．在一次中学生田径运动会上，参与男子跳高的17名运动员的成果如表所示：分别求这些运动员成果的众数、中位数与平均数．解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.表里的17个数据可看成是按从小到大的依次排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是x －＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m)．故17名运动员成果的众数、中位数、平均数依次为1.75 m ，1.70 m ，1.69 m.[B 级 综合运用]11．已知样本x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，样本y 1，y 2，…，y m 的平均数为y (x ≠y )，若样本x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m 的平均数z ＝ax ＋(1－a )y ，其中0<a <12，则n ，m (n ，m ∈N *)的大小关系为( )A ．n ＝mB ．n ≥mC ．n <mD ．n >m解析：选C 由题意得z ＝1n ＋m (nx ＋my )＝n n ＋m x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n n ＋m y ，∴a ＝n n ＋m， ∵0<a <12，∴0<n n ＋m <12，又n ，m ∈N *，∴2n <n ＋m ， ∴n <m .故选C.12．一组数据1，10，5，2，x ，2，且2<x <5，若该数据的众数是中位数的23倍，则该数据的平均数为________．解析：依据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷23＝3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x ，5，10，则2＋x 2＝3，解得x ＝4，所以这组数据的平均数为x －＝16×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4.答案：413．甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某品牌节能灯在正确运用的状况下，运用寿命都不低于8年．后来质量检测部门对他们的产品进行抽样调查，抽样调查的各8个产品运用寿命的统计结果如下(单位：年)：甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12； 乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12； 丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10.(1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表：(2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量；(3)假如你是顾客，应当选哪个厂家的节能灯？为什么？解：(1)甲厂：8，6，8；乙厂：8.5，7，8；丙厂：8.5，8，8.5.(2)甲厂利用了平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了平均数或众数或中位数．(3)选丙厂的节能灯．因为无论从哪种统计量来看，与其他两个厂家相比，丙厂水平都比较高或持平．。
高考数学专题复习：用样本估计总体数字特征
高考数学专题复习：用样本估计总体数字特征一、单选题1．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的方差是13，那么另一组数据121x -，221x -，321x -，421x -，521x -，621x -的方差是（ ）A ．13B ．23C ．43D ．832．已知样本9，x ，10，y ，11的平均数是10，标准差是2，则xy 的值为（ ） A ．96B ．97C ．91D ．873．给定一组数据：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，则这组数据的第25百分位数是（ ） A ．3.0B ．3.2C ．4.4D ．5.34．若样本1x ，2x ，…n x ，的平均数．方差分别为x 、2s ，则样本135x +，235x +，35n x +，的平均数．方差分别为（ ） A ．x 、2s B ．35x +、2s C ．35x +、29sD ．35x +、()235s +5．某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ）． A ．0.45B ．0.62C ．0.7D ．0.766．下表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．则该队员得分的40百分位数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．四名同学各掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断出该同学所掷骰子一定没有出现点数1的是（ ）A ．平均数为4，中位数为5B ．平均数为5，方差为2.4C ．中位数为4，众数为5D ．中位数为4，方差为2.88．已知一组数据如下：1,2,5,6,11，则该组数据的方差为（ ） A ．12.4B ．12.3C ．12.2D ．12.19．已知一组数据的平均数是3,方差是4,且这组数据的平方和是这组数据和的平方的19，则这组数据的个数是（ ） A ．10B ．13C ．15D ．1610．小明和小红5次考试数学成绩统计如下：则成绩较为稳定的那个同学成绩的方差为（ ） A ．110B ．108C ．22D ．411．已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则估计该组数据的平均数为（ ）A ．64B ．65C ．66D ．6712．已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第60百分位数为（ ） A ．87 B ．87.5 C ．89 D ．91二、填空题13．数据35124a a a a a ，，，，的方差22222123450.8)20(s a a a a a =++-++，则样本数据121a +，221a +，345212121a a a +++，，的平均数为________. 14．甲､乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是________.15．在某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其身高平均数170x =，抽取了女生20人，其身高平均数160y =．据此估计高一年级全体学生身高的值为________．16．已知样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为2，则样本数据132x -，232x -，332x -，432x -，532x -的方差为________． 三、解答题17．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x 的值； （2）求月平均用电量的中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？18．某校对高一期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30，50)，[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：（1）估计该校高一期中数学考试成绩的均值；（2）估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数．19．某种产品的质量以其质量指标值m 衡量，并按照质量指标值m 划分等级如下：现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了200件作为样本，检验其质量指标值m ，得到的频率分布直方图如图所示(每组只含最小值，不含最大值).（1）求第75百分位数(精确到0.1)；（2）在样本中，按照产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件产品，则这8件产品中，一等品的件数是多少；（3）将频率视为概率，已知该企业的这种产品中每件一等品的利润是10元，每件二等品和三等品的利润都是6元，试估计该企业销售600件这种产品，所获利润是多少元.20．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)90,100．50,60，[)80,90，[]60,70，[)70,80，[)（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分，众数，中位数．参考答案1．C 【分析】利用方差的性质求解. 【详解】因为数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的方差是13，由方差的性质知，数据121x -，221x -，321x -，421x -，521x -，621x -的方差是214233⨯=.故选：C. 2．C 【分析】由平均数得20x y +=，由标准差得()()22101018x y -+-=，联立可得xy . 【详解】 依题意得91011105x y++++=，则20x y +=①.()()()()()()()222222221129101010111010102101055x y x y ⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+-=+-+-⎣⎦⎣⎦，则()()22101018x y -+-=②.由①②得22218x y +=，所以()()2224002189122x y x y xy +-+-===. 故选：C. 3．B 【分析】根据1025% 2.5⨯=，判断该组数据的第25百分位数即可. 【详解】这组数据是从小到大排序的，共10个数，而1025% 2.5⨯=，所以这组数据的第25百分位数是第3个数据，即3.2. 故选：B. 4．C【分析】由样本数据由i x 变为35i x +，结合平均数、方差的性质，即求新样本中的平均数、方差. 【详解】由题意，12...n x x x x n-+++=，2211()n i i s x x n -==-∑，∴样本135x +，235x +，35n x +的平均数135x x --=+，而2219s s =. 故选：C 5．D 【分析】利用均值的计算公式以及方差的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，总体的均值为4006007.577.210001000⨯+⨯=， 根据分层抽样的性质，可得总体的方差为：22400600[1(7.57.2)][0.5(7.27)]0.4360.4240.7610001000⨯+-+⨯+-=+=. 故选：D. 6．C 【分析】按所给数据求出各得分的频率，然后根据百分位数定义计算． 【详解】由所给数据，总数为212311111++++++=， 得分3,6,7,10,11,13,30的频率分别为2123111,,,,,,11111111111111， 前3个得分频率和为540%11>，前2个得分的频率和为340%11<，因此40百分位数应该是第三个频率211对应的得分为7分． 故选：C ． 7．B 【分析】依据数字特征的定义，依次对选项验证即可． 【详解】解：对于选项A ，1，2，5，6，6符合条件，故A 错，对于选项B ，若平均数为5且出现点数1，则只能为1，6，6，6，6，此时方差为22(15)4(65)45-+⨯-=，故B 对，对于选项C ，1，2，4，5，5符合条件，故C 错， 对于选项D ，1，4，4，5，6，平均数为()11445645++++=，方差()()()2221145464 2.85⎡⎤-+-+-=⎣⎦，符合条件，故D 错， 故选：B ． 8．A 【分析】先求出平均数，再根据平均数计算即可求得方差. 【详解】 ()112561155x =++++=，()()()()()2222221621525556511512.455s ⎡⎤=-+-+-+-+-==⎣⎦ 故选：A 9．B 【分析】设这组数据分别为12,,.,n x x x ⋯，根据平均数公式及方差公式即可得的12.3n x x x n ++⋯+=，()()()2221233.34n x x x n -+-+⋯+-=，从而得到22212.n x x x ++⋯+，再依题意得到方程，解得即可； 【详解】解：设这组数据分别为12,,.,n x x x ⋯，则12.3n x x x n ++⋯+=，()()()2221233.34,n x x x n -+-+⋯+-=所以()()()2222221212.6.33.34,n n x x x x x x n ++⋯+-++⋯++++⋯+=所以()22212.1894,n x x x n n n ++⋯+-+=从而22212.13n x x x n ++⋯+=.因为这组数据的平方和是这组数据和的平方的19，所以()2211339n n n ⨯==，解得13n =或0n =（舍去）. 故选：B 10．D 【分析】依次求得两位同学的成绩的平均数，再根据结果求得两位同学成绩的方差即可得出结果. 【详解】小明数学成绩的平均值为11(107111110109113)1105x =++++=，所以成绩的方差为22122221(107110)(111110)(110110)(109110)(113110)45s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 小红数学成绩的平均值为21(99110111108112)1085x =++++=，所以成绩的方差为22222221(99108)(110108)(111108)(108108)(112108)225s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦. 因为2212s s <，所以小明同学的成绩更稳定,方差为21=4s .故选：D 11．D 【分析】根据频率分布直方图的平均数的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：(550.03650.04750.015850.01950.005)1067x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=. 故选：D. 12．C 【分析】根据一组数的百分位数的定义直接计算即可. 【详解】该组数据从小到大排序为85，87，88，90，92，共5个数据，而560%3⨯=， 所以这组数据的第60百分位数为8890892+=. 故选：C.13．9或7- 【分析】设样本数据35124a a a a a ，，，，的平均数为a ，推出2580a =，解得4a =±，由此即可求出结果. 【详解】 由题意知，222222123450.2(80)s a a a a a =++++-，设样本数据35124a a a a a ，，，，的平均数为a ，则222222123450.2[()()()()()]s a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-22222212345123450.2[2()5]a a a a a a a a a a a a =++++-+++++ 222222123450.2(5)a a a a a a =++++-，所以2580a =，解得4a =±，又12345222221a a a a a ++1，+1，+1，+1，的平均数为21a +， 当4a =时，21=9a +； 当4a =-时，21=-7a +. 故答案为：9或-7 14．①③④ 【分析】根据茎叶图中的数据，对题目中的命题进行分析、判断正误即可． 【详解】解：根据茎叶图中数据知，对于①，甲同学成绩的中位数是1(8082)812⨯+=，乙同学成绩的中位数是1(8788)87.52⨯+=，所以甲的中位数小于乙的中位数，①正确；对于②，甲同学的平均分为1(727680828690)816⨯+++++=， 乙同学的平均分为1(697887889296)856⨯+++++=， 所以甲同学的平均分比乙同学的平均分低，②错误； 对于③，甲同学的平均分比乙同学的平均分低，③正确；对于④，计算甲的方差为2222221107[(9)(5)(1)159]63⨯-+-+-+++=， 乙的方差为2222221244[(16)(7)23711]63⨯-+-++++=， 所以甲的方差小于乙的方差，④正确．所以正确的命题序号是①③④．故答案为：①③④．15．166【分析】根据平均数的计算公式即可求出结果.【详解】 估计高一年级全体学生身高的值为301702016016650⨯+⨯=， 故答案为：16616．18【分析】利用方差的性质求解即可.【详解】样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为22S =， 所以样本数据132x -，232x -，332x -，432x -，532x -的方差为：23218⨯=.故答案为：1817．（1）0.0075；（2）中位数是224；（3）5户.【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于1即可求x 的值；（2）根据中位数左右两侧小矩形面积等于0.5可得中位数；（3）先计算每个区间抽取的户数，再计算抽样比例，即可求解.【详解】（1）由直方图的性质得()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=， 解得：0.0075x =；（2）因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+-=，解得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224.（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户， 抽样比为112515105+++＝15， 所以月平均用电量在[)220,240的用户抽取12555⨯=户． 18．（1）93分；（2）115分.【分析】（1）由每组数据中点值乘以频率相加可得均值；（2）计算出110分以下的频率和为0.75，因此80%分位数在[)110130，，还需频率0.05，区间[)110130，的频率是0.2，还需通过计算可得结论． 【详解】解：（1）数学成绩在：[)3050，频率0.0050200.1⨯=， [)5070，频率0.0050200.1⨯=， [)7090，频率0.0075200.15⨯=， [)90110，频率0.0200200.4⨯=， [)110130，频率0.0100200.2⨯=， []130150，频率0.0025200.05⨯=，样本均值为：400.1600.1800.151000.41200.21400.0593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分.（2）由（1）知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.10.10.150.40.75+++=在130分以下所占比例为0.750.20.95+=因此，80%分位数一定位于[)110130，内，由 0.80.75110201150.950.75-+⨯=-， 可以估计样本数据的第80百分位数约为115分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数约为115分19．（1）109.8；（2）3；（3）4500(元).【分析】(1)先利用频率分布直方图的性质求出0.030x =，由第75百分位数在图中表现为该数的左侧频率为0.75，根据这一点可求第75百分位数；(2)先根据频率分布直方图以及等级划分规则算出三种等级的频率，从而得样本中各等级的件数，再利用分层随机抽样的按比例抽取求解；(3)根据(2)中算出的频率求利润的估计值.【详解】(1)由题得，()0.00250.00900.01000.02000.02600.0025101x ++++++⨯=，解得0.030x =.又[65,105)的频率为0.625，[105,115)的频率为0.26，所以第75百分位数在[105,115)内第75百分位数为0.750.62510510109.80.26-+⨯≈. (2)由频率分布直方图以及等级划分规则可知，样本中三等品、二等品、一等品的频率分别为(0.00250.0100)100.125+⨯=，(0.02000.0300)100.5+⨯=，(0.02600.00900.0025)100.375++⨯=.所以在200件样本中，三等品、二等品、一等品的件数分别为25，100，75，所以按照产品等级用比例分配分层随机抽样的方法抽取8件产品， 则应抽取的一等品的件数分别为7583200⨯=. (3)由(2)知，从该企业的这种产品中任取一件是一等品的概率为0.375，是二等品或三等品的概率为0.625.故该企业销售600件这种产品，所获利润约为6000.375106000.62564500⨯⨯+⨯⨯=(元) 20．（1）0.005；（2）平均分为73，众数为65，中位数为2153. 【分析】（1）根据概率之和等于1，即所以小矩形的面积之和等于1，即可求解；（2）根据平均分，众数，中位数的概念结合频率分布直方图即可求出平均分，众数，中位数.【详解】解：（1）由频率分布直方图可得：()1020.020.030.041a ⨯+++=，∴0.005a =．（2）平均分550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=＋（分） 众数为60702+=65分． 中位数为()0.50.005100.0410215700.033-⨯+⨯+=（分）．。
用样本的频率分布估计总体分布(高考题)
用样本的频率分布估计总体分布链接高考1.（2014山东,7,5分,★★☆）%了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验•所有志愿者的舒张压数据（单位:kPa）的分组区间为[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组,……，第五组•如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.6B.8C.12D.182.（2015湖北,14,5分,★★☆）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位:万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.（1）直方图中的a=;（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为.3.（2014江苏,6,5分,★★☆）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位:cm）,所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图株树木的底部周长小于100cm.4.（2015湖南,2,5分,★☆☆）在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩（单位:分钟）若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间［139,151］上的运动员人数是（）A.3B.4C.5D.65.（2013安徽,17,12分,★★☆）%调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成 绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下： Ip石 7 4 5 i 3 32385J4iJJ 1 Q -Q 0 0◎】\2232? R62J110fl 7 0 75勻 (2 1 I5S« 10 0 ⑴若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为.、，，估计-.■的值.的茎叶图三年模拟1.（2016福建漳州东山二中期末,★☆☆）某雷达测速区规定:凡车速大于或等于80km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚.如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（）A.20辆B.40辆C.60辆D.80辆2.（2015福建南安一中期中,★☆☆）某同学进入高二前，高一某四次测试的数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的平均数是（）A.125B.126C.127D.1283.（2015黑龙江哈尔滨三中期末,★☆☆）某校从高一年级中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩（单位:分）分成6O.fl-ID0.03Q0.02S组:[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100咖以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此统计，该模块测试成绩不低于60分的学生人数为（）A.588B.480C.450D.1204. （2016西藏日喀则一中月考,★☆☆）一个容量为20的样本数据，分组后,组距与频数如下:（10,20],2;（20,30],3;（30,40],4;（40,50],5;（50,60],4;（60,70],2则样本数据在区间（50,+呵上的频率为.5. （2016安徽安庆宿松凉亭中学期中,★☆☆）从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n 件,测得其尺寸后，作出其频率分布直方图如图,尺寸在[15,45]内的频数为46,则尺寸在[20,25]内的产品个数为.6. （2015四川成都外国语学校月考,★★☆）某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）•根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩低于60分的人数是.7.（2014山东学业水平测试,★★☆）甲、乙两名篮球运动员在某场比赛中得分的茎叶图如图所示，记甲的平均分为a,乙的平均分为b,则b-a=,8.（2016湖南长沙长郡中学期中,★★☆）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示•经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X（单位:t,100<X<150）表示下一个销售季度内的市场需求量,T（单位:元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将T表示为X的函数；（2）根据频率分布直方图估计利润T不少于57000元的概率.9.（2015湖南学业水平测试,★★☆）某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调查了100位职员的早餐日平均费用(单位:元)，得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清.(1)试根据频率分布直方图求a的值；(2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元.。
河南省镇平县第一高级中学高中数学人教A版必修三同步
高一数学《用样本估计总体》练习题1．如右图是根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是( )A ．161 cmB ．162 cmC ．163 cmD ．164 cm2．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．603．一组数据中的每一个数据都乘以2，再都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )A ．40.6,1.1B ．48.8,4.4C ．81.2,44.4D ．78.8,75.6 4．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x －，则( )A ．m e ＝m 0＝x －B ．m e ＝m 0<x －C ．m e <m 0<x －D ．m 0<m e <x －6．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65B.65C. 2 D．27．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的概率分布直方图是( )8．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2 500,3 000)(元)内应抽出________人．9．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．10. 为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：(1)表中m，n，M，(2)画出频率分布直方图．(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？11．在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图．(2)这两个班参赛的学生人数是多少？(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？12、下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位ｃｍ)(1)(2)(3)13、为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由。
高中数学必修三同步练习题库：用样本估计总体(填空题：较易)
用样本估计总体（填空题：较易）1、在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9，10，11，1，那么这组数据的方差可能的最大值是__________．2、从某高校的高一学生中采用系统抽样法选出30人测量其身高，数据的茎叶图如图所示(单位：cm)，若高一年级共有600人，估算身高在1.70m以上的有_______人．3、如图是甲，乙两名同学次综合测评成绩的茎叶图，则乙的成绩的中位数是，甲乙两人中成绩较为稳定的是 .4、为了普及环保知识，增强环保意识，某高中随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则这三个数的大小关系为_______________.5、甲，乙两人在相同条件下练习射击，每人打发子弹，命中环数如下则两人射击成绩的稳定程度是6、下图是甲、乙两市领导干部年龄的茎叶图，对于这两市领导干部的平均年龄给出的以下说法正确的是________.①甲市领导干部的年龄的分布主要集中在40～60之间；②乙市领导干部的年龄分布大致对称；③甲市领导干部的平均年龄比乙市领导干部的平均年龄大；④平均年龄都是50.7、从某高校的高一学生中采用系统抽样法选出30人测量其身高，数据的茎叶图如图所示(单位：cm)，若高一年级共有600人，估算身高在1.70m以上的有_______人．8、某市为了了解居民家庭网购消费情况，调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均有区间上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，月消费金额在1000元以下的有__________户．9、一所中学共有4 000名学生，为了引导学生树立正确的消费观，需抽样调查学生每天使用零花钱的数量(取整数元)情况，分层抽取容量为300的样本，作出频率分布直方图如图所示，请估计在全校所有学生中，一天使用零花钱在6元～14元的学生大约有________人．10、某人连续五周内收到的包裹数分别为3，2，5，1，4，则这5个数据的标准差为________.11、下列四个命题①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②从含有2008个个体的总体中抽取一个容量为100的样本,现采用系统抽样方法应先剔除8人,则每个个体被抽到的概率均为；③从总体中抽取的样本数据共有m个a，n个b，p个c，则总体的平均数的估计值为；④某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497--512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组00l～016中随机抽到的学生编号是007．其中真命题的个数是_____个12、某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示，则估计该校高三学生中数学成绩在之间的人数为__________．13、某植树小组测量了一批新采购的树苗的高度，所得数据如茎叶图所示（单位:),则这批树苗高度的中位数为__________．14、某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为___.15、若1,2,3,4，这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为__________．16、某学院的三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的专业有380名学生，专业有420名学生，则在该学院的专业应抽取____________名学生．17、在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，则该35名运动员成绩的中位数为__________．18、为了解学生答卷情况，某市教育部门在高三某次测试后抽取了名同学的试卷进行调查，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图)，该样本的中位数是__________．19、已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是____．20、气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃.”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2.则肯定进入夏季的地区有____个.21、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为，，，，则这四个社区驾驶员的总人数为．22、已知一组数据的方差是S，那么另一组数据的方差是。
高考数学专题复习：用样本估计总体
高考数学专题复习：用样本估计总体一、单选题1．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部不小于13秒且小于19秒，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y的值分别是（）A．90%，35 B．90%，45C．10%，35 D．10%，452．某同学郑一粒均匀的骰子5次，记录每次骰子出现的点数，若其中至少出现了1次点数6，则这组数据不可能得出的统计结果是（）A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为3 D．中位数为3，方差为2.83．某中学有10个学生社团，每个社团的人数分别是70，60，60，50，60，40，40，30，30，10，则这组数据的平均数，众数，中位数的和为（）A．165 B．160 C．150 D．1704．四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据下面四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为2，方差为2.4 B．中位数为3，众数为2C．平均数为3，中位数为2 D．中位数为3，方差为2.85．某市2020年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下，则这组数据的中位数是（）A ．21B ．22C ．22.5D ．236．为了从甲､乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲､乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲､乙两人的平均成绩分别是 ,x x 甲乙，则下列说法正确的是（ ）A ． x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B ． x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C ． x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ． x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛7．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则（ ）A ．242,x s ==B ．24,2x s =>C ．24,2x s =<D ．24,2x s ><8．某校高一年级一名学生七次月考数学成绩(满分100分)分别为78,82,84,84,86,89,96，则这名学生七次月考数学成绩的第80百分位数为（ ） A ．82B ．84C ．89D ．969．某校高一甲、乙两个班分别有男生24名、15名，现用比例分配的分层随机抽样方法从两班男生中抽取样本量为13的样本，对两个班男生的平均身高进行评估．已知甲班、乙班男生身高的样本平均数分别为175cm 、177.6cm ，以所抽取样本的平均身高作为两个班男生的平均身高，则两个班男生的平均身高为（ ）A ．176cmB ．176.3cmC ．176.6cmD ．176.9cm10．设一组样本数据12,,n x x x 的平均值为2，则数据1229,29,,29n x x x ++⋅⋅⋅+的平均值为（ ） A ．11B ．12C ．13D ．1411．某同学掷骰子4次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为12的统计结果，则下列点数中一定不出现的是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．512．某单位共有A 、B 、C 三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁，又已知A 和B 两部门人员平均年龄为30岁，B 和C 两部门人员平均年龄为34岁，则该单位全体人员的平均年龄为（ ） A ．34岁 B ．35岁C ．36岁D ．37岁二、填空题13．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为________．14．学校进行30秒跳绳测试，某小组8名同学的跳绳个数如下面的茎叶图所示，则该组数据的方差为________.15．某企业生产甲､乙两种产品，现从一批产品中随机抽取两种产品各5件进行检测，检测量结果如下：由于表格被污损，数据a ，b 看不清，统计员只记得甲､乙两种产品检测数据的平均数和方差都相等，则ab =________.16．已知样本数据1x ，2x ，⋯，2020x 的平均数与方差分别是m 和n ，若2(1i i y x i =-+=，2，⋯，2020)，且样本数据的1y ，2y ，⋯，2020y 平均数与方差分别是n 和m ，则222122020x x x ++⋯+=________．三、解答题17．高一年级期末考试成绩各分数段[)0,90，[)90,105，[)105,120，[)120,135，[]135,150的频率分布如下图.（Ⅰ）计算高一年级所有同学成绩的中位数；（Ⅱ）用各分数段的中间值代替各分数段的平均值，并且删去[)0,90，[]135,150两个分数段，试估计高一年级期末考试成绩的平均值；（Ⅲ）若高一年级有1000人，把成绩从低到高编号，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，其中一个个体的编号为63，请写出抽样在[)105,120之间的个体的编号.18．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估计总体中成绩落在[)50,60中的学生人数；（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数；19．甲､乙两位同学要参加数学竞赛，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，绘制成茎叶图如下(单位：分)．（1）分别写出甲､乙两位同学6次预赛成绩的众数､中位数；（2）计算甲､乙两位同学6次预赛成绩的平均数与方差，并判断谁的成绩更稳定．20．现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的数据，根据这些数据，以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图所示.（1）确定直方图中x 的值，并求月平均用电量的众数和中位数；（2）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240内的用户中应抽取多少户？21．下表为30位学生参加语文竞赛的成绩，并由小到大排列．（1）求第一、二、三四分位数；（2）求第10百分位数；（3）求第95百分位数．22．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中x的值；（2）①求在这些用户中，用电量在区间[100，250）内的居民数；②如果按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调查，那么用电量在[150，200）内的居民数应抽取多少？参考答案1．A 【分析】频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率．建立相应的关系式，即可求得． 【详解】解：从频率分布直方图上可以看出1(0.060.04)0.9x =-+=，50(0.360.34)35y =⨯+=，故选：A ． 2．C 【分析】对于选项ABD ，举出满足条件且出现点数为6的例子，对于选项C ，由于至少出现一个点数6，结合平均数为2，计算方差即可判断作答. 【详解】对于A ，中位数为2的5个点数是1，1，2，5，6，平均数为1125635++++=，选项A 可能出现；对于B ，中位数为3，众数为2的5个点数是2，2，3，4，6或2，2，3，5，6均符合要求，即选项B 可能出现；对于C ，因平均数为2，且至少出现了1次点数6，则方差221(62) 3.25s >-=，即方差不可能为3，选项C 不可能出现；对于D ，中位数为3的5个点数是1，2，3，3，6，平均数为1233635++++=，方差2222221[(13)(23)(33)(33)(63)] 2.85s =-+-+-+-+-=，选项D 可能出现.故选：C 3．C 【分析】将数字从小到大（或从大到小）排列，得到众数和中位数，再算出平均数，即可得到答案. 【详解】人数分别是10,30,30,40,40,50,60,60,60,70，则众数为60，中位数为4050452+=，平均数为103030404050606060704510+++++++++=，∴平均数，众数，中位数的和为：60+45+45=150. 故选：C. 4．A 【分析】选项A ，利用反证法说明一定含6，选项BCD 中依次举例说明可能含有6即可. 【详解】对于A ，若平均数为2，且出现点数6，则方差221(62) 3.2 2.45S >-=>，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以A 可以判断；对于B ，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B 不能判断；对于C ，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以C 不能判断；对于D ，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，则平均数为1(12336)35x =++++=，方差为2222221[(13)(23)(33)(33)(63)] 2.85S =-+-+-+-+-=，所以可以出现点6，所以D 不能判断. 故选：A. 5．B 【分析】由茎叶图得到数据最中间的两个数是21和23，即得解. 【详解】由茎叶图可知，数据最中间的两个数是21和23， 所以数据的中位数为21+23=222. 故选：B 6．D 【分析】根据茎叶图中的数据计算平均数得的平均数是82，乙的平均数是87，再根据茎叶图分析甲与乙的稳定性即可得答案. 【详解】由茎叶图可知，甲的平均数是727879858692826+++++=，乙的平均数是788687879193876+++++=，所以乙的平均数大于甲的平均数，即 x x <甲乙， 从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛. 故选:D. 7．C 【分析】由已知条件，根据平均数和方差的计算公式进行求解即可. 【详解】 根据题意有47448x ⨯+==， 而()22724428s ⨯+-=<.故选：C. 8．C 【分析】利用百分位数的定义分析求解即可． 【详解】解：因为780% 5.6⨯=,所以这名学生七次月考数学成绩的第80百分位数为89． 故选：C. 9．A 【分析】由题知13个的样本中，甲班男生有8人，乙班男生有5人，进而得两个班男生的平均身高为()11758177.6517613⨯+⨯=. 【详解】解:根据题意，抽出来的13个的样本中，甲班男生有241382415⨯=+人，乙班男生有151352415⨯=+人，所以根据题意得两个班男生的平均身高为()11758177.6517613⨯+⨯= 故选：A 10．C 【分析】利用平均数公式求解即可. 【详解】 因为122nx x x n+++=，所以12292929n x x x n++++++，()122913n x x x n+++=+=，故选：C. 11．D 【分析】利用方差的公式检验四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】当有一个数是5，则()25291442-=>，所以5一定不出现；当有一个数是3时，()23211442-=<，所以3可能出现； 当有一个数是2时，()2221042-=<，所以2可能出现； 当有一个数是1时，()21211442-=<，所以1可能出现；故选：D. 12．B 【分析】设A 、B 、C 三个部门的人数分别为,,a b c ，根据已知条件列出方程组可求出34a b =，54c b =，然后再根据平均数的计算公式，即可求出该单位全体人员的平均年龄.【详解】设A 、B 、C 三个部门的人数分别为,,a b c ，由题意得382430244234a b a b b c b c+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，所以3454a b c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以该单位全体人员的平均年龄为3538244238244244353544b b b a bc a b c b b b ⨯++⨯++==++++. 故选：B13．4.5【分析】将数据按从小到大的顺序排列，第8和第9个数的平均数即可.【详解】一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1按从小到大的顺序排列，可得1,2,2,2,3,3,3,4,5,6，共10个，由1080%8⨯=，所以该组数据的80%分位数为45 4.52+=， 故答案为：4.5.14．17.5【分析】先求出该组数据的平均数，再由方差公式即可求出.【详解】 由图可知，该组数据的平均数为4144454750515254488+++++++=， 所以方差为()()()()2222222217431234617.58⎡⎤⨯-+-+-+-++++=⎣⎦. 故答案为：17.5.15．72【分析】求出均值可得17a b +=，再由方差相等可得()()22881a b -+-=，解方程组即可求解.【详解】77+7.5+9+9.56+8.5+8.5+=8=55a x xb ++==甲乙，可得17a b += ①， ()()()()()22222878787.58989.5 5.5D =-+-+-+-+-=甲 ，则()()()()()2222286888.588.58 5.5D a b =-+-+-+-+-=乙，可得()()22881a b -+-= ②， 由①②可得89,98a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，所以72ab = ， 故答案为：72 .16．4040【分析】由样本数据的平均数、方差的性质列方程组求出1m =，1n =，从而2221220201[(1)(1)(1)]12020x x x -+-+⋅⋅⋅+-=，由此能求出222122020x x x ++⋯+的值． 【详解】由题意得：2m n m n -+=⎧⎨=⎩， 解得1m =，1n =， ∴2221220201[(1)(1)(1)]12020x x x -+-+⋅⋅⋅+-=， 22212202012202020202()2020x x x x x x ∴++⋯++-++⋅⋅⋅+=，2221220201220202()220204040x x x x x x ∴++⋯+=++⋅⋅⋅+=⨯=．故答案为：4040．17．（Ⅰ）110分；（Ⅱ）111.5分；（Ⅲ）413，463，513，563，613，663.【分析】（1）根据中位数的概念即可求解；（Ⅱ）结合加权平均数的计算公式即可求出结果；（Ⅲ）由系统抽样中等间隔即可求出结果.【详解】（1）由题图可知[)0,90和[)90,105分数段内的人数占总人数的40%，故中位数在[)105,120分数段内从低到高13处，则中位数为1105151103+⨯=（分）. （Ⅱ）[)90,105，[)105,120，[)120,135三个分数段的中间值分别为97.5，112.5，127.5，人数比为25%:30%:20%5:6:4=，则估计高一年级期末考试成绩的平均值为97.55112.56127.54111.5564⨯+⨯+⨯=++（分）. （Ⅲ）由题图可得[)0,90分数段内有150人，[)90,105分数段内有250人，[)105,120分数段内有300人，则[)105,120分数段内的编号是从401到700，由题意，两个相邻样本的编号差为10005020=，则在分数段[)105,120内抽取的个体的编号为413，463，513，563，613，663. 18．（1）0.005a =；（2）2人；（3）众数为75，中位数为5407. 【分析】（1）由频率和为1可求出a 的值；（2）先求出成绩落在[)50,60的频率，从而可求出频数；（3）由图可知众数在第3组，从而可得众数为7080752+=，由于前2组的频率和小于0.5，前3组的频率和大于0.5，所以中位数在第3组，列方程可求得结果【详解】（1）()23762101a a a a a ++++⨯=，解得0.005a =．（2）由频率分布直方图得成绩落在[)50,60中的频率为2100.1a ⨯=，∴估计总体中成绩落在[)50,60中的学生人数为：200.12⨯=人．（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数为：7080752+=， 由于前2组的频率和10(0.010.015)0.250.5⨯+=<，前3组的频率和10(0.010.0150.035)0.60.5⨯++=>，所以中位数在第3组，设中位数为x ，则()()0.010.015100.035700.5x +⨯+-= 解得5407x =，所以中位数为540719．（1）甲同学6次预赛成绩的众数为82分，中位数为82分，乙同学6次预赛成绩的众数为85分，中位数为81.5分；（2）甲同学预赛的平均成绩82分；乙同学预赛的平均成绩81分，甲同学预赛成绩的方差为313；乙同学预赛成绩的方差为13；甲同学成绩更稳定． 【分析】（1）甲同学的6次预赛成绩分别为：78,79,82,82,83,88;乙同学的6次预赛成绩分别为：76，77，80，83，85，85，进而可得答案；（2）根据茎叶图,计算即可得平均数与方差，再根据数字特征的意义即可得答案.【详解】（1）由茎叶图可知，甲同学的6次预赛成绩分别为：78,79,82,82,83,88;乙同学的6次预赛成绩分别为：76，77，80，83，85，85；所以，甲同学6次预赛成绩的众数为82分，中位数为8282822+=(分)，乙同学6次预赛成绩的众数为85分，中位数为808381.52+=(分) （2）甲同学预赛的平均成绩121223880826x --++++=+=分 乙同学预赛的平均成绩243035580816x --++++=+=分， 甲同学预赛成绩的方差为22222221131(7882)(7982)(8282)(8282)(8382)(8882)63s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 乙同学预赛成绩的方差为222222221(7681)(7781)(8081)(8381)(8581)(8581)136s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 由2221s s >，所以，甲同学成绩更稳定20．（1）0.0075x =，众数为230度，中位数224度；（2）5户.【分析】（1）由频率和为1列方程可求出x 的值，由[)220,240对应的频数最大，可求出众数，由前3组的频率和小于0.5，前4组的频率和大于0.5，所以中位数在第4组，设中位数为t 度，则0.50.45220200.25t -=+⨯； （2）利用分层抽样的比进行求解即可【详解】（1）因为()0.0020.00250.0050.00950.0110.0125201x ++++++⨯=，所以0.0075x =； 由频率分布直方图可知：[)220,240对应的频数最大，所以众数为230度；因为前三组频率之和为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，第四组频率为0.0125200.25⨯=，且0.450.250.70.5+=>，所以中位数在第四组数据中，设中位数为t 度， 所以0.50.45220202240.25t -=+⨯=. （2）因为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的频率之比为()()()()0.012520:0.007520:0.00520:0.0025205:3:2:1⨯⨯⨯⨯=，所以月平均用电量在[)220,240内的用户中应抽取：51155321⨯=+++户， 答：月平均用电量在[)220,240内的用户中应抽取5户.21．（1）第一四分位数为65，第二四分位数为75.5，第三四分位数为85；（2）56.5；（3）99．【分析】（1）由30×25%，30×50%，30×75%分别确定第一、二、三四分位数的位置即可； （2）由30×10%确定第10百分位数的位置； （3）由30×95%确定第95百分位数的位置 【详解】解：（1）30×25%=7.5，取第8项数据，所以第一四分位数为65，30×50%=15，取第15、16项数据的平均数，所以第二四分位数为75762+=75.5；30×75%=22.5，取第23项数据，所以第三四分位数为85．（2）30×10%=3，取第3、4项数据的平均数，所以第10百分位数为55582+=56.5． （3）30×95%=28.5，取第29项数据，所以第95百分位数为99． 22．（1）x ＝0.0044；（2）①70户；②3（户）．【分析】（1）由频率分布直方图，列出方程，能求出直方图中x 的值．（2）①先求出用电量在[100，250)内的频率为0.7，由此能求出在这些用户中，用电量在区间[100，250)内的居民数．②用电量在[150，200)内的户数为30户，由此利用分层抽样的性质能求出用电量在[150，200)内的居民数应该抽取的户数．【详解】（1）由频率分布直方图得：（0.0012+0.0024×2+0.0036+x+0.0060）×50＝1，解得直方图中x＝0.0044．（2）①用电量在[100，250）内的频率为：（0.0036+0.0060+0.0044）×50＝0.7，∴在这些用户中，用电量在区间[100，250）内的居民数为100×0.7＝70户．②用电量在[150，200）内的户数为0.0060×50×100＝30（户），按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调查，用电量在[150，200）内的居民数应该抽取：130310⨯=（户）．。
第02讲 用样本估计总体 (精练)(教师版)
A ．x x <，<s sB ．x x <，s s >,,n x 的平均数为),2,3,,n 的平均数为，了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查，故，根据分层抽样抽样比可知，样本容量为135，故B S 乙，所以甲的数据更稳定，故,,n x 的平均数为nx ++，()1,2,3,,i n =的平均数为n a bx ++-)n x b b b bax n++++++-=·商丘市第一高级中学高一阶段练习）甲、乙、丙、丁四人各掷骰子52，3，4，，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为，众数为5；②中位数为2,,n ），c ．方差 ，原样本数据的平均数nx n++，新样本数据的平均数12nny x x x c nn+++++=+（0c ≠），所以A 错误；，原样本数据的方差())(22211x n s x x x x x n ⎡=⨯--++-⎣(n x ⎡+++⎣(n x x ++-所以B 正确；2，…，n x ，则新样本数据1，2x ，…，分别为最小值和最大值，分别为最小值和最大值，极差为A ．甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数1,2,,6.⨯⎦636⎤x，则171x，则90 175(= 20166.5cm(1)以每组数据的区间中点值为代表，根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个(1)求频率分布表中a，b，c的值，并求过去30天内苹果的日平均销售量（单位：kg）（同组数据用该组区(1)根据频率分布直方图，估计该市20到80岁居民年龄的第80百分位数；100100.01010万人，⨯=万人，0.01818⨯=万人，0.02525100100.03030万人，100.01212⨯⨯=万人，⨯⨯=万人，100.0055⨯”100.4(1)求m的值，并估计此次校内测试分数的平均值x；。
高一数学用样本估计总体试题
高一数学用样本估计总体试题1.为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？（3）通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是______，中位数是_______.【答案】（1）150；（2）88%；（3）115, 121.3【解析】（1）根据从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，用比值做出样本容量．做出的样本容量和第二小组的频率．（2）根据上面做出的样本容量和前两个小长方形所占的比例，用所有的符合条件的样本个数之和，除以样本容量得到概率．（3）在频率分布直方图中最高的小长方形的底边的中点就是这组数据的众数，处在把频率分布直方图所有的小长方形的面积分成两部分的一条垂直与横轴的线对应的横标就是中位数.试题解析：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：又因为第二小组频率=，所以（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为88%；（3）跳绳次数的众数是：115，中位数落在第四小组内，中位数是：121.3.【考点】频率分布直方图.2.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【答案】D【解析】,;,通过茎叶图发现甲的数据相对分散，乙的数据相对集中，因此乙比甲稳定.【考点】两组数据的平均数和认识茎叶图.3.下列说法中，正确的是( )．A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【答案】C【解析】众数是一群数中出现次数最多的，故A中的众数应该是4和5；标准差因为方差的算术平方根，故B错误；频率分布直方图各小长方形的面积应为相应各组的频率，故D错误.故选C 【考点】统计中的基本概念.4.已知样本的平均数是，标准差是，则 __．【答案】【解析】由已知得①，②，把①代入②得。
高一数学必修第二册 2019(A版)_【典型例题】用样本估计总体：频率分布直方图练习
用样本估计总体：频率分布直方图
【例1】（2020·全国高三专题练习）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.
根据上述数据得到样本的频率分布表如表所示.
(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图和频率分布折线图．
【举一反三】
1.（2020·全国高三专题练习）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3
0.35m的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）。
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高一数学用样本估计总体试题1.一个样本的方差是．【答案】5【解析】由样本可得，所以平均数为4；所以样本的方差为.【考点】样本数值特征.2.在一次选拔运动员中，测得7名选手的身高(单位：cm)的茎叶图为：，记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为．【答案】8【解析】由茎叶图可知：7名选手的身高分别为170、173、170+x、178、179、180、181，所以由此可得,所以x=8.【考点】茎叶图.3.在一次选拔运动员中，测得7名选手的身高（单位：cm）的茎叶图为：，记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为．【答案】8【解析】由茎叶图可知：7名选手的身高分别为170、173、170+x、178、179、180、181，所以由此可得,所以x=8.【考点】茎叶图.4.设的平均数是，标准差是，则另一组数的平均数和标准差分别是_________.【答案】，.【解析】另一组数的平均数为：，标准差为：，所以则另一组数的平均数和标准差分别是，.【考点】统计中的期望与方差.5.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．36B．40C．48D．50【答案】C【解析】设报考飞行员的人数为，根据前3个小组的频率之比为，可设前三小组的频率分别为；由题意可知所求频率和为1，即，解得，则，解得.故选C.【考点】频率分布直方图.6.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在[60，70）的汽车大约（）A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆【答案】D【解析】时速在[60，70）的频率为，故汽车大约有辆.【考点】频率分布直方图的应用.7.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输人为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )．A．3.5B．-3C．3D．-0.5【答案】B【解析】数据相差了，平均数相差，故求出的平均数与实际平均数相差.【考点】平均数.8.某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为分.【答案】2【解析】设班级总人数为n人，得3分的是人，得2分的是人，得1分的是人，得0分的是人，故班级平均分.【考点】数据的平均数公式及数据的基本处理能力.9.若样本的频率分布直方图中一共有个小矩形，中间一个小矩形的面积等于其余个小矩形面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数是()A．32B．20C．40D．25【答案】A【解析】设中间一个小矩形的面积为，其余个小矩形的面积之和为，依题意有，求解得到，所以中间一组的频率为，中间一组的频数为，故选A.【考点】频率分布直方图.10.200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在[50，70)的汽车大约有（）.Ａ．60辆 B．80辆Ｃ．70辆Ｄ．140辆【答案】D【解析】需根据直方图中求出各个矩形的面积，即为各组频率，再由总数乘以频率即得各组频数．解：由直方图可知，时速在[50，60]的频率为0.03×10=0.3 时速在[60，70]的频率为0.04×10=0.4 所以时速在[50，70]的汽车大约有200×（0.3+0.4）=140辆．故答案为D．【考点】直方图点评：本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．11.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，.（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数.分数段【答案】（1）．（2）73．（3）10【解析】（1）依题意得，，解得．（2）这100名学生语文成绩的平均分为：（分）．（3）数学成绩在的人数为：，数学成绩在的人数为：，数学成绩在的人数为：，数学成绩在的人数为：．所以数学成绩在之外的人数为：．【考点】本题考查了频率分布直方图的运用点评：注意频率分布直方图中用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率，所以在求频率时，通过已知求出所要区间的面积即可12.为了让学生了解更多“社会法律”知识，某中学举行了一次“社会法律知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；（2）填充频率分布表的空格①②③④并作出频率分布直方图；（3）若成绩在85.5~95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？【答案】(1)016 ；(2) 1 8 2 0.28 3 14 4 0.20；(3)256.【解析】（1）编号为016- -2分（2） 1 8 2 0.28 3 14 4 0.20- 每空1分2分在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人， 1分占样本的比例是， 1分所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人． 1分答：获二等奖的大约有256人． 1分【考点】系统抽样；频率分布表；频率分布直方图。
点评：此题主要考查频率分布直方图。
在频率分布直方图中，小长方形的面积就是这组数据的频率。
此题属于基础题型。
13.林管部门在每年3·1 2植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测。
现从甲乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图。
根据茎叶图，下列描述正确的是A．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】D【解析】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得：甲的均值为 ="(19+20+21+23+25+29+31+32+33+37)" 10 =27乙的均值为 ="(10+10+14+26+27+30+44+46+46+47)" 10 =30S甲2＜S乙2故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选D14.（14分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(Ⅰ)求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至多有人在分数段的概率.【答案】（Ⅰ）分数在内的频率为：，故，（求频率3分，作图3分）（Ⅱ）．【解析】本试题主要是考查而来直方图的运用以及分层抽样问题的求解和古典概型概率的计算的综合运用。
（1）根据面积代表频率可知）分数在内的频率为：，那么可知结论。
（2）由题意，分数段的人数为：人；分分数段的人数为：人；∵在的学生中抽取一个容量为的样本，分析总的试验空间和事件A发生的事件数，然后结合古典概型概率公式得到。
解：（Ⅰ）分数在内的频率为：，故，如图所示：……6分（求频率3分，作图3分）（Ⅱ）由题意，分数段的人数为：人；……8分分数段的人数为：人；……10分∵在的学生中抽取一个容量为的样本，∴分数段抽取2人，分别记为；分数段抽取4人，分别记为；设从样本中任取人，至多有1人在分数段为事件，则基本事件空间包含的基本事件有：、、、、、……、共15种，则事件包含的基本事件有：、、、、、、、、共9种，∴．……14分15.某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示．回答正确回答正确的人数273(Ⅰ) 分别求出的值；(Ⅱ) 从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人? (Ⅲ) 在(Ⅱ)的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【答案】解：(Ⅰ)由频率表中第1组数据可知,第1组总人数为,再结合频率分布直方图可知∴=100×0.020×10×0.9=18,b=100×0.025×10×0.36=9,,(Ⅱ)第2,3,4组中回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为:第2组:人, 第3组:人, 第4组:人．(Ⅲ)设第2组的2人为、,第3组的3人为、、,第4组的1人为,则从6人中抽2人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件,其中第2组至少有1人被抽中的有，，，，，，，，这9个基本事件．∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为【解析】本题考查分层抽样方法、统计基础知识与等可能事件的概率。
注意等可能事件中的基本事件数的准确性。
16.在某中学举行的数学知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩在进行整理后分成5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组。
已知第三小组的频数是15。
（1）求成绩在50—70分的频率是多少；（2）求这三个年级参赛学生的总人数是多少；（3）求成绩在80—100分的学生人数是多少；【答案】（1）0.7（2）100（3）15（人）【解析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积表示频率，求出成绩在50-70分的矩形面积，即为所求；（2）求出第三组的频率，然后根据三个年级参赛学生的总人数=频数频率，可求出所求；（3）先求出成绩在80-100分的频率，然后利用频数=总数×频率可求出成绩在80-100分的学生人数．解：（1）成绩在50—70分的频率为：0.03*10+0.04*10=0.7 …4分(2)第三小组的频率为：0.015*10=0.15这三个年级参赛学生的总人数(总数=频数/频率)为：15/0.15=100(人) …8分（3）成绩在80—100分的频率为：0.01*10+0.005*10=0.15则成绩在80—100分的人数为：100*0.15=15（人）…12分17.（本小题满分14分）对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩较好？谁的各门功课发展较平衡？【答案】甲的平均成绩较好. 乙的各门功课发展较平衡。