高中数学必修二 9 2 用样本估计总体(精讲)(含答案)

9.2 用样本估计总体（精讲）

考法一总体取值规律的估计

【例1】（2021·全国高一课时练习）某市2020年4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):

61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，

77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45，

（1）完成频率分布表；

（2）作出频率分布直方图；

（3）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优；在51~100之间时，空间质量为良；在101~150之间时，空间质量为轻微污染；在151~200之间时，空间质量为轻度污染.

请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.

【答案】（1）频率分布表见解析；（2）频率分布直方图见解析；（3）该市空气质量有待进一步改善.

【解析】（1）频率分布表

（2）频率分布直方图

（3）答对下述两条中的一条即可:

①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的

1 15

；

有26天处于良的水平，占当月天数的13 15

；

处于优或良的天数共有28天，占当月天数的14

15

.说明该市空气质量基本良好.

②轻微污染有2天，占当月天数的

1

15

.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有

15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的17

30

，超过50%.

说明该市空气质量有待进一步改善.

【一隅三反】

1．（2020·全国高一单元测试）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：

用户用水量频数直方图用户用水量扇形统计图

（1）此次抽样调查的样本容量是________；

（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；

（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析，79.2°；（3）4.08万户.

【解析】（1）1010%100

÷=；

（2）用水15～20吨的户数为100－10－36－24－8＝22(户)，

“15～20吨”部分的圆心角的度数为

22 36079.2

100

︒⨯=︒

（3）

102236

6 4.08

100

++

⨯=(万户)

所以该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格．

2．（2020·全国高一单元测试）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

（1）求出表中M，p及图中a的值；

（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数. 【答案】（1）M ＝40，0.075p =，0.125a =；（2）90人. 【解析】（1）由[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，

10

0.25M

=，所以M ＝40. 因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，m ＝3.330.07540

p M =

==. 因为a 是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以25

0.125405

a =

=⨯. （2）因为该校高一学生有360人，分组[10，15）内的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为3600.25⨯=90人.

3．（2021·北京丰台区）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW ·h 至350kW ·h 之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．

（I ）求a 的值；

（Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW ·h 的户数；

（III ）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW ·h ）的建议，并简要说明理由． 【答案】（I ）0.006；（Ⅱ）18；（III ）245.5 kW ·h.

【解析】（1）因为()0.00240.00360.00440.00240.0012501a +++++⨯=，所以0.006a =； （2）根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW ·h ”的频率为()0.00240.0012500.18+⨯=， 所以用电量大于250kW ·h 的户数为：1000.1818⨯=， 故用电量大于250kW ·h 有18户；

（3）因为前三组的频率和为：()0.00240.00360.006500.60.8++⨯=<，

前四组的频率之和为()0.00240.00360.0060.0044500.820.8+++⨯=>， 所以频率为0.8时对应的数据在第四组， 所以第一档用电标准为：0.80.6

20050245.50.22

-+

⨯≈kW ·h.

故第一档用电标准为245.5 kW ·h.

4．（2021·陕西咸阳市）某微商对某种产品每天的销售量（单位：件）进行为期一个月（按30天计算）的数据统计分析，并得出了这种产品该月销售量的频率分布直方图（如图）.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率.

（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；

（Ⅱ）若微商在一天的销售量不低于25件，则上级商企会给微商赠送100元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.

【答案】（Ⅰ）0.02；（Ⅱ）10800元. 【解析】（Ⅰ）由题意可得1

[1(0.010.060.070.04)5]0.025

a =

-+++⨯=． （Ⅱ）根据频率分布直方图知，日销售量不低于25件的天数为： ()0.040.025309+⨯⨯=（天）

， 一个月可获得的礼金数为9100900⨯=（元），

依此可以估计该微商一年内获得的礼金数为9001210800⨯=元. 【点睛】

本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查样本估计总体以及运算求解能力、数形结合思想的应用，是基础题．

考法二 总体百分数的估计

【例2】（2020·天津和平区）已知一组数据为4,5,67,8,8,,

第40百分位数是（ ） A ．8 B ．7

C ．6

D ．5

【答案】C