两数之和乖以两数之差
两数和乘以这两数的差
第13章 整式的乘法§13.3乘法公式1.两数和乘以这两数的差【学习目标】1.理解两数和乘以这两数的差公式推导过程和公式特点.2.会用公式进行相关的运算，理解公式的简单逆用方法.【课前导习】1. 计算：（a ＋b ）（a －b ）＝ =这就是说，两数和与这两数差的积，等于 ．2. （1） （a ＋1）（a －1）= = ；（2） （2a ＋b ）（2a －b ）= = ；（3） （1＋2c ）（1－2c ）= = ；（4） （－2x －y ）（2x －y ）= = ．3.=+-)3)(3(x x ，14x ) )(12(2-=-x4. 102×98=（ +2）×（ －2）= .5. 下列多项式相乘，不能用平方差公式的是（ ）A ．（x-2y ）(2y+x)B ．(x-2y)(-x-2y)C ．(-2y-x)(x+2y)D ．(2y-x)(-x-2y) 6. 式子)221)(221(y x y x --+-的计算结果是 （ ） A 、 22441y x - B 、 22414x y - C 、 22441y x + D 、 22441y x -- 【主动探究】做一做计算： （a ＋b ）（a －b ）．试一试 ＝ － ．先做后说，点评例题例1计算：（1） （a ＋3）（a －3）；（2） （2a ＋3b ）（2a －3b ）；（3） （1＋2c ）（1－2c ）；（4） （－2x －y ）（2x －y ）．例2计算： 1998×２００２．例3街心花园有一块边长为a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米．问改造后的长方形草坪的面积是多少?【当堂训练】1.乘积等于22b a -的式子为 （ ）A 、()()b a b a --B 、()()b a b a ---C 、()()a b b a ---D ))((b a b a +-+2.若，则，61222=+=-y x y x =-y x ，x ＝___ ___，y ＝_________.3. 计算：（1） （2x ＋1/2）（2x －1/2）；（2） （－x ＋2）（－x －2）；（3） （－2x ＋y ）（2x ＋y ）；（4） （y －x ）（－x －y ）．4. 计算：（1） 498×502； （2） 999×1001．5. 用一定长度的篱笆围成一个矩形区域，小明认为围成一个正方形区域时面积最大，而小亮认为不一定．你认为如何?【回学反馈】1. 计算：（1）（x＋2）（x－2）；（2）（m＋n）（m－n）；（3）（－m－n）（－m＋n）；（4）（－m－n）（m＋n）；（5）（－m＋n）（m－n）；2.计算：（1）（5+2x）（-5+2x）；（2）（1.2x-y）（-y－1.2x）；（3）（a+b）（a2+b2）（a-b）；（4）（2x-y）（y+2x）-（2y+x）（2y-x）；。
“两数的和乘以这两数的差”公式说课稿
《两数的和乘以这两数的差》说课稿侯马市第五中学吉星晨一、说教材1、说课内容华师版八年级上册“12.3乘法公式”（第一课时）：两数的和乘以这两数的差2、本课在教材中的地位、作用和意义《两数的和乘以这两数的差》是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，同时也为学习完全平方公式的学习提供了方法。
因此，“两数的和乘以这两数的差”在教学中具有很重要地位.所以，我将教学重点定为：“两数的和乘以这两数的差”的推导和应用．3、本节课的教学目标基于对教材的理解和分析，我在教学中以学生为主体，以学生的学为根本，我把本课的目标定位为：（一）知识目标掌握两数的和乘以这两数的差公式的结构特征，并能灵活运用这一公式解决问题.（二）能力目标经历“两数的和乘以这两数的差”公式的探究过程中，培养观察、猜想、归纳、概括、推理的能力和符号感，感受利用转化、数形结合等数学思想方法解决实际问题的策略.（三）情感目标通过探究“两数的和乘以这两数的差”公式，培养团结协助的意识，增强学生学数学、用数学的兴趣.二、说学生学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会出现符号错误及漏项等问题；另外，数学公式中字母具有高度概括性、广泛应用性，鉴于八年级学生的认知水平，理解上有困难．因此，我们把教学难点定为：理解“两数的和乘以这两数的差”公式的结构特征，灵活应用“两数的和乘以这两数的差”公式．三、说教法、学法课堂是学生学习的主阵地，真正做到把课堂还给学生，因而我采取的的教学模式定为：三先两主动，即让学生先说话、先动手、先总结，让学生主动提问、主动探索。
学习方法：学生积极参与、大胆猜想、合作交流和自主探索.四、说教学过程（一）创设情景，引入新课数学课标强调：“数学来源于实际生活”，为了体现这一思想，我设计了一个实际问题. 这里只提供情境，刺激学生主动提出问题，因为“提出问题”比“解决问题”更重要。
12.3.1两数和乘以这两数的差课件华东师大版八年级数学上册2
2. 下列式子能用平方差公式计算吗?如果能，请写出.
（1）(– 3x + 2)(3x – 2)；
不能
（2）(– x + 2y)(– x – 2y)；
能，原式=（–x）2 –（2y）2=x2 –4y2
（3）(– 3a + 4b)(– 4b – 3a)； （4）(– a + b)(a – b).
能，原式=（–3a）2 –（4b）2=9a2 –16b2
内容
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
平
符号表示
（a+b）（a–b）=a2 – b2
方
差
公
找出相同的项和相反的项，再应用公式
式
相同为a，相反为b
注意事项
a、b可以是单项式或多项式
不符合平方差公式运算条件的乘法，按 乘法法则进行运算
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
4.利用平方差公式计算： （1） ( 5 + 6x ) ( 5 – 6x )；
解：=52 –（6x）2 =25 – 36x2
（3） ( –m + n ) ( –m – n) =（–m）2 – n2 =m2 – n2
（2） ( x – 2y ) ( x + 2y)； =x2 –（2y）2 =x2 – 4y2
5.先化简,再求值：(3 – x)(3 + x) + 2(x + 1)(x – 1)，其中x=2.
解： (3 – x)(3 + x) + 2(x + 1)(x – 1) =9 – x2 + 2(x2 – 1) =9 – x2 + 2x2 – 2 =x2 + 7
13.3 两数和乘以这两数差教学设计
知 识 回 顾
3)、(y+2)(y-2 ) 4)、(a+b)(a-b) 问题 1、以上四道题实际上都是什么运算？(多项式×多项式) 问题 2、你能用语言叙述它们的法则吗？用式子如何表示？ 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一
cm
2
在原有的知识和经验上自 我建构知识。
个多项式的每一项，再把所得的积相加。
条件：⑴二项式×二项式；
⑵两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项。
结论：⑴ 两项的平方差；
⑵ (完全相同项)2－(互为相反项)2
让学生进一步感受公式的
填一填：
结构特点,分清 a、b 的意 义
第３０页练习 第１题
2、请你判断以下的计算是否正确，并说明理由；
做 ⑴、(m＋3n)(m－3n)=m² －3n²
标 3、情感、态度和价值观目标
让学生经历从“一般—>特殊—>一般”的知识发展过程，从中
感受“学数学，用数学”的乐趣，并体会数形结合的数学思想。
请你独立计算下列各题)、(2+a)(2-b)
近发展区出发，为了激活
2)、(x-2)(x+3)
学生原有的知识，让学生
考
根据你所归纳出的规律，你能马上算出下面的答案吗？
经过实践体会乘法公式的
例 1 计算：
简便，感受“学数学，用
（1） （a＋3）（a－3）；（2） （2a＋3b）（2a－3b）； 数学”的乐趣
（3）（1＋2c）（1－2c）；（4）（－2x＋y）（－2x－y）．
k x
让学生清晰地分辨公式特
试一试：下面两题能用两数和乘以这两数的差公式吗?如果能， 征
巩固所学，及时反馈
两数和乘以这两数的差优秀教案
两数和乘以这两数的差（教案）（第一课时）巴中二中冯文［教学内容］：两数和乘以这两数的差［教学目标］1、知识与能力了．解．公式的几何背景，理．解．并掌．握．公式，在此基础上能应．用．公式进行计算。
2、过程与方法在本课的学习中，让学生经历“观察概括——探索验证——应用实践” 的过程，发展学生的归纳概括能力，让学生体会“数形结合”及“从特殊到一般”的数学思想。
3、情感态度与价值观通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学思维品质。
在活动中让学生体验成功，增强自信。
［教学重难点］1、教学重点：公式的验证及应用。
2、教学难点：找出具体问题中哪一部分相当于公式中的a，哪一部分相当于公式中的b。
［教学策略］本节课我将以学生为主体，围绕学生开展教学活动，我主要采用了以下三种教学方法：情．景．教．学．法．，．启．发．式．教．学．法．：以激发学生的求知欲，提高学习兴趣探．究．性．教．学．法． ：给学生一点时间和空间，让学生亲自参与知识的发现过 程，以加深对知识的理解［教 学 准 备 ］1．学具准备：每位同学课前观察教材 P29 的图 13.3.1，然后制作一张卡片， 准备一把剪刀。
（图 1:教材 P29 的图 13.3.1） 2．多媒体辅助教学。
［教 学 课 时］：共 2 课时，授课内容为第一课时［教学过程设计 ］一、创设情景 （约 2 分钟）用视频播放下面的生活场景：小林到商店去买饼干，售货员告诉她：共 4.2 千克，每千克 3.8 元。
正当 售货员还在用计算器计算时， 小林马上说出了共 15.96 元。
售货员很惊奇地问： 你怎么比计算器算的还快呢？小林很得意地告诉她：这是一个秘密。
提问：同学们，你能帮售货员揭开小林快速口算出 4.2×3.8 的秘密吗？ （设计意图：利用生活中的场景，激发学生求知欲，提高学习兴趣 ）二、观察概括 （约 6 分钟）1．师：经过本课的学习，我们就能揭开这一秘密了。
两数和乘以两数差
b
相邻的另一边增加b米，继续租给你，租金 不变，你也没有吃亏，
分析：
2 原来的面积： a ab 后来的面积： a ba b
a
b
ab
后来的面积： a b
2
2
a ba b a
2
b
2
a 2 a 2 b2 张老汉吃亏了
代数法验证
(a+b)(a-b) =
2 解：原式＝ x
注意 1、先把要计算的 式子与公式对照, 2、哪个是 a(相同项) 哪个是 b(相反项).
-
2 (2y)
＝x2
- 4y2
相同项的平方减去相反项的平方
例1
运用平方差公式进行计算：
3 x 23 x 2 （ 1 ）
9x 4
2
x 2 y x 2 y （ 2 ）
=40000-4=39996.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例4 街心花园有一块边长为a米的正 方形草坪，经统一规划后，南北向要 加长2米而东西向要缩短2米，问改造 后的长方形草坪的面积是多少？
解： (a 2)(a 2) 2 a 4（平方米） 2 答：改造后的长方形草坪的面积是 (a 4) 平方米.
归纳小结：
从前，有一个狡猾的地 主，把一块边长为a的正方形土地租给张
老汉种植.第二年，他对张老汉说 ：“我把这块地的一边 减少b米， 你看如何？”张老汉一 听，觉得好像没有吃亏 ，就答应了 .回到 家中，他把这事和邻居 们一讲，大家都说：“ 张老汉，你吃 亏了！”张老汉非常吃 惊 .你知道张老汉吃亏了吗 ？
2 2 a -b
(a+b)(a-b) 2 2 = a -ab+ab-b -ab+ab 2 2 = a -b b
《两数和乘以两数的差》参考课件
(不能) (第一个数不完全一样 ) (不能)
(3) (a+2b)(2b+a); (4) (a−b)(a+b) ;
(不能)
(能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ;
(5) (2x+y)(y−2x). (不能)
都未添括号。
拓展练习
计算(4a−1)(4a−1) 本题是公式的变式训练，以加深对公
式本质特征的理解．
利用加法交换律，
(4a−1)(4a−1)
法一 变成公式标准形式。 = ( −14−a4−a1 ) ( −4a1 +−41a )
=(1)2 −(4a)2 = 1−16a2。
提取两“−”号中的“−”号，
纠错练习
本题对公式的直接运用，以加深对公式本质特征的理解．
指出下列计算中的错误：
(1) (1+2x)(1−2x)=1−2x2
第二数被平方时，未添括号。
(2) (2a2+b2)(2a2−b2)=2a4−b4 第一 数被平方时，未添括号。
(3) (3m+2n)(3m−2n)=3m2−2n2 第一数与第二数被平方时，
例题解析
例1 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n).
第一数a
平方
解: (1) (5+6x)(5−6x)= 52 − (6x)2
第二数b
平方
=25− 36x2 ;
(2) (x+2y) (x−2y)
= x2− ( 2y )2 = x2 −4y2 ; (3) (−m+n)(−m−n )
两数和乘以这两数的差
例1 填一填：
(a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
a
b
1
x
-3
a
a
1
0.3x
1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）(x+2)(x-2)=x2-2 不对
改正：（1）(x+2)(x-2)=x2-4
（2）(-3a-2)(3a-2)=9a2-4 不对
改正方法1：(-3a-2)(3a-2)=-[(3a+2)(3a-2)] =-(9a2-4) =-9a2+4;
改正方法2：(-3a-2)(3a-2)=(-2-3a)(-2+3a) =(-2)2-(3a)2 =4-9a2.
Hale Waihona Puke 观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算：
a
几
abb
何
解
(a-b)(a+b)
释
=
a2 － b2
(a+b)(a－b)
a2
b2
平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b) = a2 - b2
合理加括号
相反为b 注：这里的两数可以是两个单项式,也可以是两个多项式等,．
练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)= __b_2-_a_2____. (2)(a-b)(b+a)= __a_2_-b_2_____. (3)(-a-b)(-a+b)= _a_2_-b_2____. (4)(a-b)(-a-b)= _b_2_-a_2_____.
两数和乘以两数差
=4000000-4 =3999996
例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统 一规 划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，
问改造后的长方形草坪的面积是多少？
解 (a 2)(a 2) a2 4
答 :改造后的长方形草坪的 面积是(a 2 4)平方米
例题：
(4a1)(4a1)． (用两种方法) 加深对公式本质特征的理
利用加法交换律， 法一 变成公式标准形式。
解．
(4a−1)(4a−1) =((−14a−−41a)) ((4−a1 −+14a)) =(1)2 −(4a)2 = 1−16a2。
提取两“−”号中的“−” 法二号，
变成公式标准形式。
(4a−1)(4a−1) = (4a+1)(4a−1)
(1) (t+s)(t-s)=_t_2_-_s2
(2) (1+n)(1-n)=_1_2_-_n_2 (3) (10+5)(10-5)=_1__0_2_-_52
2、双基诊断： (3m+2n)(3m-2n)=3m2-2n2 （ × ）
3 计算 (3a2-7)(-3a2-7)． 解：原式=(-7+3a2)(-7-3a2)
（2）公式中的a和b可以是具体数， 也可以是单项式或多项式。
注：必须符合平方差公式特征的代数式才能用 平方差公式!!
抢答：试一试
判断下列式子是否可用平方差公式。
(1)（-a+b)(a+Байду номын сангаас) （是）
(2) (-2a+b)(-2a-b) （是）
(3) (-a+b)(a-b)
（否）
(4) (a+b)(a-c)
两数和乘以这两数差---教学案
2
2.若 x -y =100，x+y= -25，则 x-y 的值是（ A.5 B. 4 C. -4 D. 以上都不对
3.计算： （1）(3m+4)(4-3m)
（2）1.02×0.98
（3）(2y-1)(4y +1)(2y+1)
2
【能力提高】
已知 a -b =8，a+b=4，求 a、b 的值
2 2
板书 设计 教（2） (1 3 y)(1 3 y) （4）1998 2002
（3） (2a 3b)(2a 3b)
【当堂检测】
1、计算(x-y)(-y-x)的结果是（ A.-x +y
2 2 2 2
） C. x -y
2 2
B. -x -y
2
2
D. x +y ）
2
仔细观察上面的四个小题题目形式和结果，它们在结构上有什么 特点？你能用字母表示数的办法表示出来吗？ 结果： ( a b)( a b) a
2
b2
概括：两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方差. 运算条件：两数和与这两数的差的积的形式； 运算方法：这两数的平方差（就是用前一个数的平方减去后 一个数的平方，这里的“数”是指看作一个整体的代数式） 例题讲解 例 1 计算 （1） (a
双语学校初中部 八 年级 数学 总第 13 课时
课 题
学科教案
时间 9.13
两数和 与两数 差
知识 与技能
主备人
任智强
参备人
郭栋 梁磊
1．使学生掌握两数和乘以这两数的差的公式结构，并能正确地运用 2、 使学生从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以这两数的差这一乘 法公式，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又用于整式的乘法的辩证 思想，即体会认识事物的方法：一般---特殊---一般. 3、通过两数和乘以这两数的差这一公式学习进一步加深对字母表示数、整 体思想的认识，并增强结构意识.
两数和乘以这两数的差教案
课题
§13.3 两数和乘以这两数的差
分析 备注
教师
姜时晶
本 节 课 先 用 多 项 式 的 乘 法 法 则 推 导 出 两 数 和 乘 以 它 们 的 差 的 公式。 由 学 生 从 中 得 出 结 论，和 同 学 交 流 自 己 的 想 法，老 师 指 名 学 生 说 说 自 己 的 思 考 过 程 和 得 出 的
计算： 4a-3)(4a例 1．计算：(-4a-3)(4a-3) 计算
简算： 例 2 简算：1998×2002 ×
课题
§13.3 两数和乘以这Hale Waihona Puke 数的差分析 备注教师
姜时晶
规律。 运 算 米的正方形草地，经统一规划后， 例 3 街心花园有一块边长为 a 米的正方形草地，经统一规划后，南北 时，先 问改造后的长方形草地的面积是多少？ 向加长 2 米， 而东西向要缩短 2 米， 问改造后的长方形草地的面积是多少？ 让 学 生 观 四、随堂练习； 察 题 P82 1、2、3 目，看 五、课堂小结： 出 这 六、作业： 么 题 Ｐ33—1 甲本 目 的 1、完全平方公式与平方差公式有何各自的特点； 异 同 2、熟练平方差公式。 点。
两数和乘以这两数的差
首先，将两数和与这两数的差分别表示为 $(A+B)$ 和 $(A-B)$。
然后，将这两个表达式相乘，得到 $(A+B) \times (A-B)$。
最后，通过分配律展开，得到 $A^2-B^2$。
算式的表示方法
03
ห้องสมุดไป่ตู้
算法的描述
两个实数 $a$ 和 $b$。
算法的输入
一个实数，即 $(a+b)(a-b)$。
希望实现对所有数据类型的自动分类和优化，以扩大算法的应用范围和提高其适应性。
01
03
02
谢谢您的观看
THANKS
时间复杂度不随输入数据规模的增长而增长，因此算法具有很高的效率。
时间复杂度
算法的空间复杂度也为O(1)，因为算法不需要额外的存储空间，只使用了固定数量的变量来存储两个数。
空间复杂度与输入数据规模无关，因此算法具有较低的空间占用。
空间复杂度
可以考虑优化算法的实现方式，减少计算机资源的消耗。
可以使用更高效的算法来实现相同的功能，提高算法的执行速度和效率。
算法的
算法的实现过程
2. 然后计算 $s$ 和 $b$ 的差，记为 $d$。
3. 最后计算 $d$ 和 $a$ 的乘积，即 $(s-b)\times a$，记为 $result$。
1. 首先计算 $a$ 和 $b$ 的和，记为 $s$。
04
算法的复杂度分析
VS
算法的时间复杂度为O(1)，因为算法只涉及两个数相乘，与输入数据规模无关。
xx年xx月xx日
两数和乘以这两数的差
contents
目录
引言符号约定与定义算法的描述算法的复杂度分析程序实现与测试结论与总结
两数和乘以这两个数差
两数和乘以这两个数差一、教学目标：1、知识目标：学生通过本节课的探讨与学习，能够理解和掌握“两数和乘以它们的差”的、乘法公式，并会运用公式进行整式乘法的运算。
2、能力目标：通过引导学生探求“两数和乘以他们的差”的乘法公式，使学生明白数形结合的思想，培养学生独立思考，归纳总结能力及积极探索问题的能力。
3、情感目标：通过本节课的探讨与学习，让学生体验解决问题的快乐，获得成就感，激发学习数学的兴趣。
二、教学的重点和难点：1、教学难点：学生理解和掌握“两数和乘以它们的差”的乘法公式，能熟练运用公式。
2、教学难点：学生探求“两数和乘以他们差”的乘法公式，病运用公式进行计算。
三、教学过程：1、情趣引入：从前有一个狡猾的地主，他把一块长为x米的正方形土地租给老张种植。
有一天，他对老张说：“我把这块地的一边减少5米，另外一边增加5米，继续租给你、你也没有吃亏，你看怎么如何？老张一听，觉得没有吃亏，就答应了。
<同学们，运用我上节课所学的多项式与多项式的乘法进行检验，等号成立？>同学们回答：不成立，应该是（x+5）(x-5)=x2-25,从这里可以看出来，老张他吃亏了，被狡猾的地主欺骗了）<同学们，你们在解决老张的问题花了不少时间吧，今天我们学习的两数和与这两数差的乘法公式，可以马上判断老张是否吃亏了，为你节省劳动。
不过，学习之前，请用所学的知识计算下列各题。
请同学们回答结果>(1)(x+2）(x-2)=x2-4(2)(a+b)(a-b)=a2-b2(3)(1+c)(1-c)=1-c2<请同学继续思考：等式左边的两个多项式与等式左边的多项式有什么规律？你能用一句话概括出这个规律？>通过总结同学们回答：等式的左边是两个多项式相乘，有两项相等，两项互为相反数。
等式的右边是左边相同项的平方减去相反项的平方。
<我们用一般的式子来表示发现的规律：（a+b）(a-b)=a2-b21运用多项式与多项式的乘法在黑板上和同学一起验证：（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b22提问：同学们，你能用手中的图形用几何的方法验证这个公式吗？>[同学活动]：让同学动手，动脑思考，用拼图的方法来验证这个公式。
两数和乘以这两数的差
两数和乘以这两数的差设两个数分别为a和b，根据平方差公式可以将它们的和和差表示为：(a+b)(a-b)我们来详细推导一下这个公式。
首先，将(a+b)(a-b)展开，得到：(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)接下来，使用分配律将每一项展开，得到：(a+b)(a-b)=a(a)+a(-b)+b(a)+b(-b)继续简化表达式，得到：(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2因为乘法满足交换律，所以可以将ab和ba合并为2ab，得到最终的表达式：(a + b)(a - b) = a^2 - 2ab - b^2现在我们来说明一下为什么这个公式成立。
首先，我们先展开(a + b)(a - b)得到的表达式a^2 - ab + ba -b^2、观察该表达式，我们可以发现其中有两项是相同的，即-ab和ba，这两项可以合并为-2ab。
那么这个公式有什么应用呢？一个非常常见的应用就是在解方程的时候。
例如，我们要解方程x^2-7x+10=0。
我们可以将方程写成(x-5)(x-2)=0的形式，然后根据零乘积法则，我们得出x-5=0或者x-2=0。
因此，解方程的解为x=5或者x=2另外一个应用是在因式分解中。
当我们需要对一个二次多项式进行因式分解时，可以使用平方差公式来分解。
例如，我们要因式分解x^2-4x+4、根据平方差公式，我们可以将该二次多项式分解为(x-2)(x-2)。
因此，它的因式分解形式为(x-2)^2此外，平方差公式还可以用于简化一些数学表达式。
例如，考虑表达式(1+√2)(1-√2)。
根据平方差公式，我们可以将该表达式简化为1^2-2=-1、所以，(1+√2)(1-√2)=-1综上所述，平方差公式是一个非常有用的数学工具，可以在解方程、因式分解和简化数学表达式等方面发挥作用。
两数和乘以这两数的差知识点
两数和乘以这两数的差知识点
1. 嘿，两数和乘以这两数的差，那可是个超有用的知识点哦！比如说，(3+2)×(3-2)，算一下，不就能快速得出结果嘛！这么好用的方法，咱可得
好好掌握呀！
2. 哇塞，你想想看，要是知道了两数和乘以这两数的差，像(5+3)×(5-
3)这种，不就一下子能求出答案啦？这多有意思呀，难道不是吗？
3. 哎呀呀，两数和乘以这两数的差真的太重要啦！就像(4+1)×(4-1)，用起来多方便呀，这简直是数学里的秘密武器呀！
4. 嘿，懂了两数和乘以这两数的差，那做一些题目不就轻而易举啦！比如算(6+2)×(6-2)，是不是感觉特别棒呀？
5. 哇哦，两数和乘以这两数的差真的绝了呀！你看(7+3)×(7-3)，用这个知识点算起来多轻松愉快呀！
6. 哈哈，了解了两数和乘以这两数的差，就像打开了数学宝藏的大门！试试算(8+1)×(8-1)，是不是超级好用呢？
7. 哟呵，两数和乘以这两数的差的用处可大了去啦！瞧瞧(9+2)×(9-2)，一下子就能得出答案，太神奇了吧！
8. 哎呀，两数和乘以这两数的差可别小看呀！像(10+3)×(10-3)，会用这个知识点能省不少事儿呢！
9. 总之呢，两数和乘以这两数的差在数学里那是相当重要呀，学会了就赶紧用起来吧！
观点结论：两数和乘以这两数的差是一个很实用的数学知识点，能帮助我们快速准确地解决很多数学问题，要好好掌握和运用呀！。
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2+b2) (4) ( a+b )( a-b )( a (3) (-x+3y)(-x-3y) 解: (1) (2x+y)(2x-y) = (2x)2-(y)2 = 4x2-y2 将2x看作公 式中的a,将y 看作b (a +b) (a -b)= a2 - b2
(2)
1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ( x y )( x y ) ( x) ( y ) x y 2 3 2 3 2 3 4 9
一、复习引入、温故知新
• 温故: 多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式 的每一项乘以另一个多项式的每一项，再 把所得的积相加。 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
an bn
n m
am
a
bm b
思考1:计算下列各题, 并观察下列乘式与结 果的特征: • 引入: (1) (y+2)(y-2)= y2-22 (2) (3-a)(3+a)= 32-a2 (3) (2a+b)(2a-b)= (2a)2-b2
(◎＋□) 直观模式：
公 式：
(◎－□) = ◎ －□
2
2
2
2
a ba b a
b
2
2
应用示例：
3m 2n3m 2n 3m 2n
9m 4n
2
2
2 2 (a+b)(a−b)=a −b
2、用图形的面积关系来说明平方差公式 A a Ⅰ aB b H b I J Eb D Ⅱ F G
根据多项式的乘法法则： (a+b)(a-b) =a2-ab+ab-b2 = a2-b2
2 2 (a+b)(a−b)=a −b
• 理解平方差公式的内涵
１、公式的结构特征 符号相同的数 符号相同的数的平方
a b a b a
符号相反的数
2
b
2
符号相反的数的平方
2 2 (a+b)(a−b)=a −b
(a +b)(a - b)=
a2 -
b2
将x/2 看作a, 将y/3 看作b
三、启发诱导,初步运用
例题1 计算: (1) (2x+y)(2x-y); (3) (-x+3y)(-x-3y) (2)
1 1 1 1 ( x y )( x y ) 2 3 2 3
(4) (a+b)(a-b)(a2+b2) 将(-x)看作a (3y)看作b
意图: 学生在具体计算时比较容易出现这个错误,因此 有必要提醒学生避免计算错误.
三、启发诱导,初步运用
例题2 利用平方差公式计算:
(1) 102×98 解: (1) 102×98 = பைடு நூலகம்100+2)(100-2) = 1002-22 = 10000-4 = 9996 (2) 30.2×29.8 = (30+0.2)(30-0.2) = 302-0.22 = 900-0.04 = 899.96 (2) 30.2×29.8 利用平方差公式计算 两个有理数的乘积时, 最关键的是将其写成 平方差公式的形式
五、拓展练习、深化提高
课堂练习2: 下列两个多项式相乘,哪些可用平方差 公式?哪些不能? (1) (2m-3n)(3n-2m); (3) (4a1)(4a1) (2) (-5xy+4z)(-4y-5xz) (4) (x+y+z)(x+y-z)
意图: 本题是公式的变式训练,可以让学生注意到 可以结合学过的运算法则将式子变形来应用公式,进 一步加深对公式的本质特征的理解.
(1) 公式左边两个二项式必须是 相同两数的和与差相乘； 且左边两括号内的第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)];
特征 结构
(2) 公式右边是这两个数的平方差； 即右边是左边括号内的第一项的平方 减去第二项的平方. (3) 公式中的 a和b 可以代表数， 也可以是代数式(单项式或多项式 或其它的式子).
用自己的语 言叙述你的 发现的规律
比较等号左右两边： 左边：同两个数的和与差的积 右边：这两个数的平方差 结论：两个数的和与这两个数的差的乘积等于 这两个数的平方差。
二、推导公式、揭示内涵
• 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积 等于这两个数的平方差，即
(a+b)(a−b)= a2−b2. 你能想办法推导出这个公式吗？
2-b2 a 表示正方形AEGH与正 C 方形BHIJ的面积的差,也等于Ⅰ 与Ⅱ的和.
(a+b)(a-b)表示长方形ABCD的 面积,等于Ⅰ与Ⅱ的和.
Ⅱ
∴ (a+b)(a-b)=a2-b2
三、启发诱导,初步运用
例题1 计算: (1) (2x+y)(2x-y); (2)
1 1 1 1 ( x y )( x y ) 2 3 2 3
四、尝试练习,反馈矫正
课堂练习1: 计算: (1) (2x+5)(2x-5); (2) (1-2a)(1+2a); (3) (a/3+b/2)(a/3-b/2); (5) 103×97 (6) 50.2×49.8
运用平方差公式时，要紧 扣公式的特征，找出相等的 (4) (x2/2+1/3)(x2/2-1/3). “项”和符号相反的“项”， 然后 应用公式． 意图: 学生接受知识需要一个循序渐进的过程,所以 在例题之后安排的练习比较基础,通过让学生自己练 习,加深学生对公式的结构特征的理解.
(3) (4a1)(4a1)
解: 方法一: (位置变化) 法一 利用加法交换律， 原式= (-1-4a)(-1+4a) 变成公式标准形式。 = (-1)2 – (4a)2 = 1- 16a2 方法二: (符号变化) 原式= -(4a+1)(4a-1) 法二 提取两“−”号中的“−” = -[(4a)2-12] 号， = -(16a2-1) 变成公式标准形式。 = 1- 16a2 计算时千万别忘了 你提出的“”号、添括号；
解: (3) (-x+3y)(-x-3y)=(-x)2-(3y)2=x2-9y2
(4) (a+b)(a-b)(a2+b2) = (a2-b2)(a2+b2) = (a2)2-(b2)2 = a4-b4
将a2看作公式 中的a,将b2看作 公式中的b
(a+b)(a−b)=a2−b2
注意: 当公式中的a与b 表示的是 负数、分数、数字与字母的 积、字母与字母的积、多项 式等时, 在求它们的平方时先 应该添上括号.