八年级轴对称与垂直平分线
2.4线段、角的轴对称性(第2课时线段垂直平分线的判定)(教学课件)-八年级数学上册(苏科版)
正方形， A ， B 是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张5×5的
方格纸中，找出格点 C ，使△ ABC 为等腰三角形，则满足条件的格点 C
有(
C )
A. 3个
B. 5个
C. 6个
D. 8个
分层练习-基础
4. 如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上，如果 DB ＝ DA ，那么点 D 在线
两个工厂到货场C的距离相等，试在下图中作出点C.
解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C.
如下图, 点C即为所求.
B
A
a
概念归纳
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线用虚线，
所要画的线用实线，同时要注意保留作图痕迹.
随堂练
1.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．
＝，
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF的
垂直平分线.
注意：不可以只证明一个点
在直线上，就说过该点的直
线是线段的垂直平分线.
概念归纳
特别提醒
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以
利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：
(1)分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为
半径画弧，两弧相交于点C、D；
(2)过C、D两点作直线，
直线CD就是线段AB的垂直平分线，如右图所示
概念归纳
易错警示
作线段AB的垂直平分线时，必须以大于
AB的长为半径画弧，否则所画的弧就不能相
人教版八年级数学上册 第十三章轴对称 线段的垂直平分线的性质 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定
16．如图，已知在△ABC 中，BC 边的垂直平分线 DE 与∠BAC 的平分线交 于点 E，EF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，EG⊥AC 交 AC 于点 G.求证：
(1)BF＝CG； (2)AF＝21 (AB＋AC).
证明：(1)连接 BE，CE.∵AE 平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG.∵DE
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC边的垂直平分线MN经过点A，求 证：点A在CD的垂直平分线上.
证 明 ： 连 接 AC.∵MN 垂 直 平 分 BC ， MN 经 过 点 A ， ∴ AB ＝ AC.∵AB ＝ AD ， ∴AC＝AD.∴点A在CD的垂直平分线上
8．如图，已知钝角三角形ABC，其中∠A是钝角，求作AC边上的高BH.
A．30 cm B．16 cm C．28 cm D．以上都不对
3．(2020·枣庄)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E， 连接AE.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为( ) B
A．8 B．11 C．16 D．17
4．如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大 小关系是( B )
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC 的垂线分别与AD，BC相交于点E，F，连接AF.求证：AE＝ AF.
解 ： ∵ AD∥BC ， ∴ ∠ EAO ＝ ∠ FCO ， 又 ∵ OA ＝ OC ， ∠ AOE ＝ ∠ COF ， ∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF，∵EF⊥AC，∴AC垂直平分EF，∴AE＝ AF
14．如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E， △ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．
轴对称(第3课时)线段的垂直平分线
数学题目中的轴对称与线段垂直平分线应用
几何证明题
在几何证明题中，常常需 要利用轴对称和线段垂直 平分线的性质进行证明。
最短路径问题
在几何中最短路径问题中， 常常需要利用线段垂直平 分线的性质来确定最短路 径。
面积计算
在计算几何图形的面积时， 常常需要利用轴对称和线 段垂直平分线的性质来简 化计算。
在解决几何问题时，可以利用轴对称的性质和线段垂直平分线的性质来 找到对称点或证明线段相等。
在实际生活中，轴对称和线段垂直平分线的性质也有广泛的应用，例如 在建筑、艺术和工程等领域中，可以利用这些性质来设计对称的图案或 结构，以实现美观或功能性的要求。
PART 04
轴对称(第3课时)线段的 垂直平分线的应用实例
REPORTING
WENKU DESIGN
几何图形中的轴对称与线段垂直平分线
三角形中的垂直平分线
在等腰三角形中，底边的垂直平分线 会通过顶点，并且垂直平分底边。
圆中的垂直平分线
多边形的垂直平分线
多边形的每一边都存在一条垂直平分 线，这些垂直平分线将多边形分成若 干个等面积的部分。
经过圆心的直线都是圆的垂直平分线， 它们将圆分成两个完全相等的部分。
轴对称的定义
01
轴对称是指一个平面图形关于某 条直线对称，使得图形上任意一 点关于这条直线都有对称点在图 形上。
02
常见的轴对称图形有等腰三角形 、矩形、正方形、圆等。
轴对称的性质
01
02
轴对称图形是全等图形， 即它们的形状和大小完 全相同。
轴对称图形的对应边相 等，对应角相等。
03
轴对称图形的对称轴两 侧的对应点连线与对称 轴垂直并平分。
轴对称(第3课时)线段 的垂直平分线
垂直平分线的性质及做法(轴对称的性质)
02 垂直平分线的做法
已知线段和点，求作垂直平分线
第一步
第三步
通过给定点作线段的平行线，与线段 交于两点，分别记为A和B。
连接CD，则CD为线段的垂直平分线。
第二步
分别以A、B为圆心，大于 $frac{AB}{2}$的距离为半径作圆弧， 两圆弧交于两点，分别记为C和D。
已知三角形，求作高线、中线、角平分线
高线
从三角形的一个顶点向对边作垂 线，即为高线。
中线
连接三角形的一边的中点与对角的 顶点，即为中线。
角平分线
通过三角形的一个角的顶点，作对 边的平行线，与对边交于一点，再 从这一点作另一边的垂线，即为角 平分线。
已知垂直平分线，求作线段的中点
01
02
03
第一步
在垂直平分线上任取一点， 记为O。
第二步
轴对称图形是全等图 形，即它们的大小和 形状完全相同。
对称轴两侧的对应点 连线与对称轴垂直并 平分。
对称轴两侧的对应点 到对称轴的距离相等。
轴对称的应用
在几何学中，轴对称是研究图形性质 的重要工具。通过对称轴的性质，可 以推导出许多图形的性质和定理。
在物理学中，许多物理现象也具有轴对称 的性质，例如磁场、电场等。通过对称性 分析，可以更好地理解和研究这些现象。
01
如果一条线上的任意一点到线段 两端的距离相等，那么这条线就 是所求的垂直平分线。
02
如果一条线是线段的中垂线，那 么它也是这条线段的垂直平分线 。
垂直平分线的性质定理
定理
如果一条线是线段的中垂线，那么这 条线也是这条线段的垂直平分线。
应用
在几何问题中，常常需要找到一个线 段的中点或者确定一个点是否在线段 的中垂线上，这时就可以利用垂直平 分线的性质定理来解决。
轴对称线段的垂直平分线
线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合
A
B
M
N
P
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
拓展：
如图所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求△BCN的周长。
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P。 求证：PA=PB次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把 变成一个真正的等式"，很长时间没有人答出，小兰仅仅拿出了一面镜子，就很快解决了这道题目，你知道她是怎样做的吗？
下图是在方格纸上画出的一半，以树干为对称轴画出数的另一半。
M
N
B
C
A
水泵站修在什么地方？
如图所示，水泵站修在 C 点可使所用的水管最短.
如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用的水管最短？
张村
李庄
A
B
A’
C
应用新知
A工厂
如图,在公路L的同侧有两个工厂A 、B,要在路边建一个货场C, 使A、B两厂到货场C的距离之和最小,问点C的位置如何选择?
11.3 角的平分线
O
D
E
A
B
P
C
定理1 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
12.1 线段的垂直平分线
定 理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
P
A
B
C
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。
人教版八年级上册数学第13章 轴对称 画对称轴(作线段的垂直平分线)
3．如图所示的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们 的对称轴．(保留作图痕迹)
解：第1个图形、第4个图形有1条对称轴，第2个图 形有4条对称轴，第3个图形有2条对称轴，图略．
4．请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留 画图痕迹．
(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D， 画出四边形ABCD的对称轴m；
R版八年级上
第十三章轴对称
13．1 轴对称
第3课时 画对称轴 (作线段的垂直平分线)
提示：点击 进入习题
1D
2A 3 见习题
4 见习题
答案显示பைடு நூலகம்
5 见习题
1．已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定 一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是 ()
【点拨】D选项中作的是AB的垂直平分线， ∴PA＝PB，∴PA＋PC＝PB＋PC＝BC，故选D.
【答案】D
2．【中考•河北】如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤用 尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA长为半径画弧①； 步骤2：以B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H. 下列叙述正确的是( ) A．BH垂直平分线段ADB．AC平分∠BAD C．S△ABC＝BC•AHD．AAB＝AD
解：如图①，直 线m即为所求．
(2)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D， 画出BC边的垂直平分线n.
解：如图②，直线n 即为所求．
5．如图所给图形分别为正三角形、正方形、正五边形、 正六边形．
(1)分别说出它们各有几条对称轴； 解：分别有3条、4条、5条、6条对称轴．
(2)分别画出各图形的所有对称轴；
图形的轴对称线段的垂直平分线
线段垂直平分线的性质
垂直平分线上的点 到两端点的距离相 等。
经过两点有且只有 一条直线。
到线段两端点距离 相等的点都在线段 的垂直平分线上。
线段垂直平分线的定理
定理1
垂直平分线上的任意一点到线段两端点的 距离相等。
VS
定理2
如果两个点到线段两端点的距离相等，那 么这两个点关于这条线段的垂直平分线对 称。
将所学的几何学知识应用到实际 生活中，解决实际问题，如建筑 设计、机械设计等。
发展几何学的思考 方式
培养几何学的思维方式，如空间 感知、逻辑推理、结构分析等， 以更好地理解和应用几何学知识 。
感谢您的观看
THANKS
3
求解角度
利用线段垂直平分线，可以求解三角形内角度 的大小，或者证明角平分线的性质定理。
在物理学中的应用
01
02
03
力的平衡
在物理学中，线段垂直平 分线可以用于表示重力的 方向，以及物体在力的作 用下保持平衡的点。
光学路径
在光学中，线段垂直平分 线可以表示光线经过透镜 或其他光学元件后行进的 路径。
轴对称和线段垂直 平分线的应用
在几何学、物理学、工程学等领 域都有广泛的应用。
对未来学习的展望和期待
深入学习轴对称和 线段垂直平分线…
更深入地理解轴对称和线段垂直 平分线的性质和特点，包括在更 高维度的空间中的拓展。
学习更多的几何学 知识
了解更多的几何学概念、定理和 应用，如微分几何、拓扑学等。
理论与实践相结合
05
总结与展望
对轴对称、线段垂直平分线的回顾
轴对称
一个图形如果关于某一直线对称 ，那么它具有轴对称性。这条直 线称为轴对称轴。
轴对称---垂直平分线
(第1题)（第1题）、如图，在△ABCA B CF E D 二、课堂练习与订正（一）、选择：1、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ） A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点； C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。
2、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ） A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定 （二）、填空：1、已知：线段AB 及一点P ，PA=PB ，则点P 在 上。
2、已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC= 。
3、△ABC 中，∠A=500，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于D 则∠DBC 的度数 。
4、如图，△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，则∠B ∠BAE ，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260，则∠EAG= 。
5、如图，△ABC 中，AB=AC=17,BC=16,DE 垂直平分AB ，则△BCD 的周长是 。
第2题 第4题 第5题6、在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线相交于点P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 。
7、在△ABC 中,AB=AC, ∠B=580,AB 的垂直平分线交AC 于N,则∠NBC=8、如图，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D 到边AB 的距离为_____．9、如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 交AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．若S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC ＝（ ）A ．4 B ．3 C ．6 D ．5 10、在Rt 三角形ABC 中，AC=4，BC=3，AB=5，点P 是三角形三个内角平分线的交点，则点P 到AB 的距离PE=_____．11、如图所示，在四边形ABCD 中，∠C=∠D=90°，若∠DAB 的平分线AE 交CD•于E ，连接BE ，且BE 恰好平分∠ABC ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AE ⊥BE B ．CE=DE C ．AD+DE=BE D ．AB=AD+BC （三）、解答：1、有特大城市A 及两个小城市B 、C ，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B 、C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。
人教版八年级上册数学课件 第十三章 轴对称 线段的垂直平分线的性质 第2课时 作轴对称图形的对称轴
4．(4分)(抚州中考)如图，△ABC与△DEF关于直线l对称， 请仅用无 刻度的直尺， 在下面两个图中分别作出直线l.
解： 如图所示
5．(4 分)(教材 P65 习题 T6 变式)如图，在△ABC 中，分别以点 A 和 点 C 为圆心，大于12 AC 的长为半径画弧， 两弧相交于点 M，N，作直 线 MN 分别交 BC，AC 于点 D，E，若△ABC 的周长为 23 cm，△ABD 的周长为 13 cm，则 AE 的长为__5__cm.
6．(9分)如图，A，B，C是三个村庄，现要修建一座变电站P，使变电 站P到三个村庄A，B，C的距离都相等，请用尺规作图作出点P的位置(保 留作图痕迹，不写作法).
解：依题意要使PA＝PB＝PC，则点P既在AB的垂直平分线上，又在 BC的垂直平分线上，故只需做出AB，BC的垂直平分线的交点即为所求 的P点，作图略
人教版
第十三章 轴对称
13．1 轴对称
13．1.2 线段的垂直平分线的性质 第2课时 作轴对称图形的对称轴
1．(8 分)下面是“作线段的垂直平分线”的尺规作图过程．请依据作法
填空并完成作图．
已知：线段 AB(如图①).
求 作作法：：线如段图②AB，的(1垂)分直别平以分_线__．点__A__，_点__B____为圆心，大于__12__A__B__的 长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点；
7．(9分)(教材P66习题T12改)如图，电信部门要修建一座电视信号发射 塔，按照设计要求，发射塔在∠MON内，到两个城镇A，B的距离相等， 且到两条高速公路OM和ON的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？ 请用尺规作图标出它的位置．
部编数学八年级上册专题01轴对称线段的垂直平分线(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）专题01 轴对称、线段的垂直平分线【题型1】轴对称图形的识别1．（2021·贵州黔西·八年级阶段练习）以下四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可．【详解】A ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；B ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；C ．是轴对称图形，故该选项符合题意；D ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查识别轴对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【变式1-1】2．（2021·山东青岛·七年级期中）如图所示，其中与甲成轴对称的图形是___________．【答案】丁【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行判断即可．【详解】解：观察图形可知与甲成轴对称的图形是丁，故答案为：丁．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．【题型2】折叠问题1．（2022·山东烟台·期末）将长方形ABCD 沿AE 折叠，得如图所示的图形，已知72CED ¢Ð=°，则AED Ð为（ ）A ．36°B ．54°C ．62°D ．72°【答案】B 【分析】由折叠可知∠AED =AED ¢Ð，根据平角减去CED ¢Ð可得DED Т，再除以2即可得出答案．【变式2-1】2．（2022·北京市第四十三中学七年级期中）把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后与BC 相交，点D 、C 分别在M 、N 的位置上，若55EFB Ð=°，则1Ð=______．【答案】110°##110度【分析】先利用平行线的性质得55DEF EFB Ð=Ð=°，再根据折叠的性质得FEM DEF Ð=Ð可得AEM Ð，然后利用平行线的性质计算出1Ð即可．【详解】解：Q 四边形ABCD 是长方形，//AD BC \，∴55DEF EFB Ð=Ð=°由折叠的性质得55FEM DEF Ð=Ð=°，∴110MED Ð=°1110MED \Ð=Ð=°．故答案为：110°．【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，平行线的性质有两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【题型3】线段垂直平分线的性质1．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学八年级阶段练习）如图，△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE ＝5cm ，△ABD 的周长为18cm ，则△ABC 的周长为（ ）A．23cm B．28cm C．13cm D．18cm【答案】B【分析】根据垂直平分线的性质得到AD=CD，将△ABC的周长表示成△ABD的周长加上AC长求解．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE=5cm，∴AC=10cm，∵△ABD的周长是18cm，∴AB+BD+AD=18cm，△ABC的周长=AB+BD+CD+AC=AB+BD+AD+AC=18+10=28cm．故选：B．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．【变式3-1】2．（2021·广东·惠州大亚湾区金澳实验学校八年级阶段练习）如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是_____．【答案】15【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝15，故答案为：15．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【题型4】线段垂直平分线的判定1．（2022·黑龙江·哈尔滨市荣智学校七年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，下列结论：①AE=CE；②BD⊥AC；③四边形ABCD的面积AC×BD．其中正确的有（）=12A．0个B．1个C．2个D．3个【变式4-1】2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，联结AO并延长交边BC于点D，如果BD＝6，那么BC的值为__．【答案】12【分析】根据AB＝AC，OB＝OC，可知直线AO是线段BC的垂直平分线，由AO与BC交于点D，BD＝6，从而可以得到BC的长，本题得以解决．【详解】解：∵AB＝AC，OB＝OC，∴点A，点O在线段BC的垂直平分线上，∴直线AO是线段BC的垂直平分线，∵AO与BC交于点D，∴BD＝CD，∵BD＝6，∴BC＝2BD＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的判定定理解答问题．【题型5】作垂线AC的长为1．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A，C为圆心，大于12半径画弧，两弧相交于点E、F，直线EF交BC于点D．连接AD，已知AC=4，△ABD的周长是10，则BC 的长是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】由线段垂直平分线的性质得到AD =CD ，再根据△ABD 的周长为10，推出AC +CD +BD =10，由此即可得到答案．【详解】解：由作图方法可知直线EF 是线段AC 的垂直平分线，∴AD =CD ，∵△ABD 的周长为10，∴AB +AD +BD =10，∵AC =AB ，AD =CD ，∴AC +CD +BD =10，∴CD +BD =10-AC =6，即BC =6，故选B ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．【变式5-1】2．（2022·广东·深圳实验学校七年级期末）如图，在ABC V 中，42B Ð=°，50C Ð=°，通过尺规作图，得到直线DE 和射线AF ，仔细观察作图痕迹，求EAF Ð的度数______．【答案】23°##23度【分析】根据基本作图得到DE 垂直平分AB ，AF 平分EAC Ð，则根据线段垂直平分线的性质得到EA EB =，所以42EAB B Ð=Ð=°，再利用三角形内角和定理计算出88BAC Ð=°，则46EAC Ð=°，然后利用角平分线的定义求解．【详解】解：题意可知DE 垂直平分AB ，AF 平分EAC Ð，∴EA EB =，EAF CAF Ð=Ð，∴42EAB B Ð=Ð=°，∵180180504828BAC B C Ð=°-Ð-Ð=°-°=-°°，【题型6】线段垂直平分线的实际应用1．（2022·江西上饶·八年级期末）如图，A，B，C均为新建居民小区，分别连接AB，AC，BC，形成一个三角形，若想建一个超市，使其到A，B，C这三个小区的距离相等（不考虑其它因素），则超市的位置应该选在（）A．△ABC三条中线的交点处B．△ABC三边的垂直平分线的交点处C．△ABC三条角平分线的交点处D．△ABC三条高所在直线的交点处【答案】B【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可判断并得出结论．【详解】解：∵超市到A，B，C这三个小区的距离相等，∴超市的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处，故选：B．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式6-1】2．（2022·全国·八年级专题练习）某同学在使用尺规作图的方法，作过直线l外一点C作已知直线的垂线．他在直线l上取了两点A，B，分别以A，B为圆心，AC，BC长为半径画弧，两段弧的另一个交点为D，联结CD，那么直线CD即为直线l的过C点的直线．你认为它的作法对吗？__（填“对”，“错”）；理由：__（如果认为对，请填写相应的定理；如果认为错，写关键的理由即可）．【答案】对到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上【分析】根据线段垂直平分线的判定定理可得出答案．【详解】解：由题意可得：AC=AD，BC=BD，∵A、B两点都在线段CD的垂直平分线上．∴直线CD即为直线l的过C点的直线．故答案为：对，到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．掌握这一性质是解题的关键．一．选择题1．（2021·全国·八年级单元测试）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】依据轴对称图形的定义逐项分析即可得出C选项正确．【详解】解：因为选项A、B、D中的图形都不能通过沿某条直线折叠直线两旁的部分能达到完全重合，所以它们不符合轴对称图形的定义和要求，因此选项A、B、D中的图形都不是轴对称图形，而C选项中的图形沿上下边中点的连线折叠后，折痕的左右两边能完全重合，因此符合轴对称图形的定义和要求，因此C 选项中的图形是轴对称图形，故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，学生需要掌握轴对称图形的定义内容，理解轴对称图形的特征，方能解决问题找对图形，同时也考查了学生对图形的感知力和空间想象的能力．2．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，连接AE ，若AE ＝4，EC ＝2，则BC 的长是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EA ＝4，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，AE ＝4，∴EB ＝EA ＝4，∴BC ＝EB ＋EC ＝4＋2＝6，故选：C ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．3．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在已知的ABC V 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若4AC =，10AB =，则ACD △的周长为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．14【答案】D 【分析】根据作图可得MN 是BC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD =DB ，然后可得AD +CD =10，进而可得△ACD 的周长．【详解】解：根据作图可得MN 是BC 的垂直平分线，∵MN 是BC 的垂直平分线，∴CD =DB ，∵AB =10，∴CD +AD =10，∴△ACD 的周长=CD +AD +AC =4+10=14，故选：D ．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，交AOB Ð的两边OA ，OB 分别于D ，E 两点；（2）分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在AOB Ð内交于点C ；（3）作射线OC ，连接CD ，CE ，DE ．下列结论错误的是（ ）A ．OC 垂直平分DE B ．12Ð=ÐC ．DCO ECO Ð=ÐD ．CE OE=【答案】D 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的判定解决问题即可．【详解】解：由作图可知，在△OCD 和△OCE 中，OD OE DC EC OC OC =ìï=íï=î，∴△OCD ≌△OCE （SSS ），∴∠DCO =∠ECO ，∠1=∠2，∵OD =OE ，CD =CE ，∴OC 垂直平分线段DE ，故A ，B ，C 正确，没有条件能证明CE =OE ，故选：D ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（2019·广东深圳·中考真题）如图，已知,5,3AB AC AB BC ===，以AB 两点为圆心，大于12AB 的长为半径画圆，两弧相交于点,M N ，连接MN 与AC 相较于点D ，则BDC D 的周长为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．13【答案】A 【分析】利用基本作图得到MN 垂直平分AB ，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB ，然后利用等线段代换得到△BDC 的周长=AC+BC ．【详解】由作法得MN 垂直平分AB ，∴DA=DB ，∴△BDC 的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．故选A ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．6．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若AB ＝5，AC ＝8，BC ＝10，则△AEF 的周长为（ ）A．5B．8C．10D．13【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵EG是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，同理，FA＝FC，∴△AEF的周长＝EA＋EF＋FA＝EB＋EF＋FC＝BC＝10，故选：C．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．二、填空题AB=，其垂直平分线CD的作法如下：①分别以点A和点B 7．（2021·吉林·中考真题）如图，已知线段2cmb长为半径画弧，两弧相交于C，D两点；②作直线CD．上述作法中b满足的条作为b___1.为圆心，cm（填“>”，“<”或“=”）故答案为：>．【点睛】本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法．8．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在ABC V 中，10cm AB AC ==，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，且BCD △的周长为17cm ，则BC =________cm ．【答案】7【分析】根据DE 是AB 的垂直平分线可得AD BD =，结合BCD △的周长为17cm 可得结论．【详解】∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AD BD =，∵BCD △的周长为17cm ，∴17(cm)BC CD BD BC CD AD BC AC ++=++=+=，又∵10cm AB AC ==，∴()17107cm BC =-=．故答案为：7．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的任意一点到两端点的距离相等是解题的关键．9．（2022·浙江·临海市书生实验学校八年级开学考试）如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，垂足为点D ，BE ＝6cm ，∠B ＝15°，则AC 等于__．【答案】3cm【分析】根据垂直平分线的性质定理，求得BE ＝AE ＝6cm ，∠EAB ＝∠B ＝15°，利用三角形内角和分别求得∠BAC 、∠AEC 的度数，再在Rt △AEC 中，应用30°角的性质求得线段长度．【详解】∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝15°，10．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，△ABC的边CB关于CA的对称线段是CB'，边CA关于CB的对称线段是CA'，连结BB'，若点A'落在BB'所在的直线上，∠ABB'＝56°，则∠ACB＝___度．【答案】28°【分析】根据对称性可判断出BB'⊥AC，先求出∠BAC＝34°，再根据对称的性质判断△A'CB≌△ACB，最后根据∠ACA'＝2∠ACB即可求解．【详解】解：连接BA'，AC与BB'交点为O，∵CB关于CA的对称线段是CB'，∴BB'⊥AC，∵∠ABB'＝56°，∴∠BAC＝34°，∵边CA关于CB的对称线段是CA'，∴△A'CB≌△ACB，∴∠BA'C＝∠BAC＝34°，∴∠ACA'＝2∠ACB＝56°，∴∠ACB＝28°，故答案为28°．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．11．（2019·山东·中考真题）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面Ð的度数是________.时(机翼间无缝隙)，AOB【答案】45°【分析】根据折叠过程可知，在折叠过程中角一直是轴对称的折叠.【详解】在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，AOB°°22.5245Ð=´=故答案为45°【点睛】考核知识点：轴对称.理解折叠的本质是关键.12．（2020·江苏南京·中考真题）如图，线段AB、BC的垂直平分线1l、2l相交于点O，若1Ð=39°，则Ð=__________．AOC【答案】78°【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG =51°-∠A，∠COF =51°-∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180°，计算即可求解．【详解】如图，连接BO并延长，∵1l、2l分别是线段AB、BC的垂直平分线，∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90°，∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90°-39°=51°，∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，∴∠AOG =51°-∠A，∠COF =51°-∠C，而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180°，∴51°-∠A+2∠A+2∠C+51°-∠C+39°=180°，∴∠A+∠C=39°，∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78°，故答案为：78°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．三、解答题13．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，已知ABC V （AB AC <）．请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：(1)在BC 边上找一点D ，使得直线AD 平分ABC V 的面积，请在图（1）中作图；(2)在BC 边上找一点E ，使得点E 到AC 边的距离等于线段BE 的长，请在图（2）中作图．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)作BC 的垂直平分线交BC 于点D ，连接AD 即可；(2)过点B 作BC 的垂线交CA 延长线于点F ，作∠AFB 的角平分线，交BC 于点E 即可；(1)解：如图所示，(2)解：如图所示，【点睛】本题主要考查尺规作图，掌握尺规作线段的垂直平分线和角平分线，是解题的关键．14．（2022·重庆·中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一点，试说明BCE V 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E 作BC 的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E 作BC 的垂线EF ，垂足为F （只保留作图㾗迹）．在BAE V 和EFB △中，∵EF BC ^，∴90EFB Ð=°．又90A Ð=°，∴__________________①∵AD BC ∥，∴__________________②又__________________③∴()BAE EFB AAS △≌△．同理可得__________________④∴111222BCE EFB EFC ABFE EFCD ABCD S S S S S S =+=+=△△△矩形矩形矩形．【答案】A EFB Ð=Ð、AEB FBE Ð=Ð、BE EB =、()EDC CFE AAS △≌△【分析】过点E 作BC 的垂线EF ，垂足为F ，分别利用AAS 证得BAE EFB △≌△，EDC CFE △≌△，利用全等三角形的面积相等即可求解．【详解】证明：用直尺和圆规，过点E 作BC 的垂线EF ，垂足为F （只保留作图㾗迹）．15．（2022·江苏·八年级单元测试）已知：如图，△ABC中∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F．(1)求证：BE＝CF；(2)若AB=16，CF=2，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）连接BD，根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得DE=DF，DC=DB，利用HL可证Rt△DCF≌Rt△DBE，从而证出结论；（2）利用HL可证Rt△ADF≌Rt△ADE，利用全等三角形的性质即可求解．（1）连接DB，∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC，在Rt△DCF与Rt△DBE中，Q DE=DF，DB=DC，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE；（2）∵CF=BE=2，AB=16，∴AE=AB-BE=16-2=14，在Rt△ADF与Rt△ADE中，Q DE=DF，AD=AD，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AF=AE=14，∴AC=AF-CF=14-2=12．【点睛】此题考查的是角平分线的性质、垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质是解题关键．16．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E 是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．【答案】证明见解析【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BE=DE，根据等腰三角形的性质得到∠BEG=∠DEG，根据平行线的性质得到∠BEG=∠BAC，∠DEG=∠AFE，等量代换得到∠EAF=∠AFE，根据得到结论．【详解】∵EG垂直平分BC，∴BE=DE，∴∠BEG=∠DEG，∵∠ACB=90°，∴EG∥AC，∴∠BEG=∠BAC，∠DEG=∠AFE，∴∠EAF=∠AFE，∴AE=EF，∴点E在AF的垂直平分线上．【点睛】此题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．V的角平分线，EF是AD的垂直平分17．（2021·北京市第五十七中学八年级期中）如图所示，AD是ABCÐ=Ð．线，交BC的延长线于点F，连结AF，求证：BAF ACF【答案】见解析【分析】根据线段的垂直平分线得出AF＝DF，推出∠FAD＝∠ADF，根据角平分线得出∠DAB＝∠CAD，推出∠FAC＝∠B，根据∠FAB＝∠BAC＋∠FAC和∠ADF＝∠B＋∠BAC推出即可．【详解】证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF，∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD，∴∠FAC＝∠B，∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，即∠BAF＝∠ACF．【点睛】本题考查了线段垂直平分线，角平分线，三角形的外角性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中．。
14.1 轴对称图形(3)线段垂直平分线
建一所医院，使得两个工厂的工人
都没意见，问医院的院址应选在何
处？
B
L
成 渝 高速公路
14.1 线段的垂直平分线
定命理题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
M 已知：如图，直线MN⊥AB,垂足为C,
且AC=CB. 点P在MN上. P
求证： PA=PB
证明：∵MN⊥AB
∴ ∠ PCA= ∠ PCB
中心广场
之和最小？如果你作为分 店经理,你又应该怎样选址?
Ａ′
南街
ＭＭ
新世纪外国语学校
Ａ
新天地
Ｂ
14.1 线段的垂直平分线
实际问题
数学化
2、如图，在直线L上求 A 作一点P，使PA=PB.
实 际 问 题 2
B
L
p PA=PB
数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务
如图，古罗马有一位将军，他每天都
在 ΔPAC和Δ PBC中，
AC=BC
∠ PCA= ∠ PCB
PC=PC
A
C
B
∴ ΔPAC ≌Δ PBC
∴PA=PB
N
线段垂直平分线的性质
线段的垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等（点到点的距离）
【用几何语言表达】
如图: 若: CD⊥AB于C,且AC=BC 则: MA=MB
线段的垂直平分线
要从驻地A 出发，到河边饮马，再到河
岸同侧的军营B 巡视。他经常想因该怎
样走才能使路程最短，但他百思不得其
解。
A
B
L
C
B′
如图，EFGH是矩形的台球桌面， 有两球分别位于A、B两点的位置， 试问怎样撞击A球，才能使A球先碰 撞台边EF反弹后再击中B球？
轴对称与线段垂直平分线性质定理(解析版)
专题08 轴对称与线段垂直平分线性质定理【知识点睛】❖ 轴对称与轴对称图形【类题训练】1．如图图案中不是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．【分析】根据轴对称的定义，结合各选项所给图形进行判断即可．【解答】解：A 、这个图形不是轴对称图形，故此选项符合题意；B 、这个图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、这个图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；D 、这个图形是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A ．2．下列汉字中，能看成轴对称图形的是（ ）A ．坡B ．上C ．草D ．原【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A ，B ，D 选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C 选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C ．3．观察下面A ，B ，C ，D 四幅图，其中与如图成轴对称的是（ ） 轴对称 轴对称图形定义把一个图形沿某一条直线折叠，如果他能够有另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称 ，这条直线叫做对称轴 ，折叠后重合的点是对应点 ，叫对称点 如果一个图形沿某一直线对折后 ，直线两旁的部分能够互相重合 ，这个图形叫做轴对称图形 ，这条直线叫做它的对称轴 ，这是我们也说这个图形关于这条直线成轴对称区别 轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系 轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个图形是轴对称图形；（2）如果把一个轴对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们成轴对称轴对称的性质 （1）对应点的连线被对称轴垂直平分 ；（2）对应线段相等；（3）对应线段或延长线的交点在对称轴上；（4）成轴对称的两个图形全等A．B．C．D．【分析】根据轴对称的定义判定即可．【解答】解：与已知图形成轴对称的图形是选项C：．故选：C．4．如图，AB是线段CD的垂直平分线，垂足为点G，E，F是AB上两点．下列结论不正确的是（）A．EC＝CD B．EC＝ED C．CF＝DF D．CG＝DG【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可解答．【解答】解：∵AB是线段CD的垂直平分线，∴EC＝ED，FC＝FD，CG＝DG，故B、C、D不符合题意；∵△ECD不一定是等边三角形，∴EC≠CD，故A符合题意；故选：A．5．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【分析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C＝∠C′，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝30°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故选：D．6．如图，点P是∠AOB内部一点，点P′，P″分别是点P关于OA，OB的对称点，且P′P″＝8cm，则△PMN的周长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【分析】根据点P′，P″分别是P关于OA，OB的对称点，得到PP′被OA垂直平分，PP″被OB 垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到MP＝MP′，NP＝NP″，即可得出△PMN的周长．【解答】解：∵点P′，P″分别是P关于OA，OB的对称点，∴PP′被OA垂直平分，PP″被OB垂直平分，∴MP＝MP′，NP＝NP″，∴△PMN的周长＝MN+MP+NP＝MN+MP′+NP″＝P′P″＝8（cm）．故选：D．7．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm【分析】利用轴对称图形的性质得出PM＝MQ，PN＝NR，进而利用MN＝4cm，得出NQ的长，即可得出QR的长．【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN 的延长线上，∴PM＝MQ，PN＝NR，∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm，即NQ＝MN﹣MQ＝4﹣2.5＝1.5（cm），则线段QR的长为：RN+NQ＝3+1.5＝4.5（cm）．故选：A．8．如图，点P为∠AOB内一点，分别作P点关于直线OA，OB的对称点C，D，若∠COD＝70°，则∠CPD的度数是（）A．110°B．135°C．145°D．155°【分析】根据对称的性质得出∠C+∠D＝∠CPD，再根据四边形内角和是360°得出∠CPD的度数，即可得出结论．【解答】解：根据对称知，∠C＝∠OPC，∠D＝∠OPD，∵∠COD＝70°，∴∠C+∠D＝∠CPD＝（360°﹣70°）＝145°，故选：C．9．如图是小明从镜子中看到电子钟的时间，此时实际时间是．【分析】镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：15成轴对称，所以此时实际时刻为21：05．故答案为：21：05．10．下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有个．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：①角；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形是轴对称图形，故答案为：4．11．等边三角形有条对称轴．【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．【解答】解：等边三角形有3条对称轴．故答案为：3．12．如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF＝S△CEF，根据图中阴影部分的面积是S△ABC求出即可．【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称，∴B、C关于直线AD对称，∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，∴S△BEF＝S△CEF，∵△ABC的面积是：×BC×AD＝×6×5＝15，∴图中阴影部分的面积是S△ABC＝．故答案为：．13．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为．【分析】如图，将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿EC翻折得到△NCE，连接MN．证明△EMN是等边三角形，根据CD≤DM+MN+NC，可得结论．【解答】解：如图，将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿EC翻折得到△NCE，连接MN．由翻折的性质可知，AD＝DM＝3．AE＝EB＝EM＝EN＝3，CB＝CN＝3，∠AED＝∠MEB，∠EBC ＝∠NEC，∵∠DEC＝120°，∴∠AED+∠BEC＝180°﹣120°＝60°，∴∠DEM+∠NEC＝60°，∴∠MEN＝60°，∴△EMN是等边三角形，∴MN＝EM＝EN＝3，∵CD≤DM+MN+CN，∴CD≤9，∴CD的最大值为9，故答案为：9．14．在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形．【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：．15．在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．【解答】解：作轴对称图形如下（答案不唯一）：16．如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是点D，连结CD 交OA于点M，交OB于点N．（1）①若∠AOB＝60°，求∠COD的度数．②若∠AOB＝n°，则∠COD＝°（用含n的代数式表示）．（2）若CD＝4，则△PMN的周长为．【分析】（1）根据轴对称的性质，可知∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，可以求出∠COD的度数；（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长．【解答】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2×60°＝120°；②∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COP＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2n°，故答案为：2n；（2）∵点C和点P关于OA对称，∴CM＝PM，∵点P关于OB对称点是D，∴DN＝PN，∵CD＝4，∴CM+MN+DN＝4，∴PM+MN+PN＝4，即△PMN的周长为4，故答案为：4．17．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．（1）图中点C的对应点是点，∠B的对应角是；（2）若DE＝5，BF＝2，则CF的长为；（3）若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．【分析】根据△ABC与△ADE关于直线MN对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题；【解答】解：（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∴图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；故答案为：E，∠D．（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∴△ABC≌△ADE，∴BC＝DE＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3．故答案为：3．（3）∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，∴∠CAE＝108°﹣30°＝78°，再根据对称性，∴∠EAF＝∠CAF，∴∠EAF＝＝39°．18．如图所示，∠AOB内有一点P，P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝5cm，求△PMN的周长．【分析】根据轴对称的性质进行等量代换，便可知P1P2与△PMN的周长是相等的，即可求解．【解答】解：∵P1，P2分别是点P关于OA、OB的对称点，∴PM＝MP1，PN＝NP2；∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+NP2＝P1P2＝5cm，∴△PMN的周长为5cm．【知识点睛】❖线段垂直平分线性质定理及其逆定理性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。
初二数学知识点精讲精练——轴对称之角平分线与垂直平分线
轴对称之角平分线及垂直平分线【考点】：从历年真题来看，两线问题常常与全等三角形综合考察，题型多为新题型，先验证猜想，再探索证明，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类题是近几年中考试题的热点题型。
【知识点】一、轴对称1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴垂直平分“连接对应点的线段”。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
5、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。
6、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上。
7、线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8、角平分线的定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角,那么这条射线叫角的平分线。
9、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
10、角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角平分线上。
【典型例题】例：在本学期我们学习了角平分线的性质定理和判定定理，那么，你还是否记得它们的具体内容．（1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整：角平分线性质定理：角平分线上的点到的距离相等．角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在．（2）老师在黑板上画出了图形，把判定定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整已知：如图1，点P是∠AOB内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=，求证：点P 在∠AOB的上（3）请你完成证明过程：（4）知识运用：如图2，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有处．【解答】解：（1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上，故答案为：这个角的两边；角平分线上；（2）已知：如图1，点P是∠AOB内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE，求证：点P在∠AOB的平分线上．故答案为：PE；平分线上；（3）如图：作射线OP，∵PD⊥AO，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在Rt△OPD和Rt△OPE中，，{PD=PEOP=OP∴Rt△OPD≌Rt△OPE，∴∠DOP=∠EOP，∴OP是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB平分线上；（4）如图2，M、N、G、H即为所求，故答案为：4．【点评】本题考查的是角平分线的性质定理和判定定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键．【练习】1．求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．已知：求证：证明：2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．3．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若∠BAC=60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．4．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB、BC于点M、E，边AC的垂直平分线交AC、BC于点N、F，△AEF的周长为10．（1）求BC的长；（2）若∠B+∠C=45°，EF=4，求△AEF的面积．5．如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，（1）在图1中，分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，这3条线段相等吗？为什么？（2）在图2中，∠ABC是直角，∠C=60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．。
苏科版八年级上册数学教学课件 第2章 轴对称图形 第2课时 线段垂直平分线的判定
线上呢？
P
A
B
猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线 段的垂直平分线上．
课程讲授
1 线段垂直平分线的判定
问题2：运用所学知识，证明你的猜想.
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C．
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
B
C
∴OB=OC ，
∴点O在BC的垂直平分线上．
课程讲授
2 用尺规作线段垂直平分线
练一练：如图所示的尺规作图是作（ A ） A.线段的垂直平分线 B.一个半径为定值的圆 C.角的平分线 D.一个角等于已知角
随堂练习
1.下列说法： ①若点P ，E是线段AB的垂直平分线上两点，则
EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线
B
D
C
∴A ， D均在线段EF的垂直平分线上，即
直线AD垂直平分线段EF.
课堂小结
内容
线段的垂 直平分线 的判定
判定 作用
到线段的两个端点距离相等的点 在线段的垂直平分线上
判断一个点是否在线段的垂直平 分线上
用尺规作线段垂直平分线
2 用尺规作线段垂直平分线
做一做： 已知：线段AB. 求作：AB的垂直平分线.
A
B
课程讲授
2 用尺规作线段垂直平分线
作法：（1）分别以点A，B为圆
心，以大于 1 AB的长为半径作弧， 2
A
两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD. CD即为所求.
C B
D
课程讲授
初中数学人教八年级上册第十三章轴对称-线段垂直平分线的性质和判定
点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 ① ② ③
（填序号）.
5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交 AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长 是 16 cm.
A
D E
B
C
6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O.
P2
P1
A
B
P3A __＝__ P3B l
猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
由此你能得到什么结论？
命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 你能验证这一结论吗？
验证结论
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P在l
上．求证：PA =PB．
知识要点
线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的 直线，叫做这条线段的垂直平分线.
如图，MN⊥AA′， AP=A′P.
B
直线MN是线段AA ′的垂直平分线.
M A
P
C
A'
B' C'
图形轴对称或者轴对称图形的性质
N
对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
对称轴上任意一点到一对对应点的距离相等。
分析：增设的公共汽车站要
满足到两个小区的路程一样
长，应在线段AB的垂直平 分线上，又要在公路边上，
A 所以找到AB垂直平分线与 公路的交点便是.
B 公共汽车站
引例：有A，B，C三个小区，现准备要建一超市， 要求超市到三个小区的距离相等，请你确定超市
的位置.
八年级数学上册听课记录：第十三章轴对称《轴对称：线段的垂直平分线的性质》
新2024秋季八年级数学上册听课记录：第十三章轴对称《轴对称：线段的垂直平分线的性质》教学目标（核心素养）1.1 知识与技能：学生能够理解线段垂直平分线的定义，掌握线段垂直平分线的性质，并能运用这些性质解决相关问题。
1.2 过程与方法：通过观察、操作、归纳等数学活动，培养学生的直观感知、逻辑推理和问题解决能力。
1.3 情感态度价值观：激发学生对轴对称图形的兴趣，培养严谨的数学态度和探索精神，感受数学之美。
导入教师行为•展示一组轴对称图形的图片，引导学生观察并讨论它们的共同特征。
•提出问题：“在轴对称图形中，连接两个对称点的线段有什么特殊性质？”引出线段垂直平分线的概念。
学生活动•学生认真观察图片，积极参与讨论，尝试用自己的语言描述轴对称图形的特征。
•思考教师提出的问题，提出猜想或疑问。
过程点评•通过直观的图形展示和问题引导，有效激发了学生的学习兴趣和好奇心，为新课的学习做了良好的铺垫。
教学过程教师行为•定义讲解：明确给出线段垂直平分线的定义，并结合图形进行解释说明。
•性质探究：•活动一：让学生在纸上画出任意一条线段，并尝试作出它的垂直平分线。
•活动二：引导学生观察并测量垂直平分线上的点到线段两个端点的距离，归纳出线段垂直平分线的性质。
•性质应用：通过例题讲解，展示如何利用线段垂直平分线的性质解决实际问题。
学生活动•活动一：学生动手操作，尝试作出线段的垂直平分线，并在小组内交流自己的作图方法。
•活动二：学生认真观察、测量，并小组讨论归纳出线段垂直平分线的性质。
•在教师讲解例题时，学生积极思考，尝试自己解决问题，并勇于提出自己的见解和疑问。
过程点评•通过动手操作和小组合作，学生亲身体验了知识的形成过程，增强了学习的主动性和参与度。
•性质归纳环节培养了学生的观察能力和归纳能力，为后续的应用打下了坚实的基础。
•例题讲解注重了知识的应用性和启发性，有效提升了学生的问题解决能力。
板书设计•标题：轴对称：线段的垂直平分线的性质•定义：线段垂直平分线的定义（图示辅助说明）•性质：•垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（图示+文字说明）•例题：•题目展示（简洁明了）•解题步骤（分步解析，突出关键步骤）•总结：线段垂直平分线性质的应用要点（简洁概括）作业布置1.完成课本上的相关习题，巩固线段垂直平分线的性质和应用。
图形的轴对称线段的垂直平分线
图形的轴对称线段的垂直平分线pptxx年xx月xx日CATALOGUE 目录•轴对称线段的基本性质•轴对称线段的垂直平分线•与轴对称线段垂直平分线相关的定理•轴对称线段的应用•如何做一个好的轴对称线段垂直平分线•轴对称线段垂直平分线的实际应用案例分析01轴对称线段的基本性质轴对称线段是指一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形。
轴对称线段的对称轴垂直平分线段，且垂直平分线段上的点到线段两端的距离相等。
1 2 3轴对称线段上任意一点到对称轴的距离相等。
轴对称线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等。
对于任意一条线段，其垂直平分线上的点到两端点的距离相等。
在轴对称线段上任取两点，分别连接这两点并延长至对称轴的一侧，若延长的线段长度相等，则这两点与对称轴组成的三角形为等腰三角形。
若一个三角形有两边分别平行于对称轴，且第三边垂直于对称轴，则该三角形为等腰三角形。
轴对称线段的等腰三角形定理02轴对称线段的垂直平分线垂直平分线定义总结图形的轴对称线段是一条直线，将轴对称图形分成两个全等的图形，并且这条直线与轴对称图形的两个对称轴都垂直。
垂直平分线的表示方法常用符号“perp”表示垂直平分线，也可以用字母表示，如“直线l垂直平分线段AB”。
垂直平分线的定义垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
垂直平分线的性质性质1线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质2垂直平分线在和一条直线如果成轴对称的话，那么这条直线和垂直平分线成一直角。
性质3垂直平分线的证明方法•方法1：三角形全等证明法•画出轴对称图形，确定对称轴；•连接对称轴与图形两个对称点的线段，得到三角形；•根据全等三角形对应边相等，得到垂直平分线的长度；•用直尺画出垂直平分线。
•方法2：中垂线性质证明法•画出轴对称图形，确定对称轴；•在对称轴上任取一点，作一条与对称轴垂直的直线；•根据中垂线性质，这条直线与线段两个端点距离相等；•用直尺画出这条直线即为垂直平分线。
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轴对称与垂直平分线知识点一（轴对称）【知识梳理】1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
如下图：2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3、轴对称和轴对称图形的区别和联系：区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。
②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。
联系：①都沿某条直线对折，图形重合。
②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。
【例题精讲】辨别对称图形、找对称轴1、下列各图，你能找出它们的对称轴吗？2、下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个．．不同？．．与其他三个这个图形是：（写出序号即可）【课堂练习】1、判断下列图形哪些是轴对称图形，如果是，请找出所有对称轴。
2、下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（）3、如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分），其中不是轴对称图形的是（）A B C D E知识点二（轴对称和轴对称图形的性质）【知识梳理】1、轴对称的性质：① 由一个平面图形可以得到它关于一条直线l 成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同）② 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l 的对称点 ③ 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分2、轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.3、平面直角坐标系中的轴对称： （1）),(),(b a x b a -横不变，纵反向轴对称关于 （2）),(),(b a y b a -横反向，纵不变轴对称关于【例题精讲】1、如图，ΔABC 与ΔA 'B 'C '关于直线l 对称，则∠B 的度数为 （ ）2、（C 组联盟·期中）点P （-1,2）关于y 轴对称点的坐标为 .3、（江岸·期中）已知点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标是(1，2)，则点P 的坐标是__________4、作图题：（不要求写作法）如图，△ABC 在平面直角坐标系中，其中，点A 、B 、C 的坐标分别为A （-2，1），B （-4，5），C （-5，2）．（1）作△ABC 关于直线l ：x=-1对称的△A 1B 1C 1，其中，点A 、B 、C 的对应点分别为A 1、B 1、C 1； （2）写出点A 1、B 1、C 1的坐标．A ．30°B ．50°C ．90°D ．100°5、如图所示在平面直角坐标系中，A（-1,4），B（-3,3），C（-2,1），直线m上每个点的横坐标都为1. （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;（2）画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；（3）直接写出点M（a，b）关于直线m的对称点M1的坐标.【课堂练习】1、在如图所示的平面坐标系中，已知点A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（12，1），E（4，0）。
关于x轴的对称点A′（____，____）B′（___，____）C ′（•____，•____） D′（___，____）E′（____，____）．关于y轴的对称点A″（___，____）B″（___，____）C″（•___，•___） D″（___，___）E″（____，_____）．2、如图，直线L是四边形ABCD的对称轴，若AB CD=，有下面的结论：①AB CD∥②AC BD⊥③AO OC=④AB BC⊥，其中正确的结论有_______（第2题图）（第3题图）（第4题图）3、在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？4、（硚口·期中）如图，在平面直角坐标系中，A（-1,5），B（-1,0），C（-4,3）.（1）请画出△ABC关于y轴对称的△DEF;（其中D,E,F分别是A,B,C 的对应点）（2）直接写出(2)中F点的坐标为；（3）若直线l经过点(0，-2)且与x轴平行，则点C关于直线l的对称点的坐标为 ;（4）在y轴上存在一点P，使PC－PB最大，则点P的坐标为 .知识点三（线段的垂直平分线的性质及判定）【知识梳理】1、定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。
如图1，∵CA＝CB，直线m⊥AB于C，∴直线m是线段AB的垂直平分线。
2、性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
如图2，∵CA＝CB，直线m⊥AB于C，点P是直线m上的点。
∴PA＝PB 。
3、判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
如图2，∵PA＝PB，直线m是线段AB的垂直平分线，∴点P在直线m上。
图3 4、作线段AB的垂直平分线，如图3（1）分别以点A 、B 为圆心，以大于AB 的一半长为半径画弧(为什么?)交于点E 、F ； （2）过点E 、F 作直线。
则直线EF 就是线段AB 的垂直平分线【例题精讲】1、如图，若P 是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，则（1）ΔPAC ≌_____； （2）PA ＝_____；（3）∠APC ＝_____； （4）∠A ＝_____．（第1题图）（第2题图）2、如图，AC AD =，BC BD =，则有（ ） A ．AB 垂直平分CDB ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分ACB ∠3、如图，已知40AOB ∠=︒，CD 为OA 的垂直平分线，则ACB ∠= 。
（第3题图） （第4题图） （第5题图）1、（C 组联盟·期中）如图4，在△ABC 中，BC=8，线段AB 的垂直平分线交BC 于点D ，线段AC 的垂直平分线交BC 于点F ，则△ADE 的周长等于 。
2、（外校·期中）如图，M 是线段AD 、CD 的垂直平分线交点，AB ⊥BC ，∠D =65°，则∠MAB +∠MCB 的大小是 。
6、（江岸·期中）（1）已知△ABC ，请画出△ABC 关于直线AC 对称的三角形 (2) 若△ABC 与△DEF 关于直线l 对称，请作出直线l （请保留作图痕迹）BCAPO DC BA(3) 如图，在矩形ABCD 中，已知点E 、F 分别在AD 和AB 上，请在边BC 上作出点G 、在边CD 作出点H ，使得四边形EFGH 的周长最小【课堂练习】1、如图，△ABC 中，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AC 于E ，BE=5厘米，△BCE 的周长是18厘米，则BC 。
（第3题图）（第1题图） （第2题图）2、（硚口·期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝110°，MP 、NQ 分别垂直平分AB 、AC ，交BC 于点P 、Q ，则∠PAQ 等于 。
3、（武昌· 期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E ．若∠DBC ＝33°，∠A 的度数为__________4、已知：如图，△ABC 中，∠ACB =90°，D 是BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，且在BD 的垂直平分线ED CBAEG 上，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上．5、（青山·期中）如图，在△ABC 中，射线AM 平分∠BAC(1) 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作BC 的中垂线，与AM 相交于点G ，连接BG 、CG (2) 在(1)条件下，∠BAC 和∠BGC 有何数量关系?并证明你的结论1、（江岸·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）2431FEDGCBAA ．B ．C ．D ． （第2题图）2、如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴，若∠AFC ＋∠BCF ＝150°，则 ∠AFE ＋∠BCD=_______。
3、如图,DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则∆EBC 的周长为________。
（第3题图） （第4题图） （第5题图）4、（江岸·期中）如图，△ABC 与△A ′B ′C ′关于直线l 对称，且∠A ＝105°，∠C ′＝30°，则∠B ＝________。
5、（硚口·期中）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ， AD ∥BC ， E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，AD′与CE 交于点F ．若∠B ＝50°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为___________。
6、（江汉·期末）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝100°，∠C ＝70°，点F 、E 分别在边AB 、BC 上，将△BFE 沿FE 翻折，得到△GFE ．若GF ∥AD ，GE ∥DC ，则∠B =________。
CE BDA（第6题图） （第7题图）7、（武珞路模拟· 期末）如图，点D 在AC 的垂直平分线上，AB ∥CD ．若∠D ＝130°，则∠________。
8、（外校·期中）如图，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别是A （－2,3），B （－6,0），C （－1,0） （1）直接写出A 点关于y 轴对称的点的坐标是_______________；（2）将ABC ∆向右平移六个单位后得111A B C ∆，则ABC ∆平移扫过的面积是_____________. （3）作出111A B C ∆关于x 轴对称的图形222A B C ∆，并直接写出点2A 的坐标为_____________.（第8题图） （第9题图）9、（东西湖高新·期末）如图,为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A 处出发， 先到公路m 上设卡检査，再到公路n 上设卡检査，最后再到达B 地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法。
BAnm11E D CBA 10、如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC 关于x•轴和y 轴对称的图形．11、如右图所示，直线MN 和DE 分别是线段 AB 、BC 的垂直平分线，它们交于P 点，请问PA 和 PC 相等吗?为什么?12、如图，△ABC 中，∠A=90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。