离散数学(第14讲)二元关系
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Discrete Mathematics 考虑集合A={a,b,c,d}的下列子集族： 的下列子集族： 例1 考虑集合 的下列子集族 (1). {{a}，{b,c}，{d}}; ， ， (2). {{a,b,c,d}}; (3). {{a,b}，{c}，{a,d}}； ， ， ； (4). {∅，{a,b}，{c,d}}； ∅ ， ； (5). {{a}，{b,c}}； ， ； 都是A的划分 不是A的划分 则(1)，(2)都是 的划分。但(3)不是 的划分，因为其中 ， 都是 的划分。 不是 的划分， 的子集有相交。 不是 的划分，因为∅在其中。 也不 不是A的划分 的子集有相交。(4)不是 的划分，因为∅在其中。(5)也不 的划分， 是A的划分，因为所有子集的并集不等于 。 的划分 因为所有子集的并集不等于A。
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Discrete Mathematics
3.5.3 划分的积与和 是非空集合集合 上的划分。 集合A上的划分 定义 设π和π’是非空集合集合 上的划分。 如果π 的每一块都包含于π的一块中， 如果π’的每一块都包含于π的一块中，则π’ 细分。 真细分。 是 π的细分。若 π≠π’ ，则π’ 是π的 真细分。
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Discrete Mathematics 2）反之，在非空集合A上给定一个划分π，则可将A 分割成若干个划分块。 根据以下条件定义A上的二元关系R，即对任何元 素x,y∈A，如果x和y在同一划分块中，则xRy。显 然，R是A上的等价关系，称为由划分π所诱导的 等价关系，并且该等价关系的商集就等于π 。 结论 的划分是一一对应的。 集合A上的等价关系与集合A的划分是一一对应的
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Discrete Mathematics 是非空集合， 的划分。 定义 设A是非空集合， π1和π2是A的划分。 是非空集合 的划分 (1).若π是A的划分，且 若 是 的划分 的划分， 细分π ① π细分 1和π2 ； 细分 细分π 细分π， ② 若π′细分 1和π2 ，则π′细分 ， 细分 细分 记为π 则称π是 则称 是π1与π2 的积。记为 1•π2 。 是细分π 的最小划分。 即： π1•π2 是细分π1和π2 的最小划分。 (2).若π是A的划分，且 若 是 的划分 的划分， 细分π ① π1和π2细分 ； 细分π′， 细分π′， ② 若π1和π2细分 ，则π细分 ， 细分 则称π是 记为π 则称 是π1与π2 的和。记为 1+π2 。 所细分的最大划分。 即： π1+π2是π1和π2 所细分的最大划分。
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Discrete Mathematics 例 设A={1,2,3,4,5,6,7,8}， ， R={<x,y>|x,y∈A∧x =y(mod3)}，其中 =y(mod3) ∈ ∧ ，其中x 的含义是x和 分别除以 后的余数相等， 分别除以3后的余数相等 的含义是 和y分别除以 后的余数相等，即x-y可以 整除。 上的等价关系， 被3整除。不难验证 为A上的等价关系，它的关系 整除 不难验证R为 上的等价关系 图如下图所示： 下图所示 图如下图所示：
设对应于划分π 的等价关系为R 设对应于划分 i的等价关系为 i (i=1,2,..,5) ，则有 R5=IA; R1 =UA； R2 ={<2,3>,<3,2>}∪IA ；R3= {<1,3>,<3,1>}∪IA； ∪ ∪ R4={<1,2>,<2,1>}∪IA ∪
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Discrete Mathematics 4、划分的积与和 、 是非空集合， 和 是 的划分 的划分。 定义 设A是非空集合，π和π′是A的划分。若π′的每 是非空集合 的每 个划分块均包含于π的某一划分中 则称π′细分 的某一划分中， 细分π， 个划分块均包含于 的某一划分中，则称 细分 ， 或者说π′是 的细分 的细分。 的不同于自身的细分称为 或者说 是π的细分。 Π的不同于自身的细分称为 π的真细分。 的真细分。 如上例中： 如上例中： π1 、π2 、π3 、 π4、π5 是π1 的细分； 细分； 不是π 真细分。 但π1 不是 1 的真细分。 π5 是π1 、π2 、π3 和 π4的真细分。 真细分。
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例2 (1) 非空集合 上的全域关系 A是A上的等价关系。 因 非空集合A上的全域关系 上的全域关系U 上的等价关系。 上的等价关系 为对任意x 为对任意 ∈A有[x] =A，商集 UA={A} 。 有 ，商集A/ (2) 非空集合 上的恒等关系 A是A上的等价关系。因为对 非空集合A上的恒等关系 上的恒等关系I 上的等价关系。 上的等价关系 任意x 任意 ∈A有[x] ={x}，商集 A/ IA ={{x}| x ∈A}。 有 ， 。 (3) 在整数集合 上模 的等价关系，其等价类是 在整数集合Z上模 的等价关系， 上模k的等价关系 [0]={kz|z∈Z} =kZ ∈ [1]={kz+1|z∈Z} =kZ+1 ∈ [2]= {kz+2|z∈Z} =kZ+2 ∈ …… [k-1]= {kz+k-1|z∈Z} =kZ+k-1 ∈ 所以，商集为 。 所以，商集为{[0], [1], [2],…, [n-1]}。
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Discrete Mathematics 例1 设A={1,2,3,4,5,6}，π={{1,4},{2,5,6},{3}}是A的 ， 是 的 一个划分，那么由划分π所诱导的等价关系是 所诱导的等价关系是: 一个划分，那么由划分 所诱导的等价关系是 R={1,4}×{1,4}∪{2,5,6}×{2,5,6}∪{3,3}×{3,3} × ∪ × ∪ × ={<1,1>,<1,4>,<4,1>,<4,4>,<2,2>,<2,5>,<2,6>, <5,2>,<5,5>,<5,6>,<6,2>,<6,5>,<6,6>,<3,3>} 上所有的等价关系。 例2 设A={1,2,3 }，求出 上所有的等价关系。 ，求出A上所有的等价关系
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Discrete Mathematics 商集和划分的关系 1) 由商集和划分的定义不难看出，非空集合A上定义 的等价关系R，由它产生的等价类都是A的非空子 集，不同的等价类之间不相交，并且所有等价类 的并集就是A。因此，所有等价类的集合，即商集 A/R，就是A的一个划分，称为由R所诱导的划分。
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Discrete Mathematics 3、商集 、 为非空集合A上的等价关系， 定义 设R为非空集合 上的等价关系，以R的不相 为非空集合 上的等价关系 的不相 交的等价类为元素的集合叫做A在 下的商集， 下的商集 交的等价类为元素的集合叫做 在R下的商集，记 作A/R，即 ， A/R={[a]R |a∈A} ∈ 显然， 显然，在例1中，A在R下的商集是 中 在 下的商集是 A/R ={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}。 。
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A={(0,0),(0,1),(1,0),(1,3),(2,3),(3,1),(3,2) }, R={<(a,b),(c,d)>| (a,b),(c,d) ∈A且a+b=c+d }. 且 (1)证明：R是A上的等价关系． 证明： 是 上的等价关系 上的等价关系． 证明 (2)给出 确定的等价类 给出R确定的等价类 给出 确定的等价类.
根据定义，显然有： ～ ～ ， ～ ～ ， ～ 。 根据定义，显然有：1～4～7，2～5～8，3～6。
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Discrete Mathematics 例 有关例子： 有关例子： (1)在一群人的集合上，年龄相等的关系是等价关 系，而朋友关系不一定是等价关系，因为它可能不是 自反的、 相容关系。 传递的。一般称这种自反的、对称的 自反的 对称的关系为相容关系 相容关系 显然等价关系都是相容关系，但相容关系不一定是等 价关系。 (2)集合上的恒等关系 全域关系 恒等关系和全域关系 恒等关系 全域关系都是等价关系。 (3)在同一平面上三角形之间的相似关系 相似关系是等价关 相似关系 系，但直线间的平行关系不是等价关系，因为它不是 自反的。
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Discrete Mathematics 3、划分 、 是非空集合， 的一个子集族 定义 设A是非空集合，如果存在 的一个子集族 是非空集合 如果存在A的一个 π(π⊆ρ(A))满足以下条件： 满足以下条件： ⊆ 满足以下条件 (1) ∅∉ ； ∅∉π； (2) π中任意两个元素不交； 中任意两个元素不交； 中任意两个元素不交 (3) π中所有元素的并集等于 。 中所有元素的并集等于A。 中所有元素的并集等于 则称π为 的一个划分，且称π中的元素为划分块。 的一个划分 中的元素为划分块 则称 为A的一个划分，且称 中的元素为划分块。 有限， 的不同划分块的个数为划分 若π有限，则称 的不同划分块的个数为划分 的秩， 有限 则称π的不同划分块的个数为划分π的 否则称π的秩是无限的 的秩是无限的。 否则称 的秩是无限的。
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Discrete Mathematics 根据定义， 根据定义，在例1中有 [1]=[1]R={1,4,7}= [4]R= [7]R; [2]=[2]R={2,5,8}= [5]R= [8]R; [3]=[3]R={3,6}= [6]R; 且R的秩为 。 的秩为3。 的秩为
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Discrete Mathematics 等价类具有下面的性质： 等价类具有下面的性质： 是非空集合A上的等价关系 定理 设R是非空集合 上的等价关系，对任意的 是非空集合 上的等价关系， x,y∈A，下面的结论成立。 ∈ ，下面的结论成立。 (1). [x]≠∅，且[x] ⊆ A； ∅ ； (2).若xRy，则[x] = [y] ； 若 ， (3).若 若 (4). ，则[x]∩[y]= ∅ ；
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Discrete Mathematics 在非空集合A上给定一个划分 在非空集合 上给定一个划分π={A1,A2,…,Am}， 上给定一个划分 ， 找出由π所唯一确定的 所唯一确定的A上的等价关系的方法如 找出由 所唯一确定的 上的等价关系的方法如 下： 把划分π的每一块 都拿出来， 把划分 的每一块Ai都拿出来，并且作其笛卡 的每一块 尔积A 尔积 i× Ai(i=1,2,..,m) ，然后求这些笛卡尔积的 并集，即为所求， 并集，即为所求，即
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Discrete Mathematics 2、等价类 、 是非空集合A上的等价关系 设R是非空集合 上的等价关系，则A上互相等价的 是非空集合 上的等价关系， 上互相等价的 元素构成了A的若干个子集 叫做等价类 的若干个子集， 等价类。 元素构成了 的若干个子集，叫做等价类。 是非空集合A上的等价关系， 定义 设R是非空集合 上的等价关系，对任意的 是非空集合 上的等价关系 a∈A，令 [a]R={x|x∈A∧xRa}， ∈ ， ∈ ∧ ， 则称集合[a] 关于R的等价类，简称为a的 则称集合 R为a关于 的等价类，简称为 的等价 关于 简记为[a]。 类，简记为 。 其中a为 代表元；若等价类个数有限，则称R 其中 为[a]R的代表元；若等价类个数有限，则称 否则称R的秩是无 的不同等价类的个数为R的 的不同等价类的个数为 的秩，否则称 的秩是无 限的。 限的。
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二、等价关系
1、等价关系的定义 、 为非空集合A上的二元关系 定义 设R为非空集合 上的二元关系，如果 是自 为非空集合 上的二元关系，如果R是 反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。 上的等价关系 反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。 对任何x,y∈ ，如果<x,y>∈R(R为等价关系 ，则说 为等价关系)， 对任何 ∈A，如果 ∈ 为等价关系 则说x 等价， 与y等价，记作 等价 记作x~y。 。
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Discrete Mathematics 先求A的各种划分 只有1个划分块的划分 的各种划分： 个划分块的划分π 解 先求 的各种划分：只有 个划分块的划分 1 ， 具有3个划分 具有两个划分块的划分π 具有两个划分块的划分 2 ， π3和π4 ，具有 个划分 块的划分π 如下图所示。 块的划分 5 ，如下图所示。
Discrete Mathematics 考虑集合A={a,b,c,d}的下列子集族： 的下列子集族： 例1 考虑集合 的下列子集族 (1). {{a}，{b,c}，{d}}; ， ， (2). {{a,b,c,d}}; (3). {{a,b}，{c}，{a,d}}； ， ， ； (4). {∅，{a,b}，{c,d}}； ∅ ， ； (5). {{a}，{b,c}}； ， ； 都是A的划分 不是A的划分 则(1)，(2)都是 的划分。但(3)不是 的划分，因为其中 ， 都是 的划分。 不是 的划分， 的子集有相交。 不是 的划分，因为∅在其中。 也不 不是A的划分 的子集有相交。(4)不是 的划分，因为∅在其中。(5)也不 的划分， 是A的划分，因为所有子集的并集不等于 。 的划分 因为所有子集的并集不等于A。
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3.5.3 划分的积与和 是非空集合集合 上的划分。 集合A上的划分 定义 设π和π’是非空集合集合 上的划分。 如果π 的每一块都包含于π的一块中， 如果π’的每一块都包含于π的一块中，则π’ 细分。 真细分。 是 π的细分。若 π≠π’ ，则π’ 是π的 真细分。
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Discrete Mathematics 2）反之，在非空集合A上给定一个划分π，则可将A 分割成若干个划分块。 根据以下条件定义A上的二元关系R，即对任何元 素x,y∈A，如果x和y在同一划分块中，则xRy。显 然，R是A上的等价关系，称为由划分π所诱导的 等价关系，并且该等价关系的商集就等于π 。 结论 的划分是一一对应的。 集合A上的等价关系与集合A的划分是一一对应的
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Discrete Mathematics 是非空集合， 的划分。 定义 设A是非空集合， π1和π2是A的划分。 是非空集合 的划分 (1).若π是A的划分，且 若 是 的划分 的划分， 细分π ① π细分 1和π2 ； 细分 细分π 细分π， ② 若π′细分 1和π2 ，则π′细分 ， 细分 细分 记为π 则称π是 则称 是π1与π2 的积。记为 1•π2 。 是细分π 的最小划分。 即： π1•π2 是细分π1和π2 的最小划分。 (2).若π是A的划分，且 若 是 的划分 的划分， 细分π ① π1和π2细分 ； 细分π′， 细分π′， ② 若π1和π2细分 ，则π细分 ， 细分 则称π是 记为π 则称 是π1与π2 的和。记为 1+π2 。 所细分的最大划分。 即： π1+π2是π1和π2 所细分的最大划分。
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Discrete Mathematics 例 设A={1,2,3,4,5,6,7,8}， ， R={<x,y>|x,y∈A∧x =y(mod3)}，其中 =y(mod3) ∈ ∧ ，其中x 的含义是x和 分别除以 后的余数相等， 分别除以3后的余数相等 的含义是 和y分别除以 后的余数相等，即x-y可以 整除。 上的等价关系， 被3整除。不难验证 为A上的等价关系，它的关系 整除 不难验证R为 上的等价关系 图如下图所示： 下图所示 图如下图所示：
设对应于划分π 的等价关系为R 设对应于划分 i的等价关系为 i (i=1,2,..,5) ，则有 R5=IA; R1 =UA； R2 ={<2,3>,<3,2>}∪IA ；R3= {<1,3>,<3,1>}∪IA； ∪ ∪ R4={<1,2>,<2,1>}∪IA ∪
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Discrete Mathematics 4、划分的积与和 、 是非空集合， 和 是 的划分 的划分。 定义 设A是非空集合，π和π′是A的划分。若π′的每 是非空集合 的每 个划分块均包含于π的某一划分中 则称π′细分 的某一划分中， 细分π， 个划分块均包含于 的某一划分中，则称 细分 ， 或者说π′是 的细分 的细分。 的不同于自身的细分称为 或者说 是π的细分。 Π的不同于自身的细分称为 π的真细分。 的真细分。 如上例中： 如上例中： π1 、π2 、π3 、 π4、π5 是π1 的细分； 细分； 不是π 真细分。 但π1 不是 1 的真细分。 π5 是π1 、π2 、π3 和 π4的真细分。 真细分。
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例2 (1) 非空集合 上的全域关系 A是A上的等价关系。 因 非空集合A上的全域关系 上的全域关系U 上的等价关系。 上的等价关系 为对任意x 为对任意 ∈A有[x] =A，商集 UA={A} 。 有 ，商集A/ (2) 非空集合 上的恒等关系 A是A上的等价关系。因为对 非空集合A上的恒等关系 上的恒等关系I 上的等价关系。 上的等价关系 任意x 任意 ∈A有[x] ={x}，商集 A/ IA ={{x}| x ∈A}。 有 ， 。 (3) 在整数集合 上模 的等价关系，其等价类是 在整数集合Z上模 的等价关系， 上模k的等价关系 [0]={kz|z∈Z} =kZ ∈ [1]={kz+1|z∈Z} =kZ+1 ∈ [2]= {kz+2|z∈Z} =kZ+2 ∈ …… [k-1]= {kz+k-1|z∈Z} =kZ+k-1 ∈ 所以，商集为 。 所以，商集为{[0], [1], [2],…, [n-1]}。
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Discrete Mathematics 例1 设A={1,2,3,4,5,6}，π={{1,4},{2,5,6},{3}}是A的 ， 是 的 一个划分，那么由划分π所诱导的等价关系是 所诱导的等价关系是: 一个划分，那么由划分 所诱导的等价关系是 R={1,4}×{1,4}∪{2,5,6}×{2,5,6}∪{3,3}×{3,3} × ∪ × ∪ × ={<1,1>,<1,4>,<4,1>,<4,4>,<2,2>,<2,5>,<2,6>, <5,2>,<5,5>,<5,6>,<6,2>,<6,5>,<6,6>,<3,3>} 上所有的等价关系。 例2 设A={1,2,3 }，求出 上所有的等价关系。 ，求出A上所有的等价关系
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Discrete Mathematics 商集和划分的关系 1) 由商集和划分的定义不难看出，非空集合A上定义 的等价关系R，由它产生的等价类都是A的非空子 集，不同的等价类之间不相交，并且所有等价类 的并集就是A。因此，所有等价类的集合，即商集 A/R，就是A的一个划分，称为由R所诱导的划分。
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Discrete Mathematics 3、商集 、 为非空集合A上的等价关系， 定义 设R为非空集合 上的等价关系，以R的不相 为非空集合 上的等价关系 的不相 交的等价类为元素的集合叫做A在 下的商集， 下的商集 交的等价类为元素的集合叫做 在R下的商集，记 作A/R，即 ， A/R={[a]R |a∈A} ∈ 显然， 显然，在例1中，A在R下的商集是 中 在 下的商集是 A/R ={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}。 。
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A={(0,0),(0,1),(1,0),(1,3),(2,3),(3,1),(3,2) }, R={<(a,b),(c,d)>| (a,b),(c,d) ∈A且a+b=c+d }. 且 (1)证明：R是A上的等价关系． 证明： 是 上的等价关系 上的等价关系． 证明 (2)给出 确定的等价类 给出R确定的等价类 给出 确定的等价类.
根据定义，显然有： ～ ～ ， ～ ～ ， ～ 。 根据定义，显然有：1～4～7，2～5～8，3～6。
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Discrete Mathematics 例 有关例子： 有关例子： (1)在一群人的集合上，年龄相等的关系是等价关 系，而朋友关系不一定是等价关系，因为它可能不是 自反的、 相容关系。 传递的。一般称这种自反的、对称的 自反的 对称的关系为相容关系 相容关系 显然等价关系都是相容关系，但相容关系不一定是等 价关系。 (2)集合上的恒等关系 全域关系 恒等关系和全域关系 恒等关系 全域关系都是等价关系。 (3)在同一平面上三角形之间的相似关系 相似关系是等价关 相似关系 系，但直线间的平行关系不是等价关系，因为它不是 自反的。
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Discrete Mathematics 3、划分 、 是非空集合， 的一个子集族 定义 设A是非空集合，如果存在 的一个子集族 是非空集合 如果存在A的一个 π(π⊆ρ(A))满足以下条件： 满足以下条件： ⊆ 满足以下条件 (1) ∅∉ ； ∅∉π； (2) π中任意两个元素不交； 中任意两个元素不交； 中任意两个元素不交 (3) π中所有元素的并集等于 。 中所有元素的并集等于A。 中所有元素的并集等于 则称π为 的一个划分，且称π中的元素为划分块。 的一个划分 中的元素为划分块 则称 为A的一个划分，且称 中的元素为划分块。 有限， 的不同划分块的个数为划分 若π有限，则称 的不同划分块的个数为划分 的秩， 有限 则称π的不同划分块的个数为划分π的 否则称π的秩是无限的 的秩是无限的。 否则称 的秩是无限的。
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Discrete Mathematics 根据定义， 根据定义，在例1中有 [1]=[1]R={1,4,7}= [4]R= [7]R; [2]=[2]R={2,5,8}= [5]R= [8]R; [3]=[3]R={3,6}= [6]R; 且R的秩为 。 的秩为3。 的秩为
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Discrete Mathematics 等价类具有下面的性质： 等价类具有下面的性质： 是非空集合A上的等价关系 定理 设R是非空集合 上的等价关系，对任意的 是非空集合 上的等价关系， x,y∈A，下面的结论成立。 ∈ ，下面的结论成立。 (1). [x]≠∅，且[x] ⊆ A； ∅ ； (2).若xRy，则[x] = [y] ； 若 ， (3).若 若 (4). ，则[x]∩[y]= ∅ ；
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Discrete Mathematics 在非空集合A上给定一个划分 在非空集合 上给定一个划分π={A1,A2,…,Am}， 上给定一个划分 ， 找出由π所唯一确定的 所唯一确定的A上的等价关系的方法如 找出由 所唯一确定的 上的等价关系的方法如 下： 把划分π的每一块 都拿出来， 把划分 的每一块Ai都拿出来，并且作其笛卡 的每一块 尔积A 尔积 i× Ai(i=1,2,..,m) ，然后求这些笛卡尔积的 并集，即为所求， 并集，即为所求，即
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Discrete Mathematics 2、等价类 、 是非空集合A上的等价关系 设R是非空集合 上的等价关系，则A上互相等价的 是非空集合 上的等价关系， 上互相等价的 元素构成了A的若干个子集 叫做等价类 的若干个子集， 等价类。 元素构成了 的若干个子集，叫做等价类。 是非空集合A上的等价关系， 定义 设R是非空集合 上的等价关系，对任意的 是非空集合 上的等价关系 a∈A，令 [a]R={x|x∈A∧xRa}， ∈ ， ∈ ∧ ， 则称集合[a] 关于R的等价类，简称为a的 则称集合 R为a关于 的等价类，简称为 的等价 关于 简记为[a]。 类，简记为 。 其中a为 代表元；若等价类个数有限，则称R 其中 为[a]R的代表元；若等价类个数有限，则称 否则称R的秩是无 的不同等价类的个数为R的 的不同等价类的个数为 的秩，否则称 的秩是无 限的。 限的。
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二、等价关系
1、等价关系的定义 、 为非空集合A上的二元关系 定义 设R为非空集合 上的二元关系，如果 是自 为非空集合 上的二元关系，如果R是 反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。 上的等价关系 反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。 对任何x,y∈ ，如果<x,y>∈R(R为等价关系 ，则说 为等价关系)， 对任何 ∈A，如果 ∈ 为等价关系 则说x 等价， 与y等价，记作 等价 记作x~y。 。
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Discrete Mathematics 先求A的各种划分 只有1个划分块的划分 的各种划分： 个划分块的划分π 解 先求 的各种划分：只有 个划分块的划分 1 ， 具有3个划分 具有两个划分块的划分π 具有两个划分块的划分 2 ， π3和π4 ，具有 个划分 块的划分π 如下图所示。 块的划分 5 ，如下图所示。