离散数学,二元关系的性质

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二元关系离散数学

二元关系离散数学
二元关系是离散数学中非常重要的概念之一。

二元关系是指将两个元素组合在一起形成的一种关系。

例如，整数之间的“大于”、“小于”等关系。

在二元关系中，每个元素都称为关系的一部分。

二元关系可以用箭头或括号表示。

例如，如果我们有集合A={1，2，3}和集合B={a，b，c}，那么我们可以定义二元关系R={(1，a)，(1，b)，(2，b)}，这表示1和a、1和b，2和b之间存在关系。

二元关系的性质也是离散数学中非常重要的。

二元关系可以是自反的，反对称的，传递的和等价的。

自反关系表示每个元素都与自己存在关系，反对称关系表示如果两个元素之间存在关系，那么它们不能同时与相同的元素存在关系，传递关系表示如果两个元素之间存在关系，那么这种关系会传递到它们之间的其他元素之间，等价关系表示该关系是自反的、对称的和传递的。

这些性质有助于我们理解和描述二元关系。

二元关系在离散数学中有许多应用。

例如，它们可以用于网络分析、逻辑推理、图像处理等领域。

在计算机科学中，二元关系在数据库中的查询和排序算法中也有广泛应用。

总之，二元关系是离散数学中重要的概念之一，它将两个元素联系在一起，并具有许多重要的性质和应用。

《离散数学》课件-第四章二元关系

则关系R的各次幂为： R0 =A ={<1,1> ， <2,2> ， <3,3> ， <4,4> ， <5,5>} R1=R
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …，故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}

《离散数学》中二元关系传递性的判定

《离散数学》中二元关系传递性的判定离散数学是一门研究离散结构的数学学科，而二元关系是离散数学中一个重要的概念。

在离散数学中，我们经常需要对二元关系进行判定，其中最为重要的性质之一就是传递性。

本文将围绕《离散数学》中二元关系传递性的判定展开讨论。

让我们来了解一下什么是二元关系。

在集合论中，如果给定一个集合A，那么A的二元关系R可以定义为A中元素之间的某种关系。

具体来说，对于任意的a、b∈A，如果(a, b)∈R，那么称a与b有关系R。

二元关系可以用有向图来表示，其中A中的元素对应图中的结点，而关系R中的元素对应图中的边。

为了简化描述，我们暂时不考虑关系R的性质，而只讨论关系R中元素的组成部分。

对于集合A={1,2,3,4}，我们可以定义一个二元关系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}。

这样，我们就得到了一个有向图来表示关系R，如下图所示：[图一]在这个有向图中，结点1和结点2之间有一条有向边，表示(1,2)∈R；结点2和结点3之间也有一条有向边，表示(2,3)∈R；依此类推。

很显然，通过有向图可以直观地看出集合A中元素之间的关系。

那么，关系R中的元素有哪些性质呢？在这里我们先介绍关系R的一条重要性质：传递性。

传递性是指如果对于任意的a、b、c∈A，如果(a, b)∈R且(b, c)∈R，那么(a,c)∈R。

直观地说，如果关系R中存在一条从a到b的有向边，同时存在一条从b到c的有向边，那么就应该存在一条从a到c的有向边。

下面我们将讨论如何判定关系R中的传递性。

对于关系R中的传递性，常用的方法是直接检验。

我们可以利用集合A中元素之间的关系，通过逐对比较来判断关系R是否满足传递性。

下面我们以一个具体的例子来说明。

考虑集合A={1,2,3,4}，定义二元关系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}。

为了判断关系R是否传递，我们需要逐对比较关系R中的元素。

我们找到所有满足(a, b)∈R和(b, c)∈R 的元组，然后检查是否存在(a, c)∈R。

《离散数学》中二元关系传递性的判定

《离散数学》中二元关系传递性的判定
在离散数学中，二元关系是指一个关联两个元素的集合。

传递性是二元关系的一个重要性质。

传递性是指如果某个关系中的元素a与另外两个元素b和c之间有关联，而且b 与c之间也有关联，那么就可以推断出a与c之间也有关联。

传递性的判定方法有多种，下面我们将介绍两种常用的判定方法。

一、图形法
图形法是通过绘制一个关系的有向图，并判断图中是否存在从一个元素到另一个元素的路径来判定传递性。

具体操作步骤如下：
1. 绘制有向图：将关系中的元素表示为图中的结点，关系表示为有向边。

根据关系定义，确定图中的结点以及结点之间的有向边。

2. 找到路径：从一个元素出发，通过有向边找到与它关联的所有元素，然后再通过有向边找到这些元素关联的所有元素，一直继续下去，直到找不到新的元素为止。

3. 判断传递性：如果从一个元素出发，可以找到与之存在关联的所有元素，那么就说明关系是传递的。

二、矩阵法
矩阵法是将一个关系表示为一个方阵，通过矩阵的乘法运算来判定传递性。

1. 构建矩阵：将关系中的元素表示为矩阵的行和列，关系的存在与否表示为矩阵元素的值。

如果元素a与元素b之间存在关系，那么矩阵的第a行第b列的值为1，否则为0。

2. 矩阵乘法：将矩阵与自身进行乘法运算，得到的结果是一个新的矩阵。

这两种判定传递性的方法都比较简单直观，可以根据具体情况选择适用的方法。

在实际应用中，传递性的判定常常与其他性质一起使用，以提供更准确的判断结果。

离散数学2

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在上例中3个结果矩阵是在上例中个结果矩阵是: 个结果矩阵是
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求传递闭包--Warshall算法求传递闭包--Warshall算法 --Warshall
设集合基数为n 构造n+1个矩阵W 设集合基数为n，构造n+1个矩阵W0,W1,W2, n+1个矩阵 …Wn,W0为t( R )的关系矩阵,Wn即为t( R )的关系矩阵 Wn,W )的关系矩阵,Wn即为的关系矩阵,Wn即为t( )的关系矩阵 (1)令 (1)令W0=MR (2)设Wi- 已求出，现求Wi (2)设Wi-1已求出，现求Wi 考虑Wi- 的第i 考虑Wi-1的第i列，列中为1的元素分别位于P1,P2…行， Wi 列中为1的元素分别位于P 行同时考虑第i 该行中为1的元素位于q 同时考虑第i行，该行中为1的元素位于q1,q2…列，则：列 i中第中第P 列的元素改为1 把W i中第PS行qt列的元素改为1； (3)重复(2)过程，直到求出Wn (3)重复(2)过程，直到求出Wn 重复(2)过程 (4)根据Wn写出t( (4)根据Wn写出t( R ) 根据Wn写出 2.5.3）（见书上例2.5.3）见书上例2.5.3
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传递性：若ｘ到ｙ有边，ｙ到ｚ有边，则ｘ到ｚ必有边。
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二元关系的性质对应于关系图，二元关系的性质对应于关系图，有：（1）自反性：每个顶点都有自回路，）自反性：每个顶点都有自回路，（2）反自反性：每个顶点都没有自回路；）自反性：每个顶点都没有自回路；（ 3）对称性：任二个顶点间或没有边，或有二）对称性：任二个顶点间或没有边，条方向相反的有向边；条方向相反的有向边；（ 4）反对称性：任二个顶点至多只有一条有向）反对称性：也即：或没有边，或只有一条有向边）边；（也即：或没有边，或只有一条有向边）有边，有边，（5）传递性：若ｘ到ｙ有边，ｙ到ｚ有边，）传递性：则ｘ到ｚ必有边。必有边。

离散数学二元关系

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<x,y>R xRy 也称之为x与y有Ｒ关系。后缀表示中缀表示
<x,y>R xRy 也称之为x与y没有Ｒ关系。
例3. R是实数集合，R上的几个熟知的关系
≤ ≥ =
y x2+y2=4
x
从例3中可以看出关系是序偶(点)的集合 (构成线、面)。
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作业 P105 ⑵
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4-2 关系及其表示法
相关按照某种规则，确认了二个对象或多个
对象之间有关系，称这二个对象或多个对象是相关的。
例1：大写英文字母与五单位代码的对应关系R1: 令α={A,B,C,D,…Z}
β={30,23,16,22,…,21}是五单位代码集合
β={11000, 10011, 01110, 10010,…, 10001} R1={<A,30>,<B,23>,<C,16>,...,<Z,21>}α×β
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AB (CACB)。
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5) 设A、B、C、D为非空集合，则 ABCDAC∧BD 证明：首先,由ABCD 证明AC∧BD 任取xA，任取yB，所以 xAyB<x,y>A×B <x,y>C×D (由ABCD ) xCyD 所以, AC∧BD。其次, 由AC，BD 证明ABCD 任取<x,y>A×B xAyB xCyD (由AC，BD) <x,y>C×D 所以, ABCD 证毕。
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关系的表示方法枚举法：即将关系中所有序偶一一列举出，写在大括号内。如R ={ <1,1>,<1,2>,<1,3>, <1,4>, <2,2>, <2,3>, <2,4>, <3,3>, <3,4>, <4,4>} 。谓词公式法：即用谓词公式表示序偶的第一元素与第二元素间的关系。例如 R={<x,y>|x<y} 有向图法： RA×B,用两组小圆圈(称为结点)分别表示A和B 的元素，当<x,y>R时，从x到y引一条有向弧 (边)。这样得到的图形称为R的关系图。

《离散数学》中二元关系传递性的判定

《离散数学》中二元关系传递性的判定离散数学作为数学的一个分支，探索的是离散的结构，比如集合、图、数论等。

而在离散数学中，二元关系是一个非常重要的概念。

二元关系代表了两个元素之间存在某种特定关系的性质，比如等于、大于、包含等。

而在二元关系中，传递性是一个非常重要的性质，本文将会讨论《离散数学》中二元关系传递性的判定。

让我们来了解一下二元关系的传递性是什么意思。

一个二元关系R在集合A上是传递的，如果对于集合A中的元素a、b和c，当aRb且bRc成立时，必定有aRc也成立。

换句话说，如果R关系中的两个元素之间存在一种关系，那么这种关系应该能够传递到任意的元素上去。

然后，我们来看一下二元关系传递性的判定方法。

在《离散数学》中，判定一个二元关系是否传递有一些方法和技巧。

其中一个最基本的方法就是使用直接证明法。

具体来说，对于一个关系R在集合A上，我们需要证明对于集合A中的任意元素a、b和c，如果aRb且bRc成立，则aRc也成立。

这需要我们对于aRb和bRc的关系进行分析，并结合R关系的定义来进行推导，从而得出aRc的结论。

如果我们成功地证明了这一点，那么就可以得出结论：关系R在集合A上是传递的。

需要注意的是，判定二元关系传递性的过程可能会比较复杂，因此需要我们对于关系R的定义和集合A中元素的性质有深入的了解，同时需要运用逻辑推理和数学推导的方法。

在实际操作中，我们可能需要借助一些具体的例子来帮助我们理解和分析，以及验证我们的结论是否正确。

让我们通过一个例子来演示一下如何判定二元关系的传递性。

我们来考虑一个集合A={1,2,3,4,5}上的一个二元关系R，其中关系R定义如下：对于任意的a、b∈A，aRb当且仅当a+b是偶数。

我们需要判定关系R是否传递。

我们假设存在元素a、b和c，满足aRb且bRc成立。

根据关系R的定义，可以得出以下结论：1. 若aRb，则a+b是偶数2. 若bRc，则b+c是偶数我们需要推导出aRc是否成立。

《离散数学》中二元关系传递性的判定

《离散数学》中二元关系传递性的判定什么是二元关系？在离散数学中，二元关系是指集合之间的一种关联关系，它描述了集合中元素之间的某种联系。

在集合论中，二元关系是指集合A和B之间的一个子集R，它将A中的元素和B 中的元素一一对应起来，并表示它们之间的某种关系。

如果存在一个集合A={1, 2, 3, 4}和一个集合B={a, b, c}，那么A和B之间的一个二元关系可以被表示为一个有序对的集合，比如R={(1, a), (2, b), (3, a), (4, c)}。

这个关系表示了A中的元素与B中的元素之间的对应关系。

二元关系的性质二元关系可以有许多不同的性质，其中传递性是其中一个非常重要的性质。

在离散数学中，二元关系的传递性是指如果关系R中的元素a与b有关系，b与c有关系，那么a 与c也应该有关系。

换句话说，如果对于任意的a、b和c，只要(a, b)和(b, c)都属于关系R，那么(a, c)也应该属于关系R。

这就是传递性的定义。

传递性的判定在离散数学中，我们经常需要判定一个二元关系是否具有传递性。

这个判定其实并不复杂，只需要依据传递性的定义进行逐一检查即可。

1. 我们需要知道该二元关系R中的所有有序对。

2. 然后，对于R中的每一个有序对(a, b)和(b, c)，我们需要检查是否(a, c)也属于关系R。

举个例子来说明传递性的判定过程。

假设我们有一个集合A={1, 2, 3, 4}和一个关系R={(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4)}。

现在我们来判定这个关系R是否具有传递性。

我们列出关系R中的所有有序对：R={(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4)}对于(1, 1)和(1, 2)，由于1与1和2之间没有直接的联系，所以不需要考虑传递性。

对于(1, 2)和(2, 3)，这两个有序对满足传递性要求，因为1与2有关系，2与3有关系，所以1与3也应该有关系。

通过刚才的例子，我们可以看到一个具有传递性的关系的特点。

离散数学第四章二元关系和函数知识点总结

离散数学第四章二元关系和函数知识点总结集合论部分第四章、二元关系和函数集合的笛卡儿积与二元关系有序对定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作实例：点的直角坐标(3,4)有序对性质有序性（当x y时）与相等的充分必要条件是= x=u y=v例1 = ，求x, y.解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3定义一具有序n (n3) 元组是一具有序对，其中第一具元素是一具有序n-1元组，即= , x n>当n=1时, 形式上能够看成有序 1 元组.实例 n 维向量是有序 n元组.笛卡儿积及其性质定义设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作A B，即A B ={ | x A y B } 例2 A={1,2,3}, B={a,b,c}A B ={,,,,,,,,}B A ={,,,,,,, ,}A={}, P(A)A={, }性质：别适合交换律A B B A (A B, A, B)别适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)关于并或交运算满脚分配律A(B C)=(A B)(A C)(B C)A=(B A)(C A)A(B C)=(A B)(A C)(B C)A=(B A)(C A)若A或B中有一具为空集，则A B算是空集.A=B=若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn证明A(B C)=(A B)(A C)证任取∈A×(B∪C)x∈A∧y∈B∪Cx∈A∧(y∈B∨y∈C)(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)∈A×B∨∈A×C∈(A×B)∪(A×C)因此有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).例3 (1) 证明A=B C=D A C=B D(2) A C=B D是否推出A=B C=D 为啥解 (1) 任取A C x A y Cx B y D B D(2) 别一定. 反例如下：A={1}，B={2}, C=D=, 则A C=B D 然而A B.二元关系的定义定义设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={}, R2=A×B, R3=, R4={}. 这么R1, R2, R3,R4是从A 到B的二元关系, R3和R4并且也是A上的二元关系.计数|A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 因此A上有个别同的二元关系.例如 |A|=3, 则A上有=512个别同的二元关系.设A 为任意集合，是A 上的关系，称为空关系E, I A 分不称为全域关系与恒等关系，定义如下：AE={|x∈A∧y∈A}=A×AAI={|x∈A}A例如, A={1,2}, 则E={,,,}AI={,}A小于等于关系L A, 整除关系D A, 包含关系R定义： L={| x,y∈A∧x≤y}, A R，R为实数集合AD={| x,y∈B∧x整除y},BB Z*, Z*为非0整数集R={| x,y∈A∧x y}, A是集合族.类似的还能够定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.例如A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则L={,,,,,}AD={,,,,}AA=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是R={,,,,, ,,,}二元关系的表示表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图关系矩阵：若A={a1, a2, …, a m}，B={b1, b2, …, b n}，R是从A到B 的关系，R 的关系矩阵是布尔矩阵M R = [ r ij ] m n, 其中r ij= 1 R.关系图：若A= {x1, x2, …, x m}，R是从A上的关系，R的关系图是G R=, 其中A为结点集，R为边集.假如属于关系R，在图中就有一条从x i到x j 的有向边.注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系A={1,2,3,4},R={,,,,},R的关系矩阵M和关系图G R如下：R关系的运算基本运算定义：定义域、值域和域dom R = { x | y (R) }ran R = { y | x (R) }fld R = dom R ran R例1 R={,,,}, 则dom R={1, 2, 4}ran R={2, 3, 4}fld R={1, 2, 3, 4}逆与合成R1 = { | R}R°S = | | y (RS) } 例2 R={, , , } S={, , , , }R1={, , , }R°S ={, , }S°R ={, , , }定义 F 在A上的限制F?A = { | xFy x A}A 在F下的像F[A] = ran(F?A)实例R={, , , }R?{1}={,}R[{1}]={2,4}R?=R[{1,2}]={2,3,4}注意：F?A F, F[A] ran F基本运算的性质定理1 设F是任意的关系, 则(1) (F1)1=F(2) dom F1=ran F, ran F1=dom F证 (1) 任取, 由逆的定义有∈(F 1) 1 ∈F 1 ∈F因此有 (F1)1=F(2) 任取x,x∈dom F 1 y(∈F1)y(∈F) x∈ran F因此有dom F1= ran F. 同理可证 ran F1 = dom F.定理2 设F, G, H是任意的关系, 则(1) (F°G)°H=F°(G°H)(2) (F°G)1= G1°F 1证 (1) 任取,(F°G)°H t(∈F°G∧∈H) t (s(∈F∧∈G)∧∈H)t s (∈F∧∈G∧∈H)s (∈F∧t (∈G∧∈H))s (∈F∧∈G°H)∈F°(G°H)因此(F°G)°H = F°(G°H)(2) 任取,∈(F°G)1∈F°Gt (∈F∧(t,x)∈G)t (∈G1∧(t,y)∈F1)∈G1°F1因此(F°G)1 = G1°F1幂运算设R为A上的关系, n为自然数, 则R 的n次幂定义为：(1) R0={ | x∈A }=I A(2) R n+1 = R n°R注意：关于A上的任何关系R1和R2都有R 10 = R20 = IA关于A上的任何关系R 都有R1 = R性质：定理3 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数s 和t, 使得R s = R t.证R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的别同关系惟独个.当列出R 的各次幂R0, R1, R2, …, , …,必存在自然数s 和t 使得R s=R t.定理4 设R 是A 上的关系, m, n∈N, 则(1) R m°R n=R m+n(2) (R m)n=R mn证用归纳法(1) 关于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有R m°R0=R m°I=R m=R m+0A假设R m°R n=R m+n, 则有R m°R n+1=R m°(R n°R)=(R m°R n)°R=R m+n+1 ,因此对一切m, n∈N有R m°R n=R m+n.(2) 关于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有(R m)0=I A=R0=R m×0假设 (R m)n=R mn, 则有(R m)n+1=(R m)n°R m=(R mn)°R m=R mn+m=R m(n+1) 因此对一切m,n∈N有 (R m)n=R mn.关系的性质自反性反自反性定义设R为A上的关系,(1) 若x(x∈A→R), 则称R在A上是自反的.(2) 若x(x∈A→R), 则称R在A上是反自反的.实例：反关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A小于等于关系L A, 整除关系D A反自反关系：实数集上的小于关系幂集上的真包含关系例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{,}1R＝{,,,}2R＝{}3R自反,2R反自反,3R既别是自反也别是反自反的1对称性反对称性定义设R为A上的关系,(1) 若x y(x,y∈A∧∈R→∈R), 则称R为A上对称的关系.(2) 若x y(x,y∈A∧∈R∧∈R→x=y), 则称R为A上的反对称关系.实例：对称关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A和空关系反对称关系：恒等关系I A，空关系是A上的反对称关系.例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4基本上A上的关系,其中R＝{,}，R2＝{,,}1R＝{,}，R4＝{,,}3R对称、反对称.1R对称，别反对称.2R反对称，别对称.3R别对称、也别反对称.4传递性定义设R为A上的关系, 若x y z(x,y,z∈A∧∈R∧∈R→∈R), 则称R是A上的传递关系.实例：A上的全域关系E,恒等关系I A和空关系A小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系，真包含关系例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{,}1R＝{,}2R＝{}3R和R3 是A上的传递关系1R别是A上的传递关系2关系性质的充要条件设R为A上的关系, 则(1) R在A上自反当且仅当I A R(2) R在A上反自反当且仅当R∩I A=(3) R在A上对称当且仅当R=R 1(4) R在A上反对称当且仅当R∩R1I A(5) R在A上传递当且仅当R R R证明模式证明R在A上自反任取x,第11页/共11页。

离散数学第4章-二元关系

4.6 等价关系与划分
• 三性质 • 定理4.13 设R是A上的等价关系，则（1）对任一a∈A，有a∈[a]；（2）对a, b∈A，如果aRb，则[a]=[b]; （3）对a, b∈A，如果(a, b)∉R，则[a]∩[b]=∅; （4）∪a∈A[a]=A。
4.6 等价关系与划分
• 定理4.14 集合A上的任一划分可以确定A上的一个等价关系R。 • 定理4.15 设R1和R2是A上的等价关系， R1=R2⇔ A/R1=A/R2 。 • 定理4.16 设R1和R2是A上的等价关系，则 R1∩R2是A上的等价关系。
4 .3 关系的运算
• 一逆运算 • 定义4.7（逆关系）设R是从A到B的二元关系，则从B到A的二元关系记为R-1，定义为R-1 ={(b,a)|(a,b)∈R}，称为R的逆关系。 • 定理2.1 （1）(R-1)-1=R; （2）(R1∪R2)-1= R1-1∪ R2-1; （3）(R1∩R2)-1= R1-1 ∩R2-1; （4） (A×B)-1= B×A；
4 .5 关系的闭包
•
• (1) (2) (3) • (1) (2) (3)
二基本性质
定理4.5 设R是A上的二元关系，则 R是自反的 ⇔ r( R )=R； R是对称的 ⇔ s( R )=R； R是传递的 ⇔ t( R )=R；定理4.6 设R1和R2是A上的二元关系，若R1⊆R2则 r(R1)⊆ r(R2)； s(R1)⊆ s(R2)； t(R1)⊆ t(R2)。
第四章关系
4.1 二元关系 4.2 关系的性质 4 .3 关系的运算 4 .5 关系的闭包 4.6 等价关系与划分
4.1 二元关系
• 一定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，A×B的子集R称为从A到 B的二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若 (a, b)∈R，则称a与b有关系R，记为aRb。 (a, b)∉R：a与b没有关系R R=∅：空关系 R=A×B：全关系

离散数学 ch2.二元关系(3,4节)

下边R3、R4、 R6 、 R8均是对称关系。
1
。

1
。
2
。。 3
R1
1
。。 3
R2
1
。。 2。。 3 3
R3
1
R4
1
。
2
。
2
。
。
2
。。 3
R5
。。 3
R6
。。 2。。 3 3
R7 R8
四.反对称性
定义:设R为集合X中关系,若对任何x, y∈X,如果有（x,y)∈ R,和(y ,x)∈ R,就有x=y,则称R为A中反对称关系。如实数的小于关系<，≤ ，均是反对称的。父子关系是反对称的。
R 3 {(1,2), (3,0), (3,2)}
性质判定自反性
从关系的有向图每个结点都有环
从关系的矩阵主对角线全是1
反自反性
对称性反对称性
每个结点都无环
主对角线全是0
不同结点间如果有边, 是以对角线为对称则有方向相反的两条的矩阵边. 不同结点间,最多有一以主对角线为对称条边. 的位置不会同时为1
实际上r(R)、(s(R) 、t(R)) 就是包含R的“最小” 的自反(对称、传递)关系。三.计算方法定理1.给定 A中关系R,则 r(R)=R∪IA。证明：令R’=R∪IA,显然R’是自反的和RR’，下面证明R’是“最小的”：如果有A上自反关系 R”且RR”,又IAR”,所以 R∪IAR”,即R’R”。所以R’就是R的自反闭包。即r(R)=R∪IA 。 ~ R 定理2.给定 A中关系R,则 s(R)=R∪ 。证明方法与1.类似。（集合法）定理3.给定 A中关系R,则 t(R)=R∪R2∪R3∪... 。证明：令R’= R∪R2∪R3∪..., ⑴显然有 RR’ ；

离散数学中二元关系的性质判定

离散数学中二元关系的性质判定
二元关系是离散数学中最基本的概念之一。

二元关系可以描述两个数之间特定的关系。

由于它在组合数学、图论、计算机科学和逻辑学等领域中都有应用，因此对于二元关系的
性质进行判定具有重要意义。

本文将介绍关于二元关系的一些基本性质以及它们的判定方法。

1. 反身性
反身性是二元关系重要的性质之一。

一个关系R是反身的，如果对于对于集合A中的
每个元素x，(x,x)∈R。

也就是说，每个元素都与自身有某种关系。

例子：等于关系“=”是一个反身关系。

判定方法：检查二元关系R中是否每个元素都与自身有关系。

2. 对称性
判定方法：检查二元关系R中是否对于任意两个不同的元素x和y，如果(x,y)∈R，则(y,x)∈R。

3. 传递性
6. 等价关系
等价关系是具有反身性、对称性和传递性的关系。

一个关系R是等价的，如果它是反
身的、对称的和传递的。

判定方法：检查二元关系R是否满足反身性、对称性和传递性。

7. 偏序关系
总结
本文介绍了离散数学中二元关系的一些性质和判定方法。

了解这些性质和方法对于学
习离散数学以及其他数学领域非常重要。

在实践中，应该根据问题需要来选择合适的关系
及其性质，以推导出更准确的解决方案。

《离散数学》中二元关系传递性的判定

《离散数学》中二元关系传递性的判定1. 引言1.1 介绍二元关系二元关系是离散数学中一个非常重要的概念。

在离散数学的研究中，我们常常需要研究元素之间的各种关系，而二元关系就是其中一种最基本的形式。

简而言之，二元关系就是一个元素对的集合，其中每个对代表了两个元素之间的关系。

举个简单的例子来说明二元关系。

假设我们有一个集合A={1,2,3,4}，我们可以定义一个二元关系R为{(1,2),(2,3),(3,4)}。

在这个关系中，元素1和2之间存在关系，元素2和3之间也存在关系，但是元素1和3之间并没有直接的关系。

二元关系可以通过图形的形式来表示，通常我们用有向图或者无向图来表示不同类型的二元关系。

有向图中，每个节点代表集合中的一个元素，而每条边代表元素之间的关系。

无向图则更多地表示元素之间的对称关系。

通过研究二元关系，我们可以更深入地探讨元素之间的关系性质，为解决各种离散数学中的问题奠定基础。

在接下来的我们将深入研究二元关系的性质以及传递性的重要性。

1.2 引入传递性概念传递性是离散数学中一个重要的性质，它指的是如果集合中的元素之间存在某种关系，那么这种关系是否能够由某种规律或者条件连接起来，使得如果集合中的某两个元素之间存在这种关系，那么它们之间也存在这种关系。

传递性是二元关系中的一个基本概念，它能够帮助我们理解和分析集合中元素之间的关系，从而推断出更多的信息。

在离散数学中，传递性的概念是非常重要的。

通过传递性，我们可以将复杂的关系简化为更加清晰和直观的形式，从而更好地理解集合中元素之间的联系。

传递性也为我们解决问题提供了一种有效的方法，例如在图论、逻辑推理和关系代数等领域中，传递性都扮演着重要的角色。

了解二元关系的传递性及其判定方法对于深入学习离散数学是非常有帮助的。

在接下来的正文中，我们将详细介绍二元关系的定义、性质和传递性的概念，以及如何判定二元关系是否具有传递性，希望能够带给读者更多的启发和认识。

离散数学课件第四章二元关系习题

闭包的定义基于关系的传递性，即如果关系R满足传递性，那么对于任何元素x，如果存在元素y和z，使得xRy和yRz，那么一定存在一个元素z'，使得xRz'。闭包就是由给定关系和所有满足闭包定义的新元素构成的关系集合。
闭包具有一些重要的性质，这些性质决定了闭包在数学和计算机科学中的广泛应用。
同余关系的应用
应用1
在密码学中，同余关系可用于生成加密密钥。例如，通过选择两个同余的数作为密钥，可以确保加密和解密操作的一致性。
应用2
在计算机科学中，同余关系可用于实现数据校验。例如，通过将数据与一个已知的校验值进行同余运算，可以检测数据是否在传输过程中被篡改。
THANKS
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反对称性
如果对于关系中的每一对元素，如果元素x与元素y 有关系，且元素y与元素x 也有关系，但元素x与元素y的关系不等于元素y与元素x的关系，则称该关系具有反对称性。
习题解析
习题1
判断给定的关系是否具有自反性、反自反性、对称性和反对称性。通过举例和推理，分析给定的关系是否满足这些性质。
习题2
表示方法
总结词
掌握二元关系的表示方法是解题的关键。
详细描述
在数学中，我们通常使用笛卡尔积来表示二元关系。例如，如果A和B是两个集合，那么A和B的笛卡尔积可以表示为A×B，它包含了所有形如(a, b)的元素，其中a属于 A，b属于B。
习题解析
总结词
通过解析具体习题，可以加深对二元关系定义和表示方法的理解。
有着广泛的应用。
05
习题五：关系的同余
同余关系的定义与性质
定义
反身性
对称性
传递性
如果对于任意元素$x$，都有$f(x) = g(x)$，则称$f$和$g$是同余的。

离散数学中二元关系性质判定论文

离散数学中二元关系的性质判定【摘要】关系的性质是关系中的基本内容，对理解关系有着重要的意义。

文中对二元关系性质的四种判定方法进行了分析和探讨，即，根据定义判定、根据定理判定、根据关系图判定、根据关系矩阵判定。

以加深学生理解，方便灵活运用。

【关键词】离散数学；二元关系；性质；判定【中图分类号】g64 【文献标识码】a 【文章编号】2095-3089（2013）4-0-02离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学的理论基础和核心课程。

关系是离散数学中非常重要的一个基本概念，关系的概念在计算机科学是也是最基本的，它在形式语言、编译程序设计、信息检索、数据结构、算法分析、数据库和有限自动机等方面起着重要作用。

关系是一个使用得很频繁的词，如数集上大于关系、小于关系；平面集上的直线平行关系、三角形相似关系；人群集合上的父子关系、同乡关系等，这些都是离散数学中的关系研究的范畴。

所以，离散数学中的关系是一个抽象的概念，定义为笛卡尔积a1×a2×…×an的任意一个子集。

二元关系是我们讨论的重点内容，定义为笛卡尔积a1×a2的任意子集。

关系的性质是关系的基本属性，是认识和分析关系的关键。

关系的基本性质主要包括自反、反自反、对称、反对称以及传递性。

如何判定关系的性质是我们必须要掌握的方法。

关系基本性质的判定主要有四种方法：第一是直接根据定义判定；第二是根据定理判定；第三是根据关系图判定；第四是根据关系矩阵判定。

本文将对这四种方法进行讨论。

1 根据定义判定定义：设ρ是集合a上的二元关系，1）若对于所有的a∈a，有（a，a）∈ρ，则称ρ是自反的。

否则，称ρ是非自反的。

2）若对于所有的a∈a，有（a，a）?ρ，则称ρ是反自反的。

3）对于所有的a，b∈a，若每当有（a，b）∈ρ时就有（b，a）∈ρ，则称ρ是对称的。

否则，称ρ是非对称的。

4）对于所有的a，b∈a，若每当有（a，b）∈ρ和（b，a）∈ρ时，就必有a=b，则称ρ是反对称的。

离散数学中的二元关系

离散数学中的二元关系1 什么是二元关系二元关系是离散数学里面一个重要的概念，指的是两个可以分别属于两个集合A和B的元素之间的关系。

它是一种特殊的集合论概念，意味着在某一个函数f上，两个元素之间存在着一种单一的关系，这种关系被称之为二元关系。

这种二元关系可以用写成集合的形式也可以是表的形式。

2 二元关系表的一般形式一般的二元关系表的形式为：$f=\left\{\left(x,y\right)\inA\times B \mid P(x,y)\right\}$其中，A和B都是集合，P(x,y)是关于它们的关系式，学习中会有各种关系式，比如等于、不等于、大于及小于等。

3 二元关系的类型由于不同的二元关系关系式不同，所以，二元关系也可以分为多种类型。

常见的有：（1）等价关系：表示两个可以互换的元素之间的关系，一般以“=”表示，也可以一一对应；（2）全序关系：表示两个元素之间的一种“前大于后”的关系，一般以“>”或“<”表示，可以用来描述一种有序的类型；（3）传递关系：这种关系意味着“当关系式成立时，如果保持原有的条件不变，则关系式仍然成立”，这种关系一般以“++”表示；（4）偏序关系：和全序关系类似，也是一种前大于后的一种关系，但不代表完全的大小，只是一种大体的参照，一般以“>+”及“<+”表示；（5）子集关系：子集关系是一个集合是某个集合的子集，一般以“⊆”表示；（6）关联关系：此关系也称为满足关系，是指满足一定的关系式，两个或多个元素有直接或间接的关系，一般以“→”表示。

4 二元关系的应用二元关系是离散数学中很重要的概念，与它特殊的表达方式有着密切的联系。

在数学运算中，二元关系常常被用来表示集合之间的关系、排列组合以及概率等，还应用于计算机科学中的图论。

此外，在社会学、心理学等学科中，二元关系也被广泛应用，它有助于理解彼此之间的关系、区分概念及表达媒体变化等。

离散数学二元关系相容

离散数学二元关系相容离散数学是一门重要的数学分支，而二元关系是其中的一个关键概念。

其中，相容是二元关系的一个重要性质。

本文将从不同角度深入探讨相容关系，并展示其在实际生活中的应用。

首先，我们来介绍一下二元关系的概念。

二元关系是指从一个集合到另一个集合的规则，它可以用于描述元素之间的某种关联或联系。

二元关系通常用R表示，如果两个元素a和b满足某个关系，我们可以表示为aRb。

在离散数学中，二元关系有许多种类，如等价关系、偏序关系等。

其中，相容关系是指当两个二元关系同时满足一定条件时，它们之间存在一定的联系或者相互兼容。

具体来说，设R和S是定义在集合A上的两个二元关系，如果对于A中的任意元素a和b，当aRb时必有aSb，那么我们称R和S是相容的。

换句话说，当R和S都满足一定的条件时，它们所描述的关系是相容的。

接下来，让我们来看一些相容关系的例子。

首先，考虑一个集合A 表示某个班级的学生，关系R表示两个学生是同班关系，而关系S表示两个学生是同性别关系。

显然，当两个学生是同班关系时，他们也一定是同性别关系。

因此，关系R和S是相容的。

再举一个例子，考虑一个集合A表示某个地区的居民，关系R表示两个居民认识关系，关系S表示两个居民是朋友关系。

同样地，当两个居民是朋友关系时，他们也一定是互相认识的。

因此，关系R和S 也是相容的。

相容关系在实际生活中有着广泛的应用。

首先，它在计算机科学和信息技术领域起着重要作用。

例如，在数据库中，我们经常需要处理不同的数据元素之间的关系。

当两个关系是相容的时，我们可以更加方便地进行数据查询和处理。

此外，相容关系还在社交网络分析、推荐系统等领域发挥着重要作用。

在社交网络中，我们常常需要分析用户之间的关系，以推荐合适的社交圈子或者好友。

当关系是相容的时，我们可以更准确地评估用户之间的亲密程度，从而提供更加个性化的推荐。

总结起来，离散数学中的二元关系是一种重要的数学工具，而相容则是二元关系的一个重要性质。

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