第四节 广义积分
第五章 第4节广义积分
= ∞.
故原反常积分发散. 故原反常积分发散
13
例4 计算反常积分 ∫0 解
3
dx ( x − 1)
2 3
.
瑕点 x =1
(x − 1) 1 dx = lim 1−ε dx ∫0 ∫0 2 = 3, 2 ε →0 + 3 (x ( x − 1) 3 (x − 1) 3 dx = lim 3 dx = 3 ⋅ 3 2 , ∫1 ∫ 2 2 ε → 0 + 1+ ε 3 (x − 1) ( x − 1) 3
dx . 1 + x2
= lim [arctan x ]a+ lim [arctan x ]0
0 b a → −∞ b → +∞
= − lim arctan a + lim arctan b
a → −∞ b → +∞
− π + π = π . = − 2 2
5
2 例3 计算反常积分 ∫π
x 1+ x
2
+∞
2
−∞
=____； dx =____；
19
5 、广义积分 ∫
1
xdx
2
0
6 、广义积分 ∫
x
−∞
1− x 的几何意义是______ ______________ f ( t )dt 的几何意义是______________
________ __； = ________；
________________________. ________________________.
f ( x ) 在无穷区间[a ,+∞ ) 上的反常积分 ， 记作 上的反常积分，
广义积分
b
a
f ( x )dx
此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分 发散.
a
b b
3.定义 设 f ( x ) 在 [a, c) (c, b] 上连续,并且
lim f ( x ) ,如果 f ( x )dx和 f ( x )dx
c b
xc
a
c
同时收敛,则称它们的和为函数 f ( x ) 在 [a , b] 上的瑕积分. 记作:
例10 求
3
1
x 1 x3
0
dx.
1 3
1 解 令 x t 则 x t dx t dt 3 1 2 6 1 1 x t 1 3 t dt 1 0 1 x 3 dx 0 3 2 (1 t ) 1 1 t (1 t ) dt 0 t (1 t ) 3 3 1 1 ( )( ) 1 2 1 1 1 2 . ( , ) 3 (1) 3 3 2 2
2
即瑕积分发散.
总结
定义及以下两个特殊广义积分: 无穷积分 1
1 dx p x
p 1 时收敛, p 1 时发散.
瑕积分
1
0
1 dx ( p 0) p x p 1 时收敛, p 1 时发散.
三. 函数 定义 广义积分 (r ) 0 x e dx (r 0)
1 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2
2 3
dt
2 2 ln 2
即广义积分收敛,值为 2 2 ln 2.
例5.讨论广义积分 0
解
1 i 因 xlm p 0 x
1
1 dx ( p 0) 的敛散性. p x
高等数学@5-4反常积分
( x)dx
发散
.
y f (x)
s
a
b
x
b
定义
b
f ( x)dx lim f ( x)dx .
a a
右端极限存在,
则称 反 广常 义积分
b
f
( x)dx
收敛
,
否则
,
则称
b
f
( x)dx
发散
.
2
f ( x)dx
定义
0
f ( x)dx
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F (x)
F () F (a)
b
f (x) dx F (x)
f (x) dx F (x)
F (b) F () F () F ()
(a 0)
解.
x
3a 是
x 3a2
x
2
的无穷间断点
.
3a x dx
0
3a2 x2
( 3a)
3a2 x2
0
(0 3a) 3a . #
上限 (
3 a)
代入的含义是
lim
x( 3 a)
3a2 x2 .
13
例6.
1 1 1 x
解:
[ arctan x ]|0
[ arctan x ]|
0 22
思考:
分析:
原积分发散 !
第四节 反常积分(广义积分)
f ( x)dx F ( x) F() F(a),F() lim F( x).
a
a
x
b
b
f ( x)dx F ( x)
F(b) F(),F() lim F( x).
x
f ( x)dx F ( x) F() F().
10
例
计算反常积分
1
dx x
2
.
解
1
dx x2
例 求 a 0
x3 a2
x2
dx
(a 0).
解 令x a sint, dx a cos tdt
原式
2
a
3
sin
3
t
a
cos
tdt
0 a2 a2 sin2 t
a3
2 sin3 tdt
2 a3
0
3
注 此反常积分经变量代换化成了定积分.
32
下面是无穷区间上无界函数的反常积分
例
1
1.计算
e
x
ln 2
dx x
解
e
1 x ln2
dx x
e
1 ln 2
dlnx x
1 ln x
e
1
19
2002年考研数学(二)填空3分
2.位于曲线 y xex (0 x )下方, x轴上方的
无界图形的面积是
解 A xexdx xdex
0
0
[ xe x e xdx] 1
设0
x
,
则
x dt 0 1 t2
1 x
dt
0 1 t2
(
C
).
( A)arctan x
(B)2arctan x
课件：反常积分
dx发
散,
1
1
1 x
dx也
发
散.
思考题(2)
求位于x轴上方,直线x 1右侧,曲线y 2 1 x2
下方的平面图形的面积.
解
所求面积
1
1
2 x
2
dx
2arctan
x 1
22
4
.
2
三、小结与教学要求:
◆掌握无穷限的广义积分
a
f
( x)dx,
b
f
( x)dx,
f
(
x
)dx.
◆掌握无界函数的广义积分（瑕积分）
若lim b ta t
f
( x)dx存在,
则称此极限为f ( x)在(a,b]上的反常积分, 记作ab f ( x)dx,
即
b
a
f ( x)dx
b
lim
ta t
f ( x)dx,
此时,也称广义积分收敛; 否则,称广义积分发散.
类似地, 设f ( x)在[a,b)上连续, 点b为f ( x)的瑕点,
若lim t tb a
f
( x)dx存在,
则称此极限为f ( x)在[a,b)上的反常积分, 记作ab f ( x)dx,
即
b
a
f ( x)dx
t
lim
tb a
f ( x)dx.
此时,也称广义积分收敛; 否则,称广义积分发散.
若f ( x)在[a,b]上除c点外处处连续,且c为瑕点,则定义
b
a
x
1
,
(2) p 1,
1 1 x p dx
x1 1
p
p
1
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面的面积或者曲线长度。
它是微积分中的基本操作之一，也是求解微分方程、计算物理量等问题的重要工具。
广义积分的定义比较抽象，需要通过极限的思想来理解。
在介绍广义积分的定义之前，我们先来回顾一下定积分的概念。
定积分是广义积分的一种特殊情况，它可以用来计算曲线下面的面积。
如果我们将曲线分割成无穷多个小的线段，并在每个小线段上取一个点，那么这些小线段的长度乘以对应的函数值的和，就是定积分的近似值。
当这些小线段的长度趋于零时，这个近似值就会趋于定积分的真实值。
但是，并不是所有的函数都可以直接求定积分。
有些函数在某些点上可能会没有定义或者无界，导致无法直接计算定积分。
为了解决这个问题，人们引入了广义积分的概念。
广义积分可以看作是对函数在某些点上的不连续或者无界部分的补充，使得我们可以对更广泛的函数进行积分计算。
广义积分的定义分为两种情况：无界区间上的广义积分和间断点处的广义积分。
对于无界区间上的广义积分，我们需要将积分区间分割成有限段，并在每一段上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。
如果这个极限值存在，那么我们就称之为无界区间上的广义积分存在。
对于间断点处的广义积分，我们需要在间断点附近分割积分区间，并在每个小区间上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。
如果这个极限值存在，那么我们就称之为间断点处的广义积分存在。
广义积分存在的充分条件是函数在积分区间上的绝对可积。
函数的绝对可积意味着函数在积分区间上的绝对值是可积的，即它的定积分存在。
如果函数在积分区间上不是绝对可积的，那么它的广义积分就不存在。
广义积分在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，广义积分可以用来计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。
在经济学中，广义积分可以用来计算总收入、总支出等经济指标。
在概率论中，广义积分可以用来计算随机变量的期望值、方差等统计量。
广义积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述曲线下面的面积或者曲线长度。
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。
它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将从不同的角度介绍广义积分的定义及其应用。
我们来看一下广义积分的定义。
广义积分是对不可积函数的积分的推广。
在一定条件下，如果函数在给定区间上的积分存在有限值，那么我们称之为广义积分存在。
广义积分的定义基于极限的概念，通过将函数分割成无穷多个小区间，并计算每个小区间上的积分来得到。
广义积分的计算方法有多种，其中最常见的是分部积分法和换元积分法。
分部积分法是将一个复杂的积分式分解成两个简单的积分式，然后进行计算。
换元积分法则是通过变量替换将复杂的积分式转化为简单的形式，从而进行计算。
这两种方法在解决复杂的广义积分计算问题时非常有用。
广义积分在数学中的应用非常广泛。
它可以用于计算曲线的弧长、曲线下面积、体积等。
在物理学中，广义积分常用于描述物体的质量、力、功等。
在工程学中，广义积分则可以用于计算电路中的电流、电压等。
除了数学、物理、工程领域，广义积分还有一些其他的应用。
例如，在经济学中，广义积分可以用于计算收益、成本等；在生物学中，广义积分可以用于计算生物体积、生长速度等。
总之，广义积分在各个领域中都有着重要的应用价值。
广义积分的研究也是数学中的一个重要方向。
许多数学家致力于研究广义积分的性质和特点，以及它们在各个领域中的应用。
这些研究不仅推动了数学的发展，也为其他学科的发展提供了重要的理论支持。
总结起来，广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。
它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
广义积分的计算方法有多种，如分部积分法和换元积分法。
广义积分的应用范围非常广泛，包括计算曲线的弧长、曲线下面积、体积等。
此外，广义积分的研究也是数学中的一个重要方向。
通过不断深入研究广义积分的性质和特点，可以为其他学科的发展提供重要的理论支持。
广义反常积分简单提
a
dx
a
lim
dx
0 a2 x2 0 0 a2x2
l im 0arcsaxina0 l im 0arcas ain0
2
.
例 6证 明 广 义 积 分 01x1qd当 xq1时 收 敛 ， 当
q1时 发 散 .
证 (1)q1,
11
0 x q
dx
1
0
1 x
dx
lnx10
,
(2)q1,
1
0
1 xq
1
dx x2
.
解
dx 1 x2
0 dx 1 x2
dx 0 1 x2
al ima011x2dxbl im0b11x2dx
al im arctxa 0 anbl im arctxab0n
al im arctaanbl im arctban22.
例2
计算广义积分
2
1 x2
c
b
l i0a m f(x )d x l i0c m f(x )dx
否 则 ， 就 称 广 义 积 分 a b f ( x ) d 发 散 . x
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
a dx
例5
计算广义积分 0
a2x2
(a0).
解
lim 1 , xa0 a2x2
x a 为 被 积 函 数 的 无 穷 间 断 点 .
第四节 广义（反常）积分
• 一、无穷限的广义积分 • 二、无界函数的广义积分 • 三、小结
一、无穷限的广义积分
定义 1 设函数f (x)在区间[a,)上连续，取
ba，如果极限lim b b a
f
(x)dx存在，则称此极
高数 广义积分
0
20
1 2
e
x
2
0
1 lim (e x 2 e0 ) 1
2 x
2
例2：试确定积分
a
1 xp
dx
在 p 取什么值时
收敛，取什么值时发散（a >0）。
解（1）当 p 1 时
a
1 xp
dx
a
x
p
d
x
1 p
1
x
p1
a
（I）当 p >1 时，则
1 p1
x
p1
a
lim
a
f (x) d x
存在或收敛，
如果
lim
t b
t a
f (x) d x 不存在
,
就称广义积分发散。
（2）设 f (x) 在 [ a , b ）上连续，点 b 为 f (x) 的 瑕点，则对任意的 a < t < b, f (x) 在 [ a , t ] 上连续，
因此积分
t a
f ( x) d x 存在
1
arctan x2
x
dx
arctan
x
d (
1
)
1
x
arctan x
x
1
1 d (arctan x ) 1x
4
1
1 x(1 x2 )
dx
4
1
(
1 x
x 1 x2
)d x
4
ln
x
1 2
ln
(
1
x
2
)
1
4
ln
x
1
x
2
1
例4：计算
广义积分、定积分应用
第四节 广义积分在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分，因此，我们需要对定积分作两种推广，从而形成了广义积分的概念. 一. 无穷区间上的广义积分1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.（1）由曲线xy e -=，及x 轴、y 轴所围成的图形的面积（作图） 解：0limlim 11bx bb b A e dx e --→+∞→+∞⎡⎤==-=⎣⎦⎰ （2）由曲线xy e =，及x 轴、y 轴所围成的图形的面积（作图） 解：0limlim 11x a a a a A e dx e →-∞→-∞⎡⎤==-=⎣⎦⎰. 2．定义1.设函数()x f 在区间[)+∞,a 上连续，取a b >.如果极限 ()dx x f bab ⎰+∞→lim存在，则称此极限为函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分，记作()dx x f a⎰+∞.即：()dx x f a⎰+∞()dx x f bab ⎰+∞→=lim————（1）这时，也称广义积分()dx x f a⎰+∞收敛；如果上述极限不存在，函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分就没有意义，习惯上称为广义积分()dx x f a⎰+∞发散.定义2.设函数()x f 在区间(]b ,∞-上连续，取b a <.如果极限()dx x f baa ⎰-∞→lim存在，则称此极限为函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分，记作()dx x f b⎰∞-.即：()dx x f b⎰∞-()dx x f baa ⎰-∞→=lim————（2）这时，也称广义积分()dx x f b⎰∞-收敛；如果上述极限不存在，函数()x f 在区间(]b ,∞-上的广义积分就没有意义，习惯上称为广义积分()dx x f b⎰∞-发散.定义3.设函数()x f 在区间()-+∞∞，上连续，如果广义积()dx x f ⎰∞-0和()dx x f ⎰+∞都收敛，则称上述两广义积分之和为函数()x f 在区间()+∞∞-,上的广义积分，记作：()()()dx x f dx x f dx x f ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0.------（3）这时，也称广义积分()dx x f ⎰+∞∞-收敛；否则，就称()dx x f ⎰+∞∞-发散.上述定义的三种广义积分统称无穷限的广义积分. 例1． 求22111lim lim arctan lim arctan .1144|b b b b b dx dx x b x x ππ+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤===-=⎢⎥++⎣⎦⎰⎰ 注意：表面上是代入上、下限作差，其实，这里的上限值是函数的极限。
第七章第四节广义积分
t a 0 t
b
f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x ) 在区间[a , b )上连续， 而在点b 的左邻域内无界.取 tb ，极限
t b 0 a
lim
t
f ( x )dx 称为函数
f ( x ) 在区间[a , b ) 上的广
二、无界函数的广义积分
设函数 f ( x ) 在区间 (a , b] 上连续，
则对任意a<t<b，f(x)在区 间[t,b]上连续。 所以积分下限函数
y
y f ( x)
b
t
f ( x )dx
O a t
t a 0 t
存在。 考虑它的极限
b x
lim
b
f ( x )dx
不妨记为
baf (Fra bibliotekx )dx lim arctan x a lim arctan x 0
0 b a b
lim arctan a lim arctan b . a b 2 2
例2 讨论广义积分 解
0
cos xdx 敛散性
由于 sin x是 cos x的一个原函数，
则 cos xdx sin a, 而 limsin a
0 a
a
极限不存在，所以广义积分发散
例3
解
计算广义积分
b
0
te
pt
dt （p是常数，且p>0）。
0
te
pt
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
广义积分的定义是对于一类无界函数或者在某些点上发散的函数，通过一种特殊的处理方法来进行求解。
下面将对广义积分的定义和性质进行详细介绍。
我们来看广义积分的定义。
对于一个定义在区间[a, b)上的函数f(x)，如果在[a, b)上存在一个数c，使得对于任意的c < t < b，函数f(x)在区间[a, t]上是可积的，那么我们称函数f(x)在区间[a, b)上是广义可积的。
此时，我们将广义可积函数在区间[a, b)上的积分定义为极限值：∫(a to b) f(x) dx = lim(t→b-) ∫(a to t) f(x) dx其中，积分号∫表示对x的积分，a和b分别是积分的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
广义积分的定义中有两个关键点，一个是上限t趋近于b时的极限，另一个是被积函数在[a, t]上可积。
这两个条件保证了广义积分的存在性。
接下来，我们来讨论广义积分的性质。
首先是线性性质，即对于任意的实数a和b，以及广义可积函数f(x)和g(x)，有以下等式成立：∫(a to b) [af(x) + bg(x)] dx = a∫(a to b) f(x) dx + b∫(ato b) g(x) dx其次是区间可加性，即对于任意的c，a，b满足a < c < b，以及广义可积函数f(x)，有以下等式成立：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx再次是保号性，即如果在[a, b)上的广义可积函数f(x)非负，那么广义积分的值也是非负的。
最后是比较定理，包括比较判别法、比较审敛法和比较收敛法。
比较判别法用于判断广义积分的敛散性，如果存在一个广义可积函数g(x)，使得在[a, b)上的广义可积函数f(x)满足|f(x)| ≤ g(x)，那么广义积分∫(a to b) f(x) dx一定收敛。
4.4广义积分
0
6 、广义积分 ∫
x
−∞
1− x 的几何意义是______ ______________ f ( t )dt 的几何意义是______________
________ __； = ________；
________________________. ________________________.
b
+∞
∫−a f (x) dx a→+∞
a
v.p.∫ f (x) dx (c为瑕点, a < c < b)
a
c−ε f (x) dx + b f (x) dx = lim ∫ ∫c+ε + a ε →0
注意: 注意 主值意义下广义积分存在不等于一般意义下 广义积分收敛 .
例题 试证
注意到: Γ(1) = ∫
+∞ −x e dx 0
=1
= L= n!Γ(1)
(2) 当s → 0+时, Γ(s) → +∞. 证:
Γ(s +1) Q Γ(s) = , Γ(1) = 1 s 且可证明Γ(s) 在s > 0连续,
∴s → 0 时, Γ(s) → +∞
(3) 余元公式:
+
当s = 1 时, 有 2
4.4 广义积分 广义积分
积分限有限 被积函数有界
常义积分
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分(瑕积分）
一、无穷限的广义积分 无穷限的广义积分 广义
引例. 引例 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
x2 其含义可理解为 b b dx −1 A = lim ∫ 2 = lim 1 x b→+∞ x 1 b→+∞
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§4 广义积分【目的要求】1、理解无穷型和无界型广义积分的概念；2、熟练掌握广义积分的求法；3、了解Γ函数的概念与性质． 【重点难点】1、无穷型和无界型广义积分的定义；2、无穷型和无界型广义积分的求法． 【教学内容】前面我们讲的定积分()d ba f x x ⎰是在下述条件下讨论的：(1) 积分区间[],a b 有限；(2) 被积分函数()f x 在[],a b 上有界.然而，在实际问题中，常会遇到积分区间为无穷区间或者被积函数在有限积分区间上为无界函数的积分. 因此，有必要将定积分加以推广，引入广义积分的概念.一、无穷限的广义积分定义 4.1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续，取u a >，如果极限lim ()d uau f x x J →+∞=⎰存在，则此极限J 为函数()f x 在[,)a +∞上的广义积分或反常积分. 记作()d lim ()d uaau J f x x f x x +∞→+∞==⎰⎰.此时，我们称广义积分()d af x x +∞⎰存在或收敛；如果上述极限不存在，称()d af x x +∞⎰发散.类似地，可定义函数()f x 在(],b -∞上的广义积分为：()d l i m ()dbbuu f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰. 如果上述极限存在，则称广义积分()d b f x x -∞⎰收敛；否则称为发散.也可定义函数()f x 在(),-∞+∞上的广义积分. 称()d f x x +∞-∞⎰为收敛的，当且仅当广义积分()d c f x x -∞⎰与()d cf x x +∞⎰均收敛，且()d ()d ()d c cf x x f x x f xx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰（c 为实数）. 当()d c f x x -∞⎰与()d cf x x +∞⎰中至少有一个发散时，则称广义积分()d f x x +∞-∞⎰为发散的.例 1 设p 为常数，试讨论11d p x x+∞⎰的敛散性. 解 当1p =时，11111d lim d lim ln lim ln ln1u uu u u x x xu xx +∞→+∞→+∞→+∞===-=+∞⎰⎰（不存在）.所以，11d x x+∞⎰是发散的. 当1p ≠时，1111111d lim d lim 1u p up p u u x x x x x p +∞-+→+∞→+∞==-+⎰⎰ =111lim11p u u p p-+→+∞--+- 因为10p -+>，即1p <，1lim p u u -+→+∞=+∞.而10p -+<，即1p >时，1lim 0p u u -+→+∞=.所以，当1p <时，11d p x x +∞=+∞⎰，即11d p x x+∞⎰是发散的. 1p >时，111d 1p x x p+∞=-⎰，即11d p x x +∞⎰是收敛的. 综上所述：当1p ≤时，广义积分11d p x x +∞⎰发散；当1p >时，广义积分11d p x x+∞⎰收敛，且其值为11p-. 由无穷区间广义积分的定义，可知无穷区间广义积分的计算是一般在计算定积分()d ba f x x ⎰之后再求极限. 若极限存在，则收敛；若极限不存在，则发散.另外，为了书写方便，在具体计算中，可以将无穷区间上的广义积分的积分限看作+∞或-∞，即()d ()()()lim ()()a a x f x x F x F F a F x F a +∞+∞→+∞==+∞-=-⎰，()d ()()()()lim ()bb x f x x F x F b F F b F x +-∞-∞→-∞==--∞=-⎰，其中，()F x 为()f x 的一个原函数.例 2 计算21d 1x x+∞+⎰. 解201d arctan lim arctan arctan 0012x x x x x π+∞→+∞+∞==-=+⎰. 例 3 计算0d x xe x +∞-⎰.解d d (d )xxx x x e x x e x ee x+∞+∞+∞---+∞-=-=--⎰⎰⎰=0lim 0lim 11x xx x x xe e xe --+∞-→+∞→+∞--=-+=.例 4 计算22arctan d 1xx x+∞-∞+⎰. 解22202220arctan arctan arctan d d d 111xx x x x x x x x +∞+∞-∞-∞=++++⎰⎰⎰.而 20332arctan 11d arctan 0()133224x x x x ππ-∞-∞==--=+⎰，23302arctan 11d arctan ()0133224x x x x ππ+∞+∞==-=+⎰， 故22a r c t a n d 1242412x x x πππ+∞-∞=+=+⎰. 二、无界函数的广义积分定义 4.2 设函数()f x 在区间(,]a b 上连续，而lim ()x af x +→=∞，任取0ε>，如果极限lim ()d ba f x x J εε++→=⎰存在，则此极限J 为函数()f x 在(],a b 上的广义积分，记作()d b af x x ⎰，即()d baf x x ⎰=0lim ()d ba f x x J εε++→=⎰.此时，我们称广义积分()d baf x x ⎰收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分()d baf x x ⎰发散.类似地，对于函数()f x 在[),a b 上连续，而lim ()x bf x -→=∞的广义积分为： 0()d lim ()d bb aaf x x f x x εε+-→=⎰⎰.如果上述极限存在，则称广义积分()d b af x x ⎰收敛；否则称为发散.对于函数()f x 在区间[,]a b 上除x c =，a c b <<外均连续，而lim ()x cf x →=∞的广义积分()d b af x x ⎰为收敛，当且仅当广义积分()d c af x x ⎰与()d bcf x x ⎰均收敛，且()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.当()d caf x x ⎰与()d bcf x x ⎰中至少有一个发散时，则称广义积分()d b af x x ⎰为发散的.例 5 计算广义积分32x ⎰. 解 函数()f x =(]2,3上连续，而2limx +→=∞，任取0ε>， 33220limx x εε++→=⎰⎰0lim εε++→=0l i m 2ε+→==. 即广义积分32x ⎰收敛于2. 例 6 计算广义积分10ln d x x ⎰.解 函数()ln f x x =在区间(]0,1内连续，而0lim ln x x +→=-∞，任取0ε>，1100ln d lim ln d x x x x εε++→=⎰⎰10l i m (l n )x x x εε+→=- [][]0ln11lim ln εεεε+→=---，其中 0l i m l n 0εεε+→= 所以1l n d 1xx =-⎰.例 7 证明广义积分d ()bqaxx a -⎰当01q <<时收敛；当1q ≥时发散. 证 当1q =时，d d ln()()()bb b a q aa x xx a x a x a ==---⎰⎰ ln()lim ln()x ab a x a +→=---=+∞.当1q ≠时，11(),01,d ()1()1, 1.qqbbaq ab a q x x a q x a qq --⎧-<<-⎪==-⎨--⎪+∞>⎩⎰因此，当01q <<时，此广义积分收敛，其值是1()1qb a q ---；当1q ≥时发散.例 8 考察131d x x -⎰. 解 被积函数在区间[)(]1,00,1- 内连续，0x =处为无穷间断点. 利用定义101333110d d d x x x x x x --=+⎰⎰⎰， 其中 _03321100d d 111lim lim ()22x x x x εεεε---→→⎡⎤==-+=-∞⎢⎥⎣⎦⎰⎰， 所以031d xx -⎰发散，同理130d x x ⎰也发散. 因此广义积分131d x x -⎰发散. 注意：如果不注意到031d xx-⎰的被积函数在0x =处为无穷间断点，会发生如下错误：131d 0xx -=⎰.三、Γ函数定义 4.3 广义积分10d x xe x α+∞--⎰ (0)α>，作为参变量α的函数，称为Γ函数，记为()αΓ，即10()d x x e x αα+∞--Γ=⎰.可以证明0α>时，()αΓ收敛.Γ-函数是概率论中一个重要函数，并有下列性质：性质 1 (1)1Γ=.性质 2 (1)()αααΓ+=Γ. 性质 3 n 为自然数，(1)!n n Γ+=.性质 4 1()2Γ=下面我们证明之.证 显然，0(1)d 1x e x +∞-Γ==⎰.由分部积分公式(1)d d()(d )x x xx x e x x e x e e x ααααα+∞+∞+∞---+∞-Γ+==-=--⎰⎰⎰=10d x x xe e ax x αα+∞-+∞---+⎰ =10d x x x ee x x ααα+∞-+∞---+⎰，利用洛必达法则，可得0lim 00x x x x e x e αα-+∞-→+∞=-=，所以10(1)d ()x x e x ααααα+∞--Γ+==Γ⎰.当α为自然数时，性质3成立. 性质4将在后面章节中证明.例 8 计算下列积分：(1)2d xe x +∞-⎰； (2)20d x x -⎰.解 (1) 利用1()2Γ=，即120d xx e x +∞--=⎰.令12t x -=，则2x t =，d 2d x t t =. 得2102d t t e t t +∞--=⎰22d t e t +∞-=⎰2d xe x +∞-⎰=.(2) 令2t x =，则2t x =，d d 2tx =. 于是200d 3d d ()2442x t t t x t ---===Γ⎰⎰⎰1()2==。
积分的广义积分
积分的广义积分数学中的积分是一种非常重要的运算，通常被定义为计算函数下方某个区间内的面积。
但是，在实际问题中，有时候我们需要计算无限区间或不连续函数等情况的积分，这时候就需要用到广义积分。
广义积分的概念粗略而言，广义积分就是把无限区间上的积分或不连续函数的积分看做是一种极限的处理方式。
因此，广义积分的概念比起普通积分来说是更加宽泛和复杂的。
在广义积分的概念中，最重要的就是无限区间的积分。
对于一个实函数f(x)，如果它在一个无限区间[a, ∞)上是有界的，并且在除有限多个点以外的所有点处都连续，那么可以定义其广义积分为：$ \int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{T\rightarrow\infty}\int_a^Tf(x)dx$其中，T是无限区间中的一个有限值。
类似地，可以定义在(-∞, b]上的广义积分为：$ \int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim_{T\rightarrow-\infty}\int_T^bf(x)dx$同时，如果一个函数f(x)在一些点处不连续，但是在这些间断点的“左右极限”都存在，则可以定义其在这个区间[a, b]上的广义积分为：$ \int_a^b f(x)dx =\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\int_{a+\epsilon}^b f(x)dx +\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\int_a^{b-\epsilon} f(x)dx$其中，$\epsilon>0$表示一个无限小量。
需要注意的是，广义积分并不是所有情况下都有意义的。
如果一个函数在无限区间上的积分或在某些点上的积分不收敛，则广义积分不存在。
比如下面这个函数：$f(x) = \frac{1}{x}, x\in[1,+\infty)$它在无限区间上的积分就不存在。
广义积分的性质广义积分并不是所有求和规则适用，因此它具有一些特殊的性质。
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若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分, 记作
这时称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
©
而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
解：
积分.
I
0
11
f
( x) f 2(x)
d
x
的无穷间断点, 故 I 为广义
3
21
f
( x) f 2 (x)
d
x
f 1
( x) f 2(x)
d
x
1
d
f f
(x) 2 (x)
arctan
f
(x)
C
]
]
2
2
©
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是反常积分.
例如,
©
则也有类似牛 – 莱公式的
3 dx
1
x
2
13
3x
1
13
1
3x
1
13
3
.
0
1
lim
3x
1
13
3
33
2
lim
3x
1
13
x1
x1
3 33 2
©
dx
例10. 计算广义积分 1 x x1
解
dx
2 dx
dx
1 x x1 1 x x1 2 x x1
令 x 1 t ，即 x t 2 1 ，则 dx 2tdt
2
1x
dx x1
1 0
2tdt t(1 t 2 )
2 arctan
t
1 0
2
2x
dx x1
1
2tdt t(1 t 2 )
2 arctan
t
1
2
所以
dx
a 1 p ;
p1
当 p≤1 时, 广义积分发散 .
©
例5. 计算广义积分
解: 原式 t e pt p
1 e pt d t
p0
1 p2
e pt
1 p2
©
2002年考研数学(一)填空3分
1
1.计算
e
x
ln 2
dx x
解
e
1 x ln2
dx x
x
01
dt t2
1 x
dt
0 1 t2
2
0
2
f
(x)
2
.
©
备用题1 试证
d x 0 1 x4
0
1
x2 x4
d
x,
并求其值
.
解:
令t
1 x
01
1
1
1 t4
t2
dt
t2
0 1 t4 d t
d x 1 d x
F(c )
F (a)
可相消吗?
©
例6+. 计算广义积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin
x a
a
0
arcsin1
2
y
1
y
a2 x2
1 a
例7. 讨论广义积分
的收敛性 .O
ta x
所以解下反: 述常11解积dxx2法分是0否1dx1x正x2 确发110:1散dxx2.1
1 x x1
©
内容小结
积分区间无限 1. 广义积分
被积函数无界
常义积分的极限
2. 两个重要的广义积分
,
p1
1 ( p 1) a p1 ,
p1
,
q1
©
说明: (1) 有时通过换元 , 广义积分和常义积分可以互 相转化 . 例如 ,
1
1
1 x2
0
x2
1 x2
d
x
©
例2. 计算广义积分
e x dx
.
解
e x dx
0 e xdx e xdx
0
ex
0
- e-x
0
2
©
例+ 计算反常积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
0
0
0
cos t 2 1
©
2
02
例4. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 . 证:当 p =1 时有
ln
x
a
当 p ≠ 1 时有
x1 p 1 p
a
, a 1 p
, p1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为
1
d(
x
1 x
)
0
(x
1 x
)2
2
0 dt
2 t 2
(2) 当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的广义积分.
©
反常积分
思考题1(选择题)
设0
x
,
则
x dt 0 1 t2
1 x
dt
0 1 t2
(
C
).
( A)arctan x
, 1 p
,
p1 p1
所以当 p < 1时, 该广义积分收敛 , 当 p≥1时, 该广义积分发散 .
©
例+. 证明广义积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
(b a)1q
( x a)1q 1q
dx sec2 tdt ，且当 x 0 时， t 0
当 x 时，t
2
.
0
arctan 1 x2
x 3 dx
2
2 0
t 3 sec2 tdt 1 tan2 t 2
2 t cos tdt t sint 2 2 sintdt
x2
0
1
x4
2
0
1 x4
0
1
x
4
d
x
1 2
1 x2 0 1 x4 d x
©
1 2
0
1 x2
1
1 x2
x2
dx
1
1
1
2
0
(x
1 x
)2
2
d
(x
) x
1
arctan
x
1 x
22
2 0
©
2.
求
b
a
1q
,
,
q1 q1
(b a)1q
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为
; 1q
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
©
例9. 计算广义积分
3 dx
0
x
2
13
解:
3 dx
0
x
2
13
1 dx
0
x
2
13
类似地 , 若 f (x) C (, b], 则定义
©
若 f ( x) C (, ), 则定义
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.
的计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dxF源自(b)F(a)
若 a 为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dx
F
(b)
F
(a