第二章 距离空间

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第2章 距离空间 章 §2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5
定义和举例 收敛概念 稠密性与完备性 可分性与列紧性 连续映射
在数学分析中 研究对象——函数 研究对象——函数 —— 基本工具——极限， 基本工具——极限，是分析理论的基础 ——极限 定义极限的基础——距离 定义极限的基础——距离 ——
n n 1/ p
q ∑ bi i =1
n
1/ q
，
1 1 为实数或复数， 其中 ai ,bi 为实数或复数， p + q = 1 。
（2） ∫a f ( x) g ( x) dt ≤ ）
p
b
(∫
b
a
q
f ( x) dt
p
) (∫
1/ p
b
a
g ( x) dt
q
)
1/ q
上可积分。 其中 f ( x) , g ( x) 在[a,b] 上可积分。 特别的 p=q=2 时,有 Cauchy 不等式 有
a
f ( x) + g ( x) dt
k
) ≤ (∫
1 k
b
a
f ( x) dt
k
) + (∫
1/ k
b
a
g ( x) dt
k
)
1/ k
上可积分， 其中 f ( x ), g ( x ) 在[ a , b ] 上可积分， k ≥ 1
2）Holder 不等式 ）
p （1） ∑ aibi ≤ ∑ ai ） i =1 i =1
C AE = E A 闭集： 是一个集合， 闭集：设 E 是一个集合， A E ，若 A 的补集
为开集， 中的闭集。 为开集，则称 A 为 E 中的闭集。
（聚点） 导集： 、 设 是一个集合， 极限点 聚点） 导集： E 是一个集合，A E , x0 ∈ E ， 内都含有属于 的点， 若在 O ( x0 , δ ) 内都含有属于 A 而异于 x0 的点，则称 x0 一个极限点 或聚点） 极限点（ 为 A 的一个极限点（或聚点） A 的极限点的全体称 。 导集。 为 A 的导集。记作 A′ 。 闭包： 的闭包， 闭包：A 的导集与 A 的并集称为 A 的闭包， 记作 A = A′ ∪ A 。 结论：闭包一定是闭集。 是闭集 结论：闭包一定是闭集。A 是闭集 A′ A A = A
例 1 在有理数空间 Q 中，点列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … → 2 Q 点列，但不是收敛点列； 是 Q 中的 Cauchy 点列，但不是收敛点列；
1 {xn } = {(1 + ) n } 是 同理， 同理，点列 n
点列， Q 中的 Cauchy 点列，但
不是收敛点列。 不是收敛点列。
特别的， 特别的，当 n=1 时， ρ(x, y) = x y ，
ρ(x, y) = ( x1 y1 )2 + ( x2 y2 )2 当 n=2 时，
如果在 R2 中，定义 d(x, y ) = x1 y1 + x2 y2 ， 也是距离空间， 验证得知 R2 按 d 也是距离空间，但与欧氏空间是不同 的度量空间。 的度量空间。
ε > 0, N , 当 n > N时 , ρ ( xn , x) < ε
（即 n → ∞ 时 , ρ ( xn , x ) → 0 ） 则称点列 x n 在 X 中按距离 ρ 收敛于 x，记作 ，
lim xn = x 或xn → x(n → ∞)
n→∞
此时， 为收敛点列， 的极限点 此时，称 x n 为收敛点列，x 为 x n 的极限点。
定理 1（极限唯一性）在距离空间 X 中，收敛点列 （极限唯一性） 的极限是唯一的。 x n 的极限是唯一的。
定理 2（极限存在的有界性）在距离空间 X 中的收敛 （极限存在的有界性） 点列 x n 必有界。 必有界。 即 x0 ∈ X , 及实数 r > 0, 使得xn , 都有ρ ( xn , x0 ) < r 定理 3 距离的连续性） （距离的连续性） 在距离空间 X 中， 距离 ρ(x, y) 的连续泛函。 是两个变元 x, y 的连续泛函。即当 xn → x0 , yn → y0 时
补充不等式 1）Minkowski 不等式 ）
（1） ∑ ai + bi ） i =1
n k 1/ k
n k ≤ ∑ ai i =1
1/ k
n k + ∑ bi i =1
1/ k
为实数或复数） （ k ≥ 1 ， ai , bi 为实数或复数） （2） ）
(∫
b
ρ ( xn , yn ) → ρ ( x0 , y0 )(n → ∞ )
2） 柯西点列（Cauchy） ） 柯西点列（ ） 定义 设{x n}是距离空间 X 中的一个点列，若 是距离空间 中的一个点列，
ε > 0, N , 当 n, m > N 时 , ρ ( xn , xm ) < ε
（即 n, m → ∞时，ρ ( xn , xm ) → 0 ） 基本点列或 点列。 则称 x n 为基本点列或 Cauchy 点列。
2） （2）对称性 ρ(x, y) = ρ(y, x) （3）三角不等式 z ∈ X , 有 ）
ρ ( x, y ) ≤ ρ ( x, z ) + ρ ( z , y )
之间的距离， 则称实数 ρ(x, y)为元素 x 与 y 之间的距离，称 X 为距
)或 离空间或度量空间， 离空间或度量空间，记作(X , ρ )或 X 。距离空间中的元
Cauchy 点列；反之，Cauchy 点列不一定是收敛点列 点列；反之， 点列不一定是收敛点列
证明：设 n → ∞时, ρ ( xn , x ) → 0 ， 证明：
∵ ρ ( xn , xm ) ≤ ρ ( xn , x) + ρ ( xm , x)
则 n, m → ∞时, ρ ( xn , xm ) → 0 。
维向量全体构成的空间， 例 2 设 Rn 是 n 维向量全体构成的空间，
x = ( x1 , x2 ,, xn ), y = ( y1 , y2 ,, yn ) ∈ R
定义 ρ(x, y) =
( xi yi ) 2 ∑
i =1 n
n
证明： R 下为距离空间， 即通常意义下的欧氏空间。 证明： n 在 ρ 下为距离空间， 即通常意义下的欧氏空间。
1 例如在 R 中，点列{xn } = { n } ，是 Cauchy 列，也是收敛
1
点列。 点列。 R 中有结论 {x 是收敛数列 结论： 注： 1 中有结论： n}是收敛数列 {x n}是 Cauchy 数列。 是 但在一般的距离空间中，该结论不成立 但在一般的距离空间中，该结论不成立。
（ 中的收敛点列， 一定是 定理 若{x n}是 X , ρ） 是 中的收敛点列，则{x n}一定是 一定
在泛函分析中将上述内容推广 在泛函分析中将上述内容推广 内容 研究对象——算子、 空间到空间的映射） 研究对象——算子、泛函 （空间到空间的映射） ——算子 首先引入度量工具——距离 首先引入度量工具——距离 —— 然后在度量空间中——定义极限，建立相应的理 然后在度量空间中 ——定义极限， —— 定义极限 论，进一步对每一个具体空间引入相应的结论。 进一步对每一个具体空间引入相应的结论。
例 2，设空间 X=(0, ，
1)，则点列{xn } = { ，ຫໍສະໝຸດ 1 } X n +1
按定义
ρ(x, y ) = x y 是 X 中的 Cauchy 列，但在 X 中不收
敛（极限值 0 (0,1) ） 。
3）距离空间中的开集与闭集（将实数集中概念推广） ）距离空间中的开集与闭集（将实数集中概念推广）
L2 [ a, b] 称为平方可积的空间。 特别的， 称为平方可积的空间。 特别的，当 p=2 时，
l p ( P ≥ 1) 是所有 p 方可和的数列所成的集合， 方可和的数列所成的集合， 例5 设
即x = { xi } 满 足 ∑ xi
i =1
p
∞
p
< +∞ ，
∞ p
对于 x = { xi }, y = { yi } ∈ l , 定 义 ρ ( x, y ) = ∑ xi yi i =1
p 全体， 全体，即 L [a, b] = x(t )
∫
b
a
x(t ) dt < +∞ 。
p
x(t ), y (t ) ∈ Lp , 定义 ρ ( x, y ) =
(∫
b
a
x (t ) y (t ) dt
p
)
1/ p
Lp [ a, b] 是距离空间，常称为 是距离空间， 则
p 方可积的空间。 方可积的空间。
例3 设 C[a, b] 表示定义在[a, b] 上的所有连续函数的 全体。 x(t ), y (t ) ∈ C[ a, b] ，定义 全体。
ρ ( x, y ) = max x(t ) y (t )
t∈[ a ,b ]
是距离空间。 则 C[ a, b] 是距离空间。
Lp [ a, b] ( P ≥ 1) 表示[ a , b ] 上 p 方可积的所有函数的 例4 设
② 若定义 ρ1(x , y )= 1 + x y ， 验证知三条距离公理 成立，所以，R1 按定义 ρ1 也是距离空间 成立，所以，
x y
③ 若定义 ρ 2(x, y) = ( x y ) ，
2
验证不满足第三条公理， 验证不满足第三条公理，所以 R1 按定义 ρ 2 不是距离