利用空间向量求空间距离 PPT
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利用空间向量求空间距离
几种常考的空间距离回顾
点到平面的距离：
平行线面间的距离
转化
两平行平面间的距离 转 化
两异面直线间的距离
探究：如何用向量法求点到平面的距离
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
AC BC 2， BCA 90 ， E 是 AB 的中点,
求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
z
C1
A1
B1
C
A
B
xE
y
例4
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面
△ABC 中, AC BC 2 , BCA 90 , E 是 AB 的中点,
|n|
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面
上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的
绝对值.
例1、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
G
xD F
A
E
C B y
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
（2）求直线BD到平面GEF的距离。
d|nBE| 2
11 .
xD
n
11
F
A
E
C B y
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
练习1:
SA 平A 面BC ， DDAB ABC90，
SA AB BC a， AD 2a, 求 A到 平 SC 面 的 D 距 离z 。
S
A
Dwk.baidu.com
y
B
C
x
练习2: 如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点, 求点 A 到平面 MNC 的距离.
B
练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
AB n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
例4
已知直三棱柱 ABC ─A1B1C1 的侧棱 AA1 4 ，底面 △ABC 中，
M
22
解得 2 x y z ,
A
2
x
B
∴可取 m ( 2,1, 1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
练习3:
正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的
距离
Z D1
DD 1 n C1 d
A1
B1
n
G D
A X
C Y
n AB1 0
2x2y4z 0
C
取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n(1 , 1 ,1 )
A
B
在两直 C ,A ,线 C A 上 (1 ,0),.各 0 x 取 E 点 y
C E 与 A B 1 的 距 离 d |n |n C |A |2 3 3.
xD
22xx24yy02z 0 取 y 1
F
n(1,1,3), BE(2,0,0) A E
d|nBE| 2 11.
n
11
即
点 B 到平面 EFG 的距离为 2
11 .
11
C
B
y
例1、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
求异面直线CE 与 AB1 的距离.
解： 如 C 图 x,y 建 则 z C (0 ,立 0 ,0 )E ,(1 坐 ,1 ,0 )A ,标 (2 ,0 ,0 )系 B ,1(0 ,2 ,4 ).
设 C C nE E ,CA EB ( 1 1 的 , 1 , 00 ) A 公 即B , 1 x( 2 垂 , 2 , y4 ) 0线 ,n 的 (x,y,z)方 则 .A1 C向 1 z 向 B1 量
P
N
D
C
M
A
B
：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz
则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
z
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
G
E F ( 2 , 2 , 0 ) , E G ( 2 , 4 , 2 ) ,
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z)
n E F ， n E G
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n .
A O
∴cos∠APO=|cos PA, n |.
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
2
2 22
∴ MC ( 2 a, a, 0) , MN (0, 1 a, 1 a) ,
z
2 MA ( a, 0, 0)
2
22
P
2
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC
∴ n MC 2 ax ay 0 且 2
N D
C
y
n MN a y a z 0
几种常考的空间距离回顾
点到平面的距离：
平行线面间的距离
转化
两平行平面间的距离 转 化
两异面直线间的距离
探究：如何用向量法求点到平面的距离
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
AC BC 2， BCA 90 ， E 是 AB 的中点,
求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
z
C1
A1
B1
C
A
B
xE
y
例4
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面
△ABC 中, AC BC 2 , BCA 90 , E 是 AB 的中点,
|n|
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面
上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的
绝对值.
例1、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
G
xD F
A
E
C B y
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
（2）求直线BD到平面GEF的距离。
d|nBE| 2
11 .
xD
n
11
F
A
E
C B y
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
练习1:
SA 平A 面BC ， DDAB ABC90，
SA AB BC a， AD 2a, 求 A到 平 SC 面 的 D 距 离z 。
S
A
Dwk.baidu.com
y
B
C
x
练习2: 如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点, 求点 A 到平面 MNC 的距离.
B
练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
AB n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
例4
已知直三棱柱 ABC ─A1B1C1 的侧棱 AA1 4 ，底面 △ABC 中，
M
22
解得 2 x y z ,
A
2
x
B
∴可取 m ( 2,1, 1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
练习3:
正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的
距离
Z D1
DD 1 n C1 d
A1
B1
n
G D
A X
C Y
n AB1 0
2x2y4z 0
C
取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n(1 , 1 ,1 )
A
B
在两直 C ,A ,线 C A 上 (1 ,0),.各 0 x 取 E 点 y
C E 与 A B 1 的 距 离 d |n |n C |A |2 3 3.
xD
22xx24yy02z 0 取 y 1
F
n(1,1,3), BE(2,0,0) A E
d|nBE| 2 11.
n
11
即
点 B 到平面 EFG 的距离为 2
11 .
11
C
B
y
例1、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
求异面直线CE 与 AB1 的距离.
解： 如 C 图 x,y 建 则 z C (0 ,立 0 ,0 )E ,(1 坐 ,1 ,0 )A ,标 (2 ,0 ,0 )系 B ,1(0 ,2 ,4 ).
设 C C nE E ,CA EB ( 1 1 的 , 1 , 00 ) A 公 即B , 1 x( 2 垂 , 2 , y4 ) 0线 ,n 的 (x,y,z)方 则 .A1 C向 1 z 向 B1 量
P
N
D
C
M
A
B
：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz
则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
z
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
G
E F ( 2 , 2 , 0 ) , E G ( 2 , 4 , 2 ) ,
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z)
n E F ， n E G
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n .
A O
∴cos∠APO=|cos PA, n |.
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
2
2 22
∴ MC ( 2 a, a, 0) , MN (0, 1 a, 1 a) ,
z
2 MA ( a, 0, 0)
2
22
P
2
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC
∴ n MC 2 ax ay 0 且 2
N D
C
y
n MN a y a z 0