2015年高考数学必做题:高考模拟题(五)
2015年高考数学模拟试卷(5)
2014-2015学年度高考模拟卷学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、填空题(题型注释)1.设常数a R ∈,若的二项展开式中7x 项的系数为-10,则a =________. 2.某次测量发现一组数据(,)i i x y 具有较强的相关性,并计算得^1y x =+,其中数据0(1,)y ,Y )因书写不清,只记得0y 是[0,3]内的任意一个值,则该数据对应的残差的绝对值不大于l 的概率为__________.(残差=真实值一预测值)3.设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ-上,其导函数为0x π<<时, '()sin ()cos 0f x x f x x -<,则关于x 的解集为________.4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S .设{}n S 的前n 项和为n T ,则2014T =___________.二、选择题5.设集合{|24}x A x =≤,集合{|lg(1)1}B x x =->,则AB 等于( )A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2] 6.已知复数241i i z+-=(i 为虚数单位),则z 等于( ) A.13i -+ B.12i -+ C.13i - D.12i - 7.设{}n a 是等差数列,若52log 8a =,则46a a +等于( )A.6B.8C.9D.168.某校三个年级共有24个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为l 到24,现用系统抽样方法,抽取4个班进行调查,著抽到编号之和为48,则抽到的最小编号为( )A.2B.3C.4D.59.已知向量(1,),(2,2)a k b ==,且a b +与a 共线,那么a b ⋅的值为( )A .l B.2 C.3 D.410.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆22(3)9x y -+=相变于A.B 两点,若||2AB =,则该双曲线的离心率为( )A.8B.11.执行如图所示的程序框图,输出S 的值为( )A.3B.-6C.10D.1212.已知P (x,y )为区域2200y x x a ⎧-≤⎨≤≤⎩内的任意一点,当该区域的面积为4时,2z x y =-的最大值是( )A.6B.0C.2D.13.函数1(20)82sin()(0,0)32kx x y x x ππωϕϕ+-≤<⎧⎪=⎨+≤≤<<⎪⎩的图象如图,则( )A .11,,226k πωϕ=== B.11,,223k πωϕ=== C.11,,226k πωϕ=-== D.2,2,3k πωϕ=-==14.如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球12,O O ,这两个球相外切,且球1O 与正方体共顶点A 的三个面相切,球2O 与正方体共顶点1B 的三个面相切,则两球在正方体的面11AAC C 上的正投影是( )15.已知抛物线人24y x =的焦点为F ,过点(2,0)P 的直线交抛物线于A ,B 两点,直线AF ,BF 分别与抛物线交于点C ,D 设直线AB ,CD 的斜率分别为12,k k ,则12k k 等于( ) A.12k k B.12 C.1 D.2 16.已知113k ≤<,函数()|21|x f x k =--的零点分别为1212,()x x x x <,函数()|21|21x k g x k =--+的零点分别为3434,()x x x x <,则4321()()x x x x -+-的最小值为( )A.1 B .2log 3 C.2log 6 D.3参考答案1.-2【解析】试题分析:∵25103155()()r r r r r r r aT C x C a x x--+==,∴1037r -=,∴1r =,∴11510C a =-,∴2a =-.考点:二项式定理.2.23【解析】试题分析:由^1y x =+,得^0112y =+=,由于预测值为2.0|2|1y -≤,因此013y ≤≤,当0[1,3]y ∈时,数据对应的残差的绝对值不大于1,由于0y 是[0,3]内的任意一个值,因此数据对应的残差的绝对值不大于1的概率312303P -==-. 考点:残差、概率.3.(,0)(,)66πππ- 【解析】试题分析:令()()sin f x g x x =,则当0x π<<时,''2()sin ()cos ()0sin f x x f x x g x x-=<, ∴当0x π<<时,函数()()sin f x g x x =单调递减,又()f x 为奇函数,∴函数()()sin f x g x x =为偶函数,而当0x π<<时,函数()()sin f x g x x =单调递减,∴当0x π-<<时,函数()()sin f x g x x=单调递增, ∴当0x π<<时,()2()sin 6f x f x π<()()6sin sin 6f f x x ππ⇒<,∴6x ππ<<, 又∵函数()()sin f x g x x =为偶函数,∴不等式()2()s i n 6f x f x π<的解集为(,0)(,)66πππ-. 考点:利用导数判断函数的单调性、函数的奇偶性.4.201411[1()]32- 【解析】试题分析:当n 为奇数时,1212n n n n S a a a a =+++=-+,11211112n n n n n S a a a a a ++++=++++=+, ∴11112n n n n a a a +++=+-,∴112n n a +=; 当n 为偶数时,1212n n n n S a a a a =+++=+,11211112n n n n n S a a a a a ++++=++++=-+, ∴11112n n n n a a a +++=---,∴11122n n n a a ++=--,又∵1212n n a ++=,∴212122n n n a ++=--,∴12n n a =-, ∴20141234201320142320141111()()2222T a a a a a a =-+-+--++++++ 201413201324201411[1()]22()()112a a a a a a -=-++++++++- 20142420142420141111111()()[1()]2222222=-++++----+- 1007201411[1()]14421()214-=-⨯+-- 10072014211[1()]1()342=--+- 201411[1()]32=-. 考点:数列的求和.5.D【解析】试题分析:∵{|24}{|2}x A x x x =≤=≤,{|lg(1)1}{|1}B x x x x =->=>,∴{|12}A B x x =<≤. 考点:集合的运算.6.A【解析】试题分析:∵241i i z +-=,∴24(24)(1)(12)(1)131(1)(1)i i i z i i i i i i +++===++=-+--+. 考点:复数的运算.7.A【解析】试题分析:∵4652a a a +=,∴4622log 86a a +==.考点:等差数列的性质.8.B【解析】试题分析:系统抽样的抽取间隔为2464=,设抽到的最小编号为x ,则(6)(12)(18)x x xx ++++++=, ∴3x =.考点:系统抽样.9.D【解析】 试题分析:∵(1,),(2,2)a k b ==,∴(3,2)a b k +=+,∵a b +与a 共线,∴3(2)0k k -+=,∴1k =,∴224a b ⋅=+=.考点:向量共线、向量的数量积.10.C【解析】试题分析:双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=,∵圆心为(3,0),半径为3,可知圆心到直线AB 的距离为=,解得228b a =,∴3c a ==,∴3c e a==. 考点:双曲线的离心率.11.C【解析】试题分析:当1i =时,15<为奇数,1,2S i =-=;当2i =时,25<为偶数,143,3S i =-+==;当3i =时,35<为奇数,2336,4S i =-=-=;当4i =时,45<为偶数,24,45,6410,5i S i =<=-+==;当5i =时,55≥,输出10S =.考点:程序框图.12.A【解析】试题分析:由2200y x x a⎧-≤⎨≤≤⎩作出可行域,如图,由图可得(,)A a a -,(,)P a a ,由1242S a a =⨯⨯=,解得2a =,∴(2,2)A -,∴目标函数2z x y =-为2y x z =-,∴当2y x z =-过A 点时,z 最大,max 22(2)6z =⨯--=. 考点:线性规划.13.A【解析】试题分析:在y 轴左侧,图象过点(2,0)-,∴210k -+=,解得12k =,在y 轴右侧,854()433T πππ=-=, ∴212T πω==,5(,0)3π为五点作图中的第三个点,∴5132πϕπ⨯+=,解得6πϕ=. 考点:函数图象.14.B【解析】试题分析:由题意可以判断出两球在正方体的面11AAC C 上的正投影与正方形相切,排除C ,D ,把其中一个球扩大为正方体相切,则另一个球被全挡住,由于两球不等,所以排除A ,故选B.考点:投影问题.15.B【解析】试题分析:设直线AB 的方程为1(2)y k x =-,联立12(2)4y k x y x=-⎧⎨=⎩,得211480k y y k --=,设11(,)A x y , 22(,)B x y ,直线AC 的方程为11(1)1y y x x =--,联立112(1)14y y x x y x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩,得2111104(1)1y y y y x x --=--, 则14c y y =-,故14c y y -=,同理24D y y -=,故2112124424()D C D C D C y y k k y y x x y y y y -====-+-+,故1212k k =. 考点:直线与抛物线相交问题.16.B【解析】试题分析:由题意121x k =-,221x k =+,12121x k k =-+,22121x k k =++,∴21121x x k k-+=-,433121x x k k -+=+,∴4321()()3142311x x x x k k k -+-+==-+--,又1[,1)3k ∈,∴43[3,)1k -+∈+∞-, ∴43212[log 3,)x x x x -+-∈+∞.考点:函数零点问题.。
2015届高考数学模拟试卷
2015 届高考数学模拟试卷
一、 填空题 已知集合 犃 = { , 集合 犅={ , 且犃 1. 1, 2} 1, 犪, 3} 则实数 犪 的值为 . 犅, 已知复数狕= 其中犪, 2. 犪+ 犫 i( 犫为实 数, i 是 虚 数 单 位 )对 应 点 位 于 虚 且 狘狕狘 则 狕= 轴正 半 轴 上 , =1, . 执 行 图 1 所 示 的 语 句 后, 输出的 3. 结果是 . 命题 “ 的否 4. 狓3 + 1 < 0 ” 实数 狓, 命题是 . 为了 解 初 中 生 的 身 体 素 质, 某地区随机抽取了狀 5. 名学 生 进 行 跳 绳 测 试 , 根据 所得数据画出样 本的 频 率 分 布 直 方 图 且从左到 如 图 2 所 示, 右第 一 小 组 的 频 数 是 则 狀 的值为 . 10 , 在平 面 区 域 6.
{
函数图象的极大 值 点 犉( 狓)≤ 犳( 狓)恒成立 , 和极小值 点 分 别 为 犕 和 犖 , ① 求 直 线 犕犖 的斜率 ; , 如 狓) 狓) 狓) =犳( -犵( ② 记函数 犌( 果 满足集合 { } 犌( 狓) 犫≤狓 ≤犮 犌( 狓) 犫 狘 ={ 狘 的最大实数犫的值是犅 , 求实数 犅. ≤狓 ≤ 0 } ( 选修 4 - 1 : 几何证明选讲 )如图 6 , 设犃 21 . A. 犅为
2 2 + 3 ρ sin θ = 3 , 直 线 犾 的 参 数 方 程 为
, 烄 狓 =- 槡 3狋 ( 试在曲线 犆 上 狋为参数 , 狋∈ 犚) . 烅 狔= 1 +狋 烆 求一点 犕 , 使它到直线犾的距离最大 . π , ( 选修 4 - 5 : 不等式选讲 )已知 狓 ∈ 0 , D. 2 试 求函数 犳( 狓) 1 + sin2狓 的最 = 3 cos 狓 + 4 槡 大值 . 如图 8 , 在三棱柱 犃 22 . 犅 犆 犃 1犅1犆1 中 , 犅 犃 ⊥犃 犆, 犃 犅 顶点 犃1 在底面 犃 犆 =犃1犅=2 , 犅 犆 上的射影恰 =犃 为点 犅. ( 1 )求 异 面 直 线 犃 犃1 与犅 犆 所成角的大 小; ( 2 )在 棱 犅1犆1 上 确 定 一 点 犘,使 犃 犘 = 并求出二面 14 , 槡 角犘 犃 犅 犃 1 的平面角的余弦值 . 已知数列 { 为等差数列 , 公差为 犱. 23 . 犪 狀} ( 则 数 列{ 中是 1 )若 犪1 与 犱 均为 无 理 数 , 犪 狀} 否可 能 存 在 有 理 数 的 项? 如 果 可 能 存 在, 试 举 例 说 明; 如 果 不 可 能 存 在, 请说 明理由 ; ( 中 2 )求证 : 1, log2 3 ,2 不可能均为数列 { 犪 狀} 的项 ; 4 1 求证 : 数列 { 中 ( 3 )若 犪1 = , 犱= , log2犪 狀} 3 3 既有无数 多 个 有 理 项 , 也有无数多个无 理项 . ( 石志群 供稿 )
2015高考数学模拟试卷及答案解析
2015高考文科数学模拟试卷及答案解析目录2015高考文科数学模拟试卷 ......................................................................... 1 2015高考文科数学模拟试卷答案解析 (5)2015高考文科数学模拟试卷(本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.)参考公式:锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.)1.复数1iZ i=+(其中i 为虚数单位)的虚部是 ( ) A.12- B.12i C.12 D.12i -2.已知集合(){}lg 3A x y x ==+,{}2B x x =≥,则A B =( ) A. (3,2]- B.(3,)-+∞ C.[2,)+∞ D.[3,)-+∞ 3.下列函数在定义域内为奇函数的是( ) A. 1y x x=+B. sin y x x =C. 1y x =-D. cos y x = 4.命题“21,11x x <<<若则-”的逆否命题是( )A.21,1,1x x x ≥≥≤-若则或B.若11<<-x ,则12<xC.若1x >或1x <-,则12>xD.若1x ≥或1x ≤-,则12≥x 5.若向量(1,2),BA =(4,5),CA =则BC =A.(5,7)B.(3,3)--C.(3,3)D.(5,7)--6.若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,得数据如下:那么方程220x x x +--=的一个最接近的近似根为( ) A .1.2 B .1.3 C .1.4 D .1.57.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为( ) A .22 B .16 C .15 D .11(7题) (8题)8.函数())(,0,)2f x x x Rπωϕωϕ=+∈><的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( ) A .2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D. 4,3π9.若双曲线22221x y a b-= )A.2±B.12±D.2± 10.已知函数222,0()()()2(1),2,0x x x f x f a f a f x x x ⎧+≥⎪=-+≤⎨-<⎪⎩,若则实数a 的取值范围是 A.[)1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]2,2-二、填空题:(本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.) (一)必做题(11~13题) 11. 计算33log 18log 2-= .12.变量x 、y 满足线性约束条件222200x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则目标函数z x y =+的最大值为 .13(二)选做题:第14、15全答的,只计前一题的得分。
数学_2015年河南省普通高中高考数学模拟试卷(理科)(含答案)
2015年河南省普通高中高考数学模拟试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合A ={x|y =2x +1},B ={x ∈Z||x|<3},则A ∩B =( ) A {2} B (−3, 3) C (1, 3) D {1, 2}2. 已知复数z 的共轭复数为z ¯,且z ¯=2i1+i ,则z 在复平面内的对应点在( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3. 已知等边△ABC ,边长为1,则|3AB →+4BC →|等于( ) A √37 B 5 C √13 D 74. 在区间(2kπ+π2, 2kπ+π),k ∈Z 上存在零点的函数是( ) A y =sin2x B y =cos2x C y =tan2x D y =sin 2x5. 在区间[0, 4]上随机取两个数x 1,x 2,则0≤x 1x 2≤4的概率是( ) A1−ln24B3−2ln24C1+ln44D 31646. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,则“a 5>0”是“数列{S n }为递增数列”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 7. 根据如图所示的程序框图,输出的结果i =( )A 6B 7C 8D 98. 已知正项等比数列{a n }满足:a 7=a 6+2a 5,若存在两项a m ,a n ,使得a m a n =16a 12,则1m +4n 的最小值为( ) A 32B 53C 256D 不存在9. 定义在R 上的函数f(x)满足f(−x)=−f(x),f(x −2)=f(x +2)且x ∈(−1, 0)时,f(x)=2x +15,则f(log 220)=( )A 1B 45C −1D −4510. 已知抛物线y 2=4x 的焦点F ,A ,B 是抛物线上横坐标不相等的两点,若AB 的垂直平分线与x 轴的交点是(4, 0),则|AB|是最大值为( ) A 2 B 4 C 6 D 1011. 已知函数f(x)=aln(x +1)−x 2,在区间(0, 1)内任取两个实数x 1,x 2(x 1≠x 2),若不等式f(x 1+1)−f(x 2+1)x 1−x 2>1恒成立,则实数a 的取值范围是( )A [11, +∞)B [13, +∞)C [15, +∞)D [17, +∞)12. 已知某几何体的一条棱长为m ,在正视图中的投影长为√6,在侧视图与俯视图中的投影长为a 与b ,且a +b =4,则m 的最小值为( ) A 2 B √5 C √6 D √7二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13. 若(x −√ax 2)6的展开式中常数项是60,则常数a 的值为________. 14. 已知cosα=−√55,tanβ=13,π<α<32π,0<β<π2,则α−β的值为________.15. 设D 是不等式组{x +2y ≤102x +y ≥3x ≤4y ≥1表示的平面区域,P(x, y)是D 中任一点,则|x +y −10|的最大值是________.16. 已知空间中一点O ,过点O 的三条射线不共面,互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n ,…以及C 1,C 2,…,C n ,…分别在这三条射线上,并满足所有平面A i B i C i (i =1, 2,…,n,…)均相互平行,且所有几何体A n B n C n −A n+1B n+1C n+1(n ∈N ∗)的体积均相等,设OA n =a n ,若a 1=1,a 2=2,则数列{a n 3}的前n 项和S n =________.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知函数f(x)=sin(ωx −π3)(ω>0)图象的相邻的两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)在[0, π2]上的值域;(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sinAsinB +sinBsinC +cos2B =1,且f(C)=0,求三边长之比a:b:c .18. 某中学研究性学习小组,为了研究高中理科学生的物理成绩是否与数学成绩有关系,在本校高三年级随机调查了50名理科学生,调查结果表明:在数学成绩优秀的25人中16人物理成绩优秀,另外9人物理成绩一般;在数学成绩一般的25人中有6人物理成绩优秀,另外19人物理成绩一般.(1)试根据以上数据完成以下2×2列联表,并运用独立性检验思想,指出有多大把握认为高中理科学生的物理成绩与数学成绩有关系;(2)以调查结果的频率作为概率,从该校数学成绩优秀的学生中任取100人,求100人中物理成绩优秀的人数的数学期望和标准差.参考公式:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.参考数据:19. 如图,已知⊙O的直径为AB,点C为⊙O上异于A,B的一点,BC⊥VA,AC⊥VB.(1)求证:VC⊥平面ABC;(2)已知AC=1,VC=2,AB=3,点M为线段VB的中点,求两面角B−MA−C的正弦值.20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4,且过点A(√2, √3).(1)求椭圆C的方程和椭圆的离心率;(2)过点(4, 0)作直线l交椭圆C于P,Q两点,点S与P关于x轴对称,求证:直线SQ恒过定点并求出定点坐标.21. 已知函数f(x)=(x−a)2lnx(a为常数).(1)a=0时,比较f(x)与x(x−1)的大小;(2)如果0<a<1,证明f(x)在(a, 1)上有唯一极小值点.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分【选修4-1:几何证明选讲】22. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线AE,与CD的延长线交于E,AE⊥CD,垂足为点E.(1)证明:DA平分∠BDE;(2)如果AB=4,AE=2,求对角线CA的长.【选修4-4:坐标系与参数方程】23. 两条曲线的极坐标方程分别为C1:ρ=1与C2:ρ=2cos(θ+π3),它们相交于A,B两点.(1)写出曲线C1的参数方程和曲线C2的普通方程;(2)求线段AB的长.【选修4-5:不等式选讲】24. 已知非零实数m使不等式|x−m|+|x+2m|≥|m||log2|m|对一切实数x恒成立.(1)求实数m的取值范围M;(2)如果a,b∈M,求证:|2a3+b4|<8.2015年河南省普通高中高考数学模拟试卷(理科)答案1. A2. D3. C4. B5. C6. B7. C8. A9. C10. C11. C12. D13. 414. 5π415. 816. 72n2−52n17. 解:(1)∵ 函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)图象的相邻的两条对称轴之间的距离为π2.∴ 12⋅2πω=π2,解得ω=2,即有f(x)=sin(2x−π3),当0≤x≤π2时,−π3≤2x−π3≤2π3,故x=0时,f(x)min=−√32;当x=5π12时,f(x)max=1,故所求值域为:[−√32, 1]…6分(2)∵ sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1,∴ sinB(sinA+sinC)=2sin2B,由sinB≠0,sinA+sinC=sinB,由正弦定理得:a+c=2b,∵ f(C)=0,∴ sin(2C−π3)=0,又0<C<π,即−π3<2C−π3<5π3,∴ C=π6或C=2π3.由余弦定理得:cosC=a 2+b2−c22ab=a2+b2−(2b−a)22ab=4a−3b2a.当C=π6时,4a−3b2a=√32.∴ (4−√3)a =3b ,此时a:b:c =3:(4−√3):(5−2√3), 当C =2π3时,4a−3b 2a=−12,∴ 5a =3b ,此时a:b:c =3:5:7.故所求三边之比为:3:(4−√3):(5−2√3)或3:5:7.18. 解:(1)2×2列联表所以K 2=50×(16×19−6×9)225×25×22×28≈8.117>7.879,所以有99.5%把握认为高中理科学生的物理成绩与数学成绩有关系;(2)由题意可得,数学成绩优秀的学生中物理成绩优秀的概率为1625,随机变量X 符合二项分布,所以数学期望E(X)=100×1625=64,标准差√D(X)=√100×1625×925=245.19. (1)证明:∵ AB 是⊙O 的直径,∴ AC ⊥BC ,又∵ BC ⊥VA ,AC ∩VA =A , ∴ BC ⊥平面VAC ,∴ BC ⊥VC ,又∵ AC ⊥VB 且AC ⊥BC ,VB ∩BC =B , ∴ AC ⊥平面VBC ,∴ AC ⊥VC ,又∵ BC ∩AC =C ,∴ VC ⊥平面ABC ; (2)解:∵ BC ⊥VC ,VC ⊥平面ABC , ∴ VC ⊥BC ,VC ⊥AC ,又AC ⊥BC ,∴ 以C 为原点,以CA 、CB 、CV 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系C −xyz 如图,则A(1, 0, 0),B(0, 2√2, 0),V(0, 0, 2),∴ M(0, √2, 1), ∴ AM →=(−1, √2, 1),AB →=(−1, 2√2, 0),CA →=(1, 0, 0), 设平面BMA 的法向量为m →=(x, y, z), 由{m →⋅AM →=0˙,得{−x +√2y +z =0−x +2√2y =0,可取m →=(2√2, 1, √2),设平面CMA 的法向量为n →=(x, y, z),由{n →⋅AM →=0˙,得{−x +√2y +z =0−x =0,可取n →=(0, 1, −√2),∴ cos <m →,n →>=|m →||n →|˙=√33=−√3333, ∴ 两面角B −MA −C 的正弦值为√3333)=4√6633.20. 解:(1)根据题意,椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为4,且过点A(√2, √3),则有{a 2=b 2+42a 2+3b 2=1,解可得{a 2=8b 2=4, 则c =√a 2−b 2=2,则e =c a=√22, 故所求椭圆的方程为x 28+y 24=1,其离心率为√22;(2)显然直线l 的斜率存在,故可以设l 的方程为y =k(x −4), ∵ 点S 与P 关于x 轴对称,∴ x s =x p ,y s =−y p , 联立方程{x 28+y 24=1y =k(x −4),则可得(2k 2+1)x 2−16k 2x +32k 2−8=0,△=(−16k 2)2−4(2k 2+1)(32k 2−8)>0,解可得−√22<k <√22, 则x s +x Q =16k 22k 2+1,x s ⋅x Q =32k 2−82k 2+1,不妨设x s >x Q ,则x s −x Q =4√22k 2+1√1−2k 2,y s +y Q =k(x s +x Q −8)=−8k 2k 2+1,y s −y Q =k(x s −x Q )=k ⋅4√22k 2+1√1−2k 2, k SQ =y S −yQ x S−x Q=√2k√1−2k 2, 记SQ 的中点为M ,则M(x S +x Q2, y S +y Q2),即则M(8k 22k 2+1, −2√2k2k 2+1√1−2k 2),SQ 的方程为y =√2k√1−2k 2−√2k √1−2k 2=√2k√1−2k 2−2),即点(2, 0)在直线SQ 上,同理若x s <x p ,点(2, 0)在直线SQ 上,综合可得:直线SQ 恒过定点(2, 0). 21. 解;(1)当a =0时,f(x)=x 2lnx ,f(1)=0,f(e)=e 2>e(e −1),猜想f(x)≥x(x −1),下面证明 f(x)−x(x −1)=x 2lnx −x(x −1)≥0,⇔lnx ≥x−1x,定义域为(0, +∞)令g(x)=lnx −x−1x,g′(x)=1x −1x 2=x−1x 2∴ g(x)在(0, 1)上单调递减,在(1, +∞)上单调递增, ∴ g(x)≥g(1)=0,即f(x)≥x(x −1);(2)f′(x)=(x −a)(2lnx +1−ax),令ℎ(x)=2lnx +1−ax∴ ℎ′(x)=2x +ax 2>0,即ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增,又ℎ(a)=2lna <0,ℎ(1)=1−a >0,存在唯一x 0∈(a, 1),使ℎ(x 0)=0, 当0<x <x 0时,ℎ(x)<0,当x >x 0时,ℎ(x)>0于是0<x <a 时,f′(x)>0;a <x <x 0时,f′(x)<0,x >x 0时,f′(x)>0即f(x)在(0, a)上单调递增,在(a, x 0)上递减,在(x 0, +∞)上单调递增,从而在(x 0, 1)上单调递增,故f(x)在(a, 1)上唯一极小值点.22. (1)证明:∵ AE 是⊙O 的切线,∴ ∠DAE =∠ABD , ∵ BD 是⊙O 的直径,∴ ∠BAD =90∘, ∴ ∠ABD +∠ADB =90∘, 又∠ADE +∠DAE =90∘, ∴ ∠ADB =∠ADE . ∴ DA 平分∠BDE .(2)解:由(1)可得:△ADE ∽△BDA ,∴ AE AD=ABBD,∵ AB =4,AE =2,∴ BD =2AD . ∴ ∠ABD =30∘. ∴ ∠DAE =30∘. ∴ DE =AEtan30∘=2√33. 由切割线定理可得:AE 2=DE ⋅CE , ∴ 解得CD =4√33, 又AD =4√33,∠ADC =120∘,∴ 由余弦定理可得AC 2=(4√33)2+(4√33)2−2×4√33×4√33cos120∘=16,∴ AC =4.23. 解:(1)C 1:ρ=1的普通方程为x 2+y 2=1,其参数方程为{x =cosαy =sinα(α为参数). C 2:ρ=2cos(θ+π3),化为ρ2=2×12ρcosθ−2×√32ρsinθ, ∴ x 2+y 2=x −√3y ,即x 2+y 2−x +√3y =0.(2)联立{x 2+y 2=1x 2+y 2−x +√3y =0,解得{x =1y =0,{x =−12y =−√32. ∴ |AB|=12)√32)=√3.24. (1)解:由题意可令x =my ,则原不等式即为|my−m|+|my+2m|≥|m|log2|m|,即有|y−1|+|y+2|≥log2|m|,则(|y−1|+|y+2|)min≥log2|m|,由于|y−1|+|y+2|≥|(y−1)−(y+2)|=3,即有(|y−1|+|y+2|)min=3,则log2|m|≤3,解得|m|≤8,又m≠0,则有实数m的取值范围M=[−8, 0)∪(0, 8];(2)证明:a,b∈[−8, 0)∪(0, 8],即有0<|a|≤8,0<|b|≤8,则|2a3+b4|≤|2a3|+|b4|≤(23+14)×8=223<8.。
2015年高考数学模拟试题及答案
(1)求数列 a n 的通项公式; (2)设 bn
1 ,数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn 2 . 2 an
20. (本小题共 13 分) 若双曲线 E :
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的离心率等于 2 ,焦点到渐近线的距离为 1,直线 y kx 1 与双 a 2 b2
D C
A.
3 10 10
B.
10 10
C.
5 10
D.
5 15
E
B A 7. 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,AB 2, CC1 2 2 ,E 为 CC1 的中点, 则直线 AC1 与平面 BED
的距离为 A.2 B.
3
C. 2
D.1
8.将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级,每个年级 2 人,要求甲必须在高一年级,乙和丙均不能在高 三年级,则不同的安排种数为
(2)由(1)可知 bn 20. (本小题共 13 分)
c a 2 1 2 解: (1)由 a 得 b2 1 b 1
设 A x1 , y1 , B x2 , y2 , 由
故双曲线 E 的方程为 x y 1
2 2
y kx 1 得 1 k 2 x 2 2kx 2 0 2 2 x y 1
x 1 0 , 则 A B x 3
2 3
D. (, 1)
A. (3, )
B. (1, )
2 3
C. ( ,3)
2
2. 设 x R , i 是虚数单位,则“ x 3 ”是“复数 z ( x 2 x 3) ( x 1)i 为纯虚数” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是
2015年数学高考模拟试卷5
2015年高考数学模拟试卷(五)第Ⅰ卷 (必做题 分值160分)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1.已知全集{12345}U =,,,,,集合2{|320}A x x x =-+=,{|2}B x x a a A ==∈,,则集合()UA B = ▲ .2.已知,R x y ∈,i 为虚数单位,(2)i 1i x y --=+,则(1i)x y ++的值为 ▲ .3.某校对全校1200名男女学生进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本.已知女生抽了85人,则该校的男生数应是 ▲ 人.4.从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于26的概率是 ▲ . 5.已知定义域为R 的函数121()2x x f x a+-+=+是奇函数,则a = ▲ .6.在ABC ∆中,若2,23,3a b B π===,则角A 的大小为 ▲ .7.设变量x ,y 满足约束条件2,1,2,y x y x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≤且目标函数2+z x y =的最大值为3,则k = ▲ .8.若函数[]32121212()2,,()()0f x x x mx x x R x x f x f x =-++∀∈-->,满足(),则实数m 的取值围是 ▲ .9.在等比数列{a n }中,a 1=1,前n 项和为S n .若数列{S n +12}也是等比数列,则S n 等于 ▲ .10.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600, 则中间一组(即第五组)的频数为 ▲ .11.已知圆222:(22)45280C x y m x my m m +---+--=,直线:0l tx y t +-=.若对任意的实数t ,直线l 被圆C 截得的弦长为定值,则实数m 的值为 ▲ .12.圆221x y +=与曲线y x a =+有两个交点,则a 的值是 ▲ .13.将一个长宽分别是,(0)a b b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成一个无盖的长方体的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则ab的取值围是 ▲ . 14.设,,x y z 是不全为0的实数,则22233xy yz zxx y z++++的最大值是 ▲ . 样本数据频率组距10第题图二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)已知函数231()sin 2cos ,2f x x x x R =--∈. (1)求函数()f x 的最小值和最小正周期;(2)设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,且3c =,()0f C =,若sin 2sin B A =,求a ,b 的值.16.(本小题满分14分)在直三棱柱111C B A ABC -中,4AC =,2CB =,12AA =,60=∠ACB ,E 、F 分别是11A C BC,的中点.(1)证明:平面⊥AEB 平面C C BB 11; (2)证明://1F C 平面ABE ;(3)设P 是BE 的中点,求三棱锥F C B P 11-的体积.AB CEF P1A 1B 1C在一段笔直的斜坡AC上竖立两根高16米的电杆,AB CD,过,B D架设一条十万伏高压电缆线.假设电缆线BD呈抛物线形状,现以B为原点,AB所在直线为Y轴建立如图所示的平面直角坐标系,经观测发现视线AD恰与电缆线相切于点(,)D m n.(1)求电缆线BD所在的抛物线的方程;(2)若高压电缆周围10米为不安全区域,试问一个身高1.8米的人在这段斜坡上走动时,这根高压电缆是否会对这个人的安全构成威胁?请说明理由.18.(本小题满分16分)在平面,已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的两个焦点为12,F F,椭圆的离心率为12,P点是椭圆上任意一点,且124PF PF+=.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于A、B点,①求O到AB的距离;②求OA OB+的取值围.已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列,公差为d ,n S 为其前 n 项和,且满足221n n a S -=,n *N ∈.数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅,n T 为数列{}n b 的前n 项和.(1)求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ;(2)若对任意的n *N ∈,不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立,数λ的取值围.20.(本小题满分16分)已知212ln ()xf x x+=(1)求()f x 的单调区间;(2)令2()2ln g x ax x =-,则()1g x =时有两个不同的根,求a 的取值围;(3)存在()12,1,x x ∈+∞且12x x ≠,使1212()()ln ln f x f x k x x --≥成立,求k 的取值围.第II 卷 (附加题 分值40分)21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题......,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .选修4—1:几何证明选讲如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE =AC , DE 交AB 于点F .求证:△PDF ∽△POC .B .选修4—2:矩阵与变换若点A (2,2)在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B (-2,2),求矩阵M 的逆矩阵.C .选修4—4:坐标系与参数方程直角坐标系xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A 、B 分别在曲线132cos :42sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)和曲线2:1C ρ=上,求AB 的最大值 .D .选修4—5:不等式选讲已知x ,y ,z 均为正数.求证:111y xz yz zxxy xyz≥.A BPF OE DC ·【必做题】第22题,第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)有一枚质地均匀的硬币,抛掷)n次,n∈N(*n=,记正面向上的次数为ξ,求ξ的分布列及期望;(1)当3(2)当10n,求正面不连续出现的概率.=23.(本小题满分10分)设等差数列{}n a的首项为1,公差d(*d∈N),m为数列{}n a中的项.(1)若d=3,试判断(m的展开式中是否含有常数项?并说明理由;x(2)证明:存在无穷多个d,使得对每一个m,(m的展开式中均不含常数项.x2015年高考数学模拟试卷(五)第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1.{3,5} 2.2i 3.690 4.35 5.2 6.6π 7.348.13m ≥9.213-n 10.360 11.0 12.(){}1,12a ∈-- 13.)45,1( 14.12解析:4.共有12,13,14,15,21,22,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54共20个基本事件,其中31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54共12个基本事件,故所求的概率为123205=; 6.15,sinA sin sin 2666a b A A A B πππ====,得或,经检验. 7.过k k (,2)时取最大值,34k k 4=3,得=. 8.12,,x x R ∀∈满足[]1212-()()0x x f x f x ->()得()f x 单调递增,()0f x '≥恒成立,2320x x m -+≥恒成立,14120,3m m ∆=-≤故≥ 14.222222222111332222()(2)(2)22xy yz zx xy yz zx xy yz zx x y z xy yz zx x y x z y z ++++++=≤=+++++++++ 当且仅当12x y z ==时等号成立 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解:(1)1cos 21()2sin(2)1226x f x x x π+=--=--, 则()f x 的最小值是-2,最小正周期是22T ππ==;(2)()sin(2)106f C C π=--=,则sin(2)16C π-=,0C π<< 022C π∴<< 112666C πππ∴-<-<, 262C ππ∴-=,3C π∴=,sin 2sin B A =,由正弦定理,得12a b =,① 由余弦定理,得2222cos 3c a b ab π=+-,即223a b ab +-=, ②由①②解得1,2a b ==.16.(1)证明:在中ABC ∆,∵AC =2BC =4,60ACB ∠=︒∴32=AB ,∴222AC BC AB =+,∴BC AB ⊥由已知1BB AB ⊥, ∴C C BB AB 11面⊥ 又∵C C BB ABE ABE AB 11面,故面⊥⊂(2)证明:取AC 的中点M ,连结FM M C ,1在AB FM ABC //中,∆,而FM ABE ⊄平面,∴直线FM //平面ABE在矩形11A ACC 中,E 、M 都是中点,∴AE M C //1 而1C M ABE ⊄平面,∴直线ABE M C 面//1 又∵M FM M C =⋂1 ∴1//FMC ABE 面面 故AEB F C 面//1(或解:取AB 的中点G ,连结FG ,EG ,证明1//C F EG ,从而得证) (3)取11B C 的中点H ,连结EH ,则//EH AB 且132EH AB ==, 由(1)C C BB AB 11面⊥,∴11EH BB C C ⊥面,∵P 是BE 的中点,∴1111111113223P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅=17.解:(1)设电缆所呈现的抛物线方程为2y ax bx =+,∴2y ax b '=+∵点D 的坐标为(,)m n ,则抛物线在点D 处的切线的斜率为2k am b =+, 又∵直线AD 的斜率为16n m +,由题意可得162n am b m++=,即2216am bm n +=+ ① ∵点D 在抛物线上,∴2n am bm =+ ② 由①②可得21616,n a b m m-==,即抛物线方程为221616n y x x m m -=+. (2)坡面AC 所在直线方程为16ny x m=-,作直线EF y 轴且分别与抛物线及AC 交于,E F ,则2222221616161616161612122n n m EF x x x x x x m m m mm m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-+=-+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (当且仅当2mx =时取等), 这说明电缆线与坡面的铅直距离的最小值为12米,这个距离大于10 1.811.8+=米, ∴这根高压线是不会对这个人的安全构成威胁的.HG18.解:(1)由题意得2412a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩,∴21a c =⎧⎨=⎩b ∴=方程为:221.43x y +=(2)①解法1:当k不存在时易得d =当k 存在时,设AB 为y kx m =+,22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,()2223484120k x kmx m ∴+++-= * 21212228412,3434km m x x x x k k-∴+=-=++ OA ⊥OB ,12120x x y y ∴+=,()()12120x x kx m kx m ∴+++= 即()21212(1)0k x x km x x m ++++=,22712(1)m k ∴=+,7d ==经检验*式 ∆>0,所以点O 到直线AB的距离为7解法2:设A ()cos ,sin m m θθ,B cos(),sin()22n n ππθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭即B ()sin ,cos n n θθ- OA=m ,OB=n ,,22222222111()AB m n d OA OB m n m n +===+⋅22(cos )(sin )143m m θθ+=,222cos sin 143mθθ∴+= 同理:222sin cos 143n θθ+=,两式相加得:22111174312m n +=+=,∴7d =②当k 不存在或为0时易得7AB =当k 存在且不为0时AB ===OA OB+=AB,7AB <≤ 综上77OA OB ≤+≤19.解:(1)(法一)在221n n a S -=中,令1=n ,2=n ,得⎪⎩⎪⎨⎧==,,322121S a S a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,33)(,121121d a d a a a解得11=a ,2=d ,21n a n ∴=- 又21n a n =-时,2n S n =满足221n n a S -=,21n a n ∴=-111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+, 111111(1)2335212121n nT n n n ∴=-+-++-=-++. (法二) {}n a 是等差数列, n n a a a =+∴-2121 )12(212112-+=∴--n a a S n n n a n )12(-=. 由221n n a S -=,得 n n a n a )12(2-=,又0n a ≠,21n a n ∴=-,则11,2a d ==.(n T 求法同法一)(2)①当n 为偶数时,要使不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立,即需不等式(8)(21)8217n n n n nλ++<=++恒成立.828n n+≥,等号在2n =时取得. ∴此时λ 需满足25λ<. ②当n 为奇数时,要使不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立,即需不等式(8)(21)8215n n n n nλ-+<=--恒成立.82n n -是随n 的增大而增大, 1n ∴=时82n n -取得最小值6-.∴此时λ 需满足21λ<-.综合①、②可得λ的取值围是21λ<-. (3)11,,32121m n m nT T T m n ===++, 若1,,m n T T T 成等比数列,则21()()21321m n m n =++,即2244163m n m m n =+++. 由2244163m n m m n =+++,可得2232410mm n m -++=>,即22410m m -++>, ∴11m <<+又m ∈N ,且1m >,所以2m =,此时12n =.因此,当且仅当2m =, 12n =时,数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列.另解:因为1136366n n n =<++,故2214416m m m <++,即22410m m --<, ∴661122m -<<+,(以下同上). 20.解:(1)34ln ()xf x x -'=,令()0f x '=得1x =,()0,1x ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增; ()1,x ∈+∞时,()0f x '<,()f x 单调递减.综上, ()f x 单调递增区间为()0,1,单调递减区间为()1,+∞.(2)222(1)()2ax g x ax x x-'=-=①当0a ≤时,()0g x '<,单调递减,故不可能有两个根,舍去 ②当0a >时,1x a ⎛∈ ⎝时,()0f x '<,()f x 单调递减, 1,x a ⎫∈+∞⎪⎪⎭时,()0f x '>,()f x 单调递增.所以1)1g a <得01a <<. 综上,01a <<(3)不妨设121x x >>,由(1)知()1,x ∈+∞时,()f x 单调递减.1212()()ln ln f x f x k x x --≥,等价于2112()()(ln ln )f x f x k x x --≥即2211()ln ()ln f x k x f x k x ++≥存在()12,1,x x ∈+∞且12x x ≠,使2211()ln ()ln f x k x f x k x +≥+成立 令(x)()ln h f x k x =+,()h x 在()1,+∞存在减区间234ln ()kx x h x x -'=<0有解,即24ln x k x <有解,即max 24ln ()xk x< 令24ln ()x t x x =,34(12ln )()x t x x-'=,(x e ∈时, ()0f x '>,()f x 单调递增, ),x e ∈+∞时, ()0f x '<,()f x 单调递减,max 24ln 2()x x e=, 2k e ∴<.第II 卷 参考答案与解析21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题......,每小题10分,共计20分. A .选修4—1:几何证明选讲 证明:∵AE =AC ,∠CDE =∠AOC ,又∠CDE =∠P +∠PDF ,∠AOC =∠P +∠OCP , 从而∠PDF =∠OCP . 在△PDF 与△POC 中, ∠P =∠P ,∠PDF =∠OCP , 故△PDF ∽△POC . B .选修4—2:矩阵与变换解:2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ,即2cos 2sin 22sin 2cos 2αααα--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦,所以cos sin 1,sin cos 1.αααα-=-⎧⎨+=⎩ 解得cos 0,sin 1.αα=⎧⎨=⎩所以0110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦,得10110M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 另解:01=M10-=10≠, 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . 另解:01cos90sin 9010sin 90cos90-︒-︒⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥︒︒⎣⎦⎣⎦M ,看作绕原点O 逆时针旋转90°旋转变换矩阵,于是1cos(90)sin(90)sin(90)cos(90)--︒--︒⎡⎤=⎢⎥-︒-︒⎣⎦M 0110⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. C .选修4—4:坐标系与参数方程解:曲线221:(3)(4)4C x y -+-=,曲线222:1C x y +=218AB +=,所以AB 的最大值为8.D .选修4—5:不等式选讲证明:因为x ,y ,z 都是为正数,所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥. 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥,≥, 当且仅当x =y =z 时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得111x y z yz zx xy x y z++++≥. 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.22.解:(1)ξ=0,1,2,3,8121)0(3===ξP ;,832)1(313===C P ξ,832)2(323===C P ξ8121)0(3===ξP(第21-A 题)A BPF OE DC·283828180=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE(2)10次均为反面只有1次,只有1次正面110C 种,只有2次正面且不连续出现有29C 种,只有3次正面且不连续出现有38C 种,只有4次正面且不连续出现有47C 种,只有5次正面且不连续出现有56C 种,6次正面肯定会连续出现 所求概率为6491024144211056473829110==+++++C C C C C . 23.解:(1)因为{}n a 是首项为1,公差为3的等差数列,所以32n a n =-.假设(mx+的展开式中的第r +1项为常数项(r ∈N ), 321C C rm r r m r rr mmT xx --+==⋅,于是302m r -=. 设32m n =-()*n ∈N ,则有3322n r -=,即423r n =-,这与r ∈N 矛盾.所以假设不成立,即(mx+的展开式中不含常数项.(2)证明:由题设知a n =1(1)n d +-,设m =1(1)n d +-,由(1)知,要使对于一切m ,(mx+的展开式中均不含常数项,必须有:对于*n ∈N ,满足31(1)2n d r +--=0的r 无自然数解,即22(1)33d r n =-+∉N .当d =3k ()*k ∈N 时,222(1)2(1)333d r n k n =-+=-+∉N .故存在无穷多个d ,满足对每一个m ,(mx的展开式中均不含常数项.。
2015年高考数学模拟试题及答案
2015年高考数学模拟试题及答案本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。
第一卷1至2页,第二卷3至4页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间120分钟。
第一卷(选择题 共60分)注意事项:1. 作答第一卷前,请考生务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔填写在答题卡上,并认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否正确。
2. 第一卷答案必须用2B 铅笔填涂在答题卡上,在其他位置作答一律无效。
每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
参考公式:三角函数的和差化积公式sin sin 2sincos22a b a ba b +-+= sin sin 2cossin22a b a ba b +--= cos cos 2cos cos22a b a ba b +-+=cos cos 2sinsin22a b a ba b +--=- 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,由它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()C (1)kk n k n n P k p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为这组数据的平均值一.选择题:本大题共有12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 设集合{}1,2A =,{}1,2,3B =,{}2,3,4C =,则()AB C =(A ){}1,2,3(B ){}1,2,4(C ){}2,3,4(D ){}1,2,3,4(2) 函数123()x y x -=+∈R 的反函数的解析表达式为(A )22log 3y x =- (B )23log 2x y -= (C )23log 2xy -= (D )22log 3y x=- (3) 在各项都为正数的等比数列{}n a 中,首项13a =,前三项的和为21,则345a a a ++=(A ) 33(B ) 72(C ) 84(D ) 189(4) 在正三棱柱111ABC A B C -中,若2AB =,11AA =,则点A 到平面1A BC 的距离为(A )34(B )32(C )334(D )3(5) ABC △中,3A p=,3BC =,则ABC △的周长为 (A )43sin()33B p ++ (B )43sin()36B p++(C )6sin()33B p ++ (D )6sin()36B p++(6) 抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是(A )1716(B )1516(C )78(D ) 0(7) 在一次歌手大奖赛上,七位评委为某歌手打出的分数如下:9.4 8.49.49.99.69.49.7去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为(A ) 9.4,0.484 (B ) 9.4,0.016 (C ) 9.5,0.04 (D ) 9.5,0.016(8) 设a 、b 、g 为两两不重合的平面,l 、m 、n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题:① 若a g ⊥,b g ⊥,则//a b ;② 若m a ⊂,n a ⊂,//m b ,//n b ,则//a b ;③ 若//a b ,l a ⊂,则//l b ;④ 若l a b =,m b g =,n g a =,//l g ,则//m n . 其中真命题的个数是 (A ) 1(B ) 2(C ) 3(D ) 4(9) 设1,2,3,4,5k =,则5(2)x +的展开式中k x 的系数不可能...是 (A ) 10 (B ) 40(C ) 50(D ) 80(10) 若1sin()63p a -=,则2cos(2)3pa += (A )79-(B )13- (C )13(D )79(11) 点(3,1)P -在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为(2,5)=-a 的光线,经过直线2y =-反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为 (A )33 (B )13 (C )22(D )12 (12) 四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的.现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 (A ) 96(B ) 48(C ) 24(D ) 0S 数学试题 第 3 页(共 4 页)第二卷(非选择题 共90分)注意事项:请用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔在答题卡上指定区域内作答,在试题卷上作答一律无效。
2015年高考数学模拟试卷 5
2015年高考数学模拟试卷1. 已知抛物线20x my +=上的点到定点(0,4)和到定直线4y =-的距离相等,();; C. 16 ; D. 16-. 2. 四棱锥P ABCD -底面为正方形,侧面PAD 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M 在底面正方形ABCD 内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是 ( )3.若函数3()f x x ax =-(0a >)的零点都在区间[-10,10]上,则使得方程()1000f x =有正整数解的实数a的取值个数为( )A. 1;B. 2;C. 3;D. 4.4. 已知2110100x x C C+-=,则5.设函数()f x 的图像关于原点对称,且存在反函数1()fx -. 若已知(4)2f =,则6.的定义域是 .7. 8.已知椭圆的参数方程为4cos ,5sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(R θ∈),则该椭圆的焦距为 .AB CDC.AB CDA.AB CDB.ABCDD.9,则方程()0f x =的解集为 . 10. 不等式0)1)(2|(|≥--x x 的解集为 .11.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是 .12. 在复平面上,已知直线l 上的点所对应的复数z 满足则直线l 的倾斜角为 .(结果反三角函数值表示)13. 将一个半圆面围成圆锥的侧面,则其任意两条母线间夹角的最大值为_________. 14.如图,平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M,点P 是MD 的中点. 若2AB =,1AD =,且60BAD ∠=︒,则AP CP ⋅= .15. 平面直角坐标系中,已知点()01,0P ,()12,1P ,且1P P P P =-(*N n ∈).当n →+∞时,点n P 无限趋近于点M ,则点M 的坐标为 . 16.如图,在ABC △中,2AB =,以点B 为圆心,线段BC 的长为半径的半圆分别交AB 所在直线于点E 、F ,交线段AC 于点D ,则弧CD的长约为 .(精确到0.01)17. 在9(1)x +的二项展开式中任取2项,i p 表示取出的2项中有i 项系数为奇数的概率. 若用随机变量ξ表示取出的2项中系数为奇数的项数i ,则随机变量ξ的数学期望18. 已知条件:1p x >,条件,则p 是q 成立的 ( ) A .充分非必要条件; B .必要非充分条件; C .充要条件; D .既非充分也非必要条件. 19.(本题满分14分,其中第1小题6分,第2小题8分)已知数列{}n a 的首项为1,前n 项和为n S ,且满足13n n a S +=,*N n ∈.数列{}n b 满足4log n n b a =.(1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 当*N n ∈时,试比较12n b b b +++与.20.(本题满分14分)已知a R ∈,命题:p 实系数一元二次方程x命题:q 存在复数z 同时满足试判断:命题p 和命题q 之间是否存在推出关系?请说明你的理由. 21.(本题满分14分,其中第1小题8分,第2小题6分)一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下,每天销售量为b 件. 经市场调查后得到如下规律:若对产品进行电视广告的宣传,每天的销售量S (件)与电视广告每天的播放量n (次)的关系可用如图所示的程序框图来体现.(1)试写出该产品每天的销售量S (件)关于电视广告每天的播放量n (次)的函数关系式;(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%,则每天电视广告的播放量至少需多少次?22.(本题满分18分,其中第1小题6分,第2小题4分,第3小题8分) 定义变换T :cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换到这一平面上的点(,)P x y '''.特别地,若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P '与点P 重合,则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.(1)若椭圆C 的中心为坐标原点,焦点在x 轴上,且焦距为点间的距离为 2. 求该椭圆C 的标准方程. 时,其两个焦点1F 、2F 经变换公式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标;(21)中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标; (3)试探究:中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T :cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩(,k Z ∈)下的不动点的存在情况和个数.23.(本题满分18分,其中第1小题5分,第2小题5分,第3小题8分)在平面直角坐标系中,已知O 为坐标原点,点A 的坐标为(),a b ,点B 的坐标为()cos ,sin x x ωω,其中220a b +≠且0ω>.设()f x OA OB =⋅.(1,1b =,2ω=,求方程()1f x =在区间[]0,2π内的解集; (2)若点A 是过点()1,1-且法向量为()1,1n =-的直线l 上的动点.当x R ∈时,设函数()f x 的值域为集合M ,不等式20x mx +<的解集为集合P . 若P M ⊆恒成立,求实数m 的最大值;(3)根据本题条件我们可以知道,函数()f x 的性质取决于变量a 、b 和ω的值. 当x R ∈时,试写出一个条件,使得函数()f x 满足处()f x 取得最小值”.(说明:请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次,给予不同的评分.)四、新添加的题型参考答案1.D【解析】略 2.B【解析】略 3.C【解析】略 4.1或3 【解析】略 5.-4【解析】略6【解析】略7【解析】略 8.6【解析】略 9.{1,1}- 【解析】略10.),2[]1,2[+∞- 【解析】略11【解析】略12【解析】略 13.60° 【解析】略14【解析】略15【解析】略 16.3.13 【解析】略17【解析】略 18.A【解析】略 19.略【解析】略(1) 由n n S a 31=+… (1) , 得123++=n n S a … (2),由 (2)-(1) 得1123+++=-n n n a a a , 整理得,*N n ∈. 所以,数列2a ,3a ,4a ,…,n a ,…是以4为公比的等比数列. 其中,333112===a S a , 所以,2*1,1,34,2,Nn n n a n n -=⎧=⎨⋅≥∈⎩. (2)由题意,*40,1,log 3(2),2,N n n b n n n =⎧=⎨+-≥∈⎩. 当2n ≥时,()()()1234440log 30log 31log 32n b b b b n ++++=+++++++-(nn b ++>又当1n =时,10b =,(11n - 故综上,当1n =时,(nn b ++=当2n ≥时,()21nn b -++>20.略【解析】若命题p 为真,可得若命题q 为真,可知复平面上的圆224x y +=和圆()221x a y ++=有交点,于是由图形不难得到[][]3,11,3a ∈--,,集合[][]3,11,3B =--,可知集合A 和集合B 之间互不包含,于是命题p和命题q 之间不存在推出关系. 21.(12)4次【解析】(1)设电视广告播放量为每天i 次时,该产品的销售量为i S (0i n ≤≤,*N i ∈).于是当i n =时,2n b ⎫++=⎪⎭(*N n ∈). 所以,该产品每天销售量S (件)与电视广告播放量n (次/天)的函数关系式为(2(*Nn ∈) 所以,要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加90%,则每天广告的播放量至少需4次.22.(12)(3)两个【解析】(1)设椭圆C 0a b >>),由椭圆定义知焦距,即222a b -=…①.又由条件得224a b +=…②,故由①、②可解得23a =,21b =.即椭圆C 的标准方程为且椭圆C 两个焦点的坐标分别为对于变换T :cos sin ,sin cos x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩,当设()111,F x y '和()222,F x y '分别是由的坐标由变换公式T 变换得到.,即1F '的坐标为 即2F '的坐标为 (2)设(,)P x y 是椭圆C 在变换T 下的不动点,[来源:Z§xx§] ,由点(,)P x y C ∈,即(3,)P y y C ∈,得:,因而椭圆C 的不动点共有两个,分别为(3) 设(,)P x y 是双曲线在变换T 下的不动点,则由(0mn <)因为0mn <,双曲线在变换T 下一定有2个不动点,否则不存在不动点.进一步分类可知:时,即双曲线的焦点在x 轴上时,(ii )当0n>,0m <时,即双曲线的焦点在y 轴上时,来源:学科网]23.(123)略 【解析】(1)由题意()sin cos f x OA OB b x a x ωω=⋅=+,,1b =,2ω=时,,k Z ∈. ,k Z ∈.又因为[]0,2x π∈,故()1f x =在[]0,2π内的解集为 (2)由题意,l 的方程为(1)(1)02x y y x -++-=⇔=+.A 在该直线上,故2b a =+.所以,()f x 的值域又20x mx +=的解为0和m -,故要使P M ⊆恒成立,只需,所以m 的最大值(3)解:因sin OAOB b =⋅=设周期由于函数()f x 须满足“图像关于点处()f x 取得最小值”.63n ω⇒=+,N n ∈.又因为,的函数的图像的对称中心都是()f x 的零点,故,而当63n ω=+,N n ∈时,,N n ∈;所以当且仅当k ϕπ=,k Z ∈时,()f x 的图(i )当0,0b a >=时,()sin f x x ω=()fx 取得最小值,则有k Z ∈;又0ω>,则有123k ω=-,*N k ∈;因此,由*63,N,123,N ,n n k k ωω=+∈⎧⎨=-∈⎩可得129m ω=+,N m ∈; (ii )当0,0b a <=时,()sin f x x ω=-,进一步要使处()f x 取得最小值,则有,k Z ∈;又0ω>,则有123k ω=+,k ;因此,由63,N,123,N,n n k k ωω=+∈⎧⎨=+∈⎩可得123m ω=+,N m ∈;本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
2015届高三高考数学模拟试题及参考答案
2015届高三数学模拟试题(理)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.设集合A ={x | 0<x <2},B ={y |y =2x ,x ∈[0,2]},则A ∩B =( )A .φB .(1,2)C .[1,2)D .(1,3)2.复数ii2143+-在复平面上对应的点位于( )A .第四象限B .第三象限C .第二象限D .第一象限 3.已知实数x>y ,则下列关系式恒成立的是( )A. 1x 2+1>1y 2+1B. ln(x 2+1)>ln(y 2+1)C. sin x >sin yD. 2x >2y4.在等差数列{a n }中,若12543=++a a a ,则=++++7321a a a a ( ). A. 16 B. 28 C. 30 D. 365.在空间四边形ABCD 中,AB =CD ,且异面直线AB 与CD 所成角为300,E,F 分别是 边BC 和AD 的中点,则异面直线EF 和AB 所成角等于( ) A. 015或075 B. 075 C. 015 D. 015 或0306.设常数R a ∈.若52⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的二项展开式中7x 项的系数为15-,则a =( )A. 3B. 3-C. 5D. 5-7.运行如图的程序框图,设输出数据构成的集合为A ,从集合A 中任取一个元素a ,则 函数()0≥=x x y a是增函数的概率为( )43.D 53.C 54.B 73.A 8.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x 的值是( ) A. 3 B. 2 C.23 D. 29(第8题图)正视图 侧视图x9.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0 ,0048022y x y x y x , 若目标函数by ax z +=(b a ,均为大于0实数)的最大值为8, 则ab 的最大值为( )A. 8B. 6C. 5D. 4 10.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若()C a A c b cos cos 3=-,则cos A =( ) A . —33 B . 33 C. D 3-. 11.定义在R 上的偶函数满足f (32+x ) = f (32-x )且f (-1)=1,f (0) =-2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2014)的值为 ( )A .1B .-2C .2D .0()()()范围是则此椭圆离心率的取值且满足在椭圆上点的两个焦点为椭圆己知,10,,0,.12221222221c PF ,P ,by a x c F c F =⋅=+-⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33.A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31.B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,33.C ⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0.D 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数())(,4sin 4sin 22R x x x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ的最小正周期是_____. 14.圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+= 成轴对称图形,则b a +的取值范围是_______15.若()()2ln 212++-=x b x x f 在()+∞-,1上是减函数,则b 的最大值是_______.16.己知点P 是AOB ∆所在平面上一点,向量a OA =,向量b OB =,且P 在线段AB 的垂直平分线上,向量=,若()=-⋅==则,23______三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本题满分12分)在数列}{n a 中,),2(22,1*11N n n n a a a n n ∈≥-+==- (1)证明:数列}{n a n +是等比数列,并求}{n a 的通项公式; (2)设()n a b n n +=2log ,求证:数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前n 项和1<n S .18.(本题满分12分)已知四棱锥P —ABCD 中,PC ⊥面ABCD ,ABCD 为正方形,且PC=2,AB=BC=1, E 是侧棱PC 上的动点。
【恒心】2015年高考(江苏卷)数学终极预测试题(五)及参考答案【word版】
2015年高考(江苏卷)数学终极预测试题(五)及参考答案一、填空题:本大题共14题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上......... 1.函数2()lg(31)f x x =++ 的定义域是__ (- 13 ,1) ___.2. 已知直线l 和双曲线22194x y -=相交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M.设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0),直线OM 的斜率为k 2,则k 1k 2=__49______.3.数列{}n a 满足11112,1n n n a a a a ++-==+,其前n 项积为n T ,则2014T =__6-_____.4.对任意实数x ,若][x 表示不超过x 的最大整数,则“1<-y x ”是“][][y x =”的__必要不充分条件______.5. 在直角△ABC 中,︒=∠90BCA ,1==CB CA ,P 为AB 边上的点且AB AP λ=,若PB PA AB CP ⋅≥⋅,则λ的取值范围是___]1,222[-____. 6. 从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M (,)x y , 则点M 取自阴影部分的概率为 13 7. 对于下列命题:①在∆ABC 中,若cos2A=cos2B, 则∆ABC 为等腰三角形; ②∆ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ,若2,5,6a b A π===,则∆ABC 有两组解;③设201420142014sin,cos ,tan ,333a b c πππ=== 则;a b c << ④将函数2sin(3)6y x π=+的图象向左平移π6个单位,得到函数y =2cos(3x +π6)的图象.其中正确命题的个数是 3 .8. 已知ABC ∆中,30BAD ∠=,45CAD ∠=,3,2AB AC ==,则BDDC =____4____. 9. 在平面直角坐标系中,点P 是由不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩所确定的平面区域内的动点,Q 是直线20x y +=上任意一点,O 为坐标原点,则||OP OQ +的最小值为5.10. 关于x 的不等式0312≥++-a x ax 的解集为()∞+∞-,,则实数a 的取值范围是__⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21______.11. ABC ∆中,角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、,下列命题正确的是__①④⑤______(写出正确命题的编号).②若AsinB>BsinA ,则B >A③存在某钝角ABC ∆,有0tan tan tan >++C B A ; ④若02=++AB c CA b BC a ,则ABC ∆的最小角小于6π; ⑤若()10≤<<t tb a ,则tB A <. 12. 离心率为21的椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列,则双曲线2C 的离心率等于__321__. 13. 已知点)2,0(P ,抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ,线段PF 与抛物线C 的交点为M ,过M 作抛物线准线的垂线,垂足为Q .若︒=∠90PQF ,则p14. 若)4)(()(-+-+=x a x a x x f 的图象是中心对称图形,则=a 34-. 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 汽车的碳排放量比较大,某地规定,从2014年开始,将对二氧化碳排放量超过130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g/km ).经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为120g /km x =乙.(Ⅰ) 从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆,则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km 的概率是多少?(Ⅱ) 求表中x 的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性. 解:(Ⅰ)从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆,共有10种不同的二氧化碳排放量结果:(80,110),(80,120),(80,140),(80,150),(110,120), (110,140),(110,150),(120,140),(120,150),(140,150).设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km ”为事件A , 则事件A 包含以下7种不同的结果:(80,140),(80,150),(110,140),(110,150),(120,140),(120,150),(140,150).所以 7()0.710P A ==. 即至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km 的概率为0.7.………………6分 (Ⅱ)由题可知,120x =乙,所以4801205x+=,解得 120x =. 22222215600.s ⎡⎤=++++⎣⎦=甲(80-120)(110-120)(120-120)(140-120)(150-120) 22222215480.s ⎡⎤=++++⎣⎦=乙(100-120)(120-120)(120-120)(100-120)(160-120), 因为 22120x x s s ==>乙乙甲甲,,所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好. ………………13分 16. 已知函数x x x f cos )3sin(2)(π+=.(Ⅰ)若]2,0[π∈x ,求)(x f 的取值范围;(Ⅱ)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知A 为锐角,23)(=A f ,2=b ,3=c ,求)cos(B A -的值.解:(Ⅰ)x x x x f cos )cos 3(sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=23)32sin(232cos 232sin 21++=++=πx x x ….4分∵]2,0[π∈x ,∴]34,3[32πππ∈+x ,1)32sin(23≤+≤-πx . ∴]231,0[)(+∈x f .….7分(Ⅱ)由2323)32sin()(=++=πA A f ,得0)32sin(=+πA , 又A 为锐角,所以3π=A ,又2=b ,3=c ,所以73cos 322942=⨯⨯⨯-+=πa ,7=a .….10分 由BbA a sin sin =,得73sin =B ,又a b <,从而A B <,72cos =B .所以,417573237221sin sin cos cos )cos(=⋅+⋅=+=-B A B A B A …14分 17. 如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB =30°,∠ABC =90°,D 为AC 中点,AE BD ⊥于E ,延长AE 交BC 于F ,将∆ABD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,如图2所示. (Ⅰ)求证:AE ⊥平面BCD ;(Ⅱ)求二面角A –DC –B 的余弦值.(Ⅲ)在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ?若存在,请指明点M 的位置;若不存在,请说明理由.(Ⅰ)因为平面ABD ⊥平面BCD ,交又在ABD ∆中,AE BD ⊥于E ,AE ⊂平面ABD所以AE ⊥平面BCD . --------------------------------------3分(Ⅱ)由(Ⅰ)结论AE ⊥平面BCD 可得AE EF ⊥.由题意可知EF BD ⊥,又AE ⊥BD .如图,以E 为坐标原点,分别以,,EF ED EA 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系E xyz ---------------------------4分 不妨设2AB BD DC AD ====,则1BE ED ==.BF由图1条件计算得,AE =BC =3BF =则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),E D B A F C --------5分(3,1,0),(0,1,DC AD ==.由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA . -----------------------------------6分 设平面ADC 的法向量为(,,)x y z =n ,则0,0.DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.y y +==⎪⎩令1z =,则1y x ==,所以(11)=-n .------------------------------------8分 平面DCB 的法向量为EA所以cos ,||||EA EA EA ⋅<>==⋅n n n ,所以二面角A DC B -- ------------------------------9分 (Ⅲ)设AM AFλ=,其中[0,1]λ∈.由于3(AF =, 所以(3AM AF λλ==,其中[0,1]λ∈ --------------------------10分 所以3,0,(13EM EA AM λ⎛=+=- ⎝--------------------------11分 由0EM ⋅=n 0λ=-(1- ---------------------------12分 解得3=(0,1)4λ∈.-----------------------------13分 所以在线段AF 上存在点M 使EM ADC ∥平面,且34AM AF =.-------------14分18. 如图,两条相交线段AB 、PQ 的四个端点都在椭圆13422=+y x 上,其中,直线AB 的方程为m x =,直线PQ 的方程为n x y +=21.(Ⅰ)若0=n ,BAQ BAP ∠=∠,求m 的值;(Ⅱ)探究:是否存在常数m ,当n 变化时,恒有BAQ BAP ∠=∠? 解:(Ⅰ)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+xy y x 2113422,解得)23,3(--P ,)23,3(Q .……2分 因为BAQ BAP ∠=∠,所以0=+AQ AP k k .设),(y m A ,则0323323=--+++m y m y , 化简得32=m y ,……5分又13422=+y m ,联立方程组,解得1±=m ,或3±=m . 因为AB 平分PAQ ∠,所以3±=m 不合,故1±=m .……7分(Ⅱ)设),(11y x P ,),(22y x Q ,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+n x y y x 2113422,得0336422=-+-n ny y .)4(122n -=∆,2321ny y =+,4)1(3221-=n y y .……9分 若存常数m ,当n 变化时,恒有BAQ BAP ∠=∠,则由(Ⅰ)知只可能1±=m . ①当1=m 时,取)23,1(A ,BAQ BAP ∠=∠等价于01231232211=--+--x y x y , 即0)122)(32()122)(32(1221=---+---n y y n y y , 即))(2(2)12(342121y y n n y y ++=++, 即)2(3)12(3)1(32+=++-n n n n ,此式恒成立.所以,存常数1=m ,当n 变化时,恒有BAQ BAP ∠=∠.……13分(第18题)②当1-=m 时,取)23,1(--A ,由对称性同理可知结论成立.故,存常数1±=m ,当n 变化时,恒有BAQ BAP ∠=∠.……15分 19.设函数x a bx ax x f )21(2131)(23-++=,R b a ∈,,0≠a , (Ⅰ)若曲线)(x f y =与x 轴相切于异于原点的一点,且函数)(x f 的极小值为a 34-,求b a ,的值; (Ⅱ)若00>x ,且02112000=-++++x ax b x a , ①求证:0)1(00<+'x x f a ; ②求证:)(x f 在)1,0(上存在极值点. 解:(Ⅰ)])21(323[3)(2aa x a bx x a x f -++=, 依据题意得:2)43(3)(a b x x a x f +=,且06316922≠-=a a ab .……2分 0)4)(43()(=++='a bx a b x a x f ,得a b x 43-=或a b x 4-=. 如图,得a a b f 34)4(-=-, ∴a ab a b a 34)2)(4(32-=-,a b 4=, 代入a a ab 6316922-=得51=a ,54=b . ……4分 (Ⅱ)①)21()(2a bx ax x f -++='. )]21(1)1([)1(0020000a x bx x x a a x x f a -++++=+']211)1([002000x ax b x ax ax -++++= ]2)1([02000+-+=x ax ax ax 0)2()1(02002<++-=x x x a .……8分 ②a f 21)0(-=',b a f +-='1)1(. 若210<<a ,则021)0(>-='a f ,由①知0)1(00<+'x x f , 所以)(x f '在)1,0(00+x x 有零点,从而)(x f 在)1,0(上存在极值点. ……10分 若21≥a ,由①知0)1(0<+'x x f ; 又0)2()12(2)13()1)(21(2)1(11)1(0000000>+-+-=+--++--=+-='x x a x a x x a x x a a b a f ,所以)(x f '在)1,1(00+x x 有零点,从而)(x f 在)1,0(上存在极值点.……12分 若0<a ,由①知0)1(00>+'x x f ,0)2()12(2)13(1)1(000<+-+-=+-='x x a x a b a f , 所以)(x f '在)1,1(00+x x 有零点,从而)(x f 在)1,0(上存在极值点. 综上知)(x f 在)1,0(上是存在极值点. ……14分20.在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)()A n :123,,,,n A A A A 与()B n :123,,,,n B B B B ,其中3n ≥,若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段11i i i i A A B B ++⊥,其中1,2,3,,1i n =-,则称()A n 与()B n 互为正交点列.(Ⅰ)求(3)A :123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列(3)B ;(Ⅱ)判断(4)A :12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 是否存在正交点列(4)B ?并说明理由; (Ⅲ)5n n ∀≥∈,N ,是否都存在无正交点列的有序整点列()A n ?并证明你的结论. (Ⅰ)设点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123,,B B B ,由正交点列的定义可知13(0,2),(5,2)B B ,设2(,)B x y ,1223(3,2),(2,2)=-=A A A A ,1223(,2)(5,2)=-=--B B x y B B x y ,,由正交点列的定义可知 12120A A B B ⋅=,23230A A B B ⋅=,即32(2)0,,2(5)2(2)0x y x y --=⎧⎨-+-=⎩ 解得25=⎧⎨=⎩x y 所以点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123(0,2),(2,5),(5,2)B B B .------3分(Ⅱ)由题可得 122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=,, 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列,则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)λλλ=-==-B B B B B B ,,λλλ∈123,,Z 因为1144,A B A B 与与相同,所以有λλλλλλ⎧⎪⎨⎪⎩123123-+-=9,(1)3+3+3=1.(2)因为λλλ∈123,,Z ,方程(2)显然不成立,所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列;---------------8分(Ⅲ)5n n ∀≥∈,N ,都存在整点列()A n 无正交点列. -------------------------9分5n n ∀≥∈,N ,设1(,),i i i i A A a b +=其中,i i a b 是一对互质整数,1,2,3,1i n =-若有序整点列123,,,n B B B B 是点列123,,,n A A A A 正交点列,则1(,),1,2,3,,1λ+=-=-i i i i i B B b a i n ,则有 11=1111=11,(1).(2)n n i i i i i n n i i i i i b a a b λλ--=--=⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑①当n 为偶数时,取1,(0,0)A 1,=3=,1,2,3,,1-1⎧=-⎨⎩i i i a b i n i 为奇数,,为偶数.由于123,,,n B B B B 是整点列,所以有i λ∈Z ,1,2,3,,1i n =-.等式(2)中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立, 所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列;②当n 为奇数时,取1,(0,0)A 11=3,2=a b ,1,=3=,2,3,,1-1⎧=-⎨⎩i i i a b i n i 为奇数,,为偶数,由于123,,,n B B B B 是整点列,所以有i λ∈Z ,1,2,3,,1i n =-.等式(2)中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立, 所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列.综上所述,5n n ∀≥∈,N ,都不存在无正交点列的有序整数点列()A n ----------13分。
2015年全国大联考高考数学五模试卷(理科)
2015年全国大联考高考数学五模试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知复数z满足z=(i为虚数单位),则在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(5分)集合M={x|1<x+1≤3},N={x|x2﹣2x﹣3>0},则(∁R M)∩(∁R N)等于() A.(﹣1,3)B.(﹣1,0)∪(2,3)C.(﹣1,0]∪[2,3) D.[﹣1,0]∪(2,3]3.(5分)某市场调查员在同一天对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如下表所示:价格x(元)9 9.5 10 10.5 11销售量y(件) 11 a 8 6 5由散点图可知,销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系,且回归直线方程是=﹣3。
2x+4a,则实数a等于()A.7 B.8.5 C.9 D.104.(5分)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),P(X≤3)=0。
72,则P(1<X<3)等于()A.0.28 B.0。
44 C.0。
56 D.0。
845.(5分)在(1﹣x)3(1+x)8的展开式中,含x2项的系数是()A.6 B.﹣6 C.7 D.﹣76.(5分)给出下列三个类比结论.①“(ab)n=a n b n”类比推理出“(a+b)n=a n+b n;②已知直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c.类比推理出:已知向量a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c;③同一平面内,直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.类比推理出:空间中,已知平面α,β,γ,若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ.其中结论正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.37.(5分)要从8名教师中选派4人去参加一个研讨会,其中教师甲是领队必须去,而乙、丙两位教师不能同去,则不同的选派方法有()A.18种B.24种C.30种D.48种8.(5分)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是()A.6 B.7 C.8 D.99.(5分)(2014•福建模拟)将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是()A.B.C.D.10.(5分)已知2a=3b=6c,k∈Z,不等式>k恒成立,则整数k的最大值为()A.6 B.5 C.3 D.411.(5分)(2014•海淀区一模)已知A(1,0),点B在曲线G:y=ln(x+1)上,若线段AB与曲线M:y=相交且交点恰为线段AB的中点,则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点.记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a,则()A.a=0 B.a=1 C.a=2 D.a>212.(5分)(2014•长春四模)设,则对任意正整数m,n(m>n),都成立的是()A.B.C.D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.(5分)已知i是虚数单位,则|+|=.14.(5分)(2015•江苏模拟)某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩,绘制成频率分布直方图如图所示,若要从成绩在[85,90),[90,95),[95,100]三组内的学生中,用分层抽样的方法抽取12人参加面试,则成绩在[90,100]内的学生应抽取的人数为.15.(5分)某市有A、B两所示范高中响应政府号召,对该市甲、乙两个教育落后地区开展支教活动.经上级研究决定:向甲地派出3名A校教师和2名B校教师,向乙地派出3名A 校教师和3名B校教师.由于客观原因,需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区,则互换后A校教师派往甲地区人数不少于3名的概率为.16.(5分)已知双曲线(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F1作圆:x2+y2=的切线,切点为E,延长F1E交双曲线右支于点P,若|OP|=|F1F2|(O为坐标原点),则双曲线的离心率为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2014春•玉田县期中)已知点P n(a n,b n)满足a n+1=a n•b n+1,b n+1=(n∈N*)且点P1的坐标为(1,﹣1).(1)求过点P1,P2的直线l的方程;(2)试用数学归纳法证明:对于n∈N*,点P n都在(1)中的直线l上.18.(12分)(2015•濮阳一模)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API的监测数据,结果统计如下:API [0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]>300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位:元)与空气质量指数API(记为ω)的关系式为:S=,试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率;(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为重度污染,完成下面2×2列联表,并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?附:P(K2≥k0)0。
2015届高考模拟试卷数学试题(理科)附答案
2015届高考模拟试卷数学试题(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,第I 卷第1至第2页,第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足i i z -=+1)1((i 是虚数单位),则z 的共轭复数z = A .i -B .i 2-C .iD .i 22.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为( )A.32π B .π+ 3 C.32π+ 3 D.52π+ 33.在极坐标系中,过点(2,)6π且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A.ρθ=B.ρθ=C.sin ρθ=D.cos ρθ=4.图(1)是某高三学生进入高中三年来 的数学考试成绩茎叶图,第1次到第 14次的考试成绩依次记为A 1,A 2,…, A 14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定 范围内考试次数的一个算法流程图. 那么算法流程图输出的结果是( )A .7B .8C .9D .105.已知“命题p :∃x ∈R ,使得ax 2+2x +1<0成立”为真命题,则实数a 满足( ) A .[0,1) B .(-∞,1) C .[1,+∞) D .(-∞,1]6.若函数f (x )=(k -1)·a x -a -x (a >0且a ≠1) 在R 上既是奇函数,又是减函数, 则g (x )=log a (x +k )的图象是( )7.等比数列{}n a 的首项为1,公比为q ,前n 项和记为S,由原数列各项的倒数组成一个新数列1{}n a ,则1{}na 的前n 项之和'S 是( )A.1SB.1n q SC.n q SD. 1n S q -8. 若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则23x yz +=的最小值是( )A .9. 若二项式*(2)()n x n N -∈的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a ,所有项的二项式系数之和是b ,则b aa b+的最小值是( ) A.2 B.136 C.73 D.15610.有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4,从中任取4张,可排出的四位数有( )个A.78B. 102C.114D.120第Ⅱ卷(非选择题共100分)请用0 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
山东省潍坊市2015年高考模拟训练理科数学试题(五)含答案
2015年高考模拟训练试题理科数学(五)本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共5页,满分为150分,考试用时120分钟,考试结束后将答题卡交回.注意事项:1.答卷前,考生务必用0.5毫米规格黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.第II 卷必须用0.5毫米规格黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后写上新的答案,不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其他笔.4.不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的,答案无效.第I 卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设复数()1z bi b R =+∈且2z =,则复数z 的虚部为A. 3B. 3±C. 1±D. 3i ±2.已知集合{}21log ,1,,1,2x A y y x x B y y x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==>⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭则 A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ()0,1 C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ∅ 3.定义22⨯矩阵()12341423a a a a a a a a =-,若()()()()()sin 3cos x x f x f x ππ-+=,则的图象向右平移3π个单位得到的函数解析式为 A. 22sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. 2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. 2cos y x =D. 2sin y x = 4.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据,计算该几何体的表面积为A. 37πB. 35πC. 33πD. 31π5.已知,m n 为不同的直线,,αβ为不同的平面,则下列说法正确的是A. ,////m n m n αα⊂⇒B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥C. ,,////m n n m αβαβ⊂⊂⇒D.,n n βααβ⊂⊥⇒⊥6.点A 是抛物线()21:20C y px p =>与双曲线22222:x y C a b -()10,0a b =>>的一条 渐近线的交点,若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ,则双曲线2C 的离心率等于A.2 B.3 C. 5 D. 67.如图所示,由函数()sin f x x =与函数()cos g x x =在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象所围成的封闭图形的面积为A. 321-B. 422-C. 2D. 22 8.已知函数()()2,log x a f x a g x x -==(其中01a a >≠且),若()()440f g ⋅-<,则()(),f x g x 在同一坐标系内的大致图象是9.已知函数()32123f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ,且12112x x -<<<<,则直线()130bx a y --+=的斜率的取值范围是 A. 22,53⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 23,52⎛⎫-⎪⎝⎭ C. 21,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 22,,53⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 10.函数()23420122013201420151cos 22342012201320142015x x x x x x x f x x x ⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅-+-+ ⎪⎝⎭在区间[]3,3-上零点的个数为A.3B.4C.5D.6第II 卷(非选择题 共100分)注意事项:将第II 卷答案用0.5mm 规格的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.已知实数[]2,30x ∈,执行如图所示的程序框图,则输出的x 不小于103的概率是__________.12.某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C 三门课由于上课时间相同,至多选一门,若学校规定每位学生选修四门,则不同选修方案共有_________种.13.若()()()()92901292111x m a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++,且()()2290281393a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=,则实数m 的值是_________. 14.在ABC ∆中,E 为AC 上一点,且4AC AE =,P 为BE 上一点,()0,0AP mAB nAC m n =+>>,则11m n +取最小值时,向量(),a m n =的模为_______. 15.已知命题: ①设随机变量()()()1~0,1,2=P 20=2N P p ξξξ≥-<<-若; ②命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++<”;③在ABC A B ∆>中,的充要条件是sin sin A B <;④若不等式3221x x m ++-≥+恒成立,则m 的取值范围是(),2-∞; ⑤若对于任意的()2,430n N n a n a *∈+-++≥恒成立,则实数a 的取值范围是1,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦. 以上命题中正确的是_________(填写所有正确命题的序号).三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)已知函数()22cos 23sin cos sin f x x x x x =+-.(I )求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间;(II )ABC ∆中,A,B,C 分别为三边,,a b c 所对的角,若()3,1,a f A b c ==+求的最大值.17. (本小题满分12分)某图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图,已知80~90分数段的学员数为21人.(I )求该专业毕业总人数N 和90~95分数段内的人数n ;(II )现欲将90~95分数段内的6名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校,若向学校甲分配两名毕业生,且其中至少有一名男生的概率为35,求n 名毕业生中男、女各几人(男、女人数均至少两人)?(III )在(II )的结论下,设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数,求ξ的分布列和数学期望E ξ.18. (本小题满分12分)如图所示,在四棱锥P ABCD -中,PC ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,,//,222,2.AB AD AB CD AB AD CD PE BE ⊥====(I )求证平面EAC ⊥PBC ;(II )若二面角P AC E --的余弦值为6,求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 19. (本小题满分12分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为11,2,4,n n n n S a S a a n N *+==⋅∈且.(I )求数列{}n a 的通项公式;(II )设数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与的前n 项和为n T ,求证:1442n n T n <<+.20. (本小题满分13分)已知椭圆2222:1x y C a b +=与双曲线()2211441x y υυυ+=<<--有公共焦点,过椭圆C 的右顶点B 任意作直线l ,设直线l 交抛物线22y x =于P,Q 两点,且OP OQ ⊥.(I )求椭圆C 的方程;(II )在椭圆C 上是否存在点(),R m n ,使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=交相于不同的两点M 、N ,且OMN ∆的面积最大?若存在,求出点R 的坐标及对应OMN ∆的面积;若不存在,请说明理由.21. (本小题满分14分)设3x =是函数()()()23x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点.(I )求a b 与的关系式(用a 表示b ),并求()f x 的单调区间;(II )设()2250,4x a g x a e ⎛⎫>=+ ⎪⎝⎭,若存在[]12,0,4ξξ∈,使得()()12254f g ξξ-<成立,求实数a 的取值范围.。
2015高考数学模拟题及解析_2015年江苏高考数学模拟题及解析
I ← 1While I < 7 S ← 2 I + 1 I ← I + 2 End While Print S(第4题)数学学科参考答案及评分建议一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上......... 1. 命题“x ∃∈R ,20x >”的否定是“ ▲ ”.【答案】x ∀∈R ,20x ≤2. 设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位,a ,b ∈R ),则ab 的值为 ▲ .【答案】03. 设集合{}11 0 3 2A =-,,,,{}2 1B x x =≥,则AB = ▲ .【答案】{}1 3-,4. 执行如图所示的伪代码,则输出的结果为 ▲ .【答案】115. 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位:t/hm 2) 如下:9.8,9.9,10.1,10,10.2,则该组数据的方差为 ▲ .【答案】0.026. 若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2,则实数ω的值为 ▲ .【答案】π27. 在平面直角坐标系xOy 中,若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线 30ax y -+=垂直,则实数a 的值为 ▲ .【答案】e -8. 如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB =3 cm ,AD =2 cm ,1AA =1 cm ,则三棱锥11B ABD - 的体积为 ▲ cm 3.【答案】19. 已知等差数列{}n a 的首项为4,公差为2,前n 项和为n S . 若544k k S a +-=(k *∈N ),则k 的值为 ▲ .【答案】710.设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ,)是R 上的单调增函数,则m 的值为 ▲ .AA 1 B不CB 1不C 1不D 1不D不(第8题)BDC(第12题)AA B C DMNQ(第15题) 【答案】611.在平行四边形ABCD 中,AC AD AC BD ⋅=⋅3=,则线段AC 的长为 ▲ .312.如图,在△ABC 中,3AB =,2AC =,4BC =,点D 在边BC 上,BAD ∠=45°,则tan CAD ∠的值为 ▲ .815+13.设x ,y ,z 均为大于1的实数,且z 为x 和y 的等比中项,则lg lg 4lg lg z zx y+的最小值为 ▲ . 【答案】9814.在平面直角坐标系xOy 中,圆1C :22(1)(6)25x y ++-=,圆2C :222(17)(30)x y r -+-=.若圆2C 上存在一点P ,使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ,B ,满足2PA AB =, 则半径r 的取值范围是 ▲ . 【答案】[]5 55,二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域.......内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)如图,在四面体ABCD 中,平面BAD ⊥平面CAD ,BAD ∠=90°.M ,N ,Q 分别为棱AD ,BD ,AC 的中点.(1)求证://CD 平面MNQ ; (2)求证:平面MNQ ⊥平面CAD .证明:(1)因为M ,Q 分别为棱AD ,AC 的中点,所以//MQ CD , …… 2分 又CD ⊄平面MNQ ,MQ ⊂平面MNQ ,故//CD 平面MNQ . …… 6分 (2)因为M ,N 分别为棱AD ,BD 的中点,所以//MN AB ,又90BAD ∠=°,故MN AD ⊥. …… 8分 因为平面BAD ⊥平面CAD ,平面BAD平面CAD AD =, 且MN ⊂平面ABD ,所以MN ⊥平面ACD . …… 11分又MN ⊂平面MNQ ,平面MNQ ⊥平面CAD . …… 14分(注:若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”,扣1分.)16.(本小题满分14分)体育测试成绩分为四个等级:优、良、中、不及格.某班50名学生参加测试的结果如下:(1)从该班任意抽取1名学生,求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率; (2)测试成绩为“优”的3名男生记为1a ,2a ,3a ,2名女生记为1b ,2b .现从这5人中 任选2人参加学校的某项体育比赛. ① 写出所有等可能的基本事件; ② 求参赛学生中恰有1名女生的概率.解:(1)记“测试成绩为良或中”为事件A ,“测试成绩为良”为事件1A ,“测试成绩为中” 为事件2A ,事件1A ,2A 是互斥的. …… 2分 由已知,有121923()()5050P A P A ==,. …… 4分因为当事件1A ,2A 之一发生时,事件A 发生, 所以由互斥事件的概率公式,得1212192321()()()()505025P A P A A P A P A =+=+=+=. …… 6分(2)① 有10个基本事件:12()a a ,,13()a a ,,11()a b ,,12()a b ,,23()a a ,,21()a b ,,22()a b ,,31()a b ,,32()a b ,,12()b b ,. …… 9分 ② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B .在上述等可能的10个基本事件中,事件B 包含了11()a b ,,12()a b ,,21()a b ,,22()a b ,,31()a b ,,32()a b ,. 故所求的概率为63()105P B ==.等级优 良 中 不及格 人数519233答:(1)这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为2125;(2)参赛学生中恰有1名女生的概率为35. ……14分(注:不指明互斥事件扣1分;不记事件扣1分,不重复扣分;不答扣1分.事件B 包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分.)17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量=a (1,0),=b (0,2).设向量=+x a (1cos θ-)b , k =-y a 1sin θ+b ,其中0πθ<<.(1)若4k =,π6θ=,求x ⋅y 的值;(2)若x //y ,求实数k 的最大值,并求取最大值时θ的值.解:(1)(方法1)当4k =,π6θ=时,(123=-,x ,=y (44-,), …… 2分则⋅=x y (1(4)234443⨯-+-⨯=- …… 6分(方法2)依题意,0⋅=a b , …… 2分则⋅=x y (()(2233142421⎡⎤+⋅-+=-+⨯⎢⎥⎣⎦a b a b a b(34214443=-+⨯-⨯=-. …… 6分(2)依题意,()122cos θ=-,x ,()2sin k θ=-,y , 因为x //y ,所以2(22cos )sin k θθ=--,整理得,()1sin cos 1kθθ=-, …… 9分令()()sin cos 1f θθθ=-,则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ'=-+-22c o s c o s 1θθ=-- ()()2cos 1cos 1θθ=+-. …… 11分令()0f θ'=,得1cos 2θ=-或cos 1θ=,又0πθ<<,故2π3θ=.列表:故当2πθ=时,min ()f θ=33,此时实数k 取最大值43. …… 14分(注:第(2)小问中,得到()122cos θ=-,x ,()2sin k θ=-,y ,及k 与θ的等式,各1分.)18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b+=>>的左顶点为A ,右焦点为(0)F c ,.00( )P x y ,为椭圆上一点,且PA PF ⊥.(1)若3a =,5b =0x 的值; (2)若00x =,求椭圆的离心率;(3)求证:以F 为圆心,FP 为半径的圆与椭圆的右准线2a x c=相切. 解:(1)因为3a =,5b 2224c a b =-=,即2c =, 由PA PF ⊥得,0000132y y x x ⋅=-+-,即22006y x x =--+, …… 3分 又2200195x y +=,所以2004990x x +-=,解得034x =或03x =-(舍去) . …… 5分(2)当00x =时,220y b =, 由PA PF ⊥得,001y y a c⋅=--,即2b ac =,故22a c ac -=, …… 8分 所以210e e +-=,解得51e -=. …… 10分(3)依题意,椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -,且2200221x y a b+=,① xyO PAF (第18题)θ ()2π0 3, 2π3()2π π3,()f θ' -0 +()f θ↘极小值334-↗由PA PF ⊥得,00001y y x a x c⋅=-+-,即2200()y x c a x ca =-+-+, ② 由①②得,()2002()0a b ac x a x c ⎡⎤-⎢⎥++=⎢⎥⎣⎦, 解得()2202a a ac c x c --=-或0x a =-(舍去). …… 13分所以()2200PF x c y =-+()22000()x c x c a x ca =--+-+0c a x =-()222a a ac c c a a c --=+⋅2a c c =-,所以以F 为圆心,FP 为半径的圆与右准线2a x c=相切. …… 16分(注:第(2)小问中,得到椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c-,得1分;直接使用焦半 径公式扣1分.)19.(本小题满分16分)设a ∈R ,函数()f x x x a a =--. (1)若()f x 为奇函数,求a 的值;(2)若对任意的[2 3]x ∈,,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围; (3)当4a >时,求函数()()y f f x a =+零点的个数.解:(1)若()f x 为奇函数,则()()f x f x -=-, 令0x =得,(0)(0)f f =-,即(0)0f =,所以0a =,此时()f x x x =为奇函数. …… 4分(2)因为对任意的[2 3]x ∈,,()0f x ≥恒成立,所以min ()0f x ≥. 当0a ≤时,对任意的[2 3]x ∈,,()0f x x x a a =--≥恒成立,所以0a ≤; …… 6分 当0a >时,易得22 () x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+-<⎪=⎨--⎪⎩,,,≥在(2a ⎤-∞⎥⎦,上是单调增函数,在 2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是单调减函数,在[) a +∞,上是单调增函数, 当02a <<时,min ()(2)2(2)0f x f a a ==--≥,解得43a ≤,所以43a ≤;当23a ≤≤时,min ()()0f x f a a ==-≥,解得0a ≤,所以a 不存在;当3a >时,{}{}min ()min (2)(3)min 2(2)3(3)0f x f f a a a a =----,=,≥,解得9a ≥,所以92a ≥;综上得,4a ≤或92a ≥. …… 10分(3)设[]()()F x f f x a =+, 令()t f x a x x a =+=-则()y f t ==t t a a --,4a >, 第一步,令()0f t =t t a a ⇔-=,所以,当t a <时,20t at a -+=,判别式(4)0a a ∆=->,解得214a a a t --=224a a a t +-; 当t a ≥时,由()0f t =得,即()t t a a -=,解得234a a a t ++=;第二步,易得12302a t t a t <<<<<,且2a a <,① 若1x x a t -=,其中2104a t <<,当x a <时,210x ax t -+=,记21()p x x ax t =-+,因为对称轴2a x a =<,1()0p a t =>,且21140a t ∆=->,所以方程210t at t -+=有2个不同的实根; 当x a ≥时,210x ax t --=,记21()q x x ax t =--,因为对称轴2a x a =<,1()0q a t =-<,且22140a t ∆=+>,所以方程210x ax t --=有1个实根, 从而方程1x x a t -=有3个不同的实根;② 若2x x a t -=,其中2204a t <<,由①知,方程2x x a t -=有3个不同的实根;③ 若3x x a t -=,当x a >时,230x ax t --=,记23()r x x ax t =--,因为对称轴2a x a =<,3()0r a t =-<,且23340a t ∆=+>,所以方程230x ax t --=有1个实根; 当x a ≤时,230x ax t -+=,记23()s x x ax t =--,因为对称轴2a x a =<,3()0s a t =>,且2334a t ∆=-,2340a t ->⇔324160a a --<, …… 14分记32()416m a a a =--,则()(38)0m a a a '=->,故()m a 为(4 )+∞,上增函数,且(4)160m =-<,(5)90m =>, 所以()0m a =有唯一解,不妨记为0a ,且0(45)a ∈,, 若04a a <<,即30∆<,方程230x ax t -+=有0个实根; 若0a a =,即30∆=,方程230x ax t -+=有1个实根; 若0a a >,即30∆>,方程230x ax t -+=有2个实根,所以,当04a a <<时,方程3x x a t -=有1个实根; 当0a a =时,方程3x x a t -=有2个实根; 当0a a >时,方程3x x a t -=有3个实根.综上,当04a a <<时,函数[]()y f f x a =+的零点个数为7; 当0a a =时,函数[]()y f f x a =+的零点个数为8;当0a a >时,函数[]()y f f x a =+的零点个数为9. …… 16分 (注:第(1)小问中,求得0a =后不验证()f x 为奇函数,不扣分;第(2)小问中利用分离参数法参照参考答案给分;第(3)小问中使用数形结合,但缺少代数过程的只给结果分.)20.(本小题满分16分)设{}n a 是公差为d 的等差数列,{}n b 是公比为q (1q ≠)的等比数列.记n n n c a b =+. (1)求证:数列{}1n n c c d +--为等比数列; (2)已知数列{}n c 的前4项分别为4,10,19,34.① 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;② 是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ,2n ,…,} k n (4k ≥,k *∈N ),使得数列 1n c ,2n c ,…,k n c 为等差数列?证明你的结论. 解:(1)证明:依题意,()()111n n n n n n c c d a b a b d +++--=+-+- ()()11n n n n a a d b b ++=--+-(1)0n b q =-≠, …… 3分 从而2111(1)(1)n n n n n n c c d b q q c c d b q ++++---==---,又211(1)0c c d b q --=-≠,所以{}1n n c c d +--是首项为1(1)b q -,公比为q 的等比数列. …… 5分(2)① 法1:由(1)得,等比数列{}1n n c c d +--的前3项为6d -,9d -,15d -, 则()29d -=()()615d d --,解得3d =,从而2q =, …… 7分 且11114 3210 a b a b +=⎧⎨++=⎩,,解得11a =,13b =,所以32n a n =-,132n n b -=⋅. …… 10分法2:依题意,得1111211311410219334a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩,,,, …… 7分 消去1a ,得1121132116915d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩,,,消去d ,得2111321112326b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩,,消去1b ,得2q =,从而可解得,11a =,13b =,3d =,所以32n a n =-,132n n b -=⋅. …… 10分 ② 假设存在满足题意的集合A ,不妨设l ,m ,p ,r A ∈()l m p r <<<,且l c ,m c , p c ,r c 成等差数列,则2m p l c c c =+,因为0l c >,所以2m p c c >, ① 若1p m >+,则2p m +≥,结合①得,112(32)32(32)32m p m p --⎡⎤-+⋅>-+⋅⎣⎦13(2)232m m ++-+⋅≥,化简得,8203m m -<-<, ②因为2m ≥,m *∈N ,不难知20m m ->,这与②矛盾, 所以只能1p m =+, 同理,1r p =+,所以m c ,p c ,r c 为数列{}n c 的连续三项,从而122m m m c c c ++=+, 即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++,故122m m m b b b ++=+,只能1q =,这与1q ≠矛盾,所以假设不成立,从而不存在满足题意的集合A . …… 16分(注:第(2)小问②中,在正确解答①的基础上,写出结论“不存在”,就给1分.)。
2015年海南省高考数学模拟试卷(理科)(5月份)【解析版】
2015年海南省高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;每小题选出答案后,请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.)1.(5分)若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z 表示复数z,则复数的共轭复数是()A.﹣i B.﹣i C.i D.i2.(5分)能够把圆O:x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”,下列函数不是圆O的“和谐函数”的是()A.f(x)=4x3+x B.C.D.f(x)=e x+e﹣x3.(5分)若函数f(x)=﹣e ax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是()A.4B.2C.2D.4.(5分)设集合A={(x,y)||x|+|y|≤2},B={(x,y)∈A|y≤x2},从集合A 中随机地取出一个元素P(x,y),则P(x,y)∈B的概率是()A.B.C.D.5.(5分)在△ABC中,∠CAB=∠CBA=30°,AC,BC边上的高分别为BD,AE,则以A,B为焦点,且过D,E两点的椭圆和双曲线的离心率的乘积为()A.1B.C.2D.26.(5分)根据如图所示程序框图,若输入m=2146,n=1813,则输出m的值为()A.1B.37C.148D.3337.(5分)下列命题,正确的个数是①直线x=是函数y=sin2x﹣cos2x的一条对称轴②将函数y=cos(x+)的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度变为函数y=sin(2x+)的图象.③设随机变量ξ﹣N(3,9),若P(ξ<α)=0.3,(α<3),则P(ξ<6﹣α)=0.7④(2﹣)10的二项展开式中含有x﹣1项的二项式系数是210.()A.1B.2C.3D.48.(5分)如图,在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上任意两点,且EF的长为定值b,则下面的四个值中不为定值的是()A.点P到平面QEF的距离B.三棱锥P﹣QEF的体积C.直线PQ与平面PEF所成的角D.二面角P﹣EF﹣Q的大小9.(5分)已知O为坐标原点,A,B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于()A.B.C.D.10.(5分)已知函数f(x)=sinπx和函数g(x)=cosπx在区间[0,2]上的图象交于A,B两点,则△OAB面积是()A.B.C.D.11.(5分)已知双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1,F2双曲线的离心率为e,若双曲线上一点P使=e,Q点为直线PF1上的一点,且=3,则•的值为()A.B.C.D.12.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知(a7﹣1)3+2012(a7﹣1)=1,(a2006﹣1)3+2012(a2006﹣1)=﹣1,则下列结论正确的是()A.S2012=﹣2012,a2012>a7B.S2012=2012,a2012>a7C.S2012=﹣2012,a2012<a7D.S2012=2012,a2012<a7二、填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.(5分)在△ABC中,||=2,||=3,•<0,且△ABC的面积为,则∠BAC=.14.(5分)采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率:先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数,用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下20组随机数:907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为.15.(5分)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的对应直观图中△P AB的面积为.16.(5分)若对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立,则称f(x)是一个“λ﹣伴随函数”.有下列关于“λ﹣伴随函数”的结论:①f(x)=0 是常数函数中唯一个“λ﹣伴随函数”;②f(x)=x不是“λ﹣伴随函数”;③f(x)=x2是一个“λ﹣伴随函数”;④“﹣伴随函数”至少有一个零点.其中不正确的序号是(填上所有不正确的结论序号).三、解答题(本大题共5小题,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4=3S2+2,a2n=2a n,(1)求等差数列{a n}的通项公式a n.(2)令b n=,数列{b n}的前n项和为T n.证明:对任意n∈N*,都有≤T n<.18.(12分)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB.(Ⅰ)求证:AB⊥DE;(Ⅱ)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值;(Ⅲ)线段EA上是否存在点F,使EC∥平面FBD?若存在,求出;若不存在,说明理由.19.(12分)某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练,从中抽出N名学生,其数学成绩的频率分布直方图如图所示.已知成绩在区间[90,100]内的学生人数为2人.(1)求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数;(2)学校从成绩在[70,100]的三组学生中用分层抽样的方法抽取12名学生进行复试,若成绩在[80,90)这一小组中被抽中的学生实力相当,且能通过复试的概率均为,设成绩在[80,90)这一小组中被抽中的学生中能通过复试的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.20.(12分)已知椭圆C:+=1的离心率为,椭圆C的右焦点F和抛物线G:y2=4x的焦点相同.(1)求椭圆C的方程.(2)如图,已知直线l:y=kx+2与椭圆C及抛物线G都有两个不同的公共点,且直线l与椭圆C交于A,B两点;过焦点F的直线l′与抛物线G交于C,D两点,记,求λ的取值范围.21.(12分)已知函数f(x)=xlnx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)对于任意正实数x,不等式f(x)>kx﹣恒成立,求实数k的取值范围;(3)是否存在最小的正常数m,使得:当a>m时,对于任意正实数x,不等式f(a+x)<f(a)•e x恒成立?给出你的结论,并说明结论的合理性.四、选修4-1:几何证明选讲选答题(请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所选的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.)22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,F为BA延长线上一点,且满足BD•BE=BA•BF.求证:(1)EF⊥FB;(2)∠DFB+∠DBC=90°.五、选修4-4:坐标系与参数方程选讲.23.在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为(θ为参数)若以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线N的极坐标方程为ρsin(θ+)=(其中t为常数).(1)若曲线N与曲线M只有一个公共点,求t的取值范围;(2)当t=﹣2时,求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离.六、选修4-5:不等式选讲24.设函数f(x)=|3x﹣1|+ax+3.(1)若a=1,解不等式f(x)≤5;(2)若函数f(x)有最小值,求实数a的取值范围.2015年海南省高考数学模拟试卷(理科)(5月份)参考答案与试题解析一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;每小题选出答案后,请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.)1.(5分)若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z 表示复数z,则复数的共轭复数是()A.﹣i B.﹣i C.i D.i【解答】解:由题意可知z=2+i,复数====i.复数的共轭复数是:﹣i.故选:B.2.(5分)能够把圆O:x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”,下列函数不是圆O的“和谐函数”的是()A.f(x)=4x3+x B.C.D.f(x)=e x+e﹣x【解答】解:由“和谐函数”的定义知,若函数为“和谐函数”,则该函数为过原点的奇函数.A中,f(0)=0,且f(x)为奇函数,故f(x)=4x3+x为“和谐函数”;B中,f(0)=ln=ln1=0,且f(﹣x)=ln=ln=﹣ln=﹣f(x),所以f(x)为奇函数,所以f(x)=ln为“和谐函数”;C中,f(0)=tan0=0,且f(﹣x)=tan=﹣tan=﹣f(x),所以f(x)为奇函数,故f(x)=tan为“和谐函数”;D中,f(0)=e0+e﹣0=2,所以f(x)=e x+e﹣x的图象不过原点,故f(x))=e x+e ﹣x不为“和谐函数”;故选:D.3.(5分)若函数f(x)=﹣e ax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是()A.4B.2C.2D.【解答】解:函数的f(x)的导数f′(x)=,在x=0处的切线斜率k=f′(0)=,∵f(0)=﹣,∴切点坐标为(0,﹣),则在x=0处的切线方程为y+=x,即切线方程为ax+by+1=0,∵切线与圆x2+y2=1相切,∴圆心到切线的距离d=,即a2+b2=1,(a>0,b>0),方法1:∵a>0,b>0,∴设a=sin x,则b=cos x,0<x<,则a+b=sin x+cos x=sin(x),∵0<x<,∴<x<,即当x=时,a+b取得最大值为,法2:设z=a+b,则b=﹣a+z,平移直线b=﹣a+z,由图象知当直线与图象在第一象限相切时,直线的截距最大,此时z最大,圆心到直线的距离d==1,得|z|=,则z=或z=﹣(舍),故a+b取得最大值为,故选:D.4.(5分)设集合A={(x,y)||x|+|y|≤2},B={(x,y)∈A|y≤x2},从集合A 中随机地取出一个元素P(x,y),则P(x,y)∈B的概率是()A.B.C.D.【解答】解:集合A是一个正方形区域的内部及边界,4个顶点是(0,2)(0,﹣2)(2,0)(﹣2,0),集合B是抛物线y=x2 下方的区域由,可求得两图象在第一象限的交点坐标为(1,1)∵抛物线y=x2 下方的区域的面积,根据对称性,可得面积为=5+2×=,正方形的面积为,∴P(x,y)∈B的概率是故选:B.5.(5分)在△ABC中,∠CAB=∠CBA=30°,AC,BC边上的高分别为BD,AE,则以A,B为焦点,且过D,E两点的椭圆和双曲线的离心率的乘积为()A.1B.C.2D.2【解答】解:设|AB|=2c,则在椭圆中,有c+c=2a,∴椭圆的离心率为﹣1,而在双曲线中,有c﹣c=2a′,∴双曲线的离心率为+1,∴椭圆和双曲线的离心率的乘积为(﹣1)(+1)=2故选:C.6.(5分)根据如图所示程序框图,若输入m=2146,n=1813,则输出m的值为()A.1B.37C.148D.333【解答】解:由如图所示程序框图,知:该程序的作用是:用较大的数字除以较小的数字,得到商和余数,然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的,以此类推,当整除时,就得到要求的最大公约数.∵2146÷1813=1 (333)1813÷333=5 (148)333÷148=2 (37)148÷37=4∴m=2146,n=1813的最大公约数是37故选:B.7.(5分)下列命题,正确的个数是①直线x=是函数y=sin2x﹣cos2x的一条对称轴②将函数y=cos(x+)的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度变为函数y=sin(2x+)的图象.③设随机变量ξ﹣N(3,9),若P(ξ<α)=0.3,(α<3),则P(ξ<6﹣α)=0.7④(2﹣)10的二项展开式中含有x﹣1项的二项式系数是210.()A.1B.2C.3D.4【解答】解:对于①,函数y=sin2x﹣cos2x=,x=时,,所以直线x=不是函数y=sin2x﹣cos2x的一条对称轴,所以①不正确.对于②,将函数y=cos(x+)的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),可得:y=cos(2x+),再向左平行移动个单位长度得到:y=cos(2x++)=cos2x,不是函数y=sin(2x+)的图象.所以②不正确.对于③,设随机变量ξ﹣N(3,9),若P(ξ<α)=0.3,(α<3),则P(ξ<6﹣α)=0.7,所以③正确.对于④,(2﹣)10的二项展开式中,通项公式为:=,,可得r=4,故含有x﹣1项的二项式系数为:=210.故④正确.故选:B.8.(5分)如图,在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上任意两点,且EF的长为定值b,则下面的四个值中不为定值的是()A.点P到平面QEF的距离B.三棱锥P﹣QEF的体积C.直线PQ与平面PEF所成的角D.二面角P﹣EF﹣Q的大小【解答】解:A中,∵QEF平面也就是平面A1B1CD,既然P和平面QEF都是固定的,∴P到平面QEF的距离是定值.∴点P到平面QEF的距离为定值;B中,∵△QEF的面积是定值.(∵EF定长,Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长,即底和高都是定值),再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值,∴三棱锥的高也是定值,于是体积固定.∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值;C中,∵Q是动点,EF也是动点,推不出定值的结论,∴就不是定值.∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值;D中,∵A1B1∥CD,Q为A1B1上任意一点,E、F为CD上任意两点,∴二面角P﹣EF﹣Q的大小为定值.故选:C.9.(5分)已知O为坐标原点,A,B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于()A.B.C.D.【解答】解:不等式组表示的可行域如图阴影部分,tan∠AOB的最大值,就是∠AOB的最大值时的正切函数值,由可得A(1,2),由可得B(2,1),k OB=,k OA=2,tan∠AOB==.故选:A.10.(5分)已知函数f(x)=sinπx和函数g(x)=cosπx在区间[0,2]上的图象交于A,B两点,则△OAB面积是()A.B.C.D.【解答】解:如图所示:∵sinπx=cosπx=sin(),x∈[0,2],∴可解得:πx=π﹣()+2kπ,k∈Z(无解),或πx=+2kπ,k∈Z ∴可解得:x=+k,k∈Z,且x∈[0,2],∴x=,或,∴解得坐标:A(,),B(,﹣).∴解得直线AB所在的方程为:y﹣=﹣(x﹣),联立方程y=0,可解得:x=,及OC=.∴S△OAB =S△OAC+S△COB==.故选:A.11.(5分)已知双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1,F2双曲线的离心率为e,若双曲线上一点P使=e,Q点为直线PF1上的一点,且=3,则•的值为()A.B.C.D.【解答】解:设|PF1|=m,|PF2|=n,则由正弦定理可得==2,∵m﹣n=2,∴m=4,n=2,∵=3,∴||=3,||=1,△PF1F2中,cos∠PF1F2==,△QF1F2中,|QF2|==,∴•==.故选:A.12.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知(a7﹣1)3+2012(a7﹣1)=1,(a2006﹣1)3+2012(a2006﹣1)=﹣1,则下列结论正确的是()A.S2012=﹣2012,a2012>a7B.S2012=2012,a2012>a7C.S2012=﹣2012,a2012<a7D.S2012=2012,a2012<a7【解答】解:∵(a7﹣1)3+2012(a7﹣1)=1,(a2006﹣1)3+2012(a2006﹣1)=﹣1,∴(a7﹣1)3+(a2006﹣1)3+2012(a7﹣1)+2012(a2006﹣1)=0,即[(a7﹣1)+(a2006﹣1)][(a7﹣1)2+(a2006﹣1)2﹣(a7﹣1)(a2006﹣1)]+2012[(a7﹣1)+(a2006﹣1)]=0,整理得:[(a7﹣1)+(a2006﹣1)]{[(a7﹣1)﹣(a2006﹣1)]2+(a2006﹣1)2+2012]}=0,∴(a7﹣1)+(a2006﹣1)=0,即a7+a2006=2.∵数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,∴S2012===2012,可排除A、C;令f(x)=x3+2012x,则f′(x)=3x2+2012>0,∴y=f(x)为R上的增函数,又f(a7﹣1)=1>﹣1=f(a2006﹣1),∴a7﹣1>a2006﹣1,即a7>a2006,故等差数列{a n}为递减数列,∴a7>a2012,可排除B,二、填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.(5分)在△ABC中,||=2,||=3,•<0,且△ABC的面积为,则∠BAC=150°.【解答】解:∵在△ABC中,||=2,||=3,且△ABC的面积为,∴=,即,解得sin∠BAC=,又•<0,∴,∴∠BAC=150°.故答案为:150°.14.(5分)采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率:先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数,用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下20组随机数:907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为0.25.【解答】解:由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数,在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有:191、271、932、812、393,共5组随机数,所求概率为=0.25,故答案为:0.2515.(5分)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的对应直观图中△P AB的面积为.【解答】解:几何体的直观图如图:底面是边长为2的正三角形,高为2,顶点P在底面的射影是正三角形的已改顶点,直观图中△P AB是等腰三角形,斜高为:=,△P AB的面积为:.故答案为:.16.(5分)若对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立,则称f(x)是一个“λ﹣伴随函数”.有下列关于“λ﹣伴随函数”的结论:①f(x)=0 是常数函数中唯一个“λ﹣伴随函数”;②f(x)=x不是“λ﹣伴随函数”;③f(x)=x2是一个“λ﹣伴随函数”;④“﹣伴随函数”至少有一个零点.其中不正确的序号是①③(填上所有不正确的结论序号).【解答】解:①设f(x)=C是一个“λ﹣伴随函数”,则(1+λ)C=0,当λ=﹣1时,可以取遍实数集,因此f(x)=0不是唯一一个常值“λ﹣伴随函数”,故①不正确;②∵f(x)=x,∴f(x+λ)+λf(x)=x+λ+λx,当λ=﹣1时,f(x+λ)+λf(x)=﹣1≠0;λ≠﹣1时,f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解,∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立,∴(x)=x不是“λ﹣伴随函数”,故②正确;③用反证法,假设f(x)=x2是一个“λ﹣伴随函数”,则(x+λ)2+λx2=0,即(1+λ)x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立,所以λ+1=2λ=λ2=0,而此式无解,所以f(x)=x2不是一个“λ﹣伴随函数”,故③不正确;④令x=0,得f()+f(0)=0,所以f()=﹣f(0)若f(0)=0,显然f(x)=0有实数根;若f(0)≠0,f()•f(0)=﹣(f (0))2<0.又因为f(x)的函数图象是连续不断,所以f(x)在(0,)上必有实数根.因此任意的“﹣伴随函数”必有根,即任意“﹣伴随函数”至少有一个零点,故④正确故答案为:①③三、解答题(本大题共5小题,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4=3S2+2,a2n=2a n,(1)求等差数列{a n}的通项公式a n.(2)令b n=,数列{b n}的前n项和为T n.证明:对任意n∈N*,都有≤T n<.【解答】解:(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则由S4=3S2+2、a2n=2a n,得,解得,所以;(2)因为,所以,则=.因为n≥1,n∈N*,所以.18.(12分)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB.(Ⅰ)求证:AB⊥DE;(Ⅱ)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值;(Ⅲ)线段EA上是否存在点F,使EC∥平面FBD?若存在,求出;若不存在,说明理由.【解答】(Ⅰ)证明:取AB中点O,连接EO,DO.因为EB=EA,所以EO⊥AB.…(1分)因为四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,所以四边形OBCD为正方形,所以AB⊥OD.…(2分)因为EO∩OD=O所以AB⊥平面EOD.…(3分)因为ED⊂平面EOD所以AB⊥ED.…(4分)(Ⅱ)解:因为平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,平面ABE∩平面ABCD=AB所以EO⊥平面ABCD,因为OD⊂平面ABCD,所以EO⊥OD.由OB,OD,OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz.…(5分)因为△EAB为等腰直角三角形,所以OA=OB=OD=OE,设OB=1,所以O(0,0,0),A(﹣1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1).所以,平面ABE的一个法向量为.…(7分)设直线EC与平面ABE所成的角为θ,所以,即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.…(9分)(Ⅲ)解:存在点F,且时,有EC∥平面FBD.…(10分)证明如下:由,,所以.设平面FBD的法向量为=(a,b,c),则有所以取a=1,得=(1,1,2).…(12分)因为=(1,1,﹣1)•(1,1,2)=0,且EC⊄平面FBD,所以EC∥平面FBD.即点F满足时,有EC∥平面FBD.…(14分)19.(12分)某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练,从中抽出N名学生,其数学成绩的频率分布直方图如图所示.已知成绩在区间[90,100]内的学生人数为2人.(1)求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数;(2)学校从成绩在[70,100]的三组学生中用分层抽样的方法抽取12名学生进行复试,若成绩在[80,90)这一小组中被抽中的学生实力相当,且能通过复试的概率均为,设成绩在[80,90)这一小组中被抽中的学生中能通过复试的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.【解答】解:(1)由频率分布直方图可知,成绩在区间[90,100]内的频率为0.005×10=0.05,所以,利用中值估算抽样学生的平均分:45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72.所以,估计这次考试的平均分是7(2分).由频率分布直方图可知,成绩分布在[70,80]间的频率最大,所以众数的估计值为区间[70,80]的中点值7(5分)…(6分)(注:这里的众数、平均值为估计量,若遗漏估计或大约等词语扣一分)(2)由(1)知,成绩在[70,100]内的学生共有40×(0.3+0.25+0.05)=24人,成绩在[80,90)这一小组的人数有40×0.025=10人.所以从这一小组中抽出的人数为人,依题意知,,,,,,,,所以ξ的分布列为:数学期望.…(12分)20.(12分)已知椭圆C:+=1的离心率为,椭圆C的右焦点F和抛物线G:y2=4x的焦点相同.(1)求椭圆C的方程.(2)如图,已知直线l:y=kx+2与椭圆C及抛物线G都有两个不同的公共点,且直线l与椭圆C交于A,B两点;过焦点F的直线l′与抛物线G交于C,D两点,记,求λ的取值范围.【解答】解:(1)椭圆的离心率,抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以椭圆中的c=1,a=2,b2=3.所以椭圆的方程为;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则由,消去y可得(3+4k2)x2+16kx+4=0(①),由解得或;由消去y可得k2x2+4(k﹣1)x+4=0,由解得,所以.由①可得,y1•y2=(kx1+2)•(kx2+2)=k2x1•x2+2k(x1+x2)+4=,所以,当l'的斜率不存在时,C(1,2),D(1,﹣2),此时,;当l'的斜率存在时,设l'的方程为y=m(x﹣1),(m≠0),由消去y可得m2x2﹣(2m2+4)x+m2=0,所以x 3•x4=1,,所以,则λ==,因为,所以,所以.21.(12分)已知函数f(x)=xlnx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)对于任意正实数x,不等式f(x)>kx﹣恒成立,求实数k的取值范围;(3)是否存在最小的正常数m,使得:当a>m时,对于任意正实数x,不等式f(a+x)<f(a)•e x恒成立?给出你的结论,并说明结论的合理性.【解答】解:(1)∵f(x)=xlnx.∴f′(x)=1+lnx,当x∈(0,)时,f′(x)<0;当x∈(,+∞)时,f′(x)>0.所以函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.(2)由于x>0,f(x)>kx﹣恒成立,∴k=lnx+.构造函数k(x)=lnx+.∴k′(x)=﹣=.令k′(x)=0,解得x=,当x∈(0,)时,k′(x)<0,当x∈(,+∞)时,k′(x)>0.∴函数k(x)在点x=处取得最小值,即k()=1﹣ln2.因此所求的k的取值范围是(﹣∞,1﹣ln2).(3)结论:这样的最小正常数m存在.解释如下:f(a+x)<f(a)•e x⇔(a+x)ln(a+x)<alna)•e x⇔<.构造函数g(x)=,则问题就是要求g(a+x)<g(a)恒成立.对于g(x)求导得g′(x)=.令h(x)=lnx+1﹣xlnx,则h′(x)=﹣lnx﹣1,显然h′(x)是减函数.又h′(1)=0,所以函数h(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,而h()=ln+1﹣=﹣2+1+=<0,h(1)=ln1+1﹣ln1=1>0,h(e)=lne+1﹣elne=1+1﹣e=2﹣e<0.所以函数h(x)在区间(0,1)和(1,+∞)上各有一个零点,令为x1和x2(x1<x2),并且有:在区间(0,x1)和(x2,+∞)上,h(x)<0即g′(x)<0;在区间(x1,x2)上,h(x)>0即g′(x)>0.从而可知函数g(x)在区间(0,x1)和(x2,+∞)上单调递减,在区间(x1,x2)上单调递增.g(1)=0,当0<x<1时,g(x)<0;当x>1时,g(x)>0.还有g(x2)是函数的极大值,也是最大值.题目要找的m=x2,理由是:当a>x2时,对于任意非零正数x,a+x>a+x2,而g(x)在(x2,+∞)上单调递减,所以g(a+x)<g(a)一定恒成立,即题目所要求的不等式恒成立,说明m≤x2;当0<a<x2时,取x=x2﹣a,显然x>0且g(a+x)=g(x2)>g(a),题目所要求的不等式不恒成立,说明m不能比x2小.综合可知,题目所要寻求的最小正常数m就是x2,即存在最小正常数m=x2,当a>m时,对于任意正实数x,不等式不等式f(a+x)<f(a)•e x恒成立.四、选修4-1:几何证明选讲选答题(请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所选的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.)22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,F为BA延长线上一点,且满足BD•BE=BA•BF.求证:(1)EF⊥FB;(2)∠DFB+∠DBC=90°.【解答】(1)证明:连接AD,则∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°在△ADB和△EFB中,∵BD•BE=BA•BF,∴…..(2分)又∠DBA=∠EBF,∴△ADB∽△EFB…..(4分)则∠EFB=∠ADB=90°,∴EF⊥FB…..(5分)(2)在△ADB中,∠ADB=∠ADE=90°又∠EFB=90°∴E、F、A、D四点共圆;…(7分)∴∠DFB=∠AEB…..(9分)又AB是⊙O的直径,则∠ACB=90°,∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°…(10分)五、选修4-4:坐标系与参数方程选讲.23.在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为(θ为参数)若以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线N的极坐标方程为ρsin(θ+)=(其中t为常数).(1)若曲线N与曲线M只有一个公共点,求t的取值范围;(2)当t=﹣2时,求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离.【解答】解:(1)曲线M(θ为参数),即x2=1+y,即y=x2﹣1,其中,x=sinθ+cosθ=sin(θ+)∈[﹣,].把曲线N的极坐标方程为ρsin(θ+)=(其中t为常数)化为直角坐标方程为x+y﹣t=0.由曲线N(图中蓝色直线)与曲线M(图中红色曲线)只有一个公共点,则有直线N过点A(,1)时满足要求,并且向左下方平行运动直到过点B(﹣,1)之前总是保持只有一个公共点,再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点,所以﹣+1<t≤+1满足要求,当直线和曲线M相切时,由有唯一解,即x2+x﹣1﹣t=0 有唯一解,故有△=1+4+4t=0,解得t=﹣.综上可得,要求的t的范围为(﹣+1,+1]∪{﹣}.(2)当t=﹣2时,曲线N即x+y+2=0,当直线和曲线M相切时,由(1)可得t=﹣.故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离,即直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离,为=.六、选修4-5:不等式选讲24.设函数f(x)=|3x﹣1|+ax+3.(1)若a=1,解不等式f(x)≤5;(2)若函数f(x)有最小值,求实数a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)a=1时,f(x)=|3x﹣1|+x+3.当时,f(x)≤5可化为3x﹣1+x+3≤5,解之得;当时,f(x)≤5可化为﹣3x+1+x+3≤5,解之得.综上可得,原不等式的解集为.(Ⅱ)函数f(x)有最小值的充要条件为,即﹣3≤a≤3.。
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2015高考数学模拟试卷及答案解析(理科)本试卷满分150分,考试时间120分钟一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数321i i -(i 为虚数单位)的虚部是A .15iB .15C .15i -D .15-2.设全集U=R ,A={x |2x (x —2)〈1},B={x |y=1n (l -x )},则右图中阴影部分表示的集合为 A .{x |x≥1}B .{x |x≤1}C .{x|0<x≤1}D .{x |1≤x〈2}3.等比数列{a n }的各项均为正数,且564718a a a a +=,则log 3 a 1+log 3a 2+…+log 3 a l0= A .12 B .10C .8D .2+log 3 54.若x=6π是3x ω+cos x ω的图象的一条对称轴,则ω可以是 A .4B .8C .2D .15.己知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A 23π B 232π+ C .232π D .3π6.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有'5架舰载机准备着舰.如果甲乙2机必须相邻着舰,而丙丁不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( )种 A .12B .18C .24D .487.已知M=3(,)|3,{(,)|20}2y x y N x y ax y a x -⎧⎫==++=⎨⎬-⎩⎭且M N =∅,则a= A .—6或-2 B .-6 C .2或-6 D .-28.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%.己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸(单位:毫克/升)与过滤时间t (单位:小时)之间的函数关系为: P= P 0e-kt,(k,P 0均为正的常数).若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么,至少还需( )时间过滤才可以排放.A .12小时B .59小时 c .5小时D .10小时9.己知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,且两条曲线的交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为 A 2B .2C 2D 2110.实数a i (i =1,2,3,4,5,6)满足(a 2-a 1)2+(a 3-a 2)2+(a 4-a 3)2+(a 5-a 4)2+(a 6-a 5)2=1则(a 5+a 6)-(a 1+a 4)的最大值为A .3B .2C 6D .1二、填空题(本大题共6小题,考生共需作答5小题.每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.)(一)必考题.(11-14题) 常数项11.己知0(sin cos )xa t t dt =+⎰,则(1x ax-)6的展开式中的为 。
2015年最新数学高考模拟试题精编12套
数学高考模拟试题精编一【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知复数z =2i1+i,z 的共轭复数为z ,则z ·z =( ) A .1-i B .2 C .1+i D .02.(理)条件甲:⎩⎨⎧ 2<x +y <40<xy <3;条件乙:⎩⎨⎧0<x <12<y <3,则甲是乙的( )A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件(文)设α,β分别为两个不同的平面,直线l ⊂α,则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件3.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k 的值是( )A.4 B.5C.6 D.74.(理)下列说法正确的是()A.函数f(x)=1x在其定义域上是减函数B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C.命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1<0”D.给定命题p、q,若p∧q是真命题,则綈p是假命题(文)若cos θ2=35,sinθ2=-45,则角θ的终边所在的直线为()A.7x+24y=0 B.7x-24y=0C.24x+7y=0 D.24x-7y=05.如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图,现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布,则年龄在[35,40)的网民出现的频率为()A.0.04 B.0.06C.0.2 D.0.36.已知等比数列{a n }的首项为1,若4a 1,2a 2,a 3成等差数列,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( ) A.3116 B .2 C.3316 D.16337.已知l ,m 是不同的两条直线,α,β是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的是( )A .若l ⊥α,α⊥β,则l ∥βB .若l ⊥α,α∥β,m ⊂β,则l ⊥mC .若l ⊥m ,α∥β,m ⊂β,则l ⊥αD .若l ∥α,α⊥β,则l ∥β 8.(理)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x +12·4x n 的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为( ) A.16 B.14 C.13 D.512(文)已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2xf ′(e)+ln x ,则f ′(e)=( ) A .1 B .-1 C .-e -1 D .-e9.将函数f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍,所得图象关于直线x =π4对称,则φ的最小正值为( ) A.π8 B.3π8 C.3π4 D.π2 10.如图所示是一个几何体的三视图,其侧视图是一个边长为a 的等边三角形,俯视图是两个正三角形拼成的菱形,则该几何体的体积为( ) A .a 3B.a 32C.a 33D.a 34 11.如图所示,F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点,以坐标原点O 为圆心,|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ,B ,且△F 2AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为( ) A.2+1 B.3+1 C.2+12 D.3+1212.设定义在R 上的奇函数y =f (x ),满足对任意t ∈R 都有f (t )=f (1-t ),且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12时,f (x )=-x 2,则f (3)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32的值等于( ) A .-12 B .-13 C .-14 D .-15 答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填写在题中的横线上)13.向平面区域{}(x ,y )|x 2+y 2≤1内随机投入一点,则该点落在区域⎩⎨⎧2x +y ≤1x ≥0y ≥0内的概率等于________.14.(理)如图所示,在平行四边形ABCD 中,AP ⊥BD ,垂足为P ,且AP =3,则AP →·AC→=________.(文)已知向量p =(1,-2),q =(x,4),且p ∥q ,则p ·q 的值为________. 15.给出下列等式:观察各式:a +b =1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则依次类推可得a 6+b 6=________.16.已知不等式xy ≤ax 2+2y 2,若对任意x ∈[1,2],且y ∈[2,3],该不等式恒成立,则实数a 的取值范围是________.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程及演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6+2cos 2x -1(x ∈R )(1)求f (x )的单调递增区间;(2)在△ABC 中,三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知f (A )=12,b ,a ,c 成等差数列,且AB →·AC →=9,求a 的值.18.(理)(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ,AA 1=A 1C =AC =2,AB =BC ,AB ⊥BC ,O 为AC 中点. (1)证明:A 1O ⊥平面ABC ;(2)求直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值;(3)在BC 1上是否存在一点E ,使得OE ∥平面A 1AB ?若存在,确定点E 的位置;若不存在,说明理由. (文)(本小题满分12分)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,AB=1,AA1=62,∠ABC=60°.(1)求证:AC⊥BD1;(2)求四面体D1-AB1C的体积.19.(理)(本小题满分12分)某学校为了增强学生对消防安全知识的了解,举行了一次消防安全知识竞赛,其中一道题是连线题,要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线,规定:每连对一条得5分,连错一条得-2分.某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来.(1)求该参赛者恰好连对一条的概率;(2)设X为该参赛者此题的得分,求X的分布列与数学期望.(文)(本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83.(1)求x和y的值;(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.20.(本小题满分13分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,S n+1=4a n+2.(1)设b n=a n+1-2a n,证明:数列{b n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.21.(理)(本小题满分13分)已知函数f (x )=e x (ax 2-2x -2),a ∈R 且a ≠0. (1)若曲线y =f (x )在点P (2,f (2))处的切线垂直于y 轴,求实数a 的值; (2)当a >0时,求函数f (|sin x |)的最小值;(3)在(1)的条件下,若y =kx 与y =f (x )的图象存在三个交点,求k 的取值范围. (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )=ln x 与g (x )=kx +b (k ,b ∈R )的图象交于P ,Q 两点,曲线y =f (x )在P ,Q 两点处的切线交于点A .(1)当k =e ,b =-3时,求函数h (x )=f (x )-g (x )的单调区间;(e 为自然常数) (2)若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫e e -1,1e -1,求实数k ,b 的值. 22.(本小题满分12分)如图F 1、F 2为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1的左、右焦点,D 、E 是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率e =32,S △DEF 2=1-32.若点M (x 0,y 0)在椭圆C 上,则点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0a ,y 0b 称为点M 的一个“椭点”,直线l 与椭圆交于A 、B 两点,A 、B两点的“椭点”分别为P 、Q . (1)求椭圆C 的标准方程;(2)问是否存在过左焦点F 1 的直线l ,使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.山东省数学高考模拟试题精编二【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答. 题号 一二 三 总分13 1415 16 17 18 19 20 21 22 得分第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设A ={1,4,2x },B ={1,x 2},若B ⊆A ,则x =( ) A .0 B .-2C .0或-2D .0或±22.命题“若x >1,则x >0”的否命题是( ) A .若x >1,则x ≤0 B .若x ≤1,则x >0 C .若x ≤1,则x ≤0 D .若x <1,则x <0 3.若复数z =2-i ,则z +10z =( ) A .2-i B .2+i C .4+2i D .6+3i4.(理)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于5,则该双曲线的方程为( ) A .5x 2-45y 2=1 B.x 25-y 24=1C.y 25-x 24=1 D .5x 2-54y 2=1(文)已知双曲线y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为3,则双曲线的渐近线方程为( )A .y =±22x B .y =±2x C .y =±2x D .y =±12x5.设函数f (x )=sin x +cos x ,把f (x )的图象按向量a =(m,0)(m >0)平移后的图象恰好为函数y =-f ′(x )的图象,则m 的最小值为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.2π36.(理)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x n 的展开式的各项系数和为32,则展开式中x 4的系数为( )A .5B .40C .20D .10(文)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,……,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A ,编号落入区间[451,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷C 的人数为( ) A .7 B .9 C .10 D .157.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是63,则判断框中的整数M 的值是( ) A .5 B .6 C .7 D .88.点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上,AB =BC =2,AC =2,若四面体ABCD 体积的最大值为23,则这个球的表面积为( ) A.125π6 B .8π C.25π4 D.25π169.(理)已知实数a ,b ,c ,d 成等比数列,且函数y =ln(x +2)-x 当x =b 时取到极大值c ,则ad 等于( ) A .1 B .0 C .-1 D .2(文)直线y =kx +1与曲线y =x 3+ax +b 相切于点A (1,3),则2a +b 的值为( ) A .2 B .-1 C .1 D .-210.已知抛物线x 2=4y 上有一条长为6的动弦AB ,则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C .1 D .211.在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a ,b ,则使得函数f (x )=x 2+2ax -b 2+π有零点的概率为( ) A.78 B.34 C.12 D.1412.(理)设函数f (x )=x -1x ,对任意x ∈[1,+∞),f (2mx )+2mf (x )<0恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 (文)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ,x ≤0,log 12x ,x >0.若关于x 的方程f (f (x ))=0有且仅有一个实数解,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,0) B .(-∞,0)∪(0,1) C .(0,1) D .(0,1)∪(1,+∞) 答题栏二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填写在题中的横线上)13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.14.若x ,y 满足条件⎩⎨⎧3x -5y +6≥02x +3y -15≤0,y ≥0当且仅当x =y =3时,z =ax -y 取得最小值,则实数a 的取值范围是________.15.已知函数f (x )满足:当x ≥4时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ;当x <4时f (x )=f (x +1),则f (2+log 23)=________.16.(理)已知a n =∫n 0(2x +1)d x ,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ,数列{b n }的通项公式为b n =n -8,则b n S n 的最小值为________.(文)在△ABC 中,2sin 2A 2=3sin A ,sin (B -C)=2cos B sin C ,则ACAB =________. 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程及演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=3sinωx +φ2cos ωx +φ2+sin 2ωx +φ2(ω>0,0<φ<π2).其图象的两个相邻对称中心的距离为π2,且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,1.(1)求函数f(x)的表达式;(2)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,a =5,S △ABC =25,角C 为锐角,且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2-π12=76,求c 的值.18.(理)(本题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=AD=2AB,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.(Ⅰ)求证:BE∥平面PAD;(Ⅱ)若BE⊥平面PCD,求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值.(文)(本小题满分12分)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.(1)求证:AB1⊥平面A1BD;(2)设点O为AB1上的动点,当OD∥平面ABC时,求AOOB1的值.19.(理)(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试,共有2 000名优秀同学参加笔试,成绩均介于195分到275分之间,从中随机抽取50名同学的成绩进行统计,将统计结果按如下方式分成8组:第1组[195,205),第2组[205,215),…,第8组[265,275].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图,且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试.(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中,参加面试的同学人数;(2)面试时,每位同学抽取三个问题,若三个问题全答错,则不能取得该校的自主招生资格;若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上,则获A 类资格;其他情况下获B 类资格.现已知某中学有3人获得面试资格,且仅有1人笔试成绩在270分以上,在回答三个面试问题时,3人对每一个问题正确回答的概率均为12,用随机变量X 表示该中学获得B 类资格的人数,求X 的分布列及期望EX. (文)(本小题满分12分)PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB 3095-2012,PM 2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标. 从某自然保护区某年全年每天的PM 2.5日均值监测数据中随机地抽取12天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差;(2)从空气质量为二级的数据中任取两个,求这两个数据的和小于100的概率; (3)以这12天的PM 2.5日均值来估计该年的空气质量情况,估计该年(366天)大约有多少天的空气质量达到一级或二级.20.(本小题满分13分)已知函数f(x)=x 2-2(n +1)x +n 2+5n -7.(Ⅰ)设函数y =f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n },求证:{a n }为等差数列; (Ⅱ)设函数y =f(x)的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n },求{b n }的前n 项和S n .21.(理)(本小题满分13分)已知函数f(x)=ax sin x +cos x ,且f(x)在x =π4处的切线斜率为2π8.(1)求a 的值,并讨论f(x)在[-π,π]上的单调性; (2)设函数g(x)=ln (mx +1)+1-x1+x,x ≥0,其中m >0,若对任意的x 1∈[0,+∞)总存在x 2∈[0,π2],使得g(x 1)≥f(x 2)成立,求m 的取值范围.(文)(本小题满分12分)已知函数f(x)=12x 2-13ax 3(a >0),函数g(x)=f(x)+e x (x -1),函数g(x)的导函数为g ′(x). (1)求函数f(x)的极值; (2)若a =e ,(ⅰ)求函数g(x)的单调区间;(ⅱ)求证:x >0时,不等式g ′(x)≥1+ln x 恒成立.22.(本小题满分12分)如图,已知椭圆C :x 24+y 23=1,直线l 的方程为x =4,过右焦点F 的直线l ′与椭圆交于异于左顶点A 的P ,Q 两点,直线AP 、AQ 交直线l 分别于点M 、N.(Ⅰ)当AP →·AQ →=92时,求此时直线l ′的方程;(Ⅱ)试问M 、N 两点的纵坐标之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.山东省数学高考模拟试题精编三【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答. 题号一二 三 总分13141516171819202122得分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若复数z 满足3-iz =1+i ,i 是虚数单位,则z =( ) A .2-2i B .1-2i C .2+i D .1+2i2.若集合A ={x ∈Z |2<2x +2≤8},B ={x ∈R |x 2-2x >0},则A ∩(∁R B )所含的元素个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为( ) A .80 B .40 C.803 D.4034.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C =5∶11∶13,则△ABC ( ) A .一定是锐角三角形 B .一定是直角三角形C .一定是钝角三角形D .可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 5.设l 、m 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列命题: ①l ∥m ,m ⊂α,则l ∥α ②l ∥α,m ∥α,则l ∥m ③α⊥β,l ⊂α,则l ⊥β ④l ⊥α,m ⊥α,则l ∥m其中正确的命题的个数是( ) A .1 B .2C .3D .46.已知双曲线C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,P (1,-2)是C 上的点,且y =2x 是C 的一条渐近线,则C 的方程为( ) A.y 22-x 2=1 B .2x 2-y 22=1C.y 22-x 2=1或2x 2-y 22=1 D.y 22-x 2=1或x 2-y 22=17.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A .0.852 B .0.819 2 C .0.8 D .0.758.函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6(ω>0),把函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度,所得图象的一条对称轴方程是x =π3,则ω的最小值是( ) A .1 B .2 C .4 D.329.按右面的程序框图运行后,输出的S 应为( ) A .26 B .35 C .40 D .5710.(理)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧π4≤x ≤5π4|y |≤1所表示的平面区域为D ,现向区域D 内随机投掷一点,且该点又落在曲线y =sin x 与y =cos x 围成的区域内的概率是( ) A.22π B.2π C .2 2 D .1-2π(文)函数f (x )=lg|sin x |是( )A .最小正周期为π的奇函数B .最小正周期为2π的奇函数C .最小正周期为π的偶函数D .最小正周期为2π的偶函数11.(理)[x ]表示不超过x 的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5,已知f (x )=x -[x ](x ∈R ),g (x )=log 4(x -1),则函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4(文)在直角三角形ABC 中,∠C =π2,AC =3,取点D 、E 使BD→=2DA →,AB →=3BE →,那么CD →·CA →+CE →·CA →=( ) A .3 B .6 C .-3 D .-612.一个赛跑机器人有如下特性:(1)步长可以人为地设置成0.1米,0.2米,0.3米,…,1.8米,1.9米;(2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成;(3)当设置的步长为a 米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒.则这个机器人跑50米(允许超出50米)所需的最少时间是( ) A .48.6秒 B .47.6秒 C .48秒 D .47秒 答题栏二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填写在题中的横线上)13.(理)在(4x -2-x )6的展开式中,常数项为________.(文)若实数x ,y 满足-1<x +y <4,且2<x -y <3,则p =2x -3y 的取值范围是________.14.已知△ABC 中,BC =1,AB =3,AC =6,点P 是△ABC 的外接圆上一个动点,则BP →·BC→的最大值是________. 15.(理)若曲线y =x -12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ,m -12处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18,则m =________.(文)已知点P (x ,y )在直线x +2y =3上移动,当2x +4y 取得最小值时,过点P 引圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +142=12的切线,则此切线段的长度为________. 16.已知数列a n :11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,…,依它的前10项的规律,则a 99+a 100的值为________.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程及演算步骤)17.(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,3sin C cos C -cos 2C =12,且c =3. (1)求角C ;(2)若向量m =(1,sin A )与n =(2,sin B )共线,求a 、b 的值. 18.(理)(本小题满分12分)如图,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,AA 1=AB =AC =1,AB ⊥AC ,M 、N 分别是CC 1,BC 的中点,点P 在线段A 1B 1上,且A 1P →=λA 1B 1→(1)证明:无论λ取何值,总有AM ⊥PN ;(2)当λ=12时,求直线PN 与平面ABC 所成角的正切值.(文)(本小题满分12分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,∠ABC =∠ADC =90°,∠BAD =120°,AD =AB =1,AC 交BD 于O 点.(1)求证:平面PBD ⊥平面P AC ;(2)求三棱锥D -ABP 和三棱锥B -PCD 的体积之比.19.(理)(本小题满分12分)某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了阶梯水价计费方法,具体为:每户每月用水量不超过a吨的每吨2元;超过a吨而不超过(a+2)吨的,超出a吨的部分每吨4元;超过(a+2)吨的,超出(a+2)吨的部分每吨6元.(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系;(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表:将12费用,求Y的分布列和数学期望(精确到元);(3)今年干旱形势仍然严峻,该地政府决定适当下调a的值(3<a<4),小明家响应政府号召节约用水,已知他家前3个月的月平均水费为11元,并且前3个月用水量x的分布列为:请你求出今年调整的(文)(本小题满分12分)某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了阶梯水价计费方法,具体为:每户每月用水量不超过4吨的每吨2元;超过4吨而不超过6吨的,超出4吨的部分每吨4元;超过6吨的,超出6吨的部分每吨6元.(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系;(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表:(3)今年干旱形势仍然严峻,该地政府号召市民节约用水,如果每个月水费不超过12元的家庭称“节约用水家庭”,随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表:据此估计该地“节约用水家庭”的比例.20.(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数a.①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出常数a;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.21.(本小题满分13分)已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R).(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.22.(本小题满分12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,点F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,以原点为圆心,椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x-y+6=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)若过点F2的直线l与椭圆C相交于M,N两点,求△F1MN的内切圆面积的最大值和此时直线l的方程.山东省数学高考模拟试题精编四【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数z =1+i2-i (其中是虚数单位),则复数z 在坐标平面内对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.(理)已知f (x )=3sin x -πx ,命题p :∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x )<0,则( ) A .p 是真命题,綈p :∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x )>0 B .p 是真命题,綈p :∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x 0)≥0C .p 是假命题,綈p :∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x )≥0D .p 是假命题,綈p :∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x 0)≥0(文)已知命题p :∃x 0∈R ,x 20+2x 0+2≤0,则綈p 为( )A .∃x 0∈R ,x 20+2x 0+2>0B .∃x 0∈R ,x 20+2x 0+2<0C .∀x ∈R ,x 2+2x +2≤0D .∀x ∈R ,x 2+2x +2>0 3.(理)如图所示,要使电路接通即灯亮,开关不同的闭合方式有( ) A .11种 B .20种 C .21种 D .12种(文)已知向量a 、b 的夹角为45°,且|a |=1,|2a -b |=10,则|b |=( ) A .3 2 B .2 2 C. 2 D .14.“m <0”是“函数f (x )=m +log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件5.已知a 是实数,则函数f (x )=1+a sin ax 的图象不可能是( )6.在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.327.(理)下列四个判断:①某校高三(1)班的人数和高三(2)班的人数分别是m 和n ,某次测试数学平均分分别是a ,b ,则这两个班的数学平均分为a +b 2;②从总体中抽取的样本(1,2.5),(2,3.1),(3,3.6),(4,3.9),(5,4.4),则回归直线y ∧=b ∧x +a ∧必过点(3,3.6);③已知ξ服从正态分布N (1,22),且p (-1≤ξ≤1)=0.3,则p (ξ>3)=0.2 其中正确的个数有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个(文)某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查,y 与x 具有相关关系,回归方程为y ∧=0.66x +1.562,若某城市居民人均消费水平为7.675千元,估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ) A .83% B .72% C .67% D .66%8.阅读程序框图(如图),如果输出的函数值在区间[1,3]上,则输入的实数x 的取值范围是( )A.{x∈R|0≤x≤log23}B.{x∈R|-2≤x≤2}C.{x∈R|0≤x≤log23或x=2}D.{x∈R|-2≤x≤log23或x=2}9.已知点M(a,b)(a>0,b>0)是圆C:x2+y2=1内任意一点,点P(x,y)是圆上任意一点,则实数ax+by-1()A.一定是负数B.一定等于0C.一定是正数D.可能为正数也可能为负数10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB的形状为()A.不确定B.钝角三角形C.锐角三角形D.直角三角形11.(理)设方程10x=|lg(-x)|的两个根分别为x1、x2,则()A.x1x2<0 B.x1x2=1C.x1x2>1 D.0<x1x2<1(文)定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则()A.f(-1)<f(3) B.f(0)>f(3)C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3)12.等差数列{a n}的前n项和为S n,公差为d,已知(a8+1)3+2013(a8+1)=1,(a2006+1)3+2013(a2006+1)=-1,则下列结论正确的是()A.d<0,S2013=2013 B.d>0,S2013=2013C.d<0,S2013=-2013 D.d>0,S2013=-2013答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填写在题中的横线上)13.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14,且样本容量为160,则中间一组的频数为________. 14.(理)如图,阴影部分由曲线y =x 与y 轴及直线y =2围成,则阴影部分的面积S =________.(文)曲线y =x 3-2x +3在x =1处的切线方程为________.15.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________cm 3.16.观察下面两个推理过程及结论:(1)若锐角A ,B ,C 满足A +B +C =π,以角A ,B ,C 分别为内角构造一个三角形,依据正弦定理和余弦定理可得到等式:sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C cos A , (2)若锐角A ,B ,C 满足A +B +C =π,则⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-A 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-B 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-C 2=π,以角π2-A 2,π2-B 2,π2-C2分别为内角构造一个三角形,依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式:cos2A2=cos2B2+cos2C2-2cosB2cosC2sinA2.则:若锐角A,B,C满足A+B+C=π,类比上面推理方法,可以得到的一个等式是________.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程及演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=1,C=π3.(1)若cos(α+C)=-35,0<α<2π3,求cos α;(2)若sin C+sin(A-B)=3sin 2B,求△ABC的面积S.18.(理)(本小题满分12分)如图已知:菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2CD=4,∠ABE=60°,∠BAD=∠CDA=90°,点H,G分别是线段EF,BC的中点.(1)求证:平面AHC⊥平面BCE;(2)点M在直线EF上,且GM∥平面AFD,求平面ACH与平面ACM所成角的余弦值.(文)(本小题满分12分)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1.(1)若M、N分别是AB、A1C的中点,求证:MN∥平面BCC1B1;(2)若三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,∠B1BA=∠B1BC=60°,P为线段B1B 上的动点,当P A+PC最小时,求证:B1B⊥平面APC.19.(理)(本小题满分12分)空气质量指数PM2.5(单位:μg/m 3)表示每立方米空气中入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重(如下表): PM2.5日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 >250 空气质量级别 一级 二级 三级四级五级六级空气质量类别 优良轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染某市某年8月8日~9月6日(30天)对空气质量指数PM2.5进行监测,获得数据后得到如图所示的条形图:(1)以该数据为依据,求该城市一个月内空气质量类别为良的概率;(2)在上述30个监测数据中任取2个,设X 为其中空气质量类别为优的天数,求X 的分布列和数学期望.(文)(本小题满分12分)某车间将10名技术工人平均分为甲、乙两个小组加工某种零件.已知甲组每名技术工人加工的零件合格的分别为4个、5个、7个、9个、10个,乙组每名技术工人加工的零件合格的分别为5个、6个、7个、8个、9个. (1)分别求出甲、乙两组技术工人加工的合格零件的平均数及方差,并由此比较这两组技术工人加工这种零件的技术水平;(2)假设质检部门从甲、乙两组技术工人中分别随机抽取1人,对他们加工的零件进行检测,若抽到的2人加工的合格零件之和超过12个,则认为该车间加工的零件质量合格,求该车间加工的零件质量合格的概率.20.(本小题满分13分)已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n =12(1-a n ). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n =na n ,求证:b 1+b 2+…+b n <34.21.(理)(本小题满分13分)已知函数g (x )=2a ln(x +1)+x 2-2x (1)当a ≠0时,讨论函数g (x )的单调性;(2)若函数f (x )的图象上存在不同两点A ,B ,设线段AB 的中点为P (x 0,y 0),使得f (x )在点Q (x 0,f (x 0))处的切线与直线AB 平行或重合,则说函数f (x )是“中值平衡函数”,切线叫做函数f (x )的“中值平衡切线”.试判断函数g (x )是否是“中值平衡函数”?若是,判断函数g (x )的“中值平衡切线”的条数;若不是,说明理由. (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a >0)的零点的集合为{0,1},且x =13是f (x )的一个极值点. (1)求ba 的值;(2)试讨论过点P (m,0)且与曲线y =f (x )相切的直线的条数.22.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 不是左,右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点D .求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.山东省数学高考模拟试题精编五【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.复数1+2ii 的共轭复数是a +b i(a ,b ∈R ),i 是虚数单位,则点(a ,b )为( ) A .(1,2) B .(2,-1) C .(2,1) D .(1,-2)2.下列说法中,正确的是()A.命题“若am2<bm2,则a<b”的逆命题是真命题B.命题“p或q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题C.已知x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件D.命题“∃x∈R,x2-x>0”的否定是:“∀x∈R,x2-x≤0”3.已知a=0.7-13,b=0.6-13,c=log2.11.5,则a,b,c的大小关系是()A.c<a<b B.c<b<aC.a<b<c D.b<a<c4.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为()A.48+12 2 B.48+24 2C.36+12 2 D.36+24 25.(理)如图,A、B两点之间有4条网线连接,每条网线能通过的最大信息量分别为1,2,3,4.从中任取2条网线,则这2条网线通过的最大信息量之和等于5或6的概率是()A.56 B.12C.13 D.16(文)已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2x +y ≥1x -y ≤1,则z =3x +y 的最大值为( )A .12B .11C .3D .-16.将函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6(x ∈R )图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得到的图象的解析式为( )A .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3B .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π3C .y =sin x 2D .y =cos x27.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,a 3=5,S k +2-S k =36,则k 的值为( ) A .8 B .7 C .6 D .5 8.某程序框图如图所示,现输入下列四个函数:f (x )=1x ,f (x )=log 3(x 2+1),f (x )=2x +2-x ,f (x )=2x -2-x ,则输出的函数是( ) A .f (x )=1x B .f (x )=log 3(x 2+1) C .f (x )=2x +2-x D .f (x )=2x -2-x9.(理)将5名学生分到A ,B ,C 三个宿舍,每个宿舍至少1人至多2人,其中。
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2015年高考数学模拟试题(五)
1、【2015·安徽江淮名校二模,4】已知等差数列{n a }的前n 项之和是n S ,则-m a <1a <-
1+m a 是S m >0,S m+1<0的 ( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要
2、【2015·安徽江淮名校二模,10】已知G 点为△ABC 的重心,且AG BG ⊥
,若
112tan tan tan A B C
λ
+=,则实数λ的值为 3、【2015·安徽江淮名校二模,12】如图,在第一象限内,矩形ABCD 的三个顶点A ,B ,
C 分别在函数y=lo 1
2
22
3,,2x
g x y x y ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,的图像上,且矩形的边分别平行两坐标轴,
若A 点的纵坐标是2,则D 点的坐标是
4、【2015·安徽江淮名校二模,14】若正实数a 使得不等式|2x - a|+|3x - 2a|≥a 2对任意实数x 恒成立,则实数a 的范围是
5、【2015·北京东城区期末,8】已知圆
22
:2C x y +=,直线:240l x y +-=,点00(,)P x y 在直线l 上.若存在圆C 上的点Q ,使得45OPQ ∠= (O 为坐标原点)
,则0x 的取值范围是
(A )[0,1] (B )
8[0,]5 (C )1[,1]2- (D )18[,]25-
6、【2015·北京海淀区期末,7】某堆雪在融化过程中,其体积V (单位:3
m )与融化时
间t (单位:h )近似满足函数关系:3
1()(10)10
V t H t =-
(H 为常数),其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /h)v . 那么瞬时融化速度等于3(m /h)v 的时刻是图中的
t 4
t 3t 2100t 1t
O
V
7、【2015·北京海淀区期末,8】已知点A 在曲线2:(0)P y x x =>上, A 过原点O ,且与y 轴的另一个交点为M .若线段OM ,A 和曲线P 上分别存在点B 、点C 和点D ,使得四边形ABCD (点,,,A B C D 顺时针排列)是正方形,则称点A 为曲线P 的“完美点”. 那么下列结论中正确的是( ) (A )曲线P 上不存在“完美点”
(B )曲线P 上只存在一个“完美点”,其横坐标大于1 (C )曲线P 上只存在一个“完美点”,其横坐标大于1
2且小于1 (D )曲线P 上存在两个“完美点”,其横坐标均大于
12
8、【2015·衡水中学四模,16】已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、 右焦
点分别为F 1、 F 2, 这两条曲线在第一象限的交点为P, △P F 1F 2 是以P F 1 为底边的等腰三角形。
若| P F 1|=1 0, 椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、 e 2, 则e 1·e 2 的取值范围为 9、【2015·南京盐城一模,14】已知数列
{}n a 满足
11a =-,21a a >,
*1||2()n n n a a n N +-=∈,若数列{}21n a -单调递减,数列{}2n a 单调递增,则数列{}n a 的
通项公式为n a =
10、【2015·沈阳质量监测一,12】若定义在R 上的函数()f x 满足
()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式
3()1x f x e >
+(e 为自然对数的底数)的解集为
( ) A .()0,+∞ B .()(),03,-∞+∞ C .()(),00,-∞+∞ D .()3,+∞
11、【2015·北京西城区期末,19】已知椭圆C :
22
11612
x y +=的右焦点为F ,右顶点为A ,离心率为e ,点(,0)(4)P m m >满足条件
||
||
FA e AP =. (Ⅰ)求m 的值;
(Ⅱ)设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点,记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ,2S ,求证:
12||
||
S PM S PN =
.
12、【2015·山东师大附中四模,20】在直角坐标系xOy ,椭圆()
22
122:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F 、.其中2F 也是抛物线224C y x =:的焦点,点M 为12C C 与在第一象限的交点,且253
MF =. (I )求椭圆1C 的方程;
(II )若过点D (4,0)的直线1l C 与交于不同的两点A 、B ,且A 在DB 之间,试求AOD ∆∆与BOD 面积之比的取值范围.
参考答案(五)
1、C
2、1/4
3、)169,21(
4、]31,31[-
5、B
6、t 3
7、B
8、(1/3,+∞)
9、(2)13
n --( 也可以写成21
,3
21,3n n
n n ⎧--⎪⎪⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数) 10、A
11、(Ⅰ)解:因为椭圆C 的方程为 22
11612
x y +=,
所以 4a =,23b =,222c a b =-=, 则 1
2
c e a ==,||2FA =,||4AP m =-. 因为
||21
||42
FA AP m ==-, 所以 8m =.
(Ⅱ)解:若直线l 的斜率不存在, 则有 21S S =,||||PM PN =,符合题意.
若直线l 的斜率存在,则设直线l 的方程为)2(-=x k y ,),(11y x M ,),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),
2(,112162
2x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=,
可知 0>∆恒成立,且 34162221+=+k k x x ,3
448162
221+-=k k x x . 因为 8)
2(8)2(8822112211--+
--=-+-=
+x x k x x k x y x y k k PN PM )8)(8()
8)(2()8)(2(211221----+--=
x x x x k x x k
)
8)(8(32)(102212121--++-=
x x k
x x k x kx
0)
8)(8(32341610344816221222
2=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ,
所以 MPF NPF ∠=∠.
因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11
||||sin 2
S PF PM MPF =⋅⋅∠, 21
||||sin 2
S PF PN NPF =
⋅⋅∠, 所以 12||
||
S PM S PN =
.
12、解:(Ⅰ)依题意知2(1,0)F ,设11(,)M x y .
由抛物线定义得2||MF = 1513x +=,即12
3x =.
将3
2
1=
x 代人抛物线方程得1263y =,
进而由22
22
226()()
331a b
+=及221a b -=,解得224,3a b ==. 故椭圆1C 的方程为22
143
x y +=. (Ⅱ)依题意知直线l 的斜率存在且不为0,设l 的方程为4x my =+代人22
143
x y +=, 整理得2
2
(34)24360m y my +++=
由0∆>,解得24m >.
设1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y ,则12212224343634m
y y m y y m -+=+⋅=+⎧⎪⎨⎪⎩
①②
令AOD
BOD
S S λ∆∆=
,则1
1221
21
2
OD y y y OD y λ⋅=
=⋅且01λ<<. 将12y y λ=代人①②得2222
224(1)343634m y m y m λλ-⎧
+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
,消去2y 得22
2(1)1634m m λλ+=+,
即2
2
24(1)1033
m λλλ+=--.
由2
4m >得2
2
(1)11033
λλλ+>--,所以1λ≠且231030λλ-+<, 解得
1
13
λ<<或13λ<<.
又01λ<< ,∴1
1
3λ<<
故ODA ∆与ODB ∆面积之比的取值范围为1
(1)3
,
.。