高一(上)期末数学试卷4
甘肃省临夏州临夏中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷含答案
2020-2021学年甘肃省临夏州临夏中学高一（上）期末数学试卷一、单选题（共60分）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3}2．（5分）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．3．（5分）若x＞0，y＞0，n∈N*，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx•lgy＝lgx+lgy B．lgx2＝（lgx）2C．D．4．（5分）函数y＝x2﹣2x﹣3的零点是（）A．1，﹣3B．3，﹣1C．1，2D．（3，0），（﹣1，0）5．（5分）函数f（x）＝+lg的定义域是（）A．（2，4）B．（3，4）C．（2，3）∪（3，4]D．[2，3）∪（3，4）6．（5分）函数的零点一定位于下列哪个区间（）A．B．C．D．7．（5分）已知，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b8．（5分）已知幂函数f（x）＝kx a的图象过点（2，），则k+a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣29．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝5，AD＝4，AA1＝3，且此长方体内接于球O，则球O的表面积为（）A．B．C．50πD．200π10．（5分）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x），则下列说法错误的是（）A．f（x）在区间（﹣2，1）上单调递增B．f（x）在区间（1，4）上单调递减C．f（x）的图象关于直线x＝1对称D．f（x）的图象关于点（1，0）对称二、填空题（共20分）13．（5分）若直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则直线a与b的位置关系为．14．（5分）设g（x）＝，则g（g（））＝．15．（5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于．16．（5分）给出下列结论：①；②y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；③幂函数图象一定不过第四象限：④函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）．其中正确的序号是．三、解答题（共70分）17．（10分）（1）计算：；（2）计算：．18．（12分）已知函数的定义域A，g（x）＝﹣x2+1的值域为B，C＝{x|2a≤x≤a+3}．（1）求A∩B；（2）若B∪C＝B，求实数a的取值范围．19．（12分）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD ＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，E．F分别为A1B，A1C 的中点，D为B1C1上的点，且A1D⊥B1C．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面A1FD⊥平面BCC1B1；（3）若三棱柱所有棱长都为a，求二面角A1﹣B1C﹣C1的平面角的正切值．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣DEF中，AC＝BC＝2，，，AD＝4，M、N分别为AD、CF的中点．（1）求证：AN⊥平面BCM；（2）设G为BE上一点，且，求点G到平面BCM的距离．22．（12分）已知函数为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）解不等式f（lnx）＞0．2020-2021学年甘肃省临夏州临夏中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（共60分）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{2，3}．故选：B．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】判定函数为奇函数排除B，C；分别求出f（）与f（1）的值排除D．【解答】解：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，又f（﹣x）＝，∴f（x）为奇函数，排除B，C；又f（）＝＞0，f（1）＝0，∴排除D．故选：A．【点评】本题考查函数的图象及图象变换，考查函数奇偶性的判定及其应用，是基础题．3．（5分）若x＞0，y＞0，n∈N*，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx•lgy＝lgx+lgy B．lgx2＝（lgx）2C．D．【分析】根据对数的运算性质判断每个选项的等式是否恒等即可．【解答】解：A．lgx+lgy＝lg（xy）≠lgx•lgy，∴该式不恒等；B．lgx2＝2lgx≠（lgx）2，∴该式不恒等；C.，∴该式恒等，该选项正确；D.，∴该式不恒等．故选：C．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）函数y＝x2﹣2x﹣3的零点是（）A．1，﹣3B．3，﹣1C．1，2D．（3，0），（﹣1，0）【分析】函数y＝x2﹣2x﹣3的零点即对应方程的根，故只要解二次方程即可．【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝0，x＝3或x＝﹣1，所以函数y＝x2﹣2x ﹣3的零点是3或﹣1故选：B．【点评】本题考查函数的零点的概念和求法．属基本概念、基本运算的考查．5．（5分）函数f（x）＝+lg的定义域是（）A．（2，4）B．（3，4）C．（2，3）∪（3，4]D．[2，3）∪（3，4）【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得：2≤x＜3或3＜x＜4，故函数的定义域为[2，3）∪（3，4）．故选：D．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据函数成立的条件是解决此类问题的关键．6．（5分）函数的零点一定位于下列哪个区间（）A．B．C．D．【分析】判断函数是连续函数，利用零点判断定理，判断选项即可．【解答】解：函数是连续函数，f（2）＝+2﹣2＝＞0，f（）＝+2＝＜0，可得f（2）f（）＜0，由零点判断定理可知函数的零点在（，2）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点判断定理的应用，是基础题．7．（5分）已知，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵log20.2＜log21＝0，20.2＞20＝1，0＜0.20.3＜0.20＝1，∴a＜c＜b．故选：D．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于简单题．8．（5分）已知幂函数f（x）＝kx a的图象过点（2，），则k+a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】由幂函数的定义和解析式求出k的值，把已知点代入求出a的值，可得答案．【解答】解：∵f（x）＝k•x a是幂函数，∴k＝1，幂函数f（x）＝x a的图象过点（2，），∴2a＝，则a＝﹣2，则k+a＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查了幂函数的定义与解析式的应用，属于基础题．9．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝5，AD＝4，AA1＝3，且此长方体内接于球O，则球O的表面积为（）A．B．C．50πD．200π【分析】由长方体的对角线公式，算出长方体对角线AC1的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，∴长方体的对角线，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在同一球面上，∴球的一条直径为，可得半径，因此，该球的表面积为，故选：C．【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养，球的表面积的计算等知识，属于基础题．10．（5分）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2＝R2+r2，∴R2＝r2，∴S球＝4πR2，截面圆M的面积为：πr2＝πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选：A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A．B．C．D．【分析】作出平面AMN的过直线BD的平行平面a，求解即可【解答】解：取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EFBD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM不在平面BDFE内，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，所以平面AMN∥平面BDFE，即平面a截该正方体所得截面为平面BDFEBD＝，EF＝＝，DF＝，梯形BDFE如图：过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，∴FG＝＝＝，故四边形BDFE的面积为＝．故选：B．【点评】本题考查正方体截面面积的求法，平面平行的判定，等知识，综合考查证明和计算，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x），则下列说法错误的是（）A．f（x）在区间（﹣2，1）上单调递增B．f（x）在区间（1，4）上单调递减C．f（x）的图象关于直线x＝1对称D．f（x）的图象关于点（1，0）对称【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断单调区间，根据f（1+x）＝f（1﹣x）判断函数对称轴，判断f（2﹣x）＝﹣f（x）是否成立，从而判断函数是否关于（1，0）对称．【解答】解：由f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x），可得：，解得﹣2＜x＜4，因为f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x）＝ln[（x+2）（4﹣x）]＝ln（﹣x2+2x+8），令t（x）＝﹣x2+2x+8，开口向下，对称轴为x＝1，所以函数t（x）在（﹣2，1）上单调递增，在（1，4）上单调递减，根据复合函数的单调性可得f（x）在（一2，1）上单调递增，在（1，4）上单调递减，故A，B正确；因为f（1﹣x）＝ln（3﹣x）+ln（3+x），f（1+x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x），所以f（1+x）＝f（1﹣x），所以函数f（x）的图象关于x＝1对称，故C正确，因为f（2﹣x）＝ln4+ln（x+2），﹣f（x）＝﹣ln（x+2）﹣ln（4﹣x），因为f（2﹣x）≠﹣f（x），所以f（x）的图象不关于点（1，0）对称，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了复合函数的单调性，“同增异减”，利用判定函数的对称轴，注意复合函数的定义域是研究单调区间的前提，属于中档题．二、填空题（共20分）13．（5分）若直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则直线a与b的位置关系为平行或异面．【分析】以长方体为截体，列举出所有情况，由此能判断线a与b的位置关系．【解答】解：直线a∥平面α，直线b⊂平面α，如图，在正方体AC1中，A1B1∥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AB∥A1B1；A1B1∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，A1B1与BC是异面直线．则直线a与b的位置关系为平行或异面．故答案为：平行或异面．【点评】本题考查空间中线线间的位置关系的判断等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．14．（5分）设g（x）＝，则g（g（））＝．【分析】根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g（g（））的值．【解答】解：∵g（x）＝，∴g（）＝ln＝﹣ln2＜0，∴g（g（））＝g（﹣ln2）＝e﹣ln2＝＝2﹣1＝．故答案为：．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．15．（5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于3π．【分析】根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果．【解答】解：∵圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于2∴圆锥的高AO＝×，底面半径r＝×2＝1∴这个圆锥的表面积：S＝πrl+πr2＝π×1×2+π×12＝3π．故答案为：3π．【点评】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）给出下列结论：①；②y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；③幂函数图象一定不过第四象限：④函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）．其中正确的序号是③④．【分析】由题意，①可根据指数的运算判断；②可由二次函数的性质判断；③由幂函数的性质判断；④由指数函数的性质判断．【解答】解：①不正确，因为等号左边是正数，右边是负数；②∵y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，∴y在x＝0时取到最小值1，故函数的值域不是[2，5]，此结论错误；③幂函数图象一定不过第四象限，由幂函数的性质知，此结论正确：④对于函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞0，a≠1），令x+1＝0解得x＝﹣1，此时函数f（x）的值是﹣1，故函数的图象过定点（﹣1，﹣1），此结论正确．综上得，③④结论正确．故答案为：③④．【点评】本题考查命题真假的判断，解答的关键是熟练掌握所判断的命题的背景知识及命题真假判断的原理，本题属于简单题，三、解答题（共70分）17．（10分）（1）计算：；（2）计算：．【分析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解．（2）利用对数、指数性质、运算法则直接求解．【解答】解：（1）＝+100+﹣3+＝100．（2）＝﹣﹣2+1＝﹣．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查对数、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）已知函数的定义域A，g（x）＝﹣x2+1的值域为B，C＝{x|2a≤x≤a+3}．（1）求A∩B；（2）若B∪C＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，利用交集定义求出A∩B．（2）由B∪C＝B，知C⊆B，当C＝∅时，则2a＞a+3，当C≠∅时，则，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域A，g（x）＝﹣x2+1的值域为B，由题，可得，解得﹣1≤x＜2且x≠1，∴函数f（x）的定义域A＝{x|﹣1≤x＜2且x≠1}，∵对任意x∈R，x2≥0，所以﹣x2+1≤1，∴函数g（x）的值域B＝{y|y≤1}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜1}．（2）C＝{x|2a≤x≤a+3}，由B∪C＝B，知C⊆B，当C＝∅时，则2a＞a+3，解得a＞3；当C≠∅时，则，解得a≤﹣2．综上，实数a的取值范围为{a|a＞3或a≤﹣2}．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD ＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．【分析】四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，S表面＝S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面，V＝V圆台﹣V圆锥，进而得到答案．【解答】（12分）解：四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，S表面＝S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面＝π×52+π×（2+5）×5+π×2×2＝（4+60）π．V＝V圆台﹣V圆锥＝π（+r1r2+）h﹣πr2h′＝π（25+10+4）×4﹣π×4×2＝π【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆台和圆锥的体积和表面积，难度中档．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，E．F分别为A1B，A1C 的中点，D为B1C1上的点，且A1D⊥B1C．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面A1FD⊥平面BCC1B1；（3）若三棱柱所有棱长都为a，求二面角A1﹣B1C﹣C1的平面角的正切值．【分析】（1）由EF∥BC，即可证EF∥平面ABC；（2）由A1D⊥平面BCC1B1，即可证平面A1FD⊥平面BCC1B1；（3）由二面角的平面角的作法可得：∠A1HD是二面角A1﹣B1C﹣C1的平面角，再运算即可得解．【解答】（1）证明：因为E，F分别为A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，又EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，故EF∥平面ABC；（2）证明：∵BB1⊥平面A1B1C1，A1D⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥A1D，∵A1D⊥B1C，B1C∩BB1＝B1，∴A1D⊥平面BCC1B1，又A1D⊂平面A1FD，∴平面A1FD⊥平面BCC1B1；（3）解：此时，D为B1C1的中点，过点D作B1C垂线，垂足为H，连接A1H，∵A1D⊥B1C，DH⊥B1C，A1D∩DH＝D，∴B1C⊥平面A1DH，B1C⊥A1H，则∠A1HD是二面角A1﹣B1C﹣C1的平面角，∴，，，故二面角A1﹣B1C﹣C1的平面角的正切值为．【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣DEF中，AC＝BC＝2，，，AD＝4，M、N分别为AD、CF的中点．（1）求证：AN⊥平面BCM；（2）设G为BE上一点，且，求点G到平面BCM的距离．【分析】（1）根据AC2+BC2＝AB2得AC⊥BC，并且得出四边形ACMN为正方形，进而即可求证；（2）先算出点M到平面GBC的距离即为AC＝2，由，可求出，设点G到平面BCM的距离为h，则，进而求出点G到平面BCM的距离．【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣DEF中，AC＝BC＝2，，AD＝4，M、N分别为AD、CF的中点，∵AC＝BC＝2，，∴AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，又ABC﹣DEF是直三棱柱，∴BC⊥平面ACFD，则BC⊥AN，∵M、N分别为AD、CF的中点，且AD＝4，AC＝2，∴四边形ACNM为正方形，则CM⊥AN，又BC∩CM＝C，∴AN⊥平面BCM；（2）由（1）知，即AC⊥BC，又ABC﹣DEF是直三棱柱，∴AC⊥平面BCFE，∴MA∥FC，则点M到平面GBC的距离即为AC＝2，∴＝，由（1）知，BC⊥CM，且，∴，设点G到平面BCM的距离为h，则，∴，则，即点G到平面BCM的距离为．【点评】本题考查了线面垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．22．（12分）已知函数为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）解不等式f（lnx）＞0．【分析】（1）由定义在R上的奇函数f（0）＝0，即可求得a值；（2）判断f（x）在R上是增函数，利用单调性的定义即可证明；（3）由f（lnx）＞0，可得，解之即可得解．【解答】解：（1）∵e x+1≠0的解集是R，∴f（x）的定义域是R．又∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝0．∴f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1．经检验知，当a＝1时，f（﹣x）＝﹣f（x），符合题意．（2）由（1）知，经判断可知f（x）在R上是增函数．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣＝，∵y＝e x为增函数，x1＜x2，∴0．∴＞0，＞0 ＜0．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在R上是增函数．（3）由，可得，∴，解得x＞1，∴原不等式的解集为（1，+∞）．【点评】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查不等式的解法，属于中档题．。
山东省潍坊市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则集合A ，B 的关系是（ ） {}N A x y x =∈{}4,3,2,1B =A ． B ． C ．D ．B A ⊆A B =B A ∈A B ⊆【答案】A【分析】计算得到，据此得到集合的关系.{}0,1,2,3,4A =【详解】，，故错误； {}{N}0,1,2,3,4A xy x ==∈=∣{}4,3,2,1B =A B =集合中元素都是集合元素，故正确；B A B A ⊆是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故错误；A B ，∈B A ∈集合中元素存在不属于集合的元素，故错误. A B A B ⊆故选：A2．函数的定义域为（ ）()()2ln 2f x x x =-A ． B ． (,0)(2,)-∞+∞ (,0][2,)-∞⋃+∞C ． D ．()0,2[]0,2【答案】C【分析】根据对数型函数的定义域运算求解. 【详解】令，解得，220x x ->02x <<故函数的定义域为.()()2ln 2f x x x =-()0,2故选：C.3．命题“，”的否定形式是（ ） 2x ∀>240x -≠A ．， B ．， 2x ∃>240x -≠2x ∀≤240x -=C ．， D ．，2x ∃>240x -=2x ∃≤240x -=【答案】C【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为，. 2x ∃>240x -=故选：C.4．已知，，，则（ ） 0.13a =30.3b =0.2log 3c =A ． B ．C ．D ．a b c <<c b a <<b a c <<c<a<b 【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值即可判断出结果.0,1【详解】，.3000.10.20.2log 3log 100.30.3133<=<<==< c b a ∴<<故选：B.5．某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图、图所示，为提升夜市消费品质，现用12分层抽样的方法抽取的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与区被抽取的食品摊位数分别6%A 为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，21024210272522425227【答案】D【分析】根据分层抽样原则，结合统计图表直接计算即可.【详解】根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为；()1000800100014006%252+++⨯=区抽取的食品摊位数为.A 10006%0.4527⨯⨯=故选：D.6．小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为1214（ ） A ． B ．C ．D ．12131415【答案】C【分析】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，并利用D ，E ，F 构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.【详解】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，且D ，E ，F 相互独立， 且. ()()()1,2P D P E a P F ===恰好能答对两道题为事件，且两两互斥， DEF DEF DEF ++DEF DEF DEF ，，所以()()()()P DEF DEF DEF P DEF P DEF P DEF ++=++()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F =++，()()11111112224a a a a a a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭整理得，他三道题都答错为事件，()2112a -=DEF 故.()()()()()()22111111224P DEF P D P E P F a a ⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭故选：C.7．定义在上的奇函数满足：对任意的，，有，且R ()f x ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >，则不等式的解集是（ ） ()10f =()0f x >A ． B ． ()1,1-()()1,01,-⋃+∞C ． D ．()(),10,1-∞-⋃()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】根据单调性定义和奇函数性质可确定的单调性，结合可得不等式()f x ()()110f f -=-=的解集.【详解】对任意的，，有， ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >在上单调递增，又定义域为，， ()f x \()0,∞+()f x R ()10f =在上单调递增，且，；()f x \(),0∞-()()110f f -=-=()00f =则当或时，， 10x -<<1x >()0f x >即不等式的解集为. ()0f x >()()1,01,-⋃+∞故选：B.8．已知函数，若函数有七个不同的零点，()11,02ln ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()()()()24433g x f x t f x t =-+⎤⎦+⎡⎣则实数t 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先以为整体分析可得：和共有7个不同的根，再结合的图象()f x ()34f x =()f x t =()f x 分析求解.【详解】令，解得或， ()()()()244330g x f x t f x t =-+⎦+⎤⎣=⎡()34f x =()f x t =作出函数的图象，如图所示，()y f x =与有4个交点，即方程有4个不相等的实根，()y f x =34y =()34f x =由题意可得：方程有3个不相等的实根，即与有3个交点， ()f x t =()y f x =y t =故实数t 的取值范围是.{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解． （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．的最小值为 B ．无最小值 ()4f x x x=+4()4f x x x=+C ．的最大值为D ．无最大值()()3f x x x =-94()()3f x x x =-【答案】BC【分析】结合基本不等式和二次函数性质依次判断各个选项即可.【详解】对于AB ，当时，（当且仅当时取等号）； 0x >44x x +≥=2x =当时，（当且仅当时取等号）， 0x <()444x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2x =-的值域为，无最小值，A 错误，B 正确； ()4f x x x∴=+(][),44,-∞-⋃+∞对于CD ，，()()22393324f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭当时，取得最大值，最大值为，C 正确，D 错误. ∴32x =()f x 94故选：BC.10．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） (0,)+∞A ． B ．C ．D ．y x =||e x y =-12log y x =13y x -=【答案】BC【分析】A 选项不满足单调性；D 不满足奇偶性，B 、C 选项均为偶函数且在上单调递减正(0,)+∞确.【详解】在上单调递增，A 选项错误；y x =()0,∞+，故为偶函数，当时为单调递减函数，B()e ,)()e (xxf x f x f x =--==-||e x y =-()0,x ∈+∞e x y =-选项正确；，故为偶函数，当时为单调递1122()()log ,log ()g g g x x x x x =-==12log y x =()0,x ∈+∞12log y x =减函数，C 选项正确；是奇函数，D 选项错误. 13y x -=故选：BC11．如图，已知正方体顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的1111ABCD A B C D -某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为，则下列n P 说法正确的是（ ）A ．B ． 123P =259P =C ．D ．点Q 移动4次后恰好位于点的概率为012133n n P P +=+1C 【答案】ABD【分析】根据题意找出在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分Q 析计算确定各选项的正误.【详解】依题意，每一个顶点由3个相邻的点，其中两个在同一底面.所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为：， Q 23在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为：，13所以，故A 选项正确； 123P =对于B ：，故B 选项正确；22211533339P =⨯+⨯=对于C ：，故C 选项错误； ()1211113333n n n n P P P P +=+-=+对于D ：点由点移动到点处至少需要3次， Q A 1C 任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能 到达点，所以点Q 移动4次后恰好位于点的概率为0. 1C 1C 故D 选项正确； 故选：ABD.12．已知实数a ，b 满足，，则（ ） 22a a +=22log 1b b +=A ． B ． C ． D ．22a b +=102a <<122a b->5384b <<【答案】ACD【分析】构建，根据单调性结合零点存在性定理可得，再利用指对数互()22xf x x =+-13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭化结合不等式性质、函数单调性分析判断. 【详解】对B ：∵，则，22a a +=220a a +-=构建，则在上单调递增，且，()22xf x x =+-()f x R 3413350,202244f f ⎛⎫⎛⎫=<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故在上有且仅有一个零点，B 错误；()f x R 13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对A ：∵，则， 22log 1b b +=222log 20b b +-=令，则，即，22log t b =22t b =220t t +-=∴，即，故，A 正确； 2lo 2g a t b ==22a b =22a b +=对D ：∵，则，D 正确； 22a b +=253,284a b -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭对C ：∵，且在上单调递增， 23211224a a ab a ---=-=>->-2x y =R ∴，C 正确. 11222a b-->=故选：ACD.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题13．已知一元二次方程的两根分别为和，则______． 22340x x +-=1x 2x 1211x x +=【答案】## 340.75【分析】利用韦达定理可直接求得结果.【详解】由韦达定理知：，，. 1232x x +=-122x x =-1212121134x x x x x x +∴+==故答案为：. 3414．已知函数（且）的图象恒过定点M ，则点M 的坐标为______．1log (2)3a y x =-+0a >1a ≠【答案】13,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数存在参数，当时所求出的横纵坐标即是定点坐标． log (2)0a x -=【详解】令，解得，此时，故定点坐标为． log (2)0a x -=3x =13y =13,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：13,3⎛⎫⎪⎝⎭15．将一组正数，，，…，的平均数和方差分别记为与，若，1x 2x 3x 10x x 2s 10214500i i x ==∑250s =，则______． x =【答案】20【分析】列出方差公式，代入数据，即可求解.【详解】由题意得，()10221110i i s x x ==-∑， 102211105010i i x x =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑代入数据得，， ()214500105010x -=解得.20x =故答案为：2016．已知两条直线：和：，直线，分别与函数的图象相交1l 1y m =+2l ()221y m m =+>-1l 2l 2x y =于点A ，B ，点A ，B 在x 轴上的投影分别为C ，D ，当m 变化时，的最小值为______． CD【答案】()2log 2-【分析】分别求出直线，与函数的图象交点的横坐标，再根据对数运算与基本不等式求1l 2l 2x y =最值.【详解】由与函数相交得，解得，所以，1y m =+2x y =21x m =+()2log 1x m =+()()2log 1,0C m +同理可得，()()22log 2,0D m +所以，()()222222log 2log 1log 1m CD m m m +=+-+=+令，()2231211m g m m m m +==++-++因为， 所以,当且仅当时取最小值. 1m >-()31221g m m m =++-≥-+1m =所以 ()()22min log 2log 2CD ==所以的最小值为. CD ()2log 2-故答案为:()2log 2【点睛】利用基本不等式求最值时要注意成立的条件，一正二定三相等，遇到非正可通过提取负号转化为正的；没有定值时可对式子变形得到积定或和定再用基本不等式；取不到等号时可借助于函数的单调性求最值.四、解答题17．设全集，已知集合，． U =R {}11A x a x a =-+≤≤+401x B xx -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭(1)若，求；3a =A B ⋃(2)若，求实数a 的取值范围． A B ⋂=∅【答案】(1)或；{1x x <}2x ≥(2). 23a ≤≤【分析】（1）由已知解出集合A ，B ，根据并集的运算即可得出答案； （2）若，根据集合间关系列出不等式，即可求出实数a 的取值范围. A B ⋂=∅【详解】（1）当，， 3a ={}24A x x =≤≤由得，所以或， 401x x ->-(4)(1)0x x -->{1B x x =<}4x >或；{1A B x x ∴⋃=<}2x ≥（2）已知， {}11A x a x a =-+≤≤+由（1）知或， {1B x x =<}4x >因为，且， A B ⋂=∅B ≠∅∴且， 11a -+≥14a +≤解得，23a ≤≤所以实数a 的取值范围为.23a ≤≤18．已知函数．()22f x x ax a =-+(1)若的解集为，求实数的取值范围； ()0f x ≥R a (2)当时，解关于的不等式． 3a ≠-x ()()43f x a a x >-+【答案】(1) []0,1(2)答案见解析【分析】（1）由一元二次不等式在上恒成立可得，由此可解得结果；R 0∆≤（2）将所求不等式化为，分别在和的情况下解不等式即可. ()()30x x a +->3a >-3a <-【详解】（1）由题意知：在上恒成立，，解得：， 220x ax a -+≥R 2440a a ∴∆=-≤01a ≤≤即实数的取值范围为.a []0,1（2）由得：；()()43f x a a x >-+()()()23330x a x a x x a +--=+->当时，的解为或； 3a >-()()30x x a +->3x <-x a >当时，的解为或；3a <-()()30x x a +->x a <3x >-综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为3a >-()(),3,a -∞-+∞ 3a <-.()(),3,a -∞-+∞ 19．受疫情影响年下半年多地又陆续开启“线上教学模式”．某机构经过调查发现学生的上课2022注意力指数与听课时间（单位：）之间满足如下关系：()f t t min ，其中，且．已知在区间上的最大()()224,016log 889,1645a mt mt n t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩0m >0a >1a ≠()y f t =[)0,16值为，最小值为，且的图象过点． 8870()y f t =()16,86(1)试求的函数关系式；()y f t =(2)若注意力指数大于等于时听课效果最佳，则教师在什么时间段内安排核心内容，能使学生听85课效果最佳？请说明理由．【答案】(1) ()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩(2)教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳1224t ⎡⎤∈-⎣⎦【分析】（1）根据二次函数最值和函数所过点可构造不等式求得的值，由此可得； ,,m n a ()f x （2）分别在和的情况下，由可解不等式求得结果.016t ≤<1645t ≤≤()85f t ≥【详解】（1）当时，，[)0,16t ∈()()()222412144f t m t t n m t m n =--+=--++，解得：； ()()()()max min 1214488070f t f m n f t f n ⎧==+=⎪∴⎨===⎪⎩1870m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩又，，解得：， ()16log 88986a f =+=log 83a ∴=-12a =.()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪∴=⎨-+≤≤⎪⎩（2）当时，令，解得：；16t ≤<21370858t t -++≥1216t -≤<当时，令，解得：；1645t ≤≤()12log 88985t -+≥1624t ≤≤教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳.∴1224t ⎡⎤∈-⎣⎦20．已知函数，函数． ()()33log log 39x f x x =⋅()1425x x g x +=-+(1)求函数的最小值；()f x (2)若存在实数，使不等式成立，求实数x 的取值范围．[]1,2m Î-()()0f x g m -≥【答案】(1) 94-(2)或 109x <≤27x ≥【分析】（1）将化为关于的二次函数后求最小值；()f x 3log x （2）由题意知，求得后再解关于的二次不等式即可.min ()()f x g m ≥min ()g m 3log x 【详解】（1） ()()3333()log log (3)log 2log 19x f x x x x =⋅=-+ ()233log log 2x x =--， 2319log 24x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴显然当即, ， 31log 2x =x =min 9()4f x =-∴的最小值为. ()f x 94-（2）因为存在实数，使不等式成立，[]1,2m Î-()()0f x g m -≥所以， 又，min ()()f x g m ≥()()21421524x x x g x +=-+-=+所以，()()2124m g m -=+又，显然当时，，[]1,2m Î-0m =()()02min 2414g m -=+=所以有，即，可得， ()4f x ≥()233log log 24x x --≥()()33log 2log 30x x +-≥所以或，解得 或. 3log 2x ≤-3log 3x ≥109x <≤27x ≥故实数x 的取值范围为或. 109x <≤27x ≥21．某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得[)55,60[)60,65[]90,95到的频率分布直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人．(1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数（精确到0.1）；(2)若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x ，y ，从下面两个条件中选一个，求事件E 的概率．()P E ①事件E ：；[]0,5x y -∈②事件E ：．(]5,15x y -∈注：如果①②都做，只按第①个计分．【答案】(1)0.08；81.8(2)选①：；选②： 715815【分析】（1）根据频率之和为1计算第六组的频率；先判断优秀等级的最低分数所在区间，再根据不低于此分数所占的频率为0.12求得此分数.（2）分别求出第六组和第八组的人数，列举出随机抽取两名学生的所有情况，再求出事件E 所包含事件的个数的概率，根据古典概型求解.【详解】（1）第七组的频率为， 30.0650＝所以第六组的频率为，()10.0650.00820.0160.0420.060.08--⨯++⨯+=第八组的频率为0.04，第七、八两组的频率之和为0.10，第六、七、八组的频率之和为0.18，设优秀等级的最低分数为，则，m 8085m <<由，解得， 850.040.060.080.155m -++⨯=81.8m ≈故估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数.81.8（2）第六组的人数为4人，设为,，第八组的人数为2人，设为， [80,85),a b ,c d [90,95],A B 随机抽取两名学生，则有共15种情况，,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad bc bd cd aA bA cA dA aB bB cB dB AB选①：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，[]:0,5E x y -∈所以事件包含的基本事件为共7种情况，E ,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 故. 7()15P E =选②：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，(]:5,15E x y -∈所以事件包含的基本事件为共8种情况，E ,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB 故. 8()15P E =22．已知函数的定义域为D ，对于给定的正整数k ，若存在，使得函数满足：()f x [],a b D ⊆()f x 函数在上是单调函数且的最小值为ka ，最大值为kb ，则称函数是“倍缩函()f x [],a b ()f x ()f x 数”，区间是函数的“k 倍值区间”．[],a b ()f x (1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）()3f x x =(2)证明：函数存在“2倍值区间”；()ln 3g x x =+(3)设函数，，若函数存在“k 倍值区间”，求k 的值． ()2841x h x x =+10,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()h x 【答案】(1)是，理由见详解(2)证明见详解(3){}4,5,6,7k ∈【分析】（1）取，结合题意分析说明；1,1,1k a b ==-=（2）根据题意分析可得至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析ln 32x x +=证明；（3）先根据单调性的定义证明在上单调递增，根据题意分析可得在内()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果.【详解】（1）取，1,1,1k a b ==-=∵在上单调递增，()3f x x =[]1,1-∴在上的最小值为，最大值为，且， ()3f x x =[]1,1-()1f -()1f ()()()1111,1111f f -=-=⨯-==⨯故函数是“倍缩函数”.()3f x x =（2）取，2k =∵函数在上单调递增，()ln 3g x x =+[],a b 若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立， ()ln 3g x x =+0a b <<ln 32ln 32a a b b+=⎧⎨+=⎩等价于至少有两个不相等的实根，ln 32x x +=等价于至少有两个零点，()ln 23G x x x =-+∵，且在定义内连续不断， ()()()332e 0,110,2ln 210e G G G -=-<=>=-<()G x ∴在区间内均存在零点，()G x ()()3e ,1,1,2-故函数存在“2倍值区间”.()ln 3g x x =+（3）对，且，则， 121,0,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦12x x <()()()()()()12121212222212128148841414141x x x x x x h x h x x x x x ---=-=++++∵，则， 12102x x ≤<≤221212120,140,410,410x x x x x x -<->+>+>∴，即，()()120h x h x -<()()12h x h x <故函数在上单调递增， ()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦若函数存在“k 倍值区间”，即存在，使得成立， ()h x *10,2a b k ≤<≤∈N 22841841a ka ab kb b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩即在内至少有两个不相等的实根， 2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∵是方程的根，则在内有实根， 0x =2841x kx x =+2841k x =+10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦若，则，即，且， 10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦[)284,841x ∈+[)4,8k ∈*k ∈N ∴，即.4,5,6,7k ={}4,5,6,7k ∈【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．。
人教版高一数学上册期末考试试卷及答案
人教版高一数学上册期末考试试卷及答案（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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2023-2024学年江苏省南通市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若扇形的圆心角为2rad，半径为1，则该扇形的面积为（）A．12B．1C．2D．42．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣2≤x＜4}3．函数f(x)=4x+9x+1，x∈（﹣1，+∞）的最小值为（）A．6B．8C．10D．124．若角θ的终边经过点P（1，3），则sinθcosθ+cos2θ＝（）A．−65B．−25C．25D．655．函数f（x）＝2log3x+2x﹣5的零点所在区间是（）A．（0，1）B．(1，32)C．(32，2)D．（2，3）6．设函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω＞0)的最小正周期为T．若2π＜T＜3π，且对任意x∈R，f(x)+f(π3)≥0恒成立，则ω＝（）A．23B．34C．45D．567．已知函数f（x）的定义域为R，y＝2f（x）﹣sin x是偶函数，y＝f（x）﹣cos x是奇函数，则[f(x)]2+[f(π2+x)]2=（）A．5B．2C．32D．548．已知函数f（x）＝lg|x|﹣cos x，记a＝f（log0.51.5），b＝f（1.50.5），c＝f（sin（1﹣π）），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式中，计算结果为1的是（）A．sin75°cos15°+cos75°sin15°B．cos222.5°﹣sin222.5°C．√3−tan15°1+√3tan15°D．tan22.5°1−tan222.5°10．若a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．a （a +c ）＞b （b +d ）C ．d a+d＜c b+cD ．b+d b+c＜a+d a+c11．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y =x −23B ．y ＝2|x |+1C ．y ＝x 2﹣x ﹣2D ．y ＝2x ﹣2﹣x12．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10（单位：cm ），它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度hcm 由关系式ℎ=Asin(πt +π4)确定，其中A ＞0，t ≥0．则下列说法正确的是（ ）A ．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2sB ．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20cmC ．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为12sD ．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是[2014，2114)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 1．已知集合M ＝{﹣1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2} B ．{﹣1，0，1} C ．{﹣1，0，2}D ．{0，1}2．命题“∀x ∈R ，x +2≤0”的否定是（ ） A ．∃x ∈R ，x +2＞0 B ．∃x ∈R ，x +2≤0 C ．∀x ∈R ，x +2＞0D ．∀x ∉R ，x +2＞0 3．若函数f （x ）＝x 2﹣mx +3在区间（﹣∞，2）上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2]B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，4]D ．[4，+∞）4．已知角θ的终边经过点P （x ，﹣5），且tanθ=512，则x 的值是（ ） A ．﹣13B ．﹣12C ．12D ．135．已知a ＝log 0.32，b ＝log 0.33，c ＝log 32，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c6．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （km /s ）和燃料的质量M （kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （kg ）的函数关系的表达式为v =2ln(1+Mm )，若火箭的最大速度v 达到10km /s ，则M m的值是（ ） A ．5e ﹣1B ．e 5﹣1C ．510﹣1D ．105﹣17．已知定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)的值是（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√328．在等式a b ＝N 中，如果只给定a ，b ，N 三个数中的一个数，那么a b ＝N 就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N 为常数10，将a 视为自变量x （x ＞0且x ≠1），则b 为x 的函数，记为y ，那么x y ＝10，现将y 关于x 的函数记为y ＝f （x ）．若f （m 2）＞f （2m ），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（0，1）∪（1，2）D ．(0，12)∪（1，2）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 9．若a ＜b ＜0，c ∈R ，则（ ）A ．a +c ＜b +cB ．ab ＜b 2C ．1a ＜1bD ．b a ＜ab10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是{x |1＜x ＜3}，则（ ） A ．a ＜0B ．a +b +c ＝0C ．4a +2b +c ＜0D ．不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集是{x |x ＜﹣1或x ＞−13}11．古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f （x ）＝cot x ，其中cotx =tan(π2−x)，则下列关于余切函数的说法正确的是（ ）A ．定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }B ．在区间(π2，π)上单调递增C ．与正切函数有相同的对称中心D ．将函数y ＝﹣tan x 的图象向右平移π2个单位可得到函数y ＝cot x 的图象12．已知扇形的半径为r ，弧长为l ．若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A ．该扇形面积的最小值为8 B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C ．r +2l 的最小值为9D ．1r 2+4l 2的最小值为12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上 13．已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），则f （8）的值是 ． 14．已知sin(x +π6)=13，则sin 2(π3−x)的值是 ．15．已知定义在实数集R 上的偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f （lgx ）＜f （1），则实数x 的取值范围是 ．16．已知函数f(x)=log 9x +12x −1的零点为x 1．若x 1∈（k ，k +1）（k ∈Z ），则k 的值是 ；若函数g （x ）＝3x +x ﹣2的零点为x 2，则x 1+x 2的值是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明， 17．（10分）（1）已知a +a﹣1＝3，求a 12+a−12的值；（2）求值：e ln 2+（lg 5）2+lg 5lg 2+lg 20．18．（12分）设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x |x 2﹣5x +4≤0}，B ＝{x |m ≤x ≤m +1}． （1）若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[﹣π，0]上的单调减区间．20．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x +1(a ∈R)．（1）若函数f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）当a ＝3时，用函数单调性的定义证明：函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增；（3）若函数y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．21．（12分）如图，有一条宽为30m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC ）种植荷花用于观赏，C ，B 两点分别在两岸l 1，l 2上，AB ⊥AC ，顶点A 到河两岸的距离AE ＝h 1，AD ＝h 2，设∠ABD ＝α．（1）若α＝30°，求荷花种植面积（单位：m 2）的最大值； （2）若h 2＝4h 1，且荷花的种植面积为150m 2，求sin α．22．（12分）若存在实数对（a ，b ），使等式f （x ）•f （2a ﹣x ）＝b 对定义域中每一个实数x 都成立，则称函数f （x ）为（a ，b ）型函数．（1）若函数f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，求a 的值； （2）若函数g(x)=e 1x 是（a ，b ）型函数，求a 和b 的值；（3）已知函数h （x ）定义在[﹣2，4]上，h （x ）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2．若h （x ）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m 的取值范围．2023-2024学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1．已知集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，2}D．{0，1}解：因为集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{﹣1，0，1，2}，故选：A．2．命题“∀x∈R，x+2≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x+2＞0B．∃x∈R，x+2≤0C．∀x∈R，x+2＞0D．∀x∉R，x+2＞0解：命题为全称命题，则命题的否定为“∃x∈R，x+2＞0”．故选：A．3．若函数f（x）＝x2﹣mx+3在区间（﹣∞，2）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，4]D．[4，+∞）解：函数f（x）＝x2﹣mx+3开口向上，对称轴方程为x=m 2，所以函数的单调递减区间为（﹣∞，m2 ]，要使在区间（﹣∞，2）上单调递减，则m2≥2，解得m≥4．即m的范围为[4，+∞）．故选：D．4．已知角θ的终边经过点P（x，﹣5），且tanθ=512，则x的值是（）A．﹣13B．﹣12C．12D．13解：由题意得，tanθ=512=−5x，故x＝﹣12．故选：B．5．已知a＝log0.32，b＝log0.33，c＝log32，则下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c解：∵log0.33＜log0.32＜log0.31＝0，∴b＜a＜0，∵log32＞log31＝0，∴c＞0，∴b＜a＜c．故选：D．6．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （km /s ）和燃料的质量M （kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （kg ）的函数关系的表达式为v =2ln(1+Mm )，若火箭的最大速度v 达到10km /s ，则M m的值是（ ） A ．5e ﹣1B ．e 5﹣1C ．510﹣1D ．105﹣1解：由题意知火箭的最大速度v 达到10km /s ，故10=2ln(1+M m )，即1+Mm =e 5，∴M m =e 5−1． 故选：B ．7．已知定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)的值是（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32解：定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)=f(83π)=f(5π3)=f(2π3)=f(−π3)=cos(−π3)=12． 故选：C ．8．在等式a b ＝N 中，如果只给定a ，b ，N 三个数中的一个数，那么a b ＝N 就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N 为常数10，将a 视为自变量x （x ＞0且x ≠1），则b 为x 的函数，记为y ，那么x y ＝10，现将y 关于x 的函数记为y ＝f （x ）．若f （m 2）＞f （2m ），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（0，1）∪（1，2）D ．(0，12)∪（1，2）解：因为x y ＝10，（x ＞0且x ≠1），所以lgx y ＝lg 10＝1，即ylgx ＝1， 所以y ＝f （x ）=1lgx，所以函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上单调递减， 若f （m 2）＞f （2m ），则0＜m 2＜2m ＜1，或1＜m 2＜2m ，解得0＜m ＜12或1＜m ＜2．故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 9．若a ＜b ＜0，c ∈R ，则（ ） A ．a +c ＜b +cB ．ab ＜b 2C ．1a ＜1bD ．b a ＜ab解：对于A ，由a ＜b ，两边都加上c ，可得a +c ＜b +c ，故A 正确； 对于B ，a ＜b ＜0，两边都乘以b ，可得ab ＞b 2，故B 不正确； 对于C ，a ＜b ＜0，则1a −1b =b−a ab ＞0，可知1a ＞1b，故C 不正确；对于D，a＜b＜0，则ba −ab=b2−a2ab=(b+a)(b−a)ab＜0，可得ba＜ab，故D正确．故选：AD．10．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则（）A．a＜0B．a+b+c＝0C．4a+2b+c＜0D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|x＜﹣1或x＞−13}解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，所以a＜0且1，3为方程ax2+bx+c＝0的两根，A正确；故{1+3=−ba1×3=ca，所以b＝﹣4a，c＝3a，所以a+b+c＝a﹣4a+3a＝0，B正确；4a+2b+c＝4a﹣8a+3a＝﹣a＞0，C错误；由不等式cx2﹣bx+a＝3ax2+4ax+a＜0可得3x2+4x+1＞0，解得x＜﹣1或x＞−13，D正确．故选：ABD．11．古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f（x）＝cot x，其中cotx=tan(π2−x)，则下列关于余切函数的说法正确的是（）A．定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}B．在区间(π2，π)上单调递增C．与正切函数有相同的对称中心D．将函数y＝﹣tan x的图象向右平移π2个单位可得到函数y＝cot x的图象解：根据cotx=tan(π2−x)，所以余切函数的图象如图所示：对于A：函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，故A正确；对于B：在区间(π2，π)上单调递减，故B错误；对于C ：与正切函数有相同的对称中心，都为（kπ2，0）（k ∈Z ），故C 正确；对于D ：将函数y ＝﹣tan x 的图象向右平移π2个单位可得到函数y ＝﹣tan （x −π2）＝cot x 的图象，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知扇形的半径为r ，弧长为l ．若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A ．该扇形面积的最小值为8 B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C ．r +2l 的最小值为9D ．1r 2+4l 2的最小值为12解：因为扇形的半径为r ，弧长为l ，所以扇形的周长为2r +l ，面积为12lr ；因为2r +l ＝2×12lr ，所以l =2rr−1，且r ＞1；所以扇形的面积为S =12×2r r−1×r =r 2r−1=(r−1)2+2(r−1)+1r−1=（r ﹣1）+1r−1+2≥2√(r −1)⋅1r−1+2＝4，当且仅当r ﹣1=1r−1，即r ＝2时取等号，所以选项A 错误； 扇形的周长为L ＝2r +2r r−1=2（r ﹣1）+2r−1+4≥2√2(r −1)⋅2r−1+4＝8， 当且仅当2（r ﹣1）=2r−1，即r ＝2时取等号，此时圆心角为|α|=l r =42=2，α＝±2，选项B 错误； r +2l ＝r +4r r−1=r +4+4r−1=（r ﹣1）+4r−1+5≥2√(r −1)⋅4r−1+5＝9， 当且仅当r ﹣1=4r−1，即r ＝3时取等号，选项C 正确； 1r 2+4l 2=1r 2+(r−1)2r 2=1−2r +2r 2=2(1r −12)2+14]≥12，当r ＝2时取等号，所以选项D 正确．故选：CD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上 13．已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），则f （8）的值是 2√2 ． 解：根据幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），可得9α＝3，求得α=12，故f （x ）=x 12=√x ．故f （8）=√8=2√2．故答案为：2√2．14．已知sin(x +π6)=13，则sin 2(π3−x)的值是 89 ．解：∵cos （π3−x ）=sin(x +π6)=13，∴sin2(π3−x)=1﹣cos2（π3−x）＝1−19=89．故答案为：8 9．15．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（lgx）＜f（1），则实数x的取值范围是110＜x＜10．解：∵f（x）定义在实数集R上的偶函数，在区间[0，+∞）上是单调增函数∴f（x）中（﹣∞，0）上是减函数又f（lgx）＜f（1）∴﹣1＜lgx＜1∴110＜x＜10故答案为：110＜x＜1016．已知函数f(x)=log9x+12x−1的零点为x1．若x1∈（k，k+1）（k∈Z），则k的值是1；若函数g （x）＝3x+x﹣2的零点为x2，则x1+x2的值是2．解：函数f(x)=log9x+12x−1是增函数，f（1）=−12＜0，f（2）＝log92＞0，满足f（1）f（2）＜0，所以函数的零点x1∈（1，2），所以k的值为1．函数f(x)=log9x+12x−1=12（log3x+x﹣2），函数的零点是y＝log3x与y＝2﹣x两个函数的图象的交点的横坐标x1，函数g（x）＝3x+x﹣2的零点为x2，是函数y＝3x与y＝2﹣x图象交点的横坐标，由于y＝log3x与y＝3x是反函数，关于y＝x对称，并且y＝2﹣x与y＝x垂直，交点坐标（1，1），所以x1+x2的值是2．故答案为：1；2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，17．（10分）（1）已知a+a﹣1＝3，求a 12+a−12的值；（2）求值：e ln2+（lg5）2+lg5lg2+lg20．解：（1）因为（a 12+a−12）2＝a+a﹣1+2＝3+2＝5，又因为a 12+a−12＞0，所以a12+a−12=√5；（2）e ln2+（lg5）2+lg5lg2+lg20＝2+1g5（lg5+1g2）+1g2+1＝2+1g5+1g2+1＝2+1+1＝4．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x|m≤x≤m+1}．（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．解：（1）由x 2﹣5x +4≤0，解得1≤x ≤4，所以A ＝{x |1≤x ≤4}． 因为A ∩B ＝∅，且B ≠∅，所以m +1＜1或m ＞4，得m ＜0或m ＞4， 所以实数m 的取值范围是{m |m ＜0或m ＞4}．（2）因为“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，所以B ⊆A ， 所以{m ≥1m +1≤4，解得1≤m ≤3，所以实数m 的取值范围是{m |1≤m ≤3}．19．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[﹣π，0]上的单调减区间．解：（1）由图可知A ＝2，T =4×(π3−π12)=π，所以ω=2πT=2．∵f （x ）＝2sin （2x +φ）的图象经过点(π12，2)， ∴π6+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，即φ=π3+2kπ，k ∈Z ．∵0＜φ＜π，所以φ=π3，∴f(x)=2sin(2x +π3)．（2）令π2+2kπ≤2x +π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得π12+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z ，∴f(x)=2sin(2x +π3)的减区间为[π12+kπ，7π12+kπ]，k ∈Z ，∴f(x)=2sin(2x +π3)在[﹣π，0]上的减区间为[−11π12，−5π12]．20．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x +1(a ∈R)．（1）若函数f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）当a ＝3时，用函数单调性的定义证明：函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增；（3）若函数y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．解：（1）由 f （0）＝0，得a ＝1，此时f(x)=2x−12x +1．因为f(−x)=2−x−12−x +1=1−2x1+2x =−f(x)，所以f （x ）为奇函数，故a ＝1． 证明：（2）当a ＝3时，f(x)=3⋅2x−12x +1=3−42x +1．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=42x 2+1−42x 1+1=4(2x1−2x2)(1+2x 1)(1+2x 2)， 因为x 1＜x 2，所以2x 1＜2x 2，2x 1+1＞0，2x 2+1＞0， 所以4(2x 1−2x 2)(1+2x 1)(1+2x 2)＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增．解：（3）y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，等价于（2x ）2+（1﹣a ）2x +1＝0有两个不同的实数解． 令t ＝2x （t ＞0），则t 2+（1﹣a ）t +1＝0在（0，+∞）有两个不同的实数解， 所以{(1−a)2−4＞0a −1＞0，解得a ＞3．所以a 的取值范围为（3，+∞）．21．（12分）如图，有一条宽为30m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC ）种植荷花用于观赏，C ，B 两点分别在两岸l 1，l 2上，AB ⊥AC ，顶点A 到河两岸的距离AE ＝h 1，AD ＝h 2，设∠ABD ＝α．（1）若α＝30°，求荷花种植面积（单位：m 2）的最大值； （2）若h 2＝4h 1，且荷花的种植面积为150m 2，求sin α．解：由题可得，AB =ℎ2sinα，AC =ℎ1cosα． （1）当α＝30°时，AB ＝2h 2，AC =2√31， 所以S △ABC =12AB ⋅AC =2√31ℎ2，又因为h 1+h 2＝30，h 1，h 2≥0， 所以S △ABC =√31ℎ2≤√3(ℎ1+ℎ22)2=150√3，当且仅当h 1＝h 2＝15时取等号．所以荷花种植区域面积的最大值为150√3m 2．（2）因为h 1+h 2＝30，h 2＝4h 1，所以h 1＝6，h 2＝24，故AB =24sinα，AC =6cosα，α∈(0，π2)， 从而S △ABC =12AB ⋅AC =72sinαcosα=150， 所以sinαcosα=1225，① 所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=4925． 又因为α∈[0，π2]，所以sinα+cosα=75，② 由①②解得：sinα=35或45． 22．（12分）若存在实数对（a ，b ），使等式f （x ）•f （2a ﹣x ）＝b 对定义域中每一个实数x 都成立，则称函数f （x ）为（a ，b ）型函数．（1）若函数f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，求a 的值；（2）若函数g(x)=e 1x 是（a ，b ）型函数，求a 和b 的值；（3）已知函数h （x ）定义在[﹣2，4]上，h （x ）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2．若h （x ）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）由f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，得f （x ）•f （2a ﹣x ）＝2x •22a ﹣x ＝1，即22a ＝1，所以a ＝0． （2）由g(x)=e 1x是（a ，b ）型函数，得g(x)⋅g(2a −x)=e 1x ⋅e 12ax −x =b ，则1x +12a−x =lnb ，因此x 2lnb ﹣2axlnb +2a ＝0对定义域{x |x ≠0}内任意x 恒成立，于是{lnb =02alnb =02a =0，解得a ＝0，b ＝1，所以a ＝0，b ＝1．（3）由h （x ）是（1，4）型函数，得h （x ）•h （2﹣x ）＝4，（1）当x ＝1时，h （1）•h （1）＝4，而h （x ）＞0，则h （1）＝2，满足h （x ）≥1；（2）当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2≥1恒成立，令log 2x ＝t ，则当t ∈（0，2]时，﹣t 2+mt +2≥1恒成立，于是m ≥t −1t 恒成立，而函数y =t −1t在（0，2]单调递增，则t −1t ≤32，当且仅当t ＝2时取等号，因此m ≥32； （3）当x ∈[﹣2，1）时，2﹣x ∈（1，4]，则ℎ(x)=4ℎ(2−x)=4−[log 2(2−x)]2+m⋅log 2(2−x)+2，由h （x ）≥1，得0＜−[log 2(2−x)]2+m ⋅log 2(2−x)+2≤4，令log 2（2﹣x ）＝u ，则当u ∈（0，2]时，0＜﹣u 2+mu +2≤4，由（2）知﹣u 2+mu +2≥1，则只需u ∈（0，2]时，﹣u 2+mu +2≤4恒成立，即m ≤2u +u 恒成立，又u +2u≥2√u ⋅2u =2√2，当且仅当u =√2时取等号，因此m ≤2√2， 所以实数m 的取值范围是：[32，2√2]．。
2022-2023学年陕西省西安市长安区高一上学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年陕西省西安市长安区高一上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{2},{1<<1}x M yy N x x ===-∣∣，则M N ⋂=（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．∅D ．(1,1)-【答案】B【分析】解出集合M ，根据集合交集的运算即可求解.【详解】{2}{>0}x M y y y y ===∣∣,{}01M N x x ⋂=<<.故选：B2．“sin 0θ<且tan 0θ<”是“θ为第三象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】求出sin 0θ<且tan 0θ<时θ所在象限，再根据充分必要条件的概念判断．【详解】因为sin 0θ<且tan 0θ<，由任意角的三角函数可知，θ为第四象限角，所以“sin 0θ<且tan 0θ<”是“θ为第三象限角”的既不充分也不必要条件，故选：D.3．若tan 2θ=-，则sin 2θ=（）A ．25-B ．45-C ．25D ．45【答案】B【分析】根据二倍角公式和同角三角函数的关系，222sin cos sin 2sin cos θθθθθ⋅=+，再进行“弦化切”即可代值求解.【详解】()()2222222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 1521θθθθθθθ⨯-⋅====-++-+.故选：B.4．已知命题3:,sin cos 2p x x x ∃∈+=R ；命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】B【分析】分别判断出命题p 和q 的真假，即可逐个选项进行判断.【详解】命题3:,sin cos 2p x x x ∃∈+=R 是特称命题，因π3sin +cos 2sin 42x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭时，π32sin 144x ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，无解，所以命题p 是假命题；命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥是全称命题，因0x ≥，所以||0e e 1x ≥=，所以命题q 是真命题.所以p ⌝是真命题，q ⌝是假命题，所以p q ∧是假命题，p q ⌝∧是真命题，p q ∧⌝是假命题，()p q ⌝∨是假命题.故选：B5．已知0.13121log 2,log 5,()3a b c -===，则（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】C【分析】利用中间值0和1进行比较即可.【详解】333log 1log 2log 3<<，所以01a <<，1122log 5log 1<，所以0b <，0.1011()()33->，所以1c >，所以c a b >>.故选：C.6．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A ．2p q+B ．(1)(1)12p q ++-C ．pq D ．(1)(1)1p q ++-【答案】D【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为x ，因此2(1)(1)(1)p q x ++=+解得(1)(1)1x p q =++-．【解析】函数模型的应用．7．已知正实数,x y 满足2212,xy x y =+-则x y +的最大值是（）A ．24B ．12C ．43D ．23【答案】C【分析】设x y t +=，则y t x =-，代入已知等式，化为关于x 的方程，由判别式非负，解得t 的最大值.【详解】设x y t +=，则y t x =-，因为2212xy x y =+-，所以22()()120x t x x t x +----=，即：2233120x tx t -+-=，所以222912(12)31440t t t ∆=--=-+≥，解得：4343t -≤≤，又因为x ，y 为正实数，所以043t <≤，所以x y +的最大值为43.故选：C.8．幂函数y x α=，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点(1,0),(0,1)A B 连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数,a b y x y x ==的图像三等分，即BM =MN =NA ,那么ab =（）A ．13B ．.2C ．1D ．12【答案】C【分析】求出M 、N 的坐标，分别带入函数解析式即可求得a 、b ，然后根据换底公式可得.【详解】因为M 、N 为线段AB 的三等分点，易得1221(,),,)3333M N （，分别带入,a b y x y x ==得1221(),()3333a b ==，解得123321log ,log 33a b ==，所以123321lglg2133log log 11233lg lg 33ab =⨯=⨯=.故选：C9．已知函数()22,01,04x x f x x x x⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，则关于x 的方程23()7()20f x f x -+=实数解的个数为（）A ．4B ．5C ．3D ．2【答案】A【分析】由23()7()20f x f x -+=解得()13f x =或2，再画出()f x ，2y =，13y =的图象数交点个数即可.【详解】因为23()7()20f x f x -+=，解之得()13f x =或2，当0x ≤时，()0f x ≥；当0x >时，()211111124442x f x x x x x x +⎛⎫==+≥⨯⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，所以()f x ，2y =，13y =的图象如图：由图可知使得()13f x =或()2f x =的点有4个.故选：A.10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()0f x f x ++=，当[3,4]x ∈时，()3f x x =-，则（）A ．11(sin )(cos )33f f <B ．33(sin )(cos )22f f >C ．(sin 2)(cos 2)f f >D ．(sin1)(cos1)f f <【答案】D【分析】根据题意，由条件可得()f x 的周期为2，然后结合偶函数的性质可得[]0,1x ∈时的解析式，再由其单调性即可得到结果.【详解】因为函数()f x 满足(1)()0f x f x ++=，则()()()()122f x f x f x f x =-+=--+=+⎡⎤⎣⎦，所以()f x 的周期为2，且()f x 是偶函数，当[3,4]x ∈时，()3f x x =-，设[]0,1x ∈，则[]43,4x -∈，所以()()()44431f x f x f x x x =-=-=--=-，所以()f x 在[]0,1上单调递减，因为[]11sin ,cos 0,133∈，且11sin cos 33<，所以11(sin )(cos )33f f >，故A 错误；因为[]33sin ,cos 0,122∈，且33sin cos 22>，所以3(sin )(cos )322f f <，故B 错误；因为[]sin 20,1∈，πππcos 2cos 2sin 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且()f x 为偶函数，则()ππcos 2sin 2sin 222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且[]πsin 20,12⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 2sin 22⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以(sin 2)(cos 2)f f <，故C 错误；因为[]sin1,cos10,1∈，且sin1cos1>，所以(sin1)(cos1)f f <，故D 正确；故选:D二、多选题11．下列函数中既是偶函数，又在()0,∞+上单调递减的是（）A ．2log y x =B ．2y x-=C ．1y x=D ．23y x=【答案】BC【分析】根据函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数2log y x =的定义域为()0,∞+，该函数为非奇非偶函数，A 不满足条件；对于B 选项，函数221y x x -==的定义域为{}0x x ≠，设()121f x x=，则()()()112211f x f x x x -===-，该函数为偶函数，且函数2y x -=在()0,∞+上为减函数，B 满足条件；对于C 选项，函数1y x=的定义域为{}0x x ≠，设()21f x x =，则()()2211f x f x x x-===-，该函数为偶函数，当0x >时，1y x=，则函数1y x =在()0,∞+上为减函数，C 满足条件；对于D 选项，函数2323y x x ==的定义域为R ，设()323f x x =，则()()()232333f x x x f x -=-==，该函数为偶函数，函数23y x =在()0,∞+上为增函数，D 不满足条件.故选：BC.12．若x y >，则（）A ．ln(1)0x y -+>B ．11x y<C ．33x y >D ．x y>【答案】AC【分析】利用指对数函数的单调性判断AC ；举例说明判断BD 作答.【详解】由x y >知，11x y -+>，则ln(1)0x y -+>，A 正确；取x 1,y 2==-满足x y >，此时11x y>，x y <，BD 错误；由x y >，得33x y >，C 正确.故选：AC13．函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于π(,0)3中心对称，则（）A ．()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；B ．()y f x =在区间π[0,]2的最小值是32-；C ．直线5π12x =-是()f x 图像的一条对称轴；D ．3(π)62f =【答案】BCD【分析】利用函数的对称中心得到π3ϕ=，然后根据正弦函数的图象和性质逐项判断即可求解.【详解】因为函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于π(,0)3中心对称，所以π2π()sin()033f ϕ=+=，又因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，则函数π()sin(2)3f x x =+，对于A ，因为5π(0,)12x ∈，所以ππ7π2(,)336x +∈，所以函数()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭先增后减，故选项A 错误；对于B ，因为π[0,]2x ∈，所以ππ4π2[,]323x +∈，当π4π233x +=时，函数取最小值32-，故选项B 正确；对于C ，函数π()sin(2)3f x x =+，因为5πππ()sin[2)]sin()11232f x =⨯+=-=-（-，所以直线5π12x =-是()f x 图像的一条对称轴，故选项C 正确；对于D ，函数π()sin(2)3f x x =+，则函数πππ2π3()sin(2)sin 66332f =⨯+==，故选项D 正确；故选：BCD.14．设函数22,0;()log ,0.xx f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩函数()()=-g x f x k ，若()g x 有三个不同的零点123,,x x x ，且满足123x x x <<，则下列说法正确的有（）A ．321x x =B ．233x x +的取值范围是13[2∞+，）C ．1k >D ．233x x +的取值范围是[23∞+，）【答案】AB【分析】利用函数()f x 与y k =的图象可判断C ；直接解方程2log x k =求出23,x x 可判断A ；表示出233x x +，233x x +，换元后利用对勾函数的单调性求最小值，即可判断BD.【详解】因为()g x 有三个不同的零点，所以函数()f x 与y k =有三个交点，由图可知，1k ≥，故C 错误；令2log x k =2log x k =，即2log x k =±，解得232,2k kx x -==，显然321x x =，故A 正确；因为1k ≥，所以22k ≥，令2k t =，则2311323233()3k ky x x t t t t-=+=+⋅=+=+，由对勾函数性质可知，上述函数在3[,)3+∞上单调递增，所以在[2,)+∞，所以当2x =时，23min113(3)3(2)62x x +=+=，B 正确；令2k t =，则2333322k ky x x t t-=+=⋅+=+，由对勾函数性质可知，上述函数在[3,)+∞上单调递增，所以在[2,)+∞，所以当2x =时，23min 37(3)222x x +=+=，故D 错误.故选：AB三、填空题15．sin 660︒=______．【答案】32-【分析】直接由诱导公式化简为sin 60-︒，即可得出答案．【详解】3sin 660sin(236060)sin(60)sin 602︒=⨯︒-︒=-︒=-︒=-，故答案为：32-．16．已知函数()2f x 的定义域为1[,2]2，则函数()2f x 的定义域为______.【答案】[][]2,11,2-- 【分析】由1[,2]2x ∈，可知124x ≤≤，再解关于x 的不等式214x ≤≤即可.【详解】因为1[,2]2x ∈，即122x ≤≤，所以124x ≤≤，所以214x ≤≤，所以[][]2,11,2x ∈--⋃.故答案为：[][]2,11,2-- .17．已知关于x 的方程2220x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为______.【答案】()2,1--【分析】构造函数22()2f x x kx k k =+++-，利用一根大于2，一根小于2，根据二次函数的性质建立不等式(2)0f <，解不等式即可求实数k 的取值范围．【详解】关于x 的方程2220x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，构造函数22()2f x x kx k k =+++-，∵一根大于2，一根小于2，∴(2)0f <，∴24220k k k +++-<，解得2<<1x --.则k 的取值范围是()2,1--.故答案为：()2,1--.18．已知函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，且()11f =，若()(),[1,1],00,f m f n m n m n m n+∈-+≠>+时，()222f x t at ≤--不等式对所有的[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，则实数t 的取值范围是______.【答案】(][),33,∞∞--⋃+【分析】可以消元转换的策略，先消去一个变量，易得()f x 在[1,1]-上单调递增，所以()f x 在[-1，1]上最大值是(1)1f =，问题可转化为2221t at --≥对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，令2()23g a ta t =-+-，只需()()1010g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，解不等式即可.【详解】因为()f x 为奇函数且m ，[1,1]n ∈-，0m n +≠，所以()()()()0()f m f n f m f n m n m n +--=>+--，所以()f x 在[1,1]-上单调递增，所以max ()(1)1f x f ==，又因为2()22f x t at ≤--对于所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，所以2max ()22f x t at ≤--对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，即2221t at --≥对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，即2230t at --≥对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，令2()23g a ta t =-+-，所以只需满足22(1)0230(1)0230g t t g t t -≥⎧+-≥⎧⇒⎨⎨≥-+-≥⎩⎩，解得3t £-或3t ≥．故答案为：(,3][3,)-∞-+∞ .四、解答题19．（1）已知角α顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点13(,)22P -，求cos tan(π)sin(π)cos(5π)αααα+⋅--的值.（2）计算：()321lg5lg8lg1000(lg 332)lg lg0.++++【答案】（1）2；（2）2【分析】（1）运用诱导公式化简及角α终边经过点(,)P x y ，则22cos x x y α=+公式代入计算即可.（2）运用对数运算公式计算即可.【详解】解析：（1）因为角α终边经过点13(,)22P -，所以221cos 2x x y α==-+，所以原式cos tan sin 12sin cos sin cos cos αααααααα=⋅=-=-=-.（2）()()231lg5lg8lg1000lg2lg lg0.33++++()()2lg53lg233lg2lg3lg31=++-+-()()23lg5lg23lg53lg213lg2lg5lg23lg51=⨯++-=++-()3lg23lg513lg2lg512=+-=+-=.20．已知函数()223f x x bx =-+，R b ∈.(1)若关于x 的不等式()0f x >对一切实数x 都成立，求b 的取值范围；(2)当[]1,2x ∈-时，函数()f x 的最小值为1，求b 值.【答案】(1)33b -<<(2)32b =-或2b =.【分析】（1）将问题转化为()min 0f x >，由二次函数在对称轴处取得最值可得230b ->，解不等式即可.（2）分别讨论1b ≤-、2b ≥、12b -<<时二次函数()f x 在[]1,2-上的单调性进而得其最小值，结合已知条件解方程即可.【详解】（1）因为()2230f x x bx =-+>恒成立，所以()min 0f x >，当且仅当x b =时，()f x 取最小值为()222233f b b b b =-+=-，所以()0f b >，即：230b ->，解得33b -<<.故b 的取值范围为33b -<<.（2）因为()223f x x bx =-+是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为x b =，①若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上单调递增，∴()()min 1421f x f b =-=+=，解得32b =-；②若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上单调递减，∴()()min 2741f x f b ==-=，解得32b =（舍）；③若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上单调递减，在(],2b 上单调递增，∴()()2min 31f x f b b ==-=，解得2b =或2b =-（舍）；综上，32b =-或2b =.21．已知函数()2π3cos cos 3cos 64f x x x x ⎛⎫=⋅--+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(1)πT =(2)最大值为14，最小值为12-.【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用可得1π()sin 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的周期性可求最小正周期T .（2）通过64ππx -<<，求得3622πππx 3-<-<，再利用正弦函数的性质可求最值.【详解】（1）由已知，有()2133cos (sin cos )3cos 224f x x x x x =⋅+-+2133sin cos cos 224x x x =⋅-+()133sin21cos2444x x =-++131πsin2cos2sin(2)4423x x x =-=-.所以，()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（2）ππ[,]64x ∈-时，π2ππ2,336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ236x -=，即π4x =时，()f x 取到最大值14，当ππ232x -=-，即π12x =-时，()f x 取到最小值12-.所以，函数()f x 在闭区间π[0,]2上的最大值为14，最小值为12-.22．已知函数(),0;2,0.x x a x f x x ⎧+≥=⎨<⎩其中R a ∈.(1)若1a =-，解不等式()14f x ≥；(2)设0a >，()21log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意的1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()g x 在区间[],2t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.【答案】(1)352,,44x ⎡⎤⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭(2)65a ≥【分析】（1）分类讨论解分段函数不等式即可.（2）由对数型函数的单调性可得()g x 在[],2t t +单调递减，进而运用对数运算公式及对数型函数单调性将问题转化为求()22t a t t -≥+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即求()max22t t t ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦，运用换元法及对勾函数的单调性可求得结果.【详解】（1）1a =-时，()1,02,0x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩当0x ≥时，()114f x x =-≥，解得54x ≥或34x ≤，所以350,,44x ⎡⎤⎡⎫∈+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ ；当0x <时，()124x f x =≥，2x ≥-，所以[)2,0x ∈-.综上，352,,44x ⎡⎤⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.（2）因为0a >，[],2x t t ∈+，所以()2211log log g x f a x x ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],2t t +单调递减，所以()()()()22max min 112log log 12g x g x g t g t a a t t ⎛⎫⎛⎫-=-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，即：222111log 1log log 222a a a t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤++=+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1122a a t t ⎛⎫+≤+ ⎪+⎝⎭，所以()12222t a t t t t -≥-=++在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()max22t a t t ⎡⎤-≥⎢⎥+⎣⎦，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令320,2m t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()2222468t m m h m t t m m m m -===+---+，①当0m =时，()0h m =，②当30,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()186h m m m=+-，又因为86y m m =+-在30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，所以8316566236m m +-≥+-=，所以()60,5h m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上，max 6()5h m =.所以65a ≥.23．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n ，则称[],m n 是该函数的“优美区间”．(1)写出函数()212f x x =的一个“优美区间”；(2)求证：函数()64g x x=+不存在“优美区间”；(3)已知函数()()()221R,0a a x y h x a a a x +-==∈≠有“优美区间”[],m n ，当a 变化时，求出n m -的最大值．【答案】(1)[0,2](2)答案见解析(3)233【分析】（1）结合“优美区间”的定义，即可写出函数()212f x x =的一个“优美区间”；（2）若函数存在“优美区间”，可得函数()g x 在[,]m n 上单调递减，从而可得()()g m n g n m=⎧⎨=⎩，联立可推出矛盾，即可证明结论；（3）函数()h x 有“优美区间”，结合单调性可得()()h m m h n n=⎧⎨=⎩，说明,m n 是方程222()10a x a a x -++=的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系可求得,m n 的关系，进而可求得n m -的最大值．【详解】（1）[0,2]是21()2f x x =的一个“优美区间”，证明如下：212y x =在区间[0,2]上单调递增，又(0)0f =，(2)2f =，∴212y x =的值域为[0,2]，∴[0,2]是21()2f x x =的一个“优美区间”．（2）设[,]m n 是函数()g x 的定义域的子集．由0x ≠，可得[,](,0)m n ∞⊆-或[,](0,)m n ∞⊆+，∴函数6()4g x x=+在[,]m n 上单调递减．若[,]m n 是函数()g x 的“优美区间”，则6464n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得，66n m m n-=-，则6()n m n m mn -=-，6,6,n m mn n m >∴=∴=，则664m m+=，显然等式不成立，∴函数6()4g x x =+不存在“优美区间”．（3）()h x 的定义域为{|0}x x ≠，[,]m n 是函数()h x 的定义域的子集，则[,](,0)m n ∞⊆-或[,](0,)m n ∞⊆+，而函数()()222111a a x y xh x a a x a a +-==+=-在[,]m n 上单调递增，若[,]m n 是函数()h x 的“优美区间”，则()()h m m h n n=⎧⎨=⎩，∴,m n 是方程211a x a a x +-=，即222()10a x a a x -++=的两个同号且不等的实数根．210mn a=> ，∴,m n 同号，只需2222()4(3)(1)0a a a a a a ∆=+-=+->，解得1a >或3a <-，211,a m n mn a a++== ，n m >，22222142114()413333a n m m n mn a a a a a +⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当3a =时，n m -取得最大值233．。
2023-2024学年江苏省连云港市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ≤1}，B ＝{x |0≤x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，2}C ．（﹣1，2）D ．[0，1]2．sin210°＝（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√323．“|a |＞|b |”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．人的心脏跳动时，血压在增加或减少．若某人的血压满足函数式p （t ）＝110+20sin （140πt ），其中p （t ）为血压（单位：mmHg ），t 为时间（单位：min ），则此人每分钟心跳的次数为（ ） A ．50B ．70C ．90D ．1305．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，且1a +2b=1，则△ABC 的面积的最小值为（ ）A ．3+√2B ．2C ．4D ．86．设a 为实数，已知函数f(x)=a −13x−1的图象关于原点对称，则a 的值为（ ） A ．−12B ．12C ．2D ．﹣27．已知函数f(x)={−log 2x ，x ≥1，2−x ，x ＜1，若f （2+a 2）＜f （6a ﹣3），则实数a 的取值范围是（ ）A ．1＜a ＜5B ．a ＞5或a ＜1C ．2＜a ＜3D ．a ＞3或a ＜28．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图，则函数f （x ）（ ）A ．图象关于直线x =−π3对称B ．图象关于点(π6，3)对称C ．在区间(2π3，5π6)上单调递减 D ．在区间(−5π12，π12)上的值域为（1，3） 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列不等式成立的有（ ）A ．1.212＞0.812B ．cos4π7＜cos 5π8C ．1.20.8＞0.81.2D ．log 520＞log 2510．要得到函数f(x)=sin(2x −π3)的图象，只要把（ ）A ．函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度B ．函数y =sin(x −π3)的图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C ．函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π6个单位长度D ．函数y ＝cos2x 的图象向右平移5π12个单位长度11．已知函数f （x ）＝lgx ，任意的x 1，x 2∈（0，+∞），下列结论正确的是（ ） A ．f(x 1)−f(x 2)=f(x 1x 2)B ．若x 1≠x 2，则f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)C ．y =f(1−x1+x)是奇函数D ．若|f （x 1）|＝|f （x 2）|，且x 1≠x 2，则x 1+x 2＞212．已知函数f （x ）＝2|cos x |﹣cos|x |，则（ ） A ．函数f （x ）的最大值为3B ．函数f （x ）的最小正周期为πC ．函数f （x ）的图象关于直线x ＝π对称D ．函数f （x ）在(2π3，3π2)上单调递减 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．求值：log 48＝ ．14．已知cos α＜0，且tan α＞0，则角α是第 象限角．15．已知函数f （x ）＝sin （ωx ）在[−π3，π4]上单调递增，则ω的最大值是 ．16．已知函数f （x ）是R 上的偶函数，f （x +1）为奇函数，则函数f （x ）的最小正周期为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知tan α＝2，计算： （1）sinα+cosα5cosα−2sinα；（2）cos αsin α．18．（12分）设a 为实数，函数f （x ）＝ax 2﹣（a ﹣1）x +a ．（1）若函数f（x）有且只有一个零点，求a的值；（2）若不等式f（x）＞0的解集为空集，求a的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=2sin(2x+π6)．（1）用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的简图；（2）若关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间[0，π2]上有唯一解，求t的取值范围．20．（12分）如图1，有一块半径为2（单位：cm）的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上．为了求出等腰梯形ABCD的周长y（单位：cm）的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案：（1）小明的方案：设梯形的腰长为x（单位：cm），请你帮他求y与x之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值；（2）小亮的方案：如图2，连接AC，设∠BAC＝θ，请你帮他求y与θ之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝log2（4x﹣a•2x+a+2）（a∈R）．（1）若a＝5，解不等式f（x）＞0；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，+∞）上的最小值为﹣1，求a的值．22．（12分）设m，t为实数，函数f（x）＝lnx+x+m和g（x）＝x2﹣tx﹣1．（1）若函数f（x）在区间（2，e）上存在零点，求m的取值范围；（2）设x1∈{x|F（x）＝0}，x2∈{x|G（x）＝0}，若存在x1，x2，使得|x1﹣x2|≤1，则称F（x）和G（x）“零点贴近”．当m＝﹣1时，函数f（x）与g（x）“零点贴近”，求t的取值范围．2023-2024学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤1}，B＝{x|0≤x＜2}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，2}C．（﹣1，2）D．[0，1]解：∵集合A＝{x|﹣1＜x≤1}，B＝{x|0≤x＜2}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}．故选：D．2．sin210°＝（）A．−12B．12C．−√32D．√32解：sin210°＝sin（180°+30°）＝﹣sin30°=−1 2，故选：A．3．“|a|＞|b|”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解：设a＝﹣2，b＝0，此时满足|a|＞|b|，但不满足a＞b，充分性不成立，设a＝2，b＝﹣3，此时满足a＞b，但不满足|a|＞|b|，必要性不成立，故|a|＞|b|是a＞b的既不充分也不必要条件．故选：D．4．人的心脏跳动时，血压在增加或减少．若某人的血压满足函数式p（t）＝110+20sin（140πt），其中p（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则此人每分钟心跳的次数为（）A．50B．70C．90D．130解：因为函数p（t）＝110+20sin（140πt）的周期为T=2π140π=170（min），所以此人每分钟心跳的次数f=1T=70．故选：B．5．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，且1a+2b=1，则△ABC的面积的最小值为（）A．3+√2B．2C．4D．8解：因为a＞0，b＞0，可得1a＞0，2b＞0，则1a+2b≥2√1a⋅2b=2√2ab，当且仅当1a =2b 时，即a ＝2，b ＝4时，等号成立，所以√2ab ≤1，解得ab ≥8，所以△ABC 的面积的最小值为S =12ab ≥4．故选：C ．6．设a 为实数，已知函数f(x)=a −13x−1的图象关于原点对称，则a 的值为（ ） A ．−12B ．12C ．2D ．﹣2解：因为f(x)=a −13x−1的图象关于原点对称，所以f （x ）为奇函数，所以f （﹣x ）+f （x ）＝0， 即a −13x −1+a −13−x −1=2a −13x −1+3x3x −1=2a +1＝0，所以a =−12．故选：A ．7．已知函数f(x)={−log 2x ，x ≥1，2−x ，x ＜1，若f （2+a 2）＜f （6a ﹣3），则实数a 的取值范围是（ ）A ．1＜a ＜5B ．a ＞5或a ＜1C ．2＜a ＜3D ．a ＞3或a ＜2解：因为函数f(x)={−log 2x ，x ≥1，2−x，x ＜1，，当x ≥1时，f （x ）＝﹣log 2x 单调递减，且最大值为f （1）＝0， 当x ＜1时，f （x ）＝2﹣x单调递减，且最小值y ＞2﹣1=12，故函数f(x)={−log 2x ，x ≥1，2−x，x ＜1，单调递减f （2+a 2）＜f （6a ﹣3），则2+a 2＞6a ﹣3，可得a 2﹣6a +5＞0，解得a ＞5或a ＜1． 故选：B ．8．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图，则函数f （x ）（ ）A ．图象关于直线x =−π3对称B ．图象关于点(π6，3)对称C ．在区间(2π3，5π6)上单调递减 D ．在区间(−5π12，π12)上的值域为（1，3） 解：由图象可得A =12（5﹣1）＝2，则f （x ）＝2sin （ωx +φ）+B ，f （x ）的最大值为2+B ＝5，∴B ＝3， ∴f （x ）＝2sin （ωx +φ）+3，f （x ）过点（0，2），∴f （0）＝2sin φ+3＝2，∴sin φ=−12，∵|φ|＜π2，∴φ=−π6，∴f （x ）＝2sin （ωx −π6）+3，∵f （x ）过点（−π6，1），∴f （−π6）＝2sin （−π6ω−π6）+3＝1，可得sin （π6ω+π6）＝1，∴π6ω+π6=2k π+π2，k ∈Z ，可得ω＝2+12k ，k ∈Z ，由图象可知T 4＞π6，∴T ＞2π3，即2πω＞2π3，∴0＜ω＜3，∴ω＝2， ∴f （x ）＝2sin （2x −π6）+3，对于A ：f （−π3）＝2sin （−5π6）+3＝2，不是最值，则f （x ）的图象不关于直线x =−π3对称，错误；对于B ：f （π6）＝2sin π6+3＝4≠3，错误；对于C ：2k π+π2≤2x −π6≤2k π+3π2，k ∈Z ， ∴k π+π3≤x ≤k π+5π6，k ∈Z ， ∴f （x ）的单调递减区间为[k π+π3，k π+5π6]，k ∈Z ．k ＝0时，f （x ）在[π3，5π6]上单调递减，(2π3，5π6)⊆[π3，5π6]，正确；对于D ：∵x ∈（−5π12，π12）， ∴2x −π6∈（﹣π，0），可得sin （2x −π6）∈[﹣1，0），∴f （x ）∈[1，3），D 错误． 故选：C ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列不等式成立的有（ ）A ．1.212＞0.812B ．cos4π7＜cos 5π8C ．1.20.8＞0.81.2D ．log 520＞log 25解：对于A ．因为幂函数y =√x 在定义域上单调递增，所以1.212＞0.812成立，故A 正确；对于B ，因为函数y ＝cos x 在（0，π）上单调递减，且0＜4π7＜5π8＜π， 所以cos4π7＞cos 5π8，故B 错误； 对于C ，1.20.8＞1.20＞1，0.81.2＜0.80＜1，所以1.20.8＞0.81.2，故C 正确； 对于D ，log 520＜log 525＝2，log 25＞log 24＝2，所以log 520＜log 25，故D 错误． 故选：AC ．10．要得到函数f(x)=sin(2x −π3)的图象，只要把（ ）A ．函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度B ．函数y =sin(x −π3)的图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C ．函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π6个单位长度D ．函数y ＝cos2x 的图象向右平移5π12个单位长度 解：函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得f （x ）=sin[2(x −π6)]=sin(2x −π3)，故A 正确；对于B ，函数y =sin(x −π3)的图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得y =sin(12x −π3)，故B 错误；对于C ，函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π6个单位长度得；f （x ）=sin[2(x +5π6)]=sin(2x +5π3)=sin(2x −π3)，故C 正确； 对于D ，函数y ＝cos2x 的图象向右平移5π12个单位长度得：f （x ）=cos[2(x −5π12)]=cos(2x −5π6)=cos(2x −π3−π2)=sin(2x −π3)，故D 正确． 故选：ACD ．11．已知函数f （x ）＝lgx ，任意的x 1，x 2∈（0，+∞），下列结论正确的是（ ） A ．f(x 1)−f(x 2)=f(x1x 2)B ．若x 1≠x 2，则f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)C ．y =f(1−x1+x)是奇函数D ．若|f （x 1）|＝|f （x 2）|，且x 1≠x 2，则x 1+x 2＞2解：对于A ，f （x 1）﹣f （x 2）＝lgx 1﹣lgx 2＝lg x 1x 2，故A 正确；对于B ，因为f （x ）＝lgx 在（0，+∞）上是增函数，且x 1≠x 2，所以f(x 1)+f(x 2)2=lg √x 1x 2，f （x 1+x 22）＝lg x 1+x 22，x 1+x 22＞√x 1x 2，故B 错误；对于C ，f （1−x 1+x ）＝lg 1−x 1+x ，f （1+x 1−x ）＝lg 1+x 1−x ，因为f （1−x 1+x ）+f （1+x 1−x ）＝lg 1−x 1+x +lg 1+x 1−x =lg [1−x 1+x ⋅1+x1−x ]＝lg 1＝0，故y ＝f （1−x1+x）是奇函数，故C 正确；对于D ，由x 1≠x 2得f （x 1）＝﹣f （x 2），即lgx 1+lgx 2＝0，即lg （x 1x 2）＝0，所以x 1x 2＝1，由基本不等式得x 1+x 2⩾2×1＝2，因为x 1≠x 2，所以等号取不到，所以x 1+x 2＞2，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝2|cos x |﹣cos|x |，则（ ） A ．函数f （x ）的最大值为3B ．函数f （x ）的最小正周期为πC ．函数f （x ）的图象关于直线x ＝π对称D ．函数f （x ）在(2π3，3π2)上单调递减 解：对于A ，根据余弦函数的性质，可知当x ＝π时，f （x ）＝2|cos π|﹣cos|π|＝2+1＝3，达最大值，故A 正确； 对于B ，因为f （π3）=12，f （4π3）=32，可得f(π3)≠f(π3+π)，故函数f （x ）的最小正周期不是π，B 项不正确；对于C ，因为cos|（2π﹣x ）|＝cos （2π﹣x ）＝cos x ＝cos|x |， 所以f （2π﹣x ）＝2|cos （2π﹣x ）|﹣cos|（2π﹣x ）|＝2|cos x |﹣cos|x |，可得f （2π﹣x ）＝f （x ），所以f （x ）的图象关于直线x ＝π对称，故C 正确； 对于D ，因为在(2π3，3π2)上f （x ）有最大值f （π）＝2， 所以f （x ）在(2π3，3π2)上先增后减，故D 不正确． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．求值：log 48＝32． 解：log 48＝lo g 2223=32．故答案为：32．14．已知cos α＜0，且tan α＞0，则角α是第 三 象限角．解：∵cos α＜0，∴角α是第二三象限的角或者在x 轴的非正半轴上，∵tan α＞0，∴角α是第一三象限的角，则角α是第三象限的角． 故答案为：三．15．已知函数f （x ）＝sin （ωx ）在[−π3，π4]上单调递增，则ω的最大值是 32 ．解：∵函数f （x ）＝sin （ωx ）在[−π3，π4]上单调递增，∴−π3•ω≥−π2 且π4•ω≤π2，求得ω≤32，则ω的最大值为32，故答案为：32．16．已知函数f （x ）是R 上的偶函数，f （x +1）为奇函数，则函数f （x ）的最小正周期为 4 ． 解：因为函数f （x ）是R 上的偶函数，所以f （﹣x ）＝f （x ）， 因为f （x +1）为奇函数，所以f （x ）的图象关于（1，0）对称，即f （2﹣x ）+f （x ）＝0， 所以f （2+x ）+f （﹣x ）＝f （2+x ）+f （x ）＝0， 所以f （2+x ）＝﹣f （x ），所以f （4+x ）＝f （x ），则函数f （x ）的最小正周期为4． 故答案为：4．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知tan α＝2，计算： （1）sinα+cosα5cosα−2sinα；（2）cos αsin α．解：（1）因为tan α＝2，所以sinα+cosα5cosα−2sinα=tanα+15−2tanα=2+15−2×2=3；（2）cos αsin α=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαtan 2α+1=222+1=25． 18．（12分）设a 为实数，函数f （x ）＝ax 2﹣（a ﹣1）x +a ． （1）若函数f （x ）有且只有一个零点，求a 的值； （2）若不等式f （x ）＞0的解集为空集，求a 的取值范围． 解：（1）根据题意，f （x ）＝ax 2﹣（a ﹣1）x +a ， 当a ＝0时，f （x ）＝x ，有且只有一个零点，符合题意，当a ≠0时，若f （x ）有且只有一个零点，即方程ax 2﹣（a ﹣1）x +a ＝0有且只有1个根， 则有Δ＝（a ﹣1）2﹣4a 2＝0，解可得a ＝﹣1或13，综合可得：a ＝0或﹣1或13；（2）f（x）＞0即ax2﹣（a﹣1）x+a＞0，当a＝0时，f（x）＞0即x＞0，其解集不是空集，不符合题意；当a≠0时，f（x）＞0即ax2﹣（a﹣1）x+a＞0，若其解集为∅，必有{a＞0Δ=(a−1)2−4a2≤0，解可得a≤﹣1，即a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．19．（12分）已知函数f(x)=2sin(2x+π6)．（1）用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的简图；（2）若关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间[0，π2]上有唯一解，求t的取值范围．解：（1）列表：描点，连线，画出f（x）在[0，π]上的大致图像如图：；（2）由于x∈[0，π2]，所以2x+π6∈[π6，7π6]，所以f(x)=2sin(2x+π6)∈[−12，1]，由于关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间[0，π2]上有唯一解，所以t∈[−12，12）．20．（12分）如图1，有一块半径为2（单位：cm）的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上．为了求出等腰梯形ABCD的周长y（单位：cm）的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案：（1）小明的方案：设梯形的腰长为x（单位：cm），请你帮他求y与x之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值；（2）小亮的方案：如图2，连接AC，设∠BAC＝θ，请你帮他求y与θ之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值．解：（1）作DE⊥AB于E，连接BD，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB＝90°＝∠AED，∠BAD＝∠DAE，所以Rt△ADB∽Rt△AED，所以ADAB=AEAD，即AE=AD2AB；又AD ＝x ，AB ＝4，所以AE =x 24；所以CD ＝AB ﹣2AE ＝4﹣2×x 24=4−x 22， 于是y ＝AB +BC +CD +AD ＝4+x +4−x 22+x =−12x 2+2x +8， 由于AD ＞0，AE ＞0，CD ＞0，所以x ＞0，x 24＞0，4−x 22＞0，解得0＜x ＜2√2；所以函数为y =−12x 2+2x +8，x ∈（0，2√2）．当x =−22×(−12)=2时，y 取得最大值为−12×4+2×2+8＝10．（2）过点C 作CF 垂直于AB 于点F ，因为AB 是半圆的直径，所以∠ACB ＝90°，AB ＝4， 所以BC ＝AB sin θ＝4sin θ，又因为∠BCF ＝∠CAB ＝θ，所以BF ＝BC sin θ＝4sin 2θ， 所以CD ＝AB ﹣2BF ＝4﹣8sin 2θ，所以梯形ABCD 的周长为y ＝AB +CD +2BC ＝4+4﹣8sin 2θ+8sin θ＝﹣8sin 2θ+8sin θ+8，且θ∈（0，π4），即y ＝﹣8sin 2θ+8sin θ+8，θ∈（0，π4）；设t ＝sin θ，则t ∈（0，√22），所以y ＝﹣8t 2+8t +8，当t =12时，y 取得最大值为﹣8×14+8×12+8＝10，即当θ=π6时，y 取得最大值10．21．（12分）已知函数f （x ）＝log 2（4x ﹣a •2x +a +2）（a ∈R ）． （1）若a ＝5，解不等式f （x ）＞0；（2）若函数f （x ）在区间[﹣1，+∞）上的最小值为﹣1，求a 的值． 解：（1）当a ＝5时，f(x)=log 2(4x −5⋅2x +7)，不等式为log 2(4x −5⋅2x +7)＞0，则4x ﹣5•2x +7＞1，即4x ﹣5•2x +6＞0， 设t ＝2x ＞0，不等式化为t 2﹣5t +6＞0，解得0＜t ＜2或t ＞3，故x ＜1或x ＞log 23， 故不等式的解集为（﹣∞，1）∪（log 23，+∞）． （2）设g （x ）＝4x ﹣a •2x +a +2，根据题意知，当x∈[﹣1，+∞）时，g(x)min=1 2，设t=2x≥12，函数化为h（t）＝t2﹣at+a+2，其对称轴为t=a2，当a2≤12，即a≤1时，ℎ(t)min=ℎ(12)=94+12a=12，解得a=−72，符合题意；当a2＞12，即a＞1时，ℎ(t)min=ℎ(a2)=a+2−a24=12，解得a=2+√10或a=2−√10（舍），故a值为−72或2+√10．22．（12分）设m，t为实数，函数f（x）＝lnx+x+m和g（x）＝x2﹣tx﹣1．（1）若函数f（x）在区间（2，e）上存在零点，求m的取值范围；（2）设x1∈{x|F（x）＝0}，x2∈{x|G（x）＝0}，若存在x1，x2，使得|x1﹣x2|≤1，则称F（x）和G（x）“零点贴近”．当m＝﹣1时，函数f（x）与g（x）“零点贴近”，求t的取值范围．解：（1）令f（x）＝0，即f（x）＝lnx+x+m＝0，得m＝﹣（lnx+x）．令h（x）＝﹣（lnx+x），易知g（x）在（0，+∞）上单调递减，h（2）＝﹣（ln2+2），h（e）＝﹣（lne+e）＝﹣（1+e），所以h（x）在（2，e）上的值域为（﹣1﹣e，﹣ln2﹣2），所以m的取值范围（﹣1﹣e，﹣ln2﹣2）．（2）当m＝﹣1时，f（x）＝lnx+x﹣1，易知函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，令f（x）＝lnx+x﹣1＝0，易知f（1）＝ln1+1﹣1＝0，所以x1＝1．由|x1﹣x2|≤1，得|1﹣x2|≤1，解得0≤x2≤2，即x2∈[0，2]．要使函数f（x）与g（x）“零点贴近”，则函数g（x）在[0，2]上有零点，对于g（x）＝x2﹣tx﹣1，Δ＝t2+4＞0，所以g（x）＝0有两个零点，而g（0）＝﹣1＜0，所以g（2）≥0，即22﹣2t﹣1≥0，解得t≤3 2．故实数t的取值范围是(−∞，32 ]．。
北京市石景山区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷含答案
石景山区2023—2024学年第一学期高一期末试卷数学（答案在最后）本试卷共5页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}0A x x =>，{}12B x x =-<<，则A B = （）A.{}2x x < B.{}02x x << C.{}12x x << D.{}12x x -<<【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义，即可判断选项.【详解】集合{}0A x x =>，{}12B x x =-<<，由交集的定义可知，{}02A B x x ⋂=<<.故选：B2.已知命题p ：“2,10x R x x ∃∈-+<”，则p ⌝为（）A.2,10x R x x ∃∈-+≥ B.2,10∃∉-+≥x R x x C.2,10x R x x ∀∈-+≥ D.2,10x R x x ∀∈-+<【答案】C 【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题p ：“2,10x R x x ∃∈-+<”，的否定为：2,10x R x x ∀∈-+≥．故选：C ．3.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.1()2xy = B.()21y x =- C.1y x =-+ D.3y x =【答案】D【分析】根据各选项中的函数直接判断单调性即可.【详解】函数1()2xy =在R 上单调递减，A 不是；函数()21y x =-在(,1)-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则在(0,)+∞上不单调，B 不是；函数1y x =-+的R 上单调递减，C 不是；函数3y x =在R 上单调递增，在(0,)+∞上单调递增，D 是.故选：D4.已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集是()2,1-则a b +=（）A.0B.1- C.1D.2-【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的解集与相应方程的根的关系，利用韦达定理求解．【详解】由题意2-和1是方程20x ax b ++=的两根，所以21a -+=-，1a =，212b -⨯==-，∴1a b +=-．故选：B ．5.“21x <”是“1x <”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解21x <的解集，再根据集合的包含关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.【详解】由21x <，得0x <，因为{}0x x <{}1x x <，所以“21x <”是“1x <”的充分不必要条件.故选：A6.某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（）人A.220B.225C.580D.585【答案】C【分析】利用分层抽样比例一致得到相关方程，从而得解.【详解】依题意，设高三男生人数为n 人，则高三女生人数为()800n -人，由分层抽样可得8001180040n -=，解得580n =.故选：C.7.若0a b <<则（）A.22a b <B.2ab b < C.22a b> D.2a bb a+>【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质，以及指数函数的性质，基本不等式，即可判断选项.【详解】A.因为0a b <<，则a b >，则22a b >，故A 错误；B.因为0a b <<，所以2ab b >，故B 错误；C.2x y =在R 上单调递增，当0a b <<时，22a b <，故C 错误；D.因为0a b <<，所以b a 和a b都大于0，则2a b b a +≥=，当b aa b =时，即0a b =<时等号成立，所以“=”不能取到，所以2a b b a+>，故D 正确.故选：D8.已知函数()22log ,14,1x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数的定义区间，结合函数解析式，求函数值.【详解】函数()22log ,14,1x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则()1221422log 212f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C9.已知函数()2log 1f x x x =-+，则不等式()0f x <的解集是（）A.()0,1 B.()(),12,-∞+∞ C.()1,2 D.()()0,12,⋃+∞【答案】D【分析】由()0f x <可得2log 1x x <-，即1y x =-的图象在2log y x =图象的上方，画出2log ,1y x y x ==-图象，即可得出答案.【详解】因为()2log 1f x x x =-+的定义域为()0,∞+，因为()21log 1110f =-+=，()22log 2210f =-+=，由()0f x <可得2log 1x x <-，即1y x =-的图象在2log y x =图象的上方，画出2log ,1y x y x ==-的图象，如下图，由图可知：不等式()0f x <的解集是()()0,12,∞⋃+.故选：D .10.已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5,6A B = ，A B ⋂=∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为（）A.12B.10C.6D.5【答案】B 【解析】【分析】首先讨论集合,A B 中的元素个数，确定两个集合中的部分元素，再结合组合数公式，即可求解.【详解】若集合A 中只有1个元素，则集合B 只有5个元素，1A ∉，5B ∉，即5A ∈，1B ∈，此时有04C 1=个；若集合A 中只有2个元素，则集合B 只有4个元素，2A ∉，4B ∉，即4A ∈，2B ∈，此时有14C 4=个；若集合A 中只有3个元素，则集合B 只有3个元素，3A ∉，3B ∉，不满足题意；若集合A 中只有4个元素，则集合B 只有2个元素，4A ∉，2∉B ，即2A ∈，4B ∈，此时有34C 4=个；若集合A 中只有5个元素，则集合B 只有1个元素，5A ∉，1B ∉，即1A ∈，5∈B ，此时有44C 1=个；故有序集合对(),A B 的个数是144110+++=.故选：B第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.函数()1lg 2y x x=-+的定义域为______.【答案】(2,)+∞【解析】【分析】利用函数有意义列式求解即得.【详解】函数()1lg 2y x x=-+有意义，则20x ->且0x ≠，解得2x >，所以函数()1lg 2y x x=-+的定义域为(2,)+∞.故答案为：(2,)+∞12.已知()2240x x y x x++=>，则当x =______时，y 取得最小值为______.【答案】①.2②.6【解析】【分析】由基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，40x >，所以224422x x y x x x ++==++≥+426=+=，当且仅当4x x=，即2x =时取等，所以当2x =时，y 取得最小值为6.故答案为：2；6.13.不等式212xx ≤-的解集为__________.【答案】[)2,2-【解析】【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案.【详解】根据不等式212x x ≤-整理可得2102xx -≤-，即202x x +≤-，等价于()()22020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得22x -≤<；所以不等式212xx ≤-的解集为[)2,2-故答案为：[)2,2-14.写出一个值域为[)1,+∞的偶函数()f x =______.【答案】2x （答案不唯一）【解析】【分析】根据偶函数的性质，以及指数函数的性质，即可求解()f x 的解析式.【详解】设()2xf x =，函数的定义域为R ，且()()f x f x -=，即函数为偶函数，0x ≥，所以()21x f x =≥，即函数的值域为[)1,+∞,所以满足条件的一个函数()2xf x =.故答案为：2x15.已知函数()21,1,1x ax x f x ax x ⎧-++≤=⎨>⎩，（1）若0a =，则()f x 的最大值是______；（2）若()f x 存在最大值，则a 的取值范围为______.【答案】①.1②.(],0-∞【解析】【分析】（1）若0a =，则()21,10,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，由二次函数的性质可得出答案；（2）当0a =时，由（1）知，()f x 存在最大值，当0a ≠时，若()f x 存在最大值，()f x ax =在()1,∞+应单调递减，所以a<0，即可得出答案.【详解】（1）若0a =，则()21,10,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当1x ≤时，()f x =21x -+，所以()(],1f x ∞∈-，则()f x 的最大值是1.（2）当0a =时，由（1）知，()f x 存在最大值，当0a ≠时，若()f x 存在最大值，()f x ax =在()1,∞+应单调递减，所以a<0，且当1x >时，()0f x ax a =<<，无最大值，当1x ≤时，()f x =2221124a a x ax x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭，则()f x 在,2a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()f x 存在最大值为2124a af a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭.故a 的取值范围为：(],0-∞.故答案为：1；(],0-∞.三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知集合{}2340A x x x =-->，集合{}0B x a x =-≤（1）当2a =时，求A B ⋃；（2）若R B A ⋂≠∅ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{1A B x x ⋃=<-或2}x ≥；（2）4a ≤【解析】【分析】（1）分别求集合,A B ，再求A B ⋃；（2）根据（1）的结果，首先求R A ð，再根据集合的运算结果，求实数a 的取值范围.【小问1详解】当2a =时，{}2B x x =≥，2340x x -->，得>4x 或1x <-，即{1A x x =<-或4}x >，所以{1A B x x ⋃=<-或2}x ≥；【小问2详解】由（1）可知，{}R 14A x x =-≤≤ð，{}B x x a =≥，若R B A ⋂≠∅ð，则4a ≤.17.已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.（1）求丙投篮命中的概率；（2）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.【答案】（1）0.5（2）0.21（3）0.29【解析】【分析】（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件,,A B C ，根据独立事件概率公式，即可求解；（2）根据（1）的结果，根据公式()()()()P ABC P A P B P C =，即可求解；（3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解.【小问1详解】设甲投篮命中为事件A ，乙投篮命中为事件B ，丙投篮命中为事件C ，由题意可知，()0.6P A =，()0.3P B =，()()()0.35P BC P B P C ==，则()()10.7P B P B =-=，()0.350.50.7P C ==,所以丙投篮命中的概率为0.5；【小问2详解】甲和乙命中，丙不中为事件D ，则()P D =()()()()0.60.70.50.21P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，所以甲和乙命中，丙不中的概率为0.21；【小问3详解】甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件E ，则()()P E P ABC ABC ABC =++,()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++0.60.30.50.40.70.50.40.30.5=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.29=18.已知函数()322x mf x x -=+的图像过点()1,1．（1）求实数m 的值；（2）判断()f x 在区间(),1-∞-上的单调性，并用定义证明；【答案】（1）1m =-（2）()f x 在区间(),1-∞-上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）将()1,1代入解析式，得到m 的值；（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.【小问1详解】将点()1,1代入函数()322x m f x x -=+中，可得3122m-=+，解得1m =-．【小问2详解】单调递增，证明如下．由（1）可得()()()3123131222121x x f x x x x +-+===-+++，任取()12,1x x <∈-∞-，则()()121231312121f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=---⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()122112111111x x x x x x -=-=++++，因为()12,1x x <∈-∞-，则120x x -<，110x +<，210x +<，即()()12110x x ++>，所以()()1212011x x x x -<++，即()()12f x f x <，所以()f x 在区间(),1-∞-上单调递增．19.甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：甲队88919396乙队89949792（1）在4次比赛中，求甲队的平均得分；（2）分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率；（3）甲，乙两队得分数据的方差分别记为21S ，22S ，试判断21S 与22S 的大小（结论不要求证明）【答案】（1）92（2）516（3）2212S S =【解析】【分析】（1）根据平均数公式，即可求解；（2）利用列举样本空间的方法，结合古典概型概率公式，即可求解；（3）结合方差的定义和公式，即可判断.【小问1详解】设甲队的平均分为1x ，则188919396924x +++==所以甲队的平均分为92；【小问2详解】分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，有()()()()88,89,88,94,88,97,88,92,()()()()91,89,91,94,91,97,91,92,()()()()93,89,93,94,93,97,93,92,()()()()96,89,96,94,96,97,96,92，共包含16个基本事件，这2个比赛得分之差的绝对值为1包含()()()()()88,89,91,92,93,94,93,92,96,97，共5个基本事件，所以这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率516P =;【小问3详解】乙队的平均分为289949792934x +++==，则()()()()22222188929192939296928.54S -+-+-+-==,()()()()22222289939493979392938.54S -+-+-+-==2212S S =20.已知函数()e e x xf x a -=+，其中e 为自然对数的底数，R a ∈.（1）若0是函数()f x 的一个零点，求a 的值并判断函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 同时满足以下两个条件，求a 的取值范围.条件①：x ∀∈R ，都有()0f x >；条件②：[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤.【答案】20.1a =-；奇函数.21.[]0,4【解析】【分析】（1）由()00f =可求出1a =-；再由奇偶函数的定义即可判断；（2）条件①，x ∀∈R ，都有()0f x >，即2e x a -<在R 上恒成立，由2e 0x >，即可求出a 的取值范围，条件②，[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤，即()0024e e x x a ≤-，令0e x t =，由二次函数的性质即可得出答案，综合两个条件①②可得出a 的取值范围.【小问1详解】因为0是函数()f x 的一个零点，所以()000e e 10f a a =+=+=，解得：1a =-，所以()e e x x f x -=-，因为()f x 的定义域为R ，()()ee x xf x f x --=-=-，所以()f x 为奇函数.【小问2详解】条件①：x ∀∈R ，都有()0f x >，即e e 0x x a -+>，所以()2e 0e x x a+>，即()2e 0x a +>，则2e x a -<在R 上恒成立，因为2e 0x >，所以0a -≤，则0a ≥.故a 的取值范围为[)0,∞+.条件②：[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤，即00e e 4x x a -+≤，即()002e 4e 0x x a -+≤，即()0024e e x x a ≤-，令0e x t =，[]01,1x ∈-，则1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()()22424g t t t t =-=--+，1,e et ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2t =时，()()max 24g t g ==，所以4a ≤.若函数()f x 同时满足两个条件①②可得：故a 的取值范围为[]0,4.。
2024届山东省青岛市高一上数学期末综合测试试题含解析
注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
BD1 3 3 【点睛】考查了异面直线所成角的计算方法，关键得出直线 AD1 与 EF 所成角即为∠AD1B ，难度中等 12、 2 【解析】根据直线一般式，两直线平行则有 A1B2 A2B1 0 ，代入即可求解. 【详解】由题意，直线 x y 2 0 与直线 ax 2y 0 平行，
则有1 (2) 1 a 0 a 2 故答案为： 2
3
，
则反射光线所在直线方程 y 3 3 1 x 4 4 1
即： 4x 5y 1 0
故选 A 10、D 【解析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解.
【详解】方程 x2 (m 2)x 2m 1 0 对应的二次函数设为： f x x2 (m 2)x 2m 1
(m 2)2 42m 1 0 ，解得 m 6 2 7 ，
当 m 6 2 7 时，方程 x2 (m 2)x 2m 1 0 的根为 2 7 ，不合题意；
若 m 6 2 7 ，方程 x2 (m 2)x 2m 1 0 的根为 7 2 ，符合题意
综上：实数
m
的取值范围为
不一定有对任意 x R ， f x 0 ，所以 A 错误，
对于 B，当函数 y f x 的图像关于原点成中心对称，可知 f (x) f (x) ，函数 f (x) 为奇函数，所以 B 错误，
2022～2023学年高一年级数学上册期末备考模拟试卷(4)【含答案】
期末模拟试卷(4)一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．设全集=U R ，集合=−−A x x x {|20}2，=>B x lgx {|0}，则=A B ( ) A ．−x x {|12} B ．<x x {|12} C ．<<x x {|12} D ．−x x {|1}2．=A x x {|02}，=B y y {|12}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是A ．B ．C ．D ．3．单位圆上一点P 从(0,1)出发，逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为A ．−2(1B ．−2()1C ．−2(,1D ．2()14．不等式>+x 216|21|的解集为 A ．+∞2[,)3 B ．−∞−+∞22(,)(,)53C ．−∞−+∞22(,](,)53D ．−∞−2(,)55．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是 A ．415 B ．154 C ．815 D ．1206．设=a =b 0.90.8，=c log 0.80.9，则 A ．>>c a b B ．>>a c b C ．>>a b c D ．>>c b a7．已知函数=−−f x x x ()log (45)212，则函数f x ()的减区间是A ．−∞(,2)B ．+∞(2,)C ．+∞(5,)D ．−∞−(,1)8．已知实数>>x y 0，且+−+=x y 216111，则−x y 的最小值是 A ．21 B ．25 C ．29 D ．33二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求） 9．下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是 A ．∃∈x R ，x ||0B ．存在∈x R ，使得++=x x 102C ．至少有一个无理数x ，使得x 3是有理数D ．有的有理数没有倒数10．下列说法正确的是A ．若⋅>ααsin cos 0，则α为第一象限角B ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是−︒30C ．终边经过点≠a a a ,0)()(的角的集合是Z =+∈ααππk k 4,}{ D ．在一个半径为3cm 的圆上画一个圆心角为30°的扇形，则该扇形面积为πcm 23211．已知函数−=x f x ||2()1，则下列结论中正确的是A ．f x ()是偶函数B ．f x ()在−∞−(,2)上单调递增C ．f x ()的值域为RD ．当∈−x (2,2)时，f x ()有最大值12．如图所示，边长为2的正方形ABCD 中，O 为AD 的中点，点P 沿着→→→A B C D 的方向运动，设∠AOP 为x ，阴影部分的面积为f x ()，则下列说法中正确的是A ．f x ()在π2(，π)上为减函数B ．=πf 42()1C ．+−=πf x f x ()()4D ．f x ()图象的对称轴是=πx 2三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13．求值：2617sin cos()34ππ+−= ．14．已知幂函数2()(57)m f x m m x =−+是R 上的增函数，则m 的值为 ．15．若“13x <<”的必要不充分条件是“22a x a −<<+”，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数{25,2()(2),2x x f x xlg x x −−=+>−，若方程()1f x =的实根在区间(k ，1)()k k Z +∈上， 则k 的所有可能值是 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分。
(完整版)高一上学期期末数学试卷(含答案)
高一上学期期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∪B=（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3）2．（5分）设，则tan（π+x）等于（）A．0B．C．1D．3．（5分）函数y=log3（x﹣1）+的定义域为（）A．（1，2]B．（1，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）4．（5分）已知函数y=f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表x123456y124.435﹣7414.5﹣56.7﹣123.6则函数y=f（x）在区间上的零点至少有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．（5分）角α满足条件sinα•cosα＞0，sinα+cosα＜0，则α在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（5分）如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则下列说法中错误说法的个数是（）①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个（不含本身）②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个（不含本身）③的长度恰为长度的倍④与不共线．A．4B．3C．1D．07．（5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x﹣1B．﹣x+1C．x+1D．x﹣18．（5分）把函数y=cos（x+π）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得到的函数图象正好关于y轴对称，则φ的最小值为（）A ．πB ．πC．D ．π9．（5分）函数y=a x ﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=，若对任意x x≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B ．（，1）C．（1，2）D．（﹣1，2）二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知函数f（x）=，则f（0）+f（1）=．12．（4分）如果角α的终边过点（2sin30°，﹣2cos30°），则sinα的值等于．13．（4分）设a=log33，b=log43，c=，则a，b，c之间的大小关系是．14．（4分）已知表示“向东方向航行1km”，表示“向南方向航行1km”，则﹣表示“”15．（4分）当0＜x ＜时，函数f（x）=的最大值是．三、解答题16．（8分）已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m﹣1≤x≤m+1}（1）若m=5，求A∩B（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．17．（8分）已知=（6，1），=（x，8），=（﹣2，﹣3）（1）若，求x的值（2）若x=﹣5，求证：．18．（10分）某桶装水经营部每天的房租、员工工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售价格/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240（1）设经营部在进价基础上增加x元进行销售，则此时的日均销售量为多少桶？（2）在（1）中，设日均销售净利润（除去固定成本）为y元，试求y的最大值及其对应的销售单价．19．（10分）设=（1，），=（cos2x，sin2x），f（x）=2（1）求函数f（x）的单调递增区间（2）若x，求函数f（x）的最大值、最小值及其对应的x的值．20．（14分）若函数f（x）在定义域D内某区间1上是增函数，而F（x）=在1上是减函数，则称寒素y=f（x）在1上是“弱增函数”（1）请分析判断函数f（x）=x﹣4，g（x）=﹣x2+4x在区间（1，2）上是否是“弱增函数”，并简要说明理由（2）若函数h（x）=x2﹣（sinθ﹣）x﹣b（θ，b是常数），在（0，1]上是“弱增函数”，请求出θ及b应满足的条件．高一上学期期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∪B=（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3）考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集的运算法则求解即可．解答：解：集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∪B={x|﹣4＜x＜3}∪{x|x≤2}={x|x＜3}，故选：D．点评：本题考查集合的并集的求法，考查并集的定义以及计算能力．2．（5分）设，则tan（π+x）等于（）A．0B．C．1D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：先利用诱导公式化简tan（π+x），将x的值代入，求出正切值．解答：解：∵tan（π+x）=tanx∴时，tan（π+x）=tan=故选B．点评：给角的值求三角函数值时，应该先利用诱导公式化简三角函数，在将x的值代入求出值．3．（5分）函数y=log3（x﹣1）+的定义域为（）A．（1，2]B．（1，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，求解x的取值集合得答案．解答：解：由，解得：1＜x≤2．∴函数y=log3（x﹣1）+的定义域为（1，2]．故选：A．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．4．（5分）已知函数y=f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表x123456y124.435﹣7414.5﹣56.7﹣123.6则函数y=f（x）在区间上的零点至少有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：根据根的存在定理，判断函数值的符号，然后判断函数零点个数即可．解答：解：依题意，∵f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，∴根据根的存在性定理可知，在区间（2，3）和（3，4）及（4，5）内至少含有一个零点，故函数在区间上的零点至少有3个，故选B．点评：本题主要考查函数零点个数的判断，用二分法判断函数的零点的方法，比较基础．5．（5分）角α满足条件sinα•cosα＞0，sinα+cosα＜0，则α在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的图像与性质．分析：sinα•cosα＞0得到sinα和cosα同号；再结合sinα+cosα＜0即可得到sinα＜0，cosα＜0；进而得到结论．解答：解：因为sinα•cosα＞0∴sinα和cosα同号．又∵sinα+cosα＜0∴sinα＜0，cosα＜0．即α的正弦和余弦值均为负值．故α的终边在第三象限．故选：C．点评：本题主要考查三角函数值的符号和象限角．是对基础知识的考查，要想做对，需要熟练掌握三角函数值的符号的分布规律．6．（5分）如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则下列说法中错误说法的个数是（）①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个（不含本身）②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个（不含本身）③的长度恰为长度的倍④与不共线．A．4B．3C．1D．0考点：命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：①利用向量相等与菱形的性质即可判断出正误；②利用菱形的性质、模相等的定义即可判断出正误；③利用菱形的性质、直角三角形的边角关系即可判断出正误．④利用向量共线定理即可判断出与共线，即可判断出正误．解答：解：①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个，（不含本身），正确；②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个，，，（不含本身），正确；③利用菱形的性质、直角三角形的边角关系可得：的长度恰为长度的倍，正确．④与共线，因此不正确．因此说法中错误说法的个数是1．故选：C．点评：本题考查了向量相等、菱形的性质、模相等的定义、直角三角形的边角关系、向量共线定理、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题．7．（5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x﹣1B．﹣x+1C．x+1D．x﹣1考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，x＜0时，﹣x＞0，求出f（﹣x）的表达式，再利用奇函数求出f（x）的表达式．解答：解：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，且x＞0时，f（x）=﹣x+1，∴当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）+1=x+1；又f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=x+1，∴f（x）=﹣x﹣1．故选：A．点评：本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的应用问题，是基础题目．8．（5分）把函数y=cos（x+π）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得到的函数图象正好关于y轴对称，则φ的最小值为（）A ．πB．πC．D ．π考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．解答：解：把函数y=cos（x+π）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得到的函数图象对应的函数的解析式为y=cos（x﹣φ+），由于所得图象正好关于y轴对称，则﹣φ+=kπ，k∈z，即φ=﹣kπ，故φ的最小值为，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．（5分）函数y=a x ﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．解答：解：函数y=a x ﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x 的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x ﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x ﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．点评：本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=，若对任意x x≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（，1）C．（1，2）D．（﹣1，2）考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由条件可得，f（x）在R上是单调递减函数，则0＜a＜1①，a﹣2＜0，即a＜2②，a0≥（a﹣2）×0+2a③，求出它们的交集即可．解答：解：由于对任意x1≠x2，都有＜0成立，则f（x）在R上是单调递减函数，当x＜0时，y=a x为减，则0＜a＜1；①当x≥0时，y=（a﹣2）x+5a为减，则a﹣2＜0，即a＜2；②由于f（x）在R上是单调递减函数，则a0≥（a﹣2）×0+2a，解得a ≤．③由①②③得，0＜a ≤．故选A．点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数的单调性，注意各段的单调性，以及分界点的情况，属于中档题和易错题．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知函数f（x）=，则f（0）+f（1）=1．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数，化简求解函数值即可．解答：解：函数f（x）=，则f（0）+f（1）=（0﹣1）+（1+1）=1；故答案为：1．点评：本题考查分段函数以及函数值的求法，考查计算能力．12．（4分）如果角α的终边过点（2sin30°，﹣2cos30°），则sinα的值等于．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：先利用角α的终边求得tanα的值，进而利用点（2sin30°，﹣2cos30°）判断出α的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值．解答：解：依题意可知tanα==﹣∵，﹣2cos30°＜0，2sin30°＞0∴α属于第四象限角∴sinα=﹣=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用．解题的关键是利用α的范围确定sinα的正负．13．（4分）设a=log33，b=log43，c=，则a，b，c之间的大小关系是c＜b＜a．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数的性质进行计算即可．解答：解：∵=＜＜1=；∴c＜b＜a，故答案为：c＜b＜a．点评：本题考查了对数函数的性质，是一道基础题．14．（4分）已知表示“向东方向航行1km”，表示“向南方向航行1km”，则﹣表示“向东北方向航行km；”考点：向量的几何表示．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量表示的几何意义，画出图形，进行解答即可．解答：解：∵表示“向东方向航行1km”，表示“向南方向航行1km”，∴﹣表示“向北方向航行1km”，∴﹣表示“向东北方向航行km”如图所示．故答案为：向东北方向航行km．点评：本题考查了平面向量的几何意义，是基础题目．15．（4分）当0＜x ＜时，函数f（x）=的最大值是﹣．考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据1的代换，利用换元法将函数进行转化，利用一元二次函数的性质进行求解．解答：解：f（x）===tanx﹣（tanx）2﹣1，设t=tanx，∵0＜x ＜，∴0＜tanx＜1，即0＜t＜1，则函数f（x）等价为y=﹣t2+t﹣1=﹣（t ﹣）2﹣，∴当t=时，函数取得最大﹣，故答案为：﹣点评：本题主要考查函数最值的求解，根据条件利用换元法结合一元二次函数的单调性的性质是解决本题的关键．三、解答题16．（8分）已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m﹣1≤x≤m+1}（1）若m=5，求A∩B（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．考点：交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）若m=5，求出集合B，即可求A∩B（2）若B⊆A，根据集合关系即可求实数m的取值范围．解答：解：（1）因为m=5，所以B={x|4≤x≤6}．…（1分）所以A∩B={x|4≤x≤6}…（3分）（2）易知B≠∅，…（4分）所以由B⊆A 得…（7分）得﹣1≤m≤4…（8分）点评：本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．17．（8分）已知=（6，1），=（x，8），=（﹣2，﹣3）（1）若，求x的值（2）若x=﹣5，求证：．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：（1）由可得﹣3x=﹣2×8，解方程可得；（2）当x=﹣5时，可得的坐标，可得=0，可判垂直．解答：解：（1）∵=（x，8），=（﹣2，﹣3）又∵，∴﹣3x=﹣2×8，解得x=（2）当x=﹣5时，=++=（4+x，6）=（﹣1，6），∵=（6，1），∴=﹣1×6+6×1=0∴．点评：本题考查数量积与向量的垂直关系和平行关系，属基础题．18．（10分）某桶装水经营部每天的房租、员工工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售价格/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240（1）设经营部在进价基础上增加x元进行销售，则此时的日均销售量为多少桶？（2）在（1）中，设日均销售净利润（除去固定成本）为y元，试求y的最大值及其对应的销售单价．考点：根据实际问题选择函数类型．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用表格的特征变化规律，推出关系式，即可在经营部在进价基础上增加x元进行销售，求出此时的日均销售量的桶数．（2）在（1）中，设日均销售净利润（除去固定成本）为y元，求出函数的解析式，利用二次函数的最值求解最大值及其对应的销售单价．解答：解：（1）由表可以看出，当销售单价每增加1元时，日均销售量将减少40桶．…（2分）当经营部在进价基础上增加x元进行销售时，此时的日均销售量为：480﹣40（x﹣1）=520﹣40x（桶）…（5分）（2）因为x＞0，且520﹣40x＞0，所以0＜x＜13…（6分）所以y=（520﹣40x）x﹣200=﹣40x2+520x﹣200，0＜x＜13．…（8分）易知，当x=6.5时，y有最大值1490元．即只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大净利润1490元．…（10分）（本题改编自教科书104页例5）点评：本题考查函数的最值，实际问题的应用，考查分析问题解决问题的能力．19．（10分）设=（1，），=（cos2x，sin2x），f（x）=2（1）求函数f（x）的单调递增区间（2）若x，求函数f（x）的最大值、最小值及其对应的x的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由两角和与差的正弦函数公式化简可得f（x）=4sin（2x+），由2k≤2x+≤2k（k∈Z）可解得函数f（x）的单调递增区间．（2）由x，可得2x+∈，由正弦函数的图象和性质即可求函数f（x）的最大值、最小值及其对应的x的值．解答：解：（1）f（x）=2（cos2x+sin2x）=4（cos2x+sin2x）=4sin（2x+）…（3分）由2k≤2x+≤2k（k∈Z）可解得：kπ﹣≤x≤k π（k∈Z）故函数f（x）的单调递增区间是：（k∈Z）…（5分）（2）∵x，∴2x+∈，…（6分）∴当x=时，函数f（x）的最大值为4…（8分）当x=时，函数f（x）的最大值为﹣2…（10分）点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．20．（14分）若函数f（x）在定义域D内某区间1上是增函数，而F（x）=在1上是减函数，则称寒素y=f（x）在1上是“弱增函数”（1）请分析判断函数f（x）=x﹣4，g（x）=﹣x2+4x在区间（1，2）上是否是“弱增函数”，并简要说明理由（2）若函数h（x）=x2﹣（sinθ﹣）x﹣b（θ，b是常数），在（0，1]上是“弱增函数”，请求出θ及b应满足的条件．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；三角函数的图像与性质．分析：（1）根据“弱增函数”的定义，判断f（x）、g（x）在（1，2）上是否满足条件即可；（2）根据“弱增函数”的定义，得出①h（x）在（0，1）上是增函数，在（0，1）上是减函数，列出不等式组，求出b与θ的取值范围．解答：解：（1）由于f（x）=x﹣4在（1，2）上是增函数，且F（x）==1﹣在（1，2）上也是增函数，所以f（x）=x﹣4在（1，2）上不是“弱增函数”…（2分）g（x）=﹣x2+4x在（1，2）上是增函数，但=﹣x+4在（1，2）上是减函数，所以g（x）=﹣x2+4x在（1，2）上是“弱增函数”…（4分）（2）设h（x）=x2﹣（sinθ﹣）x﹣b（θ、b是常数）在（0，1）上是“弱增函数”，则①h（x）=x2﹣（sinθ﹣）x﹣b在（0，1）上是增函数，由h（x）=x2﹣（sinθ﹣）x﹣b在（0，1）上是增函数得≤0，…（6分）∴sin θ≤，θ∈（k∈Z）；…（8分）②H（x）==x ﹣+﹣sinθ在（0，1）上是减函数，记G（x）=x﹣，在（0，1）上任取0＜x1＜x2≤1，则G（x1）﹣G（x2）=（x1x2+b）＞0恒成立，…（11分）又∵＜0，∴x1x2+b＜0恒成立，而当0＜x1＜x2≤1时，0＜x1x2＜1，∴b≤﹣1；（如果直接利用双沟函数的结论扣2分）∴b≤﹣1；且θ∈（k∈Z）时，h （x）在（0，1]上是“弱增函数”．…（14分）点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与导数的应用问题，考查了新定义的应用问题，考查了分析与解决问题的能力，是综合性题目．。
2019-2020学年陕西省西安市高新一中高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年陕西省西安市高新一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
）1．（4分）已知集合M＝{1，2，a}，N＝{b，2}，M∩N＝{2，3}，则M∪N＝（）A．{1，3}B．{2，3}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（4分）若函数y＝x2+2x+2在闭区间[m，1]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，+∞）C．[﹣3，0]D．[﹣3，﹣1] 3．（4分）已知α为第二象限角，sinα+cosα＝，则cos2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣4．（4分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，﹣5．（4分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且在（﹣∞，0）单调递减，则三个数：a＝f （0.60.5），b＝f（log0.60.5），c＝f（0.50.6）之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c6．（4分）将函数y＝sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（）A．B．C．（）D．（）7．（4分）函数y＝2sin（﹣2x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．8．（4分）幂函数y＝x a，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A（1，0），B（0，1），连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y ＝x a，y＝x b的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a﹣＝（）A．0B．1C．D．29．（4分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若有且仅有两个不同的实数x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝f（x2）＝2．则实数ω的值不可能为（）A．πB．3πC．πD．π10．（4分）已知函数y＝sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x＝1对称，则sin2φ＝（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2022-2023学年河南省郑州一中高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年河南省郑州一中高一（上）期末数学试卷1. 若集合A={x|x>1}，B={x|x2−2x−3≤0}，则A∩B=( )A. (1,3]B. [1,3]C. [−1,1)D. [−1,+∞)2. sin20∘cos40∘+sin70∘sin40∘=( )A. 14B. √34C. 12D. √323. 设函数f(x)={g(x)+2,x>0log2(1−x),x≤0，若f(x)是奇函数，则g(3)的值是( )A. 2B. −2C. 4D. −44. 函数f(x)=(4−x2)ln|−x|的图象是( )A. B.C. D.5. 已知a=log23，b=2−0.4，c=0.52.1，则a，b，c的大小关系为( )A. a<b<cB. a<c<bC. c<b<aD. c<a<b6. 下列命题中正确的个数是( )①命题“∃x∈R，x2+1<0”的否定是“∀x∈R，x2+1≥0”；②函数f(x)=9x−lgx的零点所在区间是(9,10)；③若α+β=3π4，则tanα+tanβ−tanαtanβ=1；④命题p：x≥3，命题q：2x−1≤1，命题p是命题q的充要条件．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. “不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海．”，每天进步一点点，前进不止一小点．今日距离高考还有936天，我们可以把(1+1%)936看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是1.01936≈11086.79；而把(1−1%)936看作是每天“退步”率都是1%.高考时是0.99936≈0.000082.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过天(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956)( )A. 200天B. 210天C. 220天D. 230天8. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的最小正周期为2，且函数图像过点(13,1)，若f(x)在区间[−2,a]内有4个零点，则a的取值范围为( )A. [116,176) B. (116,176] C. [176,236) D. (176,236]9. 下列命题中正确的是( )A. 存在实数α，使sinα⋅cosα=1B. 函数y=sin(3π2+x)是偶函数C. 若α是第一象限角，则α2是第一象限或第三象限角D. 若α，β是第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 2a+b=0B. 4a+2b+c<0C. 9a+3b+c<0D. abc<011. 已知a，b为正数，a+b+ab=8，则下列说法正确的是( )A. log ab(a+b)>1B. 1a +1b的最小值为1C. 2a+2b的最小值为8D. a+2b的最小值为6√2−312. 设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x)=f(2−x)，f(−x)=−f(x−2)，当x∈(−1,1]时，f(x)=−x2+1.则下列说法正确的是( )A. f(2022)=1B. 当x∈[4,6]时，f(x)的取值范围为[−1,0]C. y=f(x−1)为奇函数D. 方程f(x)=log9(x+1)仅有3个不同实数解13. 点A(sin1919∘,cos1919∘)是第______象限角终边上的点．14. 函数y =a x−2+7的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f(x)的图象上，则f(x)=______.15. 将函数y =3sin(x +π12)的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，得到函数y =f(x)的图象，若方程f(x)=k 在x ∈[0,11π3]上有且仅有两个实数根，则k 的取值范围为______.16. 已知a ∈R ，b >0，若存在实数x ∈[0,1),使得|ax −2b|≤a −2bx 2成立，则ab 的取值范围为______.17. 设全集U =R ，集合A ={x|4−xx+1>0}，集合B ={x|x 2−2ax +a 2−1<0}，其中a ∈R.(1)当a =4时，求∁U A ∩B ；(2)若x ∈∁U A 是x ∈∁U B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点P(−35,45)，角α的终边逆时针旋转π4得到角β的终边． (1)求tanβ的值； (2)求cos(α+β)的值．19. 已知函数f(x)=log 3x.(1)设函数g(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，g(x)=f(x)，求函数g(x)的解析式； (2)已知集合A ={x|3log 32x −20log 9x +3≤0}.①求集合A；②当x∈A时，函数ℎ(x)=f(x3a )⋅f(x9)的最小值为−2，求实数a的值．20. 已知f(x)=4cosωx⋅sin(ωx−π6)+1(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π.(1)求关于x的不等式f(x)>1的解集；(2)求f(x)在[0,π]上的单调区间．21. 某城市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)=10+kx(k为常数，且k>0)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如表所示：(1)给出以下四个函数模型：①Q(x)=ax+b；②Q(x)=a|x−m|+b；③Q(x)=a⋅b x；④Q(x)=a⋅log b x.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；(2)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位：元)，求f(x)的最小值．22. 已知函数f(x)=x2−2x−a2+2a，(a∈R)，集合A={x|f(x)≤0}.(1)若集合A中有且仅有3个整数，求实数a的取值范围；(2)集合B={x|f(f(x)+b)≤0}，若存在实数a≤1，使得A⊆B，求实数b的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A ={x|x >1}，B ={x|−1≤x ≤3}，∴A ∩B =(1,3].故选：A.可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：sin20∘cos40∘+sin70∘sin40∘=sin20∘cos40∘+cos20∘sin40∘=sin(20∘+40∘)=sin60∘=√32，故选：D.由两角和的正弦公式，结合诱导公式求解即可．本题考查了两角和的正弦公式，重点考查了诱导公式，属基础题．3.【答案】D【解析】解：函数f(x)={g(x)+2,x >0log 2(1−x),x ≤0，若f(x)是奇函数，则f(3)=g(3)+2=−f(−3)=−log 2(1+3)=−2， 可得g(3)=−4， 故选：D.由奇函数的定义和对数的运算性质可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)=(4−x 2)ln|−x|，其定义域为{x|x ≠0}， 有f(−x)=(4−x 2)ln|−x|=f(x)，则函数f(x)为偶函数，排除AD ， 在区间(0,1)上，4−x 2>0，ln|−x|=lnx <0，则f(x)<0，排除C ， 故选：B.根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AD ，再分析区间(0,1)上，函数的符号，排除C ，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：a =log 23>log 22=1，∵b =2−0.4=0.50.4，y =0.5x 在R 上单调递减， ∴b =0.50.4>0.52.1=c ， ∵0<b <1，0<c <1，∴a >b >c.故选：C.根据已知条件，结合对数函数的公式，以及指数函数的单调性，即可求解． 本题主要考查对数函数的公式，以及指数函数的单调性，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：①，特称命题的否定为全称命题，命题“∃x ∈R ，x 2+1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≥0”正确；②，函数f(x)=9x−lgx 在(0,+∞)上单调递减，又f(9)=1−lg9>0,f(10)=910−1=−110<0，则f(9)f(10)<0，由函数零点存在性定理可知，函数f(x)在(9,10)上存在零点，正确； ③，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−1，则tanα+tanβ−tanαtanβ=−1，错误； ④，由2x−1≤1，可得2−(x−1)x−1≤0，即x−3x−1≥0，解得x <1或x ≥3，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件，错误． 故选：B.根据特称命题的否定为全称命题可判断选项A ；根据函数零点存在性定理可判断选项B ；由正切的和角公式可判断选项C ；由充要条件的定义可判断选项D.本题主要考查命题的真假判断，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：设经过x 天后，“进步”的值是“退步”的值的100倍，则1.01x 0.99x=100，即x =log 1.010.99100=2lg1.01−lg0.99=2lg101−lg99≈230天．故选：D.由题设有1.01x0.99x=100，应用指对数互化及对数的运算性质求x 值即可．本题考查指对数的运算，考查分析问题解决问题以及运算求解能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由最小正周期T=2=2πω，可得ω=π.因为函数f(x)图象过点(13,1)，所以sin(π3+φ)=1，所以π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，因为|φ|<π，所以k=0时，φ=π6，所以f(x)=sin(πx+π6).当x∈[−2,a]时，πx+π6∈[−2π+π6,πa+π6]，因为f(x)在[−2,a]内有4个零点，所以2π≤πa+π6<3π，所以116≤a<176，所以a的取值范围为[116,17 6).故选：A.由三角函数的周期公式和f(13)=1，可得ω，φ的值，进而得到f(x)的解析式，再结合f(x)在区间[−2,a]内有4个零点，得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围即可．本题考查正弦函数的图象和性质的应用，考查转化思想和方程思想，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：对于A，由sinα⋅cosα=1，得12sin2α=1，即sin2α=2>1，故错误；对于B，函数y=sin(3π2+x)=−cosx是偶函数，故正确；对于C，若α是第一象限的角，则2kπ<α<2kπ+π2，k∈Z，则kπ<a2<kπ+π4，可得α2是第一象限或第三象限角，故正确；对于D，若α=390∘，β=30∘，满足条件α，β是第一象限角，且α>β，但sinα=sinβ，故错误．故选：BC.对于A，利用二倍角的正弦公式及正弦函数的性质即可求解；对于B，利用诱导公式，余弦函数的性质即可求解；对于C，根据象限角的概念即可求解；对于D，取特例，若α=390∘，β=30∘，满足条件，但sinα=sinβ，即可判断得解．本题主要考查了二倍角的正弦公式，正弦函数的性质，诱导公式，余弦函数的性质，象限角的概念，属于中档题．10.【答案】ACD【解析】解：由图象知，抛物线开口向下，所以a <0，令x =0，则y =c >0， 二次函数的对称轴为x =−b 2a=1，所以2a +b =0，故A 正确；因为对称轴为x =1，所以x =2与x =0对应的函数值相等，由图可得x =0时，y >0，则x =2时，则y =4a +2b +c >0，故B 错误； 因为对称轴为x =1，所以x =−1与x =3对应的函数值相等，由图可得x =−1时，y <0，则x =3时，y =9a +3b +c <0，故C 正确； 因为x =−b2a =1，a <0，所以b >0，则abc <0，故D 正确； 故选：ACD.通过图象开口向下可得a <0，可判断抛物线与y 轴的交点纵坐标为c >0，抛物线对称轴为x =−b 2a=1，进而得到b >0以及ab 的关系式，即可判断A ；根据对称轴以及二次函数对称性可判断B ，C ，本题考查了抛物线与轴的交点，关键是对二次函数性质和特殊值法的应用，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：因为a +b =8−ab ≥2√ab ，解得0<ab ≤4， 且ab =8−(a +b)≤(a+b 2)2，解得a +b ≥4，当且仅当a =b 时取等号，A ：log ab (a +b)−1=log ab a+b ab=log ab (8ab−1)≥log ab 1=0，当且仅当a =b =2时取等号，所以log ab (a +b)≥1，故A 错误， B ：1a+1b=a+b ab=8ab−1≥1，当且仅当a =b =2时取等号，故B 正确，C ：2a +2b ≥2√2a ⋅2b =2√2a+b ≥2√24=8，当且仅当a =b =2时取等号，故C 正确，D ：由已知可得a =8−b1+b，则a +2b =8−b1+b+2b =2b 2+b+81+b=2(1+b)2−3(1+b)+91+b=2(1+b)+91+b−3≥2√2(1+b)⋅91+b −3=6√2−3， 当且仅当b =3√22−1，a =3√2−1时取等号，故D 正确，故选：BCD.利用基本不等式求出0<ab ≤4，a +b ≥4，然后根据基本不等式以及统一变量思想对各个选项逐个化简即可判断求解．本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：因为f(−x)=−f(x −2)，所以f(x)=−f(−x −2)，因为f(x)=f(2−x)，故f(2−x)=−f(−x −2)，所以f[2−(2−x)]=−f[−(2−x)−2]，即f(x)=−f(x−4)，所以f(x−4)=−f(x−8)，所以f(x)=f(x−8)，所以y=f(x)的周期为8，因为2022=8×252+6，所以f(2022)=f(6)，因为f(x)=f(2−x)，f(−x)=−f(x−2)，所以f(6)=f(2−6)=f(−4)=−f(4−2)=−f(2)=−f(2−2)=−f(0)，因为x∈(−1,1]时，f(x)=−x2+1，所以f(0)=−02+1=1，故f(6)=−f(0)=−1，A错误；当x∈[4,5]，x−4∈[0,1]，所以f(x)=−f(x−4)=−[−(x−4)2+1]=(x−4)2−1∈[−1,0]，当x∈(5,6],2−x∈[−4,−3)，2−x+4=6−x∈[0,1),所以f(x)=f(2−x)=−f(2−x+4)=−f(6−x)=−[−(6−x)2+1]=(x−6)2−1∈[−1,0),综上：当x∈[4,6]时，f(x)的取值范围为[−1,0]，B正确；因为f(−x)=−f(x−2)，所以f(x)关于(−1,0)对称，故y=f(x−1)关于原点中心对称，所以y=f(x−1)为奇函数，C正确；画出y=f(x)与g(x)=log9(x+1)的图象，如下：显然两函数图象共有4个交点，其中x4=8，所以方程f(x)=log9(x+1)仅有4个不同实数解，D错误．故选：BC.根据f(x)=f(2−x)，f(−x)=−f(x−2)，推导出f(x)=f(x−8)，所以y=f(x)的周期为8，可判断A；根据函数性质求出x∈[4,5]，f(x)=(x−4)2−1∈[−1,0]，当x∈(5,6]时，f(x)=(x−6)2−1∈[−1,0),从而确定f(x)的取值范围，可判断B；根据f(−x)=−f(x−2)得到f(x)关于(−1,0)中心对称，从而y=f(x−1)关于原点中心对称，即y=f(x−1)为奇函数，可判断C；画出y=f(x)与g(x)=log9(x+1)的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程f(x)=log9(x+ 1)的根的个数，可判断D.本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性的判断，方程根的个数问题，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】四【解析】解：∵1919∘=3×360∘+119∘为第二象限的角，∴sin1919∘>0，cos1919∘<0，A(sin1919∘,cos1919∘)是第四象限角终边上的点，故答案为：四．利用诱导公式可得1919∘为第二象限的角，从而可得点A 的坐标的符号，进而可得答案． 本题考查诱导公式、象限角及三角函数符号的确定，属于基础题．14.【答案】x 3【解析】解：对于函数函数y =a x−2+7，当x =2时，y =8， 所以A(2,8)，设f(x)=x α，把点A 的坐标代入该幂函数的解析式中，8=2α⇒α=3⇒f(x)=x 3， 故答案为：x 3.根据指数幂的运算性质，结合待定系数法进行求解即可． 本题主要考查了幂函数解析式的求解，属于基础题．15.【答案】[−3,0]∪[32,3]【解析】解：根据题意可得f(x)=3sin[12(x +π6)+π12]=3sin(12x +π6)，作出函数f(x)在[0,11π3]上的图象，如下：f(0)=32，f(11π3)=0，f(x)max =3，f(x)min =−3，因为方程f(x)=k 在x ∈[0,11π3]上有且仅有两个实数根，所以32≤k ≤3或−3≤k ≤0， 所以k 的取值范围为[−3,0]∪[32,3].根据题意可得f(x)=3sin(12x +π6)，作出函数f(x)在[0,11π3]上的图象，若方程f(x)=k 在x ∈[0,11π3]上有且仅有两个实数根，则函数y =f(x)与y =k 有且只有两个交点，即可得出答案．本题考查函数与方程的关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．16.【答案】[4√2−4,+∞)【解析】解：由于b >0，故不等式两边同时除以b ，得|ab x −2|≤ab −2x 2，令ab =t,(t ∈R)， 即不等式|tx −2|≤t −2x 2在x ∈[0,1)上有解，去掉绝对值即得2x 2−t ≤tx −2≤t −2x 2，即{2x 2−t ≤tx −2tx −2≤t −2x 2，即{t ≥2x 2+2x+1t ≥2x 2−21−x=−2x −2在x ∈[0,1)上有解， 设f(x)=2x 2+2x+1,g(x)=−2x −2，x ∈[0,1),即t ≥f(x)min ，且t ≥g(x)min 即可．因为x ∈[0,1),所以x +1∈[1,2),2x+2∈(1,2],由f(x)=2x 2+2x+1=2[(x+1)2+2−2(x+1)]x+1=2[(x +1)+2(x+1)−2]≥2[2⋅√(x +1)⋅2(x+1)−2]=4√2−4， 当且仅当x +1=2x+1，即x =√2−1∈[0,1)时，等号成立，故f(x)≥4√2−4，即f(x)min =4√2−4，故t ≥4√2−4，由g(x)=−2x −2在x ∈[0,1)上，−4<−2x −2≤−2，即g(x)∈(−4,−2],故t ≥−2， 综上，t 的取值范围为[4√2−4,+∞),即ab 的取值范围为[4√2−4,+∞). 故答案为：[4√2−4,+∞).根据已知条件及不等式的性质，利用绝对值不等式的等价条件，再将不等式成立问题转化为函数的最值问题，结合基本不等式及一次函数的性质即可求解．本题主要考查函数恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题可得A =(−1,4)，∴∁U A =(−∞,−1]∪[4,+∞)，又当a =4时，B ={x|x 2−8x +15<0}=(3,5)， ∴∁U A ∩B =[4,5)；(2)∵x ∈∁U A 是x ∈∁U B 的充分不必要条件， ∴∁U A ⫋∁U B ，∵B ={x|x 2−2ax +a 2−1<0}={x|a −1<x <a +1}， ∴∁U B =(−∞,a −1]∪[a +1,+∞)， ∴{−1≤a −14≥a +1，解得0≤a ≤3，∴a 的取值范围为[0,3].【解析】(1)先化简，再运算即可得解；(2)由题意可得∁U A ⫋∁U B ，从而建立a 的不等式组，解不等式组即可得解． 本题考查集合的基本运算，充分与必要条件的概念，属基础题．18.【答案】解：(1)由α的终边过点P(−35,45)，可得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，将角α的终边逆时针旋转π4得到角β的终边， 则tanβ=tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=1−431+43=−17；(2)因为sinβ=sin(α+π4)=√22(sinα+cosα)=√210，cosβ=cos(α+π4)=√22(cosα−sinα)=−7√210，所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=(−35)×(−7√210)−45×√210=17√250. 【解析】(1)由任意角三角函数的定义和两角和的正切公式，求解即可；(2)由两角和的正弦公式、余弦公式，结合cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ求解即可． 本题考查任意角三角函数的定义和两角和的正弦公式、余弦公式和正切公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)因为函数f(x)=log 3x ，当x >0时，g(x)=f(x)=log 3x ，x <0时，−x >0，g(−x)=log 3(−x)；又因为g(x)为R 上的奇函数，所以g(−x)=−g(x)，g(x)=−g(−x)=−log 3(−x)， 综上，函数g(x)的解析式为g(x)={log 3x,x >00,x =0−log 3(−x),x <0；(2)①不等式3log 32x −20log 9x +3≤0可化为3log 32x −10log 3x +3≤0，即(3log 3x −1)(log 3x −3)≤0， 解得13≤log 3x ≤3， 即√33≤x ≤27， 所以集合A =[√33,27]；②因为函数ℎ(x)=f(x 3a )⋅f(x 9)=log 3(x 3a )⋅log 3(x 9)=(log 3x −a)(log 3x −2)=log 32x −(a +2)log 3x +2a ，设t =log 3x ，则t ∈[13,3]，所以函数ℎ(x)化为s(t)=t 2−(a +2)t +2a =[t −a+22]2−(a−2)24，当a+22≤13，即a ≤−43时，函数s(t)在[13,3]上是增函数，所以ℎ(x)的最小值为s(t)min =s(13)=53a −59=−2，解得a =−1315(不合题意，舍去)； 当a+22≥3，即a ≥4时，函数s(t)在[13,3]上是减函数，所以ℎ(x)的最小值为s(t)min =s(3)=3−a =−2，解得a =5；当13<a+22<3，即−43<a <3时，函数s(t)在[13,3]上有最小值s(a+22)， 所以ℎ(x)的最小值为s(t)min =s(a+22)=−(a+2)24=−2，解得a =2−2√2或a =2+2√2(不合题意，舍去)； 综上，实数a 的值为2−2√2或5.【解析】(1)根据当x >0时g(x)=f(x)，求出x <0时g(x)的解析式，再根据奇函数的定义写出函数g(x)的解析式；(2)①不等式化为3log 32x −10log 3x +3≤0，求不等式的解集即可得出集合A ；②化函数ℎ(x)=log 32x −(a +2)log 3x +2a ，利用换元法设t =log 3x ，根据二次函数的图象与性质求出ℎ(x)的最小值，即可求得实数a 的值．本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了分类讨论思想与运算求解能力，是难题．20.【答案】解：(1)f(x)=4cosωx ⋅sin(ωx −π6)+1=4cosωx(√32sinωx −12cosωx)+1=√3sin2ωx −cos2ωx =2sin(2ωx −π6)，由f(x)的最小正周期为π，可得2π2ω=π，解得ω=1，因为f(x)>1，所以sin(2x −π6)>12，所以π6+2kπ<2x −π6<5π6+2kπ，k ∈Z ，解得kπ+π6<x <kπ+π2，k ∈Z ， 所以不等式的解集为(kπ+π6,kπ+π2)，k ∈Z ；(2)由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ， 由k =0，1，可得f(x)在[0,π]的增区间为[0,π3]，[5π6,π]； 由2kπ+π2≤2x −π6≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得kπ+π3≤x ≤kπ+5π6，k ∈Z ，由k =0，可得f(x)在[0,π]的减区间为[π3,5π6]. 【解析】(1)根据f(x)的最小正周期为π，求出ω，得到f(x)的解析式，再解不等式f(x)>1即可； (2)由正弦函数的单调区间，求出f(x)在[0,π]上的单调区间即可．本题考查了三角恒等变换，以及正弦函数的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，而①③④均为单调函数，故选②Q(x)=a|x −m|+b ， 则{a|10−m|+b =50a|15−m|+b =55a|20−m|+b =60a|25−m|+b =55a|30−m|+b =50，解得a =−1，m =20，b =60，故函数解析式为Q(x)=−|x −20|+60；(2)由题意，Q(x)=−|x −20|+60={x +40,1≤x ≤2080−x,20<x ≤30，Q(10)⋅P(10)=50(10+k 10)=505，即k =1，则f(x)=P(x)⋅Q(x)={(10+1x)(x +40),1≤x ≤20(10+1x)(80−x),20<x ≤30， 当1≤x ≤20时，f(x)=401+10x +40x≥401+2√10x ⋅40x=441元；当20<x ≤30时，f(x)=799−10x +80x，在(20,30]上为减函数， 则f(x)≥49983元．综上所述，该工艺品的日销售收入f(x)的最小值为441元．【解析】(1)由表中的数据判断日销售量有增有减，函数不单调，结合四个函数的单调性和待定系数法，可得所求函数的解析式；(2)由Q(10)⋅P(10)=505，解得k ，求得f(x)的分段函数的解析式，再由基本不等式和函数的单调性可得所求最小值．本题考查函数模型的选择及应用，以及函数的单调性求最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由f(x)=x 2−2x −a 2+2a =(x −a)(x +a −2)，由于f(x)对称轴为x =1，所以1∈A ，集合A 中有且仅有3个整数，所以集合A 的3个整数只可能是0，1，2，若a =2−a 即a =1时，集合A ={x|f(x)≤0}={1}与题意矛盾，所以a ≠1； 若a <2−a 即a <1时，集合A ={x|f(x)≤0}=[a,2−a]， 则{−1<a ≤02≤2−a <3，解得−1<a ≤0， 若a >2−a 即a >1时，集合A ={x|f(x)≤0}=[2−a,a]， 则{−1<2−a ≤02≤a <3，解得2≤a <3， 综上所述实数a 的取值范围是(−1,0]∪[2,3)；(2)若a =2−a 即a =1时，集合A ={x|f(x)≤0}={x|(x −a)(x +a −2)≤0}={1}，B ={x|f(f(x)+b)≤0}={x|f(x)+b =1}， 因为A ⊆B ，所以1∈B 即f(1)+b =1解得b =1，若a <2−a 即a <1时，集合A ={x|f(x)≤0}=[a,2−a]，则B ={x|f(f(x)+b)≤0}={x|a ≤f(x)+b ≤2−a}={x|a −b ≤f(x)≤2−a −b} 设集合B =[x 1,x 2]，因为A ⊆B ，即[a,2−a]⊆[x 1,x 2]，如图所示，则{a −b ≤f(1)2−a −b ≥0，即{a −b ≤−a 2+2a −12−a −b ≥0，得a 2−a +1≤b ≤2−a ， 所以a 2−a +1≤2−a 可得−1≤a ≤1，所以−1≤a <1，所以2−a ≤2−(−1)=3， 又因为a 2−a +1=(a −12)2+34≥34，所以34≤a 2−a +1≤b ≤2−a ≤3即34≤b ≤3. 综上所述b 的取值范围是[34,3].【解析】(1)根据条件解不等式f(x)≤0，即(x −a)(x +a −2)≤0，分a =1、a <1、a >1得到集合A ，通过二次函数的对称轴分析1∈A ，又集合A 中有且仅有3个整数，故3个整数只可能是0，1，2，然后由集合A 列出不等式组，解不等式组即可得a 的取值范围；(2)分a =1和a <1两种情况分别写出集合A ，B 对应的解集，根据A ⊆B 列出不等式组，综合利用不等式的性质，求出b 的取值范围即可．本题考查利用不等式的整数解求参数，由于二次函数的零点之间的大小不确定，需对参数a 进行讨论，考查了分类讨论思想的应用，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，正确理解并表达集合B 是解题的关键，属于难题．。
2023-2024学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：共14小题，每小题4分，共56分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．已知全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{﹣2，﹣1，0}，则∁U A ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，2）D ．（1，2）2．某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（ ） A ．150人B ．200人C ．250人D ．300人3．命题p ：“∃x ∈R ，x +2≤0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x +2≤0 B ．∃x ∈R ，x +2≥0 C ．∀x ∈R ，x +2＞0D ．∃x ∈R ，x +2＞04．方程组{x +y =0x 2+x =2的解集是（ ）A ．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B ．{（1，1），（﹣2，2）}C ．{（1，﹣1），（﹣2，2）}D ．{（2，﹣2），（﹣2，2）}5．某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h ），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是[10，20]，并分成[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h 的人数是（ ）A ．56B ．80C ．144D ．1846．若实数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．|a |＞|b |B ．a +c ＞b +cC ．a 2＞b 2D ．ac 2＞bc 27．函数f （x ）＝2x +2x 的零点所在的区间为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，0）C ．（1，2）D ．（2，3）8．在同一个坐标系中，函数f （x ）＝log a x ，g （x ）＝a ﹣x ，h （x ）＝x a 的部分图象可能是（ ）A．B．C．D．9．下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．f(x)=√x B．f（x）＝﹣x|x|C．f(x)=1x2+1D．f（x）＝x310．已知a＝20.1，b＝log2√3，c=log3√2，则实数a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c11．已知函数f(x)=12x+1−a2，则“a＝1”是f（x）为奇函数的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．已知函数f（x）＝log2（x+1）+x﹣2，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（1，+∞）13．科赫（Koch）曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线…在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若r D=1N，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形气维数是（）A ．log 23B ．log 32C ．1D ．2log 3214．已知函数f(x)={x +a ，x ≤ax 2，x ＞a ，若存在非零实数x 0，使得f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0]B ．(−∞，14]C ．[4，0]D ．[−2，14]二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分 15．函数f （x ）＝lg （x ﹣1）的定义域是 ．16．已知幂函数f （x ）的图象经过点（2，8），则f （x ）＝ ．17．农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如图（单位：cm ）：记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a ，b ，则|a ﹣b |＝ ．若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为s 1，s 2，则s 1 s 2（用“＜，＞或＝”连接）．18．已知函数f(x)=x +4x−a 没有零点，则a 的一个取值为 ；a 的取值范围是 ．19．已知函数f(x)={2x ，x ≥0−x 2，x ＜0，则f （x ）的单调递增区间为 ；满足|f （x ）|＜4×104的整数解的个数为 ．（参考数据：lg 2≈0.30）20．共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“Tullock 竞争函数”进行近似估计，其解析式为S(x)=x ax a +(1−x)a ，x ∈[0，1]，a ＞0（其中参数a 表示市场外部性强度，a 越大表示外部性越强）．给出下列四个结论： ①S （x ）过定点(12，12)；②S （x ）在[0，1]上单调递增； ③S （x ）关于x =12对称；④取定x ，外部性强度a 越大，S （x ）越小． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题：共64分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．21．（12分）化简求值：（Ⅰ）(49)0.5+(6427)13+(0.1)−0.2−3π0（Ⅱ）5log32−log3329+5log5322．（12分）已知一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2．求值：（1）x12+x22；（2）1x1+1x2．23．（9分）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓葬”，北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：（Ⅰ）某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；（Ⅱ）小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观：小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；（Ⅲ）现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查，记抽到海淀区的概率为P1，抽不到海淀区的概率记为P2，试判断P1和P2的大小（直接写出结论）．24．（9分）已知集合A={x|x2−x−2＜0}，B={x||x−52|≥32}．（Ⅰ）求A∪B，A∩∁R B；（Ⅱ）记关于x的不等式x2﹣（2m+4）x+m2+4m≤0的解集为M，若B∪M＝R，求实数m的取值范围．25．（11分）已知函数f（x）＝ln（1﹣x）+kln（1+x），请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题：条件①：f（x）+f（﹣x）＝0条件②：f（x）﹣f（﹣x）＝0注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）设函数F（x）＝（1﹣x）（1+x）k，判断函数F（x）在区间上（0，1）的单调性，并给出证明；（Ⅲ）设函数g（x）＝f（x）+x k+2|k|，指出函数g（x）在区间（﹣1，0）上的零点的个数，并说明理由．26．（11分）已知函数f（x），g（x），h（x）的定义域均为R，给出下面两个定义：①若存在唯一的x∈R，使得f（g（x））＝h（f（x）），则称g（x）与h（x）关于f（x）唯一交换；②若对任意的x∈R，均有f（g（x））＝h（f（x）），则称g（x）与h（x）关于f（x）任意交换．（Ⅰ）请判断函数g（x）＝x+1与h（x）＝x﹣1关于f（x）＝x2是唯一交换还是任意交换，并说明理由；（Ⅱ）设f（x）＝a（x2+2）（a≠0），g（x）＝x2+bx﹣1，若存在函数h（x），使得g（x）与h（x）关于f（x）任意交换，求b的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若g（x）与f（x）关于ω(x)=e x−1e x+1唯一交换，求a的值．2023-2024学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共14小题，每小题4分，共56分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．已知全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{﹣2，﹣1，0}，则∁U A ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，2）D ．（1，2）解：∵全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{﹣2，﹣1，0}，∴∁U A ＝{1，2}． 故选：B ．2．某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（ ） A ．150人B ．200人C ．250人D ．300人解：由题意可知，抽样比为1001000=110，所以在高中学生中抽取的人数为1500×110=150人．故选：A ．3．命题p ：“∃x ∈R ，x +2≤0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x +2≤0 B ．∃x ∈R ，x +2≥0 C ．∀x ∈R ，x +2＞0D ．∃x ∈R ，x +2＞0解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题p ：∃x ∈R ，x +2≤0，则命题p 的否定是：∀x ∈R ，x +2＞0． 故选：C ．4．方程组{x +y =0x 2+x =2的解集是（ ）A ．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B ．{（1，1），（﹣2，2）}C ．{（1，﹣1），（﹣2，2）}D ．{（2，﹣2），（﹣2，2）}解：解{x +y =0x 2+x =2得，{x =−2y =2或{x =1y =−1，∴原方程组的解集为：{（1，﹣1），（﹣2，2）}． 故选：C ．5．某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h ），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是[10，20]，并分成[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h 的人数是（ ）A．56B．80C．144D．184解：每周的课外活动时间不少于14h的频率为2×（0.16+0.12+0.08）＝0.72，故所求人数N＝0.72×200＝144，故选：C．6．若实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是（）A．|a|＞|b|B．a+c＞b+c C．a2＞b2D．ac2＞bc2解：由a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则可排除A，C，当c＝0时，ac2＝bc2，故D错误，由a＞b，可得a+c＞b+c，故B正确．故选：B．7．函数f（x）＝2x+2x的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（2，3）解：函数定义域为R，且在R上单调递增，＜0，f（﹣1）•f（0）＜0f（0）＝1＞0，f（﹣1）＝2﹣1﹣2=−32所以函数在（﹣1，0）有唯一零点，故选：B．8．在同一个坐标系中，函数f（x）＝log a x，g（x）＝a﹣x，h（x）＝x a的部分图象可能是（）A．B．C ．D ．解：当a ＞1时，A 中，g （x ）＝a ﹣x应该单调递减，而h （x ）＝x a 在（0，1）应该在y ＝x 的下方，所以A 不正确； C 中，g （x ）＝a﹣x应该单调递减，而h （x ）＝x a 在（0，1）应该在y ＝x 的下方，f （x ）＝log a x 的图象应该单调递增，所以C 不正确；B 中，h （x ）＝x a 在（0，1）应该在y ＝x 的下方，所以B 不正确； D 中，f （x ）＝log a x 的图象应该单调递增，所以D 不正确；当0＜a ＜1时，A 中f （x ）＝log a x 的图象应该单调递减，所以A 不正确； B 中，g （x ）＝a﹣x应该单调递增，f （x ）＝log a x 的图象应该单调递减，所以B 不正确；C 中，三个图象正确；D 中，g （x ）＝a﹣x应该单调递增，h （x ）＝x a 应该在（0，1）在y ＝x 的上方，所以D 不正确．综上所述：只有0＜a ＜1时C 正确． 故选：C ．9．下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．f(x)=√x B ．f （x ）＝﹣x |x |C ．f(x)=1x 2+1 D ．f （x ）＝x 3解：在A 中，f （x ）=√x 的定义域为{x |x ≥0}，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故A 错误； 在B 中，f （x ）＝﹣x |x |的定义域为R ，f （﹣x ）＝x |x |＝﹣g （x ），是奇函数，x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2在（0，+∞）上单调递减，故B 正确； 在C 中，f （x ）=1x 2+1是偶函数，故C 错误；在D 中，f （x ）＝x 3是奇函数，在（0，+∞）上单调递增，故D 错误． 故选：B ．10．已知a ＝20.1，b ＝log 2√3，c =log 3√2，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c解：由20.1＞20，得a ＝20.1＞1，又log 2√2＜log 2√3＜log 22，得12＜b ＜1，由log 3√2＜log 3√3，得c ＜12，综上可得a ＞b ＞c ．故选：D ． 11．已知函数f(x)=12x+1−a2，则“a ＝1”是f （x ）为奇函数的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵函数f(x)=12x+1−a2的定义域为R ， ∴f （x ）为奇函数，可得f （0）＝0，解得a ＝1，当a ＝1时，f （x ）=12x +1−12，f （﹣x ）+f （x ）=12−x +1−12+12x +1−12=2x2x +1−12+12x +1−12=0，故f （x ）为奇函数．∴“a ＝1”是f （x ）为奇函数的充要条件． 故选：C ．12．已知函数f （x ）＝log 2（x +1）+x ﹣2，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．（1，+∞）解：函数f （x ）＝log 2（x +1）+x ﹣2的定义域为（﹣1，+∞），因为y ＝log 2（x +1）在（﹣1，+∞）上单调递增，y ＝x ﹣2在（﹣1，+∞）上单调递增， 所以f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增， 又因为f （1）＝log 22+1﹣2＝0，且f （x ）＜0，所以f （x ）＜f （1），所以{x ＞−1x ＜1，所以不等式f （x ）＜0的解集为（﹣1，1）．故选：B ．13．科赫（Koch ）曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线…在分形中，一个图形通常由N 个与它的上一级图形相似，且相似比为r 的部分组成．若r D =1N，则称D 为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形气维数是（ ）A ．log 23B ．log 32C ．1D ．2log 32解：根据题意，n 级科赫曲线是由把上一级的科赫曲线全体缩小13的4个相似图形构成的，即r =13，N ＝4，若r D =1N ，即（13）D =14，则D ＝log r （1N）＝log 34＝2log 32．故选：D ．14．已知函数f(x)={x +a ，x ≤ax 2，x ＞a ，若存在非零实数x 0，使得f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0]B ．(−∞，14]C ．[4，0]D ．[−2，14]解：∵x 0和﹣x 0同属于（﹣∞，a ]或（a ，+∞）时，都不可能有f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）， ∴﹣x 0≤a 且x 0＞a ，或x 0≤a 且﹣x 0＞a ， ①当﹣x 0≤a 且x 0＞a 时，则﹣x 0＜x 0， ∴x 0＞0，若存在非零实数x 0，使得f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）成立，则﹣x 0+a =−x 02， 即a =−x 02+x 0=−（x 0−12）2+14，∵x 0＞0，∴﹣（x 0−12）2+14≤14，∴a ≤14，①当x 0≤a 且﹣x 0＞a 时，则﹣x 0＞x 0，∴x 0＜0，若存在非零实数x 0，使得f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）成立，则（﹣x 0）2＝﹣（x 0+a ）， 即a =−x 02−x 0=−（x 0+12）2+14，∵x 0＜0，∴﹣（x 0+12）2+14≤14，∴a ≤14，综上所述，实数a 的取值范围是（﹣∞，14]．故选：B ．二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分 15．函数f （x ）＝lg （x ﹣1）的定义域是 {x |x ＞1} ．解：要使函数有意义，则有x ﹣1＞0，解得，x ＞1，∴函数的定义域是{x |x ＞1}， 故答案为：{x |x ＞1}．16．已知幂函数f （x ）的图象经过点（2，8），则f （x ）＝ x 3 ． 解：设幂函数f （x ）＝x α，把点（2，8）代入函数的解析式可得2α＝8， 解得 α＝3，故函数的解析式为f （x ）＝x 3，故答案为 x 3．17．农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如图（单位：cm ）：记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a ，b ，则|a ﹣b |＝ 3 ．若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为s 1，s 2，则s 1 ＞ s 2（用“＜，＞或＝”连接）．解：对空①：由题意得甲环境的幼苗高度为：31，32，33，33，35，43，44，45，49，55，57，58，59，63，65，其中位数a ＝45，乙环境的幼苗高度为：37，43，44，45，45，47，48，48，49，52，54，54，55，58，60，其中位数b ＝48，所以|a ﹣b |＝|45﹣48|＝3；对空②：甲环境下的幼苗平均高度为：115（31+32+33+33+35+43+44+45+49+55+57+58+59+63+65）＝46.8，s 1=√115[(31−46.8)2+(32−46.8)2+(33−46.8)2+⋯+(65−46.8)2]≈1171，乙环境下的幼苗平均高度为115（37+43+44+45+45+47+48+48+49+52+54+54+55+58+60）=73915，所以s 2=√115[(37−73915)2+(43−73915)2+(44−73915)2+⋯+(60−73915)2]≈599， 所以S 1＞S 2． 故答案为：3；＞．18．已知函数f(x)=x +4x−a 没有零点，则a 的一个取值为 0（答案不唯一） ；a 的取值范围是 （﹣4，4） ．解：函数y ＝x +4x ，当x ＞0时，y ≥2√x ⋅4x =4，当且仅当x ＝2时取等号，当x ＜0时，y ≤﹣4，所以函数f(x)=x +4x−a 没有零点，则a 的一个取值为0（答案不唯一）；a 的取值范围是（﹣4，4）．故答案为：0（答案不唯一）；（﹣4，4）．19．已知函数f(x)={2x ，x ≥0−x 2，x ＜0，则f （x ）的单调递增区间为 （﹣∞，+∞） ；满足|f （x ）|＜4×104的整数解的个数为215．（参考数据：lg2≈0.30）解：当x≥0时，f（x）＝2x，单调递增，当x＜0时，f（x）＝﹣x2，单调递增，又∵0＜20＝1，∴f（x）在R上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），当x≥0时，f（x）＝2x，由|f（x）|＜4×104，可得2x＜4×104，∴x＜log2(4×104)=2+4lg2≈15.33，∴0≤x＜15.33，又∵x∈Z，∴x的个数为16个，当x＜0时，f（x）＝﹣x2，由|f（x）|＜4×104，可得x2＜4×104，∴﹣200＜x＜200，又∵x＜0，∴﹣200＜x＜0，又∵x∈Z，∴x的个数为199个，综上所述，满足|f（x）|＜4×104的整数解的个数为16+199＝215个．故答案为：（﹣∞，+∞）；215．20．共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“Tullock竞争函数”进行近似估计，其解析式为S(x)=x ax a+(1−x)a，x∈[0，1]，a＞0（其中参数a表示市场外部性强度，a越大表示外部性越强）．给出下列四个结论：①S（x）过定点(12，12)；②S（x）在[0，1]上单调递增；③S（x）关于x=12对称；④取定x，外部性强度a越大，S（x）越小．其中所有正确结论的序号是①②．解：对于①，在S（x）中，令x=12，则S(12)=(12)a2×(12)a=12，过定点(12，12)，故①正确；对于②，S(x)=x ax a+(1−x)a=11+(1−xx)a=11+(1x−1)a，令g(x)=(1x−1)a，当x∈（0，1]，则g（x）≥0，且由基本初等函数及复合函数的单调性知g（x）在（0，1]上单调递减，则S（x）在[0，1]上单调递增，故②正确；对于③，由②知S（x）在[0，1]上单调递增，故在[0，1]不存在对称轴，故③错误；对于④，方法一：由①知当x=12时，S（x）=12，与a的取值无关，故④错误．方法二：以a为自变量，设S（x）为T（a），则T′(a)=[x(1−x)]a[x a+(1−x)a]2lnx1−x，∵a＞0，故[x(1−x)]a[x a+(1−x)a]2＞0，T′(a)的正负取决于ln x1−x，当x1−x＜1，即0＜x＜12时，T′（a）＜0，随着a的增大，S（x）减小，当x1−x＞1，即12＜x＜1时，T′（a）＞0，随着a的增大，S（x）增大，故④错误．故答案为：①②．三、解答题：共64分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．21．（12分）化简求值：（Ⅰ）(49)0.5+(6427)13+(0.1)−0.2−3π0（Ⅱ）5log32−log3329+5log53解：（Ⅰ）(49)0.5+(6427)13+(0.1)−0.2−3π0=23+43+√105−3=√105−1．（Ⅱ）5log32−log3329+5log53=log3(32×932)+3=5．22．（12分）已知一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2．求值：（1）x12+x22；（2）1x1+1x2．解：由题意可得x1+x2=−32，x1⋅x2=−1．（1）x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−32)2−2×(−1)=94+2=178；（2）1x1+1x2=x1+x2x1x2=−32−1=32．23．（9分）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓葬”，北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：（Ⅰ）某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；（Ⅱ）小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观：小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；（Ⅲ）现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查，记抽到海淀区的概率为P1，抽不到海淀区的概率记为P2，试判断P1和P2的大小（直接写出结论）．解：（Ⅰ）设选中参观单位恰好为“ C ：古建筑及历史纪念建筑物”为事件A，由题意知总共有18，“ C ：古建筑及历史纪念建筑物”有12，所以P（A）=1218=23；（Ⅱ）设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件B，由题意可知小王参观“A：革命遗址及革命纪念建筑物”与小张参观“C：古建筑及历史纪念建筑物”在同一个区的只有东城区，所以小王参观东城区景区的概率为34，小张参观东城区景区的概率为512，所以P （B ）=34×512=516； （Ⅲ）当抽到的2个都是海淀区的概率为212×111=166，当抽到的2个中有1个是海淀区的概率为212×1011=1066=533， 所以P 1=166+533=16，P 2＝1−16=56， 所以P 1＜P 2．24．（9分）已知集合A ={x|x 2−x −2＜0}，B ={x||x −52|≥32}．（Ⅰ）求A ∪B ，A ∩∁R B ；（Ⅱ）记关于x 的不等式x 2﹣（2m +4）x +m 2+4m ≤0的解集为M ，若B ∪M ＝R ，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）∵x 2﹣x ﹣2＜0，解得﹣1＜x ＜2， ∴A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，∵|x −52|≥32，解得x ≥4或x ≤1，∴B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，∴A ∪B ＝{x |x ＜2或x ≥4}， ∵∁R B ＝{x |1＜x ＜4}， ∴A ∩∁R B ＝{x |1＜x ＜2}．（Ⅱ）∵关于x 的不等式x 2﹣（2m +4）x +m 2+4m ≤0的解集为M ， 由x 2﹣（2m +4）x +m 2+4m ≤0，得m ≤x ≤m +4， ∴M ＝{x |m ≤x ≤m +4}，∵B ∪M ＝R ，∴{m ≤1m +4≥4，解得0≤m ≤1，∴实数m 的取值范围是{m |0≤m ≤1}．25．（11分）已知函数f （x ）＝ln （1﹣x ）+kln （1+x ），请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题： 条件①：f （x ）+f （﹣x ）＝0 条件②：f （x ）﹣f （﹣x ）＝0注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分． （Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）设函数F （x ）＝（1﹣x ）（1+x ）k ，判断函数F （x ）在区间上（0，1）的单调性，并给出证明； （Ⅲ）设函数g （x ）＝f （x ）+x k +2|k |，指出函数g （x ）在区间（﹣1，0）上的零点的个数，并说明理由．解：（Ⅰ）令{1−x ＞01+x ＞0，解得﹣1＜x ＜1，所以函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），若选①因为f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （x ）为奇函数，则ln （1﹣x ）+kln （1+x ）+ln （1+x ）+kln （1﹣x ）＝0，所以（1+k ）ln （1﹣x 2）＝0， 因为对任意x ∈（﹣1，1）上式均成立，所以1+k ＝0，解得k ＝﹣1； 若选②因为f （x ）﹣f （﹣x ）＝0，即f （x ）为偶函数，则ln （1﹣x ）+kln （1+x ）﹣[ln （1+x ）+kln （1﹣x ）]＝0，所以(1−k)ln 1−x1+x=0， 因为对任意x ∈（﹣1，1）上式均成立，可得1﹣k ＝0，解得k ＝1． （Ⅱ）若选①则k ＝﹣1，可得F(x)=(1−x)(1+x)−1=1−x 1+x =21+x−1， 则函数F （x ）在区间（0，1）上单调递减，证明如下： 对任意x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2， 则F(x 1)−F(x 2)=(21+x 1−1)−(21+x 2−1)=21+x 1−21+x 2=2(x 2−x 1)(1+x 1)(1+x 2)， 因为0＜x 1＜x 2＜1，则1+x 1＞0，1+x 2＞0，x 2﹣x 1＞0， 所以F （x 1）﹣F （x 2）＞0，即F （x 1）＞F （x 2）， 所以函数F （x ）在区间（0，1）上单调递减；若选②则k ＝1，可得F （x ）＝（1﹣x ）（1+x ）＝1﹣x 2， 则函数F （x ）在区间（0，1）上单调递减，证明如下： 对任意x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则F(x 1)−F(x 2)=(1−x 12)−(1−x 22)=x 22−x 12=(x 1+x 2)(x 2−x 1)，因为0＜x 1＜x 2＜1，则x 1+x 2＞0，x 2﹣x 1＞0， 所以F （x 1）﹣F （x 2）＞0，即F （x 1）＞F （x 2）， 所以函数F （x ）在区间（0，1）上单调递减．（Ⅲ）若选①则k ＝﹣1，则g(x)=f(x)+1x +2=ln 1−x 1+x +1x+2，由（Ⅱ）可知，F(x)=1−x1+x在（0，1）内单调递减，且y ＝lnx 在定义域内单调递增， 则f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)=ln1−x1+x在（0，1）内单调递减， 又f （x ）为奇函数，则f （x ）在（﹣1，0）内单调递减，且y =1x 在（﹣1，0）内单调递减，则g （x ）在（﹣1，0）内单调递减，结合g(−12)=ln3＞0，g(−110)=ln 119−8＜0，可知g （x ）在（﹣1，0）内有且仅有一个零点；若选②则k＝1，则g（x）＝f（x）+x+2＝ln（1﹣x2）+x+2，由（Ⅱ）可知，F（x）＝1﹣x2在（0，1）内单调递减，且y＝lnx在定义域内单调递增，则f（x）＝ln（1﹣x）+ln（1+x）＝ln（1﹣x2）在（0，1）内单调递减，又f（x）为偶函数，则f（x）在（﹣1，0）内单调递增，且y＝x+2在（﹣1，0）内单调递增，则g（x）在（﹣1，0）内单调递增，结合g(−12)=ln34+32＞ln1e+32=12＞0，g(−99100)=ln19910000+101100＜ln1e2+2=0，可知g（x）在（﹣1，0）内有且仅有一个零点．26．（11分）已知函数f（x），g（x），h（x）的定义域均为R，给出下面两个定义：①若存在唯一的x∈R，使得f（g（x））＝h（f（x）），则称g（x）与h（x）关于f（x）唯一交换；②若对任意的x∈R，均有f（g（x））＝h（f（x）），则称g（x）与h（x）关于f（x）任意交换．（Ⅰ）请判断函数g（x）＝x+1与h（x）＝x﹣1关于f（x）＝x2是唯一交换还是任意交换，并说明理由；（Ⅱ）设f（x）＝a（x2+2）（a≠0），g（x）＝x2+bx﹣1，若存在函数h（x），使得g（x）与h（x）关于f（x）任意交换，求b的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若g（x）与f（x）关于ω(x)=e x−1e x+1唯一交换，求a的值．解：（Ⅰ）g（x）与h（x）关于f（x）是唯一交换，理由如下：因为f（g（x））＝（x+1）2，h（f（x））＝x2﹣1，令f（g（x））＝h（f（x）），所以（x+1）2＝x2﹣1，解得x＝﹣1，所以f（g（x））＝h（f（x））有唯一解x＝﹣1，所以g（x）与h（x）关于f（x）是唯一交换．（Ⅱ）由题意可知，对任意的x∈R，f（g（x））＝h（f（x））成立，即对任意的x∈R，a[（x2+bx﹣1）2+2]＝h（a（x2+2））；因为h（x）为函数，且h（a（（﹣x）2+2））＝h（a（x2+2）），故b＝0，故a[（x2﹣1）2+2]＝h（a（x2+2）），即a[(a(x2+2)a−3)2+2]=ℎ(a(x2+2))，所以ℎ(x)=a[(xa−3)2+2]=x2a−6x+11a，综上所述，b＝0．（Ⅲ）当b＝0时，g（x）＝x2﹣1，因为g（x）与f（x）关于w(x)=e x−1e x+1唯一交换，所以存在唯一实数x ，使得w(x 2−1)=f(e x −1e x +1)， 即存在唯一实数x ，使得e x 2−1−1e x 2−1+1=a[(e x −1e x +1)2+2]，即存在唯一实数x ，使得a =e x 2−1−1e x 2−1+1[(e x −1e x +1)2+2]； 令s(x)=e x 2−1−1e x 2−1+1[(e x −1e x +1)2+2]，q(x)=e x 2−1−1e e2−1+1，p(x)=(e x −1e x +1)2+2，且s （x ），q （x ），p （x ）定义域均为R ，又q (−x )=e (−x)2−1−1e (−x)2−1+1=e x 2−1−1ex 2−1+1=q (x )，p(−x)=(e −x −1e −x +1)2+2=(1−e x 1+e x )2+2=(e x −1e x +1)2+2=p(x)， 所以q （x ），p （x ）都是偶函数，所以s （x ）为偶函数，因此，若存在唯一实数x 使得a =e x 2−1−1e x 2−1+1[(e x −1e x +1)2+2]，只能是a ＝s （0），所以a =1e −11e+12=1−e2(e+1)，综上所述，a 的取值为1−e2(e+1)．。
2022-2023学年上海市上海中学高一上学期期末考试数学试卷带讲解
【分析】根据幂函数的定义及性质列方程与不等式求解即可得实数 的取值集合.
【详解】解：因为幂函数 ，所以 ，
解得 或 ，
幂函数 的图像与两条坐标轴均没有公共点，所以 ，即 ，
所以 或 均符合题意，则实数 的取值集合是 .
故答案为： .
7.不等式 的解为______.
【答案】
【分析】根据幂函数的性质确定幂函数 的奇偶性与单调性即可解不等式.
A.若 ，则函数 的图象关于原点对称
B.若 ， ，则方程 有大于2的实根
C.若 ， ，则方程 有两个实根
D.若 ， ，则方程 有三个实根
【答案】B
【分析】A.取 ， 判断；B.由 ， 仍是奇函数，2仍是它的一个零点，再由上下平移判断；C.取 ， 判断；D.取 ， 判断.
【详解】A.若 ， ，则函数 不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，故错误；
（3）根据保序同构函数的定义可知 为单调递增的函数，结合对勾函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
假设存在一个从集合 到集合 的“保序同构函数”，
由“保序同构函数”的定义可知，集合 和集合 中的元素必须是一一对应的，
不妨设整数0和1在 中的像分别为 和 ，
根据保序性，因为 ，
所以 ，
又 也是有理数，但是 没有确定的原像，
因为0和1之间没有另外的整数了，
故假设不成立，故不存在从集合 到集合 的“保序同构函数”；
（1）写出服药后 与 之间的函数关系式 ；
（2）进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于 毫克时，药物对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间．
【答案】代入函数 的解析式，求出 的值，将点 的坐标代入函数 的解析式，由此可得出函数 的解析式；
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(答案+解析)(4)
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则A∩（∁U B）=（）A．{5} B．{2，4} C．{2，4，5，6} D．{1，2，3，4，5，7}2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是（）A．y=sin x B．y=cos x C．y=ln x D．y=x33．（5分）已知平面向量=（1，﹣2），=（2，m），且∥，则m=（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣44．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．5．（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．， B．，C．，D．，6．（5分）已知a=sin80°，，，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a7．（5分）已知cosα+cosβ=，则cos（α﹣β）=（）A．B．﹣C．D．18．（5分）已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是（）A．（0，﹣2] B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2] D．[2，+∞）10．（5分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）和g（x）均为奇函数，h（x）=af（x）+bg（x）+2在区间（0，+∞）上有最大值5，那么h（x）在（﹣∞，0）上的最小值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．﹣3 D．512．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2017）B．（1，2018）C．[2，2018] D．（2，2018）二、填空题13．（5分）已知tanα=3，则的值．14．（5分）已知，则的值为．15．（5分）已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到y=g（x）的图象，则g（x）在上的值域为．16．（5分）下列命题中，正确的是．①已知，，是平面内三个非零向量，则（）=（）；②已知=（sin），=（1，），其中，则；③若，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值为2；④O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．三、解答题17．（10分）已知=（4，3），=（5，﹣12）．（Ⅰ）求||的值；（Ⅱ）求与的夹角的余弦值．18．（12分）已知α，β都是锐角，，．（Ⅰ）求sinβ的值；（Ⅱ）求的值．19．（12分）已知函数f（x）=cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．20．（12分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0．当x＞0时，f（x）=﹣4x+8×2x+1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣3，﹣1]时，求f（x）的最大值和最小值．21．（12分）已知向量=（），=（cos），记f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，若函数y=g（x）﹣k在上有零点，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值；（3）是否存在m，使f（2（）2﹣4）+f（4m﹣2（））＞0对任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，B={1，3，5，7}，∴C U B={2，4，6}，又A={2，4，5}，则A∩（C U B）={2，4}．故选B.2．A【解析】y=sin x为奇函数，且以2π为最小正周期的函数；y=cos x为偶函数，且以2π为最小正周期的函数；y=ln x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3为奇函数，不为周期函数．故选A．3．D【解析】∵∥，∴m+4=0，解得m=﹣4．故选：D．4．A【解析】∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ），又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z），∵，∴取k=0，得φ=﹣，故选：A．5．B【解析】对于A，，，是两个共线向量，故不可作为基底．对于B，，是两个不共线向量，故可作为基底．对于C，，，是两个共线向量，故不可作为基底．．对于D，，，是两个共线向量，故不可作为基底．故选：B．6．B【解析】a=sin80°∈（0，1），=2，＜0，则b＞a＞c．故选：B．7．B【解析】已知两等式平方得：（cosα+cosβ）2=cos2α+cos2β+2cosαcosβ=，（sinα+sinβ）2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ=，∴2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，即cosαcosβ+sinαsinβ=﹣，则cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣．故选B.8．C【解析】由已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），可得•（2+）=2+=0，设与的夹角为θ，则有2+||•4||•cosθ=0，即cosθ=﹣，又因为θ∈[0，π]，所以θ=，故选：C．9．B【解析】；∴有；所以根据对数函数log0.4x的图象即可得到：=﹣2；∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选B．10．A【解析】图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．11．B【解析】令F（x）=h（x）﹣2=af（x）+bg（x），则F（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，h（x）≤5，∴x∈（0，+∞）时，F（x）=h（x）﹣2≤3．又x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），∴F（﹣x）≤3⇔﹣F（x）≤3⇔F（x）≥﹣3．∴h（x）≥﹣3+2=﹣1，故选B．12．D【解析】作出函数的图象，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2017x=1，解得x=2017，即x=2017，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2017，因此可得2＜a+b+c＜2018，即a+b+c∈（2，2018）．故选：D．二、填空题13．【解析】===，故答案为：.14．﹣1【解析】∵，∴f（）==，f（）=f（）﹣1=cos﹣1=﹣=﹣，∴==﹣1．故答案为：﹣1．15．[﹣1，]【解析】将函数=sin2x+﹣=sin（2x+）的图象，向左平移个单位长度后得到y=g（x）=sin（2x++）=﹣sin2x的图象，在上，2x∈[﹣]，sin2x∈[﹣，1]，∴﹣sin（2x）∈[﹣1，]，故g（x）在上的值域为[﹣1，]，故答案为：[﹣1，]．16．②③④【解析】①已知，，是平面内三个非零向量，则（）•=•（）不正确，由于（）•与共线，•（）与共线，而，不一定共线，故①不正确；②已知=（sin），=（1，），其中，则•=sinθ+=sinθ+|sinθ|=sinθ﹣sinθ=0，则，故②正确；③若，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）=1﹣tanα﹣tanβ+tanαtanβ=1﹣tan（α+β）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ=1﹣（﹣1）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ=2，故③正确；④∵，λ∈（0，+∞），设=，=，=+λ（+），﹣=λ（+），∴=λ（+），由向量加法的平行四边形法则可知，以，为邻边的平行四边形为菱形，而菱形的对角线平分对角∴直线AP即为A的平分线所在的直线，即一定通过△ABC的内心，故④正确．故答案为：②③④.三、解答题17．解：（Ⅰ）根据题意，=（4，3），=（5，﹣12）．则+=（9，﹣9），则|+|==9，（Ⅱ）=（4，3），=（5，﹣12）．则•=4×5+3×（﹣12）=﹣16，||=5，||=13，则cosθ==﹣．18．解：（Ⅰ）∵α，β都是锐角，且，．∴cos，sin（α+β）=，∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=；（Ⅱ）=cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2×．19．解：f（x）=cos2x﹣2sin x cos x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）（1）T=π（2）∵∴20．解：由f（x）+f（﹣x）=0．当，则函数f（x）是奇函数，且f（0）=0，当x＞0时，f（x）=﹣4x+8×2x+1．当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣4﹣x+8×2﹣x+1．由f（x）=﹣f（﹣x）所以：f（x）=4﹣x﹣8×2﹣x﹣1．故得f（x）的解析式；f（x）=（Ⅱ）x∈[﹣3，﹣1]时，令，t∈[2，8]，则y=t2﹣8t﹣1，其对称轴t=4∈[2，8]，当t=4，即x=﹣2时，f（x）min=﹣17．当t=8，即x=﹣3时，f（x）max=﹣1．21．解：（Ⅰ）f（x）==sin cos+=sin+=sin（+）+，由2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，所以f（x）的单调递减区间是[4kπ+，4kπ+]．（Ⅱ）由已知f（a）=得sin（+）=，则a=4kπ+，k∈Z．∴cos（﹣a）=cos（﹣4kπ﹣）=1．（Ⅲ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）=sin（﹣）+的图象，则函数y=g（x）﹣k=sin（﹣）+﹣k．∵﹣≤﹣≤π，所以﹣sin（﹣）≤1，∴0≤﹣sin（﹣）+≤．若函数y=g（x）﹣k在上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，所以实数k的取值范围为[0，]．22．（1）证明：令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），∴f（0）=0．令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x），∴﹣f（x）=f（﹣x），即f（x）为奇函数；（2）解：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵当x＞0时，f（x）＞0，且x1＜x2，∴f（x2﹣x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数，∴当x=﹣2时，函数有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．当x=6时，函数有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3；（3）解：∵函数f（x）为奇函数，∴不等式可化为，又∵f（x）为增函数，∴，令t=log2x，则0≤t≤1，问题就转化为2t2﹣4＞2t﹣4m在t∈[0，1]上恒成立，即4m＞﹣2t2+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，令y=﹣2t2+2t+4，只需4m＞y max，而（0≤t≤1），∴当时，，则．∴m的取值范围就为．。
2022-2023年江苏徐州高一数学上学期期末试卷及答案
2022-2023年江苏徐州高一数学上学期期末试卷及答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“”的否定是( ) 20,0x x ∀>>A. B. 20,0x x ∀≤>2000,0x x ∃>≤C. D.2000,0x x ∃≤≤20,0x x ∀>≤【答案】B2. 已知集合，则( ) {}21230,22xA xx x B x ⎧⎫=+-<=>⎨⎬⎩⎭∣∣()R = A B ðA. B.(),1-∞(),3-∞C. D.()3,1-(](),11,-∞-⋃+∞【答案】A3. 已知函数，角终边经过与图象的交点，则()()112,f x x g x x -==θ()f x ()g x tan θ=( )A. 1B.D. 1±【答案】A 4. “”是“”的( ) 1sin 2α=2,6k k Z παπ=+∈A. 充分必要条件 B. 充分条件C. 必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C 5. 设，则的大小关系为( ) 2.52.1210.5,log 5,22a b c -===,,a b c A. B. c<a<b b a c <<C. D.a b c <<a c b <<【答案】D6. 拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱､等边哥特拱､弓形拱､马蹄拱､二心内心拱､四心拱､土耳其拱､波斯拱等.如图，分别以点A 和B 为圆心，以线段AB 为半径作圆弧，交于点C ，等边哥特拱是由线段AB ，，所围成的图形.若，则该 AC BC2AB =拱券的面积是( )A.B.23π-23π-C. D.43π+43π【答案】D7. 已知关于的不等式的解集是，则不等式x 20ax bx c ++<()(),12,-∞-+∞ 的解集是( )20bx ax c +-≤A. B. []1,2-][(),12,-∞-⋃+∞C. D.[]2,1-][(),21,∞∞--⋃+【答案】A8. 若函数在区间内仅有1个零点，则的取值范围是()2sin (0)f x x ωω=>3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω( ) A. B. C.D. 4,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭4,43⎛⎤⎥⎝⎦48,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭48,33⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选铓的得0分. 9. 已知都是正数，且，则( ) a b c d ,,,,a b c d <>A. B. a c b d -<-a c b d +>+C. D.ad bc <a c a db c b d++>++【答案】ACD10. 若函数在一个周期内的图象如图所()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<示，则( )A. 的最小正周期为 ()f x 3πB. 的增区间是 ()f x ()5ππ3π,3πZ 44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. ()()5π0f x f x -+-=D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭32()f x 的图象 【答案】ABD11. 已知函数，则下列命题正确的是( ) ()2sin 1f x x x =+-A. 函数是奇函数 ()f x B. 函数在区间上存在零点 ()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 当时， π,6x ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭()0f x >D. 若，则 ()21sin g x x x=+()()5f x g x +≥【答案】BC12. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形.在工程中有广泛的应用，例如县索桥､双曲拱桥､架空电缆都用到了悬链线的原理.当微积分尚未出现的伽利略时期，伽利略猜测这种形状是抛物线.直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是，其中为有关参数.这样，e e 2-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x xcc c y c 数学上又多了一对与有关的著名函数——双曲函数：双曲正弦函数和e ()e esinh 2--=x xx 双曲余弦函数.则( )()e e cosh 2-+=x xx A.()()22sinh ]cosh ]1x x ⎡⎡-=⎣⎣B.()()()sinh 22sinh cosh x x x =C.()1cosh ln sinh ln x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭D.()()()()sinh ecosh ln cosh e sinh ln >xxx x 【答案】BCD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的定义域为__________. ()()ln 1f x x =--【答案】()1,214. 已知，则的值为__________.1sin 63x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭5sin cos 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】2315. 已知正数满足，则的最小值为__________. ,m n 320m n mn +-=m n +【答案】2+2+16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则()f x R 0x >()2log f x x =()2f x ≥-的解集是__________. 【答案】 ][14,0,4⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭四､解答题：本题6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知集合. {}{211},12A xa x a B x x =-<<+=-≤≤∣∣(1)若，求；1a =-A B ⋃(2)若，求实数的取值范围. A B A = a 【答案】(1)； (3,2]A B ⋃=-(2). [0,1][2,)⋃+∞18. 已知，且.求下列各式的值：sin θ=π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭(1)：2sin 3cos 3sin 2cos θθθθ+-(2). ()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πθθθθθ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⋅--【答案】(1) 47-(2)19. 已知函数.()[]22322,0,2xx f x x =-⨯+∈(1)求函数的值域；()f x (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. x ()2log f x ax ≥a 【答案】(1) 1,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)(,3⎤-∞-⎦20. “硬科技”是以人工智能､航空航天､生物技术､光电芯片､信息技术､新材料､新能源､智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入､持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿､最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元，每生产x 百台高级设备需要另投成本万元，且y 每百台高级设备售价为160万元，假2240,040,100N,180001652250,40100,100N.x x x x y x x x x ⎧+≤<∈⎪=⎨+-≤≤∈⎪⎩设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为10000台. (1)求企业获得年利润(万元)关于年产量(百台)的函数关系式； P x (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.【答案】(1)； 221201000,0401800051250,40100x x x P x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨--+≤≤⎪⎩(2)当年产量为30百台时公司获利最大，且最大利润为800万元.21. 已知函数的图象与x 轴的两个相邻交点之间的距离为π()sin()0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x ，直线是的图象的一条对称轴. π2π6x =()f x (1)求函数的解析式；()f x (2)若函数在区间上恰有3个零点()()22g x f x a =-π11π,824⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()123123,,x x x x x x <<，请直接写出的取值范围，并求的值. a ()321sin 448x x x --【答案】(1) ()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭(2)；0a ≤≤()321sin 448x x x --=22. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使()f x ()g x ,m n ，则称函数是由“基函数和”生成的.()()()h x mf x ng x =+()h x ()f x ()g x (1)若是由“基函数和”生成的，求()49h x x x =+()12f x x a x =-+()1422g x x x=+-实数的值；a (2)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满()()2log 41xf x =+()112g x x =+()h x 足为偶函数，且. ()h x ()01h =-①求函数的解析式；()h x ②已知，对于区间上的任意值，*03,,1,1n n n N x x ≥∈=-=()1,1-12,,x x ，若恒成立，求实数的最小值.(注：()1121n n x x x x --<<< ()()11ni i i h x h x M -=-≤∑M .)121nin i xx x x ==+++∑ 【答案】(1)；1(2)①；②. 2()log (41)2xh x x =+--252log 4。
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高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是（）A．6 B．8 C．7 D．92．（5分）设a，b∈R，集合A={1，a+b，a}，B={0，，b}，若A=B，则b﹣a（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣23．（5分）下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A．f（x）=x，g（x）=（）2B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2C．f（x）=1，g（x）=x0D．f（x）=|x|，g（x）=4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）内为增函数的是（）A．y=（）x B．y=x﹣2C．y=x2+1 D．y=log3（﹣x）5．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．（5分）下列叙述中错误的是（）A．若点P∈α，P∈β且α∩β=l，则P∈lB．三点A，B，C能确定一个平面C．若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一个平面D．若点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α7．（5分）方程log2x+x=3的解所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（3，+∞）D．[2，3）8．（5分）圆x2+y2﹣ax+2y+1=0关于直线x﹣y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．±2 D．29．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为（）A．（60+4）πB．（60+8）π C．（56+8）π D．（56+4）π10．（5分）若直线y=x+b与曲线（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共点，则实数b的取值范围是（）A．[1﹣2，3]B．[1﹣，3] C．[﹣1，1+2]D．[1﹣2，1+2]11．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法的是（）A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③12．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5分）在空间直角坐标系中，已知P（2，2，5）、Q（5，4，z）两点之间的距离为7，则z=．14．（5分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[a2﹣2，a]是偶函数，则a+b=．15．（5分）已知两条平行直线3x+2y﹣6=0与6x+4y﹣3=0，则与它们等距离的平行线方程为．16．（5分）已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（Ⅰ）若a=2，求M∩（∁R N）；（Ⅱ）若M∪N=M，求实数a的取值范围．18．（12分）已知△ABC的顶点B（﹣1，﹣3），边AB上的高CE所在直线的方程为4x+3y﹣7=0，BC边上中线AD所在的直线方程为x﹣3y﹣3=0．（1）求点C的坐标；（2）求直线AB的方程．19．（12分）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．试求函数f（t）的解析式，并画出函数y=f（t）的图象．20．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=CC1，M、N分别为BB1、A1C1的中点．（Ⅰ）求证：CB1⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABC1．21．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3）．（1）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；（2）若实数m，n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=的最大值和最小值．22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，又定义域为实数集R的函数f（x）=是奇函数．（1）讨论函数y=f（x）的单调性；（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．2016-2017学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是（）A．6 B．8 C．7 D．9【解答】解：∵{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5}，∴集合A中除了含有1，2两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，因此满足条件的集合A为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共7个．故选：C．2．（5分）设a，b∈R，集合A={1，a+b，a}，B={0，，b}，若A=B，则b﹣a（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2【解答】解：∵a，b∈R，集合A={1，a+b，a}，B={0，，b}，A=B，∴，解得a=﹣1，b=1，∴b﹣a=2．故选：A．3．（5分）下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A．f（x）=x，g（x）=（）2B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2C．f（x）=1，g（x）=x0D．f（x）=|x|，g（x）=【解答】解：对于A，f（x）=x（x∈R），与g（x）=（）2=x（x≥0）的定义域不同，∴不是同一函数，图象不同；对于B，f（x）=x2（x∈R），与g（x）=（x+1）2（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数，图象不同；对于C，f（x）=1（x∈R），与g（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数，图象不同；对于D，f（x）=|x|=，与g（x）=的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数，图象相同．故选：D．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）内为增函数的是（）A．y=（）x B．y=x﹣2C．y=x2+1 D．y=log3（﹣x）【解答】解：函数y=（）x是非奇非偶函数，在（﹣∞，0）内为减函数，故A不满足条件；函数y=x﹣2既是偶函数又在（﹣∞，0）内为增函数，故B满足条件；y=x2+1是偶函数，但在（﹣∞，0）内为减函数，故C不满足条件；y=log3（﹣x）是非奇非偶函数，在（﹣∞，0）内为减函数，故D不满足条件；故选：B5．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选C6．（5分）下列叙述中错误的是（）A．若点P∈α，P∈β且α∩β=l，则P∈lB．三点A，B，C能确定一个平面C．若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一个平面D．若点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α【解答】解：在A中，若点P∈α，P∈β且α∩β=l，则由公理二知P∈l，故A正确；在B中，三点A，B，C不共线时，能确定一个平面；三点A，B，C共线时，不能确定一个平面，故B错误；在C中，若直线a∩b=A，则由公理三知直线a与b能够确定一个平面，故C正确；在D中，若点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则由公理一知l⊂α，故D正确．故选：B．7．（5分）方程log2x+x=3的解所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（3，+∞）D．[2，3）【解答】解：设f（x）=log2x+x﹣3，在（0，+∞）上单调递增．∵f（2）=1+2﹣3=0，f（3）=log23＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在[2，3]区间内∴方程log2x+x=3的解所在的区间为[2，3]，故选：D．8．（5分）圆x2+y2﹣ax+2y+1=0关于直线x﹣y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．±2 D．2【解答】解：圆x2+y2﹣ax+2y+1=0 即（x﹣）2（y+1）2=，表示以A（，﹣1）为圆心，以||为半径的圆．关于直线x﹣y﹣1=0对称的圆x2+y2=1的圆心为（0，0），故有×1=﹣1，解得a=2，故选：D．9．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为（）A．（60+4）πB．（60+8）π C．（56+8）π D．（56+4）π【解答】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1==（60+4）π，故选：A．10．（5分）若直线y=x+b与曲线（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共点，则实数b的取值范围是（）A．[1﹣2，3]B．[1﹣，3] C．[﹣1，1+2]D．[1﹣2，1+2]【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==2，b=1±2，（0，3）代入直线y=x+b，可得b=3，∵直线y=x+b与曲线（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共点，∴实数b的取值范围是[1﹣2，3]，故选A．11．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法的是（）A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③【解答】解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断①正确；②水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改变的，②是不正确的；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1∥EH，所以结论正确；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选：C．12．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）【解答】解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，∴函数f（x）=在R上单调递增，∴，解得：a∈[4，8），故选：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5分）在空间直角坐标系中，已知P（2，2，5）、Q（5，4，z）两点之间的距离为7，则z=11或﹣1．【解答】解：∵空间直角坐标系中，点P（2，2，5）、Q（5，4，z）两点之间的距离为7，∴=7，即（z﹣5）2=36．解得z=11或﹣1．故答案为：11或﹣1．14．（5分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[a2﹣2，a]是偶函数，则a+b=4．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[a2﹣2，a]是偶函数∴a2﹣2+a=0∴a=﹣2或1∵a2﹣2＜a∴a=1∵偶函数的图象关于y轴对称，∴=0∴b=3∴a+b=4故答案为：4．15．（5分）已知两条平行直线3x+2y﹣6=0与6x+4y﹣3=0，则与它们等距离的平行线方程为12x+8y﹣15=0．【解答】解：两条平行直线3x+2y﹣6=0与6x+4y﹣3=0，设与它们等距离的平行线的方程为：3x+2y+b=0，由题意可得：，解得b=﹣．与它们等距离的平行线的方程为：12x+8y﹣15=0．故答案为12x+8y﹣15=0．16．（5分）已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，则a的取值范围是（﹣，）．【解答】解：将圆的方程配方得（x+）2+（y+1）2=，圆心C的坐标为（﹣，﹣1），半径r=，条件是4﹣3a2＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即＞．化简得a2+a+9＞0．由4﹣3a2＞0，a2+a+9＞0，解之得﹣＜a＜，a∈R．故a的取值范围是（﹣，）．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（Ⅰ）若a=2，求M∩（∁R N）；（Ⅱ）若M∪N=M，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若a=2，则N={x|3≤x≤5}，则∁R N={x|x＞5或x＜3}；则M∩（∁R N）={x|﹣2≤x＜3}；（Ⅱ）若M∪N=M，则N⊆M，①若N=∅，即a+1＞2a+1，得a＜0，此时满足条件，②当N≠∅，则满足，得0≤a≤2，综上a≤2．18．（12分）已知△ABC的顶点B（﹣1，﹣3），边AB上的高CE所在直线的方程为4x+3y﹣7=0，BC边上中线AD所在的直线方程为x﹣3y﹣3=0．（1）求点C的坐标；（2）求直线AB的方程．【解答】解：（1）设D（a，b），则C（2a+1，2b+3），∴，解得，∴D（0，﹣1），C（1，1）；（2）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为，即3x﹣4y﹣9=0．由，解得，∴A（3，0），∴直线AB方程为：，化简整理得，3x﹣4y﹣9=0．19．（12分）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．试求函数f（t）的解析式，并画出函数y=f（t）的图象．【解答】解：（1）当0＜t≤1时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于C、D两点，则|OC|=t，又，∴，∴（2）当1＜t≤2时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于M、N两点，则|AN|=2﹣t，又，∴∴（3）当t＞2时，综上所述20．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=CC1，M、N分别为BB1、A1C1的中点．（Ⅰ）求证：CB1⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABC1．【解答】解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且侧面BB1C1C∩底面ABC=BC，∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，∴AB⊥平面BB1C1…（2分）∵CB1⊂平面BB1C1C，∴AB⊥CB1．…（4分）∵BC=CC1，CC1⊥BC，∴BCC1B1是正方形，∴CB1⊥BC1，∵AB∩BC1=B，∴CB1⊥平面ABC1．（Ⅱ）取AC1的中点F，连BF、NF．…（7分）在△AA1C1中，N、F是中点，∴NF AA 1，B1中BM AA1，又∵正方形BCC∴NF∥BM，且NF=BM…（8分）故四边形BMNF是平行四边形，可得MN∥BF，…（10分）∵BF⊂面ABC1，MN⊄平面ABC1，∴MN∥面ABC1…（12分）21．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3）．（1）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；（2）若实数m，n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=的最大值和最小值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可化为（x﹣2）2+（y﹣7）2=8，圆心坐标为C（2，7），半径r=2，|QC|==4，|MQ|max=4+2=6，|MQ|min=4=2；（2）由题意，（m，n）是圆C上一点，k表示圆上任意一点与（﹣2，3）连线的斜率，设直线方程为y﹣3=k（x+2），直线与圆C相切时，k取得最值，即=2，∴k=2，∴k的最大值为2+，最小值为2﹣．22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，又定义域为实数集R的函数f（x）=是奇函数．（1）讨论函数y=f（x）的单调性；（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）设g（x）=a x，（a＞0且a≠1），g（3）=a3=8，故a=2，f（x）=，任取实数x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵x1＜x2，考虑y=2x在R递增，∴＞＞0，∴﹣＞0，（1+）（1+）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴y=f（x）在R递减；（2）要使f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，即f（2t﹣3t2）＞﹣f（t2﹣k）成立，即f（2t﹣3t2）＞f（k﹣t2）成立，由（1）得：2t﹣3t2＜k﹣t2，即k＞﹣2t2+2t恒成立，设h（t）=﹣2t2+2t=﹣2+，h（t）max=，故k＞．。