勾股定理导学案

1）一、三角形的边角关系：边： 角： 引例：二、探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一个直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表； （2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系?勾股定理：三、利用拼图验证勾股定理：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考：1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。

2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。

3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？例2、如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。

旗杆折断之前有多高？例3、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000米处，则飞机的飞行速度是多少？例4、求下图中字母所代表的正方形的面积。

x 1517CB A，则斜边上的高为 . 1．在△ABC 中，∠C=90°，（1）若BC =5，AC =12，则AB = ； （2）若BC =3，AB =5，则AC = ；（3）若BC ∶AC =3∶4，AB =10，则BC = ，AC = .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 .3．若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为 。

4最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2.5．一个直角三角形的两直角边长为3cm 、4cm ，斜边长为 a cm ，则以斜边为半径的圆的面积是 。

6．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则其面积为 ．2）BC=8㎝，现将ABC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长例2、如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米？例3、某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能否顺利通过该隧道？例4、 如图，铁路上A 、B 两站相距25㎞，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A,CB ⊥AB 于B,已知DA=15㎞，CB=10㎞.现在要在铁路上建一个收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少㎞处？例5、在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只猴子只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，问这棵树有多高？EDBCAADEBCS 1、S 2、S 3之间有什么关系？二、知识巩固1.等腰直角三角形三边的平方比为2.等腰三角形的底边为10cm ，周长为36cm ，则它的面积是 cm 2.3.长方形的一条对角线的长为10cm ，一边长为6cm ，它的面积是4.Rt ∆ABC 中，︒=∠90C ，AB=2，则AB 2+BC 2+CA 2= .5.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．6.直角三角形两直角边的比为3：4，面积是24，求这个三角形的周长.Ｄ条件： 结论： 2、分别以下列每组数为三边作出三角形，它们都是直角三角形吗? (1)3, 4, 5, (2)6, 8, 10 （3）9,12,15 勾股逆定理：条件： 结论： 3、勾股数： 。

下列几组数是否为勾股数？说说你的理由。

（1）12，18，22(2) 9, 12, 15二、典型例题例1、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠Ａ和∠ＤＢＣ都应为直角。

工人师傅量得AB=3，AD=4,BD=5,BC=12,DC=13,这个零件符合要求吗？例2、如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？例3、（1）如果将一组勾股数扩大相同的倍数，得到的还是勾股数吗？填写下表，并验证。

（2）如果一直角三角形的三边长为a 、b 、c(c 是斜边长)，将三边长都扩大k 倍(k 为任意正整数)后，得到的还是直角三角形吗？说明理由。

例4、在△ABC 中，三条边长分别为a,b,c,a=n 2-1,b=2n,c=n 2+1(n ＞1)。

试判断△ABC 的形状.例5、 如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900, 求这块草地的面积。

三、知识巩固：1. 下列说法正确的是( )A. 若a 、b 、c 是ABC 的三边，则222a b c +=B. 若a 、b 、c 是Rt ABC 的三边，则222a b c +=C. 若a 、b 、c 是Rt ABC 的三边90A ∠= ，则222a b c +=D. 若a 、b 、c 是Rt ABC 的三边90C ∠= ，则222a b c +=2、下列几组数中，是勾股数的是（ ）A 、4，5，6B 、12，16，20C 、-10，24，26D 、2.4，4.5，5.1（ａ２＋ｂ2－ｃ2）＝０，则△ＡＢＣ是Ｃ、等腰直角三角形 Ｄ、等腰三角形或直角三角形4、 有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来﹙ ﹚ A ．13，12，12 ； B ．12，12，8； C ．13，10，12 ； D ．5，8，45、如图，在平行四边形ABCD 中，CA ⊥AB ，若AB=3，BC=5，则平行四边形ABCD 的面积为6、当m= 时，以m+1，m+2，m+3的长为边的三角形是直角三角形。

D一、知识回顾： 有理数：______和______统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n （m ，n 都是整数，且n≠0）的形式。

任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 有理数的分类：无理数：无限不循环小数叫无理数 。

像π，0.585885888588885…，1.41421356…，2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数 实数：分为有理数和无理数两类。

实数的分类：⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数例：练习：在73; －π； ；0；0.3 ；3π；0.33 ；0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）中属于有理数的有： 属于无理数的有： 属于实数的有： 训练作业：一、按要求完成下列题目有理数∙7.3，－π，－712..把下列各数分别填入相应的集合里： π31-，1322-，7，327，0.1010010001…，0.5，36.0-，39，924，16 实数集{ …}， 无理数集{ …}， 有理数集{ …}， 分数集{ …}， 负无理数集{ …} 3.判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。

（1） 无限小数都是无理数；（ ） （2） 无理数都是无限小数（ ） （3）有理数都是实数，实数不都是有理数；（ ） （4） 实数都是无理数，无理数都是实数；（ ） （5） 实数的绝对值都是非负实数；（ ） （6）有理数都可以表示成分数的形式。

（ ）（7） 有理数与无理数的差都是有理数. （ ） （8） 两个无理数的和不一定是无理数（ ）平方根(一)一、预习导学： 1. 算术平方根1.计算：42= ； 72= ；92 = ;112= 。

2．填底数：( )2=16，（ ）2=49，( )2=81，( )2=121. 3.2z =______2w =______二、探索新知算术平方根的概念：一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 就叫做a 的 ____记做 ；读叫做 .注：特别地,我们规定0的算术平方根是0,即00 . 2. 例1 求下列各数的算术平方根：（1）900； （2）1； （3）6449； （4）14． 例2自由下落物体的高度h （米）与下落时间t （秒）的关系为h =4.9t 2．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？结论：（1）算术平方根的概念，式子a 中的双重非负性：一是a ≥0，二是a ≥0．0的算术平方根是0；负1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ； 2．9的算术平方根是 ； 3．232(的算术平方根是 ； 4．若22=+m ，则2)2(+m = ． （二）、求下列各数的算术平方根：36，144121，15，0.81，410-，1.96，0)65(，610，259三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？四、一个正方形的面积变为原来的4倍，其边长变为原来的多少倍？面积变为原来的9倍，其边长变为原来的多少倍？面积变为原来的100倍，其边长变为原来的多少倍？面积变为原来的n 倍，其边长变为原来的多少倍？CA9.什么样的数有平方根？10.算术平方根与平方根的区别与联系是什么？谈谈你的看法？11.负数为什么没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因是什么？12.什么叫开平方呢？我们共学了几种运算呢，这几种运算之间有怎样的联系呢？13.一个正数有几个平方根？14.0有几个平方根?二、探讨，总结：A.平方根与算术平方根的联系与区别联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0.区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数a的平方根表示为±a，正数a的算术平方根表示为a.(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.B.一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

0只有一个平方根，它是0本身。

负数没有平方根。

一个正数a有两个平方根,它们互为相反数。

正数aa 的负的平方根,记作“-a ”，这两个C. 开平方与平方互为逆运算。

因此，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根。

D.E. 一般地,如果一个数的平方根等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也称为二次方根.也就是说,如果x2=a,那么x 叫做a 的平方根.三、巩固练习：1、判断题（正确的打“∨”，错误的打“×”）；（1）任意一个数都有两个平方根，它们互为相反数； （ ） （2）数a （ ） （3）—4的算术平方根是2； （ ） （4）负数不能开平方； （ ）（5=8． （ ） 2.判断下列各数是否有平方根？并说明理由.(1)(－3)2；(2)0；(3)－0.01；(4)－52；(5)－a 2；(6)a 2－2a +2 3.求下列各数的平方根. (1)121；(2)0.01；(3)297；(4)(－13)2；(5)－(－4)34.对于任意数a ，2a 一定等于a 吗？5.a 中的被开方数a 在什么情况下有意义，(a )2等于什么？四、作业_a的负平方_a的正平方_ 被开方_ 根A．±8 B．±4 C．±2 D 3． 4的平方的倒数的算术平方根是（）A．4 B．18C．-14D．144．计算：（1）（2（3（4 5．求下列各数的平方根．（1）100；（2）0；（3）925；（4）1；（5）11549；（6）0．096_______；9的平方根是_______．立方根预习导学一、创设问题情境，引入立方根概念1.问题2要做一只容积为125cm3的正方体木箱，它的棱长是多少? 与“平方根”类似，讨论和研究以下问题：（A）这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题?如何解？（B）你能找一个数，使这个数的立方等于125吗?2.试一试我们先来算一算一些数的立方.23=______ ;(-2)3=______; 0.53=_____;(-0.5)3=______;(23)3=_____;-(23)3•=_____ ; 03=______.3.立方根的表示方法：类似平方根定义可知,若3x=a则x为a的立方根,读作“三次根号a”51253= a 叫做被开放数。