3.1.1不等关系 课件1(高中数学必修五北师大版)
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高中数学 不等关系课件 北师大版必修5
设儿童身高为h（单位：m）物品外部尺寸长、 宽、高之和为p(单位：cm),请在下表空格内填上 对应的数学符号（﹤，≤，﹥，≥） 文字 表述 符号 表示 不超过 160cm
１.１～１.４ m
超过1.4m
不足1.1m
1.1 h 1.4
h 1.4 h 1.1 p 160
例3 下图给出的是我国长江流域片各省、自治区、直辖市水质状况直 方图。请根据图中信息将各省、自治区、直辖市污染程度按小到大的顺序 （＜，≤）进行排列。 优于Ⅲ 2001年长江流域片各省、自治区、直辖市水质状况 类（含）
谢谢大家，再见！
那么这些不等关系用什 么来表示呢？
问题情景：两条1m长的小铁丝，如果把一条铁丝围
成一个圆，把另一条铁丝围成一个正方形.
1m
设两个图形的周长和面积分别为 C 圆 , C 方 ， 圆 , 方 .试判 断(1)两个周长的大小关系；（2）两个面积的大小关系.
s s
2
解:
(1)
C
圆=
C
2
方
1 1 1 1 2 2 (2) S圆 0.08( m ) S 0.06( m ) 方 2 4 4 16
3.设点A与平面 的距离为d，Ｂ为平面 上的任意一点，写出d满足的不等式. 0≤ d≤|AB| 4.如下图：在一个面积为350平方米的矩形地基 上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ 大于宽Ｗ的4倍．写出L与W的关系
5m 5m 5m
5m
( L 10)(W 10) 350, L 4W L 0 W 0
60x 70 y 500 x 3且x N y 2且y N
这是一个不等式组的问题
3.1.1《不等关系》习题课 课件(北师大版 必修5)
• • • • • •
[例1] 对于实数a、b、c，判断下列命题的真假： (1)若a>b，则ac>bc； (2)若a>b，则ac2>bc2； (3)若a<b<0，则a2>ab>b2； (4)若a<b<0，则 (5)若a<b<0，则
• 解析：(1)因未知c的正负或是否为零，无法
确定ac与bc的大小，所以是假命题； • (2)因为c2≥0，所以只有c≠0时才能正确．c＝ 0时，ac2＝bc2，所以是假命题； • 变式：若ac2>bc2，则a>b，此命题是真命题； • (3)a<b，a<0⇒a2>ab；a<b，b<0⇒ab>b2，命 题是真命题；
• [例4] 已知a>0，试比较a与
∵a>0，
的大小．
2 1 a －1 a－1a＋1 解析：∵a－a＝ a ＝ ， a
a－1a＋1 1 ∴当 a>1 时， >0，有 a> ； a a a－1a＋1 1 当 a＝1 时， ＝0，有 a＝a； a a－1a＋1 1 当 0<a<1 时， <0，有 a<a. a
1 1 ③b<0<a；④0<b<a，其中能使 a < b 成立的充分条件有 ________．
1 1 b－a 解析：a<b⇔ ab <0⇔b－a 与 ab 异号，而①②④能使 b－a 与 ab 异号．
答案：①②④
• [例7] 设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求
f(－2)的取值范围．
• 分析：本题是关于x的一元二次函数，可以
利用换元法来求解．在求解时一定要注意已 知条件中a、b的关系，准确把握a、b的取值 范围，否则容易出错．下面我们再用一种新 的方法——待定系数法来求解．
北师大版高中数学必修《不等关系》PPT(新版)1
爸我 爸觉 ，得
上 面 ，
的 线 段 长 耶 。这是有名的“缪勒莱耶错觉”
小组合作探究
问题1：如果比较的是任意两个实数a，b的大小
，比较结果有几种情况？ （请借助数轴画图分析说明）
x O
2021/3/2
25/40
AO
AA O A A O
B x a<b
x
B B
x
B B
AO
AA O A A O
B x a<b
2021/3/2
在他的著作里第一次出现了今 天的不等号（＞，＜）.
11/40
北 师大版 高中数 学必修 《不等 关系》P PT（新 版）1
北 师大版 高中数 学必修 《不等 关系》P PT（新 版）1
不等式的定义
用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）表 示不等关系的式子叫不等式。记作：
f(x)>g(x);f(x) ≤g(x)
2021/3/2
北 师大版 高中数 学必修 《不等 关系》P PT（新 版）1
12/40
北 师大版 高中数 学必修 《不等 关系》P PT（新 版）1
不等关系与不等式之间
是什么关系？
2021/3/2
北 师大版 高中数 学必修 《不等 关系》P PT（新 版）1
13/40
北 师大版 高中数 学必修 《不等 关系》P PT（新 版）1
B B
x
a>b
B B x a=b
在学校，你有没有过和同学比一次 的经历呢？ 比的什么？怎么比的？ 能不能和我们分享一下.
15/40
北 师大版 高中数 学必修 《不等 关系》P PT（新 版）1
不等关系与不等式的关系
不等式可以 表示 不等关系，不等 关系可以 刻画 不等式，不等式是 研究不等关系的 数学工具 。
2019-2020高中北师版数学必修5第3章 §1 1.1 不等关系 1.2 不等关系与不等式课件PPT
3x＋5y≤20， 5x＋4y≤25， x≥1，x∈N＋， y≥1，y∈N＋.
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(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等关系所联系的量； ②用适当的不等号连接； ③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示． (2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质， 可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用 不等式(组)来表示．
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[解] (1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－ 1)＝(3x2＋1)(x－1)．
因为 x≤1，所以 x－1≤0，而 3x2＋1>0.所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 所以 3x3≤3x2－x＋1.
(2)因为 5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋ y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以 5x2＋y2＋z2≥2xy ＋4x＋2z－2，当且仅当 x＝y＝12且 z＝1 时取到等号．
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(2)不等式的性质 ①对称性：若 a＞b，则 b＜a；若 b＜a，则 a＞b. ②传递性：若 a＞b，b＞c，则 a＞c. ③同向可加性：若 a＞b，c＞d，则 a＋c＞b＋d. ④同向的可乘性：若 a＞b＞0，c＞d＞0，则 ac＞bd. ⑤乘方法则：若 a＞b＞0，则 an＞bn(n∈N＋，且 n≥2)．
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1．如果 a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是( )
A．1a＜1b
B． －a＜ b
C．a2＜b2
D．|a|＞|b|
A [A 正确，B、C、D 可举反例排除，如对 B、C，设 a＝－9，
高中数学新人教B版必修5课件：第三章不等式3.1.1不等关系与不等式
知识点二 p推出q的符号表示 1.“如果p，则q”为正确的命题，则简记为p_⇒__q，读作“p推出q”. 2.如果p⇒q，且q⇒p都是正确的命题，则记为p_⇔__q，读作“p等价于q”或 “q等价于p”. 知识点三 作差法 作差法的理论根据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.
x>95，
C.y>380， z>45
x≥95，
√
D.y>380， z>45
解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”， ∴x≥95，y>380，z>45.
1234
2.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是
A.a>b>－b>－a
√C.a>－b>b>－a
B.a>－b>－a>b D.a>b>－a>－b
跟踪训练1 (1)雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高. 设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是_4_._5_t<_2_8__0_0_0_.
解析 由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.
(2)配制 A，B 两种药剂，需要甲，乙两种原料.已知配一剂 A 种药需甲料 3 克， 乙料 5 克；配一剂 B 种药需甲料5克，乙料 4 克.今有甲料 20 克，乙料 25 克， 若 A，B 两种药至少各配一剂，设 A，B 两种药分别配 x，y 剂(x，y∈N)，请 写出 x，y 所满足的不等关系.
命题角度2 作差法证明不等式 例3 证明函数 f (x)＝x3(x∈R)为增函数.
精品课件高中数学《不等关系》
������ ������+������
怎么判定“<”的关系成立？������又是怎样的 数？
新知初探
一般地 用不等号将两个式子连接起来所成的 式子叫不等式.
种类
小于号
大于号
小于或等于号
大于或等于号 于）
不等于
符号
< > ≤ ≥ ≠
实际意义
读法
小于、不足
小于
大于、高于
大于
不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于）
…… 十、旅客每人免费携带品的体积和质量是每件物品的外部尺寸长、宽、高之 和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，质量不超过20千克……”
设儿童身高为ℎ(单位:m)，物品外部尺寸长、宽、高之和为������(单位:cm), 请在下表空格内填上对应的数学符号(<, ≤, >, ≥)，并与同学交流.
解 设人的脚尖立起提高了������
则下半身与全身的长度比由 ������ 变成了 ������+������
������
������+������
(这个比值非常
接近0. 618.)
用来解释这种现象的数学关系是������. ������������ ≈ ������ < ������+������ ≈ ������. ������������������.
7 790
������′������>������′������
������������>������������
������������ < ������������
例题选讲
例2《铁路旅行常识》规定 “一、随同成人旅行身高1.2~1.5米的儿童,享受半价客票(以下称儿童 票)，超过1.5米时应买全价票.每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的 儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.
怎么判定“<”的关系成立？������又是怎样的 数？
新知初探
一般地 用不等号将两个式子连接起来所成的 式子叫不等式.
种类
小于号
大于号
小于或等于号
大于或等于号 于）
不等于
符号
< > ≤ ≥ ≠
实际意义
读法
小于、不足
小于
大于、高于
大于
不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于）
…… 十、旅客每人免费携带品的体积和质量是每件物品的外部尺寸长、宽、高之 和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，质量不超过20千克……”
设儿童身高为ℎ(单位:m)，物品外部尺寸长、宽、高之和为������(单位:cm), 请在下表空格内填上对应的数学符号(<, ≤, >, ≥)，并与同学交流.
解 设人的脚尖立起提高了������
则下半身与全身的长度比由 ������ 变成了 ������+������
������
������+������
(这个比值非常
接近0. 618.)
用来解释这种现象的数学关系是������. ������������ ≈ ������ < ������+������ ≈ ������. ������������������.
7 790
������′������>������′������
������������>������������
������������ < ������������
例题选讲
例2《铁路旅行常识》规定 “一、随同成人旅行身高1.2~1.5米的儿童,享受半价客票(以下称儿童 票)，超过1.5米时应买全价票.每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的 儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.
3.1 不等关系课件 (北师大版必修5)
辆．根据题意，应有如下的不等关系： (1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； (2)车队每天至少要运360 t矿石； (3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．
用关于 x，y 的不等式表示上述不等关系即可． x＋y≤9， 10×6x＋6×8y≥360， 0≤x≤4，且x∈N， 0≤y≤7，且y∈N. x＋y≤9， 5x＋4y≥30， 即 0≤x≤4，且x∈N， 0≤y≤7，且y∈N.
[精解详析] x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) 12 3 ＝(x－1)[(x－ ) ＋ ]． 2 4
∵x＞1，∴x－1＞0. 12 3 又(x－ ) ＋ ＞0， 2 4 1 3 ∴(x－1)[(x－ )2＋ ]＞0. 2 4 ∴x3－1＞2x2－2x.
[一点通]
(1)此类问题的难点是如何正确地找出
题中的显性不等关系和隐性不等关系，如本例中驾驶 员的人数限制了车辆数，所以甲型卡车和乙型卡车的 总和不能超过驾驶员人数，这个不等关系易忽略．
(2)当问题中同时满足几个不等关系，则应用不 等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题，y的不等式组来
7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天 至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天 可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足
上述所有不等关系的不等式．
[思路点拨] 认真分析题意，留意所给材料中的
每个数字，弄清其出现的意义，写出所能表达的每一 个不等式．
[精解详析]
设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y
不能超过700 mm钢管的3倍，若截500 mm的钢管x 根，截700 mm的钢管y根，请写出满足上述所有不
3.1.1不等关系 课件(北师大版必修5)
第三章 不等式
导.学. 固. 思
知识点
新课程标准的要求 层次要求 1.通过具体情景,了解不等式(组)的实际背景,借助数轴,能从“形” 领域目标要求
不等关系与不等式
和“数”两个方面来认识不等式 2.理解不等式的性质,能运用不等式的性质证明简单不等式以及解不 等式 1.掌握求解一元二次不等式的基本方法 1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活 中存在着大量的不等关系,体会不等式(组)对 于刻画不等关系的意义和价值 2.体会线性规划的基本思想,借助几何直观解 决一些简单的线性规划问题 3.通过实例,体验数学与日常生活的联系,感受 数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力
一元二次不等式
2.掌握一元二次不等式在实际问题中的应用 3.了解简单的一元高次不等式和分式不等式的解法
二元一次不等式 (组)及简单的线性 规划问题 基本不等式
1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等 式组 2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解 决 1.学会推导并掌握基本不等式
应满足的不等关系是( D ).
A.x+y>120 C.x+y≥120 B.x+y<120 D.x+y≤120
【解析】A是表示总量大于120吨,B表示总量小于120吨,D表示 总量不多于120吨(即至多120吨),因为甲、乙两种材料总量至少需 要120吨,故应为x+y≥120.
导.学. 固. 思 2
4
比较 x +3 与 3x 的大小,其中 x∈R.
2 2 2
2
【解析】∵(x +3)-3x=x -3x+3=[x -3x+( ) ]-( ) +3=(x- ) + ≥ >0,
导.学. 固. 思
知识点
新课程标准的要求 层次要求 1.通过具体情景,了解不等式(组)的实际背景,借助数轴,能从“形” 领域目标要求
不等关系与不等式
和“数”两个方面来认识不等式 2.理解不等式的性质,能运用不等式的性质证明简单不等式以及解不 等式 1.掌握求解一元二次不等式的基本方法 1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活 中存在着大量的不等关系,体会不等式(组)对 于刻画不等关系的意义和价值 2.体会线性规划的基本思想,借助几何直观解 决一些简单的线性规划问题 3.通过实例,体验数学与日常生活的联系,感受 数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力
一元二次不等式
2.掌握一元二次不等式在实际问题中的应用 3.了解简单的一元高次不等式和分式不等式的解法
二元一次不等式 (组)及简单的线性 规划问题 基本不等式
1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等 式组 2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解 决 1.学会推导并掌握基本不等式
应满足的不等关系是( D ).
A.x+y>120 C.x+y≥120 B.x+y<120 D.x+y≤120
【解析】A是表示总量大于120吨,B表示总量小于120吨,D表示 总量不多于120吨(即至多120吨),因为甲、乙两种材料总量至少需 要120吨,故应为x+y≥120.
导.学. 固. 思 2
4
比较 x +3 与 3x 的大小,其中 x∈R.
2 2 2
2
【解析】∵(x +3)-3x=x -3x+3=[x -3x+( ) ]-( ) +3=(x- ) + ≥ >0,
高中数学第三章不等式3.1不等关系3.1.1不等关系3.1.2不等关系与不等式课件北师大必修5
即“>”，所以y>380， z>45.
2．若 m≠2 且 n≠－1，则 M＝m2＋n2－4m＋2n 的值与－5 的
大小关系为( )
A．M>－5
B．M<－5
C．M＝－5
D．不确定
解析：选 A.因为 m≠2，n≠－1，所以 M＝(m－2)2＋(n＋1)2 －5>－5.
3．已知 a>b>c，则a－1 b＋b－1 c＋c－1 a的值为__________(填“正 数”“非正数”“非负数”)． 解析：因为 a>b>c，所以 a－b>0，b－c>0，a－c>b－c>0.所以 a－1 b>0，b－1 c>0，a－1 c<b－1 c， 所以a－1 b＋b－1 c－a－1 c>0， 所以a－1 b＋b－1 c＋c－1 a为正数． 答案：正数
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c ＞ b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac ＞ bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an ＞ bn(n∈N＋)．
(8)开方法则：a＞b＞0⇒n a ＞ n b(n∈N＋)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数 a 不大于－2，用不等式表示为 a≥－2.( × ) (2)不等式 x≥2 的含义是指 x 不小于 2.( √ ) (3)若 a<b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正确．( √ ) (4)若 a>b，则 ac>bc 一定成立．( × ) (5)若 a＋c>b＋d，则 a>b，c>d.( × )
5x＋4y≤25， 【解】 根据题意可得x≥1，x∈N，
y≥1，y∈N.
(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等关系所联系的量； ②用适当的不等号连接； ③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示． (2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质， 可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间 不能用不等式(组)来表示.
2．若 m≠2 且 n≠－1，则 M＝m2＋n2－4m＋2n 的值与－5 的
大小关系为( )
A．M>－5
B．M<－5
C．M＝－5
D．不确定
解析：选 A.因为 m≠2，n≠－1，所以 M＝(m－2)2＋(n＋1)2 －5>－5.
3．已知 a>b>c，则a－1 b＋b－1 c＋c－1 a的值为__________(填“正 数”“非正数”“非负数”)． 解析：因为 a>b>c，所以 a－b>0，b－c>0，a－c>b－c>0.所以 a－1 b>0，b－1 c>0，a－1 c<b－1 c， 所以a－1 b＋b－1 c－a－1 c>0， 所以a－1 b＋b－1 c＋c－1 a为正数． 答案：正数
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c ＞ b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac ＞ bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an ＞ bn(n∈N＋)．
(8)开方法则：a＞b＞0⇒n a ＞ n b(n∈N＋)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数 a 不大于－2，用不等式表示为 a≥－2.( × ) (2)不等式 x≥2 的含义是指 x 不小于 2.( √ ) (3)若 a<b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正确．( √ ) (4)若 a>b，则 ac>bc 一定成立．( × ) (5)若 a＋c>b＋d，则 a>b，c>d.( × )
5x＋4y≤25， 【解】 根据题意可得x≥1，x∈N，
y≥1，y∈N.
(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等关系所联系的量； ②用适当的不等号连接； ③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示． (2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质， 可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间 不能用不等式(组)来表示.
高中数学北师大必修5课件：3.1.1+2 不等关系 不等关系与不等式
6．开方法则：若a＞b＞0，则n a＞n b(n∈N＋，且n≥2)． 7．同号取倒数反序性：若a＞b，ab＞0，则1a＜1b.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当x＝2时，x≥2一定成立．( ) (2)a2一定大于a.( ) (3)若a＞b，则1a＜1b.( ) 【解析】 (1)“≥”表示大于或等于． (2)a＝0时，a2＝a. (3)若a＞b＞0，则1a＜1b；当a＝2，b＝－1时不成立． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×
[再练一题] 1．某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照 生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍，请写出满足上述 所有不等关系的不等式．
【解】 设截得的500 mm钢管x根，截得的600 mm钢管y根． 根据题意，应满足的不等关系为：
【尝试解答】 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．根据题意，应有 如下的不等关系：
(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； (2)车队每天至少要运360 t矿石； (3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．用关于x，y的不等式表 示上述不等关系即可．
x＋y≤9， 10×6x＋6×8y≥360， 0≤x≤4，且x∈N， 0≤y≤7，且y∈N，
阶
阶
段
段
一
三
§1 不等关系
1.1 不等关系
学
阶 段 二
1.2 不等关系与不等式
业 分 层 测评来自1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景．(难点) 3．能用作差法比较大小．(重点)
[基础·初探]
教材整理1 不等式中的数学符号
阅读教材P69～P71“练习”以上部分，完成下列问题． 两个数或代数式常用以下数学符号连接：“＝”，“≠”，“＞”， “＜”，“≥”，“≤”.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当x＝2时，x≥2一定成立．( ) (2)a2一定大于a.( ) (3)若a＞b，则1a＜1b.( ) 【解析】 (1)“≥”表示大于或等于． (2)a＝0时，a2＝a. (3)若a＞b＞0，则1a＜1b；当a＝2，b＝－1时不成立． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×
[再练一题] 1．某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照 生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍，请写出满足上述 所有不等关系的不等式．
【解】 设截得的500 mm钢管x根，截得的600 mm钢管y根． 根据题意，应满足的不等关系为：
【尝试解答】 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．根据题意，应有 如下的不等关系：
(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； (2)车队每天至少要运360 t矿石； (3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．用关于x，y的不等式表 示上述不等关系即可．
x＋y≤9， 10×6x＋6×8y≥360， 0≤x≤4，且x∈N， 0≤y≤7，且y∈N，
阶
阶
段
段
一
三
§1 不等关系
1.1 不等关系
学
阶 段 二
1.2 不等关系与不等式
业 分 层 测评来自1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景．(难点) 3．能用作差法比较大小．(重点)
[基础·初探]
教材整理1 不等式中的数学符号
阅读教材P69～P71“练习”以上部分，完成下列问题． 两个数或代数式常用以下数学符号连接：“＝”，“≠”，“＞”， “＜”，“≥”，“≤”.
高中数学 3.1 不等关系同步课件 北师大版必修5
第十六页，共38页。
（2）作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后 (ránhòu)比较它们的商与1的大小. 作商法的一般步骤： 作商——变形—商与1的大小.
第十七页，共38页。
【例2】设x＜y＜0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大 小. 【审题指导】利用作差法或作商法比较它们的大小.作差法要 注意(zhù yì)对多项式进行因式分解，作商法要注意(zhù yì) 每一个因式的符号.
第十八页，共38页。
【规范解答( jiědá)】方法一：（x2+y2）(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)［x2+y2-(x+y)2］=-2xy(x-y),
∵x＜y＜0,∴xy＞0,x-y＜0,
∴-2xy(x-y)＞0,
∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).
方法二：∵x＜y＜0,∴x-y＜0,x2＞y2,x+y＜0.
第三十四页，共38页。
4.设a>b>c>0,x= a2 (b c)2,y= b2 (a c),2z= x,y,z的大小(dàxiǎo)顺序是__________.
c2 (a b,)2则
【解析】方法一：∵y2-x2=2c(a-b)>0，∴y>x.
同理，z>y,∴z>y>x.
方法二：令a=3,b=2,c=1，x= 答案:z>y>x
第一页，共38页。
第二页，共38页。
1.通过实例了解生活中的不等关系(重点). 2.用不等式（组）正确表示出不等关系(难点). 3.掌握(zhǎngwò)实数大小的比较方法及实数运算的基本性质 (难点、易错点).
（2）作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后 (ránhòu)比较它们的商与1的大小. 作商法的一般步骤： 作商——变形—商与1的大小.
第十七页，共38页。
【例2】设x＜y＜0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大 小. 【审题指导】利用作差法或作商法比较它们的大小.作差法要 注意(zhù yì)对多项式进行因式分解，作商法要注意(zhù yì) 每一个因式的符号.
第十八页，共38页。
【规范解答( jiědá)】方法一：（x2+y2）(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)［x2+y2-(x+y)2］=-2xy(x-y),
∵x＜y＜0,∴xy＞0,x-y＜0,
∴-2xy(x-y)＞0,
∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).
方法二：∵x＜y＜0,∴x-y＜0,x2＞y2,x+y＜0.
第三十四页，共38页。
4.设a>b>c>0,x= a2 (b c)2,y= b2 (a c),2z= x,y,z的大小(dàxiǎo)顺序是__________.
c2 (a b,)2则
【解析】方法一：∵y2-x2=2c(a-b)>0，∴y>x.
同理，z>y,∴z>y>x.
方法二：令a=3,b=2,c=1，x= 答案:z>y>x
第一页，共38页。
第二页，共38页。
1.通过实例了解生活中的不等关系(重点). 2.用不等式（组）正确表示出不等关系(难点). 3.掌握(zhǎngwò)实数大小的比较方法及实数运算的基本性质 (难点、易错点).
《 不等关系》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修5(北师大版)】
发射成功，实现了中华 民族千年的飞天梦想。这是自 1970 年 4 月 24 日成功发射“东方红 一号”人造卫星以来，我国航天史上又一座新的里程碑，我国已成为继俄、美之后，世界上 第三个掌握载人航天技术、成功发射载人飞船的国家。
新课学习
东方红一号”与“神舟”五号部分参数对比表
近地点 s/km 远地点 s′/km 绕地球一周 t/min 飞船质量 m/kg
北师大版·统编教材高中数学必修5
第三单元·不等式
不等关系
新课学习
问题：《西游：降魔篇》普通票，每位 60 元。团体票：50 人以上（含 50 人），8 折优惠。 那么看《西游：降魔篇》是买团体票划算还是买普通票划算？
解：设看电影的学生有 x 人（x<50）， 当 60x>50×60×0.8 时，买团体票划算，所以 x>40。 答：x>40 时买团体票划算；x<40 买普通票划算；x=40 两种价格一样。
…… 十、旅客每人免费携带品的体积和重量是每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过 160 厘米，杆状物品不超过 200 厘米，重量不得超过 20 千克……。”
新课学习
设儿童身高为 h(m)，物品外部尺寸长、宽、高之和为 p(cm)，请在下表空格内填上对 应的数学符号(＜，≤，＞，≥)，并与同学交流。
课后作业
1. 课本 71 页练习 1.2 2 .使用两种零件 A，B 装配两种产品甲、乙，该厂的生产能力是月产量甲最多 2 500 件，月产 量乙最多 1 200 件，而组装一件产品，甲需要 4 个 A、2 个 B；乙需要 6 个 A，8 个 B。某个 月，该厂能用的 A 最多有 14 000 个，B 最多有 12 000 个。用不等式将甲、乙两种产品产量 之间的关系表示出来。
新课学习
东方红一号”与“神舟”五号部分参数对比表
近地点 s/km 远地点 s′/km 绕地球一周 t/min 飞船质量 m/kg
北师大版·统编教材高中数学必修5
第三单元·不等式
不等关系
新课学习
问题：《西游：降魔篇》普通票，每位 60 元。团体票：50 人以上（含 50 人），8 折优惠。 那么看《西游：降魔篇》是买团体票划算还是买普通票划算？
解：设看电影的学生有 x 人（x<50）， 当 60x>50×60×0.8 时，买团体票划算，所以 x>40。 答：x>40 时买团体票划算；x<40 买普通票划算；x=40 两种价格一样。
…… 十、旅客每人免费携带品的体积和重量是每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过 160 厘米，杆状物品不超过 200 厘米，重量不得超过 20 千克……。”
新课学习
设儿童身高为 h(m)，物品外部尺寸长、宽、高之和为 p(cm)，请在下表空格内填上对 应的数学符号(＜，≤，＞，≥)，并与同学交流。
课后作业
1. 课本 71 页练习 1.2 2 .使用两种零件 A，B 装配两种产品甲、乙，该厂的生产能力是月产量甲最多 2 500 件，月产 量乙最多 1 200 件，而组装一件产品，甲需要 4 个 A、2 个 B；乙需要 6 个 A，8 个 B。某个 月，该厂能用的 A 最多有 14 000 个，B 最多有 12 000 个。用不等式将甲、乙两种产品产量 之间的关系表示出来。
高中数学 第三章 不等关系课件 北师大版必修5
4.经长期观察某港口水的深度y是时间t(0≤t≤24)的函 数且近似满足关系式y=3sin t+10. 一般情况下船舶 6 航行时船底离海底的距离为5m或5m以上认为安全 . 某船的吃水深度6.5m. 在同一天内，问该船何时能安 全进出港口？（不求解）
解：由题意，得
3sin
6
t 10≥6.5 5
y≥0
即：
（这是一个不等式组）
x≥0
2x-y ≥50 y≥25
分析 维生素A含量
100kg食品 食物甲 食物乙 食物丙 x kg y kg （100-x-y）kg 至少35000单位 300x
+
维生素B含量
至少40000单位 700x
+
500y
+
100y
+
Hale Waihona Puke 300(100-x-y)300(100-x-y)
解：由图可得
x x 1 . 2
2
y
g ( x) x2 1
分析
1
f ( x) x 2
0 1
x
抛物线在直线上方 抛物线方程为 直线方程为
f ( x) g ( x)恒成立
f ( x) x 1
2
x g ( x) 2
四、反馈练习
1.某种植物适宜生长的温度为18℃--20℃的山区，已 知山区海拔每升高100m，气温下降0.55℃.现测得山
分析
实际问题: 销售收入超过22.4万元,
数学问题：销售收入>22.4万元.
销售收入 ＝ 每本价格
提高 x元
× 发行量 减少 x 0.5× 万册 0.2
5x ( 2 x )(10 )万元 2
解：由题意，得
3sin
6
t 10≥6.5 5
y≥0
即：
（这是一个不等式组）
x≥0
2x-y ≥50 y≥25
分析 维生素A含量
100kg食品 食物甲 食物乙 食物丙 x kg y kg （100-x-y）kg 至少35000单位 300x
+
维生素B含量
至少40000单位 700x
+
500y
+
100y
+
Hale Waihona Puke 300(100-x-y)300(100-x-y)
解：由图可得
x x 1 . 2
2
y
g ( x) x2 1
分析
1
f ( x) x 2
0 1
x
抛物线在直线上方 抛物线方程为 直线方程为
f ( x) g ( x)恒成立
f ( x) x 1
2
x g ( x) 2
四、反馈练习
1.某种植物适宜生长的温度为18℃--20℃的山区，已 知山区海拔每升高100m，气温下降0.55℃.现测得山
分析
实际问题: 销售收入超过22.4万元,
数学问题：销售收入>22.4万元.
销售收入 ＝ 每本价格
提高 x元
× 发行量 减少 x 0.5× 万册 0.2
5x ( 2 x )(10 )万元 2
高中数学北师大版必修5课件：3.1.1 不等关系
2.在数学表达式 ①-3<0,②4x+3y>0,③x=3,④x2-xy+y2,⑤x≠5,⑥x+2>y+3 中,不等式的 个数是( ). A.1 B.3 C.4 D.5 答案:C
3.一个两位数的个位数字为 a,十位数字为 b,且这个两位数大于 50, 可用不等式表示为 . 答案:50<10b+a<100
题型二
用不等式组表示不等关系
【例 2】 某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车,有 9 名驾驶员.此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂. 已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次,乙型卡车每辆每天可往返 8 次, 写出满足上述所有不等关系的不等式. 分析:设每天派出甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆.根据题意,应有如下的 不等关系: (1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数; (2)车队每天至少要运 360 t 矿石; (关于 x,y 的不等式表示上述不等关系即可. 解:设每天派出甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,则 x + y ≤ 9, x + y ≤ 9, 10 × 6x + 6 × 8y ≥ 360, 5x + 4y ≥ 30, 即 0 ≤ x ≤ 4,x∈������, 0 ≤ x ≤ 4,x∈������, 0 ≤ y ≤ 7,y∈������, 0 ≤ y ≤ 7,y∈������.
第三章
不等式
§ 1
不等关系
1.1
不等关系
知识能力目标引航 1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等 关系. 2.了解不等式(组)的实际背景.
在日常生活中,不等关系处处存在.在数学意义上,不等关系可以 体现为: (1)常量与常量之间的不等关系; (2)变量与常量之间的不等关系; (3)函数与函数之间的不等关系; (4)一组变量之间的不等关系. 常见文字语言与数学符号之间的转换如下表: 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 > ≤ 大于 至多 < ≥ 小于 至少 ≥ 大于等于 ≥ 不少于 ≤ 小于等于 ≤ 不多于
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第三章 不等式
知识点
新课程标准的要求 层次要求 1.通过具体情景,了解不等式(组)的实际背景,借助数轴,能从“形” 领域目标要求
不等关系与不等式
和“数”两个方面来认识不等式 2.理解不等式的性质,能运用不等式的性质证明简单不等式以及解不 等式 1.掌握求解一元二次不等式的基本方法 1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活 中存在着大量的不等关系,体会不等式(组)对 于刻画不等关系的意义和价值 2.体会线性规划的基本思想,借助几何直观解 决一些简单的线性规划问题 3.通过实例,体验数学与日常生活的联系,感受 数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力
∴x +3>3x.
2
用作差法比较大小
比较a4-b4与4a3(a-b)的大小.
【解析】 a -b -4a (a-b)=(a-b)(a+b)(a +b )-4a (a-b) 3 2 2 3 3 =(a-b)(a +a b+ab +b -4a ) 2 3 2 3 3 3 =(a-b)[(a b-a )+(ab -a )+(b -a )] 2 2 2 =-(a-b) (3a +2ab+b ) =-(a-b) [( ������a+ ) +
������������ ������������ ������ ������- ������ ������������������������ ������������ �t;b>0,故 >1,a-b>0,
������ ������
b a a b b a
������
a-b
满足的不等关系是(
A.x+y>120 C.x+y≥120
D ).
B.x+y<120 D.x+y≤120
【解析】A是表示总量大于120吨,B表示总量小于120吨,D表 示总量不多于120吨(即至多120吨),因为甲、乙两种材料总量至少 需要120吨,故应为x+y≥120.
2
设 a=3x2-x+1,b=2x2+x,x∈R,则( C ). A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b
一元二次不等式
2.掌握一元二次不等式在实际问题中的应用 3.了解简单的一元高次不等式和分式不等式的解法
二元一次不等式 (组)及简单的线性 规划问题 基本不等式
1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等 式组 2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解 决 1.学会推导并掌握基本不等式
0
的大小关系即可.
问题3 作商法比较大小的依据是什么?
设a,b∈R,且a>0,b>0.(1)a>b⇔ ;(3)a<b⇔
������ ������
������ ������
>1
;(2)a=b⇔
������ ������
=1
<1
.
要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的 商
与
1
的大小关系即可.
������
∴( ) >1,即
������
b b a
������ >1,又 a b >0,∴a b >a b ,
a b b a
∴a b 与 a b 的大小关系为:a b >a b .
用不等关系解决实际问题 六一节日期间,某商场儿童柜台打出广告:儿童商品按标 价的 80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按 如下方案获得相应金额的奖券:(如表所示)
2 2
【解析】∵a-b=x -2x+1=(x-1) ≥0,∴a≥b.
3
若 a>0,b>0,则 a+ b 等号).
>
2
a + b(填上适当的等号或不
2
【解析】∵a>0,b>0,∴( ������ + ������ ) =a+b+2 ������������ ,( ������ + ������) =a+b, 2 2 ∴( ������+ ������) >( ������ + ������) ,即 ������+ ������> ������ + ������.
问题1 上述情境中的x,y满足的不等式分别为: 9x+4y≤3600
,
4x+5y≤2000
,
3x+10y≤3000
,x≥0,y≥0.
问题2 作差法比较大小的依据是什么?
(1)a>b⇔ a-b>0 ;(2)a=b⇔ a-b=0 ;(3)a<b⇔ a-b<0
.
要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的 差 与
������
2 4 4 3 2 2 3
������
2
������������������ ������
]≤0(当且仅当 a=b 时取等号).
∴a -b ≤4a (a-b).
4
4
3
用作商法比较大小 a b b a 已知 a>b>0,比较 a b 与 a b 的大小.
【解析】∵
������
a a-b
������������������������ ������������- ������
3.1.1不 等 关 系
1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系.
2.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系.
3.会用实数的基本理论来比较两个代数式的大小. 4.掌握作差比较大小的基本步骤,并且能灵活应用来解 决一些实际问题.
咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯分别用奶粉9 g,咖 啡4 g,糖3 g;乙种饮料每杯分别用奶粉4 g,咖啡5 g,糖10 g. 已知每天使用原料限额为奶粉3600 g,咖啡2000 g,糖3000 g, 设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,你能写出满足上述 条件的所有不等式吗?
问题4 比较大小的步骤和关键点
(1)步骤:作差→ 变形
→
定号
→
结论
.
(2)关键点:变形是比较大小的关键,变形的目的在于 判断差
的符号
,而不必考虑差的值是多少.常用方法有 、 因式分解 、
有理化
通分
、
配方
等.作商法类似
作差法.
1
某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,若维持工厂 正常生产,甲、乙两种材料总量至少需要120吨,则x、y应
4
比较 x +3 与 3x 的大小,其中 x∈R.
2 2 2
2
【解析】∵(x +3)-3x=x -3x+3=[x -3x+( ) ]-( ) +3=(x- ) + ≥ >0,
������ ������ ������ ������ ������
������
2
������
2
������
2
������
������
知识点
新课程标准的要求 层次要求 1.通过具体情景,了解不等式(组)的实际背景,借助数轴,能从“形” 领域目标要求
不等关系与不等式
和“数”两个方面来认识不等式 2.理解不等式的性质,能运用不等式的性质证明简单不等式以及解不 等式 1.掌握求解一元二次不等式的基本方法 1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活 中存在着大量的不等关系,体会不等式(组)对 于刻画不等关系的意义和价值 2.体会线性规划的基本思想,借助几何直观解 决一些简单的线性规划问题 3.通过实例,体验数学与日常生活的联系,感受 数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力
∴x +3>3x.
2
用作差法比较大小
比较a4-b4与4a3(a-b)的大小.
【解析】 a -b -4a (a-b)=(a-b)(a+b)(a +b )-4a (a-b) 3 2 2 3 3 =(a-b)(a +a b+ab +b -4a ) 2 3 2 3 3 3 =(a-b)[(a b-a )+(ab -a )+(b -a )] 2 2 2 =-(a-b) (3a +2ab+b ) =-(a-b) [( ������a+ ) +
������������ ������������ ������ ������- ������ ������������������������ ������������ �t;b>0,故 >1,a-b>0,
������ ������
b a a b b a
������
a-b
满足的不等关系是(
A.x+y>120 C.x+y≥120
D ).
B.x+y<120 D.x+y≤120
【解析】A是表示总量大于120吨,B表示总量小于120吨,D表 示总量不多于120吨(即至多120吨),因为甲、乙两种材料总量至少 需要120吨,故应为x+y≥120.
2
设 a=3x2-x+1,b=2x2+x,x∈R,则( C ). A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b
一元二次不等式
2.掌握一元二次不等式在实际问题中的应用 3.了解简单的一元高次不等式和分式不等式的解法
二元一次不等式 (组)及简单的线性 规划问题 基本不等式
1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等 式组 2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解 决 1.学会推导并掌握基本不等式
0
的大小关系即可.
问题3 作商法比较大小的依据是什么?
设a,b∈R,且a>0,b>0.(1)a>b⇔ ;(3)a<b⇔
������ ������
������ ������
>1
;(2)a=b⇔
������ ������
=1
<1
.
要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的 商
与
1
的大小关系即可.
������
∴( ) >1,即
������
b b a
������ >1,又 a b >0,∴a b >a b ,
a b b a
∴a b 与 a b 的大小关系为:a b >a b .
用不等关系解决实际问题 六一节日期间,某商场儿童柜台打出广告:儿童商品按标 价的 80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按 如下方案获得相应金额的奖券:(如表所示)
2 2
【解析】∵a-b=x -2x+1=(x-1) ≥0,∴a≥b.
3
若 a>0,b>0,则 a+ b 等号).
>
2
a + b(填上适当的等号或不
2
【解析】∵a>0,b>0,∴( ������ + ������ ) =a+b+2 ������������ ,( ������ + ������) =a+b, 2 2 ∴( ������+ ������) >( ������ + ������) ,即 ������+ ������> ������ + ������.
问题1 上述情境中的x,y满足的不等式分别为: 9x+4y≤3600
,
4x+5y≤2000
,
3x+10y≤3000
,x≥0,y≥0.
问题2 作差法比较大小的依据是什么?
(1)a>b⇔ a-b>0 ;(2)a=b⇔ a-b=0 ;(3)a<b⇔ a-b<0
.
要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的 差 与
������
2 4 4 3 2 2 3
������
2
������������������ ������
]≤0(当且仅当 a=b 时取等号).
∴a -b ≤4a (a-b).
4
4
3
用作商法比较大小 a b b a 已知 a>b>0,比较 a b 与 a b 的大小.
【解析】∵
������
a a-b
������������������������ ������������- ������
3.1.1不 等 关 系
1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系.
2.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系.
3.会用实数的基本理论来比较两个代数式的大小. 4.掌握作差比较大小的基本步骤,并且能灵活应用来解 决一些实际问题.
咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯分别用奶粉9 g,咖 啡4 g,糖3 g;乙种饮料每杯分别用奶粉4 g,咖啡5 g,糖10 g. 已知每天使用原料限额为奶粉3600 g,咖啡2000 g,糖3000 g, 设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,你能写出满足上述 条件的所有不等式吗?
问题4 比较大小的步骤和关键点
(1)步骤:作差→ 变形
→
定号
→
结论
.
(2)关键点:变形是比较大小的关键,变形的目的在于 判断差
的符号
,而不必考虑差的值是多少.常用方法有 、 因式分解 、
有理化
通分
、
配方
等.作商法类似
作差法.
1
某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,若维持工厂 正常生产,甲、乙两种材料总量至少需要120吨,则x、y应
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比较 x +3 与 3x 的大小,其中 x∈R.
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【解析】∵(x +3)-3x=x -3x+3=[x -3x+( ) ]-( ) +3=(x- ) + ≥ >0,
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