江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期10月月考试题+数学+Word版含答案
江苏省扬州中学2017-2018学年高二数学上学期期中试题
2017-2018学年第一学期扬州中学期中考试试卷高二数学一、填空题：1.直线l ：2x -y +1=0的斜率为________2.命题p ：∃x ∊R ，使得x 2+1≤0的否定为______________ 3.直线l ：kx +y -2k =0经过定点的坐标为________4.若命题p ：2211114(,)x y x y R +<∈，命题q ：点11(,)x y 在圆224x y +=内，则p 是q 的______条件。
5.已知两条直线l 1:x +ay =2a +2，l 2:ax +y =a +1，若l 1⊥l 2，则a =_______6. 命题p ：“若a >b ，则1a <1b”的否命题是___________（填：真、假）命题7.两圆x 2+y 2-6x +16y -48=0与x 2+y 2+4x -8y -44=0的公切线条数为_________8.若直线20x y --=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为a 的值为 .9.离心率为2且与椭圆252x ＋92y =1有共同焦点的双曲线方程是__________________10.椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23- y 21＝1的公共焦点为P F F ,,21是两曲线的一个交点, 那么21cos PF F ∠的值是______ ___11.在平面直角坐标系xOy 中，由不等式所确定的图形的面积为___________12.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过原点O 的直线交椭圆于点A 、P ，且PF 垂直于x 轴，直线AF 交椭圆于点B ，PB PA ⊥，则该椭圆的离心率e =____ __.13.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2y 2x =的焦点为F ，设M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为 . 14.已知对于点A （0,12），B （10,9），C （8,0），D （-4,7），存在唯一一个正方形S 满足这四个点在S 的不同边所在直线上，设正方形S 面积为k ，则10k 的值为_______二、解答题：15.已知命题:p “方程22191x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”,命题:q “方程2212x y k k +=-表示双曲线”.（1）若p 是真命题,求实数k 的取值范围; （2）若“p q 或”是真命题,求实数k 的取值范围.16.已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ． （1）若60APB ∠=，试求点P 的坐标；（2）若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D两点，当CD =CD 的方程；17.古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍。
江苏省扬州中学2017-2018学年高一10月月考数学试题Word版含答案
江苏省扬州中学2017-2018学年第一学期10月月考高一数学试卷2017.10.7一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答题卡上．．．．．．．．) 1．集合{}03x x x Z <<∈且的非空子集个数为 ▲ ． 2.函数132y x x +-的定义域是 ▲ .3. 定义在R 上的奇函数)(x f ，当0<x 时，11)(+=x x f ，则)21(f = ▲ ．4．若函数2()(2)(1)2f x p x p x =-+-+是偶函数，则p= ▲ ． 5．函数1)(+++-=a x ax x f 图象的对称中心横坐标为3，则a = ▲ .6．已知{}23,(5,)A x a x a B =≤≤+=+∞，若,A B =∅则实数a 的取值范围为 ▲ . 7．已知集合，，且，则实数的值为 ▲ .8.函数)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数且)1(11)()(±≠+=+x x x g x f ，则=-)3(f ▲ .9.已知函数2460()60x x x f x x x ⎧-+≤=⎨-+>⎩，，，，若()(1)f x f <-，则实数x 的取值范围是 ▲ .10.已知偶函数在单调递减，，若，则实数的取值范围是 ▲ ．11. 已知定义在上的函数在上为增函数，且是偶函数，则的大小关为 ▲ .12. 已知函数和函数,对任意,总存在使成立,则实数的取值范围是 ▲ .13.设函数()(1)1||mxf x m x =>+其中常数，区间[,]()M a b a b =<，集合{|(),}N y y f x x M ==∈，则使M N =成立的实数对(),a b 有 ▲ 对．14.已知函数当时，若对任意实数，都有成立，则实数的取值范围 ▲ .{1,1}A =-{1}B x mx ==AB B =m ()f x [)0,+∞()20f =()10f x ->x R ()x f [)+∞-,4()4-=x f y ()()()0,4,6f f f --2()2f x x x a =++()21g x x x =++1x 2x 12()()g x f x =a ()(),11+=+x f x f []1,0∈x ().113--=x x f x ()()x f a x f <+a二、解答题：(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．答．案写在答题卡上．．．．．．．) 15. （本小题满分14分）已知集合A ={x |||4x a -<}，2{|450}B x x x =-->． （1）若，求；（2）若R ，求实数的取值范围．16. （本小题满分14分）已知函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，x x x f 2)(2+-=. （1）求)(x f 的解析式；（2）若函数)(x f 在区间]2,1[--a 上单调递增，求实数a 的取值范围.17. （本小题满分15分） 已知函数f (x )=|x 2-1|+x 2+kx . (1) 当k =2时,求方程f (x )=0的解;(2) 若关于x 的方程f (x )=0在(0,2)上有两个实数解x 1,x 2,求实数k 的取值范围.18（本小题满分15分）学校欲在甲、乙两点采购某款投影仪，该款投影仪原价为每台2000元。
江苏扬州中学2017-2018高二数学上学期期中试题有答案
江苏扬州中学2017-2018高二数学上学期期中试题（有答案）2017-2018学年第一学期扬州中学期中考试试卷高二数学一、填空题：1.直线l：2x-y+1=0的斜率为________2.命题p：∃x∊R，使得x2+1≤0的否定为______________3.直线l：kx+y-2k=0经过定点的坐标为________4.若命题p：，命题q：点在圆内，则p是q的______条件。
5.已知两条直线l1:x+ay=2a+2，l2:ax+y=a+1，若l1⊥l2，则a=_______6.命题p：“若ab，则1a1b”的否命题是___________（填：真、假）命题7.两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为_________8.若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为.9.离心率为2且与椭圆＋=1有共同焦点的双曲线方程是__________________10.椭圆x26＋y22＝1和双曲线x23-y21＝1的公共焦点为是两曲线的一个交点,那么的值是_________11.在平面直角坐标系xOy中，由不等式所确定的图形的面积为___________12.椭圆的右焦点为F，过原点O的直线交椭圆于点A、P，且PF垂直于x轴，直线AF交椭圆于点B，，则该椭圆的离心率=______.13.在平面直角坐标系xoy中，抛物线的焦点为，设M是抛物线上的动点，则的最大值为.14.已知对于点A（0,12），B（10,9），C（8,0），D（-4,7），存在唯一一个正方形S满足这四个点在S的不同边所在直线上，设正方形S面积为k，则10k的值为_______二、解答题：15.已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”,命题“方程表示双曲线”.（1）若是真命题,求实数的取值范围;（2）若“”是真命题,求实数的取值范围.16.已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．（1）若，试求点的坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；[来17.古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍。
江苏省扬州市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．2．某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有15件，则样本容量n=．3．在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞2的概率是．4．根据如图所示的伪代码，如果输入x的值为0，则输出结果y为．5．若f（x）=5sinx，则=．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．7．如图，该程序运行后输出的y值为．8．一个圆锥筒的底面半径为3cm，其母线长为5cm，则这个圆锥筒的体积为cm3．9．若双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，PF1=3，则PF2=．10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若l∥α，l⊥β，则α⊥β．其中真的序号有．（写出所有正确的序号）11．已知抛物线y2=4x的准线恰好是双曲线=1的左准线，则双曲线的渐近线方程为．12．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f（x）＜f′（x），则不等式f（x）≥f（2016）e x﹣2016的解集是．13．若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为x=﹣4，则该椭圆被直线y=x+1截得的弦长为．14．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=ae x+（b2﹣3）x在x=0处取得极值，则ab的最大值等于．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．某班40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在[50，100]之间）（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估算该班级的平均分；（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．16．如图，在四面体ABCD中，AB⊥CD，AB⊥AD．M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．（1）求证：CD∥平面MNQ；（2）求证：平面MNQ⊥平面ACD．17．已知p：“存在x∈R，x2﹣2x+m≤0”，q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，r：t＜m＜t+1（1）若“p且q”是真，求m的取值范围；（2）若q是r的必要不充分条件，求t的取值范围．18．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（1）当a=﹣2时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为22，求它在该区间上的最小值．19．椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；（3）设点P（t，0）是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的方程f（x）﹣g（x）+a=0在区间（，e）上有两个不等的根，求实数a的取值范围；（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞kg（x），求实数k的取值范围．2015-2016学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．【考点】的否定．【分析】欲写出的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称的否定是全称，“存在”对应“任意”．2．某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有15件，则样本容量n=75．【考点】分层抽样方法．【分析】设出样本容量，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的变量n，即为要求的样本容量【解答】解：设出样本容量为n，∵由题意知产品的数量之比依次为2：3：5，∴=，∴n=75，故答案为：75【点评】抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．3．在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞2的概率是．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，可得答案．【解答】解：数集（2，4]的长度为2，数集[0，4]的长度为4，∴在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞2的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的概率计算，思路是先求得试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度，再求比值．4．根据如图所示的伪代码，如果输入x的值为0，则输出结果y为5．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x=0，满足条件x≥0，即可求得y的值．【解答】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x=0，满足条件x≥0，y=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了伪代码和算法的应用，模拟执行程序，得程序的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．5．若f（x）=5sinx，则=0．【考点】导数的运算．【分析】利用导数计算公式得出解：f′（x）=5cosx，代入计算即可．【解答】解：∵f（x）=5sinx，∴f′（x）=5cosx，∴则′=0．故答案为；0【点评】本题考查了导数的概念，运算，属于计算题，难度不大，准确计算即可．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率．【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．7．如图，该程序运行后输出的y值为32．【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟该程序的运行过程，得出程序运行后输出的y值．【解答】解：模拟该程序的运行过程，如下；n=1，n≤3，n=1+2=3，y=23=8；n≤3，n=3+2=5，y=25=32；n＞3，终止循环，输出y=32．故答案为：32．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目．8．一个圆锥筒的底面半径为3cm，其母线长为5cm，则这个圆锥筒的体积为12πcm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出圆锥的高，代入圆锥的体积公式即可求出．【解答】解：圆锥的高h==4，∴圆锥的体积V=×π×32×4=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，体积计算，属于基础题．9．若双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，PF1=3，则PF2=7．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a=2，运用双曲线的定义，可得||PF1|﹣|PF2||=2a，解方程即可得到所求距离．【解答】解：双曲线的a=2，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=4，即有|3﹣|PF2||=4，解得|PF2|=7（﹣1舍去）．故答案为：7．【点评】本题考查双曲线的定义和方程，注意定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若l∥α，l⊥β，则α⊥β．其中真的序号有①④．（写出所有正确的序号）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β；在②中，α与β相交或平行；在③中，l∥α或l⊂α；在④中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，知：在①中，若α∥β，l⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β，故①正确；在②中，若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，故③错误；在④中，若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．11．已知抛物线y2=4x的准线恰好是双曲线=1的左准线，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，由题意可得a的方程，解方程可得a，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣，双曲线=1的左准线为x=﹣，由题意可得=﹣=﹣，解得a=±2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=4，即有渐近线的方程为y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用抛物线的准线方程，考查运算能力，属于基础题．12．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f（x）＜f′（x），则不等式f（x）≥f（2016）e x﹣2016的解集是[2016，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=，求出g′（x），得到g（x）在R递增，从而求出不等式的解集．【解答】解：由f（x）≥f（2016）e x﹣2016，得：≥，令g（x）=，g′（x）=，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，∴g（x）在R递增，∴x≥2016，故答案为：[2016，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=是解题的关键，本题是一道中档题．13．若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为x=﹣4，则该椭圆被直线y=x+1截得的弦长．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意，利用椭圆性质求出椭圆的方程为=1，由此能求出该椭圆被直线y=x+1截得的弦长．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意，椭圆的焦点在x轴上，且2a=4，=4，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的方程为=1，联立，得7x2+8x﹣8=0，设直线y=x+1与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴该椭圆被直线y=x+1截得的弦长为：|AB|==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质和椭圆弦长公式的合理运用．14．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=ae x+（b2﹣3）x在x=0处取得极值，则ab的最大值等于2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导数f′（x），据题意便有f′（0）=a+b2﹣3=0，从而得出a=3﹣b2，从而ab=﹣b3+3b，并且根据a＞0，b＞0，可求出，并设g（b）=﹣b3+3b，求导数，根据导数符号便可判断出g（b）在b=1时取得最大值，这样即可求出ab的最大值．【解答】解：f′（x）=ae x+b2﹣3；∵f（x）在x=0处取得极值；∴f′（0）=a+b2﹣3=0；∴a=3﹣b2；∴ab=（3﹣b2）b=﹣b3+3b；∵a＞0，b＞0；∴3﹣b2＞0；∴；设g（b）=﹣b3+3b，g′（b）=﹣3b2+3=3（1﹣b2）；∴b∈（0，1）时，g′（b）＞0，b时，g′（b）＜0；∴b=1时，g（b）取最大值2；即ab的最大值为2．故答案为：2．【点评】考查函数极值的概念，以及根据导数符号判断函数极值和最值的方法及过程，清楚函数在极值点处的导数为0，注意正确求导．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．某班40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在[50，100]之间）（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估算该班级的平均分；（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）根据频率和为1，列出方程，求出a的值；（2）利用组中值，即可估算该班级的平均分；（3）根据成绩为优秀等级有16人，即可求出从该班级40名学生中任选一人，此人成绩为优秀等级的概率．【解答】解：（1）由题（2a+2a+3a+6a+7a）×10=1，∴20a×10=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴a=0.005，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）该班级的平均分为=76.5；（3）成绩为优秀等级有16人，∴从该班级40名学生中任选一人，此人成绩为优秀等级的概率为=0.4【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了概率的计算，是基础题目．16．如图，在四面体ABCD中，AB⊥CD，AB⊥AD．M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．（1）求证：CD∥平面MNQ；（2）求证：平面MNQ⊥平面ACD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用M，Q分别为棱AD，AC的中点，证明MQ∥CD，即可证明CD∥平面MNQ；（2）证明MN⊥平面ACD，即可证明平面MNQ⊥平面ACD．【解答】证明：（1）因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD，…（3分）又CD⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，故CD∥平面MNQ．…（7分）（2）因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MN∥AB，又AB⊥CD，AB⊥AD，故MN⊥AD，MN⊥CD．…（9分）因为AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ACD，所以MN⊥平面ACD又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ⊥平面ACD．…（14分）【点评】本题考查线面平行，平面与平面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．已知p：“存在x∈R，x2﹣2x+m≤0”，q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，r：t＜m＜t+1（1）若“p且q”是真，求m的取值范围；（2）若q是r的必要不充分条件，求t的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合的真假．【分析】（1）若p为真：△≥0；若q为真：则，若“p且q”是真，求其交集即可得出；（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（﹣1，2），解出即可得出．【解答】解：（1）若p为真：△=4﹣4m≥0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）解得m≤1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）若q为真：则﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）解得﹣1＜m＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）若“p且q”是真，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解得﹣1＜m≤1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（﹣1，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）即（等号不同时成立）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）解得﹣1≤t≤1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（1）当a=﹣2时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为22，求它在该区间上的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）求得导数，求得极值点，求出单调区间，可得f（x）的最值，解方程可得a=0，进而得到最小值．【解答】解：（1）f（x）的导数为f′（x）=﹣3x2+6x+9，可得切线的斜率为f′（2）=9，切点为（2，20），所以f（x）在x=2处的切线方程为y﹣20=9（x﹣2），即9x﹣y+2=0．（2）令f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，得x=3（舍）或x=﹣1，当x∈（﹣2，﹣1）时，f'（x）＜0，所以f（x）在x∈（﹣2，﹣1）时单调递减，当x∈（﹣1，2）时f'（x）＞0，所以f（x）在x∈（﹣1，2）时单调递增，又f（﹣2）=2+a，f（2）=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=22，解得a=0．故f（x）=﹣x3+3x2+9x，因此f（﹣1）=﹣5，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣5．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．19．椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；（3）设点P（t，0）是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，利用椭圆简单性质列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由此利用点差法能证明k1+k2=0．（3）当直线l与y轴平行时，Q点的坐标为（x0，0）；当直线l与y轴垂直时，Q点坐标只可能为，再证明对任意直线l，均有即可．【解答】解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，∴，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为．（4分）证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由题意P（1，0），Q（2，0），∵．∴，若y1=y2，则k1=k2=0，结论成立．（此处不交代扣1分）若y1≠y2，则x1y2+x2y1=2（y1+y2），∴．（10分）备注：本题用相似三角形有关知识证明同样给分，用韦达定理解决也相应给分．解：（3）当直线l与y轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点，如果存在定点Q满足条件，则有，即QC=QD，∴Q在x轴上，可设Q点的坐标为（x0，0）．当直线l与y轴垂直时，设直线与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为，由，有，解得．∴若存在不同于点P不同的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为．（12分）下面证明：对任意直线l，均有．记直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由题意，∵．∴若y1=y2，则k1=k2=0．∴．点B于x轴对称的点B'的坐标为（﹣x2，y2）．∴k Q A=k QB′，∴Q，A，B'三点共线．∴．∴对任意直线l，均有．（16分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查k1+k2=0的证明，考查是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、椭圆与直线位置关系的合理运用．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的方程f（x）﹣g（x）+a=0在区间（，e）上有两个不等的根，求实数a的取值范围；（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞kg（x），求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数，由导数小于0，可得减区间，注意定义域；（2）由题意可得﹣a=lnx﹣﹣（x﹣1）在（，e）上有两个实根，令h（x）=lnx﹣﹣（x﹣1），求出导数，求得单调区间、极值和最值，可得a的范围；（3）由题意可得当x∈（1，x0）时，f（x）的图象恒在直线y=k（x﹣1）的上方，求出f（x）的单调区间，画出它们的图象，由直线和曲线相切，求得k，再由直线旋转可得k的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣的导数为f′（x）=﹣（x﹣1）=，（x＞0），由f′（x）＜0，可得x＞，即有f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）由题意可得﹣a=lnx﹣﹣（x﹣1）在（，e）上有两个实根，令h（x）=lnx﹣﹣（x﹣1），h′（x）=﹣（x﹣1）﹣1=，即有h（x）在（，1）递增，（1，e）递减，且h（1）=0，h（）=﹣（1﹣）2﹣＞h（e）=2﹣e﹣（e﹣1）2，由题意可得﹣（1﹣）2﹣＜﹣a＜0，解得0＜a＜（1﹣）2+；（3）由题意可得当x∈（1，x0）时，f（x）的图象恒在直线y=k（x﹣1）的上方，由f′（x）=﹣（x﹣1）=，（x＞0），可得f（x）的增区间为（1，）减区间为（，+∞）；直线y=k（x﹣1）为过定点（1，0）的直线．画出它们的图象，当直线与曲线y=f（x）相切时，切点为（1，0），可得k=f′（1）=1﹣（1﹣1）=1，通过直线绕着定点（1，0）旋转，可得k的取值范围是k≤1．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。
江苏省扬州中学2017-2018学年高一上学期10月月考试题数学Word版含答案
江苏省扬州中学2017-2018学年第一学期10月月考高一数学试卷2017.10.7一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分•答案写在答题卡上)I. 集合｛x0<x v3且x^z｝的非空子集个数为▲•2•函数•丄的定义域是▲.2 —x1 13.定义在R上的奇函数f (x)，当x：：：0时，f(x) ，则f( )= ▲.x +1 2 -------------4•若函数f(x) =(p-2)x2• (p-1)x • 2是偶函数，则p= ▲.5•函数f(X)二_ X a图象的对称中心横坐标为3，则a= ▲.x +a 十16•已知A=「x2a _x_a 3 ；,B =(5,；)，若A B = •一，则实数a的取值范围为▲. 7•已知集合A =｛—14 , B=｛xmx=1｝，且A^B = B，则实数m的值为▲.18. 函数f (x)是奇函数，g(x)是偶函数且f(x) g(x) (x = =1)，贝u f(-3)= ▲.X +12f x - 4x^6 x ：:- 09. 已知函数f(x)二，一，若f(x) ：：：f(—1)，则实数x的取值范围是▲.I x 6，x 0，10. 已知偶函数f x在a V 单调递减，f 2 =0，若f x-1 0，则实数x的取值范围是▲_______ •II. 已知定义在R上的函数f x在1-4, •：：上为增函数，且y = f x-4是偶函数，则f -6 , f -4 , f 0的大小关为▲.12. 已知函数f (x^ x2 2x a和函数g(x) =2x ■ '、x ■ 1 ,对任意x1,总存在x>使g(xj = f (x2)成立,则实数a的取值范围是▲.13. 设函数f(x) m^(其中常数m 1)，区间M =[a,b](a ：：b)，集合N =｛y| y = f (x), x M｝，1+|x|则使M =N成立的实数对a,b有▲对.f x a f x成立，则实数a的取值范围▲.14.已知函数f (x+1 )= f (x )+1,当0,1】时，f (x)= 3x — 1 T.若对任意实数x，都有f x a f x成立，则实数a的取值范围▲.二、解答题：(本大题共6小题，共90分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤•答案写在答题卡上)15. (本小题满分14分)2已知集合A={x ||x—a|：：4}, B二{x|x _4x-5 0}.(1 )若a =1，求A B ;(2)若A B = R,求实数a的取值范围.16. (本小题满分14分)已知函数f (x)为定义在R上的奇函数，且当x . 0时，f(x) - -x2 2x .(1)求f (x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间［-1,a -2］上单调递增，求实数a的取值范围17. (本小题满分15分)已知函数f(x)=|x2-1|+x2+kx.(1) 当k=2时,求方程f(x)=0的解；(2) 若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个实数解X1,x2,求实数k的取值范围18 (本小题满分15分)学校欲在甲、乙两点采购某款投影仪，该款投影仪原价为每台2000元。
江苏省扬州市高邮中学2017-2018学年高三上学期10月月考数学(理)试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省扬州市高邮中学高三（上）月考数学试卷（理科）（10月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸上．1．设集合A={2，3，4}，B={2，4，6}，若x∈A且x∉B，则x等于．2．在复平面上，复数z=（﹣2+i）i的对应的点所在象限是第象限．3．已知函数y=lg（4﹣x）的定义域为A，集合B={x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围．4．已知p：|x﹣2|≥2；q：x∈Z．如果“p且q”与“¬q”同时为假，则满足条件的x的集合为．5．曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为．6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=﹣f（x），若f（1）=1，则f（3）﹣f（4）= ．7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为．8．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是．9．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为．10．过双曲线的右焦点F和虚轴端点B作一条直线，若右顶点A到直线FB的距离等于，则双曲线的离心率e= ．11．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象经过A（﹣，﹣2）、B（，2）两点，则ω的最小值为．12．如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是．13．若函数f（x）=min{﹣x+2，log2x}，其中min{p，q}表示p，q两者中的较小者，则不等式f（x）＜﹣2的解集为．14．定义“正对数”：ln+x=，现有四个：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b③若a＞0，b＞0，则 b④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2其中的真有：．（写出所有真的编号）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=6，求b+c的取值范围．16．已知二次函数f（x）=ax2+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x﹣1|＜m}，若集合B是集合A的子集，求实数m 的取值范围．17．如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，（1）按下列要求写出函数的关系式：①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；②设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．18．已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x﹣2y=0平分圆C．（1）求圆C的方程；（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若•=12，求k的值．19．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t＞0）在椭圆的准线上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程：（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．20．已知函数f（x）=2alnx﹣x+（a∈R，且a≠0）；g（x）=﹣x2﹣x+2b（b∈R）（Ⅰ）若f（x）是在定义域上有极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=时，若对∀x1∈[1，e]，总∃x2∈[1，e]，使得f（x1）＜g（x2），求实数b 的取值范围．（其中e为自然对数的底数）（Ⅲ）对∀n∈N，且n≥2，证明：ln（n！）4＜（n﹣1）（n+2）四、附加题21．已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，7）在矩阵M的变换下得到点P'（15，9）．（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量α．22．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，，且PC⊥AB．（1）求λ的值；（2）求异面直线PC与AC1所成角的余弦值．23．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望Eξ．24．已知数列{x n}中，．（Ⅰ）当p=2时，用数学归纳法证明（Ⅱ）是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x M≥x n．2014-2015学年江苏省扬州市高邮中学高三（上）月考数学试卷（理科）（10月份）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸上．1．设集合A={2，3，4}，B={2，4，6}，若x∈A且x∉B，则x等于 3 ．考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：利用x与集合A和集合B的关系确定x．解答：解：∵x∈{2，3，4}，∴x=2或x=3或x=4．∵x∉{2，4，6}，∴x≠2且x≠4且x≠6，∴x=3．故答案为：3．点评：本题主要考查了元素和集合之间的关系．2．在复平面上，复数z=（﹣2+i）i的对应的点所在象限是第三象限．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：高考数学专题．分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出对应点的坐标，则答案可求．解答：解：z=（﹣2+i）i=﹣1﹣2i，∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），为第三象限的点．故答案为：三．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知函数y=lg（4﹣x）的定义域为A，集合B={x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围a＞4 ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；元素与集合关系的判断；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：先利用对数函数的性质求出集合A，再根据集合之间的关系结合数轴看端点坐标之间的大小关系即可．解答：解：∵A={x|x＜4}，∵P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，∴集合A是集合B的子集，由图易得a＞4．故答案为：a＞4．点评：本题主要考查了元素与集合关系的判断、必要条件、充分条件与充要条件的判断，以及对数函数的定义域，属于基础题．4．已知p：|x﹣2|≥2；q：x∈Z．如果“p且q”与“¬q”同时为假，则满足条件的x的集合为{1，2，3} ．考点：的真假判断与应用．专题：计算题．分析：由题设条件先求出P：x≥4或x≤0．由“p且q”与“¬q”同时为假知0＜x＜4，x ∈Z．由此能得到满足条件的x的集合．解答：解：由p：|x﹣2|≥2，得到P：x﹣2≥2或x﹣2≤﹣2，即P：x≥4或x≤0；∵¬q为假，∴q：x∈Z为真翕题．再由“p且q”为假，知P：x≥4或x≤0是假．故0＜x＜4，x∈Z．∴满足条件的x的集合为{1，2，3}．故答案为：{1，2，3}．点评：本题考查的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．5．曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为﹣2 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题；综合题．分析：先求出函数 y的导数，函数 y在点（3，2）处的导数值就是曲线y=在点（3，2）处的切线斜率，再利用两直线垂直，斜率之积等于﹣1求出a的值．解答：解：函数 y==1+的导数为 y′=，∴曲线y=在点（3，2）处的切线斜率为﹣，由﹣×（﹣a）=﹣1 得，a=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查函数在某点的导数值与曲线在此点的切线的斜率的关系，以及两直线垂直的性质．6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=﹣f（x），若f（1）=1，则f（3）﹣f（4）= ﹣1 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根号函数的奇函数得f（0）=0，然后再根据f（x+2）=﹣f（x）和f（1）=1，求f （3）即可．解答：解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，又f（x+2）=﹣f（x），f（1）=1，故f（3）=f（1+2）=﹣f（1）=﹣1，f（4）=f（2+2）=﹣f（2）=﹣f（0+2）=f（0）=0，∴f（3）﹣f（4）=﹣1点评：本题主要考查函数的奇函数的性质f（0）=0和函数的新定义，属于基础题．7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为9 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．解答：解：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域．因为，=（x，y），则=2x+y，令z=2x+，则，由图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值，此时=9．故答案为9．点评：本题主要考查向量在几何中的应用，以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题．8．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是 4 ．考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可．解答：解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4．点评：本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．9．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为x2+y2=4 ．考点：轨迹方程；圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；压轴题．分析：先设点P的坐标为（x，y），则可得|PO|，根据∠APB=60°可得∠AP0=30°，判断出|PO|=2|OB|，把|PO|代入整理后即可得到答案．解答：解：设点P的坐标为（x，y），则|PO|=∵∠APB=60°∴∠AP0=30°∴|PO|=2|OB|=2∴=2即x2+y2=4故答案为：x2+y2=4点评：本题主要考查了求轨迹方程的问题．属基础题．10．过双曲线的右焦点F和虚轴端点B作一条直线，若右顶点A到直线FB的距离等于，则双曲线的离心率e= 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据三角形面积公式求得a，b和c的关系式，进而根据a=求得a和c 的关系式，进而求得e．解答：解：∵S△ABF=××|FB|=b•|AF|，∴=（c﹣a）b∴b2+c2=7（c﹣a）2，整理得5e2﹣14e+8=0，解得e=2故答案为：2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是找到a和c的关系，进而求得双曲线的离心率．11．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象经过A（﹣，﹣2）、B（，2）两点，则ω的最小值为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知得到半个周期的最大值为，结合周期公式可得ω的最小值．解答：解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象经过A（﹣，﹣2）、B（，2）两点，∴，则，ω．∴ω的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，关键是对题意的理解，是基础题．12．如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由向量的加法，可得，将其代入中，变形可得=﹣2（||﹣）2﹣，由二次函数的性质，计算可得答案．解答：解：根据题意，O为圆心，即O是AB的中点，则，则≥﹣，即的最小值是﹣；故答案为﹣．点评：本题考查数量积的运算，关键是根据O是AB的中点，得到，将求的最小值转化为一元二次函数的最小值问题．13．若函数f（x）=min{﹣x+2，log2x}，其中min{p，q}表示p，q两者中的较小者，则不等式f（x）＜﹣2的解集为．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；数形结合．分析：先根据“min{p，q}表示p，q两者中的较小的一个”求得函数f（x），再按分段函数的图象解得用满足f（x）＜﹣2时x的集合．解答：解：根据min{p，q}表示p，q两者中的较小者，得到函数f（x）=min{﹣x+2，log2x}的图象，如图所示：当x=或4时，y=﹣2，由图象可知：f（x）＜﹣2的解集为．故答案为：点评：本题考查了其他不等式的解法，是一道新定义题，首先要根据新定义求得函数图象，再应用函数图象解决相关问题，这类问题的解决，正确转化是关键．14．定义“正对数”：ln+x=，现有四个：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b③若a＞0，b＞0，则 b④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2其中的真有：①③④．（写出所有真的编号）考点：的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：对于①，由“正对数”的定义分别对a，b从0＜a＜1，b＞0；a≥1，b＞0两种情况进行推理；对于②，通过举反例说明错误；对于③④，分别从四种情况，即当0＜a＜1，b＞0时；当a ≥1，0＜b＜1时；当0＜a＜1，b≥1时；当a≥1，b≥1时进行推理．解答：解：对于①，当0＜a＜1，b＞0时，有0＜a b＜1，从而ln+（a b）=0，bln+a=b×0=0，∴ln+（a b）=bln+a；当a≥1，b＞0时，有a b＞1，从而ln+（a b）=lna b=blna，bln+a=blna，∴ln+（a b）=bln+a；∴当a＞0，b＞0时，ln+（a b）=bln+a，①正确；对于②，当a=时，满足a＞0，b＞0，而ln+（ab）=ln+=0，ln+a+ln+b=ln++ln+2=ln2，∴ln+（ab）≠ln+a+ln+b，②错误；对于③，由“正对数”的定义知，ln+x≥0且ln+x≥lnx．当0＜a＜1，0＜b＜1时，ln+a﹣ln+b=0﹣0=0，而ln+≥0，∴b．当a≥1，0＜b＜1时，有，ln+a﹣ln+b=ln+a﹣0=ln+a，而ln+=ln=lna﹣lnb，∵lnb＜0，∴b．当0＜a＜1，b≥1时，有0＜，ln+a﹣ln+b=0﹣ln+b=﹣ln+b，而ln+=0，∴b．当a≥1，b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=ln，则b．∴当a＞0，b＞0时，b，③正确；对于④，由“正对数”的定义知，当x1≤x2时，有，当0＜a＜1，0＜b＜1时，有0＜a+b＜2，从而ln+（a+b）＜ln+2=ln2，ln+a+ln+b+ln2=0+0+ln2=ln2，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a≥1，0＜b＜1时，有a+b＞1，从而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+a）=ln2a，ln+a+ln+b+ln2=lna+0+ln2=ln2a，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当0＜a＜1，b≥1时，有a+b＞1，从而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+b）=ln2b，ln+a+ln+b+ln2=0+lnb+ln2=ln2b，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵2ab﹣（a+b）=ab﹣a+ab﹣b=a（b﹣1）+b（a﹣1）≥0，∴2ab≥a+b，从而ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．④正确．∴正确的是①③④．故答案为：①③④．点评：本题考查了的真假判断与应用，考查了新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查了学生的运算能力和逻辑推理能力，是压轴题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=6，求b+c的取值范围．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把原等式转化为关于A的等式，求得tanA的值，进而求得A．（Ⅱ）先根据三角形三边的关系求得b+c的一个范围，进而利用余弦定理求得b+c的关系式，利用基本不等式求得b+c的范围，最后取交集即可．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理知==，∴sinA=cosA，即tanA=，∵0＜A＜π，∴A=．（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6，由余弦定理得36=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣（b+c）2=（b+c）2，（当且仅当b=c时取等号），∴（b+c）2≤4×36，又b+c＞6，∴6＜b+c≤12，即b+c的取值范围是（6，12]．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．结合了基本不等式知识的考查，综合性较强．16．已知二次函数f（x）=ax2+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x﹣1|＜m}，若集合B是集合A的子集，求实数m 的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）先求出f（x+1）的解析式，再根据f（x+1）为偶函数，列出相应的等式，再结合函数f（x）的图象与直线y=x相切，导数即斜率，切点在曲线上；（2）先解出集合A，讨论参数m的取值，分别验证是否符合集合B是集合A的子集．解答：解：（Ⅰ）∵f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+（a+b）为偶函数，∴2a+b=0⇒b=﹣2a…（2分）f（x）=ax2﹣2axf'（x）=2ax﹣2a设f（x）与y=x相切于P（x0，x0），则∴．…（6分）（运用判别式处理同样给分）（Ⅱ）A={x|f（x）＞0}={x|0＜x＜2}B={x||x﹣1|＜m}∵B⊆A∴①当m≤0时，有B=∅，满足B⊆A…（10分）②当m＞0时，B={x|1﹣m＜x＜1+m}要使B⊆A，则综合①②，要使B⊆A，实数m的取值范围为（﹣∞，1]．…（14分）点评：本题主要考查偶函数的性质，导数与切线，集合间的关系，属于中档题．17．如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，（1）按下列要求写出函数的关系式：①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；②设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；弧长公式；两角和与差的正弦函数．专题：综合题．分析：（ 1）①通过求出矩形的边长，求出面积的表达式；②利用三角函数的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式；（2）利用（1）②的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据θ的范围确定矩形面积的最大值．解答：解：（1）①因为ON=，OM=，所以MN=，（2分）所以y=x（） x∈（0，）．（4分）②因为PN=sinθ，ON=，OM=，所以MN=ON﹣OM=（6分）所以y=sinθ，即y=3sinθcosθ﹣sin2θ，θ∈（0，）（8分）（2）选择y=3sinθcosθ﹣sin2θ=sin（2θ+）﹣，（12分）∵θ∈（0，）∴（13分）所以．（14分）点评：本题是中档题，考查函数解析式的求法，三角函数的最值的确定，三角函数公式的灵活运应，考查计算能力，课本题目的延伸．如果选择①需要应用导数求解，麻烦，不是者的本意．18．已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x﹣2y=0平分圆C．（1）求圆C的方程；（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若•=12，求k的值．考点：圆的标准方程；平面向量数量积的运算．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．由圆C被直线平分可得3a﹣2b=0，结合点A、B在圆上建立关于a、b、r的方程组，解出a、b、r的值即可得到圆C的方程；（2）（I）由题意，得直线l方程为kx﹣y+1=0，根据直线l与圆C有两个不同的交点，利用点到直线的距离建立关于k的不等式，解之即可得到实数k的取值范围；（II）直线l方程与圆C方程联解消去y，得（1+k2）x2﹣（4+4k）x+7=0．设M（x1，y1）、N（x2，y2），利用根与系数的关系、直线l方程和向量数量积的坐标运算公式，化简•=12得到关于k的方程，解之即可得到k的值．解答：解：（1）设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2∵圆C被直线m：3x﹣2y=0平分，∴圆心C（a，b）在直线m上，可得3a﹣2b=0…①，又∵点A（1，3）、B（2，2）在圆上，∴…②，将①②联解，得a=2，b=3，r=1．∴圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣3）2=1；（2）过点D（0，1）且斜率为k的直线l方程为y=kx+1，即kx﹣y+1=0，（I）∵直线l与圆C有两个不同的交点M、N，∴点C（2，3）到直线l的距离小于半径r，即，解之得＜k＜；（II）由消去y，得（1+k2）x2﹣（4+4k）x+7=0．设直线l与圆C有两个不同的交点坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=++1，∵•=+（++1）=12，解之得k=1．点评：本题着重考查了圆的标准方程、直线的方程、直线与圆的位置关系、向量的坐标运算公式和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．19．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t＞0）在椭圆的准线上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程：（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出，，，，由⊥，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又⊥，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．解答：解：（Ⅰ）又由点M在准线上，得=2故=2，∴c=1，从而a=所以椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）=0即（x﹣1）2+=+1，其圆心为（1，），半径r=因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离d==所以=，解得t=4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5（Ⅲ）设N（x0，y0），则=（x0﹣1，y0），=（2，t），=（x0﹣2，y0﹣t），=（x0，y0），∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+ty0=2，所以||==为定值．点评：此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则．要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和．20．已知函数f（x）=2alnx﹣x+（a∈R，且a≠0）；g（x）=﹣x2﹣x+2b（b∈R）（Ⅰ）若f（x）是在定义域上有极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=时，若对∀x1∈[1，e]，总∃x2∈[1，e]，使得f（x1）＜g（x2），求实数b 的取值范围．（其中e为自然对数的底数）（Ⅲ）对∀n∈N，且n≥2，证明：ln（n！）4＜（n﹣1）（n+2）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先根据对数函数求出定义域，再求导，得到x2﹣2ax+1=0有两不等正根，继而求出a的范围．（Ⅱ）等价于f max（x）＜g max（x），分别利用导数求出最值即可．（Ⅲ）先求导，得到故f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，得到对∀n∈N，且n≥2，总有2lnm≤m﹣＜m，化简整理得到结论．解答：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），要f（x）在定义域内有极值，则f′（x）=﹣1﹣==0，∴x2﹣2ax+1=0有两不等正根，∴解得a＞1，故实数a的取值范围（1，+∞）（Ⅱ）a=时，∴f（x）=2lnx﹣x+，∵对∀x1∈[1，e]，总∃x2∈[1，e]，使得f（x1）＜g（x2），则只需f max（x）＜g max（x），由f′（x）=＞0，解得﹣1＜x＜+1，得函数f（x）在（1，+1）上递增，在（+1，e）上递减，所以函数f（x）在x=+1处有最大值；∴f max（x）=f（+1）=2ln（）﹣2；又g（x）在（1，e），故g max（x）=g（1）=2b﹣2∴2ln（）﹣2＞2b﹣2，∴b＞ln（+1）（Ⅲ）当a=1时，f（x）=2lnx﹣x+，f′（x）=≤0恒成立，故f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，故当x≥1时，f（x）=2lnx﹣x+≤f（1）=0即2lnx≤x﹣，所以对∀n∈N，且n≥2，总有2lnm≤m﹣＜m，故有2（ln2+ln3+…+lnn）＜1+2+3+…+n，∴2ln（n!）＜，∴ln（n！）4＜（n﹣1）（n+2）问题得以证明．点评：本题主要考查导数函数的单调性最值的关系，本题属于中档题．四、附加题21．已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，7）在矩阵M的变换下得到点P'（15，9）．（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量α．考点：矩阵与向量乘法的意义；特征值与特征向量的计算．专题：计算题．分析：首先根据矩阵的变换列出方程式求出实数a的值．求出m的矩阵后写出其特征多项式，令f（λ）=0，得矩阵M的特征值，再根据特征值解出特征向量．解答：解：（1）由=，∴1+7a=15⇒a=2．（4分）（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为=（λ﹣1）（λ﹣1）﹣4=λ2﹣2λ﹣3，令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与3．（6分）当λ=﹣1时，⇒x+y=0，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；（8分）当λ=3时，⇒x=y，∴矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为．（10分）点评：本题主要考查矩阵与向量的乘法，和矩阵特征值及特征向量的求法．要求综合能力，计算能力，以及矩阵的很好理解．22．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，，且PC⊥AB．（1）求λ的值；（2）求异面直线PC与AC1所成角的余弦值．考点：共线向量与共面向量；用空间向量求直线间的夹角、距离．专题：计算题．分析：（1）设出正三棱柱的棱长，以底面上一边的中点为原点建立坐标系，写出要用的各个点的坐标，得到向量的坐标，根据向量的垂直关系，要求的实数的值．（2）在两条异面直线上构造两个向量，根据两个向量的坐标，写出两个向量的夹角的余弦，是一个负值，根据异面直线所成的角是不大于90°的角，得到余弦值．解答：解：（1）设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则：A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），A1（0，﹣1，2），（0，1，2），，C∴，，，∵PC⊥AB，∴，，，（2）由（1）知：，，，∴异面直线PC与AC1所成角的余弦值是．点评：本题考查用空间向量解决立体几何中的夹角和距离的问题，是一个典型的题目，解题的关键是要用的点的坐标比较多，写起来比较繁琐，注意不要出错．23．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望Eξ．考点：离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）先求中奖的对立事件“没中奖”的概率，求“没中奖”的概率是古典概型．（2）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60，用古典概型分别求概率，列出分布列，再求期望即可．解答：解：解法一：（Ⅰ）P=1﹣=1﹣=，即该顾客中奖的概率为．（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）．且P（ξ=0）==，P（ξ=10）==，P（ξ=20）==，P（ξ=50）==，P（ξ=60）==故ξ有分布列：ξ 0 10 20 50 60P从而期望Eξ=0×+10×+20×+50×+60×=16．解法二：（Ⅰ）P===，（Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值E ξ=2×8=16（元）．点评：本题考查古典概型、排列组合、离散型随机变量的分布列和期望，及利用概率知识解决问题的能力．24．已知数列{x n}中，．（Ⅰ）当p=2时，用数学归纳法证明（Ⅱ）是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x M≥x n．考点：用数学归纳法证明不等式．专题：证明题．分析：（Ⅰ）求出p=2时的表达式，利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式，（1）验证n=1不等式成立；（2）假设n=k时成立，证明n=k+1时成立．（Ⅱ）（1）验证n=1不等式成立；（2）假设n=k时成立，证明n=k+1时成立．解答：证明：由x1=1，知，x n＞0（n∈N*），（Ⅰ）当p=2时，，（1）当n=1时，x1=1＜，成立．（2）假设当n=k时，，则当n=k+1时，，即n=k+1时，成立．根据（1）（2），（n∈N*）．（4分）（Ⅱ）用数学归纳法证明，x n+1＞x n（n∈N*）．（1）当n=1时，＞1=x1，成立．（2）假设当n=k时，x k+1＞x k，∵x k＞0，p＞0，∴，则当n=k+1时，，即n=k+1时，成立．根据（1）（2），x n+1＞x n（n∈N*）．（8分）故不存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x M≥x n．（10分）点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意证明的过程两步骤缺一不可，注意形式的一致性，考查计算能力．。
江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学答案
扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题 高 二 数 学 参 考 答 案 2018．11．x ∀∈R ，210x -≥ 2．1- 3．(1,0) 4．y x = 5． 14π-6．45 7．1158．(,4)-∞ 9．4 10．221y x -= 11．(,2)-∞ 12．[1,5] 13．1215．解：（1）p 真：椭圆2215x y a+=的焦点在x 轴上 ∴05a << …………5分（2）∵“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题 ∴p 真q 假或p 假q 真………………7分q 真：∵关于x 的不等式23230x ax ++≥在R 上恒成立∴2(2)4330a ∆=-⨯⨯≤，解得：33a -≤≤ ……………………11分 ∴0533a a a <<⎧⎨<->⎩或或0533a a a ≤≥⎧⎨-≤≤⎩或 解得：35a <<或30a -≤≤∴实数a 的取值范围是35a <<或30a -≤≤． ……………………14分 16．解：（1）①22；②14；③0.28； ……………………3分 （2）650.20750.44850.28950.0877.4⨯+⨯+⨯+⨯=； ……………………8分 （3）记“甲同学被抽取到”为事件A ，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为： 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件；满足事件A 的基本事件：甲乙、 甲丙、甲丁，共3个基本事件，则1()2P A =……………………13分 答：此次数学史初赛的平均成绩为77.4，甲同学被抽取到的概率为12．……………………14分 17．解：（1）设(0,)C m ，0m >∵直线4390x y --=圆C 相切，且圆C 的半径为3∴|39|35m --=，解得2m =或8m =- ∵0m > ∴2m = ……………………5分 ∴圆C 的方程为：22(2)9x y +-=； ……………………7分 （2）若直线AB 的斜率不存在，则直线:1AB x =∴AB =，不符合题意，舍； 若直线AB 的斜率存在，设AB ：(1)y k x =-∵4AB = ∴点C 到直线:0AB kx y k --==化简得：24410k k -+= ∴12k =……………………9分 联立方程：221(1)2(2)9y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，消去y 得：2510110x x --=∴12115x x =- ……14分18．解：（1）当1a =时，22(1)1xe M x x x =>-+，∴222(1)(2)'(1)x x x e M x x --=-+……………………3分 列表得：…………………6分∴M 在(1,2)上单调减，在(2,)+∞上单调增 ∴M 在2x =时取最小值；……………………8分（2）∵222(1)(2)'(0)(1)xa x x e M a x x --=>-+ 根据（1）知：M 在(1,2)上单调减，在(2,)+∞上单调增 ∵确保恰好．．3年不需要进行保护 ∴43444(1)22(3)72(4)13M e e ae M e ae M e ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得：13722e a <≤ 答：实数a 的取值范围为137(,]22e． ……………………16分19．解：（1）∵椭圆的右准线方程为2x = ∴22a c = ∴a = ∴21,2c a == ∴21b = ∴椭圆的方程为：2212x y+=； ………………6分（2）方法（一）设点00(,)P x y ，则220012x y +=，((0,1)A B ，即220022x y +=．当00x=时，(0,1)P -，则(0,0)M ，(0,1)N -∴2AM BN ⋅==分 ∵点P 异于点A ∴0x ≠当0x ≠00x ≠时，设直线AP方程为：y x =，它与y 轴交于点N直线BP方程为：0011y y x x -=+，它与x轴交于点00(,0)1x M y --∴000|1x AM y =-=-，|1BN ==…………12分∴0||AM BN ⋅==== ……………………16分方法（二）若直线BP 斜率不存在，则直线BP 方程为：0x =，此时(0,1)P -，则(0,0)M ，(0,1)N -∴2AM BN ⋅==………………8分 若直线BP 斜率存在，设直线BP 方程为：1y kx =+，且0k ≠∴1(,0)M k-且1||AM k =-= ………………10分 则联立方程：22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：22(21)40k x kx ++=，解得： 10x =或22421k x k =-+， 即点222421(,)2121k k P k k -+-++ ∵点P 异于点A∴k ≠∴2222121421APk k k k k -++===-++∴直线AP的方程为：y x =+，则(0,N且|1BN == ………………14分∴||AM BN ⋅=⨯= ………………16分 20．解：（1）当1a =时，()ln f x x x =- ∴()11'1x f x-=-=，令()'0f x =，则1x =，列表得：∴()f x 有极小值()11f =，无极大值； ……………………3分 （2）()2ln g x ax x x =--，0x >∴()2121'2x ax g x a x x x-+-=--=，设2()21G x x ax =-+-①当0a ≤时，()0G x <恒成立，即()'0g x <恒成立，∴()g x 在(0,)+∞上单调减；②当0a >且280a ∆=-≤，即0a <≤()'0G x ≤恒成立，且不恒为0，则()'0g x ≤恒成立，且不恒为0，∴()g x 在(0,)+∞上单调减； ③当0a >且280a ∆=->，即a >时，()0G x =有两个实数根：12x x =，且121210,022a x x x x +=>=>∴120x x >> ∴当20x x <<或1x x >时，()0G x <，'()0g x <；当21x x x <<时，()0G x >，'()0g x >；∴()g x在和)+∞上单调减，在上单调增．∴综上：当a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调减；当a >时，()g x在和)+∞上单调减，在上单调增． ……………………7分（3）2()ln h x ax x x =-+，1'()2h x a x x=-+，问题即为判断0'()h x 的符号． ∵函数2()()h x f x x =+的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<∴21112222ln 0ln 0ax x x ax x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 两式相减得：22121212()(ln ln )()0a x x x x x x ---+-=∴121212ln ln ()x x a x x x x -=-+- ……………………9分∴01212121'()'()2()h x h x x a x x x x =+=-+++λμλμλμ121212121212121212ln ln ln ln 11()2()(21)()x x x x x x x x x x x x x x x x x x --=-+-++=+----+-+λμλλμλμ∵0≥>μλ且1+=λμ ∴210-≤λ ∵120x x << ∴12(21)()0x x --≥λ………………11分 研究：121212ln ln 1x x x x x x ---+λμ的符号，即判断112212ln x x x x x x --+λμ的符号．令12,(0,1)x t t x =∈，1122121ln ln x x x t t x x x t ---=-++λμλμ，设1()ln ,(0,1)t H t t t t -=-∈+λμ∴2222221()(1)11(21)'()()()()t t t t H t t t t t t t +--+-+=-=-=+++λμλλλμμλμλμλμ方法（一）设222()(21)F t t t =+-+λλμμ，其对称轴为：2221212(1)1211222t ----===+≥λμλλλλλλ∴()F t 在(0,1)上单调减，则222()(1)21()10F t F >=+-+=+-=λλμμλμ，即'()0H t >在(0,1)上恒成立 ∴()H t 在(0,1)上单调增 ∴()(1)0H t H <=，即112212ln 0x x x x x x --<+λμ ……………14分∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x -->-+λμ∴12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x -+--->-+λλμ，即0'()0h x >∴在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正． ……………………16分方法（二）2222222(21)(1)()'()()()t t t t H t t t t t +-+--==++λλμμλμλμλμ ∵0≥>μλ，01t << ∴2210,0t t -<-<λμ ∴'()0H t >在(0,1)上恒成立 ∴()H t 在(0,1)上单调增 ∴()(1)0H t H <=，即112212ln 0x x x x x x --<+λμ ……………14分 ∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x -->-+λμ∴12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x -+--->-+λλμ，即0'()0h x >∴在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正． ……………………16分。
江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题 含答案 精品
江苏省扬州中学2017-2018学年高二年级期中考试高二数学一、填空题：1.直线012:=+-y x l 的斜率为 .2.命题R x p ∈∃:，使得012≤+x 的否定为 . 3.直线02:=-+k y kx l 经过定点的坐标为 .4.若命题),(4:112121R y x y x p ∈<+，命题:q 点),(11y x 在圆422=+y x 内，则p 是q 的条件.5.已知两条直线22:1+=+a ay x l ，1:2+=+a y ax l ，若21l l ⊥，则=a .6.命题:p “若b a >，则ba 11<”的否命题是 （填：真、假）命题. 7.两圆04816622=-+-+y x y x 与0448422=--++y x y x 的公切线条数为 .8.若直线02=--y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22，则实数a 的值为 .9.离心率为2且与椭圆192522=+y x 有共有焦点的双曲线方程是 . 10.椭圆12622=+y x 和双曲线11-322=y x 的公共焦点21,F F ，P 是两曲线的一个交点，那么21cos PF F ∠的值是 .11.在平面直角坐标系xoy 中，由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+--100222222y x yy x x 所确定的图形的面积为 .12.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，过原点O 的直线交椭圆于点P A ,，且PF 垂直于x 轴，直线AF 交椭圆于点B ，PA PB ⊥，则该椭圆的离心率=e .13.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线x y 22=的焦点为F ，设M 是抛物线上的动点，则MFMO的最大值为 .14.已知对于点)12,0(A ，)9,10(B ，)0,8(C ，)7,4(-D ，存在唯一一个正方形S 满足这四个点在S 的不同边所在直线上，设正方形S 面积为k ，则k 10的值为 . 二、解答题15．已知命题:p “方程11922=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:q “方程1222=+-ky k x 表示双曲线”. （1）若p 是真命题，求实数k 的取值范围； （2）若“p 或q ”是真命题，求实数k 的取值范围.16.已知圆M 的方程为1)2(22=-+y x ，直线l 的方程为02=-y x ，点p 在直线l 上，过p点作圆M 的切线PB PA ,，切点为B A ,. （1）若060=∠APB ，试求点P 的坐标；（2）若P 点的坐标为)1,2(，过P 作直线与圆M 交于D C ,两点，当2=CD 时，求直线CD 的方程.17. 古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个正方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍，倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作图）来解决，首先作一个通径为a 2（其中正数a 为原立方体的棱长）的抛物线1C ，如图，再作一个顶点与抛物线1C 顶点O 重合而对称轴垂直的抛物线2C ，且与1C 交于不同于点O 的一点P ，自点P 向抛物线1C 的对称轴作垂线，垂足为M ，可使以OM 为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍. （1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线1C 的标准方程；（2）为使以OM 为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍，求抛物线2C 的标准方程（只须以一个开口方向为例）.18. 如图，AOB ∆的顶点A 在射线)0(3:>=x x y l 上，B A ,两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=∙MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W .（1）求轨迹W 的方程；（2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f .19. 已知椭圆C ：)0(12422>>=+b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //，且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ .（1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切；（2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.20. 已知椭圆C ：1121622=+y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于D C ,，连结BC AD ,交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=.（1）求21,λλ的值；（2）求证：点Q 在一定直线上.试卷答案一、填空题1.22. R x ∈∀，使得012>+x 3. )0,2( 4.充要 5.0 6.假 7.28.0或4 9. 112422=-y x 10. 31 11. π50 12. 2213. 33214.1936 二、解答题15.（1）命题p ：“方程11922=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆”，则⎩⎨⎧>-->-0119k k k ，解得51<<k .（2）命题:q “方程1222=+-ky k x 表示双曲线”，则0)2(<-k k ，解得2>k 或0<k . 若“p 或q ”是真命题，则q p ,至少一个是真命题，即一真一假或全为真. 则⎩⎨⎧≤≤<<2051k k 或⎩⎨⎧><≥≤2051k k k k 或或或⎩⎨⎧<><<0251k k k 或，所以21≤<k 或0<k 或5≥k 或52<<k . 所以0<k 或1>k .16.（1）设),2(m m P ，由条件可知2=MP ，所以4)2()2(22=-+m m ，解之得：0=m ，54=m ， 故所求点P 的坐标为)0,0(P 或)54,58(P（2）设直线CD 的方程为：)2(1-=-x k y ，易知k 存在，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22，所以21|12|22k k +--=，解得：1-=k 或71-. 故所求直线CD 的方程为：03=-+y x 或097=-+y x . 17.（1）以O 为原点，OM 为x 轴正向建立平面直角坐标系， 由题意，抛物线1C 的通径为a 2，所以标准方程为ax y 22=.（2）设抛物线)0(:22>=m my x C ，又由题意，3222a x OM P ==，所以a x p 32=，代入ax y 22=，得：23222a y p =，解得：a y p 34=所以点)4,2(33a a P 代入my x =2 得：a m a 3234)2(=，解得：a m = 所以抛物线2C 为：ay x =2.18.（1）因为B A ,两点关于x 轴对称， 所以AB 边所在直线与y 轴平行，设),(y x M ，由题意，得)3,(x x A ，)3,(x x B -， 所以y x AM -=3||，x y MB 3||+=， 因为3||||=∙MB AM ，所以3)3)(3(=+-x y y x ，即1322=-y x ， 所以点M 的轨迹W 的方程为1322=-y x )1(≥x （2）设),(y x M ，则22)(||y m x MP +-=，因为点M 在1322=-y x )1(≥x ，所以3322-=x y ， 所以32433)(||2222-+-=-+-=m mx x x m x MP 343)4(422-+-=m m x若14<m，即4<m ，则当1=x 时，|1|||min -=m MP ； 若14≥m，即4≥m ，则当4m x =时，12321||2min -=m MP 所以，||PM 的最小值⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=4,1232140|,1|)(2m m m m m f . 19.（1）由题设)2,0(D ，)0,2(F ，)0,2(A ， 又DF AP //，所以DF AP k k =，可得：2=t ， 所以122:=+yx AP ，即2=+y x ， 所以22|2|=-=d ，为圆222=+y x 的半径， 所以直线AP 与圆222=+y x 相切.（2）设)2,(0x Q ，),(11y x E ，由OE OQ ⊥，则⊥，可得02110=+y x x ， 而EQ ：0)(2)2()()2(0101011=-+-----x x x y y x x x y20121101201210101)()2(|2|)()2(|)(2)2(-|x x y x x y x x y x x x y d -+--=-+--+-=由02110=+y x x 得1102x y x -=代入上式， 得42))(4(||2)2()2(||221212122121212121212121212121++=+++=++-+=x x y y x x x y y x y x x y d又422121=+y x ，212124y x -=，代入上式得：2=d所以直线EQ 与圆222=+y x 相切.20.（1）因为)0,2(-F ，由x BF ⊥轴，由对称轴不妨设)3,2(--B ，则直线)4(23:+-=x y AB 又左准线8:-=x l ，所以)6,8(-P ，又CQ BC 1λ=，所以111λλ++=PQPB PC同理：由2λ=，得：221λλ++=又23=，所以11123λλ++=PQPA 又//，比较系数得：12312λλ=，所以2321=∙λλ（2）证明：设点),(11y x C ，),(22y x D ，),(00y x Q 由1λ=，得101112λλ++-=x x ，11113λλ++-=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)13(4)12(321012101=++-+++-λλλλy x ，整理得：0)962412()4843(100212020=++--+λλy x y x显然01≠λ，所以48439624122020001-+++=y x y x λ 同理：由2λ=，得：220214λλ+-=x x ，221λ+=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)1(4)14(32202220=+++-λλλyx同理可得：96244843020202+-+=x y x λ又由（1）2321=λλ，所以2396244843484396241202020202000=+-+∙-+++x y x y x y x整理得：0200=+-y x 即点Q 在定直线02=+-y x 上.。
江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期期末数学考试试卷带答案
江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期期末考试试卷（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“x ∃∈R ，210x -<”的否定是 ▲ ． 2．直线210x y ++=在y 轴上的截距为 ▲ ． 3．抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ．4．曲线2sin y x x =-在(0,0)处的切线方程为 ▲ ．5．在边长为2的正方形内随机取一点，取到的点到正方形中心的距离大于1的概率为 ▲ ． 6．某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n 的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么n = ▲ ．7．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 ▲ ．8．已知函数ln(4)y x =-的定义域为A ，集合{|}B x x a =>，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．9． 已知椭圆22:143x y C +=上的点M 到右焦点的距离为2，则点M 到左准线的距离为▲ ．10．已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且过点(1,2)，则双曲线的标准方程为 ▲ ． 11．已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 是()f x 的导函数，且(2)3f =，'()1f x <，则不等 式()1f x x >+的解集为 ▲ ．12．已知(4,0)A ，(1,0)B ，动点P 满足2PA PB =．设点P 到点(3,0)C -的距离为d ，则d 的 取值范围为 ▲ ．13．斜率为13直线l 经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点A ，且与椭圆交于另一个点B ，若在y 轴上存在点C 使得ABC △是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心 率为 ▲ ．14． 已知函数2()|3|f x x x a =-在[0,2]x ∈的值域为[0,4]m ，则实数m 的最小值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知命题p ：“椭圆2215x y a+=的焦点在x 轴上”；命题q ：“关于x 的不等式23230x ax ++≥在R 上恒成立”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2） 若命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．16．（本题满分14分）为了让学生更多地了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：序号 分数段 人数 频率 1 [60,70) 10 0.20 2 [70,80) ① 0.44 3 [80,90) ② ③ 4[90,100]4 0.08 合计501（1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）； （2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩；（3）甲同学的初赛成绩在[90,100]，学校为了宣传班级的学习经验，随机抽取分数在[90,100]的4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．17．（本题满分14分）已知圆C 的半径为3，圆心在y 轴正半轴上，直线4390x y --=圆C 相切． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)Q 的直线l 与圆C 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 且4AB =，求12x x 的值．18．（本题满分16分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x （年）（其中*x N ∈）的关系为2x y e =．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值21ayM x x =-+（其中a 为常数，且0a >）来进行生态环境分析．（1）当1a =时，求比值M 取最小值时x 的值；（2）经过调查，环保部门发现：当比值M 不超过4e 时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底， 2.71828e =）19．（本题满分16分）已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的右准线方程为2x =，又离心率为22，椭圆的左顶点为A ，上顶点为B ，点P 为椭圆上异于,A B 任意一点． （1）求椭圆的方程；（2）若直线BP 与x 轴交于点M ，直线AP 与y 轴交于点N ，求证：AM BN ⋅为定值．20．（本题满分16分）已知：函数()ln f x ax x =-．（1）当1a =时，求函数()y f x =的极值；（2）若函数()()2g x f x x =-，讨论()y g x =的单调性；（3）若函数2()()h x f x x =+的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<．设 012x x x λμ=+，其中常数λ、μ满足条件1λμ+=，且0≥>μλ．试判断在点00(,())M x h x 处 的切线斜率的正负，并说明理由．参考答案1．x ∀∈R ，210x -≥ 2．1- 3．(1,0) 4．y x = 5． 14π-6．45 7．1158．(,4)-∞ 9．4 10．221y x -= 11．(,2)-∞ 12．[1,5] 13．6314．1215．解：（1）p 真：椭圆2215x y a+=的焦点在x 轴上 ∴05a << …………5分（2）∵“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题 ∴p 真q 假或p 假q 真………………7分q 真：∵关于x 的不等式23230x ax ++≥在R 上恒成立∴2(2)4330a ∆=-⨯⨯≤，解得：33a -≤≤ ……………………11分 ∴0533a a a <<⎧⎨<->⎩或或0533a a a ≤≥⎧⎨-≤≤⎩或 解得：35a <<或30a -≤≤ ∴实数a 的取值范围是35a <<或30a -≤≤． …………………14分 16．解：（1）①22；②14；③0.28； …3分 （2）650.20750.44850.28950.0877.4⨯+⨯+⨯+⨯=； …………8分 （3）记“甲同学被抽取到”为事件A ，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为： 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件；满足事件A 的基本事件：甲乙、甲丙、甲丁，共3个基本事件，则1()2P A =……………………13分 答：此次数学史初赛的平均成绩为77.4，甲同学被抽取到的概率为12．……………14分 17．解：（1）设(0,)C m ，0m >∵直线4390x y --=圆C 相切，且圆C 的半径为3∴|39|35m --=，解得2m =或8m =- ∵0m > ∴2m = ……………………5分 ∴圆C 的方程为：22(2)9x y +-=； ……………………7分 （2）若直线AB 的斜率不存在，则直线:1AB x =∴42AB =，不符合题意，舍； 若直线AB 的斜率存在，设AB ：(1)y k x =-∵4AB = ∴点C 到直线:0AB kx y k --=的距离为5，即2|2|51k k --=+，化简得：24410k k -+= ∴12k =……………………9分 联立方程：221(1)2(2)9y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，消去y 得：2510110x x --=∴12115x x =- ……14分18．解：（1）当1a =时，22(1)1xe M x x x =>-+，∴222(1)(2)'(1)x x x e M x x --=-+……………3分 列表得：x(1,2) 2 (2,)+∞()'f x-0 +()f x单调减极小值单调增……………6分∴M 在(1,2)上单调减，在(2,)+∞上单调增 ∴M 在2x =时取最小值；…………………8分 （2）∵222(1)(2)'(0)(1)xa x x e M a x x --=>-+ 根据（1）知：M 在(1,2)上单调减，在(2,)+∞上单调增∵确保恰好．．3年不需要进行保护 ∴43444(1)22(3)72(4)13M e e ae M e ae M e ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得：13722e a <≤ 答：实数a 的取值范围为137(,]22e． ……………………16分19．解：（1）∵椭圆的右准线方程为2x = ∴22a c = ∵离心率为22∴2a c = ∴21,2c a == ∴21b = ∴椭圆的方程为：2212x y +=； ………………6分（2）方法（一）设点00(,)P x y ，则220012x y +=，(2,0),(0,1)A B -，即220022x y +=． 当00x =时，(0,1)P -，则(0,0)M ，(0,1)N - ∴2222AM BN ⋅=⨯=………8分 ∵点P 异于点A ∴02x ≠-当02x ≠-且00x ≠时，设直线AP 方程为：00(2)2y y x x =++，它与y 轴交于点002(0,)2y N x +直线BP 方程为：0011y y x x -=+，它与x 轴交于点00(,0)1x M y --∴0000022|2|||11x y x AM y y --=-+=--，00000222|1|||22y x y BN x x +-=-=++……12分 ∴220000000000000000(22)(22)2222422||||(1)(2)22y x x y x y x y x y AM BN y x x y x y --+-+++--⋅=⋅=-+-+- 000000002222422||2222x y x y x y x y ++--==-+-为定值．……………………16分 方法（二）若直线BP 斜率不存在，则直线BP 方程为：0x =，此时(0,1)P -，则(0,0)M ， (0,1)N - ∴2222AM BN ⋅=⨯= ………………8分若直线BP 斜率存在，设直线BP 方程为：1y kx =+，且0k ≠∴1(,0)M k-且 121|2|||k AM k k -=-+= ……………10分 则联立方程：22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：22(21)40k x kx ++=，解得： 10x =或22421k x k =-+， 即点222421(,)2121k k P k k -+-++ ∵点P 异于点A ∴22k ≠∴2222221212121422422(21)221APk k k k k k k k k k -+-+++===--+--++ ∴直线AP 的方程为：21(2)2(21)k y x k +=-+-，则21(0,)21k N k +--且2122|1|||2121k k BN k k +=+=-- ………………14分∴2122||||2221k kAM BN k k -⋅=⨯=-为定值． ……………16分20．解：（1）当1a =时，()ln f x x x =- ∴()11'1x f x x x-=-=，令()'0f x =，则1x =，列表得：x(0,1) 1 (1,)+∞()'f x-0 +()f x单调减极小值单调增∴()f x 有极小值()11f =，无极大值； ………………3分（2）()2ln g x ax x x =--，0x >∴()2121'2x ax g x a x x x-+-=--=，设2()21G x x a x =-+-①当0a ≤时，()0G x <恒成立，即()'0g x <恒成立，∴()g x 在(0,)+∞上单调减； ②当0a >且280a ∆=-≤，即022a <≤时，()'0G x ≤恒成立，且不恒为0，则()'0g x ≤恒成立，且不恒为0，∴()g x 在(0,)+∞上单调减； ③当0a >且280a ∆=->，即22a >时，()0G x =有两个实数根：221288,44a a a a x x +---==，且121210,022a x x x x +=>=> ∴120x x >> ∴当20x x <<或1x x >时，()0G x <，'()0g x <；当21x x x <<时，()0G x >，'()0g x >；∴()g x 在28(0,)4a a --和28(,)4a a +-+∞上单调减，在2288()44a a a a --+-，上单调增．∴综上：当22a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调减；当22a >时，()g x 在28(0,)4a a --和28(,)4a a +-+∞上单调减，在2288()44a a a a --+-，上单调增．……………7分（3）2()ln h x ax x x =-+，1'()2h x a x x=-+，问题即为判断0'()h x 的符号． ∵函数2()()h x f x x =+的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<∴21112222ln 0ln 0ax x x ax x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 两式相减得：22121212()(ln ln )()0a x x x x x x ---+-=∴121212ln ln ()x x a x x x x -=-+- ………………9分∴01212121'()'()2()h x h x x a x x x x =+=-+++λμλμλμ121212121212121212ln ln ln ln 11()2()(21)()x x x x x x x x x x x x x x x x x x --=-+-++=+----+-+λμλλμλμ∵0≥>μλ且1+=λμ ∴210-≤λ∵120x x << ∴12(21)()0x x --≥λ………………11分 研究：121212ln ln 1x x x x x x ---+λμ的符号，即判断112212ln x x x x x x --+λμ的符号．令12,(0,1)x t t x =∈，1122121ln ln x x x t t x x x t ---=-++λμλμ，设1()ln ,(0,1)t H t t t t -=-∈+λμ∴2222221()(1)11(21)'()()()()t t t t H t t t t t t t +--+-+=-=-=+++λμλλλμμλμλμλμ方法（一）设222()(21)F t t t =+-+λλμμ，其对称轴为：2221212(1)1211222t ----===+≥λμλλλλλλ∴()F t 在(0,1)上单调减，则222()(1)21()10F t F >=+-+=+-=λλμμλμ，即'()0H t >在(0,1)上恒成立 ∴()H t 在(0,1)上单调增 ∴()(1)0H t H <=，即112212ln0x x x x x x --<+λμ ……………14分 ∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x -->-+λμ∴12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x -+--->-+λλμ，即0'()0h x >∴在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正． ………………16分方法（二）2222222(21)(1)()'()()()t t t t H t t t t t +-+--==++λλμμλμλμλμ∵0≥>μλ，01t << ∴2210,0t t -<-<λμ ∴'()0H t >在(0,1)上恒成立 ∴()H t 在(0,1)上单调增 ∴()(1)0H t H <=，即112212ln 0x x x x x x --<+λμ ……………14分 ∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x -->-+λμ∴12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x -+--->-+λλμ，即0'()0h x > ∴在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正． ……………16分。
江苏省扬州中学2017-2018学年高一数学10月月考试题
江苏省扬州中学2017-2018学年第一学期10月月考高一数学试卷2017.10.7一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答题卡上．．．．．．．．) 1．集合{}03x x x Z <<∈且的非空子集个数为 ▲ ． 2.函数12y x -的定义域是 ▲ .3. 定义在R 上的奇函数)(x f ，当0<x 时，11)(+=x x f ，则)21(f = ▲ ．4．若函数2()(2)(1)2f x p x p x =-+-+是偶函数，则p= ▲ ． 5．函数1)(+++-=a x ax x f 图象的对称中心横坐标为3，则a = ▲ .6．已知{}23,(5,)A x a x a B =≤≤+=+∞，若,A B =∅则实数a 的取值范围为 ▲ . 7．已知集合{1,1}A =-，{1}B x mx ==，且AB B =，则实数m 的值为 ▲ .8.函数)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数且)1(11)()(±≠+=+x x x g x f ，则=-)3(f ▲ .9.已知函数2460()60x x x f x x x ⎧-+≤=⎨-+>⎩，，，，若()(1)f x f <-，则实数x 的取值范围是 ▲ .10.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则实数x 的取值范围是 ▲ ．11. 已知定义在R 上的函数()x f 在[)+∞-,4上为增函数，且()4-=x f y 是偶函数，则()()()0,4,6f f f --的大小关为 ▲ .12. 已知函数2()2f x x x a =++和函数()2g x x =,对任意1x ,总存在2x 使12()()g x f x =成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .13.设函数()(1)1||mxf x m x =>+其中常数，区间[,]()M a b a b =<，集合{|(),}N y y f x x M ==∈，则使M N =成立的实数对(),a b 有 ▲ 对．14.已知函数()(),11+=+x f x f 当[]1,0∈x 时，().113--=x x f 若对任意实数x ，都有()()x f a x f <+成立，则实数a 的取值范围 ▲ .二、解答题：(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．答．案写在答题卡上．．．．．．．) 15. （本小题满分14分）已知集合A ={x |||4x a -<}，2{|450}B x x x =-->． （1）若1=a ，求B A ；（2）若=B A R ，求实数a 的取值范围．16. （本小题满分14分）已知函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，x x x f 2)(2+-=. （1）求)(x f 的解析式；（2）若函数)(x f 在区间]2,1[--a 上单调递增，求实数a 的取值范围.17. （本小题满分15分） 已知函数f (x )=|x 2-1|+x 2+kx . (1) 当k =2时,求方程f (x )=0的解;(2) 若关于x 的方程f (x )=0在(0,2)上有两个实数解x 1,x 2,求实数k 的取值范围.18（本小题满分15分）学校欲在甲、乙两点采购某款投影仪，该款投影仪原价为每台2000元。
江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析
江苏省扬州中学2017-2018学年高二年级期中考试高二数学一、填空题：1. 直线的斜率为____________.【答案】2【解析】将直线方程整理为斜截式即：，据此可得直线的斜率为.2. 命题，使得的否定为___________.【答案】，使得【解析】特称命题的否定为全称命题，据此可得：命题，使得的否定为，使得.3. 直线经过定点的坐标为___________.【答案】【解析】直线方程即：,结合直线的点斜式方程可知，直线经过定点的坐标为4. 若命题，命题点在圆内，则是的___________条件. 【答案】充要【解析】由点与圆的位置关系有：若点在圆内，则；若点在圆上，则；若点在圆外，则；据此可知：是的充要条件.5. 已知两条直线，，若，则___________.【答案】0【解析】由直线垂直的充要条件结合题意可得：,求解关于实数的方程可得：.6. 命题“若，则”的否命题是___________（填：真、假）命题.【答案】假【解析】命题的否命题为：若，则，取可得该否命题为假命题.7. 两圆与的公切线条数为___________.【答案】2【解析】题中所给圆的标准方程即：与，两圆的圆心坐标为：，圆心距：，由于，故两圆相交，则两圆公切线的条数为2.点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．8. 若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为___________. 【答案】0或4【解析】圆心到直线的距离为：，结合弦长公式有：，求解关于实数的方程可得：或.点睛：圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则＝r2－d2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝ |x1－x2|9. 离心率为2且与椭圆有共有焦点的双曲线方程是___________.【答案】【解析】设曲线的方程为，由题意可得：，求解方程组可得：，则双曲线的方程为：.【答案】【解析】不妨假设，则：椭圆方程中，，①双曲线方程中，，②①②联立可得：,而，结合余弦定理有：11. 在平面直角坐标系中，由不等式所确定的图形的面积为___________.【答案】【解析】不等式：即：则不等式组即：或，由曲线的对称性可得：所求面积为半径为的圆的面积的一半，即.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．12. 椭圆的右焦点为，过原点的直线交椭圆于点，且垂直于轴，直线交椭圆于点，，则该椭圆的离心率___________.【答案】【解析】此题考查椭圆的相关性质和直线方程的相关知识，利用结论：若椭圆的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，即；求解较简单；由已知得，，取中点，可知，又因为,所以，又因为，由，13. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，设是抛物线上的动点，则的最大值为___________.【答案】【解析】试题分析：焦点F（，0），设M（m，n），则，m＞0，设M 到准线的距离等于d，则．令，，则，（当且仅当时，等号成立）．故的最大值为考点：抛物线的简单性质14. 已知对于点，，，，存在唯一一个正方形满足这四个点在的不同边所在直线上，设正方形面积为，则的值为___________.【答案】1936【解析】很明显，直线的斜率均存在，设经过点的直线的斜率为，则直线方程为：，两平行线之间的距离为：，设经过点的直线的斜率为，则直线方程为：，两平行线之间的距离为：，.四边形为正方形，则：,整理可得：，解得：.当时不合题意，舍去，取，正方形的边长为：，故：.二、解答题15. 已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”，命题“方程表示双曲线”.（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若“或”是真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或.【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实数k的不等式组，求解不等式组有.(2)由题意可得，命题至少一个是真命题，即一真一假或全为真.据此得到关于实数k的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是或.试题解析：（1）命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”，则，解得. （2）命题“方程表示双曲线”，则，解得或.若“或”是真命题，则至少一个是真命题，即一真一假或全为真.则或或，所以或或或.所以或.16. 已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为.（1）若，试求点的坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程. 【答案】（1）或（2）所求直线的方程为：或.【解析】试题分析：(1)设出点P的方程，利用两点之间距离公式得到关于实数m的方程，解方程求得实数m的值可得点的坐标为或(2)由题意可得圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式得到关于实数k的方程，解方程可得直线的方程为：或.试题解析：（1）设，由条件可知，所以，解之得：，，故所求点的坐标为或（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，解得：或.故所求直线的方程为：或.点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．17. 古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个正方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍，倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作图）来解决，首先作一个通径为（其中正数为原立方体的棱长）的抛物线，如图，再作一个顶点与抛物线顶点重合而对称轴垂直的抛物线，且与交于不同于点的一点，自点向抛物线的对称轴作垂线，垂足为，可使以为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍.（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的标准方程；（2）为使以为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍，求抛物线的标准方程（只须以一个开口方向为例）.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)以为原点，为轴正向建立平面直角坐标系，结合抛物线的性质可得抛物线的标准方程为.(2)不妨设焦点位于y轴正半轴，结合题意计算可得抛物线方程为.试题解析：（1）以为原点，为轴正向建立平面直角坐标系，由题意，抛物线的通径为，所以标准方程为.（2）设抛物线，又由题意，，所以，代入，得：，解得：所以点代入得：，解得：所以抛物线为：.18. 如图，的顶点在射线上，两点关于轴对称，为坐标原点，且线段上有一点满足，当点在上移动时，记点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）设为轴正半轴上一点，求的最小值.【答案】（1）（2）的最小值【解析】试题分析：(1)设，由题意结合平面向量数量积的坐标运算可得，即点的轨迹的方程为(2)由题意设，计算可得，分类讨论和两种情况，结合二次函数的性质有：的最小值.试题解析：（1）因为两点关于轴对称，所以边所在直线与轴平行，设，由题意，得，，所以，，因为，所以，即，所以点的轨迹的方程为（2）设，则，因为点在，所以，所以若，即，则当时，；若，即，则当时，所以，的最小值.19. 已知椭圆：上顶点为，右焦点为，过右顶点作直线，且与轴交于点，又在直线和椭圆上分别取点和点，满足（为坐标原点），连接.（1）求的值，并证明直线与圆相切；（2）判断直线与圆是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：(1)两直线平行，则斜率相等，据此解方程可得，且直线的方程为，考查圆心到直线的距离与圆的半径的关系可得直线与圆相切.(2)设，，则直线EQ的方程为，圆心到直线的距离，结合韦达定理可得直线与圆相切.试题解析：（1）由题设，，，又，所以，可得：，所以，即，所以，为圆的半径，所以直线与圆相切.（2）设，，由，则，可得，而：由得代入上式，得又，，代入上式得：所以直线与圆相切.20. 已知椭圆：左焦点，左顶点，椭圆上一点满足轴，且点在轴下方，连线与左准线交于点，过点任意引一直线与椭圆交于，连结交于点，若实数满足：，.（1）求的值；（2）求证：点在一定直线上.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：(1)由题意结合直线AB的方程为，结合向量平行的充要条件比较系数可得..................试题解析：（1）因为，由轴，由对称轴不妨设，则直线又左准线，所以，又，所以同理：由，得：又，所以又，比较系数得：，所以（2）证明：设点，，由，得，代入椭圆方程，得：，整理得：显然，所以同理：由，得：，代入椭圆方程，得：同理可得：又由（1），所以整理得：即点在定直线上.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
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江苏省扬州中学2018-2019学年度第一学期10月份测试高 二 数 学 试 卷 2018年10月6日（本试卷考试时间120分钟，满分160分，请将答案做在答题卡上） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 与直线x ＋3y －1＝0垂直的直线的倾斜角为________．2. 轴上的椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．3. 1,的圆的方程为 ．4. __________条.5相切的直线的方程 ．6. 已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0________．7.8. 是 ．9. 程为 ．10. 已圆的两条互相垂直的弦，垂足为,则11.的取值集合是 ．12P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝b24相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则椭圆C 的离心率为 ．13.____．14．定义:直有向距离已知点点到直线的有向距离之和为0,则直线的斜率的取值范围为 ． ．二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15.（本小题满分14问：m 为何值时，有：（1（216.（本小题满分14分）已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4. (1)求过点P (1,2)且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程.17.（本小题满分14分）已知椭圆8x 281＋y 236＝1（1（2）求过点M 且与椭圆x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．18.（本小题满分16分）（1（2.19.（本小题满分16(1)(2). 20．(本题满分16分)(1)(2)(i)(ii)2018.10.6参考答案：1.π32.53.4. 35.6.7.8. 9. 10. 20 11 12.53．13.15.解：（1当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去．（216.解 (1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)， 则由|2－k |k 2＋1＝2，得k 1＝0，k 2＝－43， 从而所求的切线方程为y ＝2和4x ＋3y －10＝0.(2) 当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d (d ＞0)，则23＝24－d 2， 得d ＝1，从而1＝|－k ＋2|k 2＋1，得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋5＝0，综上，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.17.解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9.∴x ＝±3.故M (2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15(a 2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.18.19.（1）因为三角形BFO为直角三角形，所以其外接圆圆心为斜边BF中点C，由C6分，每个方程3分）（2）由AD与圆C相切，得BF。
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扬州中学2017-2018年度上学期高二年级阶段测试数 学 2017-10-7一、填空题（每小题5分，共14小题）1. 空间中，点（2,0,1）位于 平面上（填“xOy ”“yOz ”或“xOz ”）2. 椭圆22194x y +=的离心率是3.已知两点A （0,10），B （a ，-5）之间的距离为17，则实数a 的值为4. 过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是5.圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得的公共弦所在直线方程为6. 已知点A （1，3）关于直线l 的对称点为B (-5,1)，则直线l 的方程为7已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是8. 椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为9. 直线)0(0≠=++ab c by ax 截圆522=+y x 所得弦长等于4，则以|a |、|b |、|c |为边长的三角形一定是 ．10. 若直线l ：y=kx 经过点22(sin ,cos )33P ππ，则直线l 的倾斜角为α = ．11. 圆心在直线x y 4-=上，且与直线01=-+y x 相切于点),(23-P 的圆的标准方程为 ．12. 已知圆224x y +=，直线l ：y kx b =+与圆交于点A,B （异于原点O ），直线AO 、直线l 与直线BO 的斜率依次成等比数列，则k =13. 已知椭圆C: 22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ,点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆： 222x y b +=相切于点Q ，若Q 是线段2PF 的中点，e 为C 的离心率，则223a e b+的最小值是______________14.过椭圆C:1322=+y x 上任意一点),(00y x M 作一半径为r 的圆M ，过原点O 向圆M 作两条切线，若两条切线的斜率之积为定值，则半径=r二、解答题（共6大题，分值14分+14分+14分+16分+16分+16分）15.已知圆C 方程为04222=+--+m y x y x 。
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扬州中学2017-2018年度上学期高二年级阶段测试
数 学 2017-10-7
一、填空题（每小题5分，共14小题）
1. 空间中，点（2,0,1）位于 平面上（填“xOy ”“yOz ”或“xOz ”）
2. 椭圆22194
x y +=的离心率是
3.已知两点A （0,10），B （a ，-5）之间的距离为17，则实数a 的值为
4. 过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是
5.圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得的公共弦所在直线方程为
6. 已知点A （1，3）关于直线l 的对称点为B (-5,1)，则直线l 的方程为
7已知方程
1212
2=-+-m
y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是
8. 椭圆
22
1167
x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为
9. 直线)0(0≠=++ab c by ax 截圆52
2=+y x 所得弦长等于4，则以|a |、|b |、|c |为边长的三角形一定是 ．
10. 若直线l ：y=kx 经过点22(sin ,cos )33
P ππ
，则直线l 的倾斜角为α = ．
11. 圆心在直线x y 4-=上，且与直线01=-+y x 相切于点),(23-P 的圆的标准方程为 ．
12. 已知圆2
2
4x y +=，直线l ：y kx b =+与圆交于点A,B （异于原点O ），直线AO 、直线l 与直线BO 的斜率依次成等比数列，则k =
13. 已知椭圆C: 22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ,点P 在椭圆C 上，
线段2PF 与圆： 222x y b +=相切于点Q ，若Q 是线段2PF 的中点，e 为C 的离心率，
则223a e b
+的最小值是______________
14.过椭圆C:13
22
=+y x 上任意一点),(00y x M 作一半径为r 的圆M ，过原点O 向圆M 作两条切线，若两条切线的斜率之积为定值，则半径=r
二、解答题（共6大题，分值14分+14分+14分+16分+16分+16分）
15.已知圆C 方程为04222=+--+m y x y x 。
（1）求m 的取值范围；
（2）若直线012=--y x 与圆C 相切，求m 的值。
16. 如图，已知等腰直角三角形APB 的一条直角边AP 在y 轴上，A 点位于x 轴的下方，B 点位于y 轴的右方，斜边AB 的长为23，且A 、B
两点在椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 上。
（1）若点)1,0(P ，求椭圆方程；
（2）若))(,0(R t t P ∈，求A 、B 两点在椭圆C 上时t 的取值范围。
17. 已知两条直线04:1=+-by ax l ，0)1(:2=++-b y x a l ，求分别满足下列条件的a,b
的值：
（1）直线1l 过点（-3，-1），并且直线1l 与直线2l 垂直； （2）直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到21,l l 的距离相等。
18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ．
（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程； （2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存
在，说明理由．
19. 某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条
将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口. （1）若窗口ABCD 为正方形，且面积大于2
14
m （木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；
（2）若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值.
20. 已知焦距为2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，直线y=与椭圆C 交于P、Q两点（P在Q的左边），Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N．
（i）若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x+3y﹣2=0上一点，
且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值
（ii）若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G 是定点．
10月月考答案
1. xOz
2. 3. 8± 4. 210x y --=
5. 250x y -+=
6. 340x y ++= 7)23,1( 8. 2
5
9. 直角三角形 10.56π
11. ()()22
148x y -++= 12. 1±
13.
3
14. 23
15. 解：（1）5<m 7分
（2）5
9
=
m 7分 16.解：（1）
14
122
2=+y x 7分 （2）2
3
0<
<t 7分 17. 解：（1）2,2==b a 7分 （2）2,2-==b a 或2,3
2
==
b a 7分 18. （1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为2．
因为l AB ∥，(1,0)A -，(1,2)B ，所以直线l 的斜率为20
11(1)
-=--，
设直线l 的方程为0x y m -+=， 则圆心C 到直线l
的距离为d =
．
因为MN AB ===
而22
2()2
MN CM d =+，所以2(2)422m +=
+， 解得0m =或4m =-，
故直线l 的方程为0x y -=或40x y --=． 8分 （2）假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，
222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，
即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=，
因为|22|22-<+，
所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，
所以点P 的个数为2． 8分
19. 解（1）设一根木条长为xcm
，则正方形的边长为=
因为14ABCD S >
四边形，所以2
144x ->
，即x < 又因为四根木条将圆分成9
个区域，所以x >
所以x <<7分
（2）设AB 所在木条长为am ，CD 所在木条长为bm 由条件，2+26a b =，即3a b +=
因为(),0,2a b ∈，所以()30,2b a =-∈，从而(),1,2a b ∈
由于AB BD ==
，ABCD S ==矩形
()()2
2288722
2
4
a b a b +-
-+≤
=
当且仅当()31,22a b ==
∈时，74
ABCD S =矩形 答：窗口ABCD 面积的最大值为2
74m
9分
20. 解：（1）由题意可得2c=2
，即c=，
直线y=代入椭圆方程可得
+
=1，
解得x=±a ，
可得|AB |=a ﹣a ，
由四边形ABPQ 是平行四边形，
可得|AB|=|PQ|=2a，
解得b=，a==2，
可得椭圆的方程为+=1；5分
（2）（i）由直线y=kx代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2=4，
解得x=±，
可设M（，），
由△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，
可设E（m，﹣m），E到直线kx﹣y=0的距离为d=，即有OE⊥MN，|OM|=d，
即为=﹣，=，
由m=，代入第二式，化简整理可得7k2﹣18k+8=0，
解得k=2或；5分
（ii）证明：由M（﹣2，0），可得直线MN的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程可得，（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，
可得﹣2+x N=﹣，
解得x N=，
y N=k（x N+2）=，即N（，），
设G（t，0），（t≠﹣2），由题意可得D（2，4k），A（2，0），
以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，
可得AN⊥DG，
即有k AN•k DG=﹣1，
即为•=﹣1，
解得t=0．
故点G是定点，即为原点（0，0）．6分。