2103年浙江省高考自选模块数学部分
2103年浙江省高考数学(文科)详细解析版(PDF)
4 侧视图22013年浙江文数试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合S ＝{x |x ＞﹣2}，T ＝{x |﹣4≤x ≤1}，则S ∩T ＝A ．[﹣4，+∞)B ．(﹣2，+∞)C ．[﹣4，1]D ．(﹣2，1] 【答案】D【解析】画出如右数轴即可的答案：S ∩T ＝(﹣2，1]． 2、已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝A ．5－5iB ．7－5iC ．5＋5iD ．7＋5i 【答案】C【解析】(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝6＋5i －1＝5＋5i ． 3、若α∈R ，则“α＝0”是“sin α＜cos α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】α＝0时，sin α＜cos α；α＝π6时，sin α＜cos α．故选A ．4、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β 【答案】C【解析】A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 或m ⊥n 或m 与n 相交或m 与n 异面．B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β或α与β相交．D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β或m β．故选C ． 5、已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示， 则该几何体的体积是A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3 【答案】B【解析】作出如下立体图．该图是由长方体截去一个三第1题答图棱锥所得．体积为：6×6×3－(4×4×12 )×3×13＝100 cm 3．6、函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是 A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 【答案】A【解析】f (x )＝sin x cos x ＋32cos2x ＝12 sin2 x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3 )，T ＝2π|ω|＝π，A ＝1． 7、已知a 、b 、c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ．若f (0)＝f (4)＞f (1)，则 A ．a ＞0，4a ＋b ＝0 B ．a ＜0，4a ＋b ＝0 C ．a ＞0，2a ＋b ＝0 D ．a ＜0，2a ＋b ＝0 【答案】A【解析】 f (0)＝f (4)，对称轴：x ＝﹣b2a ＝2，4a ＋b ＝0，f (4)＞f (1)，表明离对称轴越远值越大，故a ＞0．8、已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x ) 的图像如右图所示，则该函数的图像是【答案】B【解析】观察其导函数y ＝f ′(x )的图像易得，x 从﹣1到1，其导数值为正，即斜率都大于0，函数y ＝f (x )应为递增函数；x 从﹣1到0，其导数值增大，即函数y ＝f (x )斜率增大；x 从0到1，其导数值减小，即函数y ＝f (x )斜率减小．对应答案易得选B ．第5题答图9、如图F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共 点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是 A ．2 B ．3 C ．32 D ．62【答案】D【解析】c 2＝3，F 1(﹣ 3，0)，F 2(3，0)，设C 2：x 2a 2－y 2b2＝1，A (m ，n )．a 2＋b 2＝3……①．若四边形AF 1BF 2为矩形，则：AF 1⊥AF 2，即：22141m n ⎧+=⎪⎪=-，解得：283m =，213n =．代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得：8a 2－1b 2＝3……②．联立①②得：a 2＝2，b 2＝1，e ＝ 1＋(b a )2＝62． 10、设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝ a ，a ≤b b ，a ＞b a ∨b ＝ b ，a ≤b a ，a ＞b若正数a 、b 、c 、d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 【答案】C【解析】采取特例法是解决本题的最好方法．如，令a ＝1，b ＝4，a ∧b ＝1，排除AB 选项；令c ＝0，d ＝1，c ∨d ＝1，排除C 选项；故选C ． 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、已知函数f (x )＝x －1，若f (a ) ＝3，则实数a ＝___________． 【答案】10【解析】f (a ) ＝a －1，a －1＝9，a ＝10．12、从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于_________．【答案】15【解析】P ＝3×26×5 ＝15． 13、直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于_________． 【答案】4 5【解析】圆(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心(3，4)，r ＝5，d ＝|2×3－4＋3|22＋12 ＝ 5 ．弦长为：r 2－d 2 ＝4 5 ．14、某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________． 【答案】95【解析】S ＝32 ，k ＝2；S ＝53 ，k ＝3；S ＝74 ，k ＝4；S ＝95，k ＝5，跳出程序．15、设z ＝kx ＋y ，其中实数x 、y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k ＝________． 【答案】2【解析】由题得：21+2224x y x y x ≥⎧⎪⎪≤⎨⎪≥-⎪⎩，作出可行域如右所示：目标函数：设y ＝﹣kx ＋z ，z 的最大值肯定是过点B (4，4)时的截距，代入得：4＝﹣4k ＋12，则k ＝2． 16、设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于______________． 【答案】－1【解析】观察当x ＝1时，0≤1－1＋a ＋b ≤0，即a ＋b ＝0， b ＝﹣a ．……(※)，代入得：04第15题答图≤x 4－x 3＋ax ﹣a ≤(x 2－1)2，即：0≤(x －1)(x 3＋a )≤(x 2－1)2，下面研究x ≥1时情况：当x ≥1时，x －1≥0，x 3＋a ≥0，a ≥﹣x 3，由恒成立条件知：a ≥﹣1．……①．(x －1)(x 3＋a )≤(x 2－1)2，即：x 3＋a ≤x 3＋x 2－x －1，即：a ≤x 2－x －1，由恒成立条件知：a ≤﹣1．……②．综合①②知a ＝﹣1，代回(※) 知b ＝1．故：ab ＝﹣1．17、设e 1、e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x 、y ∈R ．若e 1、e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于_______． 【答案】2【解析】由余弦定理易得：|b |2＝x 2＋y 2－2xy cos 5π6＝x 2＋y 2＋ 3 xy ，当x ＝0时，|x ||b |＝0；当x ≠0时，|b |2| x |2＝222x y x +＝21y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝214y x ⎛++ ⎝⎭≥14 ，故：|x ||b |≤2，则|x ||b |的最大值等于2．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)2sin sin sin a ba B A B==由及正弦定理，得sin 2A =A 因为是锐角，所以π3A =． (Ⅱ)2222cos a b c bc A =+-由余弦定理，得2236b c bc +-=．8b c +=又，所以283bc =． 1sin 2S bc A =由三角形面积公式，3ABC ∆得的面积为19、在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列． (Ⅰ)求d ，a n ；(Ⅱ) 若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |． 解：(Ⅰ) 由题意得23125(22)a a a ⋅=+，即2340d d --=．故14d d =-=或．所以11N 46N n n a n n a n n **=-+∈=+∈，或，．(Ⅱ){}0()111n n n a n S d d a n <=-=-+设数列的前项和为．因为，由Ⅰ得，．则11n ≤当时，212312122n n a a a a S n n ++++==-+ ．12n ≥当时，212311121211022n n a a a a S S n n ++++=-+=-+ ．综上所述，2123212111221211101222n n n n a a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪++++=⎨⎪-+≥⎪⎩ ，，，．20、如图，在在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，P A ＝3，∠ABC ＝120°，G 为 线段PC 上的点． (Ⅰ)证明：BD ⊥面P AC ；(Ⅱ)若G 是PC 的中点，求DG 与P AC 所成的角的正切值；(Ⅲ)若G 满足PC ⊥面BGD ，求PGGC的值． 证：(Ⅰ)O AC BD 设点为，的交点．AB BC AD CD BD AC ==由，，得是线段的中垂线． O AC BD AC ⊥所以为的中点，．PA ABCD BD ABCD ⊥⊂又因为平面，平面，所以PA BD⊥所以BD APC ⊥平面．(Ⅱ) ()OG OD APC DG APC OG ⊥连结．由Ⅰ可知平面，则在平面内的射影为，OCG DG APC ∠所以是与平面所成的角．由题意得12OG PA == ABC ∆在中，AC ==所以12OC AC == O第20题答图OCD ∆在直角中，2OD ==．OCD ∆在直角中，tan OD OGD OG ∠==DG APC 所以与平面 (Ⅲ) OG PC BGD OG BGD PC OG ⊥⊂⊥连结．因为平面，平面，所以．PAC PC ∆=在直角中，得 所以5AC OC GC PC ⋅==．从而5PG =所以32PG GC =．21、已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ．(Ⅰ)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (Ⅱ)若|a |＞1，求f (x )在闭区间[0，|2a |]上的最小值． 解：(Ⅰ) 21()6126a f x x x '==-+当时，，所以(2)6f '=．(2)4f =又因为，所以切线方程为68y x =-．(Ⅱ) ()()[02]g a f x a 记为在闭区间，上的最小值．2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--．()0f x '=令，得到121x x a ==，．1a >当时，2(0)0()(3)f f a a a ==-比较和的大小可得2013()(3)3a g a a a a <≤⎧=⎨->⎩，，，．1a <-当时，得()31g a a =-． ()[02]f x a 综上所述，在闭区间，上的最小值为2311()013(3)3a a g a a a a a -<-⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩，，，，，．22、已知抛物线C 的顶点为O （0,0），焦点F （0,1）．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过F 作直线交抛物线于A 、B 两点.若直线OA 、OB 分别交直线l ：y ＝x －2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．解：(Ⅰ) 2C 2(0)x py p =>由题意可设抛物线的方程为，则 12p =， C 所以抛物线的方程为24x y =．(Ⅱ) 1122()()A x y B x y AB 设，，，，直线的方程为1y kx =+．214y kx y x y=+⎧⎨=⎩由，消去，整理得2440x kx --=，所以121244x x k x x +==，．从而12x x -=由112y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，， M 解得点的横坐标1121111122844M x x x x x y x x ===---．N 同理点的横坐标284N x x =-． 所以284M NMN x x =-=-== 34304t k t t k +-=≠=令，，则． 0t >当，MN => 0t <当，MN =≥25433t k MN =-=-综上所述，，即，。
2023年浙江省高考数学试卷(新高考Ⅰ)
2023年浙江省高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确答案的序号填在题后的括号内．）1．(★)(5分)已知集合A={x|x2-1=0}，则下列式子中：①1∈A；②{-1}∈A；③∅⊆A；④{1，-1}⊆A．正确的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．(★)(5分)下列计算正确的是( )A．log26-log23=log23 B．log26-log23=1C．log39=3 D．log3(-4)2=2log3(-4)3．(★)(5分)下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．B．C．D．4．(★)(5分)若函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=的定义域是( )A．[0，1] B．[0，1)C．[0，1)∪(1，4] D．(0，1)5．(★)(5分)如果二次函数f(x)=3x2+bx+1满足，则b的值为( )A．-1 B．1 C．-2 D．26．(★)(5分)已知f(x)的图象恒过(1，1)点，则f(x-4)的图象恒过( )A．(-3，1) B．(5，1)C．(1，-3) D．(1，5)7．(★★)(5分)函数的单调递增区间为( )A．(-∞，1)B．(2，+∞)C．(-∞，) D．(，+∞)8．(★)(5分)今有一组实验数据如表：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( ) A．v=log2t B．v=t C．v=D．v=2t-2二、填空题（本大题共7小题，每题5分，共35分.要求只填最后结果．）9．(★★)(5分)已知不等式x2+px-6＜0的解集为{x|-3＜x＜2}，则p=1．10．(★★)(5分)若函数f(x+1)=x2-2x,则f(x)的解析式x2-4x+3．11．(★★)(5分)f(x)=ax2+1在[3-a,5]上是偶函数，则a=8．12．(★★)(5分)若函数，则f(f(f(-1)))=3π2-4．13．(★★)(5分)若log32=m,log35=n,则lg5用m,n表示为．14．(★★★)(5分)已知f(x)为R上的奇函数，当x∈[0，+∞)时，f(x)=x(1+x3)，则当x∈(-∞，0]时，f(x)=x(1-x3)．15．(★★)(5分)若函数y=kx2-4x+k-3对一切实数x都有y＜0，则实数k的取值范围是(-∞，-1)．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．(★★★)(12分)已知全集U={x|x＞0}，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5-a＜x＜a}．(1)求A∪B，(∁U A)∩B；(2)若C⊆(A∪B)，求a的取值范围．17．(★★★)(12分)(1)计算：(2)已知：lg(x-1)+lg(x-2)=lg2，求x的值．18．(★★★)(12分)设函数如果f(x0)＜1，求x0的取值范围．19．(★★★)(13分)某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示(利润与投资单位：万元)．(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？20．(★★★)(13分)已知函数f(x)=a-．(1)求证：不论a为何实数f(x)总是为增函数；(2)确定a的值，使f(x)为奇函数；(3)当f(x)为奇函数时，求f(x)的值域．21．(★★★★)(13分)定义：若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0，有f(x0)=x0，则称x0是f(x)的一个不动点．已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)．(1)当a=1，b=-2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意的实数b,函数f(x)恒有两个不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y=f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B的中点C在函数的图象上，求b的最小值．(参考公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为)。
2013高考数学试卷(浙江文科)(全word,无误)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(浙江)数学（文科）选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合S={x|x>－2}，T={x|－4≤x≤1}，则S∩T= A 、[－4,+∞） B 、（－2, +∞） C 、[－4,1] D 、(－2,1]2、已知i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)=A 、5－5iB 、7－5iC 、5+5iD 、7+5i 3、若α∈R ，则“α=0”是“sinα<cosα”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 4、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面， A 、若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B 、若m ∥α，m ∥β，则α∥β C 、若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D 、若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β5、已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是A 、108cm 3B 、100 cm 3C 、92cm 3D 、84cm3 (第5题图) 6、函数cos 2x 的最小正周期和振幅分别是A 、π，1B 、π，2C 、2π，1D 、2π，2 7、已知a 、b 、c ∈R ，函数f(x)=ax 2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1)，则 A 、a>0,4a+b=0 B 、a<0,4a+b=0 C 、a>0,2a+b=0 D 、a<0,2a+b=08、已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f ′(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是(第8题图)A 、B 、C 、D 、9、如图F 1、F 2是椭圆C 1：x 24+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是 A 、2 B 、3 C 、32 D 、62(第9题图)10、设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：,,a a b a b b a b ≤⎧∧=⎨>⎩, ,,b a ba b a a b≤⎧∨=⎨>⎩ 若正数a 、b 、c 、d 满足ab≥4，c+d≤4，则A 、a ∧b≥2,c ∧d≤2B 、a ∧b≥2,c ∨d≥2C 、a ∨b≥2,c ∧d≤2D 、a ∨b≥2,c ∨d≥2非选择题部分（共100分）二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11.已知函数f若f (a)=3，则实数a= ____________. 12.从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率 均相等），则2名都是女同学的概率等于_________.13.直线y=2x+3被圆x 2+y 2－6x －8y=0所截得的弦长等于____ 14.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_____15.设z=kx+y ，其中实数x 、y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,若z 的最大值为12，则实数k=________ .16.设a,b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3+ax+b ≤(x 2－1)2, 则ab 等于________.17. 设e 1、e 2为单位向量，非零向量b =x e 1+y e 2，x,y ∈R . 若e 1、e 2的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于_______.(第14题图)三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=3b . （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ) 若a=6，b+c=8，求△ABC 的面积.19.(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1=10，且a 1，2a 2+2，5a 3成等比数列. （Ⅰ）求d ，a n ； （Ⅱ) 若d<0，求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n | .20.(本题满分15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°,G为线段PC上的点.（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC ;（Ⅱ)若G是PC的中点，求DG与平面PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥平面BGD，求PGGC的值.21.(本题满分15分)已知a∈R，函数f(x)=2x3－3(a+1)x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（Ⅱ) 若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.22.(本题满分14分)已知抛物线C的顶点为O（0,0），焦点F（0,1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ) 过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB 分别交直线l：y=x－2于M、N两点，求|MN|的最小值.2013年浙江高考文科数学参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
浙江省2013届高三考前全真模拟考试自选模块Word版答案分析解析
浙江省2013届高三考前全真模拟考试自选模块试题考试须知：1．本试卷18题，全卷满分为60分，考试时间为90分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3．将选定的题号按规定要求先用2B铅笔填写在答题纸上的“题号”框内，确定后再用签字笔或钢笔描黑，否则答题视作无效。
4．考生可任选6道题作答；所答试题应与题号一致；多答视作无效。
题号：01 科目：语文“中国古代诗歌散文欣赏”模块(10分)阅读下面的文章，回答问题。
习惯说（清）刘蓉蓉少时，读书养晦堂①之西偏一室，俛而读，仰而思，思有弗得，辄起绕室以旋。
室有洼，径尺，浸淫②日广。
每履之，足若踬焉。
既久而遂安之。
一日，先君子来室中坐，语之，顾而笑曰：“一室之不治，何以天下家国为？”顾谓童子取土平之。
后蓉复履其地，蹶然以惊，如土忽隆起者。
俯视，坦然，则既平矣。
已而复然，又久而后安之。
噫！习之中人③甚矣哉！足之履平地，而不与洼适也；及其久，则洼者若平；至使久而即乎其故，则反窒焉而不宁。
故君子之学，贵乎慎始。
【注】①养晦堂：刘蓉居室名，在湖南湘乡。
②浸淫：渐渐扩展。
③中(zhòng)人：这里是影响人的意思。
中，深入影响。
（1）文章第一段写到“仰而思，思有弗得，辄起绕室以旋”，后人评价本文“以思为经，贯穿始末”，你是如何理解的？（4分）（2）本文写作上有何特色？阐发了什么道理？（6分）题号：02 科目：语文“中国现代诗歌散文欣赏”模块(10分)阅读下面的诗歌，回答问题。
窗外康白情窗外的闲月，紧恋着窗内蜜也似的相思。
相思都恼了，她还涎着脸儿在墙上相窥。
回头月也恼了，一抽身就没了。
月倒没了：相思倒觉着舍不得了。
（1）请简析这首诗歌的语言特色。
（3分）（2）诗歌讲究创作新奇，请就这首诗歌所选的意象和表现手法，分析作者创作的新颖别致之处。
(7分)题号：03 科目：数学“数学史与不等式选讲”模块（10分）03．在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C l 的极坐标方程为3ρ2=12ρcos θ－1 0（ρ>0） （1）求曲线C l 的直角坐标方程；（2）曲线C 2的方程为4222y x +=1，设P ，Q 分别为曲线C l 与曲线C 2上的任意一点，求|PQ|的最小值。
2013浙江高考数学理科试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题1．已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA ．i +-3 B. i 31+- C. i 33+- D.i +-1 2．设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )( A ．(2,1]- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞ 3．已知y x ,为正实数，则A.y x y x lg lg lg lg 222+=+B.lg()lg lg 222x y x y+=⋅ C.lg lg lg lg 222x yx y ⋅=+ D.lg()lg lg 222xy x y =⋅ 4．已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a6．已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A.34 B. 43C.43-D.34-7．设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有（第5题图）00PB PC P B PC ⋅≥⋅。
则 A. 090=∠ABC B. 090=∠BAC C. AC AB = D.BC AC = 8．已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ，则A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点。
浙江省宁波市宁波十校2025届高考数学三模试卷含解析
浙江省宁波市宁波十校2025届高考数学三模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()()20f f -+=（ ） A ．3- B ．2C ．3D ．2-2．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．点(,)P x y 为不等式组+4x y y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-y x 的取值范围是（ ）A ．()(),21,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-+∞ C ．()2,1- D ．[]2,1-4．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．16007．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．88．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．39．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．21+B ．12C ．21D ．2110．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11．已知函数()3sin cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3g x m x =+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 12．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x ≤2}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2013年浙江省高考自选模块试题及答案
自选模块测试试题题号：03 科目：数学“数学史与不等式选将”模块（10分）（1） 解不等式丨x-1丨+丨x-4丨≥5（2） 求函数y=丨x-1丨+丨x-4丨+2x -4x 的最小值题号：04 科目：数学“矩阵与变换和坐标系与参数方程“模块（10分）（1）以极坐标Ox 为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，并在两种坐标系中取相同的长度单位，把极坐标方程 2cos sin 1p θθ+=化成直角坐标方程2cos x θ=（3） 在直角坐标系xOy 中，曲线C: （θ为参数），过点P （2，1）的sin y θ=直线与曲线交与A,B 两点，若丨PA 丨·丨PB 丨=83，求丨AB 丨的值 题号：05 科目：英语阅读理解（分两节，共5小题；每小题2分，共10分）阅读下面短文，并根据短文后的要求答题。
Our cultural backgrounds influence how we make choices in nearly every area of our lives. Form early on, members of individualist societies are taught the importance of choice. As soon as children cantalk,or perhaps as soon as they can accurately point,they are asked, “Which one of these would you like?” By the age of four ,he may well be expected to bothUnderstand and respced to the challenging question, “what do you want to be when you grow up?”Fromthis children learn that they should be able to figure out what they like and dislike , what will make themhappy and what won`t ①By contrast, members of collectivist societies place greater emphasis on duty .Children are oftentold, :If you`re a good child , you`ll do what your parents tell you. “ ② As you grow older , instead ofbeing asked what you want , you may be asked ,”How will you take care of your pareents` needs and wants? How will you make them proud?’’ It is believed that your parents, and olders in general, will show you theright way to live your life so that you will be paotected from a costly mistake.③ Get a piece of paper and the from write down all the aspects of your life in which youlike having choice .On the back , list all the aspects in which you would prefer not to have choice , or tohave someone clse choose for you ,Take a few extra minutes to make sure you have`t left anyching outWhen I had 100 American and Japanese college students do this exercise , the front sides ofthe American` pages were often completely filled with answers such as “my job ” “where Ilive “ and “who I vote for “In contrast , the backs , without exception, were either completelyblank or contained only a single item , most commomly “when I like or “when my loved ones die “The Japanese a very different pattern of results , with not a single one wishing to have choice all or nearly all of the times ④Comparing responses between the two ,Americans destred personal choice in four as many domains of life as the Japanese第一节根据短文内容。
2023浙江数学高考考卷
2023浙江数学高考考卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x) = x² 2x + 1，则f(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 1D. 无法确定2. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，a3 = 9，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 63. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 原点D. 以原点为圆心的圆上4. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，P(A∩B) =0.2，则事件A与B的独立性为（）A. 独立B. 不独立C. 无法确定D. 互斥5. 已知双曲线x²/a² y²/b² = 1（a > 0，b > 0）的离心率为2，则a与b的关系为（）A. a = bB. a = 2bC. b = 2aD. a = 4b二、判断题（每题1分，共5分）1. 若函数y = ax² + bx + c在区间[0, +∞)上单调递增，则a > 0。
（）2. 两个平行线的斜率相等。
（）3. 在三角形中，若两边之和等于第三边，则该三角形为直角三角形。
（）4. 若矩阵A的行列式为0，则A为不可逆矩阵。
（）5. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上为增函数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知等差数列{an}的通项公式为an = 3n 4，则a5 = ______。
2. 若函数f(x) = (x 1)²，则f'(x) = ______。
3. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点的对称点坐标为______。
4. 若复数z = 3 + 4i，则其共轭复数z的实部为______。
5. 已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，则A的迹为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述均值不等式的含义。
2103年浙江省高考自选模块数学部分
2013年浙江省高考自选模块测试试题数学部分题号：03 科目：数学“数学史与不等式选将”模块（10分） （1） 解不等式丨x-1丨+丨x-4丨≥5（2） 求函数y=丨x-1丨+丨x-4丨+2x -4x 的最小值 题号：04 科目：数学“矩阵与变换和坐标系与参数方程“模块（10分）（1）以极坐标Ox 为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，并在两种坐标系中取相同的长度单位，把极坐标方程 2cos sin 1p θθ+=化成直角坐标方程x θ=(2)在直角坐标系xOy 中，曲线C: （θ为参数），过点P （2，1）的 sin y θ=直线与曲线交与A,B 两点，若丨PA 丨·丨PB 丨=83，求丨AB 丨的值答案题号：03 科目：数学“数学史与不等式选讲”模块（10分） （1）(2)因为题号：04 科目：数学“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块（10分）（1）极坐标方程两边同乘以ρ得又在直角坐标系下，故化成直角坐标方程又（0，0）满足原极坐标方程 故所求的直角坐标方程为由题意，曲线C 的直角坐标方程为1.-4|4-||1|.2.1434|4-||1|2x ,44)2(441,3|4-1(||4||1|2222的最小值为所以时取等号当故时取等号；当且仅当时取等号；当且仅当）（）x x x x y x x x x x x x x x x x x x -++-==-=-≥-++-=-≥--=-≤≤=--≥-+-ρθρθρ=+sin co 3s .,sin ,cos 22y x y x +===ρθρθρ.)(2222y x y x y x +=++.)(2222y x y x y x +=++22x 22=+y设过点P （2，1），倾斜角为α的直线的参数方程为极点A ，B 对应的参数分别为.将直线的参数方程代入得 即则由得故又由得0<tan α<2. 故所以.(sin 1cos 2x 为参数）t t y t ⎩⎨⎧+=+=αα21,t t 2222=+y x 02)sin 1(2)cos 222=-+++ααt t （04)cos (sin 4)sin 1(22=++++t t ααα,0)sin cos 2sin 1622>-=∆ααα（αααα221221sin 14,sin 1)cos (sin 4+=++=+t t t t 38||||=∙PB PA ,38sin 14||221=+=αt t ,21sin 2=α0>∆.38,328t 2121==+t t t 3244)(||||2122121=-+=-=t t t t t t AB。
温州中学高三数学自选模块（不等式选讲）训练一
温州中学⾼三数学⾃选模块（不等式选讲）训练⼀温州中学⾼三数学⾃选模块（不等式选讲）训练⼀⼀、选择题1．下列各式中，最⼩值等于2的是（）A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x-+2．若,x y R ∈且满⾜32x y +=，则3271xy++的最⼩值是（） A ．339 B ．122+ C ．6 D ．7 3．设0,0,1x yx y A x y+>>=++, 11x y B x y =+++，则,A B 的⼤⼩关系是（） A ．A B = B ．A B <C ．A B ≤D ．A B > 4．若,,x y a R +∈，且y x a y x +≤+恒成⽴，则a 的最⼩值是（）A ．22B ．2C ．1D ．125．函数46y x x =-+-的最⼩值为（）A ．2B ．2C ．4D ．6 6．不等式3529x ≤-<的解集为（）A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)- ⼆、填空题a b a b +-的最⼩值是_____________。
2．若0,0,0a b m n >>>>，则b a , a b , m a m b ++, nb n a ++按由⼩到⼤的顺序排列为 3．已知,0x y >，且221x y +=，则x y +的最⼤值等于_____________。
4．设1010101111112212221A =++++++- ，则A 与1的⼤⼩关系是_____________。
5．函数212 ()3(0)f x x x x=+>的最⼩值为_____________。
三、解答题1．已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥2．解不等式7343220x x +--+->3．求证：221a b ab a b +≥++-4．证明：1112(11)1...223n n n+-<++++<温州中学⾼三数学⾃选模块（不等式选讲）训练⼆班级姓名⼀、选择题1．设,a b c n N >>∈，且ca nc b b a -≥-+-11恒成⽴，则n 的最⼤值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 2．若(,1)x ∈-∞，则函数22222x x y x -+=-有（）A ．最⼩值1D ．最⼩值1-3．设2P =，73Q =-，62R =-，则,,P Q R 的⼤⼩顺序是（） A ．P Q R >> B ．P R Q >> C ．Q P R >> D ．Q R P >> 4．设不等的两个正数,a b 满⾜3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（） A ．(1,)+∞ B ．4(1,)3C ．4[1,]3D ．(0,1)5．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有（） A ．108M ≤<B ．118M ≤< C ．18M ≤< D ．8M ≥ 6．若,a b R +∈，且,a ba b M b a≠=+, N a b =+，则M 与N 的⼤⼩关系是 A ．M N > B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤⼆、填空题1．设0x >，则函数133y x x=--的最⼤值是__________。
浙江省自选模块试题(丁整理)
浙江省自选模块试题浙江省样卷数学题号：03“数学史与不等式选讲”模块(10分)题号：04“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10分)数学题号：03 ’“数学史与不等式选讲”模块：(10分)解：(1)由柯西不等式得…浙江省五校二模数 学题号：03“数学史与不等式选讲”模块（10分）3.（I ）.求函数)(,2cos 381sin 23)(22R x x x x f ∈+++=的最小值.（II ）. 已知,,,,,222222n b m a m n R b a R n m +>∈∈+证明:b a n m +>+22.题号：04“矩阵与变化和坐标系与参数方程”模块（10分）4.已知直线l 经过点()3,30-P ,且倾斜角65πα=. )65sin ,65(cos ππ=（I ）P 是直线l 上的任一点，e t PP =0，以t 为参数，写出直线l 的参数方程；（II ）设直线l 与曲线C:()⎩⎨⎧==为参数θθθsin 4cos 2y x 相交与两点,A B ，求;00B P A P (III)设B A 、的中点为,M 求M P 0.数 学题号：03“数学史与不等式选讲”模块（10分）'10............................................................)())((1,,,,,).2('5...................................) (2)3.(tan 1349)(.1349)43(131]4cos 6163sin 69)][4cos 6()3sin 6[(1314cos 6163sin 69)().1.(3222222222222222222222min 2222222b a m n b a m n m b n a m n mb n a n b m a m n R b a R n m x x f x x x x x x x f +>+∴+>++>+∴+>∴+>∈∈±==∴=+≥++++++=+++=+题号：04“矩阵与变化和坐标系与参数方程”模块（10分）4.（I ）();213233⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=为参数t ty t x 分3 （II ）消去曲线C 中的参数，得.016422=-+y x 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通 方程，化简得().011631234132=+++t t 由t 的几何意义得.131162100=⋅=⋅t t B P A P 分7 (III) 由t 的几何意义知中点M 对应的参数为,221t t +所以=M P 0().133416221+=+t t杭州市二模数 学题号：03“数学史与不等式选讲”模块（10分）设x , y , z > 0, x + y + z = 3 , 依次证明下列不等式, （1）xy ( 2 –xy ) ≤ 1；（2）)4(xy xy y x -+≥y x ++44；（3）)4(xy xy y x -++)4(yz yz z y -++)4(zx zx xz -+≥ 2.证: (1)由xy ( 2 –xy ) = – [2)(xy –2xy +1] +1 = (xy – 1)2+1≤ 1， 得.xy ( 2 –xy ) ≤ 1 . 2分 （2）)4(xy xy y x -+ ≥ )4(2xy xy xy -=)2)(2(2xy xy xy +-,因为2 +xy ≤ 2 +2yx +,且xy ( 2 –xy ) ≤ 1， 所以 )4(xy xy y x -+≥222y x ++=y x ++44 . (1) 3分(3) 同理可得 )4(yz yz z y -+≥z y ++44(2))4(zx zx x z -+≥xz ++44(3)由柯西不等式得9))(111(≥++++c b a cb a ， 又对于a, b , c> 0, 所以c b a 111++≥cb a ++9(4) 2分 利用不等式(4), 由(1), (2), (3) 及已知条件x + y + z = 3得 )4(xy xy y x -++)4(yz yz z y -++)4(zx zx x z -+≥ y x ++44+z y ++44+x z ++44≥x z z y y x ++++++++⨯44494=)(21236z y x +++=2. 3分题号：04“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块（10分）已知双曲线的中心为Ｏ，实轴、虚轴的长分别为2a,2b(a<b)，若P ，Q 分别为双曲线上的两点，且OP ⊥OQ. （1）求证:2|OP |1+2|OQ |1为定值； （2）求△OPQ 面积的最小值.（1）证: 设双曲线方程为1by a x 2222=-,化为极坐标方程得: ρ 2b 2cos 2θ – a 2ρ 2sin 2θ = a 2b 2即ρ 2=θ-θ222222sin a cos b b a ，设P (ρ 1 , θ ) , ∵OP ⊥OQ ∴ Q (ρ 2 , θ +2π),（0≤θ < 2π）, ∴2|OP |1=211ρ=222222b a sin a cos b θ-θ, 2|OQ |1=221ρ=222222b a )90(sin a )90(cos b ︒+θ-︒+θ =222222b a cos a sin b θ-θ ∴2|OP |1+2|OQ |1=222222b a sin a cos b θ-θ+222222b a cos a sin b θ-θ=2222b a a b -(定值) 5分(2) 设S 为直角△OPQ 的面积，则S 2= 413221ρρ=41θθ222222sin cos a b b a -θθ222222cos sin a b b a - = )cos (sin cos sin )(414422224444θθθθ+-+⋅b a b a b a= 2222224442sin )(ba b a b a -+θ当θ = 4π或43π时，S min =2222ab b a -. 5分 解法二:由(1)得: 2|OP |1+2|OQ |1=2222b a a b -. 又因为2|OP |1+2|OQ |1||||2OQ OP ⋅≥ .而||||21OQ OP S =. 所以S min =2222a b b a -. 5分温州市二模数 学题03“数学史与不等式选讲”模块解：（1）2222111(236)()()1236x y z x y z ++++≥++=……………………………………2分==时取“＝” 236x y z ∴== 又1x y z ++= (4)分111,,236x y z ∴===……………………………………………………………………5分（2）2222111(23)()()123x y tz x y z t ++++≥++=………………………………………7分222m i n1(23)516x y tz t∴++=+…………………………………………………………9分222231x y t z ++≥恒成立，11516t∴≥+6t ∴≥………………………………………………………………………………10分题04“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块（10分） 解：（1）消去参数t ，得抛物线的方程为22y x =，∴1(,0)2F ，把12x =代入抛物线方程得11(,1),(,1)22A B -∵3BM AM = 得11(,)22M …………………………………………………………2分设直线l 的倾斜角为α，所以它的参数方程为1cos 21sin 2x s y s αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中s 为参数），…3分代入抛物线方程得：222113(sin )2(cos )sin (sin 2cos )0224s s s s ααααα+=+⇒+--= 设C 、D 对应的参数为D C s s , ∴222cos sin sin 34sin C D C Ds s s s αααα-⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩（*） …………………5分∵AMC∆和BMD ∆的面积相等，∴11||||sin ||||sin 22AM CM AMC BM DM BMD ⋅∠=⋅∠ ∴||||||||AM CM BM DM ⋅=⋅，又∵||3||BM AM =，∴||3||CM DM =∴D C s s 3-=将其代入（*）式得2222cos sin 2(1)sin 1(2)4sin D Ds s αααα-⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (7)分2(1)(2)÷得：224(2cos sin )4sin ααα⨯-=，∴24cos 4cos sin ααα=，cos 0α≠ ∴cos sin αα=，∴4πα= (8)分（2）∵直线l 的倾斜角为4π，且直线l 过点11(,)22M ∴在极坐标系中，直线l 是过极点，倾斜角为π，∴其极坐标方程为πθ=。
高中数学：浙江省自选模块课件之二
块
黄岩中学数学组
“坐标系与参数方程”模块
明确考试内容： （1）方程互化 （2）参数的几何意义 （3）极坐标应用
通常以直线与圆锥曲线为载体 考查参数方程与极坐标的应用
方程互化
• 参数方程化为普通方程 • 极坐标与直角坐标互化 • 极坐标方程化为普通方程
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
例
1.已知直线
l
的参数方程为
x
y
2 t cos t sin
（ t 为参数， 为倾斜角，且 ），
2
写出直线 l 的一般方程及直线 l 通过的
定点 P 的坐标.
例 2.求极坐标 sin2 2 cos 0
表示的曲线的焦点坐标.
例
3.设曲线 C1
:
x
2tm 2
（ t 为参数）
y
Q 在线段 OP 上,且满足 OP OQ 1,
求点 Q 的轨迹方程，并指出轨迹是
什么图形 .
例 8.已知 O 为直角坐标原点.曲线 C 的方程： x2 2y2 1
(1)过点 P( 10 ,0) 作倾斜角为 的直线l 与曲线C 相交
2
于 A, B 两点.求| PA || PB |的最小值及相应的 的值；
常用的极坐标方程
圆心为 P(1,1) 且过极点 O 的圆的 极坐标方程为： 21 cos( 1)
极坐标方程的应用
例 7.在极坐标系中，已知点 A( 2, 0)
到直线 l ： sin( ) m (m 0)
4
的距离为 3 .
（1）求实数 m 的值； （2）设 P 是直线直线 l 上的动点，
普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)word版
绝密★启用前2021 年普通高等学校招生全国统一考试〔浙江卷〕数学本试题卷分选择题和非选择题两局部.全卷共 4 页，选择题局部 1 至 2 页，非选择题部分3 至 4 页 .总分值 150 分 .考试用时 120 分钟 .考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“考前须知〞的要求，在答题纸相应的位置上标准作答，在本试题卷上的作答一律无效 .参考公式：球的外表积公式锥体的体积公式S2V 14 R Sh3球的体积公式其中 S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高V3台体的体积公式4 R3其中 R 表示球的半径V 1h( S a S a S b S b ) 3柱体的体积公式其中 S a，S b分别表示台体的上、下底面积V=Sh h 表示台体的高其中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高数学试题选择题局部〔共 40 分〕一、选择题：本大题共10 小题，每题一项为哪一项符合题目要求的。
1．集合P { x | 1 x 1} ， Q{0 A． ( 1,2)4 分，共 40 分。
在每题给出的四个选项中，只有x 2} ，那么 P QB． (0,1)C ． ( 1,0)D ． (1,2)2．椭圆x 2y 2 1 的离心率是94A ．13B ．5 33C ．2D ．5393．某几何体的三视图如下图〔单位：cm 〕，那么该几何体的体积〔单位： cm 3〕是〔第 3 题图〕A ． 1B ． 322C ．31D ．3322x，4．假设 x ， y 满足约束条件 x y，那么 z x 2 y 的取值范围是3 0x 2 y，A ． [0， 6]B ． [0， 4]C ．[6，)D ． [4， ) 5．假设函数 f(x)=x 2 + ax+b 在区间 [0， 1]上的最大值是 M ，最小值是 m ，那么 M –mA ．与 a 有关，且与 b 有关B ．与 a 有关，但与 b 无关C ．与 a 无关，且与 b 无关D ．与 a 无关，但与 b 有关6．等差数列{a n }的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，那么“ d>0〞是“ S 4 + S 6>2S 5〞的ABC ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数y=f(x)的导函数yf ( x) 的图象如下图，那么函数y=f(x)的图象可能是〔第 7 题图〕8．随机变量i满足 P〔i =1〕 =p i， P〔i =0〕 =1– p i， i=1， 2．假设0<p1<p2<1，那么2A． E( 1 ) < E( 2 ) ， D( 1 ) < D( 2 )B． E( 1 ) < E( 2 ) ， D( 1 ) > D( 2 )C． E( 1 ) >E( 2 ) ， D( 1 ) < D( 2 )D． E( 1 ) > E( 2 ) ， D( 1 ) > D( 2 )9．如图，正四面体 D–ABC〔所有棱长均相等的三棱锥〕，P，Q，R 分别为 AB，BC，CA上的点， AP=PB，BQCR 2 ，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R， D–QR–P 的平面角为QC RAα，β，γ，那么〔第9 题图〕A．γ<α<βC．α<β<γB．α<γ<βD．β<γ<α10．如图，平面四边形ABCD，AB⊥ BC，AB＝ BC＝ AD＝ 2，CD＝ 3，AC 与BD 交于点O，记 I 1＝OA·OB ， I 2＝OB·OC ， I 3＝OC·OD ，那么〔第10 题图〕A．I1I 2I 3B．I1I3I 2C．I 3I1I 2D．I 2I 1I 3非选择题局部〔共110 分〕二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共36 分。
2103名校协作体高三数学答案
18.【解析】解析：（Ⅰ）由 过点 A(1 , 3 ) 知 cos 1 ,sin 3 ， 2 分
22
2
2
=
，
f
(x)
2sin(2x
)
.
3分
3
3
x (3 , ) 2x ( 5 , 2 ) f (x) ( 3, 2] .
82
3 12 3
f (x)max 2
6分
（ II ） 由 过 点 B( 2 6, 2 6) 知 sin 2 6 ,cos 2 6 ，
bn3n=n2bb211n+n2n21bn 21,nn121b02232,n0n,,23nb+nn14n15.
1 n2 n2
21 2 2
2
02,nn
12
b1 b2 b3 bn 1 2 1 2 2 2 n 1 13 分
n2 n 1 2020, n 45.
4
n 1 n 1 3n +1 1, (n 2) n 3 +1n 1 3n +1n 1 n2 0 3n = 1+2n 1 2n, 3n +1 n 1 n2 n2 2 0, n 2
，
OB
的
1
夹 角 ） . 因 为 P 点 唯 一 ， 所 以 关 于 的 方 程 2 2 cos 2 4 0 有 唯 一 解 ， 于 是
4 2 cos2 4
2 4
0 2
4 sin2
.又
u cos
，所以消去
得2
4
2
，进而
2
2 4
4 ，等号当且仅当
2 时等号成立.
44
44
2x 0
1 4
y
浙江省绍兴市2023-2024学年高三上学期11月选考科目诊断性考试数学试题含解析
2023年11月绍兴市选考科目诊断性考试数学试题（答案在最后）本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{|}2A x x =≤，{|B x y ==，则A B = （）A.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】求出函数的定义域化简集合B ，再利用交集的定义求解即得.【详解】集合1{|{|410}{|}4B x y x x x x ===-≥=≥，而1{|}2A x x =≤，所以11,][42A B = .故选：C2.已知1i z =+，则1zz=+（）A.13i 55- B.1355i + C.31i 55- D.31i 55+【答案】A 【解析】【分析】利用共轭复数的定义代入1i z =-，由复数的除法运算法则即可求得结果.【详解】根据题意由1i z =+可得1i z =-，所以()()()()21i 2i 1i i i 2i 2i i 231315525i z z ---+++==+--==-.故选：A3.已知向量a ，b 满足3a = ，2b = ，2a b -= ，则a 与b的夹角为（）A.π2B.2π3C.3π4 D.5π6【答案】B 【解析】【分析】平方2a b -= 3a b ⋅=-，再根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】2a b -= ()222244364452a ba ab b a b -=-⋅+=-⋅+= ，则3a b ⋅=-，cos ,6cos ,3a b a b a b a b ⋅=⋅==- ，则1cos ,2a b =- .[],0,πa b ∈ ，故2π,3a b = .故选：B4.已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（）A.6π B.8πC.16πD.20π【答案】D 【解析】【分析】确定正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线的中点，计算半径得到表面积.【详解】正六棱柱的所有棱长均为2，故正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线的中点，故222125r =+=，表面积为24π20πS r ==.故选：D.5.“01x ≤<”是“15222xx +<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】构造()1f x x x =+，根据函数的单调性确定15222xx +<，解得11x -<<，再根据范围大小得到答案.【详解】设()1f x x x=+，0x >，则函数在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()15222f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，15222xx+<，故1222x <<，即11x -<<，故“01x ≤<”是“11x -<<”的充分不必要条件.故选：A .6.已知P 为抛物线24x y =上的一点，过P 作圆()2231x y +-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则cos APB ∠的最小值是（）A.12B.23C.34D.79【答案】C 【解析】【分析】确定22cos 1APB PC∠=-，计算()2218PCy =-+，根据二次函数的最值得到答案.【详解】()2231x y +-=，圆心()0,3C ，1r =，如图所示：连接PC ，CA ，CB ，则222222cos cos 212sin 11AC APB APC APC PCPC∠=∠=-∠=-=-，故当PC 最小时cos APB ∠的最小，设(),P x y ，()()2222232918PCx y y y y =+-=-+=-+，当1y =时，2PC 最小为8，此时223cos 14APB PC∠=-=.故选：C.7.已知数列{}n a 满足()1n n a a f n ++=，且11a =，则下列说法中错误的是（）A.若()21f n n =+，则{}n a 是等差数列B.若()2f n n =，则{}n a 是等差数列C.若()2f n =，则{}n a 是等比数列D.若()132n f n -=⨯，则{}n a 是等比数列【答案】B 【解析】【分析】确定n a n =，A 正确，举反例得到B 错误，确定1n a =得到C 正确，确定12n n a -=得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：121n n a a n ++=+，()()11n n a n a n +-+=--，110a -=，故n a n =，正确；对选项B ：12n n a a n ++=，11a =，故21a =，33a =，不满足等差数列，错误；对选项C ：12n n a a ++=，11a =，则21a =，故1n a =，数列为等比数列，正确；对选项D ：1132n n n a a -++=⨯，()1122n n nn a a -+=---，0120a -=，故120n n a --=，即12n n a -=，正确；故选：B.8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f a x =-，则对所有这样的函数()f x ，由下列条件一定能得到()()()139f f f ==的是（）A.2a =B.3a = C.4a = D.5a =【答案】C 【解析】【分析】举反例得到ABD 错误，根据函数的奇偶性和对称性计算()()13f f =，且()()91f f =，得到答案.【详解】对选项A ：取()πsin2xf x =，满足函数为奇函数，且()()2f x f x =-，()()13f f ≠，错误；对选项B ：取()πsin3xf x =，满足函数为奇函数，且()()3f x f x =-，()()13f f ≠，错误；对选项C ：若4a =，()f x 为奇函数，且()()4f x f x =-，取1x =得到()()13f f =；取9x =得到()()()()()95511f f f f f =-=-=--=；故()()()139f f f ==，正确.对选项D ：取()πsin 5xf x =，满足函数为奇函数，且()()5f x f x =-，()()13f f ≠，错误；故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知圆1C ：()2211x y -+=和圆2C ：224440x y x y +--+=，则（）A.圆2C 的半径为4B.y 轴为圆1C 与2C 的公切线C.圆1C 与2C 公共弦所在的直线方程为210x y +-=D.圆1C 与2C 上共有6个点到直线220x y --=的距离为1【答案】BD 【解析】【分析】确定圆心和半径，得到A 错误，计算圆1C 与2C 与y 轴相切，B 正确，计算公共弦直线得到C 错误，确定直线过点1C ，2C 得到D 正确，得到答案.【详解】圆1C ：()2211x y -+=，圆心()11,0C ，半径11r =；圆2C ：()()22224x y -+-=，圆心()22,2C ，半径22r =；对选项A ：圆2C 半径为22r =，错误；对选项B ：y 轴到圆心()11,0C 的距离为111d r ==，即y 轴与圆1C 相切；y 轴到圆心()22,2C 的距离为222d r ==，即y 轴与圆2C 相切，正确；对选项C ：圆心距d ==2121-<<+，故两圆相交，圆1C 与2C 公共弦所在的直线方程为()2222444110x y x y x y +--+---+=，整理得到220x y +-=，错误；对选项D ：()11,0C 过直线，故到直线距离为1的点有2个；()22,2C 过直线，故到直线距离为1的点有4个，故共有6个点满足条件，正确；故选：BD10.由变量x 和变量y 组成的10个成对样本数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y 得到的经验回归方程为20.1y x =-，设过点()22,x y ，()99,x y 的直线方程为y mx n =+，记101110i i x x ==∑，101110i i y y ==∑，则（）A.变量x ，y 正相关B.若1x =，则 1.9y =C.经验回归直线 20.1y x =-至少经过()(),1,2,,10i i x y i = 中的一个点D.()()1010221120.1i i i i i i y x y mx n ==-+≤--∑∑【答案】ABD 【解析】【分析】根据回归方程得到A 正确，代入数据计算得到B 正确，根据最小二乘法得到D 正确，经验回归直线不一定会经过()(),1,2,,10i i x y i = 中的点，C 错误，得到答案.【详解】对选项A ：回归方程为 20.1y x =-，故变量x ，y 正相关，正确；对选项B ：若1x =，则20.1 1.9y =-=，正确；对选项C ：经验回归直线不一定会经过()(),1,2,,10i i x y i = 中的点，错误；对选项D ：根据最小二乘法，回归直线是所有直线中使残差平方和最小的直线，正确；故选：ABD.11.已知函数()()()sin 3sin 20,2πf x x x x =-∈，则（）A.2π05f ⎛⎫=⎪⎝⎭B.()f x 恰有5个零点C.()f x 必有极值点D.()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】BCD 【解析】【分析】代入数据计算得到A 错误，画出函数图象得到B 正确，求导计算导函数存在变号零点，C 正确，()f x '化简得到()3212492h t t t t =--+，求导得到函数的单调区间，计算其最值得到()0h t <得答案.【详解】对选项A ：2π6π4ππsin sin 2sin 05555f ⎛⎫=-=-≠⎪⎝⎭，错误；对选项B ：()sin 3sin 20f x x x =-=，故sin 3sin 2x x =，画出函数sin 3y x =和sin 2y x =图象，如图所示：根据图象知，函数有五个交点，故()f x 恰有5个零点，正确；对选项C ：()3cos32cos 2f x x x '=-，π23f ⎛⎫'=-⎪⎝⎭，π22f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故存在0ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x '=且0x 是变号零点，()f x 必有极值点，正确；对选项D ：()()()23cos32cos 23cos 2cos sin 2sin 22cos 1f x x x x x x x x '=-=---()()32232cos cos 2cos sin 22cos 1x x x x x =----3212cos 4cos 9cos 2x x x =--+，设cos t x =，[]1,1t ∈-，则()3212492h t t t t =--+，因为ππ,63x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故1,22t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()23689h t t t '=--，()h t '在1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，142h ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，31802h ⎛⎫'=-> ⎪ ⎪⎝⎭，故存在013,22t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，使()00h t '=，当01,2t t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h t '<，函数()h t 单调递减；当0,2t t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h t '>，函数()h t 单调递增；故(){}max1max ,max 2,1122h t h h ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎛⎫<=--=- ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎩⎭，即()0h t <恒成立，即()0f x '<恒成立，故()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，正确；故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的零点问题，极值点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元的思想把三角函数转化为三次函数，可以简化运算是解题的关键.12.已知椭圆2214x y +=的左项点为A ，上、下顶点分别为C ，D ，动点()11,P x y ，()22,Q x y 在椭圆上（点P 在第一象限，点Q 在第四象限），O 是坐标原点，若OPQ △的面积为1，则（）A.12y x 为定值B.//CP AQC.OCP △与OAQ 的面积相等D.OCP △与ODQ 的面积和为定值【答案】ABC 【解析】【分析】利用向量结合三角形面积推出21122x y x y -=，再结合点,P Q 的坐标满足的方程可得121240x x y y +=，然后逐项推理计算判断即得.【详解】依题意，1122(,),(,)OP x y OQ x y ==，(2,0),(0,1),(0,1)A C D --则OPQ △的面积1||||sin 2OPQ S OP OQ POQ =∠===21121()12x y x y ==-=，即有21122x y x y -=，由221122224444x y x y ⎧+=⎨+=⎩，得2222222212122112164416x x y y x y x y +++=，即2212122112(4)4()16x x y y x y x y ++-=，因此121240x x y y +=，令120y t x =>，即12y tx =，则124x ty =-，由21122x y x y -=，得222242tx ty +=，而222244x y +=，从而12t =，即1212y x =，A 正确；1122(,1),(2,)CP x y AQ x y =-=+，由1221122121(2)(1)222020x y x y x y x y x y -+-=-+-+=-++=，得//CP AQ，而点C 不在直线AQ 上，因此//CP AQ ，B 正确；显然122x y =-，12112OCP S x y =⨯⨯=- ，2212()2OAQ S y y =⨯⨯-=- ，因此OCP △与OAQ 的面积相等，C 正确；由选项C 知，112OCP S x =，而21112ODQ S x y =⨯⨯= ，1112OCP ODQ S S x y +=+1111(22x x =+=+，由于102x <<，函数111()(2f x x =+的值不是定值，D 错误.故选：ABC【点睛】关键点睛：利用向量数量积求出21121||2OPQ x y S x y =- 是解决本问题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()()4212xx -+的展开式中2x 的系数为___________（用数字作答）.【答案】8-【解析】【分析】利用二项展开式可知，写出所有含2x 的项即可求得其系数为8-.【详解】根据题意可知，展开式中含有2x 项的为()24422422224C 21C 216248x x x x x x ⋅⋅+-⨯⋅=-=-，所以展开式中2x 的系数为8-；故答案为：8-14.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从TB （1TB 1024GB =）级别跃升到PB （1PB 1024TB =），EB （1EB 1024PB =）乃至ZB （1ZB 1024EB =）级别.国际数据公司（IDC ）的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.500ZB ，2010年增长到1.125ZB .若从2008年起，全球产生的数据量P 与年份t 的关系为20080t P P a -=，其中0P ，a 均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的___________倍.【答案】1.5##32【解析】【分析】代入数据计算00.500P =， 1.5a =，再计算得到答案.【详解】当2008t =时，00.500P P ==；当2010t =时，20.500 1.125P a ==，解得 1.5a =；2023年全球产生的数据量是2022年的202320080202220080 1.5P a a P a--==倍.故答案为：1.5.15.过正三棱锥-P ABC 的高PH 的中点作平行于底面ABC 的截面111A B C ，若三棱锥111P A B C -与三棱台111ABC A B C -的表面积之比为516，则直线PA 与底面ABC 所成角的正切值为___________.【答案】【解析】【分析】依题意可得1A 为PA 的中点，1B 为PB 的中点，1C 为PC 的中点，设ABC 的边长为a ()0a >，PA b =()0b >，即可表示出图形的面积，从而得到三棱锥111P A B C -的表面积1S ，三棱台111ABC A B C -的表面积2S，由表面积之比得到b =，再求出高PH ，最后由锐角三角函数计算可得.【详解】依题意过正三棱锥-P ABC 的高PH 的中点作平行于底面ABC 的截面111A B C ，则1A 为PA 的中点，1B 为PB 的中点，1C 为PC 的中点，设ABC 的边长为a ()0a >，PA b =()0b >，则221sin 6024ABC S a a =⨯︒= ，1112213216A B C ABC S S a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，12PBC PBA PACS S S === ，所以11111121128PB C PB A PA CPBC S S S S ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭1111113348CBB C ABB A CAA C PBC S S S S ==== 所以三棱锥111P A B C -的表面积213816S a =+，三棱台111ABC A B C -的表面积22953816S a=+，依题意12516S S =，所以b =，取BC 的中点D，则2AD a =，因为PH 为正三棱锥-P ABC 的高，所以PH ⊥平面ABC且233AH AD a ==，则直线PA 与底面ABC 所成角为PAH ∠，所以PH ===，所以tan 33PHPAH AH∠===故直线PA 与底面ABC所成角的正切值为故答案为：516.已知等比数列{}n a 满足0n a >且2123223421a a a a a a a +++-=，则1a 的取值范围是___________.【答案】35,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】利用等比数列公式代入化简，构造新函数，求导得到导函数，考虑11a ≥和101a <<两种情况，计算函数最值得到1101f a ⎛⎫≥⎪-⎝⎭，代入数据解不等式得到答案.【详解】3322231111121232234212a q a a q a q a a a a a q q a a a =+++-++-=+，0q >，设()()()33221111121a a q a q a q a q f =-+++-，则()()()()()3221111111132231111a a q a a q a a a q a q f q ⎡⎤⎡⎤=-+++=++-+⎣⎦⎣⎦'，10a >，0q >，故()13110a q ++>，当11a ≥时，()0f q '>恒成立，函数单调递增，()01f =-，当q 趋近+∞时，()f q 趋近+∞，故()0f q =有解，满足条件；当101a <<时，110,1q a ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()0f q '>，函数单调递增；11,1q a ⎛⎫∈+∞ ⎪-⎝⎭时，()0f q '<，函数单调递减；故只需1101f a ⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭，即()()()()()321111132111210111f a a a a a a q a a -+=++-≥---，整理得到211310a a -+≤，解得13322a +≤≤，故1312a ≤<.综上所述：13,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：352⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【点睛】关键点睛：本题考查了数列和导数综合，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，构造新函数，求导得到单调区间，将数列问题转化为函数的最值问题是解题的关键，需要熟练掌握.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知)2222sin bc A a c b =+-.（1）求B 的大小；（2）若1cos 3A =，2b =，求c .【答案】（1）π3（2）46293+【解析】【分析】（1）根据余弦定理得到2sin cos bc A B =，再根据正弦定理得到sin B B =，得到答案.（2）确定sin 3A =，sin 36C =+，再根据正弦定理计算得到答案.【小问1详解】)2222sin bc A a c b =+-，故意2sin cos bc A B =，即sin cos b A B =，所以sin sin cos B A A B =，()0,πA ∈，故sin 0A >，所以sin B B =，所以tan B =，又()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】1cos 3A =，()0,πA ∈，所以sin 3==A .故()1sin sin sin cos 32236πC A B A A A ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭，故236sin 2sin 9332b Cc B ⎛⎫⨯+ ⎪===+.18.已知等差数列{}n a 满足674a a +=，且1a ，4a ，5a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n T 为数列{}n a 前n 项的乘积．．，若10a <，求n T 的最大值.【答案】（1）2n a =或211n a n =-（2）945【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，根据674a a +=和等比中项得到方程组，解得答案.（2）确定211n a n =-，确定10T <，20T >，30T <，40T >，()05n T n <≥，计算263T =，4945T =，得到答案.【小问1详解】设{}n a 的公差为d ，由674a a +=得12114a d +=；由1a ，4a ，5a 成等比数列，得2415a a a =，即()()211134a d a a d +=+，整理得()1290d a d +=.由()112114290a d d a d +=⎧⎨+=⎩，解得120a d =⎧⎨=⎩或192a d =-⎧⎨=⎩，{}n a 的通项公式为2n a =或211n a n =-.【小问2详解】10a <，所以211n a n =-，当5n ≤时，0n a <；当6n ≥时，0n a >.从而10T <，20T >，30T <，40T >，()05n T n <≥，又因为21263T a a ==，41234945T a a a a ==，故n T 的最大值为4945T =.19.如图，ABC 为正三角形，⊥AE 平面ABC ，CD ⊥平面ABC ，AC CD =，2AE CD =，点F ，P 分别为AB ，BD 的中点，点Q 在线段BE 上，且4BE BQ =.（1）证明：直线CP 与直线FQ 相交；（2）求平面CPF 与平面BDE 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）35.【解析】【分析】（1）取BE 中点G ，利用给定条件证明CDGF 为平行四边形，进而证得//PQ CF 且12PQ CF =即可推理得解.（2）由（1）中信息，证明PQ ⊥平面ABE ，确定二面角的平面角，再利用余弦定理计算得解.【小问1详解】取BE 中点G ，连接DG ，GF ，FC ，PQ ，则//FG AE ，12FG AE =，由⊥AE 平面ABC ，CD ⊥平面ABC ，得//CD AE ，又12CD AE =，则//CD FG ，CD FG =，四边形CDGF 为平行四边形，因此//CF DG ，CF DG =，由点Q 在线段BE 上，且4BE BQ =，得Q 是BG 的中点，又点P 是BD 的中点，于是//PQ DG ，12PQ DG =，则//PQ CF ，12PQ CF =，即PQ ，CF 共面，且PQ ，CF 长度不等，所以直线CP 与直线FQ 相交.【小问2详解】由（1）知，平面CPQF 即为平面CPF ，由⊥AE 平面ABC ，且CF ⊂平面ABC ，得AE CF ⊥，而ABC 为正三角形，点F 是AB 的中点，则CFAB ⊥，又⋂=AE AB A ，,AB AE ⊂平面ABE ，于是CF ⊥平面ABE ，又//PQ CF ，则PQ ⊥平面ABE ，显然,QB QF ⊂平面ABE ，则有,PQ QB PQ QF ⊥⊥，从而BQF ∠为平面CPF 与平面BDE 所成二面角的平面角，不妨设2AB =，则1BF =，1542BQ BE ==，1522QF AG ==，因此222551344cos 52524BQ QF BF BQF BQ QF +-+-∠===⋅⨯，所以平面CPF 与平面BDE 夹角的余弦值为35.20.已知函数()2e lnf x ax x x =-.（1）当e a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若0x ∀>，都有()5ln 2f x x ≥+，求a 的取值范围.【答案】（1）e y x =；（2）22e a ≥.【解析】【分析】（1）把e a =代入，利用导数的几何意义求出切线方程即可.（2）把给定的不等式等价变形，构造函数，再利用导数求出函数的最大值即得.【小问1详解】当e a =时，()2e e lnf x x x x =-，求导得()2e e ln e f x x x '=--，于是()1e f '=，而()1e f =，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程是()e e 1y x -=-，即e y x =.【小问2详解】不等式()225e ln ln 552ln e ln ln 22x x x f x x ax x x x a x ++≥+⇔-≥+⇔≥，令函数()25e ln ln 2x x x g x x ++=，求导得()3e e ln 2ln 4x x x x g x x---'=，令()e e ln 2ln 4h x x x x x =---，设()()2eln m x h x x x '==--，则()22e x m x x -'=，则函数()m x 在20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，于是()2eln 20e m x m ⎛⎫≤=-< ⎪⎝⎭，即有()0h x '<，函数()h x 在()0,∞+上单调递减，而10e h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()21e e 2g x g ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，由0x ∀>，()5ln 2f x x ≥+成立，得0x ∀>，()a g x ≥成立，因此22e a ≥，所以a 的取值范围是22ea ≥.【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.21.机器人甲、乙分别在A ，B 两个不透明的箱子中取球，甲先从A 箱子中取2个或3个小球放入B 箱子，然后乙再从B 箱子中取2个或3个小球放回A 箱子，这样称为一个回合.已知甲从A 箱子中取2个小球的概率为34，取3个小球的概率为14，乙从B 箱子中取2个小球的概率为23，取3个小球的概率为13.现A ，B两个箱子各有除颜色外其它都相同的6个小球，其中A 箱子中有3个红球，3个白球；B 箱子中有2个红球，4个白球.（1）求第一个回合甲从A 箱子取出的球中有2个红球的概率；（2）求第一个回合后A 箱子和B 箱子中小球个数相同的概率；（3）两个回合后，用X 表示A 箱子中小球个数，用Y 表示B 箱子中小球个数，求X Y -的分布列及数学期望.【答案】（1）2180；（2）712；（3）分布列见解析，数学期望为13.【解析】【分析】（1）把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再结合条件概率公式计算即可.（2）利用互斥事件的概率公式，结合从两个箱子里取球数相同，列式计算即得.（3）求出X Y -的所有可能值及对应的概率，列出分布列关求出期望即得.【小问1详解】在第一个回合中，记事件1A 表示“甲从A 箱子中取出2个球”，事件2A 表示“甲从A 箱子中取出3个球”，事件C 表示“甲从A 箱子取出的球中有2个红球”，则()()()()()()()121122P C P A C P A C P A P C A P A P C A =+=+2213332366C C C 31214C 4C 80=⨯+⨯=【小问2详解】第一个回合后，A 箱子和B 箱子中小球个数相同，即甲从A 箱子中取出小球的个数与乙从B 箱子中取出小球的个数一样，所以，32117434312P =⨯+⨯=.【小问3详解】每个回合后A ，B 两个箱子小球个数不变的概率()321170434312P =⨯+⨯=，A 箱子比B 箱子小球个数少2个的概率()1212436P -=⨯=，A 箱子比B 箱子小球个数多2个的概率()3112434P =⨯=.两个回合后，X Y -的所有可能值为4-，2-，0，2，4.()()()1114226636P X Y P P -=-=-⨯-=⨯=，()()()()()17722002261236P X Y P P P P -=-=-⨯+⨯-=⨯⨯=，()()()()()()()77116100022222121246144P X Y P P P P P P -==⨯+⨯-+-⨯=⨯÷⨯⨯=，()()()()()17722002241224P X Y P P P P -==⨯+⨯=⨯⨯=，()()()1114224416P X Y P P -==⨯=⨯=.所以随机变量X Y -的分布列为X Y -4-2-024P13673661144724116所以，()()()176171142024363614424163E X Y -=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.22.已知双曲线221x y -=，过点()1,1M -的直线l 与该双曲线的左、右两支分别交于点,A B .（1）当直线l 的斜率为12时，求AB ；（2）是否存在定点()(),21P t t t -≠，使得MPA MPB ∠=∠?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3（2）存在，点P 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）联立直线和双曲线方程，利用弦长公式即可求得3AB =；（2）将MPA MPB ∠=∠转化为AMPM PA MBPM PB ⋅=⋅，联立直线与双曲线方程分别求得,PM PA PM PB ⋅⋅ ，利用韦达定理即可求解得32t =，即可求得31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【小问1详解】由题可知直线l 的方程为1322y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2211322x y y x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得236130x x +-=，所以122x x +=-，12133x x =-，即可得4153AB ==.【小问2详解】如下图所示：因为MPA MPB ∠=∠，所以cos cos MPA MPB ∠=∠，即PM PA PM PB PM PA PM PB ⋅⋅= ，所以PA PM PA PM PB PB⋅=⋅，又由MPA MPB ∠=∠，由角平分线定理可得PA AM MB PB= ，所以AMPM PA MB PM PB ⋅=⋅ .设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()1y kx k =-+，根据题意易知11k -<<，联立()2211x y y kx k ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩可得()()222121220k x k k x k k -++---=，所以()122211k k x x k ++=--，2122221k k x x k---=-.因为()1,1PM t t =-- ，()11,2PA x t y t =--+ ，()22,2PB x t y t =--+ ，所以()()()()1111122121PM PA t x y t t x kx k t ⋅=-+-+=-+--+ ，()()()()2222122121PM PB t x y t t x kx k t ⋅=-+-+=-+--+ ，所以111222211211x kx k t x x kx k t x +--+-=+--+-，整理得()()()12121210k x x k t x x k t +-++++-=，将()122211k k x x k ++=--，2122221k k x x k ---=-代入上式，整理得320t -=，所以32t =.经检验，存在31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得MPA MPB ∠=∠.【点睛】关键点点睛：本题求解定点问题的关键在于将MPA MPB ∠=∠利用角平分线定理转化为向量数量积与线段比值的问题，然后解出定点坐标即可.。
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t1 t2
4(sin cos ) 4 , t1t2 2 1 sin 1 sin 2 8 3得 | t1t2 | 4 8 , 2 1 sin 3
| PA | | PB |
由
故
1 sin 2 , 2
又由 0 得 0<tanα<2. 故
又（0，0）满足原极坐标方程 故所求的直角坐标方程为 由题意，曲线 C 的直角坐标方程为
x y( x 2 y 2 ) x 2 y 2 .
x2 2 y2 2
设过点 P（2，1） ，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x 2 t cos (t为参数） . y 1 t sin
| x 1 | | x 4 || ( x 1） （ - x 4） | 3, 当且仅当1 x 4时取等号； x 2 4 x ( x 2) 2 4 4, 当且仅当x 2时取等号； 故 | x 1 | | x - 4 | x 2 4 x 3 4 1. 当x 2时取等号. 所以y | x 1 | | x - 4 | x 2 4 x的最小值为 - 1.
极点 A，B 对应的参数分别为 t1 , t 2 . 将直线的参数方程代入 x 2 y 2 得
2 2
（2 t cos ) 2 2(1 t sin ) 2 2 0
即
(1 sin 2 )t 2 4(sin cos )t 4 0
则
16 （2sin cos 2 sin 2 ) 0,
2013 年浙江省高考自选模块测试试题 数学部分
题号：03
科目：数学
“数学史与不等式选将”模块（10 分） （1） 解不等式丨 x-1 丨+丨 x-4 丨≥5 （2） 求函数 ห้องสมุดไป่ตู้=丨 x-1 丨+丨 x-4 丨+ x -4x 的最小值 题号：04 科目：数学
2
“矩阵与变换和坐标系与参数方程“模块（10 分） （1）以极坐标 Ox 为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy，并在两种坐标系中取相同的长度单 位，把极坐标方程 cos p sin 1 化成直角坐标方程
题号：04 科目：数学
“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块（10 分） （1）极坐标方程两边同乘以ρ 得
cos 3 sin
又在直角坐标系下，
x cos , y sin , x 2 y 2 .
故化成直角坐标方程
x y( x 2 y 2 ) x 2 y 2 .
t1 t 2
所以
8 2 8 , t1t2 . 3 3
| AB || t1 t2 | (t1 t2 ) 2 4t1t2
4 2 3
2
x 2 cos
(2)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C: （ 为参数） ，过点 P（2，1）的
y sin
直线与曲线交与 A,B 两点，若丨 PA 丨·丨 PB 丨= ，求丨 AB 丨的值
8 3
答案
题号：03 科目：数学 “数学史与不等式选讲”模块（10 分） （1）
(2)因为