华师一2011届高三第一轮复习教案(第八章)第7讲--抛物线(一)
华师一2011届高三第一轮复习教案(第七章)第1讲--直线的方程
课 题： 直线的方程教学内容： 直线的倾斜角和斜率．直线方程的点斜式和两点式、直线方程的一般式。
教学目的： 理解直线斜率的概念，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
教学重点： 根据条件熟练地求出直线方程。
教学过程： 一、知识概要教学要求：理解直线斜率的概念，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
知识点1 直线的倾斜角对于一条与X 轴相交的直线，如果把X 轴绕着直线与X 轴的交点按逆 时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
学法指导：在这个概念中，应清楚定义中所含有的三个条件：直线的向上方向；x 轴的正方向；小于平角的最小正角．也可以用运动变化观点来看：直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到直线时所成的最小正角． 当直线L 与X 轴平行或重合时,α=0°；直线L 与X 轴垂直时,α=90°。
所以倾斜角的范围是0°≤α<180°. 知识点2 直线的斜率倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用K 表示即K=tanα (α≠2π); α=2π时, 斜率K 不存在。
学法指导：(1)斜率是一个数值，结合正切函数y=tanx 在[0, π)（不包括2π）时的单调性，直线的倾斜角α与斜率k 之间的关系如下表：(或范围),求直线斜率的值(或范围),关键是利用正切函数y=tanx 在[0, π)（不包括2π）时的图象求解.(3) 在直线的所有的问题中,只要涉及到斜率的问题,一定要讨论斜率存在与不存在两种情况. (4) 直线的方向向量：设F 1（x 1，y 1）、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量21F F =（x 2－x 1，y 2－y 1）称为直线的方向向量。
向量121x x -21F F =（1，1212x x y y --）=（1，k ）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率。
高中数学_一轮复习：抛物线教学设计学情分析教材分析课后反思
当前教学我们最应注意的问题就是自主课堂中提倡的理念“将课堂还给学生”，课堂上学生是主体，教师是引导者。本节课教学我把学习的主动权交给学生，用多媒体创设情境，围绕例题进行变式训练，师生围绕问题展开讨论，学生在质疑、讨论、总结的过程中，理解了抛物线的定义与标准方程，形成了自己的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发了学生的智慧源泉，实现了举一反三、触类旁通的效果。虽然在教学中培养学生积极参与的习惯同时也不能忽视学生的发散思维，要恰当引导学生，课堂上突发性的问题，教师要能自如地应对。
3.学生在抽象概括抛物线定义时，容易忽略抛物线定义中“点 不在直线 上”这个条件.为了加深学生对这个条件的理解，教学中通过师生互动来引导学生逐步完善抛物线的定义，并以小组合作交流的方式讨论这个条件的必要性.
另外，在建系、推导抛物线标准方程的过程中，依据学生的认知习惯，同时激励学生主动学习，我采取了以下策略：
4，先让学生独立思考，再组织学生以小组交流的方式进行讨论.以加深学生对抛物线标准方程的理解.
教材分析
本章是选修2-1的第三章《圆锥曲线与方程》，教材内容的顺序是：椭圆—抛物线—双曲线—曲线与方程.我的认识有两点：（1）先学圆锥曲线，再学曲线与方程，这样的顺序更有利于学生的学习，符合学生从特殊到一般，具体到抽象的认知规律.在圆锥曲线的学习过程中，不断的渗透曲线与方程的思想，为学生理解并掌握“曲线与方程”这一概念奠定了基础.（2）椭圆学习后先学抛物线，一方面因为课程标准和考试大纲对椭圆与抛物线的要求都是掌握，而对双曲线的要求是了解.另一方面是因为椭圆与抛物线相比双曲线来说更为常见，更熟悉.
3.抛物线的相关概念：
定点 ：抛物线的焦点.定直线 ：抛物线的准线.
设 ， 焦点到准线的距离.
高考数学一轮复习第八章解析几何8.7抛物线课件文
解析：M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离， 1 又准线方程为 y＝－16， 1 15 设 M(x，y)，则 y＋16＝1，∴y＝16. 15 答案：16
考向一 抛物线的定义及标准方程 [互动讲练型] [例 1] (1)[2019· 广州模拟]如果 P1，P2，…，Pn 是抛物线 C： y2＝4x 上的点，它们的横坐标依次 x1，x2，…，xn，F 是抛物线 C 的焦点，若 x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝( ) A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20 (2)已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的动点， 点 P 到准线的距离为 d， 7 且点 P 在 y 轴上的射影是 M，点 A2，4，则|PA|＋|PM|的最小值是 ( ) 7 9 A.2 B．4 C.2 D．5
2
2．[2019· 河南九校联考]若抛物线 y2＝4x 的准线为 l，P 是抛物 线上任意一点，则 P 到准线 l 的距离与 P 到直线 3x＋4y＋7＝0 的 距离之和的最小值是( ) 13 14 A ．2 B. 5 C. 5 D．3
解析：由抛物线定义可知点 P 到准线 l 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离，由抛物线 y2＝4x 及直线方程 3x＋4y＋7＝0 可得直线与 抛物线相离．∴点 P 到准线 l 的距离与点 P 到直线 3x＋4y＋7＝0 的距离之和的最小值为点 F(1,0)到直线 3x＋4y＋7＝0 的距离，即 |3＋7| 2 2＝2.故选 A. 3 ＋4 答案：A
二、必明 2 个易误点 1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件， 当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线． 2． 抛物线标准方程中参数 p 易忽视只有 p>0， 才能证明其几何 意义是焦点 F 到准线 l 的距离，否则无几何意义．
高三数学一轮复习 第8章 第7课时 抛物线 文 新人教版
二、抛物线标准方程与几何性质
[自测 2] 抛物线 y2＝－8x 的焦点坐标是( )
A．(2，0)
B．(－2，0)
C．(4，0)
D．(－4，0)
B
ppt课件
教材梳理 基础自测
二、抛物线标准方程与几何性质
[自测 3] 如果抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在直线 3x－4y
－12＝0 上，那么抛物线的方程是( )
＝x0＋2p＝x0＋41，∴x0＝1.
ppt课件
考点突破 题型透析
考点一 抛物线的定义及应用
2．(2015·忻州市高三联考)已知 P 为抛物线 y2＝4x 上一个动点，Q 为圆 x2 ＋(y－4)2＝1 上一个动点，那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准 线距离之和的最小值是__________． 由题意知，圆 x2＋(y－4)2＝1 的圆心为 C(0，4)，半径为 1，抛物线的焦 点为 F(1，0)．根据抛物线的定义，点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线 准线的距离之和即点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之和， 因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝ 17－1.
得13x2－72x＋136＝0. ∴x1＋x2＝－－172＝221，即 xA＋xB＝221.
3 由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝221＋32＝12.
ppt课件
考点突破 题型透析
考点一 抛物线的定义及应用
涉及抛物线的焦半径(抛物线上的点与焦点的连线)、焦点弦的问题，应利 用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即|PF|＝|x|＋ p2(焦点在 x 轴上)或|PF|＝|y|＋p2(焦点在 y 轴上)．
教材梳理 基础自测
新高考数学一轮教师用书：第8章 第7节 抛物线
0，－p
F
2
准线方程
x＝－p 2
范围 x≥0，y∈ R
焦半径(其 中 P(x0，
|PF|＝x0＋p 2
x＝p 2
x≤0，y∈ R |PF|＝－x0＋p 2
y＝－p 2
y≥0，x∈ R |PF|＝y0＋p 2
y＝p 2
y≤0，x∈ R |PF|＝－y0＋p 2
y0))
[常用结论] 设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝p2，y1y2＝－p2.
________．
(1)B (2)4 [(1)∵ F 是抛物线 y2＝x 的焦点，
∴F(1，0)，准线方程 x＝－1，
4
4
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可得
|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
4
4
∴|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝3.
4
4
解得 x1＋x2＝5，∴线段 AB 的中点横坐标为5，
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
图形
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点 离心率
p，0 F2
－p，0 F2
0，p F2 e＝1
4 (2)弦⻓|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2p (α为弦 AB 的倾斜⻆).
sin2α (3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，⻓度等于 2p，通径是过焦点最短的弦．
抛物线复习数学教案教学设计
抛物线复习数学教案教学设计【标准格式文本】教案教学设计：抛物线复习数学一、教学目标1. 知识目标：复习抛物线的基本概念、性质和相关公式，巩固学生对抛物线的理解。
2. 能力目标：培养学生观察、分析和解决抛物线相关问题的能力，提高其数学思维和解题能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学学习兴趣和自信心。
二、教学重点与难点1. 重点：抛物线的基本概念、性质和相关公式的复习。
2. 难点：运用抛物线的相关知识解决实际问题。
三、教学准备1. 教学工具：投影仪、电脑、教学PPT。
2. 教学素材：抛物线的相关例题和练习题。
四、教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一张抛物线的图片，引导学生回顾抛物线的基本形状和特点，并与学生进行简要的讨论。
2. 复习抛物线的基本概念（15分钟）通过教学PPT，复习抛物线的定义、顶点、对称轴、焦点和准线等基本概念，并与学生一起解析相关概念的含义和特点。
3. 复习抛物线的性质（20分钟）a. 复习抛物线的对称性：通过教学PPT，引导学生回顾抛物线的对称性，并通过具体例题进行巩固。
b. 复习抛物线的焦点和准线：通过教学PPT，讲解焦点和准线的定义和性质，并通过实例演示焦点和准线的求解方法。
4. 复习抛物线的相关公式（20分钟）a. 复习抛物线的顶点坐标：通过教学PPT，复习抛物线顶点坐标的计算方法，并通过例题进行巩固。
b. 复习抛物线的焦点坐标：通过教学PPT，讲解焦点坐标的计算方法，并通过实例演示焦点坐标的求解过程。
c. 复习抛物线的准线方程：通过教学PPT，复习准线方程的推导和计算方法，并通过例题进行巩固。
5. 运用抛物线解决实际问题（25分钟）通过教学PPT，给出一些实际问题，引导学生运用抛物线的相关知识进行分析和解决。
教师可以提供一些具体实例，如抛物线的应用于建造设计、物理运动等领域，激发学生的学习兴趣和思量能力。
6. 小结与反思（10分钟）对本节课的内容进行小结，并与学生进行互动交流。
高考数学(文通用)一轮复习课件：第八章第7讲抛物线
第7讲第八章平面解析几何抛物线(3)定点—不在 定直线卜,1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内;(2)动点到定点F 的距离与到定直线I 的距离 相等教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源知-识“梳理/2・抛物线的标准方程和几何性质要点整食,1.辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.(2)对于抛物线标准方程中参数p,易忽视只有p>0才能证明其几何意义是焦点F到准线Z的距离，否则无几何意义.y 2.与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)设Ji), B(X2, J2).2 _p2(1)J1J2=—P，XiX2—"J.i i 2⑶L4FI + LBFi为定值戸(5)以4F或BF为直径的圆与j轴相切.(4)以AB为直径的圆与准线相切.y(5)以4F 或BF 为直径的圆与j 轴相切.点(―1, 1),则该抛物线焦点坐标为( A. (-1, 0) C. (0, -1)B. (1, 0) D. (0, 1)解析：抛物线y 2=2px(p>0)ff)准线方程为兀= 由题设知—£=—1，艮片=1，所以焦点坐标为(1, 0). 乙Z双基自测,(2015•高考陕西卷)己知抛物线y 2=2px(p>0)^J 准线经过2.已知抛物线C与双曲线兀'一/=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（D ）A.y2= ±2\[2xB. y2=±2xC. y2=+4x D・y2=±4\/2x 解析：因为双曲线的焦点为（一⑴，0）, （\/2, 0）.设抛物线方程为y=±2px(p>Q)9贝吃=竝所以卩=2竝所以抛物线方程为犷=±4伍.3.(选修1-1P59练习13⑴改编)抛物线x2=2py(p>0)上的点P(m, 2)到焦点F的距离为3,则该抛物线的方程为_£二^ 解析：根据抛物线定义可知2+|=3,所以p=2,所以抛物线的方程为x=4y.4・动圆过点(1, 0),且与直线兀=一1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为一.解析：设动圆的圆心坐标为g j),则圆心到点(1, 0)的距离与到直线兀=一1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2= 4x.典例剖析▼考点突破*考点一 抛物线的定义及其应用的焦点为F, A(x 0,为)是C 上一点，L4FI=|x 0,则x 0=( c )A. 4B. 2C. 1 (2)已知抛物线y 2=4x 的焦点是F,点P 是抛物线上的动点,又有点B(3, 2),则IPBI+IPF I 的最小值为“名师导悟以例说法(1)(2014-高考课标全国卷I )已知抛物线G j 2=x［解析］⑴如图，F Q, 0),过A 作丄准线 所以 L4FI = IAA r|,所以 *O =X O +$=K +£所以兀0=1.过点B作B0垂直准线于0,交抛物线于点Pi，则IPi0= IPiFI,则有IPBI+ \PF\^IPiBI + \PiQ\= \BQ\= 4.即IPBI+ \PF\的最小值为4.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上 的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.即“看到准线 想到焦点，看到焦点想到准线” •(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x,丿)到焦点F 的距离IPFI ■■■1.（1）（2016-云南省统一检测）设经过抛物线C的焦点F的直线Z与抛物线C交于A、B两点，那么抛物线C 的准线与以AB为直径的圆的位置关系为（B ）A.相离B.相切C.D.相交且经过圆心（2）（2016-长春调研）已知直线人：4x— 3y+ 6= 0和直线心x=一1,则抛物线J2=4r±一动点P到直线人和直线厶的距离之和的最小值是（B ）B.2D. 3解析：(1)设4、B、M作准线2的垂线，垂足分别为Bi、Mi，则MM I I=3(IAA I I+IBB I I).由抛物线定义可知= \AF\ = \AAi\9所以L4BI = IBBil + lAAil, IMMil=£lABI,即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以4B为直径的圆与抛物线的准线相切.(2)由题可知佐：兀=一1是抛物线y2=4x的准线，设抛物线的焦点F为(h 0),则动点尸到乙的距离等于则动点P到直线人和直线厶的距离之和的最小值即为焦点F到直=1线4x-3j+ 6= 0的距离，所以最小值是14-0+61考点二抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度，高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度：(1)求抛物线方程；(2)由已知求参数p；(3)与其他知识交汇求解综合问题.4伍的焦点，P 为C 上一点，若IPFI=40,则/XPOF 的面积为(° )A. 2D. 4(2)(2016-岳阳模拟)已知 P(0, 2),抛物线 C ： y 2=2px(p>d)的焦点为F,线段PF 与抛物线C 的交点为过M 作抛 物线准线的垂线，垂足为0若ZPQF=9Q° ,则p =⑴（经典考题）0为坐标原点，F 为抛物线C ： /=B. 2\[2［解析］⑴设Pdo,旳），则PF\=a+迄=4迄, 所以丸=3迄，所以农=4"\/2xo—4^/2 X 3 寸^—24 ‘所以Ijol—2^/6.因为F（V2, 0）,所以8"0尸=才0刊• ly（）l =空X寸^X意一点到准线的距离与到焦点的距离的比值为1,即相等） 得I0M1 = IMFI.又因为△P0F 为直角三角形且PF 为斜边（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），所以IPM1=IMFI, 即点M 为线段PF 的中点.由磴，0）, P （0,2）知M 点的£，1），又因为点M 在抛物线上，所以12=2pX? 所以p=\/i 或卩=—心（舍去）.（2）由题意得点磴，0） 根据抛物线的定义（抛物线上的任坐标为(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有P,所以只需一个条件确定P值即可.②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时, 需先定位，再定量.(2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.2.(1)(2016-襄阳调研测试)抛物线y 2=2px 的焦 点为F, M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线 的准线相切(O 为坐标原点)，且外接911,则p=(B )A. 2B. 4C. 6D. 8(2)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆＜+于=9相交，公共弦MN的长为2质，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.解：⑴选B・因为△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，所以△OFM的外接径，因为圆面积为9n,所以圆的半径为3,又因为圆心在OF 的垂直平分线上，IOFI=f,所以彳+丫=3,所以p=4.(2)由题意，设抛物线方程为x=2ay(a^Q).设公共弦MN交丿轴于4贝l|IM4l = IA^I,且AN=\/5.因为IOM = 3,所以1041=祚一(质)2 = 2,所以N畑±2).因为N点在抛物线上，所以5=2«•仕2),即加=£，抛物线x2=|y的焦点坐标为@，汀准线方程为尸一|・抛物线x2=—|y的焦点坐标为@，一彳)，准线方程为歹=|・故抛物线的方程为X2=|y 或x2=5一*考点三直线与抛物线的位置关系典洌D ⑴（2014•高考辽宁卷）已知点A（~2, 3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点记C的焦点为F,则直线BF的斜率为（D ）B-1D.扌A边(2)(2016-九江统考)过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于4 B两点，交抛物线的准线于G若IAF\ = 69BC=2FB9则2的值为(° )D. 3［解析］⑴抛物线y2=2px的准线为直线*=—纟,而点A（-2, 3）在准线上，所以-^=-2, 即p=4,从而C： j2=Sx,点为F（2，0）・设切线方程为y—3=k（x+2）,代入y2=8x9得歛―『+2氐+3=0伉HO）①，由于/ = 1—4X点（2疋+3）=0,所以k=—2或反=£.因为切点在第一象限，所以氐=空•将氐=空代入①中,得y=8, 再代入J2=8X中得x=8,所以点B的坐标为（8, 8）,所以直线BF的斜率为£=扌.(2)设A(x p ji)(yi>0), B(X29力)，C( —2, y3)9则帀+2=6, 解得兀i=4, y\=4远,直线AB的方程为j=2\/2(x-2),令{2 QJ =8^ 厂/ 、解y = 2\l2 (x—2), 得B(l, —2\[Z)9所以IBFI =1+2= 3, IBCI = 9,所以久=3.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式14〃=旳1+込1+0若不过焦点，则必须用一般弦长公式.⑶涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时, 般利用根与系数的关系采用“设而不求” “整体代入”等解法.［注意］涉及弦的中点.斜率时，一般用“点差法”求解•跟踪训练 3.(2016*唐山一模)已知抛物线j2=2px(p>0),过点C(-2, 0)的直线I交抛物线于4、B两点，坐标原点为O,OA • OB= 12.(1)求抛物线的方程；⑵当以L4BI为直径的圆与y轴相切时，求直线2的方程.•b==^—H Z X H 昱 0龙 I zz■导 Hzxli ■W /^H M +I i(2)⑴中(*)可化为 /-4my+ 8= 0,yi+y2=伽，丁1^2=8,设AB的中点为M,则\AB\ = 2r/V f—x1H-x2=An(y1+j2)— 4= 4w2—4,①又IABI= ^/1+加»]—旳|= —( 16*n2—32),②由①②得(1+/W2)(16W2-32)=(4W2-4)2,解得加2=3, m =所以直线I的方程为兀+心+2= 0或兀一心+2=0.名师讲坛密素养提升｝ __________________________ ______________________________________________方法思想——函数思想求圆锥曲线中的最值典例 抛鳄线y=—J 上的点到直线4x+3y —8=0距离的-X 2),则点P 到直线4x+3j-8= 0的距离d 2+|,在抛物线J = -x 2中，x£R,所以当 尸彳时，〃取得最小值?即抛物线 y=—J 上的点到直线拓展升华触类旁通 最小值是亠［解析］设P(x,14兀一3x 2—81 1(=5 3V 1(H)4x+3y—8=0距离的最小值是*讀感悟提高解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解•解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标.跟踪训练若点p 在抛物线y=x±,点0在圆(x-3)2+旷=1上，则IPQI的最小值为 __________ .解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3, 0), 则\PQ\^\PA\~\AQ\=\PA\~l t当且仅当P, Q, A三点共线时取等号，所以当曲1取得最小值时，IPQI*小.设P(x0, Jo)，贝U yXo — 6兀o+ 9+ 兀0=IP4I取得最小值半,丿：=兀0，\PA\ — 7 (兀o —3) =2 11 5+牛当且仅当兀。
2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第8章 解析几何—抛物线
2 9 ∴p= 3 或p= . 4
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(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,即抛物线的焦点为 (4,0)或(0,-2).
p 当焦点为(4,0)时, 2 =4,∴p=8.
此时抛物线方程为y2=16x.
p 当焦点为（0，-2）时， =2，∴p=4， 2
此时抛物线方程为x2=-8y. 故所求的抛物线方程为y2=16x或x2=-8y，对应的 准线方程分别是x=-4或y=2.
高度为6+(-1.28)=4.72(米)， 而船体水面高度为5米, ∴无法直接通过. 又5-4.72=0.28(米), 0.28〔0.04=7, 而150〓7=1 050(吨), ∴要用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降. 返回目录
1.抛物线标准方程的求法
(1)定义法；（2）待定系数法. 抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是解 题的关键.在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方 程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定一个抛物线 的方程. 焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一写成y2=ax （a≠0）;焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一写成 x2=ay（a≠0）. 返回目录
{x|0<x<r}.
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(2)记f(x)=(x+r)(r2-x2),0<x<r,
则f′(x)=r2-x2+(r+x)(-2x)=(r+x)(r-3x). 令f′(x)=0得x=
r . 3
r 因为当0<x< 时,f′(x)>0; 3 r 当 <x<r时,f′(x)<0, 3 r 所以f( )是f(x)的最大值. 3 r 因此,当x= 时,S也取得最大值,最大值为 3 2 4 8r 128r 2 4r 〓 〓 = . r 9 27 3 128r 2 即梯形面积S的最大值为 . 27
高三数学教学设计案例---抛物线复习第1课时教案07
高三数学教学设计案例---抛物线复习(第1课时)1教学目标分析1.1知识与技能:通过基础知识梳理，理清思路，题组训练，归纳拓展进行复习，通过复习掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质，会求抛物线的标准方程，能解决直线与抛物线位置关系等问题。
通过问题解决的过程中，培养学生观察问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
1.2过程与方法:通过经历和体验问题解决的过程，让学生体会过程的重要性，并在解决问题的过程中学会自主学习、学会探究问题；本课中学生通过应用抛物线定义解决问题、探究抛物线中焦点弦的有关问题，去感受和理解分类讨论、化归与转化、函数与方程、数形结合等基本数学思想方法。
1.3情感态度与价值观：注重教学过程中师生间、生生间情感交流，鼓励学生大胆尝试、发现问题、解决问题，培养他们积极进取的探索精神，增强解决问题的信心、树立学好数学的决心，并获得成功的积极情感体验。
同时，通过学习交流和反思活动，让学生感受数学美的魅力，共享同伴成长之乐趣。
2教学重难点分析2.1教学重点：抛物线的定义、标准方程和几何性质、直线与抛物线位置关系。
2.2教学难点：探究抛物线中焦点弦的有关问题。
3 学情学法分析3.1学生学习本课内容的基础本课是高三数学第一轮复习抛物线第1课时，设计难度不大。
学生在学习新课时已经初步掌握了抛物线的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质、直线与抛物线位置关系等内容，只是学生对知识点有所遗忘，本课通过对基础知识点进行梳理，设计题组训练进行复习，对于大多数学生来说并不是太难。
3.2学生学习本课内容的能力高三学生的自主学习能力较强，好胜心、进取心强，学习目的性明确，具有一定的探究问题的意识与能力，也熟悉分类讨论、数形结合、函数与方程等基本数学思想方法，因此，学生有能力通过本课复习进一步巩固抛物线定义、标准方程、几何性质，并对问题进行延伸拓展和提高。
但同时由于个体认知水平、学习能力等方面的差异，表现出不同的学习状态。
高考数学一轮复习第七章第七讲抛物线课件
解析：如图 D81，分别过 P，Q 两点作准线 x＝－2p的垂线，
垂足分别为 P1，Q1.分别过 P，Q 两点ห้องสมุดไป่ตู้ x 轴
的垂线，垂足分别为 P2，Q2.准线 x＝－p2交
x 轴于点 D－p2，0.
∵|PP1|＝|PF|＝4，|FP2|＝12|PF|＝2，
图 D81
∴|DF|＝|DP2|－|FP2|＝4－2＝2. ∵|FQ2|＝21|QF|＝12|QQ1|， ∴|DF|＝|QQ1|＋|FQ2|＝23|QF|. ∴32|QF|＝2，|QF|＝43. 答案：34
A.直线 AB 的斜率为 2 6 B.|OB|＝|OF| C.|AB|＞4|OF| D.∠OAM＋∠OBM＜180°
解析：如图 7-7-5，
图 7-7-5 ∵Fp2，0，M(p，0)，且|AF|＝|AM|，
∴A34p， 26p， 由抛物线焦点弦的性质可得 xA·xB＝p42，则 xB＝p3，
则 Bp3，－ 36p，
F0，－p2 y≤0，x∈R
(续表) 准线方程 开口方向
焦半径 通径长
x＝－p2 向右 x0＋p2
x＝p2 向左 －x0＋2p
2p
y＝－p2 向上 y0＋p2
y＝p2 向下 －y0＋2p
【名师点睛】 如图 7-7-1，设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由yy＝ 2＝k4(xx－，1)， 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得 xA·xB＝1，① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得 xA＋1＝2(xB＋1)， 即 xA＝2xB＋1，② 由①②解得 xA＝2，xB＝21， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝29. 答案：B
高三数学一轮复习第8篇抛物线学案理
第五十四课时 抛物线课前预习案1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；会求抛物线的标准方程，能运用抛物线的定义、标准方程处理一些简单的实际问题。
2.熟练掌握抛物线的范围、对称性、顶点等简单几何性质，并能运用性质解决相关问题.3.能解决直线与抛物线的相交问题.1.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ，定点F 定直线l 上。
3.根据抛物线的定义，可知22(0)y px p =>上一点11(,)M x y 到焦点 的距离为 。
4. 抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则有如下结论：（1）｜AB ｜＝ ；（2）12y y ＝ ；12x x ＝ 。
5. 在抛物线22(0)y px p =>中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 ，连结这两点的线段叫做 ，它的长为 。
1. 根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F （0，－3）；（2）准线方程 是x =14； （3）焦点到准线的距离是2。
2. 过点A （4，－2）的抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x =或28x y =- B ．2y x =或28y x =C ．28y x =-D ． 28x y =-3. 抛物线214x y a=的焦点坐标为（ ） A ．1(,0)a - B ．(,0)a - C ．1(,0)aD ． (,0)a4. 抛物线214y x =上点P 的纵坐标是4，则其焦点F 到点P 的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ． 65.点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1，求点M 的轨迹方程．课堂探究案考点1求抛物线的标准方程【典例1】 根据下列条件求抛物线的标准方程（1）抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点； （2）过点P （2，－4）；（3）抛物线的焦点在x 轴上，直线3y =-与抛物线交于点A ，||5AF =.【变式1】【2012陕西】如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.考点2 抛物线定义的应用【典例2】已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，点A （3，2），求 ｜PA ｜+｜PF ｜的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．【变式2】（1） 在22y x = 上有一点P ，它到A （2，10）的距离与它到焦点F 的距离之和最小，则P 的坐标为（ ）A ．（－2，8）B ．（2，8）C ．(2,8)--D ．（ 2，－8）（2）已知抛物线24y x =，点P 是抛物线上的动点，又有点A （6，3），｜PA ｜+｜PF ｜的最小值是__________.考点3 抛物线几何性质的应用【典例3】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、、、4 D 、【变式3】已知A 、B 是抛物线22(0)y px p =>上两点，O 为坐标原点，若|OA |=|OB |，且AOB ∆的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（ ） A.x =3pB.x =pC.x =52p D.x =32p1.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A B ．3 C D ．922. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则11A FB ∠为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°3.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 ．课后拓展案组全员必做题1．（2013年四川（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）A ．12 B ．2C ．1D 2．（2011辽宁理3）已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ). A ．34 B ．1 C ．54 D ．743．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.115 D.37164．（2013年课标Ⅰ（文8））O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．4组提高选做题1．（2013山东文）抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A ．163B ．83 C ．332 D ．334 2．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ） A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x = D ．22y x =或216y x =参考答案1.（1）212x y =-；（2）2y x =-；（3）24x y =，24x y =-，24y x =，24y x =-.2.A3.D4.C5. 216y x =【典例1】（1）212y x =-；（2）28y x =或2x y =-；（3）x y 22±=或x y 182±=【变式1】【典例2】最小值为72；(2,2)P . 【变式2】（1）B ；（2）7. 【典例3】B【变式3】C1.A2.C3. 28y x组全员必做题1.B2.C3.A4.C组提高选做题1.D2.C。
高三一轮复习抛物线
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－2，则抛物线
的方程是( C )
A．y2＝－8x
B．y2＝－4x
C．y2＝8x
D．y2＝4x
栏目 导引
第八章 平面解析几何
2．(2014·山东济南市模拟考试)若抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点
在直线 x－2y－2＝0 上，则该抛物线的准线方程为( A )
于点 N，则|FM|∶|MN|＝( C )
A．2∶ 5
B．1∶2
C. 1∶ 5
D．1∶3
栏目 导引
第八章 平面解析几何
【解析】(1)由题知点 A 在抛物线内部，根据抛物线定义， 问题等价于求抛物线上一点 P，使得该点到点 A 与到抛物线 的准线的距离之和最小，显然点 P 是直线 x＝1 与抛物线的 交点．故所求 P 点的坐标是(1，2)．
焦点坐标
性 准线方程 质 对称轴
范围 顶点坐标 离心率
F(0，－p2)
F(0，p2)
__y_＝__p2___ __y_轴_____
__y_＝__－__p2_ __y_轴_____
___y_≤_0___
__y_≥_0____
_O_(_0_，__0_)_
___e_＝__1__
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第八章 平面解析几何
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第八章 平面解析几何
利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的 点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到 焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问 题的有效途径．
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第八章 平面解析几何
1．(1)在抛物线 C：y＝2x2 上有一点 P，若它到点 A(1，3)
2．抛物线的标准方程和几何性质
高三数学一轮复习精品教案1：抛物线教学设计
8.7抛_物_线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F (p2，0) F (－p2，0)F (0，p 2)F (0，－p2)离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p21．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p ＞0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．『试一试』1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．『解析』抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，准线方程为x ＝－2，所以焦点到准线的距离为4.『答案』42．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 『解析』设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .『答案』y 2＝4x1．转化思想在定义中应用抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离． 2．与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据)(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． 『练一练』1．若抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线的焦点的距离为________． 『解析』由题意可知，点A 在抛物线x 2＝ay 上，所以1＝14a ，解得a ＝4，得x 2＝4y .由抛物线的定义可知点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到抛物线的焦点的距离为y A ＋44＝14＋1＝54.『答案』542．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，|AF |＝2，则|BF |＝________，△OAB 的面积是________．『解析』设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴， ∴|BF |＝|AF |＝2，|AB |＝4.故△OAB 的面积S ＝12|AB ||OF |＝12×4×1＝2.『答案』2 2考点一抛物线的标准方程及几何性质1.(2013·南通、扬州、泰州二模)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (2，m )到焦点的距离为6，则p ＝________.『解析』法一：由题知，2＋p2＝6，解得p ＝8.法二：由题意得⎩⎨⎧m 2＝4p ，⎝⎛⎭⎫p 2－22＋m 2＝36，解得p ＝8. 『答案』82．(2013·苏州模底)抛物线y 2＝4x 的准线方程是________．『解析』给出的是开口向右的抛物线的标准方程，其准线方程为x ＝－1. 『答案』x ＝－13．从抛物线x 2＝4y 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．『解析』由题意知，抛物线的准线方程为y ＝－1，|PM |＝|PF |＝5， ∴P 点的纵坐标为4， ∴S △MPF ＝12×5×4＝10.『答案』10『备课札记』 『类题通法』1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．考点二抛物线的定义应用与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等.归纳起来常见的命题角度有：1动弦中点到坐标轴距离最短问题；2距离之和最小问题；3焦点弦中距离之和最小问题.角度一动弦中点到坐标轴距离最短问题1．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．『解析』由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B 作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝|AA1|＋|BB1|2.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2.『答案』2角度二距离之和最小问题2．(2014·哈尔滨四校统考)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．『解析』由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.12＋－12『答案』32－1角度三焦点弦中距离之和最小问题3．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y 轴垂线，垂足分别为C、D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．『解析』由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.『答案』2『备课札记』『类题通法』与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考点三直线与抛物线的位置关系『典例』 (2014·无锡期末)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C .若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________．『解析』 过点B 作BH 垂直准线于点H .由抛物线定义得BF ＝BH .因为BC ＝2BF ，所以BC ＝2BH ，则cos ∠CBH ＝BH BC ＝12，则∠CBH ＝60°，所以直线AB 的倾斜角θ＝∠CBH ＝60°，过点A 作AA ′垂直准线于点A ′，则AF ＝p ＋AF cos 60°，即3＝p ＋3×12，所以p ＝32，抛物线的方程为y 2＝3x .『答案』 y 2＝3x『备课札记』 『类题通法』求解直线与抛物线位置关系问题的方法在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．『针对训练』(2014·南京摸底)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .过点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，过点A 作l 的垂线，垂足为A 1，则△AA 1F 的面积是________．『解析』法一：由题知，F (1,0)，所以l AF ：y ＝3(x －1)．将它与y 2＝4x 联立解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝23或⎩⎨⎧x ＝13，y ＝－233，则A (3,23)，AA 1＝AF ＝4，故S △AA 1F ＝12×4×23＝4 3.法二：设A (m,2m )，则AF ＝AA 1＝1＋m ，又m ＝1＋AF ·cos 60°＝1＋12(1＋m )，解得m＝3，所以AA 1＝4，所以S △AA 1F ＝12×4×23＝4 3.『答案』43『课堂练通考点』1．(2013·镇江期末)圆心在抛物线x 2＝2y 上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为________．『解析』设圆心P (2a,2a 2)，根据题设条件知抛物线的准线为y ＝－12，所以2a 2＋12＝2|a |，所以a ＝±12，所以满足条件的圆的标准方程为(x ±1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1. 『答案』(x ±1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 2．设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于________．『解析』设点P 的坐标为(x p ，y p )，则|PF |＝x p ＋32.过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点M ，则∠PFM ＝∠APF ＝60°，所以|PF |＝2|MF |，即x p ＋32＝2⎝⎛⎭⎫x p －32，解得x p ＝92，所以|PF |＝6. 『答案』63．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．『解析』抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.『答案』164．设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.『解析』分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|PQ |＝8.『答案』85．(2013·扬州三调)抛物线y 2＝4mx (m >0)的焦点到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为________．『解析』因为双曲线渐近线为x 4±y 3＝0，抛物线的焦点为(m,0)，所以由|3m |5＝3得m ＝5，所以抛物线的方程为y 2＝20x .『答案』y 2＝20x。
高考数学一轮复习 第8章 第7节 抛物线学案 文
高考数学一轮复习 第8章 第7节 抛物线学案 文【考纲下载】1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3．理解数形结合思想．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py(p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p2 y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p 2|PF |＝ －x 0＋p2|PF |＝y 0＋p 2|PF |＝ －y 0＋p21．当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过定点F 且与直线l 垂直的直线．2．抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点M (x 0，y 0)到焦点F 的距离与点M 的横坐标x 0有何关系？若抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，结果如何？提示：由抛物线定义得|MF |＝x 0＋p2；若抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，则|MF |＝y 0＋p2.1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：选C 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x .2．抛物线y 2＝4x 的焦点F 到准线l 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 因为抛物线y 2＝4x ，所以2p ＝4，而焦点F 到准线l 的距离为p ＝2.3．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B ．(1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析：选C 将抛物线y ＝2x 2化成标准方程为x 2＝12y ，所以2p ＝12，p 2＝18，而抛物线x2＝12y 的焦点在y 轴的非负半轴上，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 4．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________________．解析：由c 2＝9－4＝5，得F (－5，0)，则抛物线方程为y 2＝－45x .答案：y 2＝－45x5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0, 2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1， ∴2p ×p4＝1，解得p ＝ 2. ∴B ⎝⎛⎭⎪⎫24，1， 因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝324. 答案：324前沿热点(十二)与抛物线有关的交汇问题1．抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等．2．直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x (或y )，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件．[典例] (2013·浙江高考) 已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0,1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．[解题指导] (1)由抛物线的顶点、焦点即可判断抛物线的形状、大小，从而可求抛物线方程．(2)直线AB 与抛物线相交，可得出A ，B 两点坐标之间的关系，再由AO 、BO 与直线l 交于M ，N 两点，可求出|MN |的表达式，用k 来表示，利用函数即可求最值．[解] (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2 ＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4x 1＋x 2＋16＝8 2 k 2＋1|4k －3|.令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝2 2 25t 2＋6t＋1>22； 当t <0时， |MN |＝2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2.综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.[名师点评] 解答本题的关键有以下几点：(1)由顶点O (0,0)，焦点F (0,1)确定抛物线的开口方向及P 的值；(2)|MN |的表达式中，注意x 1＋x 2，x 1x 2及|x 1－x 2|的值； (3)注意4k －3＝t 的换元，使问题简单．(2014·湖州模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．解：(1)由题意知交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p ×8，∴2p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝8x .(2)∵l 1：y ＝－x ，又直线l 2与l 1垂直，所以可设l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m 得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2.由韦达定理，y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 1y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)，故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.。
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课 题： 抛物线(一)教学内容： 抛物线的定义及其标准方程．抛物线的简单几何性质 教学目的： 抛物线的定义及其标准方程．抛物线的简单几何性质 教学重点： 抛物线的定义及其标准方程．抛物线的简单几何性质 教学过程： 一、知识概要教学要求：掌握抛物线的定义及标准方程,抛物线的简单几何性质． 掌握抛物线的应用． 知识点1 抛物线的定义平面内，到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹，叫做抛物线。
定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
知识点2 抛物线的标准方程y 2=2px (p>0)； y 2=-2px (p>0)； x 2=2py (p>0)； x 2=-2py (p>0). 它们都叫做抛物线的标准方程指出：（1）当且仅当抛物线的焦点在坐标轴的正半轴上，且过原点时，抛物线的方程才叫做抛物线的标准方程。
（2）求抛物线的标准方程，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向：一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向。
一次项系数为正时，则抛物线开口向右（或向上），一次项系数为负时，则抛物线开口向左（或向下） 知识点3 抛物线的几何性质我们根据抛物线的标准方程y 2=2px (p>0)，来研究它的性质： (1) 范围x≥0，当x 增大时，|y|也增大，即说明抛物线向右上方和或右下方无限延伸。
(2) 对称性以-y 代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
(3) 顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，抛物线的顶点就是坐标原点。
(4) 离心率抛物线上的动点M 与焦点和相应准线的距离比，叫做抛物线的离心率，用e 表示，按抛物线的定义，e=1。
指出：（1）抛物线的开口大小用p 的值来表示。
p 的值越大，|y|也越大，不妨说抛物线的开口也越大。
（2）抛物线没有中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线。
（3）画图时不要把抛物线画成双曲线的一支，当抛物线上点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的斜率（曲线在某一点的斜率是指曲线在这一点的切线的斜率）接近于坐标轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于和坐标轴所在直线平行。
（而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的斜率接近于它的渐近线的斜率）。
（5）焦半径公式若M(x,y)在抛物线y 2=2px 上，则|MF|=x+2p ；若M(x,y)在抛物线y 2=-2px 上，则|MF|=2p-x;； 若M(x,y)在抛物线x 2=2px 上，则|MF|=y+2p ；若M(x,y)在抛物线x 2=-2px 上，则|MF|=2p-y 。
（6）焦点弦及焦点弦的性质过焦点F 的直线与抛物线交于点A 、B ，则线段AB 称为抛物线的焦点弦. 关于抛物线焦点弦的几个性质：过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线与抛物线交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)。
则① x 1·x 2=42p , y 1·y 2=-p 2； ② |AB|=x 1+x 2+p ；③ 若直线AB 的倾斜角α，则|AB|=α2sin 2p ；当=900时，|AB|的最小值等于p 2，这时的弦叫抛物线的通径。
④ 以AB 为直径的圆必与准线l 相切； ⑤||1||1FB AF +为定值p2. 知识点4 抛物线的参数方程对于抛物线y 2=2px(p>0)，其参数方程为⎩⎨⎧==,2,22pt y pt x （t 为参数）。
t 的几何意是过抛物线顶点的动弦斜率的倒数。
同理，对于抛物线x 2=2py(p>0)，其参数方程为⎩⎨⎧==22,2pty pt x （t 为参数）。
t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率。
知识点5 抛物线的光学性质从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴。
二、典例解析例1 (抛物线的定义及应用) 如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1.以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6.建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.解:如图建立坐标系: 以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点.依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为C 的端点.设曲线段C 的方程为y 2=2px （p ＞0）， （x A ≤x ≤x B ，y ＞0）,其中x A 、x B 分别为A 、B 的横坐标，p ＝|MN |．所以M （2p -，0），N （2p ，0）,由|AM |＝17，|AN |＝3得（x A ＋2p ）2＋2px A ＝17 ① （x A 2p -）2＋2px A ＝9 ②。
由① ②两式联立解得x A ＝p 4，再将其代入①式并由p >0，解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22Ax p . 因为△AMN 是锐角三角形，所以2p ＞x A ，故舍去⎩⎨⎧==22A x p . 所以p ＝4，x A ＝1．由点B 在曲线段C 上，得x B ＝|BN |2p-＝4． 综上得曲线段C 的方程为y 2＝8x （1≤x ≤4，y ＞0）．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点.作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F . 设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0） 依题意有x A ＝|ME |＝|DA |＝|AN |＝3，y A ＝|DM |＝22||||22=-DA AM ,由于△AMN为锐角三角形，故有x N ＝|ME |＋|EN |＝|ME |＋22||||AE AN -＝4,x B ＝|BF |＝|BN |＝6．设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0｝故曲线段C 的方程为y 2＝8（x －2）（3≤x ≤6，y ＞0）．例2 (求抛物线的方程) 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M(m, -3)到焦点距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程。
解：设所求抛物线方程为x 2=-2py(p>0)，则焦点F(0, -2p)，∵M(m, -3)在抛物线上且|MF|=5, ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=.5)23(,6222p m p m 解得⎩⎨⎧±==.62,4m p ∴抛物线方程为x 2=-8y, m=±26, 准线方程为y=2。
解法二：设抛物线方程为x 2=-2py(p>0)，则焦点F(0, 2p )，准线l ：∴y=2p。
作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN|=|MF|=5。
而|MN|=3+2p , ∴3+2p=5，得p=4。
∴抛物线方程为x 2=-8y ，准线方程为y=2。
由m 2=-8×(-3) 得m=±26。
例3 (求抛物线的方程) 求顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线且截直线2x-y+1=0所得弦长为15的抛物线方程。
解：设所求抛物线方程为y 2=ax (a≠0),① 直线方程变形为y=2x+1， ② 设抛物线截直线所得弦为AB 。
②代入①，整理得4x 2+(4-a)x+1=0，则|AB|=15]414)44)[(21(22=⨯--+a 。
解得a=12，或a=-4。
∴所求抛物线方程为y 2=12x ，或y 2=-4x.评注： 本题将抛物线方程设为y 2=ax(a≠0) 避免了分类讨论。
当a>0时抛物线开口向右；当a<0时抛物线开口向左。
例4 (求抛物线的方程) 如图8-114，线段AB 过x 轴正半轴上一点M(m,0)(m>0),端点A 、B 到x 轴的距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过点A 、O 、B 三点作抛物线。
（1）求抛物线方程； （2）若tan ∠AOB=-1，求m 的取值范围。
解：（1）若过A 、B 的直线斜率存在，设AB:y=kx-km(k≠0)，抛物线方程为y 2=2px(p>0)。
由y=kx-km 与y 2=2px 消去x ，得y 2-k p2y-2pm=0. ① 设A(x 1,y 2)、B(x 2,y 2)，不妨设y 1>0，∴y 1+y 2=kp2,y 1y 2=-2pm. 由已知，得|y 1y 2|=|-2pm|=2m ，∴p=1，∴抛物线的方程为y 2=2x.②若AB 斜率不存在，则x 1=x 2=m,y 1=-y 2=,2m 也适合上面方程②。
综上知抛物线的方程为y 2=2x 。
(2) 由(1)得，y 2-y k 2-2m=0. ∴△=24k+8m>0(m>0). y 1+y 2=k 2,y 1y 2=-2m. ∵k OA =,221111y y x y =k OB =22y,由已知tan ∠AOB=-1，得14)(2412221122121-=+-=+-y y y y y y y y ,而y 2-y 1=-|y 2-y 1|= -m k 842+,y 1y 2=-2m, ∴2m k 842+=4-2m>0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-=<.04124,222m m k m 解得0<m<6-42. ∴m 的取值范围是(0,6-42). 例5 (抛物线的焦半径及焦点弦) 求抛物线y 2=2px 焦点弦长的最小值。
解：设焦点弦所在直线的倾角为θ，则直线AB 的方程为ycosθ=sinθ(x -2p)， 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),由 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x y 2)2(sin cos 2θθ 消去y 得sin 2θx 2-p(2cos 2θ+sin 2θ)x+42p sin 2θ=0。
∴x 1+x 2=θθθ222sin )sin cos 2(+p 。
∴|AB|=|AF|+|BF|=x 2+x 2+p=θθθθ2222sin 2sin )sin cos 2(pp p =++ ∴当sin 2θ=1，即θ=2π时，|AB|取最小值2p 。
例6 (直线与抛物线的位置关系) 已知直线l 的斜率为k ，且过点P(-2,0)，抛物线C:y 2=4(x+1)，直线l 与抛物线有两个不同的交点A 和B 。
（1）求k 的取值范围；（2）直线l 的倾斜角θ为何值时，A ，B 分别与抛物线C 的焦点的连线互相垂直。