人教版初三数学上册一元二次方程.1《一元二次方程》课件(人教新课标九年级上)
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人教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
【跟踪训练】
3．把方程 x(2x－1)＝1 化成 ax2＋bx＋c＝0 的形式，则 a，
b，c 的一组值是( A )
A．2，－1，－1
B．2，－1,1
C．2,1，－1
D．2,1,1
4．把下列关于 x 的一元二次方程化为一般形式，并指出其 二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)3x2＝5x－1； (2)a(x2－x)＝bx＋c(a≠0)． 解：(1)一般形式为 3x2－5x＋1＝0，二次项系数为 3，一次 项系数为－5，常数项为 1. (2)一般形式为 ax2－(a＋b)x－c＝0，二次项系数为 a，一次 项系数为－(a＋b)，常数项为－c.
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b. ∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0， ∴－1 必是该方程的一个根．
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话， 另一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．一元二次方程的概念 只含有__一__个___未知数，并且未知数的最高次数是___2____ 的___整__式___方程，叫做一元二次方程． 注意：一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数； (2)未知数的最高次数是 2；(3)是整式方程．
九年级数学人教版(上册)21.1一元二次方程课件
练习
7.关于的方程 2m2 m可x能m1是 一3x元 6二次方程吗？
8.若关于x的一元二次方程 (m 1)x2 的2常x 数m项2 为1 0，0 求m的值是多少？
练习
9.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一般形式 ①一个长方形的宽比长少3，面积是75，求长方形的长x
②两个连续偶数的积为168，求较小的偶数x
作业布置
7.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x. （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x. （3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x.
作业布置
8.已知关于x的方程(m²-1)x²-(m+1)x+m=0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系 数、一次项系数及常数项。
例8.若x=3是方程x2+kx=0的一个根，试求常数k的值？
练习
1. 在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2 ② 7 0 ax③2 bx c 0④ x 2x 5 x2 1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 2 x2m1 是10关x 于m的一0 元二次方程，则m的值应为（ ）
3.下列各数是方程 1 (x2 解 2的) 是 2（ ） 3
A、6 B、2 C、4 D、0
作业布置
4.如果关于x的方程 m 3xm是27关 x于x3的一0 元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3 B．3 C．-3 D．都不对 5.以-2为根的一元二次方程是（ ） A．x²+2x-x=0 B．x²-x-2=0 C．x²+x+2=0 D．x²+x-2=0 6.方程3(x-1)²=5(x+2)的二次项系数________；一次项系数_________；常数项 _________.
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 §21.1一元二次方程(1)(共20张PPT)
• [例] 将下列方程化为一般形 式，并分别指出它们的二次项、 一次项和常数项及它们的系数：
3x(x 1) 5(x + 2)
练习2：下列方程那些是一元二次方程？
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. ax2+bx+c=0
3.
4. 6x2=x
5 . 2x2=5y
6. -x2=0
练习3：将下列方程化为一般形式，并分别
A ax2＋bx＋c＝0
B mx2＋x－m2＝0
C(m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
四.课堂小结
亲爱的同学们，你学到了哪些内容？
?
五.作业布置
1.课本第4页练习框第一题 2.课本习题21.1中1题和2题
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程，
经过整理，都可以化为 ax2 + bx的+ c形式0 ， 我 们把 ax2 +(ab,bx,+c为c 常0 数为，啥a限≠制0）a≠称0，为b,一c可元以二为次零吗？ 方程的一般形式。
a x 2+ b x + c = 0
二次项系数
一次项系数
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。下午10时38分56秒下午10时38分22:38:5621.8.24
•
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
问题(3)： 要组织一次单循环排球邀请赛,若共
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月下午10时38分21.8.2422:38August 24, 2021
人教版九年级数学上册 《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件
第九页，共二十页。
例题练习
例1、解下列方程
（1）x2-Hale Waihona Puke .21=0（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21
∵x是1.21的平方根
∴x=±1.1 即 x1=1.1，x2=-1.1
（2）移项，得4x2=1 两边都除以4，得
1
x2=
∵x是
1 4
的平方根
4
∴x= 1
2
即x1= 1 ，x2= 1
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说
明.
第十五页，共二十页。
练一练
1、下列解方程的过程中，正确的是（ ）D
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
x1= 7
1
;x2=
4
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 （a 0)
第二页，共二十页。
练一练
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
(2) 2x2 4
√
(3)32 x 5x 1 0 ×
(4)3x2 1 2 0 ×
x
(5) x2 1 3
×
第三页，共二十页。
即3-2x=0.5或3-2x=-0.5
∴x1=5 ，x2=7
4
4
第十三页，共二十页。
例题练习
例3、解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方
根，同样可以用直接开平方法求解
解：2x-1= (x 2)2 即 2x-1=±（x-2）
例题练习
例1、解下列方程
（1）x2-Hale Waihona Puke .21=0（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21
∵x是1.21的平方根
∴x=±1.1 即 x1=1.1，x2=-1.1
（2）移项，得4x2=1 两边都除以4，得
1
x2=
∵x是
1 4
的平方根
4
∴x= 1
2
即x1= 1 ，x2= 1
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说
明.
第十五页，共二十页。
练一练
1、下列解方程的过程中，正确的是（ ）D
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
x1= 7
1
;x2=
4
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 （a 0)
第二页，共二十页。
练一练
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
(2) 2x2 4
√
(3)32 x 5x 1 0 ×
(4)3x2 1 2 0 ×
x
(5) x2 1 3
×
第三页，共二十页。
即3-2x=0.5或3-2x=-0.5
∴x1=5 ，x2=7
4
4
第十三页，共二十页。
例题练习
例3、解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方
根，同样可以用直接开平方法求解
解：2x-1= (x 2)2 即 2x-1=±（x-2）
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优质课件
1． 这些方程的两边都是整式；
2． 方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2．
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知
数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
新知探究
知识点2
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax²+bx+c=0 (a≠0)
无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为x cm，
则盒底的长为(100−2x) cm，宽为(50−2x) cm．
根据方盒的底面积为3 600 cm2，得 (100−2x)(50−2x)=3 600．
整理，得 4x2−300x+1 400=0．
化简，得 x2−75x+350=0 ．
将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，
若相等，则是方程的根；若不相等，就不是方程的根．
新知探究
跟踪训练
1． 下列哪些数是一元二次方程 x2-4x+3＝0 的解？
-1，
0，
1，
3．
2． 方程 x2+x－12＝0 的两个根为( D )
A．x1＝－2，x2＝6
B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4
4
2
3
2
3
2
2
①3x +7=0；②x +2x=1−x +x ；③2x −3y+1=0；④3x −
A．1
B．2
C．3
+6=0．
D．4
2．若方程 (m+2)x|m|−3mx+1＝0 是关于x 的一元二次方程，则 ( B )
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT
∴原式可化为(x-3)(x-5)=0 ∴ x1=3；x2=5
【之三 配方法】
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解的方法。配方法 的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
基本步骤
①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根； 如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
【特点】
由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根即为两个相等的 根），根的情况由判别式 △=b2-4ac 决定。
【判别式与根的关系】
利用一元二次方程根的判别式（ △=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的根与判别式 有如下关系：
① 当△﹥0时，方程有两个不相等的实数根；
【例题】
1.解方程 x²+2x+1=0 解：利用完全平方公式 因式分解得：
（x+1)²=0 ∴ x=-1
2.解方程 x(x+1)-2(x+1)=0 解：利用提公因式法解得：
（x+1)(x-2)=0 即 x-2=0 或 x+1=0
∴ x1=2，x2=-1
3.解方程 x²-4=0 解：利用平方差公式 因式分解得：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。 ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 ③方法是根据平方根的意义开平方。
【之三 配方法】
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解的方法。配方法 的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
基本步骤
①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根； 如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
【特点】
由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根即为两个相等的 根），根的情况由判别式 △=b2-4ac 决定。
【判别式与根的关系】
利用一元二次方程根的判别式（ △=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的根与判别式 有如下关系：
① 当△﹥0时，方程有两个不相等的实数根；
【例题】
1.解方程 x²+2x+1=0 解：利用完全平方公式 因式分解得：
（x+1)²=0 ∴ x=-1
2.解方程 x(x+1)-2(x+1)=0 解：利用提公因式法解得：
（x+1)(x-2)=0 即 x-2=0 或 x+1=0
∴ x1=2，x2=-1
3.解方程 x²-4=0 解：利用平方差公式 因式分解得：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。 ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 ③方法是根据平方根的意义开平方。
人教版九年级数学上册《一元二次方程(1)》课件
必做题: 1.判断下列是否是一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( ) (2)2(x-1)²=3y ( )
(3)3 x²-2x+5 ( ) (4)
()
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( )
2.一个面积为54m²的矩形，一边剪短5m，另一边剪
短2m，恰好形成一个正方形，假设正方形的边长为
Xm,所列方程为
数学化
（1）若设花边宽为x m，那么地毯中央矩形的
长为 8-2x m，宽为 5-2x
m；
（2）根据题意可得方程为 (8-2x)(5-2x)=18 _
2.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么 梯子的底端滑动多少米？
1m
数学化
8m 7m
当k
时，原方程是一元二次方程；
当k
时，原方程是一元一次方程。
本节课你学会了哪些新知识呢？ 1．一元二次方程的定义； 2. 一元二次方程的一般形式： ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０） 3. 一元二次方程的有关概念： 二次项、一次项、常数项； 二次项系数、一次项系数． 4．会用一元二次方程表示实际生活中的 数量关系。
1.能够根据问题情境列出一元二次方程，体会方 程的模型思想。 2. 根据类比的思想能够由一元一次方程的有关 概念，自然生成一元二次方程的相关概念 3.通过一元二次方程概念的学习,能够熟练解决 数字系数及字母系数的一元二次方程的判别。
1.一块四周镶有宽度相等花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央矩形图案的面积 为18m2 ，则花边多宽?
，其中常数项是 。
选做题：
3.当m=
新人教版九年级数学上册《一元二次方程》课件PPT
3.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边_相__等__的未知数的值.
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1. 1 +2x-77=0是一元二次方程.( × )
2x 2
2.x2=0是一元二次方程.( √ )
3.x2-3y+2=0是一元二次方程.( × )
4.x2-4x-5=0的二次项系数是0,一次项系数是-4,常数项是-5.
【解析】(1)把x=1代入方程,得1-(2m+1)-(2m-1)=0,即1m. =
4
答案: 1
4
(2)把x=n代入方程得n2+mn+2n=0,即n(n+m+2)=0,
因为n≠0,所以n+m+2=0,即n+m=-2.
答案:-2
(3)把x=p代入方程,得p2-4p-p2+2p+2=0,整理得-2p+2=0, 所以p=1. 答案:1 (4)把x=a代入方程得a2-a-1=0,即a2-a=1,a2=a+1,所以a32a+3=a·a2-2a+3=a(a+1)-2a+3=a2+a-2a+3=a2a+3=1+3=4.
知识点二 一元二次方程的根的判断及应用
【示范题2】(2013·黑龙江中考)若x=1是关于x的一元二次方程
x2+3mx+n=0的解,则6m+2n=
.
【教你解题】
【想一想】 若x=-1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求 代数式2014(a-b+c)的值. 提示:把x=-1代入方程得:a-b+c=0,所以2014(a-b+c) =2014×0=0.
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3x2-2x-1=0
二次项系 数
1
一次项系数
-4
0.5
0
-4 √2
3
-2
常数项
-3 -√5 0 -1
下面还有题，你想再试一试吗？
3、已知关于x的方程 (m+1)x2+3x+1=0, 它二元一次方程吗？
解：根据一元二次方程的定义, 只需m +1≠0 即 m ≠-1
所以,当m ≠-1时方程是一元二次方程
在今天这节课上，你有什么样的 收获呢？有什么感想？
1. 一元二次方程的定义
2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（ a,b,c为常数，a≠0 ）
3.一元二次方程中的为二次项ax2，a为二次项系数； 一次项为bx，一次项系数为b；常数项为c。
作业: p42,习题20.1 1, 2, 3
问题2
bx+c=0
ax2+c=0 ax2+bx=0
ax2=0
一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0中
二次项系数 a
ax2
二次项
一次项系数 b
bx
一次项
c
常数项
说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须 先将方程化为一般形式。
例题分析
把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化成一般形式，并写出它的二次 项系数，一次项系数及常数项。
7x =3
(完全平方公式) (移项) (合并同类项)
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以 化为, ax2+bx+c=0的形式,我们把ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
为什么要限制a≠0，b,c可以 为零吗？
当a=0时
当a≠0，b=0时 当a≠0，c=0时 当a≠0，b=0,c=0时
你能结合方程①给方 程②起一个名字吗？
一元二次方程
一元二次方程的定义 方程X2-16x+25=0的两边都是整式，只含有一个未知数，并且
未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程。 ①方程两边都是整式
一元二次方程要素
②只含有一个未知数
③未知数的最高次数是2次
试一试
1、判断下列方程中,哪些是一元二次方程?
某地农民2005年无公害蔬菜产量为2万斤，计划2007年无公害蔬菜的产量 比2005年翻一番,要实现这一目标,2006年和2007年无公害蔬菜产量的年平 均增长率应是多少?
分析 设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x, 2005年的产量为2万斤,
2006年无公害蔬菜产量为2+2x=2(1+x);
2007年无公害蔬菜产量为2(1+x)+2(1+x) x=2(1+x)2
解：设减少x米，则长为(10-x)米，宽为(6-x)米
(10-x)(6-x)=35
10 x
X2-16x+25=0
想一想
10-x
6 6-x
x
这个方程与以前所学的一元一次方程 有什么异同？
5x-15=0
①
X2-16x+25=0
②
相同点： 方程两边都是整式;都含有一个未知数
不同点： 方程①中的未知数x最高次是1次 方程②中的未知数x最高次是2次
解 去括号，得 3x2-3x=2x-4-4
移项，合并同类项，得方程的一般形式：
3x2-5x+8=0 它的二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是8
1、填空：
方程
x2-4x-3=0 0.5x2= 5 2 y-4y2=0 (2x)2=(x+1)2
一般式
x2-4x-3=0
0.5x2-√5 =0
-4y2 +√2y =0
解 根据题意得，2007年无公害蔬菜产量为4万斤
2(1+x)2=4
即 (1+x)2=2
整理得
2x
x2+2x-1=0
2
2
2(1+x)x 2(1+x)
返回
2005年 2006年
2007年
再 见！
1
(1)x2 + －3=0
2x
(不是)
(2)x3-xห้องสมุดไป่ตู้4=0
(不是)
(3) x2 － 2y －3=0
(不是)
(4) –5y2 ＋3y +1=0
( 是)
(5) 2x2=0 (6)4x2＋3x－2=(2x-1)2
(是 ) (不是 )
为什么第6 小题不是呢?
你是怎么解这题的?
4x2＋3x －2=(2x-1)2 4x2＋3x －2=4x2-4x+1 4x2—4x2＋3x +4x=1+2
一元二次方程
问题1
5x-15=0
这是一个什么样的方程？
只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的整式 方程叫一元一次方程（linear equation with one unknown）
问题2 大明休闲中心有一个长为10m，宽为6m的游泳池，
现想将游泳池的面积改造成35m2，若长宽同时减少 相同的长度，问减少多少米？
二次项系 数
1
一次项系数
-4
0.5
0
-4 √2
3
-2
常数项
-3 -√5 0 -1
下面还有题，你想再试一试吗？
3、已知关于x的方程 (m+1)x2+3x+1=0, 它二元一次方程吗？
解：根据一元二次方程的定义, 只需m +1≠0 即 m ≠-1
所以,当m ≠-1时方程是一元二次方程
在今天这节课上，你有什么样的 收获呢？有什么感想？
1. 一元二次方程的定义
2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（ a,b,c为常数，a≠0 ）
3.一元二次方程中的为二次项ax2，a为二次项系数； 一次项为bx，一次项系数为b；常数项为c。
作业: p42,习题20.1 1, 2, 3
问题2
bx+c=0
ax2+c=0 ax2+bx=0
ax2=0
一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0中
二次项系数 a
ax2
二次项
一次项系数 b
bx
一次项
c
常数项
说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须 先将方程化为一般形式。
例题分析
把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化成一般形式，并写出它的二次 项系数，一次项系数及常数项。
7x =3
(完全平方公式) (移项) (合并同类项)
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以 化为, ax2+bx+c=0的形式,我们把ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
为什么要限制a≠0，b,c可以 为零吗？
当a=0时
当a≠0，b=0时 当a≠0，c=0时 当a≠0，b=0,c=0时
你能结合方程①给方 程②起一个名字吗？
一元二次方程
一元二次方程的定义 方程X2-16x+25=0的两边都是整式，只含有一个未知数，并且
未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程。 ①方程两边都是整式
一元二次方程要素
②只含有一个未知数
③未知数的最高次数是2次
试一试
1、判断下列方程中,哪些是一元二次方程?
某地农民2005年无公害蔬菜产量为2万斤，计划2007年无公害蔬菜的产量 比2005年翻一番,要实现这一目标,2006年和2007年无公害蔬菜产量的年平 均增长率应是多少?
分析 设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x, 2005年的产量为2万斤,
2006年无公害蔬菜产量为2+2x=2(1+x);
2007年无公害蔬菜产量为2(1+x)+2(1+x) x=2(1+x)2
解：设减少x米，则长为(10-x)米，宽为(6-x)米
(10-x)(6-x)=35
10 x
X2-16x+25=0
想一想
10-x
6 6-x
x
这个方程与以前所学的一元一次方程 有什么异同？
5x-15=0
①
X2-16x+25=0
②
相同点： 方程两边都是整式;都含有一个未知数
不同点： 方程①中的未知数x最高次是1次 方程②中的未知数x最高次是2次
解 去括号，得 3x2-3x=2x-4-4
移项，合并同类项，得方程的一般形式：
3x2-5x+8=0 它的二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是8
1、填空：
方程
x2-4x-3=0 0.5x2= 5 2 y-4y2=0 (2x)2=(x+1)2
一般式
x2-4x-3=0
0.5x2-√5 =0
-4y2 +√2y =0
解 根据题意得，2007年无公害蔬菜产量为4万斤
2(1+x)2=4
即 (1+x)2=2
整理得
2x
x2+2x-1=0
2
2
2(1+x)x 2(1+x)
返回
2005年 2006年
2007年
再 见！
1
(1)x2 + －3=0
2x
(不是)
(2)x3-xห้องสมุดไป่ตู้4=0
(不是)
(3) x2 － 2y －3=0
(不是)
(4) –5y2 ＋3y +1=0
( 是)
(5) 2x2=0 (6)4x2＋3x－2=(2x-1)2
(是 ) (不是 )
为什么第6 小题不是呢?
你是怎么解这题的?
4x2＋3x －2=(2x-1)2 4x2＋3x －2=4x2-4x+1 4x2—4x2＋3x +4x=1+2
一元二次方程
问题1
5x-15=0
这是一个什么样的方程？
只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的整式 方程叫一元一次方程（linear equation with one unknown）
问题2 大明休闲中心有一个长为10m，宽为6m的游泳池，
现想将游泳池的面积改造成35m2，若长宽同时减少 相同的长度，问减少多少米？