简单迭代法
简单迭代法解方程例题
简单迭代法解方程例题
简单迭代法是一种求解方程的数值方法，它通过逐步逼近的方式求得方程的近似解。
本文将介绍一个具体的例题，并使用简单迭代法来解决。
假设我们要解如下方程：
x = e^(-x)
我们的目标是找到方程的解x。
首先，我们可以将方程改写成迭代格式：
x_{n+1} = e^(-x_n)
其中，x_n表示第n次迭代的近似解，x_{n+1}表示下一次迭代的近似解。
现在，我们需要选择一个初始值x_0作为起始点。
通常情况下，可以选择一个离方程解比较接近的初始值，这样可以加快收敛速度。
在本例中，我们选择x_0 = 0作为初始值。
接下来，我们按照迭代格式进行迭代计算，直到满足收敛条件。
在本例中，我们可以选择迭代次数达到一定的值，或者判断两次迭代之间的差值是否小于一个给定的容差。
具体的迭代计算如下：
x_1 = e^(-x_0)
x_2 = e^(-x_1)
...
x_n = e^(-x_{n-1})
在每一次迭代中，我们将得到一个新的近似解x_n。
我们可以继续进行迭代计算，直到满足收敛条件。
需要注意的是，简单迭代法并不保证能够得到方程的解。
有些方程可能不满足迭代过程的收敛条件，或者方程可能有多个解，而简单迭代法只能找到其中一个解。
总而言之，简单迭代法是一种简单但有效的数值方法，可以用于求解一些方程的近似解。
通过选择合适的初始值和收敛条件，我们可以得到方程的一个近似解。
然而，需要注意的是并不是所有方程都适合使用简单迭代法进行求解，有些方程可能需要使用其他更复杂的方法。
计算方法-迭代法讲义
计算 xi(k1) 时,
x(k 1) j
(
j
i)的值已经算出
所以迭代公式可以修改成：
X (k1) D1LX(k1) D1UX (k) D1b
或写成分量形式
i1
n
x(k1) i
(bi
aij
x
( j
k 1)
aij x(jk) ) / aii
j 1
j i 1
7
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为 (D – L)X = ＵＸ＋b ， 从而有： Ｘ = (D – L)-1 UX + (D – L)-1b
2
4.1、雅可比（Jacobi）迭代法
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为
DX = (Ｌ＋Ｕ)Ｘ＋b ，
若 det(D)0, 则有：
Ｘ = D-1(L + U)X + D-1b
得到雅可比迭代矩阵：
BJ = D-1(L + U)，b’= D-1b 从而，得到雅可比迭代公式：
注意：这里的对角 矩阵的D-1是非常 容易计算的。
（精度要求）
得到满足要求的近似解。
例子：p.55(p.52)例8 ，10-3的精度，迭代10 次。
3x1x12xx22
5 5
x( 1
k
1)
x(k) 2 3
5 3
x2( k
1)
x(k) 1
2
5 2
x(0 1
x2(0
) )
0 0
6
4.2、高斯-赛德尔迭代法 雅可比方法中
X (k1) D1(L U) X (k) D1b
|| B || 0.62875, || B ||1 0.648065375,
目标函数的几种极值求解方法
目标函数的几种极值求解方法目标函数是数学模型中的一个重要部分，它描述了问题的目标或者优化方向。
在实际应用中，求解目标函数的极值是一个重要的问题。
这篇文章将介绍目标函数的几种极值求解方法。
一、解析法解析法是指通过对目标函数进行数学推导和分析，找到极值的解析表达式。
这种方法适用于目标函数是一些简单的函数形式的情况。
常见的解析法包括：1.导数法：通过计算目标函数的导数，找到导数为零的点，这些点即为目标函数的极值点。
2.二阶导数法：在导数法的基础上，继续计算二阶导数，通过二阶导数的正负性判断极值点的类型（极大值点还是极小值点）。
3.泰勒展开法：通过将目标函数在其中一点进行泰勒展开，得到一个近似的二次函数模型，在该模型上求解极值问题。
解析法的优点是求解速度快，得到的解析表达式可以直接进行数值计算。
但是，解析法只适用于特定的函数形式，对于复杂的目标函数，可能很难得到解析解。
二、迭代法迭代法是指通过不断迭代目标函数的其中一个起始点，逐步逼近极值点的方法。
迭代法的基本思想是通过不断更新目标函数的当前点，使其逐渐趋向极值点。
常见的迭代法包括：1.简单迭代法：选择一个适当的起始点，通过不断迭代目标函数，直至收敛到一些极值点。
2.牛顿法：通过利用目标函数的一阶和二阶导数信息，不断更新当前点，使其逐渐逼近极值点。
3.拟牛顿法：在牛顿法的基础上，通过近似估计目标函数的二阶导数，减少计算二阶导数的开销。
迭代法的优点是适用于一般的函数形式，可以通过不断迭代逼近任意精度的极值点。
但是，迭代法的收敛性和稳定性很大程度上依赖于初始点的选择和算法的设计，收敛速度也可能较慢。
三、启发式算法启发式算法是一类基于自然界中的一些现象、规律或者人类的智慧的算法。
它们通过模拟自然界中一些现象的过程，来求解优化问题。
启发式算法一般不保证找到全局最优解，但通常能找到较好的解。
常见的启发式算法包括：1.遗传算法：模拟自然界中生物的进化过程，通过随机选择、交叉和变异操作，不断优化种群的适应度，最终找到较优解。
解x=g(x)的简单迭代法
若等号成立,则表示a是根或者b是根,[a,b]上已有根存在了, 若等号成立,则表示a是根或者b是根,[a,b]上已有根存在了,对于 上已有根存在了 一般情况,由根的存在定理 由根的存在定理， 一般情况 由根的存在定理， h( x) = 0在 [a , b] 上至少存在一个根 x*, 即x = g(x) 在[a,b]上至少存在一个根 x*, 即 h( x* ) = g( x* ) − x* = 0. [a,b]上至少存在一个根 * * * * * 设 [a,b]上另一根 上另一根, 下证唯一性， y 为 x = g(x)在[a,b]上另一根,则 y = g( y ),x = g(x ), 下证唯一性， y* − x* = g( y* ) − g( x* ) ≤ L y* − x*， ∴ y * = x *。 从而 20 由条件(1)知 { xk } 适定的，另外 适定的， 由条件(1)知
定理3 (压缩不动点定理或压缩映象定理) 若迭代函数g(x)满足 定理3 压缩不动点定理或压缩映象定理) 若迭代函数g(x)满足 g(x) (1) g( x ) ∈ [a , b], ∀x ∈ [a , b] (3.3) ( 2)∃0 < L < 1, 使∀x′, x′′ ∈[a, b] 有g( x′) − g( x′′) ≤ L x′ − x′′ (3.4)
k →∞
k ←∞
即 x * 是 ( 3 . 2 )的解 。g(x)把定义域的每个 映成了 把定义域的每个x 把定义域的每个 映成了g(x)，因此 ( 3 .2 ) ， 的不动点。 的解也称 g ( x ) 的不动点。 也可理解成： 是映射， 也可理解成：g(x ) 是映射，若 x* 满足 x* = g( x* ), 则 x * 称为 g ( x )的不动点。 的不动点。 适定是收敛必要条件 即不适定则一定不收敛 必要条件， 适定则一定不收敛。 注: 适定是收敛必要条件，即不适定则一定不收敛。
简单迭代法求方程的根matlab
简单迭代法求方程的根1. 引言简单迭代法是一种常用的求解非线性方程根的方法。
它基于方程的连续性和局部斜率连续的性质，通过迭代逼近方程的根。
在本文中，我们将详细介绍简单迭代法的原理和步骤，并使用MATLAB编写代码来解决方程求根问题。
2. 简单迭代法原理简单迭代法的基本思想是，将非线性方程转化为迭代形式，通过不断迭代逼近方程的根。
其原理基于不动点定理，即给定一个函数f(x)，若存在一个不动点x∗，满足x∗=f(x∗)，则迭代过程x k+1=f(x k)中的序列x k将收敛到x∗。
对于求解方程f(x)=0的问题，我们可以将其转化为x=g(x)的形式，其中g(x)= x−f(x)，且f′(x)不等于0。
这样，我们可以通过迭代逼近x=g(x)的根，从而得f′(x)到原方程的解。
3. 简单迭代法步骤简单迭代法的步骤如下：3.1 选择初始点选择一个合适的初始点x0作为迭代的起点。
3.2 迭代计算根据迭代公式x k+1=g(x k)，计算序列x k的下一个值。
3.3 判断终止条件根据预设的终止条件，判断是否满足终止条件。
常用的终止条件包括： - 迭代次数达到预设的最大值。
- 迭代过程中下一个值与当前值之差小于预设的精度。
3.4 输出结果当满足终止条件时，输出最终的逼近根的值。
4. 简单迭代法在MATLAB中的实现以下是简单迭代法在MATLAB中的实现代码：function root = simple_iter_method(f, g, x0, max_iter, precision) % f: 原方程% g: 迭代函数% x0: 初始点% max_iter: 最大迭代次数% precision: 精度x = x0;iter = 0;while iter < max_iterx_next = feval(g, x); % 使用feval函数计算迭代值if abs(x_next - x) < precisionroot = x_next;return;endx = x_next;iter = iter + 1;enderror('达到最大迭代次数，未找到合适的解');end5. 示例与应用5.1 示例：求解方程x2−3x+2=0。
数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法)).
本科生实验报告实验课程数值计算方法学院名称信息科学与技术学院专业名称计算机科学与技术学生姓名学生学号指导教师实验地址实验成绩二〇一六年五月二〇一六年五月1实验一 非线性方程求根1.1问题描绘实验目的：掌握非线性方程求根的基本步骤及方法， 。
实验内容：试分别用二分法、简单迭代法、Newton 迭代法、弦截法(割线法、双点弦法)，求x 5-3x 3+x-1=0在区间[-8,8]上的所有实根，偏差限为10-6。
要求：议论求解的全过程，对所用算法的局部收敛性，优弊端等作剖析及比 较，第2章算法思想2.1二分法思想：在函数的单一有根区间内，将有根区间不停的二分，找寻方程的解。
步骤：1.取中点mid=(x0+x1)/2 2.若f(mid)=0,则mid 为方程的根，不然比较与两头的符号，若与f(x0) 异号，则根在[x0,mid]之间，不然在[mid,x1]之间。
3并重复上述步骤，直抵达到精度要求，则 mid 为方程的近似解。
开始读入a,b,emid=(a+b)/2 F(a)*f(b)<0是 a=mid b=mid no |a-b|<e? yes 输出mid结束22.2简单迭代法思想：迭代法是一种逐次迫近的方法，它是固定公式频频校订跟的近似值，使之逐渐精准，最后获得精度要求的结果。
步骤：1.结构迭代公式f(x)，迭代公式一定是收敛的。
2.计算x1,x1=f(x0).3.判断|x1-x0|能否知足精度要求，如不知足则重复上述步骤。
4．输出x1,即为方程的近似解。
开始输入x0,eX1=f(x0)f为迭代函数X1=x0;No|x1-x0|<eyes输出x1结束32.3Newton迭代法思想：设r是的根，选用作为r的初始近似值，过点做曲线的切线L，L的方程为，求出L与x轴交点的横坐标，称x1为r的一次近似值。
过点做曲线的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标，称为r的二次近似值。
重复以上过程，得r的近似值序列，此中，称为r的次近似值步骤：1.计算原函数的导数f’(x);结构牛顿迭代公式2.计算,若f’(x0)=0,退出计算，不然持续向下迭代。
4.2简单迭代法
( x) L 1对 x[a, b] 成立。
则① 方程x=φ(x)在[a,b]上有唯一根x*; ② 任取 x0[a, b]，由 xk+1 = φ(xk) 得到的序列 x k k 0 收敛于x*。并且有误差估计式： ③ x * x k
L xk xk ห้องสมุดไป่ตู้ 1 L
显然 ( x)在[1, 2]上单调增加。
而(1) 3 2 1，( 2) 3 3 2
即 ( x ) [(1), ( 2)] [1,2]， 所以( x )满足条件（I）。
又
2 1 1 3 | ' ( x ) || ( x 1) | 3 L 1 3 3 4
③ ③
L x * xk xk xk 1 1 L
k ？ ④ | x*x | L | x x | k 0 ？ 1 L 1
x * xk L | x * xk 1 | L | ( x * xk ) ( xk xk 1 ) |
L x * xk xk xk 1 1 L
3 x2 2 x1 1 3
3 x3 2 x2 1 55
显然迭代法发散
(2) 如果将原方程化为等价方程 仍取初值
x0 0
x
3
x 1 2
迭代格式
xk 1
3
xk 1 2
x1 3 x2 3
依此类推,得
1 x0 1 3 0.7937 2 2 x1 1 3 1.7937 0.9644 2 2
( k = 1, 2, … )
可用 | xk xk 1 | 来控制迭代过程
Lk | x1 x0 | ④ | x * xk | 1 L
简单迭代法matlab例题程序
一、引言在数学建模和计算机编程中，简单迭代法是一种常用的求解方程近似解的方法。
其原理是通过不断迭代计算，逼近实际的解。
在Matlab 编程中，简单迭代法也是一种常见的应用。
本文将介绍简单迭代法的原理，并给出在Matlab中实现简单迭代法的例题程序。
二、简单迭代法原理1. 简单迭代法的基本思想是将需要求解的方程转化为迭代形式，即 x = g(x)，然后通过不断迭代计算得到方程的近似解。
2. 简单迭代法的收敛条件是 |g'(x)| < 1，即迭代函数的导数的绝对值小于1时，迭代过程才能收敛。
3. 简单迭代法的收敛速度取决于迭代函数的选择，通常可以通过调整迭代函数来提高收敛速度。
三、Matlab中的简单迭代法实现在Matlab中，可以通过编写脚本文件来实现简单迭代法。
下面给出一个简单的例题：求解方程 x^2 - 3x + 2 = 0 的近似解。
4. 以下是Matlab中实现简单迭代法的脚本文件示例：```matlab定义迭代函数g = (x) 3*x - x^2;设置迭代初值和迭代次数x0 = 0.5;N = 100;迭代计算for k = 1:Nx = g(x0);fprintf('第d次迭代，近似解为：.10f\n', k, x);if abs(x - x0) < 1e-8 判断迭代是否收敛break;endx0 = x;end```5. 通过运行上述脚本文件，即可得到方程 x^2 - 3x + 2 = 0 的近似解。
四、实例分析通过上述例题程序的运行结果可以看出，简单迭代法在Matlab中的实现比较简单直观。
但是需要注意的是，迭代函数的选择和迭代初值的设定对最终的近似解都会产生影响，需要经过一定的调试和优化。
五、总结简单迭代法是一种常用的求解方程近似解的方法，在Matlab编程中也有着广泛的应用。
通过本文的介绍和示例程序，相信读者已经对简单迭代法在Matlab中的实现有了更深入的了解。
数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))资料
-1.525
6
-1.50391
11
-1.505
2
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3
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4
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9
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表1-1
区间[-1.2,-0.9]
k
xk
k
xk
k
xk
0
-1.05
5
-0.998437
10
12
-1.50489
18
-1.50505
表2-1
初值-1
k
x
1
-1
2
-1
表2-2
初值1.6结果x=1.69028
k
xk
k
xk
k
xk
1
1.6
8
1.68862
15
1.69023
2
1.65669
9
1.68927
16
1.69025
3
1.66987
10
1.68967
17
1.69027
4
1.6779
11
1.68991
2.计算x2=x1-f(x1)(x1-x0)/f(x1)-f(x0);
3.判断f(x2)是否满足精度要求，若没有则按照上述步骤继续迭代，否则输出x2.x2即为方程的近似解。
第
测试结果
函数图像
函数Y=x5-3x3+x-1
二分法
[-1.6,-1.3]
k
非线性方程组的迭代解法
4.2 非线性方程组的迭代解法 一、 一般概念1.非线性方程组的一般形式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===0),,,(0),,,(0),,,(21212211x x x fx x x f x x x f n nn n⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()()()(21x f x f x f x F n则向量形式如下：0)(=x F2.解非线性方程组的方法 （1）简单迭代法（2）线性化方法（即Newton 法）（3）求函数极小值的方法（即最速下降法） 二、简单迭代法RR nn x F →:)(把方程组：F （x ）=0 改写成等价形式，即)19.4)((0)(x G x x F =⇔=适当选取初始向量D x ∈0，利用上述的等价形式，构成迭代公式：)20.4(,2,1,0),()()1( ==+k x G xk k其中G （x ）为迭代函数 2.收敛性(1)非局部收敛定理（压缩映象原理）定理4.13 设G:R R nn D −→−⊂在闭区域D D⊂0上满足条件：（1）G 把D0映入自身， （2）G 在D0上是压缩映射，则有下列结论：（1）对任取的D x 0)0(∈,由迭代公式4.20产生的序列{}D x k 0)(∈，且收敛于方程组4.19在D0内的唯一解（2）成立误差估计式xxL x x L kk )0()1()(*1--≤- xx L xxk k kk L)1()()(*1---≤-下面给出简单迭代法（4.20）局部收敛定理定理4.14 设G:R R nn D −→−⊂，)int(*D x ∈是方程组4.19的解，G 在x *处可微。
若()xG *'的谱半径()()1*<'x G ρ,则存在开球{}D x x x D⊂<<-=0,*δδ，使对任意的D x0)0(∈，由迭代法4.20产生的序列{}D x k 0)(∈且收敛于x*。
注：（1）但是对于线性方程组来说，上述定理成为全局收敛性定理，而不是局部收敛性定理。
x=e^x用简单迭代法matlab
x=e^x用简单迭代法matlab篇一：在MATLAB中,我们可以使用简单迭代法来求解函数`f(x) = e^x`的导数`f"(x)`,即`f"(x) = e^x - 1`.下面是一个简单的迭代公式:```x0 = 0;for i = 1:1000x = x0 + (x - x0) / (i - 1);end```这个迭代公式使用了一个递归算法,每次将当前`x`值减去上一个`x`值,并除以迭代次数`i - 1`,直到迭代次数达到1000为止。
在每次迭代中,`x`值都会增加`e^x`的值,因此`f"(x)`的值也会增加`e^x - 1`的值。
我们可以通过计算`f"(x)`的值来得到`e^x`在`x`处的导数。
下面是MATLAB代码来求解`f"(x)`:```x = 0:0.1:10;f = e^x;f" = f";```在这个例子中,我们使用一个长度为10的`x`列表来求解`f"(x)`,并将结果保存到变量`f"`中。
使用这个迭代公式和`f"`的值,我们可以计算`e^x`在`x`处的导数,即`f(x)`的斜率。
这个斜率可以用来进行加速收敛的迭代计算,例如在优化问题中。
下面是MATLAB代码来计算`e^x`在`x`处的导数:```x = 0:0.1:10;f = e^x;f" = @(x) f"(x);```这个代码定义了一个函数`f"`,它使用迭代公式和`f`的值来计算`f"(x)`的值。
这个函数会使用一个循环来迭代`x`的值,并计算`f"(x)`的值。
这样,我们就可以使用这个函数来加速收敛,并得到更快的迭代结果。
总的来说,简单迭代法是一种常用的方法来求解函数的导数,特别是在数值计算中。
它简单易行,但收敛速度可能较慢,需要根据具体情况进行调整。
篇二：在本文中,我们将介绍如何使用简单迭代法在 MATLAB 中计算圆周率的近似值。
解线性方程组的迭代法
|| x || 0 (非负性) ； （1）|| x || 0 ，当且仅当 x 0 时，
（2） || x ||| | || x || (齐次性)； （3） || x y |||| x || || y || (三角不等式). 则称 || x || 为向量 x 的范数 (或模).
4.1.2 向量范数和向量序列的极限
常用的向量范数：设 x R n （1）向量的 - 范数 (最大范数)： || x || max | xi |
1 i n
|| x ||1 （2）向量的 1 - 范数 (绝对值范数)：
（3）向量的 2 - 范数：|| x ||2 ( x , x ) (
|| A ||2 3+2 2 , || A ||F 6
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
(k ) ) R nn ，如果存 定义5 (矩阵序列的极限) 设有矩阵序列 Ak (aij
在 A (aij ) R nn，使
k (k ) lim aij aij ,
i, j 1, 2,
（4） || AB |||| A || || B || ； 则称 || A || 为矩阵 A 的范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
相容性： 设有矩阵范数 || ||s 和向量范数 || ||t ，如果对任何向量 x R n 及矩阵 A R nn ，有/2 || A ||F ( aij ) i , j 1 n
它是与向量 2-范数相容的矩阵范数，但不是从属范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
简单迭代法求方程的根matlab
简单迭代法求方程的根matlab一、简介简单迭代法，又称为逐次逼近法或枚举法，是求解非线性方程的一种重要方法。
其基本思想是将原方程转化为等价的形式，然后通过不断迭代逼近方程的根。
在MATLAB中，可以通过编写程序来实现简单迭代法求解方程的根。
二、算法原理设非线性方程f(x)=0有一个实根α，将f(x)在α处进行泰勒展开，则有：f(x)=f(α)+(x-α)f'(α)+O((x-α)^2)其中O((x-α)^2)表示高阶无穷小。
由于f(α)=0，因此上式可化为：f(x)=(x-α)f'(α)+O((x-α)^2)移项得到：x=α-f(x)/f'(a)这就是简单迭代法的基本公式。
显然，如果从一个初始值x0开始，不断使用公式进行迭代，则可以逐步逼近方程的根。
三、MATLAB程序设计1. 设定初始值和误差限制我们首先需要确定初始值x0和误差限制epsilon。
其中epsilon通常取较小的值（如10^-6），用于控制计算精度。
在MATLAB中可以编写如下代码：clc;format long; % 设置输出精度% 设定初始值和误差限制x0 = 1; % 初始值epsilon = 1e-6; % 误差限制2. 编写迭代公式根据简单迭代法的基本公式，我们可以编写一个函数来进行迭代计算。
假设要求解方程x^2-3=0的根，可以编写如下代码：function y = f(x)y = x^2 - 3;endfunction y = g(x)y = 2*x;end% 简单迭代法求解方程x^2-3=0的根x0 = 1; % 初始值epsilon = 1e-6; % 误差限制nmax = 100; % 最大迭代次数for n = 1:nmaxx1 = x0 - f(x0)/g(x0);if abs(x1-x0) < epsilon % 判断是否满足精度要求break;x0 = x1;endfprintf('方程的根为：%f\n', x1);在上面的代码中，我们使用了两个函数f和g来分别表示原方程和其导数。
数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))
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表1-1
区间[-1.2,-0.9]
k
xk
k
xk
k
xk
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1
-0.975
6
-1.00078
11
-0.999976
13
1.69015
20
1.69028
7
1.68753
14
1.6902
表2-3
牛顿
初值-1.5结果x=-1.50507
k
xk
k
xk
1
-1.5
4
-1.50504
2
-1.50471
5
-1.50506
3
-1.50497
6
-1.50507
表3-1
初值-1结果x=-1.50507
k
x
1
-1
2
-1
表3-2
初值1.6结果x=1.69028
步骤：1.计算原函数的导数f’(x);构造牛顿迭代公式
2.计算,若f’(x0)=0,退出计算，否则继续向下迭代。
3.若|x1-x0|满足精度要求，x1即为方程的近似解。
2.4弦截法
思想:为加速收敛，改用两个端点都在变动的弦，用差商替代牛顿迭代公式的导数f’(x)。
步骤：1.构造双点弦法的公式
2.计算x2=x1-f(x1)(x1-x0)/f(x1)-f(x0);
简单迭代法
(1)当迭代函数(x)满足什么条件时，相应的迭代公式 xk+1=(xk)才收敛？
(2)当迭代收敛时，迭代值的误差如何估计？ 我们也不能无穷迭代下去，只能迭代有限次，所以需 要估计迭代值的误差，以便适时终止迭代。
迭代格式有多种，如何选择迭代函数才能保证迭 代法的数列收敛？有如下定理：
计式，得：
x* xk
Lk 1 L
x1 x0
计算方法二③
16/32
注1：定理2.1给出了一个收敛的迭代数列{xk}的误差 估计式。利用它，在给定精度ε>0后，只要计算到
L 1 L
|
xk
xk 1
|
就有：|x*-xk|<ε
即：只要前后两次迭代值的差值足够小，就 可使近似值xk达到任意的精度要求。
计算方法二③
记 x3=(x2) 如此反复计算…… xk+1=(xk) ，(k=0,1,2,…)
8/32
当{xk}收敛于a，而(x)是连续函数时，那么a
就是所求方程的根x* 。这是因为
a
lim
k
xk 1
lim
k
(
xk
)
(lim k
xk
)
(a)
a即是(x)的不动点。 即：x*=a
一般地，我们称(x)为方程f(x)=0的迭代函数，上
述求根的方法，称为简单迭代法。
迭代函数(x)的构造方法是多种多样的。
计算方法二③
5/32
例1 用迭代法求方程x3-x-1=0在x=1. 5附近的根。 解：先将原方程改写为如下两种等价形式：
x=1(x) 3 x 1
简单迭代法
简单迭代法
简单迭代法是一种常用的数值计算方法，通常用于求解方程的近似解。
它是一种基于迭代的算法，通过不断逼近方程的解来得到一个足够精确的近似解。
在实际应用中，简单迭代法的可靠性、效率和实用性都得到了广泛的认可和应用。
简单迭代法最常用的形式是不动点迭代法，其基本思路是通过将方程的解表示为函数的不动点来进行迭代。
具体实现方法是，从一个起始点开始，将该点代入函数计算，得到一个新的点，然后将新的点再代入函数中计算，这样不断进行下去，直到得到一个满足要求的近似解为止。
在实际应用中，简单迭代法的使用需要一定的条件限制，如函数必须具有连续性和单调性等等。
此外，迭代过程的收敛性也是需要关注的一个重要问题。
一般而言，只有当函数的导数小于1时，才能保证迭代的收敛性。
因此，在使用简单迭代法求解方程时，需要对函数的特性进行仔细的分析和评估，以确保迭代过程的有效性和准确性。
简单迭代法在实际应用中具有广泛的用途和应用场景。
例如，在工程设计中，可以利用简单迭代法对复杂的函数进行求解，以确定合适的参数和方案。
此外，在金融领域、物流领域和医疗领域等领域，简单迭代法也被广泛应用于问题求解和决策分析中。
总之，简单迭代法作为一种常用的数值计算方法，为我们解决实际问题和提高工作效率提供了有力的支持和保障。
在今后的工作中，
我们应注重加强对简单迭代法的学习和应用，进一步挖掘其潜力和价值，为推动科技进步和社会发展做出更大的贡献。
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5
6 7 8
1.32476
1.32473 1.32472 1.32472
4
1.32494
从表中可看到 x7与 x8完全相同，这时可认为x8已 满足方程， x8 即为所求根的近似值。
x* x8 1.32472
上述迭代过程是收敛的。
如果将方程改写成下列形式
( x1*) x1 * ( x1*) x1 *
由微分中值定理
| x x2 || ( x ) ( x2 ) |
* 1 * * 1 *
| ( ) || x x2 |
* 1 *
L 1 ，必有
* 1 * 2
L | x x2 |
* 1 * 2
* 1
2
3 4 5
1.25
1.3125 1.3125 1.3125
1.375
1.375 1.3438 1.3281
1.3125
1.3438 1.3281 1.3203
+ + -
6
1.3203
1.3281
1.3242
-
x6 1.3242 x * x * x6 0.005
算法 2.1 (二分法求解非线性方程) 第一步:输入误差限 0 , 1 ,计算 y1 f (a ), y2 f (b);
把给定的方程 f ( x ) 0 改写成等价形式 f (x)= 0
x ( x)
(1)
若存在 x*,使得 x* ( x*) ,则称x*为不动点。 在根x*的附近取一点x0作为x*的预测值,也叫迭代初 值。
2 按迭代格式进行计算 把x0代入(1)的右端，得
* x x x x 如果 1 。 0 ，则 1 如果 x1 x0 ，把 x1作为根的新的预测值代入(1)，得
第二章 非线性方程的求根方法
简单迭代法
不动点迭代的收敛性
迭代序列的收敛速度 收敛加速的方法
问 题的提 出 很多实 际问题 中 , 都 涉及 到解函 数方程
f ( x ) 0 ,这里 f ( x ) 可以是代数多项式 ,也可以是超越函
数.
一般情况下,用计算机求解非线性方程分两步进行: 1. 对方程 f ( x ) 0 的根进行隔离 .找出隔根区间(区间内 只有一个根).
此时区间[ak+1, bk+1]的长度为[ak,bk]的一半.
二分法计算过程中产生有根区间序列
[a, b] [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [ak , bk ]
有如下性质:
ba (1) bk a k k 2
(3) f(ak) f(bk)<0
(2) ak 1 ak , bk 1 bk
1 ba 因此 x xk (bk ak ) k 1 . 2 2
因此,二分法产生的序列收敛.
利用二分法收敛定理 ,对于事先给定的精度要求 ,可以估 计出二分法结果满足要求的迭代次数.
对于预先给定的精度 0，只需要
k ln(b a ) ln 2 , ln 2
便有
f ( x0 ) 0 , 则 x0 就 是 方 程 的 根 ; 若 f ( x0 ) f (a ) 0 , 取 a1 a , b1 x0;若 f ( x0 ) f (b) 0 取 a1 x0 , b1 b .
ba 此时区间[a1 , b1 ]的长度为[a , b]的一半， b1 a1 2
3 2 作业：1、用二分法求方程 f ( x ) x 4 x 10 0
在区间[1,2］内的一个实根，要求误差不超过0.005。
2.2 迭代法 1 1 1 一种圆周率的计算方案: 4 1 3 5 7 初值: x0=1 ( 1)n ( n=1,2,3,· · · · · ·) 迭代格式: xn xn1
x1 ( x0 )
x2 ( x1 )
如果 x2 x1 ，则
如果 x2 x1 ，把 x2作为根的新的预测值代入(1)...... 如此重复上述步骤，则有迭代公式
x2 x
*
。
xk 1 ( xk ) ( k = 0, 1, 2, · · ·)
( x ) ：迭代函数，得到迭代序列 其中，
x0 , x1 ,, xk ,
由于
定理 2.2 设 x 为方程 f ( x ) 0 在区间 [a , b] 内的唯一根 ,
f ( x ) 满足 f (a ) f (b ) 0, 则二分法计算过程中第 k 个区间
[a , b]的中点 x k 满足不等式
1 1 x xk (bk ak ) k 1 (b a ) . 2 2
2n 1
将一个计算过程反复进行
一种常见常用的计算技术
构造有效的迭代格式
选取合适的迭代初值
对迭代格式进行收敛性分析
迭代原理 迭代是一种逐次逼近过程求解问题的方法. 已知方程 f ( x ) 0 的一个近似根后，通常使用某个固定公式反 复校正根的近似值
作法：迭代的三个主要部分
1 选取初值
由此可见，如果二分过程无限地进行下去（ k ），则有限区间必定缩为一点 x*，该点显然就是所 求的根。 实际上，我们不可能去完成这种无穷过程，也无必 要，只需得到满足一定精度的近似值就可以了。 如果令有根区间[an,bn]的中点 xk (ak bk ) 2 为 x*的近 似值，则在二分过程中，得到下列以 x*为极限的近 似根序列
[a,b]称为有根区间.
二分算法
1 原理: 把区间[a , b]二等分 ,分点为 x0 (a b ) ,计算函 2 数值 f ( x0 ),则可能出现三种情况:
1 如果 f ( x0 ) 0，则 x0 是 f ( x )在区间[a , b]的零点.
ab x 2
则
2 如果 f ( x0 ) f (a ) 0 ,则 f ( x )在区间[a , x0 ]内有零点;
定理2.3 如果 ( x) C [a, b] ,满足条件:
1
(1) a ( x) b ;
(2) | ( x) | L 1
则方程 x ( x ) 在 [a, b] 有唯一的不动点 x*。
证 若 (a) a 或 (b) b ,显然 ( x) 有不动点
例2.2 求方程
f (x)=x3 – x – 1 = 0 在x =1.5附近的根 x*。 解 设将方程改写成下列形式
x x 1
3
由此得迭代公式
xk 1 3 xk 1 ,
迭代结果如下表
k 0,1,2,
迭代初值取x0 =1.5，计算值用6位数字表示。
k
xk
k
xk
0
1 2 3
1.5
2. 利用迭代法计算满足一定精度的根的近似值.在隔 根区间找到一个(或者多个)出发值 x0 ,按某种方法产 生一个序列 x0 ,..., xn ,...此序列在某种条件下收敛于 方程的根 x .
2.1 二分法
设函数 f ( x )在区间[a , b]上连续,且 f (a ) f (b) 0 ,根据 连续函数的性质知 f ( x ) 0 在[a , b] 内有根 . 不妨设它在 此区间有唯一的根 x .
对任意 k 0 ,设第 k 个区间为[ak,bk],取中点 计算 f(xk). 若 f(xk)=0，则 xk 就是方程的根; 若 f(xk) f(ak)<0, 取 ak+1=ak, bk+1= xk; 若 f(xk) f(bk)<0, 取 ak+1= xk, bk+1= bk.
xk
1 (ak bk ) , 2
(2) | ( x ) | L 1
| x x k |
x k ( x k 1 ) 证 * * x (x )
1 L | x k x * || ( x k 1 ) ( x * ) |
| ( ) || x k 1 x * |
*
3 如果 f ( x0 ) f (b) 0 ，则 f ( x )在区间[ x0 , b]内有零点;
如果后两种情况之一发生 , 则意味着找到一个比原 来的区间长度小一半的有根区间 ,舍去无根区间,将有根 区间再次一分为二 ,如此周而复始,实际上就是将有根区 间缩小到充分的小,从而找到满足精度的近似根. 1 算 法 对 区 间 [ a , b ] 取 中 点 x 0 ( a b ) , 计 算 f ( x0 ) . 若 2
*
| x x | 0 即x x x*
定理2.4 如果 ( x) C [a, b] ,满足条件:
1
(1) a ( x ) b ;
则对任意的 x0∈ [a, b] , 迭代格式 xk 1 ( xk ) 产生的序列 { xk }收敛到不动点x*,且有事后误 差估计式 1 *
y
y=x y ( x)
p0
p*
p0
p1
p1 p2
x2 x1
o
x*
x0
x
如果 p1 , p2 ,, pk , 逐渐逼近p*，－－－迭代过程收敛
y
y ( x)
y=x
p0
p*
p0
p1
p1
p2
o
x2
x1
x0
x*
x
如果 p1 , p2 ,, pk , 逐渐远离p*，－－－迭代过程发散 （无意义）
[1, 1.5］内的一个实根，要求误差不超过0.005。 解求的精度。
ln(1.5 1) ln 0.01 k 5.644 ln 2