§1.1.1变化率问题1
1.1.1 变化率问题
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
【解析】 由题图可知，A 机关所对应的图像比较陡峭，B 机关所对应的图像比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率 都小于 0，故一定有 A 机关比 B 机关节能效果好．故选 B 项．
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第一章 导数及其应用
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1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题
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要点 1 平均变化率
函数
y＝f(x)从
x1
到
x2
的平均变化率为Δy＝f（x2）－f（x1）．
Δx
x2－x1
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探究 2 物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内的平均变化率即为物 体在这段时间内的平均速度．
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思考题 2 一质点作直线运动其位移 s 与时间 t 的关系 s(t) ＝t2＋1，该质点在[2，2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于 5，求 Δt 的取值范围．
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思考题 1 求函数 f(x)＝x3 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变
化率． 【解析】 函数 f(x)＝x3 在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
f（x0＋Δx）－f（x0） （x0＋Δx）3－x03
变化率问题举例
变化率问题举例前面我们从实际问题中抽象出了导数的概念，并利用导数的定义求一些函数的导数，这当然是很重要的一方面, 但另一方面，我们还应使抽象的概念回到具体的问题中去,在科学技术中常把导数称为变化率. 因为, 对于一个未赋予具体含义的一般函数)(x f y =来说x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00是表示自变量x 在以0x 与x x ∆+0为端点的区间中每改变一个单位时，函数y 的平均变化量. 所以把x y∆∆称为函数)(x f y =在该区间中的平均变化率；把平均变化率当0→∆x 时的极限)('0x f 或0x x dx dy=称为函数0x 处的变化率. 变化率反映了函数y 随着自变量x 在0x 处的变化而变化的快慢程度. 显然，当函数有不同实际含义时，变化率的含义也不同. 如曲线上某一点处切线的斜率是曲线的纵坐标y 对横坐标x 的变化率；瞬时速度是物体位移s 对时间t 的变化率.下面我们通过实例来说明变化率在实际问题中的应用.一、变化率在工程技术上的几种常见类型例1 （电流模型）设在[0，t]这段时间内通过导线横截面的电荷为)(t Q Q =，求0t 时刻的电流.解 如果是恒定电流, 在t ∆时间段内通过导线横截面的电荷为Q ∆，那么它的电流为 t Q i ∆∆==时间电荷电流如果电流是非恒定电流，就不能直接用上面的公式求0t 时刻的电流，此时 t t Q t t Q t Q i ∆-∆+=∆∆=)()(00称为在t ∆这段时间内的平均电流.当t ∆很小时,平均电流i 的极限(如果极限存在),就称为时刻0t 的电流)(0t i ，即 )(')()(lim lim )(0000000t Q dt dQ t t Q t t Q t Q t i t t t t ==∆-∆+=∆∆==→∆→∆例2 （细杆的线密度模型）设一根质量非均匀分布的细杆放在x 轴上，在[0，x]上的质量m 是x 的函数m=m(x)，求杆上0x 处的线密度.解 如果细杆质量分布是均匀的, 长度为x ∆的一段的质量为m ∆，那么它的线密度为x m ∆∆==长度质量ρ O如果细杆是非均匀的，就不能直接用上 面的公式求0x 处的线密度（如图2—3）. 图2—3 设细杆[0，0x ]的质量m=m(x 0),在[0，x x ∆+0]的质量)(0x x m m ∆+=，于是在x ∆这段长度内，细杆的质量为)()(00x m x x m m -∆+=∆平均线密度为x x m x x m x m ∆-∆+=∆∆=)()(00ρ 当x ∆很小时，平均线密度ρ可作为细杆在0x 处的线密度的近似值，x ∆越小近似的程度越好.我们令0→∆x ，细杆的平均线ρ线的极限（如果极限存在），就称为细杆在0x 处的线密度，即)(')()(lim)(000000x m dx dm x x m x x m x x x x ==∆-∆+==→∆ρ例3 例3 （化学反应速度模型）在化学反应中某种物质的浓度N 和时间t 的关系为N=N(t)求在t 时刻该物质的瞬时反应速度.解 当时间从t 变到t t ∆+时，浓度的改变量为)()(t N t t N N -∆+=∆此时，浓度函数的平均变化率为t t N t t N t N ∆-∆+=∆∆)()(令0→∆t ，则该物质在t 时刻时瞬时反应速度为t t N t t N t N t N t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00二、变化率在经济分析中的应用（一）边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，一般指经济函数的变化率. 利用导数研究经济变量的边际变化的方法，称为边际分析法.边际分析法是经济理论中的一个重要方法.1．1．边际成本 在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的成本. 设某产品产量为x 单位时所需的总成本为C=C(x)，称C(x)为总成本函数，简称成本函数. 当产量由x 变为x x ∆+时，总成本函数的改变量为)()(x C x x C C -∆+=∆这时，总成本函数的平均变化率为x x C x x C x C ∆-∆+=∆∆)()(它表示产量由x 变到x x ∆+时，在平均意义下的边际成本.当总成本函数C （x ）可导时，其变化率x x C x x C x C x C x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(l i m l i m )('00表示该产品量为x 时的边际成本，即边际成本，即边际成本为成本函数关于产量的导数.2．2．边际收入 在经济学中，边际收入定义为多销售一个单位产品所增加的销售收入.设某产品的销售量为q 时的收入函数为)(q R R =.则收入函数关于销售量q 的导数就是该产品的边际收入)('q R .3．边际利润 设某产品的销售量为q 时的利润函数为)(q L L =，当)(q L 可导时，称)('q L 为销售量为q 时边际利润，它近似等于销售量为q 时再多销售一个单位产品所增加（或减小）的利润.由于利润函数为收入函数与总成本函数之差，即),()()(q C q R q L -=由导数运算法则可知).(')(')('q C q R q L -=即边际利润为边际收入与边际成本之差.例4 设某产品产量为q （单位：吨）时的总成本函数（单位：元）为.5071000)(q q q C ++=求：(1) 产量为100吨时的总成本；(2) 产量为100吨时的平均成本；(3) 产量从100吨增加到225吨时，总成本的平均变化率；(4) 产量为100吨时，总成本的变化率（边际成本）.解（1）产量为100吨时的总成本为22001005010071000)100(=+⨯+=C （元）.（2）产量为100吨时的平均成本为22100)100()100(==C C （元/吨）.（3）产量从100吨增加到225吨时，总成本的平均变化率为912522003325100225)100()225(=-=--=∆∆C C q C （元/吨）.（4）产量为100吨时，总成本的变化率即边际成本为|100)'5071000()100('=++=q q q C= 5.9257|100=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=q q （元）.这个结论的经济含义是：当产量为100吨时，再多生产一吨所增加的成本为9.5元. 例5 设某产品的需求函数为p q 5100-=，求边际收入函数以及20=q 、50和70时的边际收入.解 收入函数为pq q R =)(，式中的销售价格p 需要从需求函数中反解出来，即)100(51q p -=，于是收入函数为,)100(51)(q q q R -=边际收入函数为 ),2100(51)('q q R -=.8)70(',0)50(',12)20('-===R R R由所得结果可知，当销售量即需求量为20个单位时，再增加销售可使总收入增加，再多销售一个单位产品，总收入约增加12个单位；当销售量为50个单位时，在增加销售总收入不会再增加；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品，反而使总收入大约减少8个单位.（二）弹性分析弹性概念是经济学中的另一个重要概念, 用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度, 或者说一个经济变量变动百分之一时会使另一个经济变量变动百分之几.弹性分析也是经济分析中常用的一种方法,主要用于对生产、供给、需求等问题的研究.给定变量，它在某处的改变量称作绝对改变量.给定改变量与变量在该处的值之比称作相对改变量.定义 对于函数)(x f y =，如果极限x x y y x //l i m 0∆∆→∆存在，则)('lim //lim00x f y x dx dy y x y x x y x x y y x x =⋅=⋅∆∆=∆∆→∆→∆ 称作函数)(x f 在点x 处的弹性，记作E ，即.dx dy y x E =从定义可以看出, 函数)(x f 的弹性是函数相对改变量与自变量相对改变量比值的极限，它是函数的相对变化率，或解释成当自变量变化百分之一时函数变化的百分数.由需求函数)(p Q Q =可得需求弹性为.dp dQ Q p E Q =需求弹性Q E 表示某商品需求量Q 对价格p 的变动的反应程度. 根据经济理论，需求函数是单调减少函数，所以需求弹性一般为负值.利用供给函数)(p S S =，同样定义供给弹性.dp dS S p E S =例6 例6 设某商品的需求函数为,300002.0p e Q -= 求价格为100时的需求弹性, 并解释其经济含义.解 )'3000(300002.002.0p p Q e e p dp dQ Q p E --⋅==)02.0()3000(300002.002.0-⋅⋅=--p p e e p p 02.0-= 所以 .2)100(-=Q E它的经济意义是：当价格为100时，若价格增加1%，则需求减少2%.。
1.1.1变化率问题与导数概念
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度 统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还 快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95 奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪 录，他的平均速度达到8.52m/s。
1.1.1 变化率问题
问题1
吹气球
的值为-13.1 .
探1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度 究 怎样表示？ ？
瞬时速度，即是时间增量趋近于0时某一时刻的速度， 由极限的观点可知：当t 0, 时，
h t0Байду номын сангаас t h t0 瞬时速度为： lim t 0 t
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？
观 察 ？
当△t趋近于0时，平均 速度有什么样的变化趋 势？
我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从 小于2的一边，还是从大于2的一边趋近 v 于2时，平均速度 都趋近于一个确定 的值-13.1。
从物理的角度看： 时间间隔| △t |无限变小时，平均速度 v 就无限趋近于t=2时的瞬时速度。 所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
y f (x 2 ) f (x1 ) f (x 1 x) f (x 1 ) x x x 2 x1
问题: 平均变化率的几何意义是什么?
y f (x 2 ) f (x 1 ) x x 2 x1
y 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy), 则 =( x
)
A、3
B、3Δx-(Δx)2 D、3-Δx
C 、 3-(Δx)2
变化率问题
第三章 导数及其应用§3.1.1变化率问题教学目标：（一）知识与技能目标（1）理解掌握平均变化率的的概念，会用平均变化率解决一些实际问题；（2）平均变化率的几何意义.（二）过程与方法目标通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻 画变量变化快慢程度的一种数学模型；体会发现问题，分析问题，解决问题的过程；（三）情感态度与价值观感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问 题、解决问题的能力．教学重点：平均变化率的概念教学难点：平均变化率概念的形成过程 教学过程：（一）问题情境，引入课题（以姚明的身高为背景引入）问题1 篮球巨星姚明身高2.26，在他身高发展过程中有这样一段曲线：观察并思考： （1）图形有什么变化趋势？ （2）他在哪一个年龄段内身高变化最快？（3）从图上我们只能观察身高变化的一个大致趋势，华罗庚先生曾说过：形缺数时难入微，那么如果从数的角度，该如何刻画他的身高变化快慢呢？过渡： 其实前人早就做了这方面的研究，而且早在17世纪就已形成了系统的理论，这就是“微积分”理论．微积分是数学发展史上的继欧式几何后的又一划时代的伟大创造，恩格斯是这样评价微积分的：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程、运动”，称微积分是“人类精神的最高胜利”．对于微积分的创立，有两位2.26 2.12 ● ● ● ● ● ● 年龄身高 4 710 13 16 ● 19 22 0.8 1.61 ● ● ●● ● ● ●科学家做出了重大的贡献：牛顿和莱布尼兹。
今天我们一起来学习微积分的基础：导数的概念第一课——变化率问题．（板书课题） 变化率问题主要是研究变量变化快慢程度（二）实例分析，探究概念 1、身高变化率我们先来看看有没有什么办法解决问题1中的最后一个问题：如何从数的角度刻画他身高 变化快慢，也就是身高的变化率？刚才通过我们对图形的观察发现，在[13，16]里曲线最陡，其他两段比较平缓如果我们将这段曲线近似的看成直线段，我们是如何刻画直线的倾斜程度的？——直线的斜率，那么我们是否可以用同样的方法来刻画一下身高的变化率呢？计算：在[13，16]这个年龄段里，身高的变化率：17.0131661.112.2=--=年龄的差值身高的差值（米/年） 那么这个年龄段的最陡，比值算出来是0.17（米/年），其他两端稍微平缓一些，也请同学们计算一下[4,13]这个年龄段里，比值是09.04-138.0-61.1=（米/年） [16,22]这个年龄段里，比值是023.061-22.122-.262≈（米/年） 从三个比值可以看出，13—16岁这个年龄段比值最大，从图形上看这个是最陡的，所以我们从形和数两个方面都予以了刻画，形上，这个年龄段最陡；数上，这个年龄段比值最大。
新人教版数学选修2-2全册导学案精品(全品学案)
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
► 考点二 利用图像理解导数的几何意义
1.1. 3 │ 考点类析
y轴 x轴 锐角 钝角
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
► 考点二导数的运算法则在求导中的应用 可导
f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x) af′(x)＋bg′(x)
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
► 考点三 导数公式及运算法则在切线方程中的应用
切线
导数值 曲线
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
► 考点三 复合函数求导
1. 2.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 三维目标
三维目标
【知识与技能】 (1)感受平均变化率的实际背景，理解函数的平均变化率的概 念，会求函数的平均变化率． (2)通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变 化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是 导数． 【过程与方法】 (1)经历由实例抽象出平均变化率的过程，体会平均变化率的 思想及内涵，培养学生观察、归纳、类比、猜想、验证的数学 思想，体验由特殊到一般的逻辑思维过程．
第一章导数及其应用练习题
第一章导数及其应用1．1变化率与导数1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx等于()．A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)22．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．33．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为()．A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s4．已知函数y＝2＋1x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________.5．已知函数y＝2x，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.6．利用导数的定义，求函数y＝1x2＋2在点x＝1处的导数．7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()．A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.448．设函数f(x)可导，则limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于()．A．f′(1) B．3f′(1) C.13f′(1) D．f′(3)9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝v t，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．12．(创新拓展)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．导数练习题 2015年春第 3 页 共 16 页1.1.3 导数的几何意义1．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( )．A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( )． A ．2 B ．4 C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2 D ．63．设y ＝f (x )存在导函数，且满足lim Δx →0f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )． A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－24．曲线y ＝2x －x 3在点(1,1)处的切线方程为________． 5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件 lim x →0f (1)－f (1－x )2x＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________．6．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．7．设函数f (x )在x ＝x 0处的导数不存在，则曲线y ＝f (x )( )．A ．在点(x 0，f (x 0))处的切线不存在B ．在点(x 0，f (x 0))处的切线可能存在C ．在点x 0处不连续D ．在x ＝x 0处极限不存在 8．函数y ＝－1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是( )．A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4x ＋4D ．y ＝2x －49．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p的值为________．10．已知曲线y＝1x－1上两点A⎝⎛⎭⎪⎫2，－12、B（2＋Δx，－12＋Δy），当Δx＝1时割线AB的斜率为________．11．曲线y＝x2－3x上的点P处的切线平行于x轴，求点P的坐标．12．(创新拓展)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，Q(2，－1)，且在点Q 处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．导数练习题2015年春1．2导数的计算1．2.1几个常用函数的导数1．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则第1课时基本初等函数的导数公式1．已知f(x)＝x2，则f′(3)()．A．0 B．2x C．6 D．92．f(x)＝0的导数为()．A．0 B．1 C．不存在D．不确定3．曲线y＝x n在x＝2处的导数为12，则n等于()．A．1 B．2 C．3 D．44．设函数y＝f(x)是一次函数，已知f(0)＝1，f(1)＝－3，则f′(x)＝________. 5．函数f(x)＝x x x的导数是________．6．在曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过P点的切线与直线y＝4x－7平行．7．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N，则f2010(x)＝()．A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x第 5 页共16 页8．下列结论①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 9．曲线y ＝4x 3在点Q (16,8)处的切线的斜率是________． 10．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．12．(创新拓展)求下列函数的导数：(1)y ＝log 4x 3－log 4x 2；(2)y ＝2x 2＋1x －2x ；(3)y ＝－2sin x 2(2sin 2x4－1)．导数练习题 2015年春第 7 页 共 16 页第2课时 导数的运算法则及复合函数的导数1．函数y ＝cos x1－x的导数是( )． A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x2．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )． A.193 B.103 C.133 D.163 3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )．A.11＋x B ．－11＋x C.1(1＋x )2 D ．－1(1＋x )24．若质点的运动方程是s ＝t sin t ，则质点在t ＝2时的瞬时速度为________． 5．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.6．过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．7．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为()．A．ab B．－a(a－b) C．0 D．a－b8．当函数y＝x2＋a2x(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝()．A．a B．±a C．－a D．a29．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.10．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为________．11．曲线y＝e2x·cos 3x在(0,1)处的切线与直线L的距离为5，求直线L的方程．12．(创新拓展)求证：可导的奇函数的导函数是偶函数．导数练习题 2015年春第 9 页 共 16 页1.3 导数在研究函数中的应用1．3.1 函数的单调性与导数1．在下列结论中，正确的有( )． (1)单调增函数的导数也是单调增函数； (2)单调减函数的导数也是单调减函数； (3)单调函数的导数也是单调函数；(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的． A ．0个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间是( )．A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)3．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ≥1 B ．a ＝1 C ．a ≤1 D ．0<a <1 4．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________．5．若三次函数f (x )＝ax 3＋x 在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a 的取值范围是________．6．已知x >1，证明：x >ln(1＋x )．7．当x >0时，f (x )＝x ＋2x 的单调递减区间是( )．A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2) 8．已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能是( )．9．使y ＝sin x ＋ax 为R 上的增函数的a 的范围是________． 10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.11．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y ＝f (x )的递增区间．12．(创新拓展)求下列函数的单调区间，并画出大致图象： (1)y ＝x ＋9x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.导数练习题 2015年春第 11 页 共 16 页1.3.2 函数的极值与导数1．下列函数存在极值的是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝x 3＋x 2＋2x －3D ．y ＝x 32．函数y ＝1＋3x －x 3有( )．A ．极小值－1，极大值1B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－2，极大值2D ．极小值－1，极大值33．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )．A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点4．设方程x 3－3x ＝k 有3个不等的实根，则常数k 的取值范围是________．5．已知函数y ＝x 2x －1，当x ＝________时取得极大值________；当x ＝________时取得极小值________．6．求函数f (x )＝x 2e －x 的极值．7．函数f (x )＝2x 3－6x 2－18x ＋7( )．A ．在x ＝－1处取得极大值17，在x ＝3处取得极小值－47B ．在x ＝－1处取得极小值17，在x ＝3处取得极大值－47C．在x＝－1处取得极小值－17，在x＝3处取得极大值47D．以上都不对8．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()．A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x9．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．10．函数y＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．11．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时函数有极大值3，(1)求a，b的值；(2)求函数y的极小值．12．(创新拓展)设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．导数练习题 2015年春第 13 页 共 16 页1．3.3 函数的最大(小)值与导数1．函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是( )．A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 22．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )．A ．0≤a <1B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <123．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )．A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c )4．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________． 5．函数f (x )＝sin x ＋cos x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大、最小值分别是________． 6．求函数f (x )＝x 5＋5x 4＋5x 3＋1在区间[－1,4]上的最大值与最小值．7．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )．A ．－173B ．－103C ．－4D ．－6438．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()．A．－37 B．－29 C．－5 D．－119．函数f(x)＝4xx2＋1，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________．10．如果函数f(x)＝x3－32x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．11．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．12．(创新拓展)已知函数f(x)＝x2e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值．导数练习题 2015年春第 15 页 共 16 页1.4 生活中的优化问题举例1．如果圆柱截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43πD.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π 2．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( )．A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr D.12πr 2 3．某公司生产一种产品， 固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )． A ．150 B ．200 C ．250 D ．3004．有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x ＝________.5．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．6．如图所示，已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．7．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()．A.3V B.32V C.34V D．23V8．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()．A.32 3 cm2B．4 cm2 C．3 2 cm2D．2 3 cm29．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．10．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？12．(创新拓展)如图所示，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？。
导数第一节1.1.1-1.1.3
P
α
o
x 我们发现,当点 沿着曲线无限接近点P即 当点Q沿着曲线无限接近点 我们发现 当点 沿着曲线无限接近点 即 割线PQ如果有一个极限位置 Δx→0时,割线 如果有一个极限位置 则我 → 时 割线 如果有一个极限位置PT.则我 们把直线PT称为曲线在点 处的切线 们把直线 称为曲线在点P处的切线. 称为曲线在点 处的切线
2 ∆t →0
= −9.8t0 + 6.5
y = f ( x)
处的瞬时变化率怎样表示? 函数在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) △y lim = lim ∆x→0 △ x ∆x→0 ∆x
导数的定义: 4. 导数的定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
1.1变化率与导数 1.1变化率与导数
1.变化率 1.变化率 一个变量相对于另一个变 量的变化而变化的快慢程度叫 做变化率． 变化率．
问题1 问题 气球膨胀率
3V r (V ) = 3 4π
当空气容量从V 增加到V 气球的平 当空气容量从 1增加到 2时,气球的平 气球的 均膨胀率是多少 均膨胀率是多少? 是多少
练习: 位移s(t)(单位:m)与时间t(单位: s) 的关系为: s(t ) = 3t +1, 求t = 2时的瞬时速度v.
△s s (2 +△t ) − s (2) 解 v = s (2) = lim = lim △ t → 0 △t △t →0 △t
＇
[3(2 +△t) + 1] − (3 × 2 + 1) = lim = lim 3 = 3 △ t→0 △ t →0 2
§1 变化的快慢与变化率
分析：我们通常用平均速度来比较运动的快慢.
在0～2秒这段时间内，物体的平均速度为
60 3(米 / 秒)； 20
在10～13秒这段时间内，物体的平均速度为
32 20 4(米 / 秒) 13 10 显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快.
问题2 某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示：
第二章 变化率与导数
§1 变化的快慢与变化率
世界上变化无处不在，如何刻画事物变化的快慢呢？
银杏树高:15米 树龄:1000年
﹤
雨后春笋高:15厘米 时间:两天
1.理解函数平均变化率及瞬时变化率的概念. 2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率，及某一 点的瞬时变化率.（重点） 3.理解平均变化率及瞬时变化率的意义，能够解释 生活中的现象.（难点）
时间下降得比从0min到20min这段时间要快.
分析：
上面的第一个问题中，我们用一段时间内物体的平均 速度刻画了物体运动的快慢，当时间从t0变为t1时， 物体所走的路程从s(t0)变为s(t1)，这段时间内物体
（t1 ）（ -s t 0） 的平均速度 = s
第二个问题中，我们用一段时间内体温的平均变化率 刻画了体温变化的快慢，当时间从x0变为x1时，体温
选修2-2第一章1.1变化率与导数教案打印
课题：§1.1.1变化率问题课题：§1.1.2导数的概念课题：§1.1.3导数的几何意义教学班级教学目的1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题教学难点 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义知识重点导数的几何意义教学过程方法和手段一．创设情景（一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？二．新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆图3.1-2说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念： ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线：1)与该点的位置相关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存有,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,能够有多个,甚至能够无穷多个. （二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤： ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. 三．典例分析例1：（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的切线.解：（1）222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，所以，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -= （2）因为222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，所以，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．从图3.1-3能够看出，直线1l 的倾斜水准小于直线2l 的倾斜水准，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：min ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，能够得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作0.8t =处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.911.41.00.7k -=≈--，所以 (0.8) 1.4f '≈-下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：例4、求曲线11+=x y 在点（1，21）处的切线方程。
1[1].1.1变化率问题
![1[1].1.1变化率问题](https://img.taocdn.com/s3/m/65a62c7df242336c1eb95e99.png)
2
65 探究 计算运动员在0 t 这段时间 49 里的平均速度, 并思考下面的问题 :
1 运动员在这段时间里是静止的吗 ? 2 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
状态有什么问题吗 ?
h t2 h t1 h v t t2 t1
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10 65 的图像，结合图形可知， h( ) h(0) ， 49 所以， h
65 探究 : 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度 49 并思考下面的问题 :
,
1 运动员在这段时间里是 静止的吗 ? 2你认为用平均速 度描述 运动员运 动状态有什么问
题吗 ?
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合 65 图形可知： h( ) h(0)
题型三：平均变化率的应用 例3：试比较正弦函数y=sinx在x=0和 x 附近的平均变化率哪一个大？
2
练习
1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临 近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( A.3 )D
B 3Δx-(Δx)2 C . 3-(Δx)2 D . 3-Δx
第一章 导数及其应用
1.1.1 变化率问题
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是V r r , 3
r 1 r 0 0.62cm ,
2020版高中数学人教B版选修2-2课件：1.1.1 函数的平均变化率
【解析】质点在2到2+Δt之间的平均速度为
［(2 t)2 1］ 22 1 4t (t)2
v
4 t.
t
t
又 v≤5,即4+Δt≤5,
所以Δt≤1.
又Δt>0,
所以Δt的取值范围为(0,1]. 答案:(0,1]
【易错误区案例】 求解函数的平均变化率问题 【典例】函数y=2x2+3x在[1,2]内的平均变化率为_-_9_.
y x
f x2 f x1
x2 x1
公式中Δx与Δy可能同号,也可能异号.
(3)×.函数值的改变量应是f(x0+Δx)-f(x0).
2.若已知函数f(x)=x2-1的图象上一点(1,0)及附近一 点(1+Δx,Δy),则Δy的值为________. 【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)= (1+Δx)2-1=(Δx)2+2Δx. 答案:(Δx)2+2Δx
33 3
所以函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.
【方法技巧】 比较平均变化率的方法步骤
(1)求出两不同点处的平均变化率. (2)作差(或作商),并对差式(或商式)作合理变形,以 便探讨差的符号(或商与1的大小). (3)下结论.
【补偿训练】一质点做直线运动,其位移s与时间t的 关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的 平均速度不大于5,则Δt的取值范围是______.
为 f x1 f x2 ?
x1 x2
提示:能.若从x1变为x2,平均变化率为
若从x2变为x1,平均变化率为
而 f x2 =f x1 f x.1 f x2
f x1 f,
教学设计5：1.1.1变化率问题
说教学设计《平均变化率》大家好，我说课的题目是《平均变化率》，我将从教材、目标、教法、教学过程和评价反馈分析五个方面进行陈述。
一、教材分析《导数及其应用》在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。
新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式。
而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法，分别从代数上的减小区间长度,使区间长度逼近于一个点和几何上的减小割线两点间的距离,使割线逐渐逼近于切线,这两个数形结合的角度定义导数.这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，最重要的是能够突出了导数概念的本质。
而我今天说课的内容《平均变化率》又是《导数及其应用》的第一课时，对下一步瞬时变化率和导数概念的形成起到重要的奠基作用。
二、目标分析在讲课的过程中，我们要让学生有一个经历、体会、运用、感受的过程。
于是，我将本堂课的教学目标定为：（1）知识与技能目标要求学生能通过大量实例直观感知、构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解平均变化率的实际意义和数学意义.为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
（2）过程与方法目标通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；（3）情感、态度、价值观感受数学模型在刻画客观世界中的作用，进一步领会变量数学的思想方法，提高能力。
根据课标要求，结合实际情况，我确定平均变化率的概念及其形成过程为教学重点，通过实例理解平均变化率的实际意义和数学意义是本节课的难点。
三、教法分析启发式教学与探究式学习相结合。
通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。
课件3：1.1.1 函数的平均变化率
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
高中数学人教A版选修-学案第一章
Δs
Δt
∴在 t＝2 时，瞬时速度为 △li mx－0 Δt ＝4a,4a＝8，∴a＝2.
10．已知函数 f(x)＝Error!求 f′(4)·f′(－1)的值．
1
1
解：当 x＝4 时，Δy＝－
＋ 4＋Δx
4
1 ＝2－
1
4＋Δx－2 ＝
4＋Δx 2 4＋Δx
＝ 2
4＋Δx
Δx 4＋Δx＋2
.
7
Δy
②lim ΔΔyt＝lim[3t21＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t12＝48，
故函数 y＝t3＋3 在 t1＝4 处的导数是 48，
即 y′|t1＝4＝48.
1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量ΔΔyy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率Δx＝f
x0＋Δx －f Δx
x0
；
(3)求极限 lim ΔΔxy.
2．瞬时变化率的变形形式
f x0＋Δx －f x0
lim
Δx
f x0－Δx －f x0
＝lim
－Δx
f x0＋nΔx －f x0
＝lim
nΔx
f x0＋Δx －f x0－Δx
＝lim
2Δx
＝f′(x0)．
[活学活用]
求函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数．
解
：因为
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
Δs 3Δt－ Δt
＝ Δt
Δt
2
＝3－Δt，lim
Δs＝lim Δt
(3－Δt)＝3.
∴物体的初速度为 3.
1.1.1函数的平均变化率
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx， x0])的平均变化率．
1．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域
本 课
内不同的两点，记Δx＝ x1－x0 ，Δy＝y1－y0＝f(x1)－
A. 2Δt＋4 B. －2Δt＋4 C. 2Δt－4 D. －2Δt－4
解析：ΔΔst＝4－21＋ΔtΔ2t－4＋2×12
＝－4Δt－Δt 2Δt2
＝－2Δt－4. 答案：D
例 1 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示， 试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月 该婴儿体重的平均变化率．
本 课 时
y＝f(x)上任意不同的两点，函数 y＝f(x) 的平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1
栏 目
为割线 AB 的斜率．
开 关
x1，x2 是定义域内不同的两点，因此 Δx≠0，但 Δx 可正也可
负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应 Δx＝x2－x1 的改变量，Δy 的值可
你能从数学的角度来反映山坡的 平缓和陡峭程度吗？
怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A 是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y＝f(x)表示.
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在 的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).
(3)实质： 函数值 的改变量与 自变量 的改变量 之比 .
(4)作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])上变化的快慢.
1.1.1函数的平均变化率
以用起点、 以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之
由此我们引出函数平均变化率的概念。 由此我们引出函数平均变化率的概念。 函数平均变化率的概念
函数平均变化率的概念： 函数平均变化率的概念： 一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定 一般地，已知函数 ， 义域内不同的两点， 义域内不同的两点，记△x=x1－x0， △y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0). － △ － 则当△x≠0时 则当△x≠0时，商
= 2x0 + ∆x
由上式可以看出， 取定值时， 由上式可以看出，当x0取定值时，△x 取不同的值，函数的平均变化率不同， 取不同的值，函数的平均变化率不同，当 取定值， 取不同的值时， △x取定值，x0取不同的值时，该函数的平 取定值 均变化率也不一样。 均变化率也不一样。 例如， 取正值，并不断增大时， 例如，x0取正值，并不断增大时，该函 数的平均变化率也不断地增大， 数的平均变化率也不断地增大，曲线变得 越来越陡峭。 越来越陡峭。
2. 一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一 一质点运动的方程为 － 段时间[1， 内的平均速度为 内的平均速度为（ 段时间 ，2]内的平均速度为（ C ） A．－ ．－4 ．－ C． －6 ． B．－ ．－8 ．－ D．6 ．
3. 将半径为 的球加热，若球的半径增加 将半径为R的球加热 的球加热， 等于（ △R，则球的表面积增加△S等于（ B ） ，则球的表面积增加△ 等于 A． 8πR∆R ． B． 8πR∆R + 4π (∆R ) ．
1.1.1 函数的平均变化率
微积分主要与四类问题的处理相关: 微积分主要与四类问题的处理相关 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 已知物体运动的路程作为时间的函数 求物体在任意时刻的速度 加速度等 速度与 求物体在任意时刻的速度与加速度等; 曲线的切线; 二、求曲线的切线 求已知函数的最大值与最小值 最大值与最小值; 三、求已知函数的最大值与最小值 四、求长度、面积、体积和重心等。 长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（ 函数增减、变化快慢、最大（小）值等问 题最一般、最有效的工具。 题最一般、最有效的工具。
sect;1.1.1—2变化率问题、导数的概念
§1.1.1—2变化率问题、导数的概念※ 典型例题[解析]0000000()()[()]()lim lim ()()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆.故选B1. 解:B 计算0lim x ∆→(1)(1)s s t s tt∆+∆-=∆∆即可2. 【解题思路】计算连续函数()y f x =在点0x x =处的瞬时变化率实际上就是()y f x =在点0x x =处的导数.:解析：加速度v =tt ts t s t t ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆225)5(lim )5()5(limlim →∆=t (10+Δt )=10 m /s.※ 当堂检测：1. B2. B3. C4. 18 ；5. 1 ；6.．3 ；一、选择题 1．[答案] C[解析] 由定义，f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近的常数，故应选C.2．[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 2，x ＝1， ∴Δy ＝f (1＋Δx )2－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2·Δx ＋(Δx )2 ∴Δy Δx ＝2＋Δx 当Δx →0时，ΔyΔx →2 ∴f ′(1)＝2，故应选B. 3．[答案] D[解析] ∵Δs Δt ＝4(5＋Δt )2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt ，∴s ′(5)＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0 (40＋4Δt )＝40.故应选D.4．[答案] C[解析] 由导数的定义可知C 错误．故应选C. 5．[答案] D[解析] 当f (x )＝b 时，f ′(x )＝0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D.6．[答案]C [解析] li m x →a f (x )－f (a )x －a＝li m x →a 1x －1ax －a＝li m x →aa －x (x －a )·xa ＝－li m x →a 1ax ＝－1a2二、填空题7．[答案] －11，－112[解析] li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)＝－11；li m x →x 0f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝－12m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝－12f ′(x 0)＝－112.8． [答案] 0[解析] ∵Δy ＝⎝⎛⎭⎫1＋Δx ＋11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1＋11＝Δx －1＋1Δx ＋1＝(Δx )2Δx ＋1，∴Δy Δx ＝Δx Δx ＋1.∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 ΔxΔx ＋1＝0.三、解答题9．[解析] 由导数定义有f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝li m Δx →0Δx (2x 0＋Δx )Δx＝2x 0，10．解析] 位移公式为s ＝12at 2∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－1220＝at 0Δt ＋12(Δt )2∴Δs Δt ＝at 0＋12Δt ， ∴li m Δt →0Δs Δt ＝li m Δt →0 ⎝⎛⎭⎫at 0＋12a Δt ＝at 0，已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， ∴at 0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.11．[解析] (1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(1＋Δx )2＋3－12－3Δx＝2＋Δx .(2)f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.§1.1.3导数的几何意义※ 典型例题【解题思路】：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值； 点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。
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§1.1.1 变化率问题
T (℃ ) 30
B(32,18.6)
C (34,33.4)
yC yB 比值 xC xB
近似地量化BC这一段曲 线的陡峭程度,并称该比 值为气温在 [32,34] 上的 平均变化率.
10
A(1,3.5)
2 01
10
20
30
34
t(d)
【问题3】分别计算气温在区间[1,32] ,[32, 34]的平 均变化率. 0.5, 7.4
y
甲 : W1 ( t ) 标准 乙 : W2 ( t )
O
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t1
t0
x
§1.1.1 变化率问题
【变式 2】向高为 H 的水瓶 中注水,注满为止,如果注水量 y 与水深 x 的函数关系的图像如 图所示,那么水瓶的形状 ( A )
y
O
H
x
A
B
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C
D
§1.1.1 变化率问题
问题1：本节课你学到了什么？ ①函数的平均变化率的概念； ②利用平均变化率来分析解决实际问题 问题2.解决平均变化率问题需要注意什么？
§1.1.1 变化率问题
求函数y = f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化 率的步骤：
(1)求自变量的增量 (2)求函数的增量
(3)求平均变化率
x x2 x1
y f ( x2 ) f ( x1 )
y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
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§1.1.1 变化率问题
主页
§1.1.1 变化率问题
2 【 2】 已知函数f ( x ) x x的图像上的
一点A( 1， 2)及附近一点B( 1 x， 2 y )， 2 y y ( x ) 3x 则 3 x . 3 x x x x
t 3,则在时间 6 t . (3， 3 t )中相应的而平均速度为 _______
1 . x0 x x 0
【 1】 求函数y x 1 在2到2+x之间的平均变化率. x x , 解 : y (2 x ) 1 (2 1 ) x 2(2 x ) 2 x 2 x x y 2(2 x ) 1 1 . x x 2(2 x )
(1)自变量的改变量 x x2 x1 ,
(２)函数值的改变量 y f ( x2 ) f ( x1 )，
(３)平均变化率的记法
y f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x x ) f ( x ) . x x2 x1 x x
丰富多彩的变化率问题随处可见,让我们从其 中的两个问题,开始变化率与导数的学习吧!
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§1.1.1 变化率问题
问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球, 吹气球的过程,可以发现, 随着气球内空气容量的增加 , 气球的半径增加 得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
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§1.1.1 变化率问题
问题1
y
f ( x2 )
思 考：
y f ( x)
f ( x2 ) f ( x1 )
f ( x1 )
x2 x1 观察函数f ( x )的图 像，平均变化率 x1 x2 O y f ( x2 ) f ( x1 ) 的几何意义是什么？ x x2 x1
x
它是曲线y f ( x )上的点( x1，f ( x1 ))， ( x2，f ( x2 ))两点的割线的斜率 .
人教A版选修2-2《导数及其应用》变化率与导数
1.1.1 平 均 变 化 率
§1.1.1 变化率问题
某市2008年4月20日最高气温为33.4℃,而4月19日和 4月18日的最高气温分别为24.4℃, 和18.6℃，短短两天 时间，气温陡增14.8℃,闷热中的人们无不感叹：“天 气热得太快了！”
T (℃)
r (2) r (1) 0.16 (dm / L). 21
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§1.1.1 变化率问题
问题1
气球膨胀率
可以看出,随着气球体积逐渐变大, 它的平均膨胀率 逐渐变小了.
1.当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀 率是多少? r (V2 ) r (V1 )
V2 V1 .
2.函数 r (v )
但实际情况是运动员仍然运动, 并非静止. (2) 用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
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§1.1.1 变化率问题
1.平均变化率的定义
f ( x2 ) f ( x1 ) 对于函数y f ( x ),式子 称为函数 x2 x1 f ( x)从 x1到 x2的平均变化率.
x是一个整体符号, 而不是与x相乘.
3
3v 的图象 4
y
o
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x
§1.1.1 变化率问题
问题2 高台跳水 人们发现，在高台跳水运动中，运动员 相对于水面的高度 h（单位：m）与起跳后的 时间 t（单位：s） 存在函数关系 2 h(t ) 4.9t 6.5t 10.
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§1.1.1 变化率问题
问题2
高台跳水
我们用运动员某段时间内的平均速度v描述 其运动状态, 那么
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§1.1.1 变化率问题
例1.求函数y x 在x0到x0 +x之间的平均变化率. 解 : y x0 x x0 ,
y x x0 x x0 ( x0 x x0 )( x0 x x0 ) x x ( x0 x x0 )
【变式1】甲、乙两人跑步,路程与时间关系如图1及 百米赛跑路程与时间关系分别如图2所示,试问： (1)在这一段时间内甲、乙两人哪一个跑的较快？ (2)甲、乙两人百米赛跑，问快到终点时,谁跑的较快？
路程 路程
乙
100m
甲
甲 乙
O
图1
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t
O
图2
t0
t
§1.1.1 变化率问题
【变式2】国家环保总局对长期超标准排放污物， 污染严重而又未进行治理的单位，规定出一定期限， 强令在此期限内完成排污治理.下图是国家环保总局在 规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测 的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？ 为什么？ 答: 甲企业好一些.
① 分清所求平均变化率类型(即什么对象的平均变化率) ② 两种处理手段：
(1)看图
(2)计算
问题3.本节课体现了哪些数学思想方法？
①数形结合的思想方法 ②从特殊到一般、从具体到抽象的推理方法
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一 种粗略的刻画 --------导数
主页
§1.1.1 变化率问题
y
r (1) r (0) 气球的平均膨胀率为 0.62 (dm / L). 1 0 类似地，当空气容量V从1L增加到2L时，气球半 径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？
气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
气球半径增加了
r (1) r (0) 0.62 (cm);
r (2) r (1) 0.16 (cm);
4 3
[1, 1.1] [1,1.001]
[0.999, 1] [0.99, 1] [0.9, 1]
主页
2.1
2.001
2
1.999 1.99
1.9
§1.1.1 变化率问题
例2引申： 已知函数f(x)=x2. 问题(1)求函数在[1, a] (a>1)上的平均变化率； 平均变化率为 a+1 问题(2)当a趋近于1时，函数在[1, a] 上的平均 变化率有何趋势？ 平均变化率趋近于2 探索：一次函数f(x)=kx+b在区间[m,n]上的平 均变化率有何特点？
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§1.1.1 变化率问题
【1】设函数 y = f(x)，当自变量 x 由 x0 改变到
x0 x 时,函数的增量 y 等于（ D ）
A． f ( x 0 x) C． f ( x0 )x) B． f ( x 0 ) x D． f ( x0 x) f ( x0 )
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f (m ) f (n) km b (kn b) k mn mn 结论：一次函数f(x)=kx+b在区间[m, n] 上的平均变 化率就等于k.
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§1.1.1 变化率问题
美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙 试验”.试验人员把一只健壮的青蛙投入热水锅 中，青蛙马上就感到了危险,拼命一纵便跳出了 锅子.试验人员又把该青蛙投入冷水锅中,然后开 始慢慢加热水锅 . 刚开始 , 青蛙自然悠哉游哉 , 毫 无戒备 . 一段时间以后 , 锅里水的温度逐渐升高 , 而青蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险,最 后,一只活蹦乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死 了.
气球膨胀率
我们知道，气球的体积 V（单位：L）与 半径 r（单位：dm） 之间的函数关系是
3 4 V (r ) r , 3
如果将半径 r 变为体积 V 的函数，那么
r (V ) 3 3V . 4
主页
§1.1.1 变化率问题
问题1
气球膨胀率
当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了多 少？气球的平均膨胀率为多少？
3 6 12
解:前3个月体重的平均变化率
6.5 3.5 1(kg / 月); 30
第6个月到第12个月体重 的平均变化率 11 8.6 0.4(kg / 月). 12 6 T(月)
结论：该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比第 6个月到第12个月体重增加的速度要快.
主页
§1.1.1 变化率问题
2
2 ( t ) 6 t s 6 t t t
【 3】 质点运动规律为s