运筹学课件

x1 2x2 8
s.t.
4x1 16 4x2 12
x1, x2 0
max z 50x1 50x2
x1 x2 300
s.t.
2
x1 x2
x2 400 250
x1, x2 0
max z x1 x2
s.t.
凸集
顶点
凸集
不是凸集
5、单纯形法基本原理
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸集。
定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶 点。
定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最 优解。（在某个顶点取得）
线性规划问题的单纯形法例题
max z 2x1 3x2
a11 a1m
B







(
p1

pm
)
am1
amm
称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。与基向量Pj
对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。
基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，
由约束条件方程(2)解出基变量，称这组解
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
aij x j bi
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
变量 x j 的0变换
可令 xj x j ，
x

j
s.t.


x1 x2 40 x1 30
x1, x2 0
线性规划的对偶模型
1. 对偶问题的现实来源
• 设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4 种设备按A，B，C，D顺序加工，每件产品加 工所需的机时数、每件产品的利润值及每种设 备的可利用机时数列于下表 ：
产品
设备
产品利润
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
2. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
传统OR特征
以整体优化为核心 以模型化为特征 以计算机为主要实现手段 多学科交融 研究对象是结构化的系统
OR今后发展
•研究半结构化与非结构化系统。 •决策者要更多地参与，起更大的作用
•刚性模型→柔性模型 •用适当的满意解取代最优解 •运行方式：由纯程序化求解转为探索式、适当的人机交互式 求解。
第一部分：线性规划与对偶理论
x

3
2(
x3
x3) x3)
x5 2 5
x1 , x2 , x3 , x3, x4 , x5 0
化标准型
min z 3x1 4x2 2x3 5x4
4x1 x2 2x3 x4 2
s.t.
2x1x1x32 x23x3x3x24
3）给出问题坏的答案的艺术，否则结果会更 坏。
运筹学四大来源
军事: 1）如何合理运用雷达有效地对付德军的空袭 2）对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜艇攻击时损
失最少； 3）在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深度，才能增
加对德国潜艇的杀伤力等。
管理：生产计划问题；合理下料问题；库存问题等
经济：数量经济学对OR的发展作出了很大贡献。《对策论 与经济行为》等。
3xx11

x2 2 x2
1
6
x1, x2 0
max z 2x1 3x2
x1 x2 350
s.t.
2
x1 x1
125 x2 600
x1, x2 0
max z 2x1 3x2
3x1 10x2 150
立方米支流。第一化工厂每天排放有某种有害物质的工业污
水2万立方米，第二化工厂每天排放这种工业污水1.4万立方
米。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有
20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量应 不大于0.2%。这两个工厂都需各自处理自己排放的一部分工 业污水。第一化工厂处理工业污水的成本是1000元/万立方米， 第二化工厂处理工业污水的成本是800元/万立方米。问在满
运筹学（OR）概念
1）系统工程的最重要的理论基础之一，在美 国有人把运筹学称之为管理科学 (Management Science)。运筹学所研究的问 题，可简单地归结为一句话：“依照给定条 件和目标，从众多方案中选择最佳方案”， 故有人称之为最优化技术。
2）为管理（决策）者提供量化分析工具的 学科。
足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两
工厂总的处理工业污水费用最小。
工厂1
500
万立
方米
200
工厂2
万
立
方
第一部分：线性规划与对偶理论
1. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
可行解：满足约束条件(2)、(3)的解为可行解。所有可行解的 集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
基：设A为约束条件(2)的m×n阶系数矩阵(m<n)，其秩为m， B是矩阵A中m阶满秩子矩阵（∣B∣≠0），称B是规划问题的 一个基。设：
• 3. 线性规划问题的标准形式
n
max Z c j x j j1
s.t

n
aij x j
j1

bi
i 1,2,, m
x j 0, j 1,2,, n
特点：
(1) 目标函数求最大值（有时求最小值）
(2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知条件如 表所示。该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品 II可获利3元，问应如何安排计划使该工厂获利最多？
I
II
设备
1
2
8台时
原料A 4
0
16kg
原料B 0
4
12kg
第一部分：线性规划与对偶理论
例2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量 为每天500万立方米，在两个工厂间有一条流量为每天200万
用 x3 替x3换 ，且x3
x3 , x3 0
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1), 将右端常数项化为正数；
课程主要内容
•第一部分：线性规划与对偶理论 •第二部分：数据包络分析（DEA） •第三部分：非线性规划 •第四部分：支持向量机（SVM）（人工神经网络） •（最优控制理论）
主要参考文献
•《运筹学》教材编写组，清华大学出版社，2005，12
•魏权龄，《数据包络分析》，科学出版社，2004，8
•魏权龄，《评价相对有效性的数据包络分析模型》， 中国人民大学出版社，2012，8 •邓乃扬等，《数据挖掘中新方法——支持向量机》， 科学出版社，2004，6 •（蒋中一著，王永宏译，《动态最优化基础》，商务 印书馆，2003，8） •相关的期刊，硕博士论文。
为基解。在基解中变量取非0值的个数不大
于方程数m，基解的总数不超过
C
m n
基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，
简称基可行解。
可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
5、单纯形法基本原理
凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点 也都是集合C中的点，称C为凸集。
bm
矩阵形式：
max (min)Z CX
AX ( ) B

X

0
其中： C (c1 c2 cn )
a11 a1n
A






am1 amn
x1
X




xn
b1
B




bm
如何化标准形式
目标函数的转换
如果是求极小值即
minz


c
j
x
，则可将目标函数乘以(-1)，
j
可化为求极大值问题。
即 maxz z c j x j
也就是：令 z z，可得到上式。
变量的变换
若存在取值无约束的变量 x，j可令 x j xj xj 其中：xj , xj 0
A
B
C
D （元／件）
甲
2
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
设备可利用机时数 （时）
12
8
16 12
问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能
获得最大利润？
•解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数 学模型为：max z 2x1 3x2