2.1数学归纳法及其应用举例(2)ppt

练习：判断下列推证是否正确？ 练习：判断下列推证是否正确？ 1 1 1 1 1 n 求证： ＋ 2 ＋ 3 ＋⋯＋ n = 1 − ( ) 2 2 2 2 2
等式成立 n=k时 ②设n=k时，有 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1 = 1 − ( 1 ) k 2 3 k
1 1 1 1 证明： n=1 左边＝ 右边＝ 证明：①当n=1时，左边＝ 右边＝1 − = ， 2 2 2
2.1数学归纳法及其应用举例 数学归纳法及其应用举例(2) 数学归纳法及其应用举例
复习引入： 复习引入：
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法 其格式主要有两个步骤、一个结论: 其格式主要有两个步骤、一个结论: =1或 时结论正确； （1）验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确； 验证当n取第一个值n 验证初始条件 假设n=k时结论正确，证明n=k+ 时结论也正确； n=k时结论正确 n=k+1 （2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确； 假设推理 用上假设 得出结论. （3）由（1）、（2）得出结论. 递推才真 点题
思考1：下列推证是否正确，并指出原因. 思考 ：下列推证是否正确，并指出原因
用数学归纳法证明： 用数学归纳法证明： 2 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2n = n + n + 1 证明： 等式成立， 证明：假设 n = k 时，等式成立， 2 就是 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2k = k + k 那么 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2k + 2(k + 1)
根据①②问可知， 等式成立. 根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立. ①②问可知
用数学归纳法证明： 例2.用数学归纳法证明： 用数学归纳法证明 1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2 × × ×
× ＝ 1)第一步应做什么？此时n0= 1 ，左= 1×4＝4 ， 第一步应做什么？此时 第一步应做什么 1 × × ＋ 2 当n=2时，左＝ 1×4+2×7 时 ，右＝ 2(2＋1) . 当n=k时，等式左边共有 k 项， 时 − − 第(k−1)项是 (k−1) ×[3(k−1)+1] − 项是
2
1 1 = , (1)当n=1时,左边 1 • 2 2 左边= 当 时 左边 1 1 = 右边= 右边 1 + 1 2
(2)假设 假设n=k(k∈N*)时命题成立 ， 假设 ∈ 时命题成立
1 1 1 k + +⋯+ = 1• 2 2 • 3 k • ( k + 1) k + 1
那么n=k+1时, 时 那么 1 1 1 1 左边 = ( 1 − ) + ( − ) + ⋯ + (
2)假设 假设n=k时命题成立 即 时命题成立,即 假设 时命题成立 1 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝ k (k + 1)(k + 2) × ＋ × ＋ × ＋ ＋ ＝
3
则当n=k+1时 则当n=k+1时， 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + k ( k + 1) ＝ =
练习巩固
1.求证 当 ∈ 时 1.求证:当n∈N*时， 求证
1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + ⋯+ − = + + ⋯+ 2 3 4 2n − 1 2n n + 1 n + 2 2n
n ( n +1) 1 + 2 + 3 + ... + n = 4
2 3 3 3 3
2.求证 当 ∈ 时 2.求证:当n∈N*时， 求证
凑结论
时命题正确。 ∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 时命题正确 和 知
n ∈ N ∗ ，命题正确。
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）； ）明确首先取值 并验证命题真假（必不可少）； 2）“假设 时命题正确” ） 假设n=k时命题正确”并写出命题形式； 时命题正确 并写出命题形式； 3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形 ）分析“ 时 命题是什么，并找出与“ 时命题形 式的差别，弄清左端应增加的项； 式的差别，弄清左端应增加的项； 4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘 ）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法： 法公式、因式分解、添拆项、配方等； 法公式、因式分解、添拆项、配方等； 5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立： ）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立： 递推基础不可少，归纳假设要用到， 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉
写明结论 才算完整
例1、用数学归纳法证明： 、用数学归纳法证明：
n ( n + 1 )( 2 n + 1 ) 6 1(1+ 1)(2 + 1) 证明： 、 证明：1、当n=1时,左=12=1，右= 时左 ， =1 6 ∴n=1时，等式成立 时 12 + 22 + 3 2 + … + n 2 =
2、假设n=k时，等式成立，即 、假设 时 等式成立， k(k + 1)(2k + 1) 2 2 2 2 1 + 2 + 3 +…+ k = 6 那么， 那么，当n=k+1时 时 k(k + 1)(2k + 1) 2+22+…+k2+(k+1)2= + (k + 1)2 左=1 6 k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = = 6 6 =右 右 ∴n=k+1时，原不等式成立 时 知当n∈ 由1、2知当 ∈纳法是一种完全归纳法 ，它是在可 数学归纳法是一种完全归纳法 靠的基础上，利用命题自身具有的传递性， 靠的基础上，利用命题自身具有的传递性， 运用“有限”的手段，来解决“无限” 运用“有限”的手段，来解决“无限”的问 题。 它克服了完全归纳法的繁杂、 2、它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺 点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不 使我们认识到事物由简到繁、 足，使我们认识到事物由简到繁、由特殊到 一般、由有限到无穷. 一般、由有限到无穷.
2
+1
= k + k + 1 + 2(k + 1) = ( k + 1) + ( k + 1) + 1
2
时等式成立， 这就是说当 n = k + 1 时等式成立， 时等式成立. 所以 n ∈ N * 时等式成立
思考2： 思考 ：下面是某同学用数学归纳法证明命题
1 1 1 n + +⋯+ = 1• 2 2 • 3 n • ( n + 1) n + 1 的过程.你认为他的证法正确吗 为什么? 你认为他的证法正确吗?为什么 的过程 你认为他的证法正确吗 为什么
新疆 王新敞
奎屯
新疆 王新敞
奎屯
新疆 王新敞 奎屯
2
2
2
2
2
1 k +1 那么， n=k+1 那么，当n=k+1时，有 1 1− k +1 2 2 1 1 1 1 1 = 1− 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋⋯＋ k + k +1 = 1 2 2 2 2 2 2 1− 2 n=k+1 即n=k+1时，命题成立
用数学归纳法证（ 用数学归纳法证（n∈N+): 1+2+3+…+ 1+2+3+ + 2n = n(2n+1 )
证明：1)左边 左边=1+2=3=右边 左边=1=…… 右边 证明： 左边 2)假设n=k时等式成立 假设n=k时等式成立, 2)假设n=k时等式成立,即: 2)假设n=k时等式成立 假设n=k时等式成立, 2)假设n=k时等式成立,即: 1+2+3+…+ 2k = k(2k+1). 1+2+3+ + 1+2+3+…+ 1+2+3+ + 2k = k(2k+1). 那么， 那么，n = k+1 时， 那么， 那么 + 1+2+3+…+ = k+1 时， 1+2+3+，n 2k +2(k+1) 1+2+3+…+ 2k+(2k+1)+ 1+2+3+2k+1)+2(k+1)= 2(k+1) + 2k+(2k+1)+ = k( 2k+1)+2(k+1)=…… k(2k+1)+(2k+1)+ 2(k+1)= = k(2k+1)+(2k+1)+ 2(k+1)=……