高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第23讲解三角形应用举例课件理

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• 1．仰角和俯角
上方
• 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线______的角叫仰角，在水平
线__下__方__的角叫俯角(如图①)．
• 2．方位角
• 从指北方向____顺__时___针转到目标方向线的水平角叫方位角，如B点的方位
角为α(如图②)．
• 3．方向角
解析：如图，由题意知在△ABC 中，
∠ACB＝75°－60°＝15°，
∠B＝15°，
∴AC＝AB＝8.
在 Rt△AOC 中，OC＝AC·sin 30°＝4.
∴这艘船每小时航行41＝8(海里)． 2
•一 距离问题
• 求解距离问题的一般步骤 • (1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为
三角形问题． • (2)明确要求的距离所在的三角形有哪几个已知元
2 2 ＝50
2(m)．
2
• 4．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A， C两点之间的距离为_________千米．
6
解析：如图所示，由题意知∠C＝45°，
由正弦定理得sinAC60°＝sin245°，
∴AC＝
2× 2
23＝
6.
2
• 5．一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔 恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的 南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航 行______海里． 8
40
解析：设电视塔 AB 高为 x m，则在 Rt△ABC 中，由∠ACB＝45°， 得 BC＝x.在 Rt△ADB 中，由∠ADB＝30°，得 BD＝ 3x.
在△BDC 中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°， 即( 3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos 120°，解得 x＝40，所以电视塔高为 40 m.
第三章 三角函数、解三角形
第23讲 解三角形应用举例
考纲要求 考情分析
命题趋势
能够运用正 弦定理、余 弦定理等知 识和方法解 决一些与测 量和几何计 算有关的实 际问题.
2015，湖北 卷，13T
2014，四川 卷，13T
分值：5分
解三角形是三 角函数的知识在 三角形中的应用， 高考中可单独考 查，也可以与三 角函数、不等式、 向量等综合考查.
•二 高度问题
• 高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意 三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注 意空间图形和平面图形的结合．
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• 【例2】 要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A 的仰角 是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的 ∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为______m.
•三 角度问题
• 解决角度问题的注意点 • (1)首先应明确方位角或方向角的含义． • (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正
解析：(1)正确．三角形的面积公式对任意三角形都成立． (2)正确．数学中的东北方向就是北偏东 45°或东偏北 45°的方向． (3)错误．俯角是视线与水平线所构成的角． (4)正确．方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为 [0,2π)，而方向角大小的范围由定义可知为0，π2.
• ∴点A在点B的北偏西15°.
3．如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，选定一点 C，测出 AC
的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则 A，B 两点的距离为( A )
A．50 2 m
B．50 3 m
C．25 2 m
D．252 2 m
解析：由正弦定理得 AB＝AC·ssiinn∠BACB＝50×1
∴AC＝CD＝ 3(km)．
在△BCD 中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
∴BC＝
s3isnin607°5°＝
6＋ 2
2 .
在△ABC 中，由余弦定理，得
AB2＝(
3)2＋
6＋ 2
22－2×
3×
6＋ 2
2×cos 75°＝3＋2＋
3－
3＝5，∴AB＝
5(km)，即 A，B 之间的距离为 5 km.
素． • (3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形．
【例 1】 要测量对岸 A，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的 C，D 两点，并
测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则 A，B 之间的距离为
____5___km. 解析：如图，在△ACD 中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
• 2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B
的( ) B
• A．北偏东15 °
B．北偏西15°
• C．北偏东10°
D．北偏西10°
• 解析：如图所示，∠ACB＝90°.
• 又AC＝BC，
• ∴∠CBA＝45°，而β＝30°，
• ∴α＝90°－45°－30°＝15°.
• 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度(比))．
• 5．解三角形应用题的一般步骤
• (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知 与未知，理清量与量之间的关系．
• (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角 形问题的模型．
• (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
• (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中 的有关单位问题，近似计算的要求等．
• 相对于某一正方向的水平角(如顺图③时) 针
• (1)北偏东α，即由指北方向____逆__时___针_旋转α到达目标方向．
• (2)北偏西α，即由指北方向__________旋转α到达目标方向．
• (3)南偏西等其他方向角类似．
• 4．坡度(比)
二面角
• 坡角：坡面与水平面所成的________的度数(如图④，角θ为坡角)．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)公式 S＝12bcsin A＝12acsin B＝12absin C 适用于任意三角形．( √ ) (2)东北方向就是北偏东 45°的方向．( √ ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角．( × ) (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是0，π2.( √ )