江苏省南师大数科院2013届高考数学模拟最后一卷
2013年高三数学最后必考题及答案一一
2013年高三数学最后必考题及答案一一本试卷共4页，分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 A ．B ．C ．D ．1·复数31i z i=+复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．在△ABC 中，“30A ∠=”是“1sin 2A =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．集合{}{}|13,|4A x x B y y x =+≤==≤≤．则下列关系正确的是A ．AB R = B ．R A B ⊆餽C ．R B A ⊆餽D ．R R A B ⊆餽餽 4．已知双曲线22221x y a b-=的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是A ．3y x =±B ．3y x =±C ．y =D ．2y x =± 5．已知m ，n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出四个命题：①若,,m n n m αβα=⊂⊥ ，则αβ⊥ ②若,m m αβ⊥⊥，则//αβ ③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ ④若//,////m n m n αβ，则//αβ 其中正确的命题是A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④6．设0(cos sin )xa x x dx =⎰-3x 项的系数为 A ．-20 B ．20 C ．-160 D ．1607．已知函数9()4(1)1f x x x x =-+>-+，当x=a 时，()f x 取得最小值则在直角坐标系 中，函数11()()x g x a+=的大致图象为8．有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图 和左视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为A ．B ．6+C ．30+D ．429．已知1122log (4)log (32)x y x y ++<+-，若x y λ-<恒成立，则λ的取值范围是A ．(],10-∞B ．(),10-∞C ．[)10,+∞D ．()10,+∞ A ．B ．C ．D ．10．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为A ．14t ≥B ．18t ≥ C ．14t ≤ D ．18t ≤11．定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，已知(1)f x +是偶函数(1)'()0x f x -<. 若12x x <，且122x x +>，则1()f x 与2()f x 的大小关系是A ．12()()f x f x <B ．12()()f x f x =C ．12()()f x f x >D ．不确定12．某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额．那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[x]表示不大于*的最大整数）可表示为 A ．[]10x y = B ．3[]10x y += C ．4[]10x y += D ．5[]10x y +=第Ⅱ卷 （非选择题共90分）注意事项：1．将第Ⅱ卷答案用0 5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚，二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB=I ，3AC =,60AB AC =，则OA = ______________。
南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准(定稿)
南京市、盐城市2013 届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2013.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1221． (1， 3]2． 53． 84． 75． 375 66． 107． 28．①④9． 210． 23 311． 212． 2x ＋y － 2＝ 0 13． (12， 17) 14． 2二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． 解（ 1）方法一：因为 tan α＝ 2，所以sin α⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分＝ 2，即 sin α＝ 2cos α．cos α又 sin 2α＋ cos 2α＝1，解得 sin 2α＝4，cos 2α＝1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分55所以 cos2α＝ cos 2 2α＝－ 3． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分α－ sin 5方法二：22α⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分因为 cos2α＝ cos α－ sincos 2α－sin 2 α 1－tan 2α4 分＝ sin 2α＋cos 2 α＝tan 2α＋1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 又 tan α＝2，所以 cos2α＝ 12－22＝－ 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2 ＋15（ 2）方法一：因为 α∈ (0， π)，且 tan α＝2，所以 α∈π(0， )．2又 cos2α＝－ 3＜0，故 2α∈(π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分，π) ，sin2α＝ 4．5257 22π由 cos β＝－10 ， β∈ (0， π)，得 sin β＝ 10 ，β∈ (2， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分4 7 2 3 2 2． ⋯⋯⋯⋯ 12 分所以 sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝×(－10)－(－ ) × ＝－ 255 10又 2α－ β∈π π π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分(－ ， )，所以 2α－ β＝－ ．224方法二：因为 α∈ (0， π)，且 tan α＝2，所以 α∈π2tan α4 ．(0， )，tan2α＝2 ＝－321－ tan απ从而 2α∈(2， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分由 cos β＝－ 7 2 ， π)，得 sin β＝ 2 π， β∈ (0 10 ，β∈ (2 ， π)，10因此 tan β＝－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分7－4＋1所以 tan(2α－β)＝tan2α－tan β＝37＝－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分1＋tan2αtan β411＋(－ 3)× (－ 7)π ππ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分又 2α－ β∈ (－ ， )，所以 2α－ β＝－．2 2 416． 证明 （ 1）如图，取 BC 的中点 G ，连结 AG ， FG ．C 1A 1因为 F 为 C 1B 的中点，所以 FG∥ 1C 1C ．B 1＝ 2在三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 中， A 1A ∥＝ C 1C ，且 E 为 A 1A 的中点，EF所以 FG ＝∥EA ．所以四边形 AEFG 是平行四边形．所以 EF ∥ AG ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分DCAGB（第 16 题）因为 EF 平面 ABC ， AG 平面 ABC ，所以 EF ∥平面 ABC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 （ 2）因为在正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中， A 1A ⊥平面 ABC ， BD平面 ABC ，所以 A 1A ⊥ BD ．因为 D 为 AC 的中点， BA ＝ BC ，所以 BD ⊥ AC ．因为 A 1A ∩AC ＝A ， A 1 A 平面 A 1ACC 1 ，AC 平面 A 1ACC 1，所以 BD ⊥平面 A 1ACC 1．因为 C 1E 平面 A 1ACC 1，所以 BD ⊥C 1E ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分根据题意，可得 EB ＝C 1E ＝ 62 AB ， C 1B ＝ 3AB ，所以 EB 2＋C 1E 2 ＝C 1B 2．从而∠ C 1EB ＝ 90°，即 C 1E ⊥ EB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分因为 BD ∩EB ＝ B ，BD 平面 BDE ， EB 平面 BDE ，所以 C 1E ⊥平面 BDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分17． 解（ 1）由题意知， f(x)＝－ 2x ＋ 3＋ lnx ，－ 2x ＋ 1 (x ＞ 0)．2 分所以 f ′(x)＝－ 2＋ 1＝x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x由 f ′(x)＞ 0 得 x ∈ (0，1) ．2所以函数 f( x)的单调增区间为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(0， )．2（ 2）由 f ′(x)＝ mx － m － 2＋ 1，得 f ′(1)＝－ 1，x所以曲线 y ＝ f(x)在点 P(1， 1)处的切线 l 的方程为 y ＝－ x ＋ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分由题意得，关于 x 的方程 f(x)＝－ x ＋ 2 有且只有一个解， 即关于 x 的方程1 2－ x ＋ 1＋ln x ＝0 有且只有一个解．m(x － 1)2令 g(x)＝12m(x － 1)2－x ＋ 1＋ lnx(x ＞ 0)．2 －(m ＋ 1)x ＋ 1(x ＞ 0)． ⋯⋯⋯⋯⋯8 分则 g ′(x) ＝m(x － 1)－ 1＋ 1＝ mx＝ (x － 1)(mx － 1)xxx①当 0＜ m ＜1 时，由 g ′(x)＞ 0 得 0＜ x ＜ 1 或 x ＞1，由 g ′(x)＜ 0 得 1＜ x ＜ 1，mm所以函数 g(x)在 (0， 1)为增函数，在 (1， 1)上为减函数，在 ( 1，＋∞ )上为增函数．mm又 g(1)＝ 0，且当 x →∞时， g(x)→∞，此时曲线 y ＝ g(x)与 x 轴有两个交点．故 0＜m ＜ 1 不合题意．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分②当 m ＝ 1 时， g ′(x)≥ 0， g(x)在 (0，＋∞ )上为增函数，且 g(1) ＝ 0，故 m ＝ 1 符合题意．③当 m ＞ 1 时，由 g ′(x)＞ 0 得 0＜x ＜ 1 或 x ＞ 1，由 g ′(x)＜ 0 得 1＜x ＜ 1，mm所以函数 g(x)在 (0， 1) 为增函数，在 ( 1，1) 上为减函数，在 (1，＋∞ )上为增函数．m m又 g(1)＝ 0，且当 x → 0 时， g(x)→－∞，此时曲线 y ＝ g(x)与 x 轴有两个交点．故 m ＞ 1 不合题意．综上，实数 m 的值为 m ＝1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分18．解如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ， AB＝ 8cm， AD ＝ 6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N 分别在边AB， AD 上；②折痕的端点M，N 分别在边AB， CD 上；③折痕的端点M，N 分别在边AD ， BC 上．D C D N C D CN MNA MB A M B A B（情形①）（情形②）（情形③）（ 1）在情形②、③中MN ≥6，故当 l＝ 4 时，折痕必定是情形①．设 AM＝ xcm， AN＝ ycm，则 x2＋ y2＝ 16．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分因为 x2＋ y2≥ 2xy，当且仅当x＝ y 时取等号，1所以 S1＝2xy≤ 4，当且仅当x＝y＝ 22时取等号．即 S1的最大值为4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）由题意知，长方形的面积为S＝6× 8＝ 48．因为 S1∶S2＝1∶ 2， S1≤S2，所以 S1＝ 16， S2＝ 32．当折痕是情形①时，设AM＝ xcm， AN＝ ycm，则132．xy＝16，即 y＝x20≤x≤ 8，16由0≤32x≤6，得3≤x≤8．所以 l＝22232216⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分x＋ y ＝x＋ 2 ，≤x≤ 8．x3322222)(x－ 4 2) 22× 322(x ＋ 32)(x＋ 4设 f(x)＝x＋x2 ，x＞0，则f′(x)＝2x－x3＝x3，x＞0．故x16162）4 2（ 4 2， 8）83（3，4f ′(x)－0＋f(x)4↘64↗80 649所以 f(x)的取值范围为 [64， 80]，从而 l 的范围是 [8 ，45]；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分当折痕是情形②时，设AM＝ xcm， DN＝ ycm，则1(x＋y)× 6＝ 16，即 y＝16－ x．230≤x≤ 8，得 0≤x≤16．由16所以 l ＝2228 2 16 6 ＋ (x － y)＝ 6 ＋ 4(x － ) ， 0≤x ≤．33所以 l 的范围为 [6，2145 ]； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分31当折痕是情形③时，设BN ＝xcm ，AM ＝ ycm ，则 2(x ＋ y)× 8＝16，即 y ＝ 4－ x ．由 0≤ x ≤ 6，得 0≤ x ≤4．0≤4－ x ≤ 6，所以 l ＝ 82＋ (x － y)2＝ 82＋ 4(x －2) 2， 0≤ x ≤4． 所以 l 的取值范围为 [8， 4 5]．综上， l 的取值范围为 [6， 4 5]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分19． 解（ 1）由题意得， m ＞ 8－ m ＞ 0，解得 4＜ m ＜ 8．即实数 m 的取值范围是 (4， 8)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分22（ 2）因为 m ＝ 6，所以椭圆 C 的方程为 x ＋y＝ 1．6 2x 2 y 2①设点 P 坐标为（ x ， y ），则 6＋2 ＝ 1．因为点 M 的坐标为（ 1， 0），所以PM 2＝( x －1)2 ＋ y 2＝x 2－ 2x ＋ 1＋ 2－x 2＝2x 2－2x ＋ 33323 2 3 ， x ∈ [－6， 6]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＝(x － ) ＋3 2 2363 5所以当 x ＝ 2时， PM 的最小值为2 ，此时对应的点 P 坐标为（ 2，±2 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由 a 2＝ 6，b 2＝ 2，得 c 2＝ 4，即 c ＝ 2，从而椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为 (2， 0)，右准线方程为x ＝ 3，离心率 e ＝ 6．3设 A （ x 1， y 1）， B （x 2 ，y 2 ）， AB 的中点 H （ x 0， y 0），则22 22x 1 ＋ y 1 ＝1， x 2 ＋ y 2 ＝1，62622222所以 x 1 － x 2 ＋ y 1－y2＝ 0，即 k AB ＝y 1－y2＝－ x 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯62x 1－ x 2 3y 0令 k ＝ k AB ，则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y － y 0＝－ 1k (x － x 0)．4 分6 分9 分令 y ＝0，则 x N ＝ ky 0＋ x 0＝2x 0．322 6因为 AB ＝ AF ＋ BF ＝ e(3－x 1)＋ e(3－ x 2)＝ 3 | x 0－ 3| ．故 AB ＝ 2 6× 3＝ 6．FN 32即 AB 为定值6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分FN20． 解（ 1）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 S n ＝ na 1＋n(n － 1)nn － 1 d ．2d ，从而 S＝ a 1＋2n≥n S n －1n － 1n －2dS －＝ (a ＋＋n 2 2 d)＝n － 11d)－ (a 12即数列 {S n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分n } 是等差数列．（ 2）因为对任意正整数n ，k(n ＞k)，都有 S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 S n 成立，所以 S n ＋ 1＋ S n － 1＝ 2 S n ，即数列 { S n } 是等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分设数列 { S n } 的公差为 d 1，则 S n ＝ S 1＋ (n － 1)d 1＝ 1＋ (n －1)d 1，所以 S n ＝[1 ＋(n － 1)d 1] 2，所以当 n ≥2 时，a n ＝ S n － S n － 1＝ [1 ＋( n － 1)d 1] 2－ [1＋ (n －2)d 1] 2＝ 2d 21n － 3d 21＋ 2d 1，因为 { a n } 是等差数列，所以 a 2－ a 1＝ a 3－a 2，即(4d 21－ 3d 21＋ 2d 1)－ 1＝ (6d 21－ 3d 21＋ 2d 1)－(4d 21－ 3d 21＋ 2d 1)，所以 d 1＝1，即 a n ＝ 2n － 1．又当 a n ＝2n － 1 时， S n ＝ n 2， S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 S n 对任意正整数 n ， k(n ＞ k)都成立， 因此 a n ＝2n － 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ 3）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 a n ＝ a 1＋ (n － 1)d ， b n ＝ a an ，所以b na n －a n － 1db n－1 ＝ a＝ a ，即数列 { b n } 是公比大于 0，首项大于 0 的等比数列． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分记公比为 q(q ＞ 0)．以下证明： b 1＋ b n ≥b p ＋ b k ，其中 p ， k 为正整数，且 p ＋ k ＝ 1＋ n ．因为 (b 1＋ b n )－ (b p ＋ b k )＝ b 1＋b 1q n － 1－ b 1q p － 1－b 1q k － 1＝b 1( q p －1－ 1)( q k －1－ 1)．当 q ＞1 时，因为 y ＝ q x 为增函数， p －1≥ 0，k － 1≥ 0，所以 q p －1－ 1≥0， q k －1－ 1≥ 0，所以 b 1＋ b n ≥ b p ＋ b k ．当 q ＝1 时， b 1＋ b n ＝ b p ＋ b k ．当 0＜q ＜ 1 时，因为 y ＝ q x 为减函数， p － 1≥0， k － 1≥0，p 1k 1综上， b 1＋ b n ≥ b p ＋ b k ，其中 p ， k 为正整数，且 p ＋ k ＝ 1＋ n ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分所以 n(b 1＋ b n )＝ (b 1＋ b n )＋ (b 1＋ b n )＋⋯＋ (b 1＋ b n )≥(b 1＋ b n )＋ (b 2＋ b n－ 1)＋ (b 3＋ b n － 2)＋⋯＋ (b n ＋ b 1)＝ ( b 1 ＋ b 2 ＋⋯＋ b n )＋ (b n ＋ b n － 1＋⋯＋ b 1)，b 1＋ b 2＋⋯＋ b nb 1＋ b n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分即≤．n2南京市、盐城市2013 届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2013.0521．【选做题】在 A 、 B 、 C 、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分．A ．选修 4— 1：几何证明选讲证明 如图，延长 PO 交⊙ O 于 D ，连结 AO ， BO ． AB 交 OP 于点 E ．A因为 PA 与⊙ O 相切， DOE C P 所以 PA 2＝ PC · PD ．B设⊙ O 的半径为 R ，因为 PA ＝ 12， PC ＝ 6，（第 21 题 A ）所以 122＝6(2R ＋ 6)，解得 R ＝9． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因为 PA ，PB 与⊙ O 均相切，所以PA ＝ PB ．又 OA ＝ OB ，所以 OP 是线段 AB 的垂直平分线． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分即 AB ⊥ OP ，且 AB ＝ 2AE ．在 Rt △ OAP 中， AE ＝OA · PA ＝ 36．OP 5所以 AB ＝72．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5B ．选修 4— 2：矩阵与变换1 a 1 0，即 1＋ a ＝0，解 （ 1）由题知，11＝b 2b ＋ 1＝2，解得 a ＝－ 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分b ＝ 1．（ 2）设 P' (x ， y)是曲线 C'上任意一点， P' 由曲线 C 上的点 P (x 0 ， y 0) 经矩阵 M 所表示的变换得到，1 － 1x 0 x x 0－ y 0＝x ，x 0＝ y ＋ x，解得2所以y 0＝，即 x 0＋ y 0＝y ，y － x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分11yy 0＝．2因为 x0y0＝ 1，所以y＋x·y－x＝ 1，即y2－ x2＝ 1．2244即曲线 C' 的方程为y2－ x2＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分44C．选修 4— 4：坐标系与参数方程解以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则圆 C 的直角坐标方程为 (x－ 3)2＋ ( y－1) 2＝ 4，点 M 的直角坐标为 (3 3，3)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分当直线 l 的斜率不存在时，不合题意．设直线 l 的方程为 y－3＝ k(x－ 3 3)，由圆心 C( 3， 1)到直线 l 的距离等于半径2．故 |2 3k－ 2|＝2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分k2＋1解得 k＝ 0 或 k＝ 3．所以所求的直线 l 的直角坐标方程为y＝3或3x－ y－ 6＝0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分π所以所求直线l 的极坐标方程为ρsinθ＝3或ρsin(－θ)＝3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3D．选修 4— 5：不等式选讲x≥ 4，x＜ 4，解原不等式等价于x 2－ 4x－ 3＜0，或－ x2＋ 4x－ 3＜ 0．x≥ 4，或 x＜ 4，解得2－ 7＜ x＜ 2＋ 7，x＜ 1或x＞ 3．即4≤x＜ 2＋ 7或 3＜ x＜ 4 或 x＜1．综上，原不等式的解集为 { x| x＜ 1 或 3＜ x＜ 2＋ 7} ．【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共 20 分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分22．解（ 1）如图，取AC 的中点 F ，连接 BF ，则 BF ⊥ AC．以 A 为坐标原点，过 A 且与 FB 平行的直线为x 轴， AC 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0，0， 0)， B( 3， 1，0)，z PC(0， 2， 0)， P(0， 0， 2)， E(0， 1， 1)，ED →→从而 PB ＝ (3， 1，－ 2)， AE＝ (0， 1， 1)．设直线 AE 与 PB 所成角为θ，A FC y→ →1x B则 cosθ＝|PB· AE→ →|＝．4（第 22 题）|PB|× |AE|即直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4．→→ （ 2）设 PA 的长为 a ，则 P(0， 0， a)，从而 PB ＝ ( 3， 1，－ a)，PC ＝(0 ，2，－ a)．→→设平面 PBC 的法向量为 n ＝( x ， y ， z) ，则 n ·1·11 PB ＝ 0， n PC ＝ 0，所以 3x ＋ y －az ＝ 0， 2y －az ＝ 0．令 z ＝ 2，则 y ＝ a ， x ＝33 a ．3所以 n 1＝( 3 a ，a ， 2)是平面 PBC 的一个法向量．因为 D ， E 分别为 PB ，PC 中点，所以 3 1 a aD( ， 2， )，E(0， 1， ) ，2 2 2 →3 1 a → a )．则 AD ＝ ( 2 ， ， )， AE ＝ (0，1， 22 2 设平面 ADE 的法向量为 n ＝( x ，y ， z)，则 n→→··22 AD ＝0， n 2 AE ＝ 0．所以31aa2 x ＋ 2y ＋ 2z ＝ 0， y ＋ 2z ＝0．3令 z ＝ 2，则 y ＝－ a ， x ＝－ 3 a ．所以 n 2＝(－3 a ，－ a ， 2)是平面 ADE 的一个法向量． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3因为面 ADE ⊥面 PBC ，所以 n ⊥n ，即 n ·＝ (32) ·31 2－ a 2＋ 4＝ 0，121 n 23 a ， a ，(－ 3 a ，－ a ， 2)＝－ 3a解得 a ＝ 3，即 PA 的长为 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分223． 解（ 1）p 1＝ ，p 2＝ 2× 2＋ 1× ( 1－2 ) ＝5．33 3 3 9（ 2）因为移了 n 次后棋子落在上底面顶点的概率为于是移了 n ＋ 1 次后棋子落在上底面顶点的概率为从而 p n+1－1＝ 1 (p n －1)．2 3 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分p n ，故落在下底面顶点的概率为1－ p n ．pn+12 1 11．＝ p n ＋ (1－p n )＝ p n ＋333 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分所以数列 { p n －1} 是等比数列，其首项为1，公比为 1．26 311 ×( 1 ) n －1 1 11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分所以 p n － ＝3．即 p n ＝＋ ×n ．262 23用数学归纳法证明：①当 n ＝ 1 时，左式＝1＝3，右式＝ 1，因为3＞1，所以不等式成立．4× 2－ 1 525 23当 n ＝2 时，左式＝1＋ 1＝78，右式＝ 4，因为 78＞ 4，所以不等式成立．4× 2－ 1 4× 5－ 155355 339②假设 n ＝ k(k ≥ 2)时，不等式成立，即k1 ＞k2∑．i =14P i － 1 k ＋ 1k112123 k+1则 n ＝k ＋ 1 时，左式＝ ∑＋＞k＋＝ k＋．i － k+1 － 11 11k+1 i =114Pk ＋ 1k ＋ 13 ＋ 24P＋ × k+1)－ 14( 22 3要证 k23k+12＋ ≥ (k ＋ 1) ，k ＋13 k +1＋ 2k ＋ 2k+122只要证3≥(k ＋1) － k．3k+1＋2k ＋ 2 k ＋ 13k+1k 2 ＋3k ＋ 1只要证 3k+1＋2≥ k 2＋ 3k ＋ 2．2 1 只要证3k+1≤k 2＋ 3k ＋1．只要证 3k+1≥ 2k 2＋ 6k ＋2．因为 k ≥2，所以 3k+1＝ 3(1＋ 2)k ≥ 3(1＋ 2k ＋ 4C 2k )＝ 6k 2＋ 3＝ 2k 2 ＋6k ＋ 2＋ 2k(2k －3)＋ 1＞ 2k 2＋ 6k ＋ 2，k 23k+1(k ＋ 1)2所以 k ＋1 ＋ 3k+1＋ 2≥ k ＋ 2 ．即 n ＝k ＋ 1 时，不等式也成立．n1 ＞ n2由①②可知，不等式 ∑对任意的 n ∈ N * 都成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分i =14P i －1 n ＋ 1。
2013届江苏高考数学冲刺最后一练
2013届江苏高考数学冲刺最后一练面临高考的最后冲刺，如何科学、高效地备考？如何把十年寒窗积攒的知识和能力充分地回顾和加深？如何在最后的关键时刻把我们的知识和能力融入到解题中去？这里我提供的“最后一题”，希望能更有效地使我们在高考前达到这个目的，零距离面对高考，在做完这些题后信心百倍地走进考场。
一、考前必做送分题，一分不能少 高考试卷虽然是选拔性的试卷，但是试卷中仍然有相当部分的送分题。
所谓送分题指的是知识点基础，数据计算量小，解题方法基本的试题。
这部分试题往往比较简单，导致许多同学思想重视不够，从而失分，特别是一些数学成绩优秀的同学更是如此。
我这里提供的这部分试题就是给大家敲一个警钟，通过这部分试题的练习使同学们树立“送分题，一分也不能少”的思想意识，争取能在高考考场上取得开门红，增强考试的信心。
1．已知{}2|10x ax ax -+<=∅，则实数a 的取值范围是 ． 2．在锐角ABC ∆中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是 ． 3．函数y 的值域是 ．4．若使“1x ≥”与“x a ≥”恰有一个成立的x 的取值范围为{}10x x <≤，则实数a 的值是 ． 5．100(30.5)k k =+=∑ ．6．已知点(1,2)(4)A B a --,, ，若直线AB 在x 轴与y 轴上的截距相等，则实数a = ． 7．函数()2sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ．8．要得到函数sin 2y x =的函数图象，可将函数()πsin 23y x =+的图象向右至少．．平移 个单位． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1 2)=，a ，1(2 1)5-=-，a b ，则⋅=a b ． 10．已知向量()()2,1,1,AB k AC k =--=．若ABC ∆为直角三角形，则k = ．11．设()()223f x x x x R =--∈，则在区间[],ππ-上随机取一个数x ，使()0f x <的概率是 ． 12．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员 在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的标准差 为 ．13．如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依 次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ． 14．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，若一批电子元件中寿命在 100~300小时的电子元件的数量为400，则寿命在300~400小时的电子元件的数量为 ．1 4 7 8 82 0 115．若定义在R 上的函数23()f x ax =（a 为常数）满足(2)(1)f f ->，则()f x 的最小值是 ． 16．已知ππ2θ≤≤，且()sin π162θ=-，则cos θ= ．17．已知114sin cos 3αα+=，则sin 2α= ． 18．设:p “3201xx -≥-”和:q “22530x x -+>”，则p ⌝是q 的 条件． 19．当()1,3x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ． 20．已知x y 、为正实数，满足26x y xy +=+，则xy 的最小值为 ．21．已知数列{}n a 的前n 项和27n S n n =-，且满足11622k k a a +<+<，则正整数k = ． 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足n m n m S S S ++=，且11a =，那么10a = ． 23．在△ABC 中，若tan tan tan A B C ++=1，则tan tan tan A B C = ．24．已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，则实数m 的取值范围是 ． 25．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22880kx ky k -=≠的渐进线方程为 ．26．已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点A 的坐标是()4,1，F 点是抛物线的焦点，则||||PA PF + 的最小值是 ．27．设αβγ、、为平面，m 、n 为直线，有下列四个条件：（1）αβ⊥，n αβ= ，m n ⊥； （2）m αγ= ，αγ⊥，βγ⊥； （3）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥； （4）n α⊥，n β⊥，m α⊥． 其中m β⊥的一个充分条件是序号 ．）（第14题图）（第13题）()x' 28．函数())0f x a≠在区间[]0,1上是减函数，则实数a的取值范围是．29已知函数()322f x x ax bx a=+++在1x=处有极值10，则a b+=．30．给出下列等式：π2c o s4，π2c o s8，π2c o s16=，……请从中归纳出第n()n∈*N2n个．一、参考答案：1．[]4,0 2． 3．[)0,4 4．0 5．12126．7-或8 7．328．π69．25 10．1，1-±．2π12 13．8，36114．50015．016．1-17．34-18．必要不充分19．(,5]-∞-20．18 21．8 22．1 23．1 24．()1,12125．y=±26．5 27．（4）28．(]0,1229．7-30．12cosn+π2二、考前必做保分题，每分都要保如同前面所讲，高考是选拔性的考试，送分题不会太多，保分题才是我们得分的主阵地。
2013年高考数学押题卷(最后一卷)试题及答案(理科数学)
2013高考数学押题卷(最后一卷)（ 理 科 数 学）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的） 1．若ii m -+1是纯m 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1 D2．已知集合}13|{},1|12||{>=<-=xx N x x M ，则N M ⋂=( )A ．φB ．}0|{<x xC ．}1|{<x xD ．}10|{<<x x3．若)10(02log ≠><a a a 且，则函数)1(log )(+=x x f a 的图像大致是( )4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且1,422475==⋅a a a a ，则1a =( )A ．21 B ．22 C ．2 D ．2 5．已知变量x 、y 满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ，则y x z 23+=的最大值为( )A ．-3B ．25 C ．-5 D ．46．过点（0，1）且与曲线11-+=x x y 在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为( )A ．012=+-y xB ．012=-+y xC ．022=-+y xD ．022=+-y x 7．函数)sin (cos 32sin )(22x x x x f --=的图象为C ，如下结论中正确的是( ) ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数；④由x y 2sin 2=的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C （A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②③④8．已知620126(12)xa ax axa x-=+++⋅⋅⋅+，则0126a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1B ．1-C ．63 D ．629．若函数)(x f 的导函数34)('2+-=x x x f ，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( )A ．[0，1]B ．[3，5]C ．[2，3]D ．[2，4]10．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值是( ) A. -1 B. 2 C. 1 D.-211．△ABC 中，∠A=60°,∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且)(31R ∈+=λλ，则AD 的长为( )A ．1B ．3C ．32D ．312．在三棱锥S —ABC 中，AB ⊥BC,AB=BC=2,SA=SC=2,，二面角S —AC —B 的余弦值是33-，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A ．68B ．π6C ．24πD ．6π二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分） 13．在△ABC 中，B=3π中，且34=⋅BC BA ,则△ABC 的面积是14．若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域为R ，则m 的取值范围是15．已知向量,满足：2||,1||==，且6)2()(-=-⋅+b a b a ，则向量a 与b 的夹角是16．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是正视图 侧视图 俯视图三、解答题（本大题共6小题，共70分。
2013年江苏省高考数学试卷及解析
2013年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分、请把答案填写在答题卡相印位置上、1、（5分）函数y=3sin（2x +）的最小正周期为、2、（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为、3、（5分）双曲线的两条渐近线方程为、4、（5分）集合{﹣1，0，1}共有个子集、5、（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为、6、（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为、7、（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为、8、（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=、9、（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）、若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是、10、（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为、11、（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数、当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为、12、（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为、13、（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为、14、（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为、二、解答题：本大题共6小题，共计90分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、15、（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π、（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值、16、（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点、求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA、17、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上、（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围、18、（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径、一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C、现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min、在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C、假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19、（16分）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和、记b n=，n∈N*，其中c为实数、（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0、20、（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数、（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论、[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答、若多做，则按作答的前两题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21、（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC、求证：AC=2AD、B、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22、（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B、C、[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23、在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C 的参数方程为（t为参数）、试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标、D、[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24、已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b、第25题、第26题，每题10分，共计20分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、25、（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点、（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值、26、（10分）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，、记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）、对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数、2013年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分、请把答案填写在答题卡相印位置上、1、（5分）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π、分析：将题中的函数表达式与函数y=Asin（ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期、解答：解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π点评：本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期，着重考查了函数y=Asin （ωx+φ）的周期公式的知识，属于基础题、2、（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5、分析：把给出的复数展开化为a+bi（a，b∈R）的形式，然后直接利用模的公式计算、解答：解：z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i、所以，|z|==5、故答案为5、点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数模的求法，是基础题、3、（5分）双曲线的两条渐近线方程为、分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程、解答：解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想4、（5分）集合{﹣1，0，1}共有8个子集、分析：集合P={1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集、解答：解：因为集合{﹣1，0，1}，所以集合{﹣1，0，1}的子集有：{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{0，1}，{﹣1，0，1}，∅，共8个、故答案为：8、点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M 中有n个元素，则集合M的子集共有2n个、5、（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为5、分析：由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案、解答：解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5、点评：本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行、6、（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三第四次第五次次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为2、分析：直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求、解答：解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；，、方差=4、=2、所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2、故答案为2、点评：本题考查了方差与标准差，对于一组数据，在平均数相差不大的情况下，方差越小越稳定，考查最基本的知识点，是基础题、7、（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为、分析：求出m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解、解答：解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法、m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种、所以m，n都取到奇数的概率为、故答案为、点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是做到对取法种数计算的补充不漏，是基础的计算题、8、（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2= 1：24、分析：由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值、解答：解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍、即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍、所以V1：V2==1：24、故答案为1：24、点评：本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，是基础的计算题、9、（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）、若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是[﹣2，] 、分析：利用导数求出抛物线在x=1处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则x+2y的取值范围可求、解答：解：由y=x2得，y′=2x，所以y′|x=1=2，则抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x﹣1、令z=x+2y，则、画出可行域如图，所以当直线过点（0，﹣1）时，z min=﹣2、过点（）时，、故答案为、点评：本题考查了导数的运算，考查了简单的线性规划，解答的关键是把问题转化为线性规划知识解决，是基础题、10、（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为、分析：由题意和向量的运算可得=，结合=λ1+λ2，可得λ1，λ2的值，求和即可、解答：解：由题意结合向量的运算可得=====，又由题意可知若=λ1+λ2，故可得λ1=，λ2=，所以λ1+λ2=故答案为：点评：本题考查平面向量基本定理及其意义，涉及向量的基本运算，属中档题、11、（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数、当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）、分析：作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f（x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集、解答：解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）、故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键、12、（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为、分析：根据“d 2=”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d1=，从而得到a与b的关系，可求得，从而求出离心率、解答：解：如图，准线l：x=，d2=，由面积法得：d1=，若d 2=，则，整理得a2﹣ab﹣=0，两边同除以a2，得+（）﹣=0，解得、∴e==、故答案为：、点评：本题主要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距，短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉及了等面积法、13、（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为﹣1或、分析：设点P，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值、解答：解：设点P，则|PA|===，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）=t2﹣2at+2a2﹣2=（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2﹣4a+2a2=，解得a=﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=a2﹣2，∴a2﹣2=，解得a=、综上可知：a=﹣1或、故答案为﹣1或、点评：本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力、14、（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为12、分析：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案、解答：解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6、记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=、由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12、故答案为：12点评：本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题、二、解答题：本大题共6小题，共计90分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、15、（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π、（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值、分析：（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值、解答：解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0、所以、即；（2）由得，①2+②2得：、因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π、所以，，代入②得：、因为、所以、所以，、点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题、16、（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点、求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA、分析：（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点、从而得到△SAB 和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC 且EG∥平面ABC、因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC、结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA、解答：解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点、∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC、∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB、∴AF⊥平面SBC、又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC、∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB、又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA、点评：本题在三棱锥中证明面面平行和线线垂直，着重考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题、17、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上、（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围、分析：（1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；（2）设出点C，M的坐标，利用|MA|=2|MO|，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论、解答：解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）、∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=﹣，…（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣x+3，即x=0或12x+5y﹣15=0；（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤、点评：此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题、18、（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径、一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C、现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min、在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C、假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？分析：（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为v m/min，从而求出v的取值范围、解答：解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m、所以索道AB的长为1040m、（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短、（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C、设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内、点评：此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型、19、（16分）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和、记b n=，n∈N*，其中c为实数、（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0、分析：（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1，b2，b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到S n，在前n项和公式中取n=nk 可证结论；（2）把S n代入中整理得到b n=，由等差数列的通项公式是a n=An+B的形式，说明，由此可得到c=0、解答：证明：（1）若c=0，则a n=a1+（n﹣1）d，，、当b1，b2，b4成等比数列时，则，即：，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a、因此：，，、故：（k，n∈N*）、（2）==、①若{b n}是等差数列，则{b n}的通项公式是b n=A n+B型、观察①式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而，故c=0、经检验，当c=0时{b n}是等差数列、点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，考查了学生的运算能力，解答此题的关键是理解并掌握非常数等差数列的通项公式是关于n的一次函数，此题是中档题、20、（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数、（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论、分析：（1）求导数，利用f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（2）先确定a的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数、解答：解：（1）求导数可得f′（x）=﹣a∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥，x∈（1，+∞）、∴a≥1、令g′（x）=e x﹣a=0，得x=lna、当x＜lna时，g′（x）＜0；当x＞lna时，g′（x）＞0、又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，即a＞e、故a的取值范围为：a＞e、（2）当a≤0时，g（x）必为单调函数；当a＞0时，令g′（x）=e x﹣a＞0，解得a＜e x，即x＞lna，因为g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤﹣1，即0＜、结合上述两种情况，有、①当a=0时，由f（1）=0以及f′（x）=＞0，得f（x）存在唯一的零点；②当a＜0时，由于f（e a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）＜0，f（1）=﹣a＞0，且函数f （x）在[e a，1]上的图象不间断，所以f（x）在（e a，1）上存在零点、另外，当x＞0时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f（x）只有一个零点、③当0＜a≤时，令f′（x）=﹣a=0，解得x=、当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，所以，x=是f（x）的最大值点，且最大值为f（）=﹣lna﹣1、（i）当﹣lna﹣1=0，即a=时，f（x）有一个零点x=e；（ii）当﹣lna﹣1＞0，即0＜a＜时，f（x）有两个零点；实际上，对于0＜a＜，由于f（）=﹣1﹣＜0，f（）＞0，且函数f（x）在[]上的图象不间断，所以f（x）在（）上存在零点、另外，当0＜x＜时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，）上时单调增函数，所以f（x）在（0，）上只有一个零点、下面考虑f（x）在（，+∞）上的情况，先证明f（）=a（）＜0、为此，我们要证明：当x＞e时，e x＞x2、设h（x）=e x﹣x2，则h′（x）=e x﹣2x，再设l（x）=h′（x）=e x﹣2x，则l′（x）=e x﹣2、当x＞1时，l′（x）=e x﹣2＞e﹣2＞0，所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上时单调增函数；故当x＞2时，h′（x）=e x﹣2x＞h′（2）=e2﹣4＞0，从而h（x）在（2，+∞）上是单调增函数，进而当x＞e时，h（x）=e x﹣x2＞h（e）=e e﹣e2＞0，即当x＞e 时，e x＞x2当0＜a＜，即＞e时，f（）==a（）＜0，又f（）＞0，且函数f（x）在[，]上的图象不间断，所以f（x）在（，）上存在零点、又当x＞时，f′（x）=﹣a＜0，故f（x）在（，+∞）上是单调减函数，所以f（x）在（，+∞）上只有一个零点、综合（i）（ii）（iii），当a≤0或a=时，f（x）的零点个数为1，当0＜a＜时，f（x）的零点个数为2、点评：此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度较大、[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答、若多做，则按作答的前两题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21、（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC、求证：AC=2AD、分析：证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得，结合BC=2OC=2OD，即可证明结论、解答：证明：连接OD、因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADO=∠ACB=90°又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以，因为BC=2OC=2OD、所以AC=2AD、点评：本题考查圆的切线，考查三角形相似的判定与性质，比较基础、B、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22、（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B、分析：设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论、解答：解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==、点评：本题考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力，属于基础题、C、[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23、在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）、试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标、分析：运用代入法，可将直线l和曲线C的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标、解答：解：直线l的参数方程为（为参数），由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t，可得直线l的普通方程：2x﹣y﹣2=0、曲线C的参数方程为（t为参数），化为y2=2x，联立，解得，，于是交点为（2，2），、点评：本题主要考查了参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查了转化能力，属于基础题、D、[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24、已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b、分析：直接利用作差法，然后分析证明即可、解答：证明：2a3﹣b3﹣2ab2+a2b=2a（a2﹣b2）+b（a2﹣b2）=（a﹣b）（a+b）（2a+b），∵a≥b＞0，∴a﹣b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，从而：（a﹣b）（a+b）（2a+b）≥0，∴2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b、点评：本题考查不等式的证明，作差法的应用，考查逻辑推理能力、第25题、第26题，每题10分，共计20分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、25、（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点、（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值、分析：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值、（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值、解答：解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为、（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==、∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为、点评：本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用、26、（10分）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，、记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）、对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数、分析：（1）由数列{a n}的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合P l，即可得到元素个数；=﹣i（2i+1）（i∈N*）、再结合定义，运用等差（2）运用数学归纳法证明S i（2i+1）数列的求和公式，即可得到所求、解答：解：（1）由数列{a n}的定义得a1=1，a2=﹣2，a3=﹣2，a4=3，a5=3，a6=3，a7=﹣4，a8=﹣4，a9=﹣4，a10=﹣4，a11=5，所以S1=1，S2=﹣1，S3=﹣3，S4=0，S5=3，S6=6，S7=2，S8=﹣2，S9=﹣6，S10=﹣10，S11=﹣5，从而S1=a1，S4=0•a4，S5=a5，S6=2a6，S11=﹣a11，所以集合P11中元素的个数为5；（2）先证：S i（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）、事实上，①当i=1时，S i（2i+1）=S3=﹣3，﹣i（2i+1）=﹣3，故原等式成立；②假设i=m时成立，即S m（2m+1）=﹣m（2m+1），则i=m+1时，S（m+1）（2m+3）=S m（2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m（2m+1）﹣4m﹣3=﹣（2m2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）、综合①②可得S i（2i+1）=﹣i（2i+1）、于是S（i+1）（2i+1）=S i（2i+1）+（2i+1）2=﹣i（2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）、由上可知S i（2i+1）是2i+1的倍数，而a i（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），所以S i（2i+1）+j=S i（2i+1）+j（2i+1）是a i（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍数、又S（i+1）（2i+1）=（i+1）•（2i+1）不是2i+2的倍数，而a（i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），所以S（i+1）（2i+1）+j=S（i+1）（2i+1）﹣j（2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j（2i+2）不是a（i+1）（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+2）的倍数，故当l=i（2i+1）时，集合P l中元素的个数为1+3+…+（2i﹣1）=i2，于是，当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合P l中元素的个数为i2+j又2000=31×（2×31+1）+47，故集合P2 000中元素的个数为312+47=1008点评：本题考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力，以及运用数学归纳法的推理论证能力，有一定的难度。
2013江苏高考数学模拟试卷3-参考答案
犛 ０ １ １ 犪 ２ ０ １ １ ＝２ １＋ 烄 烅 犪 犪 ０ ０ ７ 犱＝７ １ ０ ０ ８＝ １ ＋１ 烆
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２ ０ １ ３×２ ０ １ ２ ２ ０ １ ３×２ ０ １ ２ ） vw ， ×犱＝２ ×４＝６ ０ ３ ９． 犛 ０ １ ３ 犪 ０ １ ３× （ －４ ０ ２ １ ＋ ２ ０ １ ３ ＝２ １＋ ２ ２ ， 】 (÷ø# ４ + ±２， vw ω＝ ， ! 狓） 犃＝２， 【 1~^w3ö 犳（ π （２狓＋ ４π） ２ １ １ ３ π， ， 1Ùùt®^3 １ × π ＋ y φ＝３ vw 犳（ 狓） ＝２ ｓ ｉ ｎ（ 狓＋ ＝π， 狓） ＝２ ｓ ｉ ｎ（ 狓＋ π） ． 犳（ φ） ４ ２ ２ ２ φ ２ ４ ８． 狓） ＝２ ｓ ｉ ｎ 犳（ １ ３ １
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江苏省海安中学、金陵中学、南京外语学校2013届高三联考数学试题(最后一卷)
海安高级中学江苏省2013届南京外国语学校 高三调研测试南京市金陵中学数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是 ▲ ． 2．设复数1a +=-i z i（i 是虚数单位，a ∈R ）．若z 的虚部为3，则a 的值为 ▲ ．3．右图是小王所做的六套数学附加题的得分的茎叶图（满分40分），则其平均 得分为 ▲ ．4．设集合{A x y =，{}(0)m B y y x m x A ==+>∈R ð，，若B ，则m 取值范围是 ▲ ．5．右图是一个算法的伪代码，输出结果是 ▲ ． 6．在区间[0，1]间随机取出2个数（可以相同），它们的差的绝对值 大于12的概率为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，过点M （1，0）的直线x +y -c =0与 圆225x y +=交于A ，B 两点，则AM = ▲ ．8．常用的复印纸的型号有A 1，A2，A3等，它们的长⨯宽（单位：mm ）理想设计尺寸分别为840594⨯，594420⨯，420297⨯，据此可推得，A4型号的复印纸的理想设计尺寸应为 ▲ ．9．已知0πy x <<<，且t a n t a n 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -= ▲ ．10．设函数()2f x x c =+，()x g x ae =的图象的一个公共点为()2,P t ，且曲线()y f x =，()y g x =在点P 处有相同的切线，函数()()f x g x -的负零点在区间(),1k k +()k ∈Z ，则k = ▲ ． 11．设数列{}n a 满足1a =当0n a ≠时，11n n a +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当0n a =时，10n a +=．则2013a = ▲ ．（注：[x ]为不超过实数x 的最大整数，记{x }=x -[x ]．）12．已知直角三角形ABC 的三个顶点都在抛物线212y x =上，且斜边AB // x 轴，则斜边上的高等于1 82 83 0 2 84 0（第3题）S ←0 a ←1For I From 1 to 3 a ←2×a S ←S ＋a End For Print S（第5题）P A BC OM （第16题） 13．已知平面向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角余弦为15，b 与c 的夹角余弦为13-，1=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．设t ∈R ，对任意的n ∈*N ，不等式ln 20ln ln 20ln nt n t nt t n ++≥，则t 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，A π∠=，BC =3，点D 在BC 边上．（1）若AD 为A ∠的平分线，且BD =1，求△ABC 的面积；（2）若AD 为△ABC 的中线，且AD ，求证：△ABC 为等边三角形．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，除棱PC 外，其余棱均等长，M 为棱AB 的中点，O 为线段MC 上靠近点M 的三等分点．（1）若PO MC ⊥，求证：PO ⊥平面ABC ；（2）试在平面PAB 上确定一点Q ，使得//OQ 平面PAC ，且//OQ 平面PBC ，并给出证明．17．(本小题满分14分)如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD ，AB =，CD =，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m ，在AB 上取一点E，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？ （2）如图（2）设两根钢管相距，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、B 处和E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？A E D CB F A E DC B F 图1 图2（第18题）18．(本小题满分16分)定义：如果两个椭圆，它们的离心率相同，那么称这两个椭圆相似，它们的长轴之比（大于1）叫做这两个椭圆的相似比．（1）设,m n *∈N ，试判断椭圆221:11x y C m m +=+和椭圆222:11x y C m n m +=++能否相似？相似时求出它们的相似比；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆1C ：22221(0)y x a b a b+=>>和椭圆2C ：221122111(0)y x a b a b +=>>相似，过椭圆1C 的右焦点F 且不垂直于x 轴的直线l 与这两个椭圆自上而下依次交于点A ，B ，C ，D ，射线OB ，OC 与椭圆2C 分别交于点M ，N ，连MN ．求证：①MN ∥l ；②△ABM 和△CDN 的面积相等．19．(本小题满分16分)已知各项均为正数的两个无穷数列{}n a 、{}n b 满足1112(N )n n n n n a b a b na n *++++=∈．（1）当数列{}n a 是常数列（各项都相等的数列），且112b =时，求数列{}n b 的通项公式；（2）设{}n a 、{}n b 都是公差不为．．0．的等差数列，求证：数列{}n a 有无穷多个，而数列{}n b 惟一确定；（3）设2121n n n n a a a a ++=+()n *∈N ，21nn i i S b ==∑，求证：226n S n <<．20．(本小题满分16分)设函数()1|||1|x xf x e a e=-+-，其中a ，x ∈R ，e 是自然对数的底数， 2.71828e =⋅⋅⋅. （1）当a =0时，解不等式()2f x <；（2）求函数()f x 的单调增区间；（3）设43a ≥，讨论关于x 的方程()()14f f x =的解的个数．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知曲线1C ：221x y +=，对它先作矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，再作矩阵010m B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到曲线2C ：2214x y +=，求实数m 的值． C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨⎪⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩， （t 为参数，0 ααπ<<π≠2，且），若圆C 被直线l α的值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1=AB =AC =1，AB ⊥AC ，M ，N 分别是棱CC 1，BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上．（1）求直线PN 与平面ABC 所成的角最大时，线段1A P 的长度；（2）试确定点P 的位置，使平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为6π，并说明理由．23．（本小题满分10分）设函数()sin cos n n n f θθθ=+，n ∈*N ，且()1f a θ=，其中常数a 为区间（0，1）内的有理数．（1）求()n f θ的表达式（用a 和n 表示）； （2）求证：对任意的正整数n ，()n f θ为有理数． A 1C 1B 1MCN BAP（第22题）海安高级中学2013届 南京外国语学校 高三调研测试南京市金陵中学数学Ⅰ参考答案及评分标准一、填空题：1.1x ∃>，23x <2.5 3．31 4．1＜m ＜9 5．14 6．14 7．2或128．297×210 9．π3 10．1- 111 12．2 13．14．[4,5]二、解答题：15．（1）在△ABD 中，sin πsin 6AB BD BDA =∠，在△ACD 中，sin πsin 6AC CD CDA =∠， 相除得：AC =2AB ． ………………………………………3分 在△ABC 中，2222π2cos 393BC AB AC AB AC AB =+-⋅==，∴ABAC6分∴1πsin 23ABC S AB AC ∆=⋅=……………………………7分（2）∵2AB AC AD +=，∴()()22222112cos 44AD AB AC AB AC A AB AC AB AC =++⋅=++⋅， ∴2227AB AC AB AC ++⋅=………………………………9分又2229AB AC AB AC BC +-⋅==，相减得9AB AC ⋅=，………………………………………11分 ∴229AB AC AB AC AB AC +-⋅==⋅，∴()20AB AC -=即∶AB =AC ，又∠C =60°，∴三角形ABC 为等边三角形．………………14分 16．由题意得：O 为△ABC 的中心，则CM ⊥AB ，∵M 为棱AB 的中点，P A =PB ，∴PM ⊥AB ，………………………………2分 又PM ∩CM =M ，∴AB ⊥平面PMC ， ………………………………4分 又PO ⊂平面PMC ，∴AB ⊥PO ．又PO ⊥MC ，MC ∩AB =M ，∴PO ⊥平面ABC ………………………………7分 （2）Q 为线段MP 上靠近M 点的三等分点．…………………………………9分 ∵MQ MO QP OC=，∴OQ //PC ，又OQ ⊂/平面PAC ，PC ⊂平面P AC ，∴OQ //平面P AC ……12分 同理可证：OQ //平面PBC ． ………………………………………14分 17．（1）设钢丝绳长为y m ，CFD θ∠=，则11tan cos cos y θθθ==（其中00θθ<<，0tan 7θ=）…………………3分2sin sin cos y θθθ'+当tan θ34=BE 时，min 8y =…………………………………6分 （2）设钢丝绳长为y m ，CFD θ∠=，则()1cos sin y θθ=++⎝⎭（其中00θθ<<，0tan 3θ==）………9分()()sin 1sin cos cos sin y θθθθθ⎫'=++++-令0y '=得sin cos θθ=，当π4θ=时，即36=BE时)min 2y =………12分答：按方法（1），34=BE 米时，钢丝绳最短；按方法（2），36=BE 米时，钢丝绳最短. …………………………………14分 18．（1）因为椭圆12,C C的离心率分别为12e e ==， 令12e e =得(2)1n m -=， ………………………………2分 因为*,N m n ∈，所以当且仅当1,3m n =⎧⎨=⎩时，椭圆12,C C 相似，………………………………3分此时，椭圆1C ：22121y x +=，222:142x y C +==.……………4分（2）①因为椭圆12,C C 相似，所以椭圆2C 的方程为2222221(1)x y t a t b t+=>.设11223344(,),(,),(,),(,)B x y C x y A x y D x y ，则射线OB 的方程为11yy x x =，代入2C 的方程得2222222211()M M yb x a x a b t x +=，即222222222111()M b x a y x a b t x +=，………………………5分因为2211221x y a b +=，所以2221M x t x =，1M x t x =，所以1M OM x t OB x ==. …………………7分 同理，ON t OC =，所以OM ONOB OC=，因此MN ∥BC ，即MN ∥l . ………………………9分 ②设直线:()l y k x c =-，其中c =，代入椭圆1C 的方程并化简得22222222222()20b a k x a k cx a c k a b +-+-=，所以22122222a k cx x b a k +=+. 同理得22342222a k cx x b a k +=+， ………………………………………11分因此1234x x x x +=+即1342x x x x -=-. ………………………………………13分因为22222131313()()(1)()AB x x y y k x x =-+-=+-，同理22224(1)()CD k x x =+-，所以AB CD = …………………………………15分 又由①知，△ABM 中AB 边上的高AB h 等于△CDN 中CD 边上的高CD h ，而11,22ABM AB CDN CD S AB h S CD h ∆∆=⋅=⋅，故△ABM 和△CDN 的面积相等．…………16分 19．（1）因为数列{}n a 是常数列，且*1112()N n n n n n a b a b na n ++++=∈，所以*12()N n n b b n n ++=∈…①，因此*12(1)(,2)N n n b b n n n -+=-∈≥…②，①-②得*112(,2)N n n b b n n +--=∈≥，……………2分这说明数列{}n a 的序号为奇数的项及序号为偶数的项均按原顺序构成公差为2的等差数列，又112b =，122b b +=，所以232b =，因此2111(1)2(21)22n b n n -=+-⋅=--，231(1)2222n b n n =+-⋅=-，即*1()2N n b n n =-∈. ………………………………………4分（2）设{}n a ，{}n b 的公差分别为1212,(0)d d d d ≠，将其通项公式代入*1112()N n n n n n a b a b na n ++++=∈得111211121211[()]()()[()]2()d n a d nd b nd a d n b d n nd a +-++++-=+，因为它是n 的恒等式，所以12111121211111121222,2222,20,0,d d d b d a d d d a a b b d a d d d =⎧⎪+-=⎪⎨--=⎪⎪≠⎩解得1112,1,1,d a b d =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此1,.n n a na b n =⎧⎨=⎩……………………7分由于1a 可以取无穷多非零的实数，故数列{}n a 有无穷多个，数列{}n b 惟一确定.………8分（3）因为2*121()1N n n n a a n a ++=∈+，且0n a >，所以2212011n n n n n n n n a a a a a a a a ++-=-=>++，即1n n a a +<，……………………………10分所以1111112n n n n n n n n n a b a b na a b a b +++++++=<+，得12n n b b n ++>，因此212342121()()()nn i n n i S b b b b b b b -===++++⋅⋅⋅++∑221232(21)2n n >⨯+⨯+⋅⋅⋅+-=． (12)分又由*1112()N n n n n n a b a b na n ++++=∈得11(2)n n n n a b n b a ++=-，而0n a >，所以2n b n <．因此2212(122)2(12)42nn i i S b n n n n n ==<++⋅⋅⋅+=+=+∑，…………………………………14分所以22(2,42)n S n n n ∈+．所以22246nS n n <<+≤．………………………………………16分 20．（1）当0a =时，不等式()2f x <即112xxe e +-<， 即112xx e e -<-，因此112,112,x x x xe e e e ⎧->-⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩………………………………………2分x e <<，所以x <<，所以原不等式的解集为.…………………………………4分（2）①当0a ≤时，11,0,1()111,0.x x xx x x e a x e f x e a e e a x e ⎧--+≥⎪⎪=-+-=⎨⎪+--<⎪⎩因为0x >时，1()0x x f x e e'=+>，0x <时，1()0x x f x e e=-<，故()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；…②当01a <<时，11,0,1()1,ln 0,11,ln .x x x x x x e a x e f x e a a x e e a x a e ⎧--+≥⎪⎪⎪=+--<<⎨⎪⎪-++-≤⎪⎩仿①得()f x 在(,ln )a -∞和(ln ,0)a 上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.即()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；6分③当1a =时，1,0,()1,0,x x x xe x ef x e x e ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩易得()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； …………………7分④当1a >时，11,ln ,1()1,0ln ,11,0.x x x x x x e a x a e f x e a x a e e a x e ⎧--+≥⎪⎪⎪=--++<<⎨⎪⎪-++-≤⎪⎩同理得()f x 在区间(,ln )a -∞上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增.…………………8分综上所述，当1a ≤时，()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在区间(,ln )a -∞上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增．……………10分 （3）由（2）知：当43a ≥时，因为ln ln 11(ln )11aa f a e a e a=--+=-， 又x →+∞时，11xxe a e --+→+∞， 所以()f x 的值域为1[1,)a -+∞，且11114a >-≥（等号仅当43a =时取）.…………………12分令1(),()4f x u f u ==，当43a >时，1()4f u >，所以1()4f u =不成立，原方程无解；………………………………13分当43a =时，由1()4f u =得4ln 3u =，因为44256ln()lnln 31381=>>，所以41ln 34>，所以4()ln 3f x =有两个不相等的实数根，故原方程有两个不同的实数解. …………………………………15分 综上所述，当43a >时，原方程无解；当43a =时，原方程有两个不同的实数解．……………16分数学Ⅱ（附加题）参考答案及评分标准B ．选修4—2：矩阵与变换解：010********m m BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦…………………………………2分 设P ()00,x y 是曲线1C 上的任一点，它在矩阵BA 变换作用下变成点(),P x y '''，则 000020210x my x m y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦………………………………………5分 则002,,x my y x '=⎧⎨'=⎩即00,1,2x y y x m'=⎧⎪⎨'=⎪⎩………………………………………8分 又点P 在曲线1C 上，则22214x y m''+=，21m =，所以，1m =±……………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：圆的直角坐标方程为()(2214x y -+=，……………………………………2分直线的直角坐标方程为()1y k x =-()tan k α= ………………………………………4分 因为圆C 被直线l，…………………6分=k =，即tan α=，……………………………………8分 又0πα<<∴α=π3或2π3． …………………………………10分【必做题】22．解：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A 1（0，0，1），B 1（1，0，1），M （0，1，12），N （12，12，0），()1111,0,0A P A B λλ==u u u r u u u u r ， ()11,0,1AP AA A P λ=+=u u u r u u u r u u u r ；()11,,122PN λ=--uuu r ． (2)（1）∵()0,0,1=m 是平面ABC 的一个法向量． ∴sin |cos ,|PN θ=<>==uuu rm∴当12λ=时，θ取得最大值，此时sin θ=tan 2θ=答：当12λ=时，θ取得最大值，此时tan 2θ=．…………………………5分 （2）设存在，()111,,NM =-uuu u r，设(),,x y z =n 是平面PMN 的一个法向量．则1110,22211()0,22x y z x y z λ⎧-++=⎪⎨⎪-+-=⎩得12,322,3y x z x λλ+⎧=⎪⎨-⎪=⎩令x =3，得y =1+2λ，z=2-2λ；∴()3,12,22λλ=+-n ， ………………………………7分 ∴|cos ,|<>==m n 4210130λλ++=（*）∵△＝100－4⨯4⨯13＝－108＜0，∴方程（*）无解，∴不存在点P 使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º．……………………10分23．解：（1）由22sin cos ,sin cos 1a θθθθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得21sin cos a θθ-=， 所以sin θ、cos θ可以看成方程22102a x ax --+=的两个根，则x =3分∴()((2nnnnn na a f θ++=+=⎝⎭⎝⎭． ……………4分（2）((242244222222nnn n n n n C C --⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭………8分∵a 为有理数，mn C 为整数，∴()n f θ为有理数． ……………………10分。
2013年江苏高考数学数学模拟卷答案详解
高三教学调研测试试题数学I （正题）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在相应位置上。
1.设集合(]1,1-=A ，()2,0=B ，则=B A .2.若复数z 满足)1(2i i z +=-（i 为虚数单位），则=z .3.已知双曲线)0(1322>=-m y m x 的一条渐近线方程为x y 23=，则m 的值为 . 4.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差=2s .5.如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆.向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为 .6.已知4张卡片（大小，形状都相同）上分别写有1，2，3，4，从中任取2张，则这2张卡片中最小号码是2的概率为 .7.等比数列{}n a 中，若33=a ，246=a ，则8a 的值为 .8.已知钝角α满足53cos -=α，则)42tan(πα+的值为 . 9.已知函数⎩⎨⎧>≤+=-,2,3,2),1()(x x x f x f x 则)2(log 3f 的值为 . 10.已知点P 在ABC ∆所在平面内，若3432=++，则PA B ∆与PBC ∆的面积的比值为 .11.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：（1）若βα//，β⊂m ，α⊂n ，则n m //；（2）若βα//，β⊥m ，α//n ，则n m ⊥；（3）若βα⊥，α⊥m ，β//n ，则n m //；（4）若βα⊥，α⊥m ，β⊥n ，则n m ⊥.上面命题中，所有真命题的序号为 .12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在曲线)0(1>=x xy 上，点P 在x 轴上的射影为M .若点P 在直线0=-y x 的下方，当MPOM OP -2取得最小值时，点P 的坐标为 .13.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB 的中点为M ，若022≥+∙BF MF MA ，则该椭圆离心率的取值范围为 . 14.设实数6≤n ，若不等式08)2(2≥--+n x xm 对任意[]2,4-∈x 都成立，则n m n m 344-的最小值为 .二．解答题：本大题共六小题，共计90分。
江苏省南师大数科院2013届高三模拟最后一卷数学试题Word版含答案
江苏省南师大数科院2013届高考数学模拟最后一卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．若12(1)ai bi i +=-，其中a 、b ∈R，i 是虚数单位，则||a bi += ▲ ．2．已知集合R U =，集合},2{R x y y M x∈==，集合)}3lg({x y x N -==，则()=N M C U ▲ ．3．某学校高中三个年级的学生人数分别为：高一 950人，髙二 1000人，高三1050人．现要调查该校学生的视力状况，考虑采用分层抽样的方法，抽取容量为60的样本，则应从高三年级中抽取的人数为 ▲ ．4．某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加, 最终将有3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是5．以椭圆22143x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ▲ ． 6．如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+ ， AQ =23AB+14AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ▲ ．7．执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为 ▲ ．8．在ABC ∆中，若,,AB AC AC b BC a ⊥==，则ABC ∆的外接圆半径222a b r +=，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R = ▲ ．9．若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为 ▲ ．10．空间直角坐标系中，点(6,4sin ,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．P CA B Q （第6题）图（5）MN F D CB A E11．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：x3 5 8 9 15x lgb a -2c a +c a 333-- b a 24- 13++-c b a请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ．12．如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 ▲ ．13．已知A 为直线2:=+y x l 上一动点，若在1:22=+y x O 上存在一点B 使︒=∠30OAB 成立，则点A 的横坐标取值范围为 ▲ ．14．若方程)1ln(2ln +=x kx没有实数根，那么实数k 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15、（本小题满分15分）已知函数2sin 2cos2sin3)(2ϕωϕωϕω++++=x x x x f 0(>ω，)20πϕ<<．其图象的两个相邻对称中心的距离为2π，且过点)23,6(π．（Ⅰ）求ω、ϕ的值；（Ⅱ）在△ABC 中．a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，5a =，25ABC S ∆=，角C 为锐角。
2013年高考数学押题卷最后一卷试题及答案
2013高考数学押题卷最后一卷试题及答案问 卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a 是实数，且(34)(4)i ai ++是纯虚数，则a =( )A ．163-B ．163C ．3-D ．3 2．若x R ∈，那么1xx +为正数的充分不要条件是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜0C ．01<<-xD ．1-<x 或0x >3.在△ABC 中,D 为AB 边上一点，若,,2CB Y CA x CD DB AD +==，则X,Y 分别是A 3231, B. 3132, C. 3231,-- D. 3132,--4.以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是 A ．x 2+y 2－10x +9=0 B ．x 2+y 2－10x +16=0 C ．x 2+y 2+10x +16=0D ．x 2+y 2+10x +9=05．函数()1||xxa y a x =>的图象的大致形状是( )6．某产品的成本费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程a x byˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报成本费用为6万元时销售额为（ ）Ａ．72.0万元 B ．67.7万元 C ．65.5万元 D ．63.6万元BC7．设曲线2cos sin x y x -=在点,22π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线10x ay ++=垂直，则a =( )A ．2B ．2-C ．1-D ．18．若函数||3([,])x y x a b =∈的值域为[1，9]，则a 2 + b 2 – 2a 的取值范围是A ．[8，12]B．C ．[4，12]D ．[2，]二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题。
每小题5分共35分.（一）选做题（请考生在第9-11题中任选两题作答，若全做，则按前两题记分） 9.如右图，过点P 的直线与圆O 相交于A ，B 两点. 若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O 的半径等于_______. 10．若直线l ：kx y =与曲线c ：⎩⎨⎧=+=θθsin cos 2y x （θ为参数）有唯一的公共点，则实数k=______________．11．用0.618法寻找某实验的最优加入量时，若当前存优范围是[628，774],好点是718，则此时要做试验的加入点值是______________．(二)必做题（12～16题） 12. 72)(xx x -的展开式中，4x 的系数是______________．13.. 由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为______________．14.有5本不同的书，其中语文书3本，数学书2本， 若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一 科目的书都不相邻的概率______________．15．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印 的点既满足40y x -->，又在直线92y =下方的 有____ _ __个.16．下面的数组均由三个数组成，它们是：(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16，20)，(5，32，37)，…，(a n ，b n ，c n )（ 1 ）请写出c n 的一个表达式，c n = ； （2）若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10 = ．（用数字作答）P三、解答题：本大题共6小题，共75分。
2013年高考押题最后一卷【数学试题2】(含答案)
013年全国高考押题最后一卷数 学 试 题(二)一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集U R =，(2){|21}x x A x -=<，{|ln(1)}B x y x ==-，则图中阴 影部分表示的集合为A .{|1}x x ≥B .{|01}x x <≤C .{|12}x x ≤<D .{|1}x x ≤2．在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的 中点，则点C 对应的复数是（A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i3.设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首 项，2为公比的等比数列，则210b b b a a a =+++ （ ） A ．1033 B ．1034 C ．2057 D ．2058４.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）Ａ．８０Ｂ．６４Ｃ．96+Ｄ．１０２５.在ABC ∆中,c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，如果a c 3=,︒=30B , 那么角C 等于（ ） A. ︒60 B. ︒90 C.︒120 D.︒150６．对任意非零实数a ，b ，若a b ⊗的运算原理如右图程序框图所示， 则(32)4⊗⊗的值是( ) A ．0 B ．12 C ．32D ．9 ７．在抛物线y=x 2+ax-5(a ≠ 0)上取横坐标为x 1=4,x 2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2+5y 2=36相切，则 （A ） (-2,-9) （B ）(0,-5) (C) (2,-9) （D ）(1,6)８．一电子玩具可以向左、右、上、下四个方向运动，第次只能运动一个长度单位，向左、右、上、下四个方向运动一次分别闪红、黄、蓝、紫色灯一次，电子玩具从原点（０，０）到（８，６）按最短路径运动，上述彩灯闪烁的结果有（ ） A ．3003种 B.14种 C.2162160种 D.28种二、填空题9．如果随机变量ξ～N (2,1σ-),且P （13-≤≤-ξ）=0.4，则P （1≥ξ）= .10.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；没送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润是11.已知双曲线122=-y mx 的右焦点恰好是抛物线x y 82=的焦点，则m =.12.不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是13.若(x -2)5=a 3x 5+a 5x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=______.(用数字作答) 14．。
2013年高考押题最后一卷【数学试题1】(含答案)
2013年全国高考押题最后一卷数 学 试 题(一)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,将正确选项填涂在答题卡上． 1．设{}{},0,1,U R A x x B x x ==>=>则=⋂B C A UA ．[)1,0B ．(]1,0C ．()0,∞-D ．()+∞,12．已知函数f (x )=⎩⎨⎧≤>)0( 3)0( log 2x x x x ，则()()14-f f 的值是A. 9B. －9C.91 D. －91 3．已知正项数列{}n a 中， (),22,2,12121221≥+===-+n a a a a a n n n 则=6aA. 16B.8C.4D.224．已知,,R b a ∈且,0,0≠>b a 则“ba 1>”是“1>ab ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．把函数()12cos -=x y 的图像向左平移21个单位，再将所有点的横坐标伸长2倍（纵坐标不变）后可得函数A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23cos πx y B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos πx y C.3sin()2y x π=+ D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin πx y6．四面体ABC P -，面PAB 内有一点M ，在面PAB 内过点M 作直线，则下列叙述不正．．确．的是 A. 可能有无数条直线与PC 垂直 B. 可能存在两条直线与PC 垂直C. 可能存在唯一一条直线与PC 垂直D. 可能不存在与PC 垂直的直线 7．非零向量b a ,，下列正确的命题个数()0>=λλb a()0<=λλb a=a A. 0 B.1 C.2 D.8．如图，已知点P 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线 相交于M ，N 两点，点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是A ．5B ．2C ．3D ．29．我们把有相同数字相邻的数称为“和数”（如1224是一个“和数”），现从由两个1，两个2，一个3，一个4这六个数字构成的所有不同的6位数中，抽出一个数字是“和数”的概率 A ．158 B ．157 C ．154 D ．152 10．记函数()()(),033,22≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=y y x y x y x F 则()y x F ,的最小值是 A ．512 B ．516 C ．518D ． 4 非选择题部分 (共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．若复数()3i,i 12ia a R -∈+为虚数单位是纯虚数， 则=a .12．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何 体的体积是___ _．13．阅读右侧程序框图，输出的结果i 的值为 .14．设M 是平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-00203x y x y x 内的动点，()2,1=a ，则 a OM ⋅的最大值为 .15．已知n n n x a x a x a a ax ++++=+ 2210)1(（n N *∈），若7,421==a a ，则实数a = ．16．函数()1251,0,,44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩关于x 的方程()()()01222=++-m x f m x f 有7个不同的实数解，则=m .17．若关于x 的不等式022<+-a x ax 的解集为∅，则实数a 的取值范围为 ________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且a ，b ，c 成等比数列，()1),cos(C A m -=，()B n cos ,1=,满足.23=⋅n m （1）求sin sin A C 的值； （2）若,2=a 求△ABC 的面积.S19．(本题满分14分)袋中共有10个大小相同编号为1、2、3的小球，其中1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个(m n ≤)．从袋中依次摸出2个小球，若第一次摸出3号球，再摸出一个2号球的概率是.51（1）求m ，n 的值；（2）从袋中任意摸出2个小球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．20．(本题满分14分) 如图，在矩形ABCD 中，BC AB 2=，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且AM DF ⊥，垂足为E ，若将ADM ∆沿AM 折起，使点D 位于D '位置，连接B D '，C D '得四棱锥ABCM D -'. （1）求证：F D AM '⊥；（2）若二面角C AM D --'的平面角为3π，直线F D '与平面ABCM 所成角为3π，求二面角A MC D --'平面角的正弦值.21．(本题满分15分) 如图，已知,A B 是椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左,右顶点，B (2,0)，过椭圆C 的右焦点F 的直线交于其于点M , N , 交直线4x =于点P ，且直线PA ，PF ，PB 的斜率成等差数列．（1）求椭圆C 的方程； （2）若记,AMB ANB ∆∆的面积分别为12,S S 求12S Sx22．(本题满分15分) 已知函数ax x x f -=2)(，x x g ln )(=， （1）若)()(x g x f ≥对于定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设)()()(x g x f x h +=有两个极值点1x ，2x 且)21,0(1∈x ，求证：2ln 43)()(21->-x h x h .参考答案11． 6 12.13. 13 14 . 7 15. 1216. 2 17. a ≥18. (1)34(2) 19. (1) 3,6m n == (2)5E ξ= 20 . (1) 略 21.,439221+-=m y y ② ……………①2/②得,,434221221221y y t m m y y y y =+-=++令 …………11,433163104381011222+-=++=+=+m m m t t t t 则 .331,31012<<<+≤∴t t t 即 (13x),212121t y AB y AB S S ANB AMB ==∆∆ )3,31(∈∴∆∆ANB AMB S S ………15分22．解：（1）)()(x g x f ≥，xxx a ln -≤∴ )0(>x -------------4设x xx x ln )(-=ϕ，221ln )(xx x x -+='ϕ 当)1,0(∈x 时，)(x ϕ'0<，当),1(+∞∈x 时，)(x ϕ'0>1)1()(=≥∴ϕϕx ，(]1,∞-∈∴a ---------------------------------------7（2）x ax x x h ln )(2+-=xax x x h 12)(2+-='∴ （0>x ）-----------------------8解法（a ）2121=∴x x ， )21,0(1∈x ),1(2+∞∈∴x ，且122+=i i x ax （2,1=i ）--01' ∴)ln ()ln ()()(2222112121x ax x x ax x x h x h +--+-=- 212122222121ln)ln 1()ln 1(x x x x x x x x +-=+---+--= 2222222ln 41x x x --= （12>x ）---------------------------------------10 设2222ln 41)(x xx x --=μ )1(≥x ， 02)12()(322≥-='x x x μ 2ln 43)1()(-=>∴μμx 即2ln 43)()(21->-x h x h ------------------------------15 解法（b ）2121=∴x x ， )21,0(1∈x ),1(2+∞∈∴x ，且122+=i i x ax （2,1=i ）31222>+=∴x x a --------------------------------------------------12 由x ax x x h ln )(2+-=的极值点可得2ln 432ln 432)1()21()()(21->--=->-a h h x h x h ------------------15。
江苏省2013届高三高考压轴【数学试题】(含答案)
20.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) x ax x 2 .( a R ).
3 2
（1）当 a 1 时，求函数 f ( x) 的极值； （2）若对 x R ，有 f '( x) | x |
4 成立，求实数 a 的取值范围． 3
第Ⅱ部分 附加题 （满分 40 分，答卷时间 30 分钟） 21 选做题： 本大题共 4 小题， 请从这 4 题中选做 2 小题， 如果多做， 则按所做的前两题记分． 每 小题 10 分，共 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A． （几何证明选讲） 如图，已知 PA 与圆 O 相切于点 A ，直径 BC OP ，连接 AB 交 PO 于点 D （Ⅰ）求证： PA PD ； （Ⅱ）求证： AC AP AD OC ．
m 0 B．由题意得 m 0
0 1 1 1 , n 0 0 0 0 0 2 , n 1 1
m 1, 0 n 0, m 1, 化简得 所以 n 2. 0 m 0, n 2,
2014 南师附中高考压轴卷 数学试题参考答案
第Ⅰ部分 必做题 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．不需写出解答过程，请把答案直接 填写在相应位置上． 1．{1，2，3} 2． 10 3．2 4. 7 5. .
5 12 y sin( 2 x
3
6. 3 7. 8.
为 n，则方程 7. 函数 f ( x) A sin(x )( A 0, 0, | |
2
) 的部分图象如图示，则将 y f ( x) 的
图象向右平移
6
2013年江苏高考数学模拟试卷及参考答案【最后一卷】
2013年江苏高考数学最后一卷2013.06.01数学（必试部分）注意事项：1.本试卷总分160分，考试用时120分钟。
2.答题前，考生务必将班级、姓名、学号写在答卷纸的密封线内。
选择题答案填涂在答．．．．．．．．．题卡对应的题号下，主观题答案写在答卷纸上对应的题号下空格内的横线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
考试结束后，上交答题卡和答卷纸。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．. 1.设复数z 满足()(1)1i i i z ++=-（i 是虚数单位），则复数z 的模z =___▲____.2.已知tan 2α=，则sin()cos()sin()cos()παπααα++-=-+-___▲_____.3.抛物线y 2 = 8x的焦点到双曲线x 212 – y 24 = 1的渐近线的距离为___▲___.4.阅读下列算法语句: Read S ←1For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I End for Print S End输出的结果是 ▲ ．5.设集合11{33},{0}3x x A x B x x-=<<=<，则A B =____▲_______.6.设等比数列{a n }的公比q = 12，前n 项和为S n ，则 S 4a 4= ____▲_______.7.在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，则恰好使1是关于x 的不等式2220x ax a +-<的一个解的概率大小为__▲_____.8.已知向量()3,1-b =，2=a ，则2-a b 的最大值为 ▲ ．9.已知A (2,4)，B (–1,2)，C (1,0)，点P (x ,y )在△ABC 内部及边界上运动，则z = x – y 的最大值与最小值的和为___▲___10.设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，现给出下列命题： ① 若,//b c αα⊂，则//b c ； ② 若,//b b c α⊂，则//c α； ③ 若//,c ααβ⊥，则c β⊥； ④ 若//,c c αβ⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题是___▲______．（写出所有正确命题的序号）11.设函数22,0,()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为___▲_____.12.函数()()g x y f x =在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得()()ln ln y g x f x =，两边求导数()()()()()ln f x y g x f x g x y f x '''=+，于是()()g x y f x '= ()()()()()ln f x g x f x g x f x '⎡⎤'+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．运用此方法可以探求得知()10x y x x =>的一个单调增区间为____▲_____．13.已知椭圆22134x y +=的上焦点为F ，直线10x y ++=和10x y +-=与椭圆相交于点A ，B ，C ，D ，则AF BF CF DF +++= ▲ ．14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，()1f x '<，则不等式()221f x x <+的解集为_▲__．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知1525,3,PA PB PC ===设,APB APC αβ∠=∠=，,αβ均为锐角. （1）求β；（2）求两条向量,AC PC 的数量积AC PC ⋅的值.PCB16. （本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE //AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点. ⑴求证：AF //平面BCE ；⑵求证：平面BCE ⊥平面CDE .17．（本大题满分14分）2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数（以百人．．为计数单位）作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计数人数的时间，即1n =；9点20分作为第二个计数人数的时间，即2n =；依此类推 ，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计数单位.第n 个时刻进入园区的人数()f n 和时间n （n *∈N ）满足以下关系： ()()()()()24123612436325363216377207390n n n f n n n n -≤≤⎧⎪⎪⎪⋅≤≤=⎨⎪-+≤≤⎪≤≤⎪⎩，n *∈N第n 个时刻离开园区的人数()g n 和时间()n n *∈N 满足以下关系：()()()()012451202572,507390n g n n n n n *≤≤⎧⎪=-≤≤∈⎨⎪≤≤⎩N . （1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客多少百人？（提示：123 1.1取，结果仅保留整数）（2）问：当天什么时刻世博园区内游客总人数最多？A BC D EF18.（本小题满分16分）设圆221:106320C x y x y +--+=，动圆222:22(8)4120 C x y ax a y a +---++=， （1）求证：圆1C 、圆2C 相交于两个定点；（2）设点P 是椭圆2214x y +=上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的一条切线，切点为2T ，问：是否存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.19. （本小题满分16分）已知数列{a n }的通项公式为a n = 2⨯3n + 23n – 1(n ∈N *). ⑴求数列{a n }的最大项；⑵设b n = a n + pa n– 2，试确定实常数p ，使得{b n }为等比数列；⑶设*,,,N m n p m n p ∈<<，问：数列{a n }中是否存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.20．（本大题满分16分）已知函数()()||20,1x x f x a a a a=+>≠，（1）若1a >，且关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围； （2）设函数()()[),2,g x f x x =-∈-+∞，()g x 满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关.试求a 的取值范围．2013年江苏高考数学最后一卷2013.06.01数学（加试部分）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4 – 1几何证明选讲如图，△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E , ∠BAC 的平分线与BC 交于点D . 求证：ED 2= EB ·EC .B ．矩阵与变换 已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，求满足=AX B 的二阶矩阵X ．C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PCB C ED A的中点，AM ⊥平面PBD . ⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值.23．（本小题满分10分）用,,,a b c d 四个不同字母组成一个含1+n *)(N n ∈个字母的字符串，要求由a 开始，相邻两个字母不同. 例如1=n 时，排出的字符串是,,ab ac ad ；2=n 时排出的字符串是,,,,,,,,aba abc abd aca acb acd ada adb adc ，……， 如图所示.记这含1+n 个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a 的字符串的种数为n a .（1）试用数学归纳法证明：*33(1)(,1)4N n nn a n n +-=∈≥； （2）现从,,,a b c d 四个字母组成的含*1(,2)N n n n +∈≥个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a 的概率为P ，求证：2193P ≤≤.P B CDA M ab c d n=1abcd n=2ad a b d a b c2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试 数学参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5答案 2 3 1 10 {}11x x -<<题号 6 7 8 9 10 答案 15 0.7 6 –2 ④题号 111213 14答案{}01a a <≤()0,e 8()(),11,-∞-+∞15.解（1）：因为点B 在以PA 为直径的圆周上，所以90ABP ∠=，所以34cos ,sin 55PB PA αα===.所以4tan 3α=，………………………………………2分 72cos cos()101527PB CPB PC αβ∠=-===，2sin()10αβ-=， 所以1tan()7αβ-=，………………………………………………………………4分 tan tan()tan tan[()]11tan tan()ααββααβααβ--=--==+-，…………………………6分又(0,)2πβ∈，所以4πβ=.………………………………………………………8分（2）2()AC PC PC PA PC PC PA PC ⋅=-⋅=-⋅…………………………11分2152152275()577249=-⨯⨯=-……………………………………………14分16. ⑴解:取CE 中点P ，连结FP ,BP ,因为F 为CD 的中点,所以FP //DE ,且FP = 12DE , …2分 又AB //DE ,且AB =12DE ,所以AB //FP ,且AB = FP ,所以四边形ABPF 为平行四边形,所以AF //BP . ……………4分 又因为AF ⊂/平面BCE ,BP ⊂平面BCE , 所以AF //平面BCE . …7分 （该逻辑段缺1个条件扣1分）⑵因为△ACD 为正三角形,所以AF ⊥CD .因为AB ⊥平面ACD ,DE //AB ,所以DE ⊥平面ACD ,ABEP又AF ⊂平面ACD ,所以DE ⊥AF . …………………9分 又AF ⊥CD ，CD ∩DE = D ，所以AF ⊥平面CDE .又BP //AF ，所以BP ⊥平面CDE . ……………………………12分 又因为BP ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE . ………………………………………14分17． 解：（1）当024n ≤≤且n *∈N 时，()36f n =，当3625≤≤n 且n *∈N 时，2412()363n f n -=⋅所以[]36(1)(2)(3)(24)S f f f f =+++++…[])36()26()25(f f f ++++=36×24+36×(1212121233131⎡⎤-⎢⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=864+792=1656；…………………………2分另一方面，已经离开的游客总人数是：12(25)(26)(36)T g g g =+++12=×5121152⨯+⨯390=；………………………4分 所以361216563901266S S T =-=-=（百人）故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客1266百人. ……………6分 （2）当0)()(≥-n g n f 时园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时园内游客人数递减. (i)当241≤≤n 时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；………………………8分 (ii)当3625≤≤n 时，令512036n -≤，得出31≤n ，即当3125≤≤n 时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………10分 (iii)当3632≤≤n 时，24123635120n n -⋅>-，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………………………………………………………………………12分 (Ⅳ)当7237≤≤n 时， 令32165120n n -+=-时，42n =， 即在下午4点整时，园区人数达到最多.此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ……………………14分 答：（1）当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客1266百人；（2）在下午4点整时，园区人数达到最多.18.解（1）将方程2222(8)4120 x y ax a y a +---++=化为221612(224)0x y y x y a +-++-++=，令22161202240x y y x y ⎧+-+=⎨-++=⎩得42x y =⎧⎨=⎩或64x y =⎧⎨=⎩，所以圆2C 过定点(4,2)和(6,4)，……………4分 将42x y =⎧⎨=⎩代入22106320x y x y +--+=，左边=1644012320+--+==右边，故点(4,2)在圆1C 上，同理可得点(6,4)也在圆1C 上，所以圆1C 、圆2C 相交于两个定点(4,2)和(6,4)；……………6分（2）设00(,)P x y ，则221000010632PT x y x y =+--+，…………………………8分222000022(8)412 PT x y ax a y a =+---++， …………………………………10分12PT PT =即00001063222(8)412x y ax a y a --+=---++，整理得00(2)(5)0x y a ---=（*）………………………………………………12分存在无穷多个圆2C ，满足12PT PT =的充要条件为0022002014x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩有解，解此方程组得0020x y =⎧⎨=⎩或006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，………………………………………………………………………………14分故存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =，点P 的坐标为64(2,0)(,)55或-.………………16分19. 解 ⑴由题意a n = 2 + 43n – 1,随着n 的增大而减小,所以{a n }中的最大项为a 1 = 4.…4分 ⑵b n = 2 + 43n – 1 + p 43n – 1= (2 + p )(3n – 1) + 44 = (2 + p )3n + (2 – p )4，若{b n }为等比数列， 则b 2n +1 – b n b n +2= 0(n ∈N * )所以 [(2 + p )3n +1 + ( 2 – p )]2 – [{2 + p )3n + (2 – p )][(2 + p )3n +2 + (2 – p )] = 0(n ∈N *)，化简得(4 – p 2)(2·3n +1 – 3n +2 – 3n ) = 0即– (4 – p 2)·3n ·4 = 0,解得p = ±2. ………………………7分 反之,当p = 2时,b n = 3n ,{b n }是等比数列;当p = – 2时,b n = 1,{b n }也是等比数列.所以,当且仅当p = ±2时{b n }为等比数列. ………………………………………………………………10分 ⑶因为4231m m a =+-，4231n n a =+-，4231p pa =+-，若存在三项m a ，n a ，p a ，使数列ma ，n a ，p a 是等差数列，则2n m p a a a =+，所以42(2)31n +-=4231m +-4231p++-，……………12分 化简得3(2331)1323n p n p m p m n m ----⨯--=+-⨯（*），因为*,,,N m n p m n p ∈<<，所以1p m p n -≥-+，1p m n m -≥-+，所以13333p mp n p n --+-≥=⨯，13333p m n m n m --+-≥=⨯，（*）的 左边3(23331)3(31)0np np n n p n ---≤⨯-⨯-=--<，右边13323130n mn m n m ---≥+⨯-⨯=+>，所以（*）式不可能成立，故数列{a n }中不存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列. ……………16分20．解：(1)令xa t =，0x >，因为1a >，所以1t >，所以关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解等价于关于t 的方程2t m t+=有相异的且均大于1的两根，即 关于t 的方程220t mt -+=有相异的且均大于1的两根， (2)分所以2280,1,2120m m m ⎧∆=->⎪⎪>⎨⎪⎪-+>⎩，…………………………………………………………………4分解得223m <<，故实数m 的取值范围为区间(22,3).……………………………6分 (2)||()2,[2,)x x g x a a x =+∈-+∞ ①当1a >时，a )0x ≥时，1x a ≥，()3x g x a =，所以 ()[3,)g x ∈+∞，b )20x -≤<时，211x a a≤<()2x x g x a a -=+，所以 ()221'()ln 2ln ln x x x xa g x a a a a a a --=-+=……8分ⅰ当2112a >即412a <<时，对(2,0)x ∀∈-，'()0g x >，所以 ()g x 在[2,0)-上递增， 所以 222()[,3)g x a a ∈+，综合a ) b )()g x 有最小值为222a a +与a 有关，不符合……10分 ⅱ当2112a ≤即42a ≥时，由'()0g x =得1log 22a x =-，且当12log 22a x -<<-时，'()0g x <，当1log 202a x -<<时，'()0g x >，所以 ()g x 在1[2,log 2]2a --上递减，在1[log 2,0]2a -上递增，所以min 1()log 22a g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22a ) b ) ()g x 有最小值为22a 无关，符合要求．………12分②当01a <<时，a ) 0x ≥时，01x a <≤，()3x g x a =，所以 ()(0,3]g x ∈b ) 20x -≤<时，211x a a<≤，()2x x g x a a -=+，所以 ()221'()ln 2ln ln x x x xa g x a a a a a a --=-+= 0<，()g x 在[2,0)-上递减，所以 222()(3,]g x a a ∈+，综合a ) b ) ()g x 有最大值为222a a+与a 有关，不符合………14分 综上所述，实数a 的取值范围是42a ≥．………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4 – 1几何证明选讲证明: 因为EA 是圆的切线,AC 为过切点A 的弦,所以 ∠CAE = ∠CBA . 又因为AD 是∠BAC 的平分线,所以∠BAD = ∠CAD 所以∠DAE = ∠DAC + ∠EAC = ∠BAD + ∠CBA = ∠ADE所以,△EAD 是等腰三角形,所以EA = ED . ……………………………………………………6分 又EA 2 = EC ·EB ,所以ED 2 = EB ·EC . ……………………………………………………………………………4分B ．矩阵与变换： 解：由题意得1312221-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A，…………………………………………………5分 =AX B ，1319411222312151-⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎣⎦⎣⎦X A B ………………………………………10分 C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A ,B 两点,求线段AB 的长. 解 首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得 x 2 + y 2 = 1与x 2 + y 2 – x +3y = 0……………………………………………………6分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2 + y 2 = 1x 2 + y 2 – x + 3y = 0 得两交点坐标(1,0),(–12, – 32)所以,线段AB 的长为(1 + 12)2 + (0 + 32)2=3即AB = 3.………………………………………………………………………………10分 D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.证明 因为a ,b ,c 为正实数,所以a 3 + b 3 + c 3≥33a 3b 3c 3 = 3abc >0…………………………5分B C ED A又3abc + 1abc ≥23abc ·1abc = 2 3.所以a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.…………………………………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.解 如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),P (0,0,a ).因为M 是PC 中点,所以M 点的坐标为(12,12,a 2)，所以AM →= (12,12,a 2)，BD → = (–1,1,0)，BP →= ( – 1,0,a ).⑴因为AM →⊥平面PBD ,所以AM →·BD → = AM →·BP →= 0.即– 12 + a 22 = 0,所以a = 1,即PA = 1. ………………………………………4分 ⑵由AD → = (0,1,0),M →= (12,12,12),可求得平面AMD 的一个法向量n = ( – 1,0,1).又CP → = ( – 1,–1,1).所以cos<n , CP →> =n ·CP→|n |·|CP →|= 22·3= 63. 所以,PC 与平面AMD 所成角的正弦值为63.……………………………10分 23．解（1）：证明：（ⅰ）当1n =时，因为10a =，33(1)04+-=，所以等式正确. （ⅱ）假设n k =时，等式正确，即*33(1)(,1)4N k kk a k k +-=∈≥， 那么，1n k =+时，因为11133(1)4333(1)33(1)33444k k k k k k k kkk k a a ++++-⋅---+-=-=-==， 这说明1n k =+时等式仍正确.据（ⅰ），（ⅱ）可知，*33(1)(,1)4N n nn a n n +-=∈≥正确. ……………………………5分 （2）易知133(1)13(1)[1]4343n n nn nP +--=⋅=+， PB CDAMxyz①当n 为奇数（3n ≥）时，13(1)43n P =-，因为327n ≥，所以132(1)4279P ≥-=，又131(1)434n P =-<，所以2194P ≤<；②当n 为偶数（2n ≥）时，13(1)43n P =+，因为39n≥，所以131(1)493P ≤+=，又131(1)434n P =+>，所以1143P <≤.综上所述，2193P ≤≤.……………………………10分。
2013届南京市高三数学最后综合题
2013届南京市高三数学最后的综合题一、填空题1．设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ．点A (0，2)，线段AF 交抛物线于点B ，过点B 作l 垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝ ．2．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则b 2＝ ．则S n 取到最小正数时的n ＝ ．6．已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )，若直线x ＋y ＋m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围是 ． 7．已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 的值域为[0，＋∞)，则a ＋2ba 3＋12b的最大值为 ．▲8．已知xy －z ＝0，且0＜y z ＜12，则xz 2－4yz x 2z 2＋16y 2的最大值为__________．▲9．若关于x 的不等式ax 2＋x －2a ＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为 ．▲10．在平面直角坐标系xOy 中，对任意的实数m ，集合A 中的点(x ，y )都不在直线2mx＋(1－m 2)y －4m －2＝0上，则集合A 所对应的平面图形面积的最大值为 ．▲11．已知数列{a n }满足a n＋1≤a n ＋2＋a n2，a 1＝1，a 403＝2011，则a 5的最大值为 ．A 1二、解答题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．（1）设向量x ＝(sin B ，sin C )，向量y ＝(cos B ，cos C )，向量z ＝(cos B ，– cos C )， 若z //(x ＋y )，求tan B ＋tan C 的值；（2）已知a 2－c 2＝8b ，且sin A cos C ＋ 3cos A sin C ＝0，求b ．2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A cos B ＝ba ＝3．（1）求C ；（2）如图，设半径为R 的圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣弧⌒AC 上，∠P AB ＝θ，求四边形APCB 面积S (θ)的解析式及最大值．3．设△ABC 中，→AB ＝c ，→BC ＝a ，→CA ＝b ，且a ⋅b ＝b ⋅c ＝－2，b 与c －b 的夹角为150︒． （1）求∣b ∣； （2）求△ABC 的面积．4．如图①，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，将△ADE 沿着DE 折起到△A 1DE 的位置，如图②，连结A 1B ，A 1C ． （1）若F 为A 1B 的中点，求证：DF ∥平面A 1EC ； （2）求证：平面A 1BC ⊥平面A 1BD ．ACBD E图①ED CA 1FB图②ACBEDGPABC O5．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：（1）写出表中①②位置的数据；（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．6．在南海的渔政管理中，我海监船C在我作业渔船A的北20︒东方向上，渔政船310在A 的北40︒西方向上的B处，测得渔政船310距C为62海里．上级指示，海监船原地监测，渔政船310紧急前往A处，走了40海里后，到达D处，此时测得渔政船310距C为42海里，问我渔政船310还要航行多少海里才能到达A处？7．某种角钢部件是由如图1所示的矩形状钢板ABCD 按下列要求制作而成． ①制作角钢部件的矩形钢板的长AB ＝15cm ，宽AD ＝10cm ；②在矩形钢板的长边CD 上选一点E (异于C ，D )，将钢板沿着AE 折起，使得△ADE 、梯形ABCE 所在的平面互相垂直．当ABCDE 为顶点的四棱锥的体积最大时，这个角钢部件“最标准”． 设∠DAE ＝θ，DE ＝x cm ，四棱锥D －ABCE 的体积为V cm 3，（1）分别求:①V 关于θ的函数关系式V (θ)；②V 关于x 的函数关系式V (x )； （2）试确定点E 的位置，使得角钢部件“最标准”．8．某电子器件厂兼营生产和销售某种电子器件，流水线启动后每天生产300个产品，可销售p ＝200个产品，未售出的产品存入库房，每个产品在库房内每过一夜将支出存储费用r ＝0．2元，该流水线在开机生产一段时间后停机销售，待所有库房产品售完后再开机生产，流水线启动的费用为c ＝1200元（与产品数量无关）．这样开机生产－－停机销售－－产品售完构成了一个产销周期．为管理方便，流水线的生产和停机的时间均以天为单位安排．（1）若开机生产时间为m 天，停机销售时间为n 天，最后一天卖出a 个产品，写出m ，n ，a 的关系，并写出a 的取值范围；▲（2）若停机销售的最后一天卖出100个产品，请你设计一个产销周期，即开机生产多少天，停机销售多少天，使得平均每个产品用于流水线启动和存储的费用最少？C DBAE图1CE BAD图29．已知椭圆x 2m 2＋m ＋y 2m ＝1的右焦点F ，右准线为l ，且直线y ＝x 与l 相交于A 点．（1）若⊙C 经过点O （O 为坐标原点），F 、A 三点，求⊙C 的方程； （2）当m 变化时，求证：⊙C 经过除原点O 外的另一个定点B ； （3）若AF →•AB →＜5，求椭圆离心率e 的范围．10．过点C （0，1）的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，椭圆与x 轴交于两点A （a ，0）、B （－a ，0），过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（1）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； （2）当点P 异于点B 时，求证：OP →•OQ →为定值．11．某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC ,BD 是过抛物线焦点F 且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为EF ，通径长为4．记∠EF A = α,α为锐角． （1）用α表示AF 的长;（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S关于α的函数关系S (α)；▲（3）为使“蝴蝶形图案”的面积最小，应如何设计α的大小？第10题图第11题图12．已知数列{a n }的各项都为正数，S n ＝1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋…＋1a n ＋a n ＋1(n ∈N *)．（1）若数列{a n }是首项为1，公差为32的等差数列，求S 67；（2）若S n ＝na 1＋a n ＋1，求证：数列{a n }是等差数列．13．对于任意的n ∈N *（n 不超过数列的项数），若数列的前n 项之和等于该数列的前n 项之积，则称该数列为S 型数列．（1）若数列{a n }是首项a 1＝2的S 型数列，求a 3的值；▲（2）证明：任何项数不小于3的递增的正整数数列都不是S 型数列；▲（3）若数列{1a n}是S 型数列，且0＜a 1＜1，试求a n +1与a n 的递推关系，并证明0＜a n＜1 对n ∈N *恒成立．14．已知数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }，{c n }满足b n ＝a n +2a n，c n ＝a n a 2n +1． （1）若数列{a n }为等比数列，求证：数列{c n }为等比数列；▲（2）若数列{c n }为等比数列，且b n +1≥b n ，求证：数列{a n }为等比数列．15．数列{a n }的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且a 2＋a 4＝a 1＋a 5，a 4＋a 7＝a 6＋a 3． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求使得a m ·a m +1·a m +2＝a m ＋a m +1＋a m +2成立的所有正整数m 的值；▲（3）在数列{a n }的奇数项中任取s 项，偶数项中任取t 项（s ，t ∈N *，s ＞1，t ＞1），按照某一顺序排列后成等差数列，求s ＋t 的最大值．16．已知函数f (x )＝x 2－ax ，g (x )＝ln x ．（1）若对任意的正数x ，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈(0，12)，求证h (x 1)－h (x 2)＞34－ln 2．17．已知函数f (x )＝e λx +(1–λ)a –λe x ，其中a ，λ是常数，且0＜λ＜1． （1）求函数f (x )的极值；▲（2）设λ1，λ2∈(0，1)，且λ1＋λ2＝1，证明：对任意的正数a 1，a 2，都有a 1λ1a 2λ2≤λ1a 1＋λ2a 2．18．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝1x －1． （1）设h (x )＝f (x )＋kg (x )，k 为常数，k ≠0．若曲线y ＝h (x )在点(2，h (2))处的切线平行于x 轴，求k 的值； （2）求函数y ＝h (x )的单调增区间；▲（3）对任意x ＞0且x ≠1，求证：f (x )g (x )＜1x ．19．对于函数y ＝f (x )，若存在x ＝x 0，使f (x 0)＝x 0，则称实数x 0是函数y ＝f (x )的一个不动点． （1）设f (x )＝a ln(1＋x )(a ∈R )恰有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围； （2）g (x )＝12x 2＋x ＋3，证明：函数y ＝g (g (x ))没有不动点；▲（3）若定义在R 上的函数h (x )有且只有一个不动点x 0，且满足：h (h (x )－x 3－x )＝h (x )－x 3－x ，求函数h (x )的解析式．20．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0 1 2 3 频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不．进货．．，将频率视为概率． （1）求当天商品不进货．．．的概率；（2）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．21．在一档娱乐节目中，主办方提供了如图所示的圆形射击靶，嘉宾射击时，若击中区域A ，则获得10分；若击中B 区域，则获得9分；若击中C 区域，则获得8分．设某嘉宾击中A 、B 、C 区域的概率依次为16，13，12．（1）节目中该嘉宾连续射击3次，求该嘉宾获得28分的概率；（2）节目中该嘉宾只射击1次，为了提高娱乐性，节目组要求嘉宾需先随意指定一个目标区域射击，若击中指定的区 域，则除了取得击中区域对应的分数，还给予奖励加分；若击中指定的区域外的区域，取得击中区域对应的分数，再罚除一定的分数．规则如下：若事先指定区域为A ，则击中奖励3分，否则罚除1分．若事先指定区域为B ，则击中奖励2分，否则，若击中区域A ，则罚除3分；若击中区域C ，则罚除1分．若事先指定区域为C ，则击中奖励1分，否则罚除3分．假设嘉宾选择三个区域中的任意一个都是等可能的，记该嘉宾射击1次后的得分为ξ，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望．ABC。
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江苏省南师大数科院2013届高考数学模拟最后一卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．若12(1)ai bi i +=-，其中a 、b ∈R，i 是虚数单位，则||a bi += ▲ ．2．已知集合R U =，集合},2{R x y y M x∈==，集合)}3lg({x y x N -==，则()=N M C U▲ ．3．某学校高中三个年级的学生人数分别为：高一 950人，髙二 1000人，高三1050人．现要调查该校学生的视力状况，考虑采用分层抽样的方法，抽取容量为60的样本，则应从高三年级中抽取的人数为 ▲ ．4．某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加, 最终将有3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是5．以椭圆22143x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ▲ ． 6．如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+ ， AQ =23AB+14AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ▲ ．7．执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为 ▲ ．8．在ABC ∆中，若,,ABAC AC b BC a ⊥==，则ABC ∆的外接圆半径r =，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R = ▲ ．（第6题）图（5）M N F D C BAE9．若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为 ▲ ．10．空间直角坐标系中，点,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．11请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ．12．如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的 距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC的边长是 ▲ ．13．已知A 为直线2:=+y x l 上一动点，若在1:22=+y x O 上存在一点B 使︒=∠30OAB 成立，则点A 的横坐标取值范围为 ▲ ．14．若方程)1ln(2ln +=x kx没有实数根，那么实数k 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分15分）已知函数2sin 2cos2sin3)(2ϕωϕωϕω++++=x x x x f 0(>ω，)20πϕ<<．其图象的两个相邻对称中心的距离为2π，且过点)23,6(π．（Ⅰ）求ω、ϕ的值；（Ⅱ）在△ABC 中．a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a =ABC S ∆=角C 为锐角。
且满足7()2126C f π-=，求c 的值．16．（本小题满分15分）如图，已知三棱柱BCF-ADE 的侧面CFED 与ABFE 都是边长为1的正方形，M 、N 两点分别在AF 和CE 上，且AM=EN ． （Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求证： MN//平面BCF ；（Ⅲ）若点N 为EC 的中点，点P 为EF 上的动点，试求PA+PN 的最小值．A 17．（本小题满分14分）某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（Ⅰ）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；（Ⅱ）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？ 18．（本小题满分15分）如图，已知圆O 的直径AB=4，定直线L 到圆心的距离为4，且直线L 垂直直线AB 。
点P 是圆O 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别交L 与M 、N 点。
（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN 为直径的圆方程；（Ⅱ）当点P 变化时，求证：以MN 为直径的圆必过圆O 内的一定点。
19．（本小题满分15分）设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞.（Ⅰ）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小； （Ⅱ）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（Ⅲ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． 20．（本小题满分16分）定义：若数列{}n A 满足21n n A A =+，则称数列{}n A 为“平方递推数列”。
已知数列{}n a 中，21=a ，点),(1+n n a a 在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数。
（Ⅰ）证明：数列{}12+n a 是“平方递推数列”，且数列{})12lg(+n a 为等比数列。
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，即12(21)(21)(21)n n T a a a =+++ ，求数列{}n a 的通项及n T 关于n 的表达式。
（Ⅲ）记n a n T b n 12log +=，求数列{}n b 的前n 项之和n S ，并求使2008n S >的n 的最小值。
N 1M 1EABCDFN MGE BCD F N M江苏省南师大数科院2013届高考数学模拟最后一卷参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）21)6sin()]cos(1[21)sin(23)(+-+=+-++=πϕωϕωϕωx x x x f . （2分） ∵最高点与相邻对称中心的距离为16492π+，则44π=T ，即π=T ， （3分） ∴πωπ=||2，∵0>ω，∴2=ω， （4分） 又)(x f 过点(,1)3π，∴121)632sin(=+-+πϕπ，即21)2sin(=+ϕπ，∴21cos =ϕ. （5分） ∵20πϕ<<，∴3πϕ=，∴21)62sin()(++=πx x f . （6分）16．（本小题满分15分）解：（1）∵四边形CFED 与ABFE 都是正方形∴,,EF DE EF AE ⊥⊥又DE EA E = , ∴EF ⊥平面ADE ，---------------2分又∵//EF AB ，∴AB ⊥平面ADE∵AB ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADE-------------------------4分 （2）证法一：过点M 作1MM BF ⊥交BF 于1M ，过点N 作1NN CF ⊥交BF 于1N ，连结11M N ,------------5分 ∵11//,//MM AB NN EF ∴11//MM NN又∵11MM NN FM CN AB FA CE EF=== ∴11MM NN =--------------------------------7分 ∴四边形11MNN M 为平行四边形，---------------------------------------------8分11//MN N M ∴,11,,MN BCF N M BCF ⊄⊂又面面//.MN BCF ∴面----------10分 [法二：过点M 作MG EF ⊥交EF 于G ，连结NG ，则,CN FM FGNE MA GE== //NG CF ∴-----------------------------------------------------------6分PNC F BAED,,//NG BCF CF BCF NG BCF⊄⊂∴又面面面，------------7分同理可证得//MG BCF面，又MG NG G=, ∴平面MNG//平面BCF--------9分∵MN⊂平面MNG, //MN BCF∴面．--------------------------------------------10分]（3）如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，------------------------------------11分在△AEN中，∵135,1,AEN AE NE∠===由余弦定理得2222cos135AN AE EN AE EN=+-⋅ ，------13分∴2AN=即min()2PA PN+=．-----------------------14分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）xxxy)2642(5.0100++++++=即5.1100++=xxy（0>x）；------------------------------------------------7分（不注明定义域不扣分，或将定义域写成*Nx∈也行）由均值不等式得：（Ⅱ）5.215.110025.1100=+⋅≥++=xxxxy（万元）-----------------------11分当且仅当xx100=，即10=x时取到等号．----------------------------------------13分答：该企业10年后需要重新更换新设备．------------------------------------------14分18．（本小题满分15分）解：建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为224x y+=，直线L的方程为4x=。
（Ⅰ）∵∠PAB=30°，∴点P∴:2)APl y x=+，:BPl y=将x=4代入，得(4,M N∴MN的中点坐标为（4，0），∴以MN为直径的圆的方程为(x同理，当点P在x（Ⅱ）设点P的坐标为00(,)x y∵0000:(2),:22PA PByl y x l yx x=+=+-，将x=4代入，得062Myyx=+，22Nyyx=-。
∴000062(4,),(4,)22y yM Nx x+-，MN=000000446222xy yx x y--=+-。
MN的中点坐标为04(1)(4,)xy--。
以MN 为直径的圆/O 截x轴的线段长度为=0y === ∴⊙/O 必过⊙O内定点(4-。
19．（本小题满分15分）解（Ⅰ）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞ ∴112()1[ln (ln )]a f x x x x x x '=-⨯+⨯+， 2ln 21x ax x=-+， ……2分∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞∴22()1x g x x x-'=-=，令()0g x '=，得2x =， ……4分列表如下：∴()g x 在2x =即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+． ……6分 (2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，∴(2)0g >． ……8分 证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>， ……10分 从而当0x >时，恒有()0f x '>， ……11分故()f x 在(0)+，∞上是增函数． ……12分 证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >， ……13分又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ……14分∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>，∴2ln 2ln 1x x a x >-+故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． ……15分20．（本小题满分16分）（Ⅰ）由条件a n ＋1＝2a n 2＋2a n ， 得2a n ＋1＋1＝4a n 2＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2．∴{b n }是“平方递推数列”．∴lg b n＋1＝2lg b n ．∵lg(2a 1＋1)＝lg5≠0，∴lg(2a n +1＋1)lg(2a n ＋1)＝2．∴{lg(2a n ＋1)}为等比数列．（Ⅱ）∵lg(2a 1＋1)＝lg5，∴lg(2a n ＋1)＝2n －1⋅lg5，∴2a n ＋1＝52n－1，∴a n ＝12(52n －1－1)．∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1)＝lg5⋅(1－2n )1－2＝(2n －1)lg5．∴T n ＝52n －1．（3）c n ＝lg T n lg(2a n ＋1)＝(2n －1)lg52n 1lg5＝2n －12n 1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1，∴S n ＝2n －[1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1]＝2n －1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2n －2[1－⎝⎛⎭⎫12n]＝2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n． 由S n ＞2008得2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n＞2008，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＞1005，当n ≤1004时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＜1005，当n ≥1005时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＞1005，∴n 的最小值为1005．。