湘教版高中数学必修2：向量的应用
新湘教版高中数学选择性必修第二册2.2空间向量及其运算
3 ． 在 如 图 所 示 的 正 方 体 中 ， 下 列 各 对 向 量 的 夹 角 为 45° 的 是
(
)．
A．AB与A′ C′ B．AB与C′ A′
C．AB与A′ D′ D．AB与B′ A′
答案：A
解析：对于A，因为AB＝A′ B′ ，所以AB与A′ C ′ 的夹角为45°，故A正确；
对于B，因为AB＝A′ B′ ，所以AB与C ′ A′ 的夹角为135°，故B不正确；
1
OB＝b，〈a，b〉＝α.过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则________为
|1 |
OB在OA方向上的投影向量，投影向量的模________＝|OB||cos
α|称为
投影长，称___________为OB在OA方向上的投影，其正负表示OB
|CB|cos α
1与
OA方向相同还是相反．
基 础 自 测
相反
相等
长度为零的向量．
长度为________的向量．
1
对于空间任意两个向量a、b(a≠0)，若b＝λa，其中λ为
实数，则b与a共线或平行，记作________．
b∥a
类比平面向量记忆．
要点二
空间向量的加减与数乘运算
运算
加法a＋b❸
法则(或几何意义)
运算律
(1)交换律：
a＋b＝________；
b＋aபைடு நூலகம்
B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构
成一个圆
C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量
D．不相等的两个空间向量的模可能相等
答案：D
解析：对A，零向量的相反向量是本身，故A错；
对B，终点构成一个球面，故B错；
2019年数学新同步湘教版必修2第4章 4.6 向量的应用
4．6向量的应用1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λ b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，常常利用向量的夹角公式 cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量模的公式|a |＝ x 2＋y 2.2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 3．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、加速度、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在力的合成与分解． (3)动量m v 是向量的数乘运算． (4)功是力F 与位移s 的数量积．1．在四边形ABCD 中，若AB ―→＋CD ―→＝0，AC ―→·BD ―→＝0，试判断四边形的形状． [提示] 菱形2．用力F 推动一物体水平运动s m ，设F 与水平面的夹角为θ，那么对物体所做的功 为多少？[提示] |F |cos θ·s3．过A (－2,1)且与向量a ＝(3,1)平行的直线方程如何求？ [提示] x －3y ＋5＝0[例1] CC ′，求顶角 ∠BAC 的余弦值．[思路点拨] 可以考虑建立平面直角坐标系，将问题转化为向量夹角问题． [边听边记] 建立如图所示的平面直角坐标系，取A (0，a )，C (c,0)，则B (－c,0)，BA ―→＝(c ，a )，BC ―→＝(2c,0)，AC ―→＝(c ，－a )．∵BB ′，CC ′都是中线，∴BB ′―→＝12(BC ―→＋BA ―→)＝12[(2c,0)＋(c ，a )]＝⎝⎛⎭⎫3c 2，a 2. 同理CC ′―→＝⎝⎛⎭⎫－3c 2，a 2. ∵BB ′⊥CC ′，∴－94c 2＋14a 2＝0，即a 2＝9c 2.∴cos ∠BAC ＝AB ―→·AC―→| AB ―→||AC ―→|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45.即顶角∠BAC 的余弦值为45.1.如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点， 求证：AF ⊥DE .证明：法一：设AD ―→＝a ，AB ―→＝b ， 则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE ―→＝DA ―→＋AE ―→＝－a ＋12b ，AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝b ＋12a ，所以AF ―→·DE ―→＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0. 故AF ―→⊥DE ―→，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF ―→＝(2,1)，DE ―→＝(1，－2)．因为AF ―→·DE ―→＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以AF ―→⊥DE ―→，即AF ⊥DE .[例2] 流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．[思路点拨] 根据题意画出图形，由图形分析结果．[边听边记] 如图，设OA ―→表示水流速度，OB ―→表示船垂直于对岸的速度，OC ―→表示船的实际速度，则∠AOC ＝30°，|OB ―→|＝5 km/h.∵四边形OACB 为矩形，∴|OA ―→|＝|AC ―→|·cot 30°＝|OB ―→|·cot 30°＝53(km/h)， |OC ―→|＝|OA ―→|cos 30°＝5332＝10(km/h)．即水流速度为5 3 km/h ，船的实际速度为10 km/h.2．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)，求F 1，F 2分别对质点所做的功．解：设物体在力F 作用下的位移为s ， 则所做的功为W ＝F·s .∵AB ―→＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)． ∴W 1＝F 1·AB ―→＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)， W 2＝F 2·AB ―→＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．[例3] 过点A ，B 两点之间． (1)若AP ―→＝3PB ―→，求直线l 的方程；(2)求当AP ―→·PB ―→取得最小值时，直线l 的方程．[思路点拨] (1)设出直线l 的方程→求出点A ，B →AP ―→＝3PB ―→→参数值；(2)设出直线l 的方向→表示出AP ―→·PB ―→→讨论AP ―→·PB ―→取最小值时参数值→直线 l 的方程．[边听边记] (1)由题意知，直线l 的斜率k 存在，且k ≠0. 设直线l 的方程为y ＝k (x －4)＋2. 令y ＝0，得x ＝4－2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫4－2k ，0. 令x ＝0，得y ＝2－4k ，∴B (0,2－4k )． ∴AP ―→＝⎝⎛⎭⎫2k ，2，PB ―→＝(－4，－4k )． 又∵AP ―→＝3PB ―→， ∴2k ＝3×(－4)，∴k ＝－16.∴直线l 的方程为y ＝－16(x －4)＋2，即x ＋6y －16＝0.(2)∵点P (4,2)位于A ，B 两点之间， ∴4－2k ＞4且2－4k ＞2，解得k ＜0，∴AP ―→·PB ―→＝8⎣⎡⎦⎤(－k )＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥16， 当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时，等号成立．∴当AP ―→·PB ―→取得最小值时，直线l 的方程为y ＝－(x －4)＋2，即x ＋y －6＝0.3．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA ―→＝2AP ―→，求点P 的 轨迹方程．解：设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－6① 由RA ―→＝(1－x 0，－y 0)，AP ―→＝(x －1，y ) 又RA ―→＝2AP ―→，∴1－x 0＝2x －2，－y 0＝2y ， ∴x 0＝3－2x ，y 0＝－2y ，代入①式得 y ＝2x 即为所求．1．用F 推动一物体G ，使其沿水平方向运动s ，F 与G 的垂直方向的夹角为θ，则F 对物体G 所做的功为( )A ．F ·s cos θB ．F ·s sin θC ．|F ||s |cos θD ．|F ||s |sin θ解析：如图，F 与s 的夹角为π2－θ，∴W ＝|F ||s |cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝|F ||s |sin θ. 答案：D2．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0 解析：设直线的方向向量为(1，k )，则(1，k )·(2,1)＝0， 即2＋k ＝0，∴k ＝－2，即直线的斜率为－2. 由点斜式得，y －3＝－2(x －2)，即2x ＋y －7＝0. 答案：A3.如图，设P 为△ABC 内一点，且2PA ―→＋2PB ―→＋PC ―→＝0，则S△ABP ∶ S △ABC ＝( )A.15 B ．25C.14 D ．13解析：设AB 的中点是D . ∵PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→＝－12PC ―→，∴PD ―→＝－14PC ―→，∴P 为CD 的五等分点，∴△ABP 的面积为△ABC 的面积的15.答案：A4．一艘船以3 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，同时河水的流速为3 km/h ，则船实际航行速度为______ km/h ，与河岸的夹角为________．解析：结合题意作图如图所示， 在Rt △ABC 中，∵|AB ―→|＝3 km/h ，|BC ―→|＝3 km/h ， ∴|AC ―→|＝|AB ―→|2＋|BC ―→|2＝32＋32＝3 2.∵tan ∠CAB ＝33＝1，∴∠CAB ＝45°.故该船实际航行的速度的大小为3 2 km/h ，方向总与河岸的夹角为45°. 答案：32 45°5．一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m ．已知|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°，|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，这三个力的合力F 所做的功为________ J.解析：以三个力的作用点为原点，正东方向为x 轴正半轴，正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示．由已知可得F 1＝(1，3)，F 2＝(23，2)，F 3＝(－3,33)． ∴F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(23－2,43＋2)．又位移s ＝(42，42)，∴F ·s ＝(23－2)×42＋(43＋2)×42＝246(J)． 故这三个力的合力F 所做的功是24 6 J. 答案：24 66．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n . (1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)．解：(1)以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A (0，m )，B (n,0)．∵D 为AB 的中点，∴D ⎝⎛⎭⎫n 2，m 2， ∴|CD ―→|＝12n 2＋m 2，|AB ―→|＝m 2＋n 2，∴|CD ―→|＝12|AB ―→|，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点，∴E ⎝⎛⎭⎫n 4，m 4，设F (x,0)，则AE ―→＝⎝⎛⎭⎫n 4，－34m ，AF ―→＝(x ，－m )． ∵A ，E ，F 三点共线，∴AF ―→＝λAE ―→. 即(x ，－m )＝λ⎝⎛⎭⎫n 4，－34m . ∴⎩⎨⎧x ＝n 4λ，－m ＝－34mλ，故λ＝43，即x ＝n 3，∴F ⎝⎛⎭⎫n 3，0. ∴|AF ―→|＝13n 2＋9m 2，即AF ＝13n 2＋9m 2.如何运用向量解决有关直线平行、垂直、线段相等及点共线问题？向量在物理中的应用主要有哪两个模型？运用向量解决有关直线平行、垂直、线段的相等及点共线等问题时，基本方法有： (1)要证明AB ＝CD ，可转化为证明|AB ―→|＝|CD ―→|，或AB ―→＝CD ―→，或AB ―→2＝CD ―→2.(2)要证明AB ∥CD ，只要证明存在一个实数λ≠0，使AB ―→＝λCD ―→成立．(3)要证明AB ⊥CD ，只要证明AB ―→·CD ―→＝0.(4)要证明A ，B ，C 三点共线只要证明存在一实数λ≠0，使AB ―→＝λAC ―→.向量在物理中的应用模型主要有：(1)利用向量的和(差)的概念解答如合力、合速度之类问题． (2)利用向量的数量积计算力、位移与功的问题．一、选择题1．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N解析：由已知可知，|F 1|＝|F 2|，又|F 1|2＋|F 2|2＝202，∴|F 1|＝|F 2|＝102，如图可知，当它们的夹角为120°时，合力大小为10 2 N.答案：B2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ―→·AF ―→＝2，则AE ―→·BF ―→的值是( )A. 2 B ．2 C ．0D ．1 解析：∵AF ―→＝AD ―→＋DF ―→，AB ―→·AF ―→＝AB ―→·(AD ―→＋DF ―→) ＝AB ―→·AD ―→＋AB ―→·DF ―→＝AB ―→·DF ―→＝2|DF ―→|＝2， ∴|DF ―→|＝1，|CF ―→|＝2－1，∴AE ―→·BF ―→＝(AB ―→＋BE ―→)·(BC ―→＋CF ―→)＝AB ―→·CF ―→＋BE ―→·BC ―→ ＝－2(2－1)＋1×2＝－2＋2＋2＝2，故选A. 答案：A3．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4＝( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析：由物理知识知F 1＋F 2＋F 3＋F 4＝0，故F 4＝－(F 1＋F 2＋F 3)＝(1,2)． 答案：D4．已知平面上三点A ，B ，C 满足(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝0，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：设AC 的中点为D ，则BC ―→＋BA ―→＝2BD ―→. ∵(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝0，∴2BD ―→·AC ―→＝0，即AC ⊥BD . 故△ABC 是等腰三角形． 答案：A 二、填空题5．若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足CM ―→＝13CB ―→＋12CA ―→，则MA ―→·MB ―→＝________.解析：MA ―→·MB ―→＝(CA ―→－CM ―→)·(CB ―→－CM ―→)＝⎝⎛⎭⎫12 CA ―→－13 CB ―→ ·⎝⎛⎭⎫23 CB ―→－12 CA ―→ ＝12CA ―→·CB ―→－14(|CA ―→|)2－29(|CB ―→|)2＝－29. 答案：－296．在△ABC 中，已知AB ―→·AC ―→＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．解析：根据平面向量数量积的概念得 AB ―→·AC ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos A ，当A ＝π6时，根据已知可得|AB ―→|·|AC ―→|＝23，故△ABC 的面积为12|AB ―→|·|AC ―→|·sin π6＝16.答案：16三、解答题7．在风速为75(6－2) km/h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．解：设v 1为风速，v 为有风时飞机的航行速度，v 2为无风时飞机的航行速度，v 2＝v －v 1.如图所示，∵v 2＝v －v 1， ∴v 2，v ，v 1构成三角形．设|AB ―→|＝|v |，|CB ―→|＝|v 1|，|AC ―→|＝|v 2|，作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于点D ，BE ⊥AD 于点E ，则∠BAD ＝45°. 由题意知|AB ―→|＝150，|CB ―→|＝75(6－2)， ∴|CD ―→|＝|BE ―→|＝|EA ―→|＝752，|DA ―→|＝75 6. 从而|AC ―→|＝1502，∠CAD ＝30°. 故|v 2|＝150 2 km/h ，方向为西偏北30°.8．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于点F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC .证明：以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系．设A (0,2)，C (2,0)，则D (1,0)，AC ―→＝(2，－2)．设AF ―→＝λAC ―→，则BF ―→＝BA ―→＋AF ―→＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)． 又DA ―→＝(－1,2)，且BF ―→⊥DA ―→，∴BF ―→·DA ―→＝－2λ＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝23，∴BF ―→＝⎝⎛⎭⎫43，23，∴DF ―→＝BF ―→－BD ―→＝⎝⎛⎭⎫13，23. 又DC ―→＝(1,0)，∴cos ∠ADB ＝DA ―→·DB ―→|DA ―→||BD ―→|＝55，cos ∠FDC ＝DF ―→·DC ―→|DF ―→||DC ―→|＝55. 又∵∠ADB ，∠FDC ∈(0，π)， ∴∠ADB ＝∠FDC .。
湘教版高中数学必修二向量教案
湘教版高中数学必修二向量教案教案范本
第一课：向量的基本概念
一、教学内容
1. 向量的定义及性质
2. 向量的表示法
3. 向量的加法和减法
二、教学目标
1. 了解向量的定义及性质
2. 掌握向量的表示法
3. 掌握向量的加法和减法的运算规则
三、教学重难点
1. 向量的定义及性质
2. 向量的加法和减法
四、教学方法
1. 讲解结合示例分析
2. 练习巩固
五、教学过程
1. 引言：向量的概念和应用
2. 向量的定义及性质的讲解
3. 向量的表示法的介绍
4. 向量的加法和减法的运算规则
5. 练习演练
6. 总结与拓展
六、教学资源
1. 课件
2. 教材
3. 练习册
七、作业布置
1. 完成练习册上的习题
2. 自主搜索相关资料，了解更多关于向量的知识
八、教学反馈
1. 老师及时批改作业
2. 学生可以提出问题进行解答
九、教学评价
1. 通过练习册中的题目检测学生对向量的掌握程度
2. 学生的提问反映出他们对向量的理解情况
十、教学延伸
1. 可以拓展向量在几何图形中的应用
2. 可以引导学生进行探究性学习，了解更深层次的向量知识。
湘教版高中高一数学必修二《向量的应用》评课稿
湘教版高中高一数学必修二《向量的应用》评课稿一、课程目标本堂课主要以讲授《向量的应用》为主题，旨在通过引入向量的概念与方法，培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
具体的课程目标包括：1.理解向量的定义与性质；2.掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算；3.学会如何使用向量表示平面上的点和线段；4.能够运用向量解决实际问题，如平面几何和物理等方面的应用问题；5.培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力，提高解决问题的方法和策略。
通过本节课的学习，学生将获得一些基本的向量技巧和方法，为将来更深入的数学学习打下坚实的基础。
二、教学重点与难点1. 教学重点•向量的定义与性质；•向量的加法、减法和数量乘法运算；•向量表示平面上的点和线段；•向量在实际问题中的应用。
2. 教学难点•向量的运算法则及其应用；•实际问题的向量表示和分析。
三、教学内容与方法1. 教学内容Step 1:向量的概念与性质 - 向量的定义及其表示方法；- 零向量和单位向量； - 向量的数量乘法。
Step 2:向量的加法与减法 - 向量的加法与减法运算法则；- 向量的平移性质。
Step 3:向量的应用 - 向量表示平面上的点和线段； -平面几何中的向量应用； - 物理问题中的向量应用。
2. 教学方法为了达到良好的教学效果，将采用以下教学方法：•针对每个步骤，首先通过讲解向量的概念与性质，帮助学生建立基本的认知框架；•结合具体的例题和练习，引导学生主动思考，参与课堂讨论以加深对向量运算法则和应用的理解；•强调实际问题解决的重要性，引导学生将向量与实际问题相结合，培养解决实际问题的能力。
四、教学过程设计1. 导入环节•引入问题：小明从家里步行50米后向东转弯，然后又步行30米后向北转弯，最后他又步行了40米。
请问他最后所在的位置在哪里？简要描述解决问题的思路。
2. 提出问题与定义Step 1:向量的定义与性质 - 通过示意图引入向量的定义及其性质； - 引导学生发现向量的特点，例如大小与方向等。
湘教版高中数学必修二向量的应用教案
第 12 课时：§ 2.5 向量的应用【三维目标】：一、知识与技能1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力二、过程与方法1.通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.三、情感、态度与价值观1.以学生为主体，通过问题和情境的设置，充分调动和激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力.2.通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力【教学重点与难点】：重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”。
难点：实际问题转化为向量问题，体现向量的工具作用。
用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.向量既有大小又有方向的量，在实际问题中有很多这样的量，它既有代数特征，又有几何特征；今天，我们就来用向量知识研究解决一些实际问题。
2.研究的方法：用数学知识解决实际问题，首先要将实际问题转化成数学问题，即将问题中各量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究来解决实际问题中的有关量。
向 量 (课件)必修第二册湘教版数学
(2)有向线段的长度：位移的大小就是 A 到 B 的直线距离，记作__|A__B_|_，也就是
有向线段A→B的_长__度__，也记作|A→B|.
(3)向量：像位移这样既有_大__小__又有_方__向__的量，在数学中称为向量. 向量 a 的大小，也就是向量 a 的长度，称为 a 的__模__，记作__|a_|_.
1.思考辨析，判断正误 (1)如果|A→B|>|C→D|，那么A→B>C→D.( × )
提示 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小. (2)若a＝b且a与b的起点相同，则终点也相同.( √ ) (3)零向量的大小为0，没有方向.( × ) 提示 零向量的方向是任意的. (4)向量a与b方向相反，则a与b为相反向量.( × ) 提示 方向相反，长度相等的向量称为相反向量.
解 (1)如图所示. (2)由题意，易知A→B与C→D方向相反. 又|A→B|＝|C→D|，
∴在四边形 ABCD 中，AB 綉 CD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形. ∴|A→D|＝|B→C|＝200(公里).
思维升华
准确画出向量的方法是首先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向 量的大小确定向量的终点.
则四边形ABCD为平行四边形， ∴A→B＝D→C，则 B 地相对于 A 地的位置为“北偏东 60°，长度为 6 千米”.
题型三 相等向量的应用
【例 3】 如图所示，在四边形 ABCD 中，A→B＝D→C，N，M 分别是 AD，BC 上 的点，且C→N＝M→A. 求证：D→N＝M→B. 证明 ∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且 AB∥CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴|D→A|＝|C→B|，且 DA∥CB. 又∵D→A与C→B的方向相同，∴C→B＝D→A. ∵C→N＝M→A，∴|C→N|＝|M→A|，且 CN∥MA，∴四边形 CNAM 是平行四边形，
湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 平面向量及其应用 1.6.2 正弦定理
②若
cos
=
cos
=
sin
,由正弦定理可得
cos
cos
=
sin
cos
=
sin
,
cos
∴tan A=tan B=tan C,
∵角 A,B,C∈(0,π),∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC 是等边三角形,正确;
③若tan
=
tan
=
sin
,由正弦定理可得tan
tan
=பைடு நூலகம்
2 +2 -2
C= 2
1
S=2absin
=
22 +32 -42 1
=-4,则
2×2×3
1
15
C=2×2×3× 4
=
3 15
.
4
sin C=
1-cos 2
=
15
,故
4
规律方法 三角形面积的求解思路
求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同形式,因此实际使用时要结合题
目的条件灵活运用公式求解.当三角形的两边及其夹角都已知或能求出时,常
于是∠C=180°-45°-30°=105°.
由正弦定理,得
sin
c= sin
=
2sin105°
sin45°
= 3+1.
变式探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,∠B=60°”,解三角形.
解 由正弦定理,得 sin
形无解.
sin
A=
=
5sin60°
2
=
5 3
>1,则角
4
A 不存在,所以该三角
课 标 要 求
1-7 平面向量的应用举例(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
4.几何法和坐标法
（1）几何法：
①选取适当的基（夹角、模易知），将题中涉及的向量用基表示；
②利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
2
3
2
3
6
2
由
又O为和 的公共点，∴ 点E，O，F在同一直线上.
1
＝ ＝ .
2
高中数学
必修第二册
湖南教育版
3.平面几何中的长度问题
例 3 如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.
求证：AF＝AE.
证明
如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（-1，1），B（0，1）.
（2）计算得出1 2 + 1 2＝0，从而得到⊥ ；
（3）给出几何结论AB⊥CD.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
跟踪训练
1-1
（1）若M为△ABC所在平面内一点，且满足（- ）·（+ - 2）＝0，则△ABC为（ B ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
证明：（方法1）∵ 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴ 2|AC|＝ 2|BC|＝|AB|.
1
2
2
3
2
3
2
3
1
3
∵＝- ＝ - ，＝+ ＝+ ＝+ （- ）＝ + ，
湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 平面向量及其应用 1.2.1 向量的加法
规律方法
求作和向量的方法
(1)利用三角形法则.在平面内任取一点,以该点为起点,将两向量平移到首
尾相接,从该起点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意
首尾相接.
(2)利用平行四边形法则.在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量
等于已知向量,以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形,以所取的点为
成果验收•课堂达标检测
1 2 3 4 5
1.在四边形ABCD中, + = , 则四边形ABCD是( D )
A.梯形
B.矩形
C.正方形
解析
D.平行四边形
由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平行四
边形.故选D.
1 2 3 4 5
2.若向量a表示向东北方向走5 km,向量b表示向西北方向走5 km,则向量
过关自诊
1.[北师大版教材习题]填空:
(1) + =________;
0
(2) + + =________.
2.如图,在平行四边形 ABCD 中, + =________.
解析
由平行四边形法则可知 + = .
知识点2
向量加法的运算律
1.加法交换律:a+b=________.
【例1】 如图,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c.
解 (方法 1)如图①,在平面内作=a,=b,则=a+b;再作 =c,
则 =a+b+c.
(方法 2)如图②,在平面内作=a,=b,以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形
OADB,则=a+b;再作 =c,以 OD 与 OC 为邻边作平行四边形 ODEC,则
湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 平面向量及其应用 1.1 向量
解 ||=2,| |=2.5,| |=3,||= 22 + 22 =2 2.
重难探究•能力素养全提升
探究点一
平面向量的相关概念
【例1】 已知下列说法:①若|a|=0,则a为零向量;②若|a|=|b|,则a=b;③两个
有共同起点,而且相等的向量,其终点必相同.其中正确的有( B )
(1)证明 因为 = ,所以||=| |,且 AB∥CD.
因此四边形 ABCD 是平行四边形,
所以||=||,且 DA∥CB.
同理由 = ,可证四边形 CNAM 是平行四边形,
所以||=||.所以| |=||,即与的模相等.
又与的方向相同,故 = .
线段,而向量是可以自由平移的
有向线段是向量的表示,并不是说向量就是有向线段,每一条有向线
段对应着一个向量,但每一个向量对应着无数多条有向线段
过关自诊
1.有下列物理量:①质量;②位移;③力;④加速度;⑤路程;⑥密度.其中不是
向量的有( C )
A.1个
解析
向量.
B.2个
C.3个
D.4个
②③④既有大小,又有方向,是向量;①⑤⑥只有大小,没有方向,不是
所有的零向量相等,故D选项错误.故选C.
1 2 3 4
3.若| |=||,且 = ,则四边形 ABCD 的形状为( C )
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.等腰梯形
解析
由 = 知四边形 ABCD 为平行四边形,
由||=||知平行四边形 ABCD 为菱形.
1 2 3 4
形;若四边形ABCD为平行四边形,则 = .
变式训练3如图,已知四边形ABCD,M,N分别是BC,AD的中点, = .
湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 平面向量及其应用 1.2.2 向量的减法
(4) + = − + − =b-a+f-c.
(5) − = − -( − )= − =f-d.
1 2
2
= √3.
规律方法
解决向量模的问题的两种方法
(1)依据图形特点,适当运用三角形法则和平行四边形法则进行转化,要注
意相关知识间的联系;
(2)利用向量形式的三角不等式,即||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求解.用此法求
解时,一定要注意等号成立的条件.
变式训练 3 已知||=a,||=b 且 a>b,| |的取值范围是[5,15],则 a,b 的值
10,5
分别为________.
解析 由 = − ,得||=| − |.∵a>b,即
||>||,
∴||-||≤| − |≤||+||,
即 a-b≤||≤b+a.
+ = 15,
= 10,
∵||∈[5,15],∴
解得
= 5.
− =________;
− =________;
− =________.
重难探究•能力素养全提升
探究点一
向量的减法运算
【例1】 化简下列各向量的表达式:
(1) + − ;
(2)( − )-( − );
(3)( + + )-( − − ).
1 2 3 4
4.如图,已知=a,=b, =c,=d, =f,试用 a,b,c,d,f 表示以下向量:
(1) ;(2) ;
(3) − ;(4) + ;
湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 平面向量及其应用 向量线性运算的坐标表示
=(1,8)-(4,6)=(-3,2).
∴ + =(3,-1)+(-3,2)=(0,1),
− =(3,-1)-(-3,2)=(6,-3),
1
1
9
2 + =2(3,-1)+ (-3,2)= ,-1 .
2
2
2
规律方法
故 m≠1.
成果验收•课堂达标检测
1 2 3 4 5
1.已知a=(-3,2),b=(2,3),则2a-3b等于( C )
A.(-12,5)
B.(12,5)
C.(-12,-5)
D.(12,-5)
解析
2a-3b=2(-3,2)-3(2,3)=(-6,4)-(6,9)=(-12,-5).
了向量a与b的大小及方向之间的关系.
(2)代数表示法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则当a与b共线时x2y1=x1y2.用它解决平
面向量共线问题的优点在于不需要引入参数λ,从而减少了未知数的个数,
而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.
1
1
(3)比例形式表示法:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则当 a 与 b 共线时, = (x2,y2≠0).
因为向量2a+b与向量3a-2b共线,
所以(x-4)(3x+6)=(2x-3)(-2x+1),
整理得x2-2x-3=0,
解得x=3或x=-1.
故实数x的值是3或-1.
变式探究本例中,若已知“向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向”,如何求实数x的值?
解 (方法1)由题意可知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)共线,则有(-1)×(-3)=x(x-2),
高中教育数学必修第二册湘教版《1.7 平面向量的应用举例》教学课件
AC·AE
＝
3
，1
3
3
，1
3
2
，
，AC·AE＝2.
3
2
＝ ，
3
|AC||AE| 2×2
3
π
π
因为0<∠EAC< 2 ，所以∠EAC＝ 6 .
题型 3 向量在物理中的应用
例3 一条宽为 3 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码
头A，B，已知AB＝ 3 km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎
)
1
1
A．
B．－
2
5
C．－
4
答案：C
2
D．－2
方法归纳
(1)用向量法求长度的策略
①利用图形特点选择基，向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解．
②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则
|a|＝ x 2 + y 2 .
(2)向量数量积、夹角的计算
利用向量或坐标表示出未知向量，代入相应的公式进行计算．
把向量平移到同一作用点上，主要涉及的问题是力的合成与分解．
(2)速度与位移问题
速度、位移问题主要涉及合成与分解，其实就是向量的加减法，可
以通过向量的线性运算来解决，也可借助坐标运算来求解．
(3)功与动量问题
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘
积，它的实质是向量的数量积．即W＝|F||s|cos 〈F，s〉．功是一个
样安排航行速度可使它从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？
方法归纳
用向量解决物理问题的一般步骤
(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．
(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．
1-1 向量(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
高中数学
例5
必修第二册
湖南教育版
［多选题］下列关于零向量的说法正确的是（ CD ）
A.零向量没有大小，也没有方向
B.因为|0|＝0，所以0与0是同一个量
C.零向量的长度为0
D.零向量的方向是任意的
【解析】零向量的长度为0，方向是任意的，A错误，C，D正确；
0表示数量，没有方向，0表示零向量，有方向，它们是两类不同的量，B错误.
又D是BA的中点，∴＝ ＝.∴ 与向量相等的向量是， .
1
2
（2）∵ D，F分别是AB，AC的中点，∴ DF∥BC，且DF＝ BC.
又E是BC的中点，∴＝- ＝- ＝- ，∴ 向量的相反向量是， ，.
（3）∵ D，E，F分别是等边△ABC的边AB，BC，CA的中点，
∴ AD＝DB＝BE＝EC＝CF＝AF＝DF＝DE＝EF，
（1）| |＝3，点A在点O正西方向；
（2）| |＝3 2，点B在点O北偏西45°方向；
（3）| |＝2，点C在点O南偏东60°方向.
解：（1）（2）（3）如图所示.
高中数学
2-3
必修第二册
湖南教育版
一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达C
点，又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.
（1）作出向量， ，；
（2）求| |.
解：（1）∵ B点在A点的正西方向，且两点相距100 km，∴ 可画出，且| |＝100 km.
∵ C点在B点的北偏西40°方向，且两点相距200 km，∴ 可画出，且| |＝200 km.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
【方法总结】用有向线段表示向量的方法
1.1 向量教学设计-2023-2024学年高一下学期数学湘教版(2019)必修第二册
1.1 向量教学设计-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册一、教学内容分析本节课的主要教学内容为向量及其运算。
向量是描述物体位置和方向的一种数学工具，广泛应用于物理学、工程学等领域。
根据湘教版（2019）必修第二册的安排，本节课的内容包括向量的概念、向量的表示、向量的运算以及向量的应用。
教学内容与学生已有知识的联系：1. 向量的概念：学生已经学习了实数和数轴，可以利用数轴的概念来理解向量的概念。
2. 向量的表示：学生已经学习了函数和坐标系，可以利用函数和坐标系的概念来理解向量的表示方法。
3. 向量的运算：学生已经学习了实数的运算，可以利用实数的运算来理解向量的运算。
4. 向量的应用：学生已经学习了物理中的力，可以利用力的概念来理解向量的应用。
二、核心素养目标培养学生运用向量描述物体位置和方向的能力，发展学生的数学思维，培养学生的抽象思维能力。
三、学习者分析1. 学生已经掌握了哪些相关知识：- 学生已经学习了实数和数轴，能够理解向量的概念。
- 学生已经学习了函数和坐标系，能够理解向量的表示方法。
- 学生已经学习了实数的运算，能够理解向量的运算。
- 学生已经学习了物理中的力，能够理解向量的应用。
2. 学生的学习兴趣、能力和学习风格：- 学生对数学概念和应用有一定的兴趣，能够积极参与课堂讨论和练习。
- 学生具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力，能够理解和掌握向量的概念和运算。
- 学生学习风格多样，有的喜欢通过直观的图像和例子来理解概念，有的喜欢通过公式和推导来掌握方法。
3. 学生可能遇到的困难和挑战：- 学生可能对向量的概念和表示方法感到抽象和难以理解，需要通过具体的例子和直观的图像来帮助学生建立直观的认识。
- 学生可能对向量的运算感到复杂和难以掌握，需要通过逐步引导和练习来帮助学生理解和掌握向量的运算规则。
- 学生可能对向量的应用感到不熟悉和不感兴趣，需要通过实际问题的引入和解决来激发学生的学习兴趣和提高学生的应用能力。
高中数学 46向量的应用课件 湘教版必修2
C→D＝23B→A－B→C.从而，B→P·C→D＝17B→C＋47B→A·23B→A－B→C＝281
a2－17a2－1201a2cos 60°＝0.由向量垂直的条件知，BP⊥DC.
点评 垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转 化为向量的内积为零，而在此过程中，则需运用线性运算， 将目标向量用基表示，通过基的内积运算式使问题获解，本
使A→B＝λA→C；
(5)要求一个角，如∠ABC，只要求向量B→A与向量B→C的夹角
即可．
典例剖析
题型一 向量在平面几何中的应用 【例1】• 如图，正三角形ABC中，D、E
分别是AB、BC上的一个三等分点， 且AE、CD交于点P.求证：BP⊥DC.
证明 设P→D＝λC→D，并设△ABC 的边长为 a，则 有：P→A＝P→D＋D→A＝λC→D＋13B→A＝λ23B→A－B→C＋13 B→A＝13(2λ＋1)B→A－λB→C，又E→A＝B→A－13B→C.
(1)要证明两线段相等，如 AB＝CD，则可转化为证明：A→B2
＝C→D2，或A→B＝C→D；
(2)要证明两线段平行，如 AB∥CD，则只要证明：存在实数
λ ≠0，使A→B＝λC→D成立；
(3)要证明两线段垂直，如 AB⊥CD，则只要证明数量积
A→B·C→D＝0；
(4)要证明 A、B、C 三点共线，只要证明，存在一实数 λ≠0
C．(9，0)
D．(0，9)
解析 F＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，其终点坐标为
(1，1)＋(8，0)＝(9，1)．
答案 A
4．• 作用于一个物体的两个力F1、F2的大小都是10，F1与F2 的夹角为60°，则F1＋F2的大小为________．
湘教版高中数学必修2：向量的应用
由xx＋2＋yy－2－1＝2＝0，0，
得yx＝＝11－＋22
3， 3
或xy＝ ＝11－ ＋22
3， 3
(舍)．
即E1＋2 3，1－2 3.
又设F(x′，1)，由
→ CF
＝(x′，1)和
→ CE
＝
1＋ 2
3，1－2
3
共线
得：1－2 3x′－1＋2 3＝0，得x′＝－2－ 3，
→ BF
＝b＋
a 2
，所以
→ AF
→ ·DE
＝
b＋a2
·－a＋b2
＝－
1 2
a2－
3 4
a·b＋
b2 2
＝－
1 2
|a|2＋
1 2
|b|2＝0.故
→ AF
⊥
D→E，即AF⊥DE.
法二 如图建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则
A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，A→F＝(2,1)，D→E＝(1，－2)．
－32)＝8，选D.
3．正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB， BC的中点，试求cos∠DOE的值．
解 以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所 示，由题意知：
O→D＝1，12，O→E＝12，1，
→→
故cos∠DOE＝
OD·OE →→
|OD|·|OE|
＝1×2512×＋122×5 1＝45.
a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ x1y2－x2y1＝0 .
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用
向量垂直的等价条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos 〈a，b〉＝ |aa|·|bb|＝ x21x＋1xy212＋y1xy222＋y22.
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由xx＋2＋yy－2－1＝2＝0，0，
得yx＝＝11－＋22
3， 3
或xy＝ ＝11－ ＋22
3， 3
(舍)．
即E1＋2 3，1－2 3.
又设F(x′，1)，由
→ CF
＝(x′，1)和
→ CE
＝Leabharlann ＋ 23，1－23
共线
得：1－2 3x′－1＋2 3＝0，得x′＝－2－ 3，
因为A→F·D→E＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以A→F⊥D→E，即AF⊥DE.
•规律方法 对于线段的垂直问题，可以联想到 两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对 于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形 式，也可以考虑坐标的形式．
跟踪演练1 如图，点O是△ABC的外心，E为三角形内一点， 满足O→E＝O→A＋O→B＋O→C，求证：A→E⊥B→C.
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的数量积运 算、向量模的公式：|a|＝ a2＝ x2＋y2.
2．向量方法在物理中的应用
(1)力、速度、加速度、位移都是 向量 ．
(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向
量的 加、减
运算，运动的叠加亦用到向量的合
成．
(3)动量mv是 数乘向量 ．
(4)功即是力F与所产生位移s的 数量积 ．
要点一 平面几何中的垂直问题
• 例1 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分 别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明
法一
设
→ AD
＝a，
→ AB
＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又
→ DE
＝
→ DA
＋
→ AE
＝－a＋
b 2
，
→ AF
＝
→ AB
＋
证明 ∵O为外心，∴|O→C|＝|O→B|. ∵B→C＝O→C－O→B， A→E＝O→E－O→A＝(O→A＋O→B＋O→C)－O→A＝O→B＋O→C， ∴A→E·B→C＝(O→B＋O→C)·(O→C－O→B)＝|O→C|2－|O→B|2＝0，即A→E·B→C＝ 0. 故A→E⊥B→C.
要点二 平面几何中的长度问题
例 2 如 图 所 示 ， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线 于F.求证：AF＝AE.
证明 如图，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(－ 1,1)，B(0,1)． 若设E(x，y)，则B→E＝(x，y－1)，A→C＝(1，－1)． 又∵A→C∥B→E， ∴x·(－1)－1×(y－1)＝0， ∴x＋y－1＝0. 又∵|C→E|＝|A→C|，∴x2＋y2－2＝0.
答：速度、加速度与位移的合成与分解，实
质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向 量的合成， 向量有丰富的物理背景．向量源于物
理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”；向量 在解决涉及上述物理量的合成与分解时，实质就是 向量的线性运算．
[预习导引] 1．向量方法在几何中的应用
(1)证明平行问题，常用向量平行(共线)的等价条件：
2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是 怎样的？ 答：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离， 夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．
3．向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？
∴F(－2－ 3，1)，
∴A→F＝(－1－ 3，0)，
A→E＝3＋2 3，－1＋2 3，
∴|A→E|＝
3＋ 2
32＋－1－2
32＝1＋
3＝|A→F|，
∴AF＝AE. 规律方法 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求
解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公
向量的应用
[学习目标] 1．能运用向量的知识解决一些简单的平面几何问题． 2．掌握两种基本方法—选择基向量法和坐标建系法． 3．能用向量知识处理一些简单的物理问题．
[知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题？
答：(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三 点共线、三线共点等位置关系．
(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算 或度量问题．
速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝ 20(km/h)， 设帆船行驶的速度为v， 则v＝v1＋v2. 由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°) ＝(10,10 3)，向量v2＝(20,0)，
式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入
公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
•跟踪演练2 如图，平行四边形ABCD中，已知 AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的 长．
解 设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b，而|B→D|＝|a－ b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b＝ 5－2a·b＝2，∴5－2a·b＝ 4，∴a·b＝12，又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， ∴|A→C|＝ 6，即AC＝ 6.
要点三 向量的线性运算在物理中的应用
• 例3 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距 离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受 的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h， 此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考 虑其他因素，求帆船的速度与方向．
• 解 建立如图所示的直角坐标系，风的方向 为北偏东30°，
→ BF
＝b＋
a 2
，所以
→ AF
→ ·DE
＝
b＋a2
·－a＋b2
＝－
1 2
a2－
3 4
a·b＋
b2 2
＝－
1 2
|a|2＋
1 2
|b|2＝0.故
→ AF
⊥
D→E，即AF⊥DE.
法二 如图建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则
A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，A→F＝(2,1)，D→E＝(1，－2)．
a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ x1y2－x2y1＝0 .
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用
向量垂直的等价条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos 〈a，b〉＝ |aa|·|bb|＝ x21x＋1xy212＋y1xy222＋y22.