例谈应用构建主义思想解决数学问题

例谈应用构建主义思想解决数学问题
中山市实验高级中学 杨德才2007-4-12
数学学习是一个对新知识构建和原认知结构的重新整合的过程，是建立在构建新知识和重新整
合原有知识的基础之上的。

它包括构建和整合两个方面，既要理解新的知识，将新知识与已有的知
识建立起恰当的联系，又要将新旧知识结构相互结合，通过重新构建、整合形成新的认知网络；数
学有“训练思维之体操”之说，数学思维训练的主要方法是解题，而构建恰当的数学模型又是解决
数学问题的重要方法之一。

以建立数学模型来解决数学问题，是以理论原理与问题的实际为基础，
从实际问题的具体特征出发，将所要研究的问题转化为对数学模型的研究。

数学模型的建立是构建
主义思想的具体应用，是在直觉思维的基础上的再创造过程。

在这里我以高中数学为例谈谈数学模
型的构建途径。

一、分析相似结构，构建函数模型
数学领域里的诸多知识是相通的，互相关联的，往往一道数学题可以从不同的角度来解决。

充
分发挥创造思维的能动作用，采用多层次，多角度，灵活地分析问题，科学联想多种思维情景，从
一个全新的角度去思考分析问题，一定会构想出科学的数学模型。

通过构建函数模型把一个等式或
不等式问题转化成对函问题的研究就是比较常见的解题方法之一。

例1、 已知 a,b, c 满足条件：a+b+c=22b a ++22=c ，
求证:a:(1-a)222)1()1(c c b b -=-=
分析：从待证式子的结构出发，我们不妨构建函数f(x)=x(1-x)2,把待证式子和所构建的函数
进行比较，很容易发现:
如果要证明:a(1-a)222)1()1(c c b b -=-= 成立，就只要证明f(a)=f(b)=f(c)即可。

证明：由题设可知ab+ac+bc=1)]()[(2
12222=++-++c b a c b a , 因为（x-a ）(y-b)(z-c)=
x abc x bc ac ab x c b a -+++++-)()(23=
abc x x abc x x x --=-+-223)1(2
所以f(x)=x(1-x)2= （x-a ）(y-b)(z-c)+abc
分别令x=a,b,c,可得f(a)=f(b)=f(c)=abc 。

即有a(1-a)222)1()1(c c b b -=-=成立。

二、将代数式赋予几何意义，构建几何模型。

某些问题的结构特征与已学过的几何知识相关，我们可以将问题中的条件与结论的结构关系赋
予几何意义，然后构建新的数学模型，再应用我们比较熟悉的几何知识去解决待求问题。

例2、 sin 220o o o o 80cos 20sin 380cos 2++的值。

分析：待求式子可变为sin 2200002010sin 20sin 310sin ++，在解此题时我们回避常规的三角
变形法，我们从数形结合的角度出发去构建模型。

不妨构建三角形 ABC,令
000150,20,10===C B A ，如图所示：
A
由正弦定理可知R C
c B b A a 2sin sin sin === 又由余弦定理可知： B C C ab b a c cos 2222-+= （ 图一）
所以202020)20sin 2()10sin 2()150sin 2(R R R +=
—0002150cos 20sin 10sin 42R ⨯
所以 sin 2200002010sin 20sin 310sin ++=4
1 例3、试证对于任意的正实数a,b,c,
不等式222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-都成立，并且
c
a b 111+= 时，等号成立。

分析：观察待证式子中的三个根式，容易发现： 0222260cos 2ab b a b ab a -+=+- 可以表示为以a ，b 为边，夹角为600的三角形的第三边长；
0222260cos 2bc c b c bc b -+=+-可以表示为以b ，c 为边，夹角为600的三角形的第三边长；
02222120cos 2a c a c ac a -+=++可以表示为以a ，c 为边，夹角为1200的三角形的第三边长； 根据上述分析我们构建这样的（图二）几何图形 ，
其中AB=c , AC=a , AD=b, <CAD=<BAD=600
A
a b c
D
C
B
（ 图 二 ）
显
然，由余弦定理可知CD= 0222260cos 2ab b a b ab a -+=+-
AB=0222260cos 2bc c b c bc b -+=+-
CB=02222120cos 2ac c a c ac a -+=++
在CDB ∆中，CD+DB>CB 是恒成立的。

所以222222c ac a c bc b b ab a ++>+-++-成立。

当B 、C 、D 三点共线时，一定有222222c ac a c bc b b ab a ++=+-++-成立，且
ACB AD B ACD S S S ∆∆∆=+，即000120sin 2160sin 2160sin 21ac bc ab =+，所以有c
a b 111+=。

例2、例3分别把一个纯三角函数问题、不等式问题转化成了对一个三角形的边和角的分析。

这两道题的解法都是通过科学构建几何模型来解决代数问题，从一个全新的角度去审视原题，突破了问题原来的涵义界限，展现出了独特新颖的解题方法与技巧。

这种解题方法的实质是通过分析问题的结构，联想与之相似的有着明显几何意义的式子，从而构建数学模型到达解决问题的目的。

中学数学中比较常见有着明显几何意义的式子还有：
（1）a x -表示数轴上任意点x 与a 的距离。

（2）22)()(b x a x -+-表示平面上任意点P （x,y ）与 A(a,b)的距离的平方。

（3）
a x
b y --表示平面上任意点P （x,y ）与A (a,b) 连线的斜率。

（4）22b a c
by ax +++表示平面上任意点P （x,y ）到直线ax+by+c=0的距离。

（5）常见的圆、椭圆、双曲线、抛物线、直线等二次曲线方程或直线方程等。

三 、将代数式赋予新的代数意义构建模型
某些问题的结构特征与已学过的“程”或“式”相关，我们就可以将问题中的条件与结论的结构关系重新赋予“程”或“式”意义，然后再构建新的数学模型。

例4、实数x,y,z 满足arctgx+argy+arctgz=2
3π, 求证(1)xy+yz-zx=1,(2)x+y+z<xyz 分析：我们把arctgx ，argy ，arctgz 重新定义成三个复数1+xi, 1+yi, 1+zi 的辐角主值，则（1+xi ）
（ 1+yi ）（1+zi ）=（1-xy-yz-zx ）+(x+y+z-xyz)i , 考虑到 arctgx+argy+arctgz=2
3π，显然有xy+yz+zx=1和x+y+z<xyz 成立。

在构建数学模型时，要克服思维定势的干扰，当用常法解决问题比较困难时，要及时调整思维角度，敢于构想新的问题意境，寻求新的解题契机。

四、从问题的反面出发构建模型
从问题的反面出发，构想与问题完全相反的模型，然后通过推理，达到否定假设肯定结论的效果。

其过程是：先假设“结论”不成立，然后把“结论”的反面当作已知条件．．．．
，进而运用数学知识进行正确的逻辑推理，得出与题设或已知的公理、定义、定理相矛盾的结论，从而说明假设不成立，即原“结论”成立。

这种方法的实质是：先驳倒“结论”反面，尔后肯定“结论”。

例5：已知：四边形ABCD 中，对角线AC=BD=m 。

A B
求证：四边形中至少有一条边 D
不小于2
2m 。

证明：假设四边形的边都小于
22m ， C （图三 ） 由于四边形中至少有一个角小于或等于090，不妨设090≤∠A ，
由余弦定理，得A AB AD AB AD BD cos 2222⋅⋅-+=，
∴222AB AD BD +≤，
即m m m AB AD BD =+<+≤2222)2
2()22(。

这已知BD=m 相矛盾。

所以，”四边形中至少有一条边不小于22m ”成立。

五、构造事例证明数学结论
例6、“如果一个二面角的两个半平面分别和另外一个二面角的两个半平面垂直，则这两个二面
角相等或互补.”是否成立？
在分析这个问题时，若要在纸上画图比较麻烦，但我们以让打开的书所成的二面角和课桌面与教室墙壁构成的二面角满足题设要求，由于书的一面开合后仍保持这种垂直关系，也就是说其中一个二面角是可以改变大小的，因此此命题是错误的。