高中数学必修2-3第一章1.3 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1．问题导航(1)什么是杨辉三角？它具有哪些特点？(2)二项式系数的性质有哪些？什么是赋值法？ 2．例题导读例3证明二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，请试做教材P 35练习1、2题．1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是________1，与这两个1等距离的项的系数________相等． (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的________和，即________C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn ．2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －r n .(2)增减性与最大值：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐________增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐________减小的，且在中间取到最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数________C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n ，C n ＋12n 相等，且同时取到最大值．(3)二项式系数的和：①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝________2n．②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝________2n －1．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( )(3)二项式展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( ) A ．n ，n ＋1 B ．n －1，n C ．n ＋1，n ＋2 D ．n ＋2，n ＋3 答案：C3．已知(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数和为32，则n 等于( ) A ．5 B ．6C．7 D．8答案：A4．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．答案：2n－11．与杨辉三角有关的问题的注意事项(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系后，再对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．(2)注意二项式系数性质C m n＝C n－mn ，C m n＋1＝C m n＋C m－1n的应用．2．释疑二项展开式中系数最大的项(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断．一般采用列不等式、解不等式的方法求解．(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．与杨辉三角有关的问题如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S n，求S19.[解]由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C211)＝（2＋10）×92＋C 312＝274.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间、行与行之间的数的规律． (2)表达：将发现的规律用数学式子表达． (3)结论：由数学表达式得出结论．1．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.解析：由杨辉三角知，第一行中的数是C 01、C 11；第2行中的数是C 02、C 12、C 22；第3行中的数是C 03、C 13、C 23、C 33；…；第n 行中的数是C 0n 、C 1n 、C 2n 、…、C nn .设第n 行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C 13n ∶C 14n ＝2∶3，解之得n ＝34.答案：34二项式系数的单调性及最值(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有 C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8.故(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4.设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C k 8·2k ≥C k －18·2k －1C k8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1⇒5≤k ≤6，又k ∈{0，1，2，…，8}， 故k ＝5或k ＝6.故系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式组的方法求得．2．(1)(x －1x )11的展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第6项B ．第8项C ．第5，6项D ．第6，7项解析：选D.由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．(2)在(x －2x 2)8的展开式中：①系数的绝对值最大的项是第几项？ ②求二项式系数最大的项； ③求系数最大的项．解：T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·(－2x 2)r ＝(－1)r ·C r 8·2r·x 4－52r (r ＝0，1，2，…，8)． ①设第(r ＋1)项系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1， ∴⎩⎨⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r，解得5≤r ≤6.又∵0≤r ≤8，r ∈N ，∴r ＝5或r ＝6.故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项． ②二项式系数最大的项为中间项，即第5项， T 5＝C 48·24·x 4－202＝1 120x －6. ③由①知展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，∴系数最大的项为T 7＝C 68·26·x－11＝1 792x －11.二项式系数的和[学生用书P 24]已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求下列各式的值． (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.[解] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝37.② (1)令x ＝0，得a 0＝1，代入①中得： a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)由①－②得2a 1＋2a 3＋2a 5＋2a 7＝－1－37， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)由①＋②得2a 0＋2a 2＋2a 4＋2a 6＝－1＋37. ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.[互动探究] 本例条件下，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解：法一：∵(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093－(－1 094)＝2 187.法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和， 令x ＝1，∴|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.(1)本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式．(2)“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．3．(1)已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( ) A ．32 B ．1 C ．－243 D ．1或－243解析：选B.展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·a5－r·x r ， 令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80， 即a ＝2，故(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1. (2)已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14，试求： ①a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14； ②a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.解：①在已知等式中令x ＝1，则得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 13＋a 14＝27＝128.(ⅰ) ②在已知等式中令x ＝－1，则得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝67.(ⅱ) (ⅰ)－(ⅱ)得2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13)＝27－67＝－279 808. 因此，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝－139 904.(本题满分12分)(2015·衡水高二检测)已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n的展开式的二项式系数和大992，求⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n的展开式中： (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．[解] 由题意知，22n －2n ＝992 ， 即(2n －32)(2n ＋31)＝0.所以2n ＝32，解得n ＝5.4分(1)⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大， 即T 6＝C 510·(2x )5·⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－8 064 .6分(2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大， 因为T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r10·210－r ·x 10－2r ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧C r 10·210－r ≥C r －110·211－r ， C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1，8分 得⎩⎪⎨⎪⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，2（r ＋1）≥10－r ，解得83≤r ≤113.因为r ∈N ，所以r ＝3，10分故系数的绝对值最大的项是第4项，T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4.12分[规范与警示] (1)解答本题易失分的三个关键步骤．(2)解答该问题①注重对性质的理解二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，如本例中利用性质可确定出展开式中第6项的二项式系数最大．②注意对概念的区分要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项．如本例中求二项式系数的最大的项与系数的绝对值最大1．若(x 3＋1x 2)n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A ．210B ．252C ．462D ．10解析：选A.由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210.2．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A ．81B ．27C ．243D ．729解析：选A.由C 2n ＋620＝C n ＋220可知n ＝4，令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝34＝81.3．(2015·高考全国卷Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________．解析：设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴ a ＝3. 答案：34．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________．解析：令x ＝1，得a 0＝－2.令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2. 答案：2[A.基础达标]1．已知(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．8解析：选D.∵(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n ＋1＝9，∴n ＝8.2．已知(x ＋33x)n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n2n ＝64，∴n ＝6.3．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( ) A ．45 B ．55 C ．70 D ．80解析：选C.∵(1＋2)5＝C 05(2)0＋C 15(2)1＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5 ＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292， 由已知可得41＋292＝a ＋b 2， ∴a ＋b ＝41＋29＝70.4．若(1＋2x )6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112＜x ＜15B.16＜x ＜15C.112＜x ＜23D.16＜x ＜25解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧C 162x ＞C 06，C 162x ＞C 26（2x ）2， 解得112＜x ＜15.5．若(2x 3＋1x 2)n (n ∈N *)的展开式中存在常数项，则n 的最小值是( )A ．3B ．5C ．8D ．10解析：选B.T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ·x －2r ＝C r n 2n －r x 3n －5r. ∵展开式中存在常数项，∴3n －5r ＝0，即n ＝53r ，又3，5互质，r 必是3的倍数，∴当r ＝3时，n 的最小值是5.6若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．解析：(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.答案：57．设(23x －1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M ，8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为________．解析：当x ＝1时，可得M ＝1，二项式系数之和N ＝2n ， 由题意得M ·N ＝64，∴2n ＝64，n ＝6.∴第四项T 4＝C 36·(23x )3·(－1)3＝－160x . 答案：－160x8．已知(x 2－1x )n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－x ＋2x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝________．解析：因为(x 2－1x )n 的展开式的通项是C r n (－1)r x 2n －3r(r ＝0，1，2，…，n )，因为含x 的项为第6项，所以当r ＝5时，2n －3r ＝1，即n ＝8，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝28＝256.又a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝255.答案：2559．下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？ (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和． (2)设a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，若令b n ＝a n ＋1－a n ，则b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，所以可得{b n }是等差数列，从而得出每一斜行数字的差组成一个等差数列．10．对于二项式(1－x )10.(1)求展开式的中间项是第几项？写出这一项； (2)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和； (3)写出展开式中系数最大的项．解：(1)由题意可知，r ＝0，1，2，…，10，展开式共11项，所以中间项为第6项，T 6＝C 510(－x )5＝－252x 5. (2)设(1－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0， 令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1. (3)∵中间项T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 5和T 7，T 5＝C 410x 4＝210x 4，T 7＝C 610x 6＝210x 6.[B.能力提升]1．若(1＋x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，令f (n )＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )等于( )A.13(2n －1)B.16(2n －1) C.43(4n －1) D.23(4n －1) 解析：选D.当x ＝1时，22n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ，当x ＝－1时，0＝a 0－a 1＋…＋a 2n ， ∴f (n )＝22n －1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝23(4n －1)．2．若(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x 2 015(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C.(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x 2 015， 令x ＝12，则(1－2×12)2 015＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1.3．(1＋x )n 展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析：因为8＜C 0n ＋C 1n ＋…＋C nn ＜32， 即8＜2n ＜32，且n ∈N *， 所以n ＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T 3＝C 24(x )2＝6x . 答案：6x4.把通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)的数列{a n }的各项排成如图所示的三角形数阵．记S (m ，n )表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10，6)对应于数阵中的数是________．解析：设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n }，则b 1＝1，b n －b n －1＝2(n －1)， ∴b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]＋1＝n 2－n ＋1，∴b 10＝102－10＋1＝91，S (10，6)＝b 10＋2×(6－1)＝101. 答案：1015．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，求n .解：令x ＝0，得a 0＝1＋1＋…＋1＝n ；a n ＝1，令x ＝1，则2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(2n －1)－n －1＝2n ＋1－n －3，∴2n ＋1－n －3＝29－n ，∴n ＝4.6．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次项的系数之和．解：(1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11， 所以m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n＝m （m －1）2＋2n (n －1)＝m 2－m 2＋(11－m )·(11－m2－1)＝(m －214)2＋35116. 因为m ∈N *，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3.(2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3， 所以f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3， 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次项的系数之和为30.。