2012届高三数学复习课件(广东文)第2章第3节__函数的单调性

2 当x 0时，设x1 x2 0.
a 1 x2 x1 则f x2 －f x1 ＝x2＋ －x1－ ＝ ( x1 x2－a )． x2 x1 x1 x2 于是当－ a x1 x2 0时，x1 x2 a，则f x2 f x1 ． 所以f x 在[－ a， 上是减函数； 0) 当x1 x2 － a时，x1 x2 a，则f x2 f x1 ． 所以f x 在(－，－ a ]上是增函数． 综上，函数f ( x)在[－ a , 0), (0, a ]上是减函数， 在(－，－ a ], [ a ,＋)上是增函数． (由于函数是奇函数，其实只需讨论x 0的情况即可． )
a x 1 b x 1 拓展练习：判断函数f x ＝ x (a, b 0, a b)的单调性． x a b
b x a +b a . 解析：原函数化为f x ＝ b 1+ x a b a bc x 设 ＝c，得f x ＝ ，且c＞0且c 1. x a 1 c a bc x2 a bc x1 a1 c c x1 c x2 设x1＜x2，则f x2 －f x1 ＝ － ＝ . x2 x1 x1 x2 1 c 1 c 1 c 1 c 因为当c＞1时，c x2＞c x1，则(1－c)(c x1－c x2 ) 0； 当0＜c＜1时，c x1＞c x2，则(1－c)(c x1－c x2 )＞0.
a 拓展练习：函数f x =log 9 ( x+8- )在[1,+)上是增函数, x 求a的取值范围． a 解析：方法1：设g x ＝x＋8－ . x a 因为函数f x ＝log 9 ( x＋8－ )在[1，＋)上是增函数， x 所以g x 在[1，＋)上是增函数，
2
解析： x =-x +2ax=-( x-a ) +a 在区间1, 2 f
2 2 2
上是减函数，则a 1； a g x = 在 1, 2 上是减函数，则a 0. x 1 综合得a 0,1．
函数单调性的判断与证明
解析： 法1：定义法：函数f x 的定义域为(－， (0，＋)． 方 0)
a [2, ) [ , ) 只需 , 2 u＝x 2 ax 3a 0( x [2, )) a a 4 2 即 2 ,即 , u (2) 0 4a－2a＋3a 0 解得－4 a 4.所以实数a的取值范围是(－4, 4]．
反思小结：研究函数的单调性一般有两种方法，即定义 法和导数法．定义法是基础，掌握定义法的关键是作差 ( f x2 －f x1 )，运算的结果可以判断正、负．本题判断 正、负的依据是代数式“ x1 x2－a ”，处理这个代数式的符 号是一个难点，要有一定的数学功底作基础．把x1、x2看 成自变量，则转化为判断“ x 2－a ”的符号，于是转化为判 断 " x a "的符号，自然过渡到x＝ a是函数单调区间的 分界点．第二种方法是导数法．导数是研究函数图象上 某点的切线斜率的变化大小的，当某点的导数为0时，斜 率为0，所以导数为0是函数单调区间的分界点，用导数法 可以克服推理运算中的难点．掌握导数法在函数单调性 研究中的运用，能收到事半功倍的效果．
方法2 : (用导数求解) a 依题意，g x ＝x＋8－ 在[1，＋)上是增函数， x a 故g x ＝1＋ 2 0在[1，＋)上恒成立，即 x 当x [1，＋)时，a －x 2 恒成立，所以a －1. 又g x 在[1，＋)上的最小值g 1 0， 即1＋8－a 0，所以a 9. 故a的取值范围为[－1, 9)．

解析： x 1或x －1时，y＝x 2＋x－1 当 1 2 5 ＝( x＋ ) － .当－1 x 1时， 2 4 1 2 5 2 y＝-x ＋x＋1＝－( x－ ) ＋ . 2 4 作出函数f x 的图象(如图)， 可以知道函数f x 的 1 单调递增区间为[－1， ]， ＋)． [1, 2
利用单调性讨论参数的值
例题3：若函数y＝log 2 ( x －ax＋3a)在[2，＋)
2
上是增函数，求实数a的取值范围．
解析：设u＝x 2－ax＋3a 0， a 则函数u在[ ,＋)上是增函数． 2 又y＝log 2 u是增函数，根据复合函数的单调性， 要使函数y＝log 2 ( x 2－ax＋3a )在[2，＋)上是增函数，
a 例题1 讨论函数f x ＝x＋ a 0 的单调性． ： x
1 当x 0时，设0 x1 x2，
a a x2 - x1 则f x2 －f x1 ＝x2＋ －x1－ ( x1 x2－a )． x2 x1 x1 x2 于是当0 x1 x2 a时，x1 x2 a，则f x2 f x1 ． 所以f x 在(0，a ]上是减函数； 当 x1 x2时，x1 x2 a，则f x2 f x1 ． 所以f x 在[ a，＋)上是增函数.
a 方法2：导数法：当x 0时，f x ＝1－ 2 . x 令f x 0，得a x 2，则x a . 于是f x 在[ a，＋)上是增函数；同理可得f x 在(0， ] 上是减函数． 当x 0时，由奇函数的性质知函数f x 在(－，－ a ] 上是增函数，在[－ a， 上是减函数． 0) 综上，函数f x 在[－ a，， a )上是减函数， 0) (0, 在(－，－ a ]， a，＋)上是增函数． [
所以不论c＞1还是0＜c＜1，恒有f x2 ＞f x1 ．故f x 是R上的增函数．
复合函数的单调区间
例题2： 求函数f x ＝log 1 (4 3x - x2 )的单调区间．

2
解析：由4＋3 x－x 2 0，得－1 x 4. 3 2 25 2 令u x ＝4＋3 x－x ＝－( x－ ) ＋ , 则原函数化为y＝log 1 u. 2 4 2

3 在[ , 4)上是增函数． 2
反思小结：复合函数的单调区间的求解可分为四步： ①求函数的定义域； ②把复合函数分解成两个常见函数,本题中， u x ＝4＋3x－x 2是二次函数,y＝log 1 u是对数函数；
2
③分别求各函数的单调区间． 3 本题中,u x 的单调递减区间为[ ，， 4) 2 3 单调递增区间为(－1， ],y＝log 1 u是(0，＋)上的减函数； 2 2 ④根据复合函数单调性的判断法则写出单调区间．

3 易知，当x (－1, ]时，u x 是增函数； 2 3 当x [ , 时，u x 是减函数． 4) 2 3 故当－1 x1 x2 时，因为u x 是增函数， 2 所以0 u x1 u x2 ，所以y1 y2；
3 当 x1 x2 4时，因为u x 是减函数， 2 所以u x1 u x2 0，所以y1 y2 . 3 故函数f x ＝log 1 (4＋3 x－x 2 )在(－1, ]上是减函数， 2 2
函数的值域与最值
t 1 , 2 t 4t 从而原函数可化为y＝ ＝ 2 t 1 2 t 1 ( ) 2 2 t 6t 13 2 2 4 13 ＝ .可证得t＋ 在[1，13]上是减函数,在[ 13， 9] 13 t t 6 t 13 上是增函数.故当t 1,9 时,t＋ [2 13， ,进而可求 14] t 1 3 13 得原函数的值域为[ ， ]． 2 2 解析：设2 x＋1＝t (0 x 4)，则t 1,9，且x＝
B

解析：易知y＝ x 在(－， 上是减函数.又已知f x 0) 在(－， 上单调递增，故0＜a＜1，从而1＜a＋1＜2. 0) 又因为f x 是偶函数，所以f x 在(0，＋)上单调 递减．所以f (a＋1)＞f 2 ．
1 3.函数f x = | x -1| + x的单调递增区间为[1, 2 ],[1,＋) .
a a a x2＋8－ ，即( x1－x2 )(1＋ ) 0. x1 x2 x1 x2
a 因为x1－x2 0，所以1＋ 0， x1 x2 a 即 －1，得a －x1 x2 . x1 x2 因为x2 x1 1， 所以要使a －x1 x2 恒成立，只要a －1. 综上，得a的取值范围为[－1,9)．
(3 - a) x 4a ( x 1) 4.已知f x = 是R上的增函数， ( x 1) log a x 那么实数a的取值范围是 1, 3 .
a 1 解析： 由题意知 3 a 0 ，解得1＜a＜3. 3 5a 0
a 5.若函数f x =-x +2ax与g x = 在区间1, 2 上 x 1 都是减函数，则a的取值范围是 (0,1] .
2x 1 例题4：求函数y＝ 2 (0 x 4)的值域． x 2x 2
反思小结：求函数的最值或值域是中学数学里非常重要 的一个内容，尽管其方法多样，但利用函数的单调性是 其中最重要的方法之一．本题由于受自变量的取值范围 的限制，不宜采用判别式法来求该函数的值域,若转化为 关于x的一元二次方程，然后结合二次方程根的分布的有 关知识来解，尽管也行得通,但计算量也较大.利用单调 性来求解本题不失为一种不错的方法．
反思小结：利用函数单调性讨论参数的取值范围 高考试题考查能力的知识结合点，一般要弄清三个环节：
1 考虑函数的定义域，保证研究过程有意义．
本题中，不能忽视u＝x 2－ax＋3a 0；
2 保证常见函数的单调区间与题目给出的单调区间的同一性．
a 本题中， ，＋)上是单调增区间与[2，＋)一致； [ 2 3 注意防止扩大参数的取值范围．本题中，u 2 0.
且g x 在[1，＋)上的最小值g 1 0， 即1＋8－a 0，所以a 9. 对任意的1 x1 x2，由g x1 g x2 ， 得x1＋8－ a a a x2＋8－ ，即( x1－x2 )(1＋ ) 0. x1 x2 x1 x2