合肥工业大学-高等数学-上-3-4隐函数与参数方程确定函数的求导方法
隐函数和由参数方程确定的函数求导
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
隐函数与参数方程确定的函数的导数
sin t cos t
) )
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解
dy dx
dt dx
a sin t sin t a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
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解法2
设 arctan y ln
x2
y2
,求 dy
d2y ,
x
dx dx2
arctan y ln x2 y2 1 ln x2 y2
x 方程两边对x求导得
1
2
1
y
2
y x
1 2
x2
1
y2
(x2
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当 t 时, x a( 1), y a.
2
2所求切线方程为来自ya
x
a(
1)
2
即 y x a( 2 ) 2
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x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
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《高等数学》四隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数
《高等数学》四隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数高等数学中的四隐函数的导数对数求导法指的是通过参数方程所确定的函数来求导。
这种方法在求解一些复杂函数的导数时非常有效，可以简化计算过程，提高求解的准确性和效率。
首先，我们来了解一下什么是隐函数和参数方程。
在数学中，当一个方程中的变量无法明确地表示出来时，就称为隐函数。
例如，x^2+y^2=1就是一个隐函数。
而参数方程是一种表示曲线的方法，其中，x和y是两个独立变量的函数。
参数方程可以将曲线上的点表示为(x(t)，y(t))的形式，其中t是一个参数。
例如，x = cost，y = sint是描述一个单位圆的参数方程。
接下来，我们使用参数方程来求解隐函数的导数。
假设有两个参数方程x=f(t)和y=g(t)，我们想要求解由这两个参数方程所确定的隐函数y=f(x)。
我们可以通过以下步骤来计算：步骤1：首先，通过第一个参数方程求解t关于x的导数，即 dt/dx = dx/dt ÷ dy/dt。
这个导数表示了x的变化速率对应于t的变化速率的比例关系。
步骤2：接下来，通过将t关于x的导数带入第二个参数方程，得到y关于t的导数 dy/dt。
这个导数表示了y对t的变化速率。
步骤3：最后，通过链式法则，将dy/dt乘以dx/dt，即 dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt)。
这个导数表示了y对x的变化速率。
这就是我们所要求解的隐函数的导数。
通过以上的步骤，我们可以得到通过参数方程所确定的隐函数的导数。
这种方法可以应用于各种隐函数求导的情况，无论是简单的方程还是复杂的曲线，都能有效地进行计算。
然而，需要注意的是，对于一些特殊的函数，使用参数方程进行求导可能并不是最方便的方法。
在实际应用中，我们可以根据具体问题和计算的需要选择不同的求导方法，以求解隐函数的导数。
总结起来，四隐函数的导数对数求导法是一种通过参数方程来求解隐函数导数的方法。
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的求导法则 二、对数求导法则 三、参数方程求导法则
一、隐函数的导数
1.显函数与隐函数 y f ( x) 形式称为显函数.
由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
2.隐函数求导法则:
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
xsin x (cos x ln x sin x ) x
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
若方程 F(x, y) 0确定的是y关于x的函数，
则要求y关于x的导数的步骤如下：
（1）将方程 F(x, y) 0两端关于x求导，其中y
视为x 的函数.
（2）解上式关于 y 的方程，得出 y 的表达式，
在表达式中允许保留y
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
1 x
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例5 设 y xsin x ( x 0), 求y.
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
3.4.1隐函数的导数
3.4.2由参数方程所确定的函数的导数
3.4.1隐函数的导数
如果存在一个定义在某区间上的函数 y y( x), 使得
F ( x, y( x)) 0, 则称函数 y y ( x) 是由方程 F ( x, y ) 0
所确定的隐函数． 有些隐函数难以显化或无法显化，
解得
dy ey . y dx 1 xe
dx
dy x 在上式两边对 求导， （注意到 y 和 都是 x 的函数）得
dy y y y y dy e (1 xe ) e (e xe ) 2y y d2y e (2 xe ) dx dx . 2 y 2 y 3 dx (1 xe ) (1 xe )
如方程
x5 y5 x3 y3 xy
本节主要讨论不经显化的隐函数的求导方法． 设方程 F ( x, y ) 0 所确定的隐函数 y y ( x) 存在且可导， 则有 F ( x, y( x)) 0. 在此恒等式两端对 x 求导，得到一个关于
y 的方程，再由此方程解得 y 的结果．
解 对等式两边取对数，有
ln y x ln x,
上式两边对 x 求导， （注意到
y 是 x 的函数）得
1 y ln x 1, y
所以
y x x (ln x 1).
3.4.2由参数方程所确定的函数的导数
设函数 y y ( x) 由参数方程
x (t ), y (t ),
例3.32 求由参数方程 x r cos t , y r sin t
dy 所确定的函数的导数 . dx
隐函数及参数方程确定函数求导法则
1
=
c
o
s
y
•
y
/ x
y
/ x
1 cos
y
cos y 1 sin 2 y 1 x 2
y
/ x
1 1 x2
( y )
2
2
类 似 可 证 明 （ arccos x)/ 1 1 x2
(arv
tan
x)/
1
1 x2
(arc
cot
x)/
1 1 x2
例6. 求下列导数:
(1 )(x); (2 )(xx);
(t) (t)
(t)0时, 有
dt
dx dy
dx d t dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导
d F(x, y) 0 (含导数 y 的方程)
dx
例1 求 由 方 程 x 2 y 2 R 2 所 确 定 的 隐 函 数 的 导 数
解 将方程的两边同时对 x 求导，这里 y 是 x 的函 数，y2 是 x 的复合函数，根据复合函数求导法则得
dt
dt
dy
dy dx
dt dx
b cos t a sin t
b cot t a
dt
例11 求曲线
x y
高等数学上册第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
速度的水平分量为
vx
dx dt
，垂直分量为
vy
dy dt
vx
dx dt
v0
cos,
vy ddyt v0singt0
故炮弹速度大小：
v v x 2 v y 2(v 0 c o s)2 (v 0 s in g t0 )2
v022v0gtsing2t2
©
三、相关变化率
dx dt
v1
,
的导数。
解: 两边取对数 , 化为隐式
lny1lnx 2 3lnx 1 2ln4x 3
两边对求导得
y 1 3 2 y 3(x2) x1 4x
y(x3 1 )x 3( 42 x)2 3 (x 1 2)x3 14 2x
©
又如,
y
(x1)(x2) (x3)(x4)
注意:
lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式
©
按幂函数求导公式
2) 对多因式函数用对数求导法求导很方便
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
dx dy
1
1 e
x
方法2 等式两边同时对 y求导
1 ex
d d
x y
1 1 ex
©
例2 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
隐函数与参数方程的求导法则
隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。
当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。
但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。
一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。
2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。
3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。
4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。
举个例子来进行说明。
假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。
如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。
首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。
将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。
然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。
这就是所求的切线斜率。
二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。
求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。
2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。
假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。
我们想求解在该参数方程下的切线斜率。
首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。
隐函数与参数方程确定函数的求导方法
隐函数与参数方程确定函数的求导方法在微积分中，隐函数与参数方程是两种特殊的表示函数的方法。
隐函数是指在一个方程中，变量的关系是通过隐含的方式给出的，即不能直接通过解方程得到一个明确的公式。
参数方程则是将自变量通过一个参数来表示，从而将函数的定义域与值域分开描述。
在使用这些方法确定函数时，我们需要了解如何对这些函数进行求导。
隐函数是指在一个方程中，变量的关系是通过隐含的方式给出的，即不能直接通过解方程得到一个明确的公式。
为了对隐函数进行求导，我们可以利用隐函数求导的基本原理，即根据隐函数给出的方程，使用链式法则和隐函数公式进行推导。
首先，我们假设有一个隐函数方程 F(x, y) = 0，其中 y 表示 x 的函数。
我们要求的是 y 对 x 的导数 dy/dx。
步骤如下：1.对方程两边同时对x求导，应用链式法则。
2. 用 dy/dx 表示 dy/dx 与 dx/dx 的商：dy/dx = -F_x(x, y) /F_y(x, y)。
3. 将 dy/dx 表示为关于 x 和 y 的表达式。
其中，F_x(x,y)为F(x,y)对x的偏导数，F_y(x,y)为F(x,y)对y的偏导数。
通过这种方法，我们可以求得隐函数的导数。
这种方法在解决隐函数问题时非常有用，因为它能够处理一些无法用显式函数表达的关系。
参数方程是将自变量通过一个参数来表示，从而将函数的定义域与值域分开描述。
在求参数方程确定的函数的导数时，我们需要使用参数方程求导公式。
假设有一组参数方程x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是关于t的函数。
步骤如下：1. 分别对 x 和 y 关于 t 求导，得到 dx/dt 和 dy/dt。
2. 将 dx/dt 和 dy/dt 表示为关于 t 的函数。
3. 计算 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。
在计算 dy/dt 和 dx/dt 的时候，可以使用求导的基本规则。
然后，将 dy/dt 和 dx/dt 的表达式代入 dy/dx 的公式中，就可以求得参数方程确定的函数的导数。
隐函数与参数方程确定的函数的求导法则-PPT模板
1.2 由参数方程确定的函数的导数
设由参数方程
x y
(t) ，确定 (t)
y
是
x
的函数，
(t)
，
(t
)
可导，且
(t)
0
，
x (t) 是单调连续的，其反函数为 t 1(x) ． 在上述条件下， y (t) ( 1(x)) ，由复合函数求导与反函数求导法则可
得
dy
dy dx
dy dt
1.1 隐函数的导数
例 1 求由方程 x y3 1 0 确定的隐函数的导数．
解
即 解得
y 是 x 的函数，将方程 x y3 1 0 两边同时对 x 求导得
d (x y3 1) 0 ，
dx
1 3y2 dy 0 1 3y2 dy 0 ，
dx
dx
dy dx
1 3y2
1.1 隐函数的导数
dt dx
dy dt
1 dx
dt dx
．
dt dt
1.2 由参数方程确定的函数的导数
所以，由参数方程
x
y
(t)
， 确定的函数
(t)
y
y(x)
的导数为
dy
dy dx
dt dx
(t) (t)
．
dt
1.2 由参数方程确定的函数的导数
例6
解已知当椭t 圆4ax时22 ， 设by22椭圆1 的上的参对数应方点程为为M0xy(x0 ，abycs0io)ns，tt，，则求椭圆在
t
4
相应点处的切线方程．
x0
a cos
4
2 2
a
，
y0
b sin
4
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数.docx
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数.docx第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数教学重点：隐函数求导教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幕指函数的求导法教学内容：一、隐函数的导数函数y二/（兀）表示两个变量y与兀之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达。
前面我们遇到的函数，例如y = sinx, y = lnx +J1-兀？等,这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。
用这种方式表达的函数叫做显函数。
有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程兀+b_l = O表示一个函数，因为当变量％在（-oo, + oo）内取值时，变量y有确定的值与之对应。
例如，当兀=0时，y = l；当x = -l时，y =迈，等等。
这样的函数称为隐函数。
一般地，如果在方程F（x, y） = 0中，当兀取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程F（x, y）= 0在该区间内确定了一个隐函数。
把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。
例如从方程x+/-l = 0解出歹=旳二匚，就把隐函数化成了显函数。
隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。
但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来°下面通过具体例子来说明这种方法。
例1：求由方程e y+xy^-e = 0所确定的隐函数y的导数牛。
解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y是x的函数。
方程左边对x求导得dx V dx dx方程右边对求导得（0）' = 0。
由于等式两边对x的导数相等，所以4+y + Q = 0,dx dx从而—= ------ - （X + ￡ ' 工0）。
隐函数及参数方程所确定的函数的求导法
谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如， 从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函 数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所 得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导， 便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数 ． 解 方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数． 解 这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数 公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx， 两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数 方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t）， 确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函 数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由 参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求 导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t） 存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求 导法则，得
隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数
导数, 将是很复杂的. 为此先将方程两边取对数得
ln y 1 [ln(x 1) ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)]. 2
上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得
1 y
y
1 2
1 x 1
1 x
2
1 x3
x
1
4
,
y 1 2
(x 1)(x 2) (x 3)(x 4)
dt
dy
即
dy dx
dt dx
t t
dt
2021/4/22
15
例1 设
求
解：
2021/4/22
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往 伴有全身不适症状，如-全身肌肉 酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉 两腿费力；举手梳理头发时，举 高手臂很吃力；抬头转头缓慢而 费力。
2021/4/22
28
但并不是所有的隐函数都能被显化，如 y x ln y
由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程F(x, y)=0 确定一个函数 y=f (x) 就是将此函数代入方程，则方程
F (x, y)= F (x, f(x))≡0成为恒等式。
例如，将函数 y 1 x2 代入方程 x2 y2 1 0
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除，乘方，开方表示的函数
3. 参数方程求导法
2021/4/22
22
作业
P91 1（1）（3）； 2（2）； 3（1）（4）； 4（1）（4）
隐函数和参数方程求导法
隐函数和参数方程求导法1.隐函数求导法隐函数求导法用于求解包含隐函数的导数。
一般来说，我们可以将隐函数表示为两个变量之间的关系式，例如y=f(x)。
在一些情况下，这个关系式无法直接解出y关于x的显式表达式。
这时，我们可以使用隐函数求导法来找到y关于x的导数。
假设有一个含有两个变量x和y的隐函数关系式F(x,y)=0。
要求这个隐函数关于x的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：对关系式两边同时求导，并得到导数关系式dF/dx = 0；步骤2：根据导数关系式，将dF/dx中的y'用y和x表示出来；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
举例说明：假设有一个隐函数关系式x^2+y^2=1、我们要求这个隐函数关于x的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：对关系式两边同时求导，得到2x + 2yy' = 0；步骤2：将dF/dx中的y'用y和x表示出来，得到y' = -x/y；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
通过以上计算，我们得到了这个隐函数关于x的导数为y'=-x/y。
参数方程求导法用于求解包含参数方程的导数。
参数方程是用参数表示的轨迹方程，常用形式为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是关于参数t 的函数。
要求参数方程的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt和dy/dt；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到y关于x的导数dy/dx；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数。
举例说明：假设有一个参数方程x=2t，y=t^2、我们要求这个参数方程的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt = 2 和dy/dt = 2t；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到dy/dx =(dy/dt)/(dx/dt) = (2t)/(2) = t；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数，例如二阶导数d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dx = d(t)/dx = 0。
高等数学 上下册24 隐函数的导数与由参数方程确定的函数的导数 初等函数的导数-精品文档
2 2 3 3 x y 2 x y 4 y 5 例 2 求 由 方 程 所 确 定 的 隐 函 数 d yd y y y () x 的 导 数 及 . x 1 d xd x y 1 解 类似于例 1 方程3x2 y 2xy2 4 y3 5两边对 x 求 导，得 3(2xy x2 y) 2( y2 2xy y) 12 y2 y 0 6xy 3x2 y 2 y2 4xy y 12 y2 y 0 (3x2 4xy 12 y2 ) y 2 y2 6xy dy 2 y2 6xy 2 , 则 2 dx 3x 12 y 2 12 6 11 4 4 dy 2 . 2 x1 11 dx y1 31 4 1112 1 3 4 12
4 2 x 1 , y 2 y 将 A 点 坐 标 代 入 上 式 ， 得 A 3 6 4 2 x 1 , y 2 y 将 B 点 坐 标 代 入 上 式 ， 得 B 3 6 则所求切线方程分别为 4 2 y 2 ( x 1) 3 6 4 2 y 2 ( x 1) 及 3 6 注意 本题点 A 在上半椭圆上，点 B 在下半椭圆上， 2 y 9 x2 及 如果不利用隐函数求导法，应分别对 3 2 y 9 x 2 求导才能求得在点 A 及点 B 处的切线斜率， 3 . 相当麻烦，而用本题上述方法求解就较简便
2 2 x y 4 1 ( 1 , 2 )与 例 3 求 椭 圆 曲 线 在 点 A 点 9 4 3 4 ( 1 , 2 ) B 处 的 切 线 方 程 . 3
解 由 题 意 及 导 数 的 几 何 意 义 ，本 题 需 先 求 曲 线 在 点 A x2 y2 1 所确定的 和点 B 处的切线斜率， 即求由椭圆方程 9 4 隐函数在点 A 与点 B 处的导数，利用复合函数求导法则 x2 y2 1两 边 同 时 对 x 求 导 ， 得 方程 9 4 2x y y 0 9 2 4x y . 于是 9y
第四节隐函数与参数方程的求导法
−1
：
dt 1 x = ϕ ( t )的反函数 t = ϕ ( x )也可导, 且 其导数 = dx dx 再设 y = ψ ( t )也可导 dt −1 ∵ y = ψ ( t ), t = ϕ −1 ( x ) ∴ y = ψ [ϕ ( x )]
由复合函数及反函数的求导法则得其导数
3 3 ( , ) 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例3 设 x 4 − xy + y 4 = 1, 求y′′在点 (0,1)处的值 . 解 方程两边对 x 求导得 4 x 3 − y − xy ′ + 4 y 3 y ′ = 0
代入 x = 0, y = 1得
0 − 1 − 0 + 4 ⋅ y′
x =0 y =1
(1)
= 0 ∴ y′ x = 0
2
h tanα = 500
h米
α
500米
dt
dα ∴ = 0.14(弧度 / 分 ) dt
仰角增加率
五、小结 隐函数求导法: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率:通过两个相互依赖的变量之间的关系 确定两个相互依赖的变化率之间的关系.
方程两边对 x 求导 , 得 3 x 2 + 3 y 2 y′ = 3 y + 3 xy′
y − x2 ∴ y′ = 2 y −x
y − x2 ∴ y′ 3 3 = 2 = −1. ( , ) y −x 22 3 3 所求切线方程为 y − = − ( x − ) 即 x + y − 3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x , 显然通过原点. 2 2
高数 隐函数与参数方程确定函数的求导方法 共18页
x e c o s ,
y
e
sin
.
当
时，x
0,
y
e2
，即点
(e
2
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
) 所对应的直角坐标为
2
2
(0, e 2 ) ，所求的切线方程的直角坐标形式为
y e 2 (x 0), 即 x y e 2 ,
化为极坐标形式后为 r
sin
4y
x1 y3
2
2
y 3 1 x 1 ，即 x 2 y 4 。
22
例 3.4.4 设 y y(x) 是由方程 x2 xy 1 ey 所确定的
隐函数，则 dy
。
解
dx x0 在方程两边同时对
x
求导，得 2 x
y
x
dy
ey
dy ，
dx dx
dy 2x y 所以 dx x ey ．
1 t2 上对应于t 1的点处的法线
方程为
yx 1ln2
42
．
t
解
dy dx
1t2 1
t
，
dy dx
1，故法线的斜率为 1 1 ．
t 1
1
1 t2
又当 t 1时， x , y 1 ln 2，所以法线方程为
42
y
1 2
ln
2
( x
4
)
，即
3.4 隐函数与参数方程确定函数的求导方法
§4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
§4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数【目的要求】1、熟练掌握隐函数、参数方程、对数函数三种求导法则；【重点难点】隐函数、对数函数导法．【教学内容】一、隐函数的导数函数()x f y =表示两个变量y 与x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同的方式表达.前面我们遇到的函数，例如2(arctan 2)y x =，ln cos x y e =等，这种函数表达式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值.用这种方式表达的函数叫做显函数.但是有些函数的表达式却不是这样，例如方程322sin 0x y x x -++=表示一个函数，因为当自变量x 在(,)-∞+∞内取值时，变量y 有唯一确定的值与之对应，这样的函数称为隐函数.一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程(,)0F x y =所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。
例如从方程2310x y +-=解出y =数。
若不把隐函数显化，怎样求隐函数的导数呢（有很多隐函数是显化不了的）？下面举例说明.例1 求由方程2ln 1xy y +=所确定的隐函数y 的导数y '.解 方程两边对x 求导，得2(ln )(1)xy y ''+=，2120y x yy y y''+⋅+⋅=， 整理得 23(21)xy y y '+=-解出y '得 3221y y xy '=-+. 这就是所要求的隐函数的导数，结果中除了含有x 外，还含有y ，这是允许的。
从上例看到，求隐函数的导数时，由于y 不能或不必解出，为了求y '，由方程两边对x 求导，应用求导法则（包括四则运算法则和复合函数求导法则）后，对常数项或只含x 的项，直接应用求导公式；对只含y 的项()f y ，由于y 是x 的函数，故()f y 是x 的复合函数，y 是中间变量。
隐函数和参数方程求导法
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例
1. Kepler equation : y x sin y 0； 2. 求 x 2 y 2 R 2 ( R 0)所确定的隐函数 导数，并求它在 M 0 ( x0 , y0 ) 的切线方程； 3. 求 y (sin x )cos x (sin x 0) 的导数.
y
v0
vy
v vx
轨迹在t 0时刻的切线方向 , 可由切线的斜率来反映.
o x
1 2 (v 0 t sin gt ) dy v0 sin gt 2 dx (v 0 t cos ) v0 cos
dy dx
t t0
v 0 sin gt 0 . v 0 cos
3t 3t f ( e 1 ) e 3 dy 解： f ( t ) dx
3 f ( 0 ) dy 3 f ( 0 ) dx t 0
x (t ) d2y 例4. ,求 2 ; dx y (t ) dy ( t ) 解： dx ( t ) 2 ( t ) d ( t ) dt d y d dy d dx 2 dx dx dx ( t ) dt ( t ) dx 1 ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 2 (t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 3 ( t ) 注意 : 已知
x0 x1 y1 cot t x1 a cos t1
d ( x1 ( t ) x0 )2 y12 ( t )
( x1 ( t ) x1 ( t ) a cos t1 )2 a 2 sin2 t1
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方法：如果隐函数 y y(x) 可导，我们可以在上式两边同时
对 x 求导，则有
dF[x, y(x)] 0 ，即 dF(x, y) 0 ，
dx
dx
dy 然后从中解出 dx 即可.
18-3
注：在求导过程中，应始终将 y y(x) 视为 x 的函数，因此
F（x, y）是 x 的复合函数.
18-7
例
3.4.5
设
x
y+ sin
y
0
，求
d2y dx2
。
解 在方程两边同时对 x 求导，得
1+
dy dx
cos
y
dy dx
0
，故
dy dx
1
1 cos
y
。
方法一
d2y dx2
d dx
( 1 1 cos
) y
d (1 cos y) dx (1 cos y)2
sin y dy dx
(1 cos y)2
3.4 隐函数与参数方程确定函数的求导方法
3.4.1 隐函数的求导方法 3.4.2 由参变方程所确定的函数的求导法则
18-1
3.4.1 隐函数的求导方法
关于隐函数的导数，我们很自然的想到将隐函数显化， 然后按显函数的求导方法来求.
如由二元方程 2x2 y 1 0 确定的 y 是x 的隐函数，我们
x2 求椭圆
4
y2 3
1上点
(1,
3 2
)
处的切线方程.
解 在方程两边同时对 x 求导，有 x 2yy 0 ，
23
解得 y 3x 。从而椭圆 x2 y2 1在点(1, 3 ) 处的切线
4y
43
2
斜率为 k 3x 1 ，故所求切线方程为
4y
x1 y3
2
2
y 3 1 x 1 ，即 x 2 y 4 。
如： y
(x 5)(x 4)2 ,
(x 2)3 3 x 4
y xx 等等。
18-10
例 3.4.6
设y
(x 5)(x 4)2
(x 2)3 3 x 4 ，求 y .
解 ln y 1 [ln(x 5) 2ln(x 4) 3ln(x 2) 1 ln(x 4)] ，
2
3
可以显化为 y 1 2x2 ，则 y 4x.
事实上，并非所有隐函数都可以显化，例如在 Kepler 方
程 x y sin y 0(0 1) 中，不可求出 y ．
问题：如何去求其导数 y？
18-2
一般而言，在一定条件下，二元方程 F（x, y）=0 确定了
y 是 x 的隐函数 y y(x) (具体内容可参见 9.6），代入方程
(y
0)
。
18-13
如果不能从中消去参数，问如何求其导数？
设(t), (t) 均可导，且 x (t) 在 t 的某个区间内单
调，则由反函数存在定理知，存在连续、可导的反函数
t 1(x) ，这样 y (t) 与 t 1(x) 就构成了复合函数
y [ -1(x)] 。则
dy
dy dx
dy dt
故
1 y
y
1 2
[
x
1
5
x
2
4
x
3
2
1 3(x
4) ] ，所以
y 1 2
(x 5)2 (x 4)2 1
2
3
1
(x
2)3
3
x
4
[ x
5
x
4
x
2
3(x
4) ] 。
注：由于 (ln x ) 1 ，故可不必讨论对数中真数的正负 x
号。虽然过程不严谨，但此解法已经默认为常用方法。
18-11
例 3.4.7 设 y xx ，求 y .
解 在方程 xy ex y 两边同时对 x 求导，得
y
xy
ex y (1
y) ，解得
y
exy y x exy
(x
exy
0)
。
将原方程代入后化简，得
y y(x 1) (x 0, y 1). x(1 y)
注：隐函数导数 y 的形式可以是不惟一的（本质上是
惟一的）.
18-5
例 3.4.3
解
ln y x ln x ，故
1 y ln x 1，所以 y xx (ln x 1) 。 y
注：一般地，对于幂指函数 y u(x)v(x) ，对数求导法
等同于换底求导法
d (uv ) d (evlnu ) uv (vln u uv ) ．
dx
dx
u
又解 y (xx ) (exln x ) exln x (x ln x) xx (ln x 1) 。
22
18-6
例 3.4.4 设 y y(x) 是由方程 x2 xy 1 ey 所确定的
隐函数，则 dy dx x0
解 在方程两边同时对 x
0。
求导，得 2 x
y
x
dy
ey
dy
，
dx dx
dy 2x y 所以 dx x ey ．
当
x
dy
0 时，故 dx
x0
y ey
。
错误答案
dy
当 x 0 时，解得 y 0 ，故 dx x0 0 。
sin y ( 1 )
1 cos y (1 cos y)2
sin y (1 cos y)3
。
18-8
方法二 在等式1+ dy cos y dy 0 两边同时对 x 求导，
dx
dx
d2y
dy dy
d2y
得 0 dx2 sin y dx dx cos y dx2 0 ，
d2y 解得 dx2
dy 例 3.4.1 设 x2 2 y2 1，求 dx .
解 在 x2 2 y2 1的两边同时对 x 求导，得
2x
4y
dy dx
0
，解得
dy dx
x 2y
(y
0)
。
注：
d dx
(2 y2
)
4
y
dy dx
,
d dx
(2
y2
)
4
y
，而
d dy
(2
y2
)
4
y
．
18-4
例 3.4.2 求由方程 xy ex y 所确定隐函数的导数 y .
sin y ( dy )2 dx
1 cos y
dy 。由于 dx
1 1 cos y
，故
ddx2 并 y2 视s得in
yy
及(dd1yx均c1为os 1 cos y
xy
)的2 函数
sin
y
(1 cos
y)3
。
18-9
对数求导法
当 f (x) 较复杂，而ln f (x) 较简单时，将 y f (x) 两 边取对数得 ln y ln f (x) ，再利用隐函数求导法求出 f (x)．
dt dx
dt dx
(t) (t)
。
dt
18-14
如果(t), (t) 具有二阶导数，则
18-12
3.4.2 由参变方程所确定的函数的求导法则
参数方程
x y
(t), (t),
t 为参数。
如果能从中消去参数，化为显函数或隐函数，则可利
用前面介绍的方法求其导数。
x
如：
y
t3, t2,
y
2
x3
，则
y
2 3
1
x3
(x
0)
；
x
y
cost, sin t,
x2
y2
1，则
y
x y