26.3实际问题与二次函数(1)
26.3_实际问题与二次函数_第1课时
1 0.5( x 2 )2 2
例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽 AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车 欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽 车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能, 请简要说明理由.
(2).写出该专卖店当一次销售x(只)时，所获利润y(元)与x
之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少 只获得的利润最大？其最大利润为多少？
【解析】(1)设一次购买x只，才能以最低价购买，则有: 0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50. 答：一次至少买50只，才能以最低价购买 (2)
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m 返回
解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中 的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y a( x 2 )2 2
a 0.5
a 0.5
2 a 2 2
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5 x 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-3,这时有:
这时水面宽度为 6 m 2
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m 返回
3 0.5 x 2 x 6
解二 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线 的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）
26.3_实际问题与二次函数_(含答案)
实际问题与二次函数一、自主学习1.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ；h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是( ) A.0.7l s B.0.70 s C.0.63 s D.0.36 s2.行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.某车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)间有下述的函数关系式：s=0.01x 2+0.002x ，现该车在限速140km ∠h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m ，请推测刹车时汽车________(填“是”或“不是”)超速.3.有一座抛物线型拱桥(如图26－10所示)，正常水位时桥下河面宽20 m ，河面距拱顶4 m(1)在如图26－10所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式；(2)为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水面在正常水位基础上涨多少米时，就会影响过往船只?图26－104.某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.(1)写出售价x(元/件)与每天所得的利润y(元)之间的函数关系式；(2)每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大?二、基础巩固5.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.(1)如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?6.如图26－11所示，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8 m ，宽AB 为2 m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m.(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m ，宽2.4 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论.图26－117.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R(元)，售价每只为P(元)且R 、P 与x 的关系式为R=500+30x ，P=170－2x.(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；(2)当日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少?8.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表26－2所示.表26－2若日销售量y是销售价x的一次函数；(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?9.图26－12是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到表26－3中的数据.图26－12图26－13表26－3(1)请你以表26－3中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在图26－13所示的坐标系中画出y关于x的函数图象；(2)①填写表26－4.表26－4②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y的二次函数关系式：________.(3)当水面宽度为36 m时，一船吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8 m的货船能否在这个河段安全通过?为什么?三、能力提高10.学校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线距径落下.且在过OA的任意平面上的抛物线如图26－14所示，建立平面直角坐标系(如图26－15所示)，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=－x2+2325x，请回答下列问题：图26－14 图26－15（1）花形柱子OA的高度；(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外?11.《西游记》中的孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游环境，决定对水帘洞进行改造翻新，计划在水帘洞前建一个由喷泉组成的水帘门洞，让游客在进入水帘洞前先经过一段由鹅卵石铺就的小道，小道两旁布满喷水管，每个喷管喷出的水最高达4 m ，落在地上时距离喷水管4 m ，现在设如图26－16是喷泉所经过的路线，与喷头A 和喷泉落地点B 的连线为横轴，AB 垂直平分线为纵轴建立直角坐标系.问小道的边缘距离喷水管至少应为多少米，才能使身高不大于1.75 m 的游客进入水帘洞时不会被水淋湿?图26－112.我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P=501-(x －30)2+10万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x 万元可获利润Q=308)50(5194)50(50492+-+--x x 万元.(1)若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?(2)若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法.13.在体育测试时，初三的一名高个子男同学在推铅球.已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图26－17所示，如果这个男同学的出手处A 点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B 点的坐标为(6，5).(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01 m ，15=3.873)图26－17四、模拟链接1 14、设抛物线y=2x 2+kx+1－2k(k 为常数)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A 点在原点O 的左侧，B 点在原点O 的右侧，满足(OA+OB)2－OC=429(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在D 、E 两点，使AO 恰为△ADE 的中线，若存在，求出△ADE 的面积，若不存在，说明理由.15.已知抛物线y=x 2+(2n －1)x+n 2－1(n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)如图26－18所示，设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值?如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.图26－1816.已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6.(1)如图26－19甲所示，在OA 上选取一点D ，将△COD 沿CD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E.求折痕CD 所在直线的解析式；(2)如图26－19乙所示，在OC 上选取一点F ，将△AOF 沿AF 翻折，使点O 落在BC 边，记为G.①求折痕AF 所在直线的解析式；②再作GH ∥AB 交AF 于点H ，若抛物线y=121x 2+h 过点H ，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF 的公共点的个数.(3)如图26－19丙所示：一般地，在以OA 、OC 上选取适当的点I 、J ，使纸片沿IJ 翻折后，点O 落在BC 边上，记为K ，请你猜想：①折痕IJ 所在直线与第(2)题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K 作KL ∥AB 与IJ 相交于L ，则点L 是否必定在抛物线上.将以上两项猜想在(1)的情形下分别进行验证.图26－19参考答案一、自主学习1.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ；h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化.如图26－9所示，则他起跳后到重心最高时所用的时间是( )A.0.7l sB.0.70 sC.0.63 sD.0.36 s图26－9答案：D2.行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.某车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)间有下述的函数关系式：s=0.01x 2+0.002x ，现该车在限速140km ∠h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m ，请推测刹车时汽车________(填“是”或“不是”)超速. 答案：是3.有一座抛物线型拱桥(如图26－10所示)，正常水位时桥下河面宽20 m ，河面距拱顶4 m(1)在如图26－10所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式；(2)为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水面在正常水位基础上涨多少米时，就会影响过往船只?图26－10答案：(1)y=251-x+4； (2)0.76 m 4.某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.(1)写出售价x(元/件)与每天所得的利润y(元)之间的函数关系式；(2)每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大? 答案：(1)y=－10x+280x －1600；(2)14y=(x －8)×[l00－(x －10)×10]=(x －8)(100－10x+100) =(x －8)(－l0x+200)=－10x+280x －1600 当x=)10(22802-⨯-=-a b =14，因为y=－10x+280x －1600中的a ＜0，故此时y 有最大值.二、基础巩固5.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.(1)如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?答案：(1)y=－4x+64x+30720；(2)增加8台机器，最大生产总量是30976件 y=(80+x)(384－4x)=4x+64x+30720因为y=－4x+64x+30720=－4(x －8)2+30976 所以x=8时，y 最大值=30976.6.如图26－11所示，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8 m ，宽AB 为2 m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m.图26－11(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m ，宽2.4 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论. 答案：(1)y=41-x+6;(2)这辆货运卡车能通过隧道. 由图可设抛物线解析式为y=ax+c ，由题可知A(－4，2)，E(0，6)，c=6，代入，得2=(41-)2a+6，a=41-，故解析式为y=41-x+6；当x=2.4时，y=41-×2.42+6=4.56＞4.2，所以这辆货运卡车能通过隧道.7.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R(元)，售价每只为P(元)且R 、P 与x 的关系式为R=500+30x ，P=170－2x.(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少? 答案：(1)日产量为25只；(2)当日产量为35只时，可获得最大利润，最大利润是1950元.设生产x 只玩具熊猫的利润为y 元，依题意得y=px －－2x)x －(500+30x)=－2x+140x －500，令y=1750，即－－500=1750，解得x 1=25，x=45，但x=45＞40去，所以当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元. 对于y=－2x+140x －500，a=－2＜0，x=)2(21402-⨯-=-a b =35时，y 最大值=)2(4140)500()2(44422-⨯--⨯-⨯=-ab ac =1950. 8.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表26－2所示.表26－2若日销售量y 是销售价x 的一次函数；(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?答案：(1)9=－x+40； (2)应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.9.图26－12是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到表26－3中的数据.图26－12 表26－3(1)请你以表26－3中的各对数据(x ，y)作为点的坐标，尝试在图26－13所示的坐标系中画出y 关于x 的函数图象；图26－13(2)①填写表26－4.表26－4②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x 表示y 的二次函数关系式：________.(3)当水面宽度为36 m 时，一船吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8 m 的货船能否在这个河段安全通过?为什么? 答案：(1)略； (2)表略， y=2001x ； (3)这货船不能通过这河段.三、能力提高10.学校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线距径落下.且在过OA 的任意平面上的抛物线如图26－14所示，建立平面直角坐标系(如图26－15所示)，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=－x 2+2325+x ，请回答下列问题：图26－14 图26－15 （1）花形柱子OA 的高度；(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外?答案：(1)1.5m ；(2)半径至少是3m ，一段由鹅卵石铺就的小道，小道两旁布满喷水管，每个喷管喷出的水最高达4 m ，落在地上时距离喷水管4 m ，现在设如图26－16是喷泉所经过的路线，与喷头A 和喷泉落地点B 的连线为横轴，AB 垂直平分线为纵轴建立直角坐标系.问小道的边缘距离喷水管至少应为多少米，才能使身高不大于1.75 m 的游客进入水帘洞时不会被水淋湿?图26－1答案：小道边缘距离喷水管至少应为1 m.由已知，得A(－4，0)，B(4，0)，抛物线的顶点C(0，4). 设抛物线的关系式为y=ax+4，把x=4，y=0代入，得16a+4=0，解得a=41-，故抛物线的关系式为y=41-x+4；为了让身高1.75m 的游客不会被喷泉淋湿，抛物线上的点到小道的边缘的距离应不小于1.75 m 设E 是抛物线上纵坐标为1.75的点，当y=1.75时，41-x+4=1.75，解得x=±3，所以E 点的坐标为(－3，1.75).作ED ⊥x 轴，则D(－3，0)，从而AD=1.12.我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P=501-(x －30)2+10万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=308)50(5194)50(50492+-+--x x 万元. (1)若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少? (2)若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少? (3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法. 答案：(1)10年所获利润的最大值是100万元；(2)3547.5万元； (3)该项目有极大的开发价值.若不开发此产品，按照原来的投资方式，由P=501-(x －30)2+10知，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获得最大利润10万元，则10年的最大利润M 1=10×10=100万元.若对产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是P=501-(25－30)2+10=9.5万元，则前5年的最大利润M 2=9.5×5=47.5万元.设5年中x 万元是用于本地销售的投资，则Q=5049-(50－x)2+5194(50－x)+308知，将余下的(50－x)万元全部用于外地销售的投资，才有可能获得最大利润，则后5年的利润是M 3=[501-(x －30)2+10]×5+(5049-x+5194x+308)×5 =－5(x －20)2+3500，故x=20时，M 3取得最大值为3500万元，所以10年的最大利润为M=M 2+M 3=47.5+3500=3547.5万元，因为3547.5＞100，故该项目有极大的开发价值. 13.在体育测试时，初三的一名高个子男同学在推铅球.已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图26－17所示，如果这个男同学的出手处A 点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B 点的坐标为(6，5). (1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01 m ，15=3.873)图26－17答案：(1)y=121-x+x+2；(2)13.75m 设二次函数的解析式为y=a(x －h)2+k ，顶点坐标为(6，5) ∴y=a(x －6)2+5， A(0，2)在抛物线上， ∴2=62·a+5∴a=121- ∴y=121-(x －6)2+5，y=121-x+x+2. 当y=0时，121-x+x+2=0， x=6±52(舍6－52).∴x=6+52≈13.75m四、模拟链接14.设抛物线y=2x 2+kx+1－2k(k 为常数)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A 点在原点O 的左侧，B 点在原点O 的右侧，满足(OA+OB)2－OC=429(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在D 、E 两点，使AO 恰为△ADE 的中线，若存在，求出△ADE 的面积，若不存在，说明理由.答案：(1)y=2x+3x －5；(2)存在抛物线上的D 、E 两点，使AO恰为△ADE 的中线，S △ADE =41015.设x 1，x 是方程2x －kx+1－2k=0的两根. A(x 1，0)，B(x ，0)，x 1＜0＜x. ∴OA=－x 1，OB=x. ∴x 1+x=2k -①x 1·x=221k -＜0②∴k ＞21在抛物线解析式中，令x=0，则y=1－2k.. ∴C(0，1－2k)，∴OC=|1－2k|=2k －1，由(OA+OB)2－OC=429，则(－x+x)2－(2k －1)429∴(x 1+x)2－4x 1 x －(2k －1)=429①②代入得(2k -)2－4×221k -－2k+1=429.∴k 2－8k －33=0 ∴k 1=3或k 2=－11. 但k ＞21， ∴k=－11不合题意，舍去，∴k=3. 则所求抛物线的解析式为y=2x+3x －5.设存在抛物线上的D 、E 两点，使AO 恰为△ADE 的中线. ∴O 是DE 的中点，即D 、E 关于原点对称. 设直线DE 的解析式为y=kx ，联⎩⎨⎧-+==5322x x y kxy∴2x+(3－k)x －5=0 ③设D(x 1，y 1)，E(x ，y 2)，x 1，x 是方程③的解， ∴x 1+x=23k--=0， ∴k=3代入方程③中. ∴2x －5=0，∴x=±210，∴y=±2103. 易求A(25-，0)，B(1，0). ∴S △ADE =2S △AOE =2×21·AO·|y E |=2×21×25×2103=41015 15.已知抛物线y=x 2+(2n －1)x+n 2－1(n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)如图26－18所示，设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值?如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.图26－18答案：(1)y=x －3x ；(2)① 6 ②存在最大值,A(21，45-) 由已知条件，得n 2－1=0，解这个方程，得n 1=1，n 2=－1 当n=1时，得y=x+x ，此抛物线的顶点不在第四象限； 当n=－1时，得y=x －3x ，此抛物线的顶点在第四象限， ∴所求的函数关系为y=x －3x.由y=x －3x ，令y=0，得x －3x=0，解得x 1=0，x=3. ∴抛物与x 轴的另一个交点为(3，0)， ∴它的顶点为(49,23-)，对称轴为直线x=23.①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB=21×(3－1)=1， ∴B(1，0).∴点A 的横坐标x=1，又点A 在抛物线y=x －3x 上，∴点A 的纵坐标y=12－3×1=－2， ∴AB=|y|=|－2|=2，∴矩形ABCD 的周长为2(AB+BC)=2×(2+1)=6.②∵点A 在抛物线y=x －3x 上，故可设A 点的坐标为(x ，x －3x)，∴B 点的坐标为(x ，0)·(0＜x ＜23) ∴BC=3－2x ，A 在x 轴下方，∴x －3x ＜0， ∴AB=|x －3x|=3x －x.∴矩形ABCD 的周长P=2[(3x －x)+(3－2x)]=－2(x －21)2+213. ∵a=－2＜0，∴当x=21时，矩形ABCD 的周长P 最大值为213，此时点A 的坐标为A(21，45-)16.已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6. (1)如图26－19甲所示，在OA 上选取一点D ，将△COD 沿CD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E.求折痕CD 所在直线的解析式；(2)如图26－19乙所示，在OC 上选取一点F ，将△AOF 沿AF翻折，使点O 落在BC 边，记为G. ①求折痕AF 所在直线的解析式；②再作GH ∥AB 交AF 于点H ，若抛物线y=121-x 2+h 过点H ，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF 的公共点的个数.图26－19(3)如图26－19丙所示：一般地，在以OA 、OC 上选取适当的点I 、J ，使纸片沿IJ 翻折后，点O 落在BC 边上，记为K ，请你猜想：①折痕IJ 所在直线与第(2)题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K 作KL ∥AB 与IJ 相交于L ，则点L 是否必定在抛物线上.将以上两项猜想在(1)的情形下分别进行验证. 答案：(1)CD 的解析式为y=－x+6 由折法知：四边形ODEC 是正方形， ∴OD=OC=6 ∴D(6，0)，C(0，6).设直线CD 的解析式为y=kx+b ，则⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧+=+=610660b k b b k 解得∴直线CD 的解析式为y=－x+6. (2)①AF ∶y=31-x+310③AF 与抛物线只有一个公共点 在Rt △ABG 中.因AG=AO=10， 故BG=22610-=8，∴CG=2. 没OF=t ，则FG=t ，CF=6－t ， 在Rt △CFG 中，t 2=(6－t)2+22，解得t=310， 则F(0，310) 设直线AF ∶y=k′x+310，将A(10，0)代入，得k′=31- ∴AF ∶y=31-x+310∵GH ∥AB ，且G(2，6)，可设H(2，y F )， 由于H 在直线AF 上， ∴把H 代入直线AF ∶y F =31-×2+310=38，知H(2，38)，又H 在抛物线上，38=121-×22+h ，得h=3. ∴抛物线的解析式为y=121-x+3，再将直线y=31-x+310，代入抛物线y=121-x+3， 得121-x+31x 31-=0∵△=(31)2－4×(121-)×(31-)=0，∴直线AF 与抛物线只有一个公共点. (3)可以猜想以下两个结论： ①折痕所在直线与抛物线y=121-x+3只有一个公共点； ②若作KL ∥AB 与IJ 相交于点L ，则L 一定在抛物线y=121-x+3上. 验证①，在图甲中，将折痕CD ：y=－x+6代入y=121-x+3特殊情形I 即为D,J 即为C ，G 即为E ，K 也是E ，KL 即为ED.L就是D ，得121-x+x －3=0. ∵△=1－4×(－3)×(121-)=0，∴.折痕CD 所在直线的确与抛物线y=121-x+3 只有一个公共点.验证②，在图甲的特殊情况中，I 就是C,J 就是D ， 那么L 就是D(6，0)，当x=6时，y=21-×62+3=0. ∴点L 在这条抛物线上. 。
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》说课稿1
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》说课稿1一. 教材分析《人教版数学九年级上册》第26章第3节《实际问题与二次函数》是整个九年级上册数学知识的重点和难点。
这一节的内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行讲解的，通过实际问题引导学生将所学的二次函数知识应用到实际问题中，培养学生的解决问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，使学生能够更好地理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，可能会遇到一些困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生能够理解和掌握二次函数在实际问题中的应用，能够独立解决一些与二次函数相关的实际问题。
2.过程与方法目标：通过实际问题的引导，培养学生的解决问题的能力和合作能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数在实际问题中的应用。
2.教学难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，并解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生自主探究和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件和黑板进行教学，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考二次函数在实际问题中的应用。
2.讲解：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题使学生理解并掌握解决实际问题的方法。
3.练习：让学生通过练习题，巩固所学的知识，提高解决问题的能力。
4.总结：对本节课的内容进行总结，使学生明确二次函数在实际问题中的应用。
5.布置作业：布置一些与实际问题相关的练习题，让学生独立解决。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出本节课的重点和难点。
26.3.1实际问题与二次函数 (1)
寄语
生活是数学的源泉， 探索是数学的生命线.
作业:
同步训练25页 规范化作业一
Y=(X-20)〔400-20﹙X-30﹚〕 =-20X² -1400X-20000
=-20(X-35)² +4500
∴ 当X=35时，Y最大=4500
即售价为35元时，在半个月内获得利润最大为 4500元。
练习
旅行社何时营业额最大
3.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行 社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价 就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行 社可以获得最大营业额？ 解： 设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
练习
日用品何时获得最大利润
2.售某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元 销,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会 导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少 20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润? 解:设销售价为x元(x≥30元), 利润为y元,则
y x800 10x 30
10 x 2 1100 x
10x 55 30250.
2
4.某商店销售一种销售成本为40元的水产品,若按50元/千克销售, 一月可售出500千克,销售价每涨价1元,月销售量就减少10千克.
练习
水产品何时利润最大
(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函数关系式;
练习
1、某商店经营Ｔ恤衫，已知成批购进时单价是2.5元，根据市场调查， 销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销 售量是500件，而单价每降低１元，就可以多售出200件． 请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？ 设降价 x（ x ≤13.5）元，那么 500+200x （1）销售量可以表示为__________________; (13.5-x)(500+200x) （2）销售额可以表示为____________________； (13.5-x-2.5)(500+200x) （3）所获利润可以表示为____________________； 9.25元 （4）当销售单价是_____________元时，可以获得最大利润， 9112.5元 最大利润是___________________．
九年级数学下册 26.3 实际问题与二次函数第1课时 实际问题与二次函数(快乐预习+轻松尝试)导学案
九年级数学下册 26.3 实际问题与二次函数第1课时实际问题与二次函数（快乐预习+轻松尝试）导学案（1）新人教版学前温故(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条______；(2)对称轴是直线__________，顶点坐标为()，；(3)①当a＞0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线上的最______点．②当a＜0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线上的最______点．新课早知1．因为抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低(高)点，所以当x＝__________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值____________．2．二次函数y＝2(x－1)2＋3的最大值是( )．A．2 B．1 C．3 D．－13．利用二次函数求最大利润时，如果列出的二次函数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量的范围内，则二次函数的最______就是所求的最大利润；当求得的二次函数图象的对称轴不在题目限定的自变量的范围内，我们先要搞清自变量的取值在对称轴______侧还是______侧，然后结合二次函数的增减性求出最大利润；当在不同的自变量取值范围内，函数表达式不同时，我们需要分段讨论，求出每种情况下的________，然后综合考虑．4．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为__________元时，获得的利润最多．答案：学前温故(1)抛物线(2)x＝－b2a －b2a4ac－b24a(3)上低下高新课早知1．－b2a 4ac－b24a2.C3．大值左右最大值4．70二次函数在利润方面的应用【例题】某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．(1)假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x 之间的函数关系式，并注明x的取值范围；(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润＝销售收入－购进成本)分析：(1)降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)，每件的销售利润为(13.5－x－2.5)，所以y＝(13.5－x－2.5)(500＋100x)，整理得y＝－100x2＋600x＋5 500(0≤x≤11)．(2)化成顶点式y＝a(x－h)2＋k时，能直接看出当x等于多少时，最值的大小．解：(1)降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)，y＝－100x2＋600x＋5500(0≤x≤11)．(2)y＝－100x2＋600x＋5 500(0≤x≤11)，配方得y＝－100(x－3)2＋6 400，当x＝3时，y的最大值是6 400，即降价3元时，利润最大．所以销售单价为10.5元时，最大利润为6 400元．点拨：求二次函数的最值问题时，通常将二次函数解析式化成顶点式y＝a(x－h)2＋k.1．已知二次函数y＝(x＋1)2＋(x－3)2，当y取最小值时，x的值是( )．A．－1 B．3 C．2 D．12．某青年企业家准备在某地投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于当地建设．据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天时，就会有一个房间空闲．度假村对旅客住宿的房间每间将支出各种费用20元/天(没住宿的不支出)．则房价每天定为( )元时，度假村的利润最大．A．110 B．105 C．115 D．1203．某商场购进一批单价为16元的日用品，经试销发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数，则y与x之间的关系式是________，销售所获得的利润w(元)与价格x(元/件)的关系式是__________．4．一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(其中0＜x≤11)．(1)用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元．(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．5.司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间，之后汽车还会继续行驶一段距离．我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”(如图)．已知汽车的刹车距离s(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的关系是s＝t v＋k v2，其中t为司机的反应时间(单位：s)，k为制动系数．某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k＝0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t＝0.7 s.(1)若志愿者未饮酒，且车速为11 m/s，则该汽车的刹车距离为________ m．(精确到0.1 m)(2)当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后，以17 m/s的速度驾车行驶，测得刹车距离为46 m．假如该志愿者当初是以11 m/s的车速行驶，则刹车距离将比未饮酒时增加多少？(精确到0.1 m)(3)假如你以后驾驶该型号的汽车以11 m/s至17 m/s的速度行驶，且与前方车辆的车距保持在40 m至50 m之间．若发现前方车辆突然停止，为防止“追尾”，你的反应时间应不超过多少秒？(精确到0.01 s)答案：1．D 将y＝(x＋1)2＋(x－3)2化简为y＝2x2－4x＋10＝2(x－1)2＋8，因此当x ＝1时，y取最小值．2．C 设有x个房间空闲，则住宿了(30－x)个房间．每天的房价为(60＋5x)元，于是度假村的利润y＝(30－x)(60＋5x)－20(30－x)，其中0≤x≤30，则y＝(30－x)×5×(8＋x)＝5(240＋22x－x2)＝－5(x－11)2＋1 805.因此当x＝11时，y取得最大值1 805元，即每天房价定为115元/间时，度假村的利润最大，故应选C.3．y＝－30x＋960w＝(x－16)(－30x＋960)4．解：(1)①10＋7x②12＋6x(2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x.(3)∵w＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4，∴w＝－2(x－0.5)2＋4.5.∵－2＜0,0＜x≤11，∴w有最大值．∴当x＝0.5时，w最大＝4.5(万元)．答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．5．解：(1)17.38(2)饮酒后，当v＝17时，s＝46，代入s＝tv＋0.08v2，得t≈1.35(s)．若饮酒时的车速为11 m/s，则刹车距离s＝1.35×11＋0.08×112＝24.53(m)．而未饮酒时的刹车距离为17.38 m，所以增加24.53－17.38≈7.2(m)．(3)由题意知，17t＋0.08×172＜40，解得t＜0.99.所以反应时间应不超过0.99秒．。
九年级数学下册26.3实际问题与二次函数教案1新人教版(1)
教学流程安排
教学过程设计
教学设计说明
本节课是在学习了二次函数的概念、图象、性质后，进一步应用函数知识解决实际问题的一节应用课．主要内容包括：生活中利润问题转化为数学问题进行解决；掌握数学建模思想在实际问题中的应用；体现数学的实际应用价值．
二次函数与现实生活联系紧密，运用函数知识解决生活实际问题是数学的实际应用价值的体现．本节课的设计就是从现实生活入手，通过对图形的理解和分析，将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，让学生在解题的过程中体会数学的应用价值，培养学生的数学实践能力．
教学从实际问题出发，激发学生的学习兴趣，让学生体会解决现实生活问题的快乐．。
人教版26.3实际问题与二次函数第1课时
问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩 形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l的值. 矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为 m，场地的面积: S=l(30-l) 即S=-l2+30l 请同学们画出此函数的图象
你能回答了吧！ 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价 能使利润最大了吗?
解决这类题目的一般步骤
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的 实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值.
1．（2010·包头中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两 段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则
10 20 x 13 x 7 x (0＜x≤50） 1 y [(20 13) 0.1( x 10)] x 2 8 x(10＜x＜50) 10 16 x 13 x =3 x ( x≥50)
y 1 2 x 8x 10
（说明：因三段图象首尾相连，所以端点10、50包括在哪个区间均可）
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况 先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品 的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式.涨 价x元,则每星期少卖 10x 件，实际卖出 (300-10x) 件, 每件利润为 (60+x-40) 元，因此，所得利润
怎样确定x 的取值范 围
为 （60+x-40）(300-10x) 元.
y=(60+x-40)(300-10x) 即y=-10（x-5）2+6250 ∴当x=5时，y最大值=6250 (0≤x≤30)
九年级数学下册 26.3 实际问题与二次函数(1) 课件 人教新课标版
探究 ★、某商品现在的售价为每件60元，每 星期可卖出300件。市场调查反映：如 调整价格，每涨价1元，每星期要少卖 出10件；每降价1元，每星期可多卖出 20件。已知商品的进价为每件40元，如 何定价才能使利润最大？
(2)降价x元时，每件定价为 (60-x) 元， 销售额为 (60-x)(300+20x) 元，所得利 润为 (60-x)(300+20x)-40(300+20x) 元.
探究 y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x)
y=-20x2+100x+6000(0≤x≤20) (3)当x= 2.5 时，y最大= 6125 元. ∴在降价情况下，当定价为57.5时， 利润最大，最大利润为 6125 元.
探究
∵在涨价情况下，当定价为 65 时， 利润最大，最大利润为 6250 元.
变化而变化，具体关系式为 2x 240。
设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 y(元)，解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)当x取何值时，y的值最大？
巩固 4、某公司销售一种绿茶，每千克成本为 50元，经市场调查发现：在一段时间内， 销售量ω(千克)随销售单价x(元/千克)的
变化而变化，具体关系式为 2x 240。
归纳
求实际问题极值的一般步骤： (1)求出函数解析式，写出自变量取值 范围； (2)画出大致图象； (3)用配方或公式法求最大值或最小值， 或根据自变量的取值范围求最大值或最 小值。
巩固 4、某公司销售一种绿茶，每千克成本为 50元，经市场调查发现：在一段时间内， 销售量ω(千克)随销售单价x(元/千克)的
人教版数学九年级上册26.3《实际问题与二次函数》教学设计
人教版数学九年级上册26.3《实际问题与二次函数》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册26.3《实际问题与二次函数》这一节主要讲述了二次函数在实际问题中的应用。
教材通过引入实际问题，让学生了解二次函数在现实生活中的应用，培养学生的应用意识。
教材内容由浅入深，先介绍了一元二次方程的解法，再引入二次函数的图像和性质，最后运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的理论知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但将二次函数应用于实际问题，可能对学生来说较为抽象。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.了解二次函数在实际问题中的应用。
2.培养学生解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。
2.难点：将实际问题转化为二次函数问题，并运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，将二次函数知识应用于实际问题。
同时，运用案例分析法、讨论法等教学方法，激发学生的学习兴趣，提高学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生思考和讨论。
2.准备多媒体教学设备，用于展示二次函数图像和性质。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣。
例如：抛物线在实际生活中有哪些应用？让学生思考和讨论，引导学生进入本节课的学习。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示二次函数的图像和性质，让学生直观地了解二次函数。
同时，教师简要回顾二次函数的一般形式和性质，为解决实际问题打下基础。
3.操练（10分钟）教师提出一个实际问题，让学生尝试运用二次函数解决。
例如：一个抛物线形的长椅，其长度为10米，宽度为4米，求长椅上任意一点到端点的距离。
学生分组讨论，尝试找出解决问题的关键。
26.3实际问题与二次函数(1)
补充练习： 1.如图(1)所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50m 长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡 场，没靠墙的篱笆长度为 xm. (1)要使鸡场的面积最大，鸡场的应为多少 米? (2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆 隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为 多少米? (3)比较(1)、(2)的结果，你能得到什么结论? 2.某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）• 与产 品的日销售量 y（件）之间的关系如下表： x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数． （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式； （2） 要使每日的销售利润最大， 每件产品的销售价应定为多少元？ • 此时每日销售利润是多少元？ 四、小结归纳 1.利用二次函数解决实际问题中最值问题的一般步骤. 2.学完本节课你有什么疑惑? 五、作业设计 复习巩固作业和综合运用为全体学生必做； 拓广探索为成绩中上等学生必做； 学有余力的学生， 要求模仿编拟课堂上出现的一些补充题目进行重复 练习. 补充作业： 1.已知平行四边形 ABCD 的周长为 8cm，∠B＝30°，若 边长 AB＝x(cm). (1)写出□ABCD 的面积 y 与 x 的函数关系式,并求自变量 x 的取值范 围. (2)当 x 取什么值时,y 的值最大?并求最大值. (3)求二次函数的函数关系式. 2.某超市购进一批 20 元/千克的绿色食品， 如果以 30•元/千克销售，那么每天可售出 400 千克．由销 售经验知，每天销售量 y（千克）•与销售单价 x （元） （x≥30）存在如图所示的一次函数关系式． （1）试求出 y 与 x 的函数关系式； （2）设超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元，当销售单价为何值 时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元，•现 该超市经理要求每天利润不得低于 4180 元，请你帮助该超市确定绿 色食品销售单价 x 的范围（•直接写出答案） ． 学生独立完成，教师巡视 使学生巩固提 指导，了解学生掌握情况， 高， 并集中订正. 了解学生掌握情 况
实际问题与二次函数(一)
26．3 实际问题与二次函数（一）基础训练1.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的最大值是0，那么代数式|a|+4ac-b 2的化简结果是（ ）A.aB.-aC.0D.12.抛物线y=-2x 2-8x+3的顶点关于y 轴对称的点的坐标为____________．3.两数之和为6，则之积最大为．____________强化训练1.抛物线y=x 2+2x+1的顶点是（ ）A.(0,1)B.(-1,0)C.(1,0)D.(-1,1)2.一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=35321212++-x x ,那么铅球推出后最大高度是______m ，落地时距出手地的距离是____m ．3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求：（1）若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，该商场平均每天盈利最多？4.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式；（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？巩固训练1.已知二次函数y=x 2-6x+m 的最小值为1，那么m=_____________．2.抛物线y=21x 2-6x+21，当x=_________，y 最大=____________． 3.对于物体，在不计空气阻力的情况下，有关系式h=v 0t-21gt 2，其中h 是上升高度，v 0（m/s ）是初速度，g(m/s 2)是重力加速度，t(s)是物体抛出后经过的时间，图26311是上升高度h 与t 的函数图象.（1）求v 0，g ；（2）几秒后，物体在离抛出点25 m 高的地方？图26-3-1-14.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价0．5元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．5.随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其成本是每吨0．5万元，这种水果市场上的销售量y（吨）是每吨销售价x (万元)的一次函数，且x=0.6时，y=2.4；x=1时，y=2.（1）求出销售量y（吨）与每吨销售价x (万元)之间的函数关系式；（2）若销售利润为W（万元），请写出W与x之间的函数关系式，并求出销售价为多少时的销售利润最高？6.某经营商购进一种商品原料7 000千克存在某货场，进价为每千克30元，物价部门最高限价为每千克70元．市场调查发现，单价为70元，日均售60千克，每降一元，日多售2千克．每天需向货场支付500元存货费（不足一天，按一天计）．问：（1）日销售单价为多少时，日均获利最大？（2）如将该种原料全部售完，比较日均获利最大和单价最高这两种销售方式，哪种总获利多？多多少？7.(2010山东青岛模拟，22)在2010年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x…25242322…（元/千克）销售量y… 2 000 2 500 3 000 3 500…（千克）（1）在如图26-3-1-2的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连结各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x (元/千克)之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？图26-3-1-2。
数学下册第26章二次函数26.3实践与探索第1课时二次函数与实际问题教案(新版)华东师大版
26．3 实践与探索 第1课时 二次函数与实际问题【知识与技能】会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义． 【过程与方法】通过对实际问题的分析，使学生掌握如何利用二次函数解决实际问题． 【情感态度】在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．【教学重点】会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式． 【教学难点】在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求生活中的实际问题．一、情境导入，初步认识在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题．【教学说明】 使学生明白二次函数的重要性． 二、思考探究，获取新知 问题1：(P 26，问题1)让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y ＝－x 2＋2x ＋45最大值，问题(2)就是求图中B 点的横坐标；【教学说明】 学生解答，教师巡视指导；让一两位同学板书，教师讲评． 问题2：(P 27.问题2) 解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系．这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y ＝a x 2，(a ＜0)，(1)，因为AB 与y 轴相交于C 点，所以CB ＝AB 2mm 2，所以：a ＝－154，因此，函数关系式是y ＝－154x 2m ，设FD ＝x 1m (x 1＞0)，则点D 坐标为(x 1，－1.5)．因为点D 的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)，得－1.5＝－154x 12，x 12＝25，x 1＝±105，x 1＝－105不符合假设，舍去，所以x 1＝105.ED ＝2FD ＝2×x 1＝2×105＝2510≈25×3.162≈1.26(m )，所以涵洞ED 是2510m ，会超过1m .三、运用新知，深化理解1．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD 的宽是10米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物(货物与货船同宽)．问：此船能否顺利通过这座拱桥？解：(1)设抛物线解析式为y ＝a x 2设点B(10，n)，点D(5，n ＋3)，由题意：⎩⎪⎨⎪⎧n ＝100a n ＋3＝25a，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4a ＝－125，∴y ＝－125x 2.(2)方法一：当x ＝3时，y ＝－125×9，∵－925－(－4)＞3.6，∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．方法二：当y ＝3.6－4＝－25时，－25＝－125x 2，∴x ＝±10，∵||±10＞3∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．2．某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x (十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的倍，且是的二次函数，它们的关系如下表：x (十万元)0 1 2 … y1…(1)求y 与x (2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元)与广告费x (十万元)的函数关系式；(3)如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？解：(1)设二次函数关系式为y ＝a x 2＋b x ＋c.由表中数据，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1a ＋b ＋c ＝1.54a ＋2b ＋c ＝1.8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－110b ＝35c ＝1，所以所求二次函数关系式为y ＝－110x 2＋35x ＋1(2)根据题意，得S ＝10y ×(3－2)－x ＝－x 2＋5x ＋10.(3)S ＝－x 2＋5x ＋10＝－(x －52)2＋654.由于1≤x ≤3，所以当1≤x ≤2.5时，S 随x 的增大而增大．【教学说明】 通过练习的过程，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型．四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获感想，再以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．1．布置作业：教材P 28“练习”2．完成同步练习册中本课时的练习．在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论．并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励．。
26.3.1实际问题与二次函数(1)
10分
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利 润为225元。 12分
旅行社何时营业额最大
1.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价 800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增 加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当 旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？
0
x
2
55
13
-4
-2
求函数的最值问题，应注意什么?
某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40元， 如何定价才能使利润最大？
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表： 15 20 30 … x(元) 25 20 10 … y(件)
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函 数关系式；（6分） （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价 应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（6分）
x
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
b 5时， y最大值 10 52 100 5 6000 6250 2a
6250 6000
0
5
30
x\元
可以看出,这个函数的图 像是一条抛物线的一部 分,这条抛物线的顶点是 函数图像的最高点,也就 是说当x取顶点坐标的 横坐标时，这个函数有 最大值。由公式可以求 出顶点的横坐标.
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= − 20 x + 100 x + 6000 (0≤x≤20)
2
当x = −
1 所以降价时,定价为 所以降价时 定价为 57 2 6125元. 元
b 5 5 5 = 时， y 最大 = − 20 × + 100 × + 6000 = 6125 2a 2 2 2
2
元，利润最大，最大利润为 利润最大，
S＝－ 2 +30l ＝－l ＝－ 因此， 因此，当 l = −
( 0 < l < 30 )
b 30 时 =− = 15 ， 2a 2× (−1)
4ac − b2 − 302 = = 225， S有最大值 有最大值 4a 4×(−1)
也就是说， 最大（ ＝ 也就是说， 当l是15m时，场地的面积 最大（S＝ 是 时 场地的面积S最大 225m2）.
6 4 2 0
x 2
-4 -2
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 随矩形一边 用总长为 的篱笆围成矩形场地 的变化而变化， 是多少时，场地的面积S最大 最大？ 长 l 的变化而变化，当 l 是多少时，场地的面积 最大？
分析： 的函数关系式， 分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值． s 矩形场地的周长是60m，一边长为 ， 矩形场地的周长是 ，一边长为l， 60 则另一边长为 − l m ，场地的面积 2 200 S＝l ( 30－l ) ＝ － 即 S＝－ +30l ＝－l ＝－
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？ ）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些量之间的关系？ ）题目涉及到哪些量之间的关系？ (3)哪一个量是自变量？哪些量随之发生 哪一个量是自变量？ 哪一个量是自变量 了变化？ 了变化？
利润问题
几个量之间的关系. 一.几个量之间的关系 几个量之间的关系 1.总价、单价、数量的关系： 总价、 总价 单价、数量的关系： 总价= 单价× 总价 单价×数量 2.利润、售价、进价的关系 利润、 利润 售价、进价的关系: 利润= 售价－进价 利润 售价－ 3.总利润如何计算 总利润如何计算: 总利润如何计算 总利润= 单件利润× 总利润 单件利润×数量
所以涨价时，定价为 元 利润最大，最大利润为6250 所以涨价时，定价为65元，利润最大，最大利润为 元. 可以看出， 可以看出，这个函数的 y \元 图像是一条抛物线的一 6250 部分， 部分，这条抛物线的顶 点是函数图像的最高点， 点是函数图像的最高点， 6000 也就是说当x取顶点坐 也就是说当 取顶点坐 标的横坐标时， 标的横坐标时，这个函 数有最大值。 数有最大值。由公式可 以求出顶点的横坐标. 以求出顶点的横坐标 0 x\元
y = ax 2 + bx + c 一般地，应为抛物线
的
b x=− 2a
顶点是最低（高）点，所以当 y = ax 2 + bx + c 有最小(大) 时，二次函数 4ac 4ac − b 2 值 . 4a
某商品现在的售价为每件60元 某商品现在的售价为每件 元， 每星期可卖出300件，市场调查 每星期可卖出 件 反映：每涨价1元 反映：每涨价 元，每星期少卖 出10件；每降价 元，每星期可 件 每降价1元 多卖出20件 多卖出 件，已知商品的进价 为每件40元 为每件 元，如何定价才能使 利润最大？ 利润最大？
利润为6250元. 元 利润为
在降价的情况下，最大利润是多少？ 在降价的情况下，最大利润是多少？ 请你参考（ ）的过程得出答案。 请你参考（1）的过程得出答案。 设降价x元时利润最大 则每星期可多卖20x件，实 元时利润最大， 解：设降价 元时利润最大，则每星期可多卖 件 际卖出（ 际卖出（300+20x)件，销售额为 件 销售额为(60-x)(300+20x)元，买 元 进商品需付40(300+20x)元，因此，得利润 进商品需付 元 因此， y = (60 − x )(300 + 20 x ) − 40 (300 + 20 x )
• 1、这节课学习了用什么知识解决哪类问题？ 、这节课学习了用什么知识解决哪类问题？ 二次函数解决最值问题 • 2、解决问题的一般步骤是什么？应注意哪 、解决问题的一般步骤是什么？ 些问题？ 些问题？ • 3、学到了哪些思考问题的方法？ 、学到了哪些思考问题的方法？
谈谈你的学习体会
抽象 实际问题 转化 数学问题 数学知识 运用 问题的解决
5
30
y =(60-40+x)(300-10x) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x-600) =-10［(x-5)2-25-600］ ［ ］ =-10(x-25)2+6250 的最大值是6250. 当x=5时，y的最大值是 时 的最大值是 定价:60+5=65（元），利润最大，最大 利润最大， 定价 （
应根据（ ）、（2 应根据（1）、（2）的讨论及现 你知道应该如何定价能使利！ 三方面考虑！ 在的销售情况三方面考虑 润最大了吗? 你注意到了吗？ 你注意到了吗？
（1）列出二次函数的解析式，并根 ）列出二次函数的解析式， 据自变量的实际意义，确定自变量的 据自变量的实际意义， 取值范围； 取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用 ）在自变量的取值范围内， 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值(有时需要结合函数图 大值或最小值 有时需要结合函数图 象).
1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条 ．已知直角三角形两条直角边的和等于 ， 直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大， 直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大， 最大值是多少？ 最大值是多少？
2.某商店将每件进价为 元的某种商品按每件 某商店将每件进价为80元的某种商品按每件 某商店将每件进价为 元的某种商品按每件100元 元 出售，一天可售出100件，该店想通过降低售价、增 出售，一天可售出 件 该店想通过降低售价、 加销售量的办法来提高利润，经过市场调查， 加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现 这种商品单价每降低1元 其销售量可增加约10件 这种商品单价每降低 元，其销售量可增加约 件。 (1)请表示出商品降价 元与利润 元之间的关系？ 请表示出商品降价x元与利润 元之间的关系？ 请表示出商品降价 元与利润y元之间的关系 (2) 将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最 将这种商品的售价降低多少时， 最大利润是多少？ 大？最大利润是多少？
1、求下列二次函数的最大值或最小值： 求下列二次函数的最大值或最小值： ⑴ y=－x2＋2x－3; ⑵ y=－x2＋4x y
2、图中所示的二次函数图像的解 、 2 析式为： 析式为：y = 2 x + 8 x + 13 ⑴若－3≤x≤3，该函数的最大 ， 值、最小值分别为（ 最小值分别为（ ）、 5 （ 55 ）。 ⑵又若0≤x≤3，该函数的最 又若 ， 大值、 大值、最小值分别为 （ 55 ）、（ 13 ）。 求二次函数的 最值你有什 么体会？ 么体会？
利润最大
二次函数
看一看： 课时作业本P.22
1-5
现在你都能解决了吗？
作业P26. 1、2、5. 作业 、 、 晚上完成课时作业本P.22-23 课后作业 课后作业6-11 晚上完成课时作业本
2
即
y = −10 x + 100 x + 6000
• 此时定价多少元 利润最大呢？
怎样确定x 怎样确定x的 取值范围？ (0≤X≤30)
y = −10 x + 100 x + 6000
2
(0≤X≤30)
b x=− = 5时，y最大值 = −10 × 52 + 100 × 5 + 6000 = 6250 2a
总利润=总售价 总进价 总利润 总售价-总进价 总售价
某商品现在的售价为每件60元 某商品现在的售价为每件 元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价 可卖出 件 市场调查反映：每涨价1 每星期少卖出10件 每降价1元 元，每星期少卖出 件；每降价 元，每 星期可多卖出20件 星期可多卖出 件，已知商品的进价为 每件40元 如何定价才能使利润最大？ 每件 元，如何定价才能使利润最大？ 分析: 分析 调整价格包括涨价和降价两种情况
2
( 0 < l < 30 )
100 O
5 10 15 20 25 30 l 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分， 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是 函数的图象的最高点，也就是说， 取顶点的横坐标时 取顶点的横坐标时， 函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大 由公式可求出顶点的横坐标． 值．由公式可求出顶点的横坐标．
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润 先来看涨价的情况： 设每件涨价 元 则每星期售出商品的利润y 也随之变化，我们先来确定y与 的函数关系式 涨价x元时则每星 的函数关系式。 也随之变化，我们先来确定 与x的函数关系式。涨价 元时则每星 期少卖 10x件，实际卖出 (300-10x) 件,销额为 (60+x)(300-10x)元， 销额为 因此， 买进商品需付 40(300-10x)元因此，所得利润为 因此 y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)