CH2-6随机变量函数的分布
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随机变量函数的分布
二 、连续型随机变量函数的分布 2.分布函数法 一般地，若已知X的概率密度为 fX(x),求其函数 Y=g(X)的概率密度 fY(y)分两个步骤： 10 根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y); 20 由 fY(y) = F (y) 求出 fY (y)
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
定理 设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x) ， （－∞<x< +∞ ）,又函数y = g(x)处处可导，且严格单 调，其反函数为x = h(y )，则Y = g(X)也是一连续型随 机变量，且密度函数为
h y f[ h ( y )], y f y Y , 其他 0
计算离散型随机变量函数的分布的方法： 首先将xi的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值
y g ( x )( i 1 ， 2 ， .) i i
如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为 Y P y1 p1 y2 p2 … … yi pi … …
如果 yi=g(xi)(i=1,2,…)中出现m(≥2)个相同的函数值，即存在
0 , y25 /4 F (y) * 25 /4y9 1, y9
F ( y ) P { Y y } P { X / 4 y }
2
P { X 4 y / }
4 y /
f ( x ) dx X
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
其中， m g ( in{ ), g ( )}, m g ( ax ), g ( )
注意 若f(x)在有限区间[a,b]外等于0,则只需设在[a,b] ( x ) 0 [ 或 g ( x ) 0 ]. 上有 g
随机变量函数的分布【概率论及数理统计PPT】
2
5
P 0.2 0.5 0.3
求 Y= 2X + 3 的概率分布。
分析：当X取值 1,2,5 时，Y对应取值 5,7,13 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生
的事件，两者具有相同的概率。
解：Y的可能取值为5，7，13
P{Y=5}=P{X=1}=0.2 P{Y=7}=P{X=2}=0.5，P{Y=13}=P{X=5}=0.3 故Y的分布列为： Y 5 7 13
恒有
或恒有
，则Y=g(X)是一个
连续型随机变量，它的概率密度为：
其中， x=h(y)是y=g(x)的反函数 此定理的证明与前面的解题思路类似.
例7. 设随机变量X~ 求Y的概率密度。
解: y=ex 单调可导,
反函数为x=h(y)=lny,
, Y=Байду номын сангаасX,
且其值域为y >0, 所以, y >0时,
=
=
例3. 设 X ~
求 Y=2X+8 的概率密度.
解：设Y的分布函数为 FY(y)，
FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y )
=P{ X
} = FX( )
于是Y 的密度函数为:
注意到 0 < x < 4 时， 即 8 < y < 16 时， 此时
故
Y=2X+8
例4.设X 具有概率密度 ,求Y=X2的概率密度。 解： 设Y和X的分布函数分别为 和 ， 注意到 Y=X2 0，故当 y 0时， 当 y>0 时,
这是求随机变量的函数的分布的一种常用方法.
例5 设随机变量X的概率密度为
求Y=sinX的概率密度.
第六章随机变量的函数及其分布-PPT文档资料
于是Y分布函数为
y 1 dx y ,0 y 1 ( y ) f ( x ) dx 0 当y≥0时,P(X2≤y)= F Y X y , 其他 1
0, F ( y ) y, Y 1 ,
y 0 0 y 1 其他
因此
1 , y0 ' fY(y) F ) 2 y Y (y 0 , 其他
P (Y=g(xi))
6.1 一维随机变量的函数及其分布
一、离散型随机变量 注：
一般地，我们先由X的取值xi，i=1，2，…求出Y
的取值yi=g(xi)，i=1，2…
① 如果诸yi都不相同，则由P{Y=yi}=P{X=xi}可得 Y的分布律； ② 如果诸yi中有某些取值相同，则把相应的X的取值 的概率相加。
格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α ，β )严格单
调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。 因为Y=g(X)在(α ，β )取值，故当y≤α 时， FY(y)=P{Y≤y}=0；
当y≥β 时， FY(y)=P{Y≤y}=1；
当α <y<β 时， FY(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y}
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机 变量函数Y=|X|的密度函数 解 X的密度函数为
f x
2 1 x / 2 e 2
( x )
P ( y X y ), y 0 ; F y P ( Y y ) P ( X y ) Y 0 , y 0 . 2 x y y 1 2 P ( y X y ) f ( x ) dx e dx X y y 2 2 2 y e 2 , y0 ' 因此 fY(y) F ) Y(y 0 , 其他
随机变量函数的分布
( x)
于是，Y=X2的分布律为
1 e 2
x2 2
,
y 1 1 y 2e 2 , fY ( y ) 2 0,
y 0, y 0.
此时，称Y服从自由度为1的χ2-分布。
【练习】设r.v.X~U(0,1),求Y=eX的概率密度. 【解】因为r.v.X~U(0,1),所以X的概率密度为：
( 3.5) 3.5 2( 3.5) 1 0.9996
将一温度调节器放置在 贮存着某种液体的 练习： 容器内. 调节器整定在 d oC , 液体的温度 X (以o C 计) 是一个随机变量, 且X ~ N (d , 0.52 ). (1) 若 d 90 , 求 X 小于 89 的概率. ( 2) 若要求保持液体的温度 至少为 80o C 的概率不 低于 0.99 , 问d 至少为多少? 解 (1) 所求概率为 89 90 P { X 89} ( 2) 1 ( 2) 0.5
O
1
x
设 X ~ N ( , 2 ), 求 Y a X b 的密度函数,其中 a ( 0), b 为常数. 记 y ax b, 则
Y 的密度函数为 f Y ( y) | h( y) | f X (h( y))
1 1 e | a | 2
( h ( y ) )2 2 2
fY ( y) FY ( y)
y 0, y 0,
0, f ( y ) 1 f ( y ) ( 1 ), X X 2 y 2 y
0, 1 [ f X ( y ) f X ( y )], 2 y y 0, y 0.
特别的,如r.v.X~N(0,1),则
两个随机变量的函数的分布
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递增。
单调递减
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递减。
有界性
有上界
如果存在一个实数M，使得对于所有x 属于定义域，都有f(x) <= M，则称 函数f(x)有上界。
两个随机变量的函数的实际 应用
金融领域
金融风险评估
在金融领域中，两个随机变量的函数可以用于评估投资组合的风险。例如，通过计算两 个资产收益率的协方差矩阵，可以了解不同资产之间的相关性，从而制定风险管理策略。
期权定价
在期权定价模型中，标的资产的价格通常被视为一个随机变量。通过引入另一个随机变 量，如无风险利率或波动率，可以构建更复杂的期权定价模型，如二叉树模型和蒙特卡
幂函数
若$X$是随机变量，$n$是自然数，则$X^n$的期望是 $E(X^n)=nE(X)$。
方差的计算
1 2 3
线性函数
若$X$是随机变量，$a$和$b$是常数，则 $aX+b$的方差是$D(aX+b)=a^2D(X)$。
乘积函数
若$X$和$Y$是随机变量，则$X times Y$的方差 是$D(X times Y)=D(X) times D(Y)+[E(X)E(Y)]^2$。
04
CHAPTER
两个随机变量的函数的图像 和性质
图像的绘制
直方图
通过将数据分组并在每个组上绘制矩 形来绘制直方图，矩形的面积等于该 组的频数，高度等于组的中位数。
折线图
散点图
将两个随机变量在坐标系上标出，并 绘制点来表示它们的值。
单调递减
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递减。
有界性
有上界
如果存在一个实数M，使得对于所有x 属于定义域，都有f(x) <= M，则称 函数f(x)有上界。
两个随机变量的函数的实际 应用
金融领域
金融风险评估
在金融领域中，两个随机变量的函数可以用于评估投资组合的风险。例如，通过计算两 个资产收益率的协方差矩阵，可以了解不同资产之间的相关性，从而制定风险管理策略。
期权定价
在期权定价模型中，标的资产的价格通常被视为一个随机变量。通过引入另一个随机变 量，如无风险利率或波动率，可以构建更复杂的期权定价模型，如二叉树模型和蒙特卡
幂函数
若$X$是随机变量，$n$是自然数，则$X^n$的期望是 $E(X^n)=nE(X)$。
方差的计算
1 2 3
线性函数
若$X$是随机变量，$a$和$b$是常数，则 $aX+b$的方差是$D(aX+b)=a^2D(X)$。
乘积函数
若$X$和$Y$是随机变量，则$X times Y$的方差 是$D(X times Y)=D(X) times D(Y)+[E(X)E(Y)]^2$。
04
CHAPTER
两个随机变量的函数的图像 和性质
图像的绘制
直方图
通过将数据分组并在每个组上绘制矩 形来绘制直方图，矩形的面积等于该 组的频数，高度等于组的中位数。
折线图
散点图
将两个随机变量在坐标系上标出，并 绘制点来表示它们的值。
随机变量函数及其分布
应用
正态分布在统计学中具有重要地位，广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。例如，在质量 控制中，正态分布可用于描述产品质量的波动情况；在金融领域，正态分布可用于描述股票价格的波动 等。
PART 04
随机变量函数数学期望与 方差
REPORTING
WENKU DESIGN
数学期望定义及性质
定义：数学期望是随机变量取值的平均 值，反映了随机变量取值的“中心位置 ”或“平均水平”。
https://
随机变量函数及其分 布
https://
REPORTING
• 随机变量与函数概述 • 离散型随机变量函数分布 • 连续型随机变量函数分布 • 随机变量函数数学期望与方差 • 多维随机变量函数分布 • 随机变量函数在实际问题中应用
目录
PART 01
随机变量与函数概述
REPORTING
随机变量的数学期望具有线性性质，即 多个随机变量的线性组合的数学期望等 于各随机变量数学期望的线性组合。
随机变量线性变换的数学期望等于该随 机变量数学期望的线性变换。
性质 常数的数学期望等于该常数本身。
方差定义及性质
性质
随机变量线性变换的方差等于该 随机变量方差的线性变换的平方 。
定义：方差是随机变量取值与其 数学期望之差的平方的平均值， 反映了随机变量取值的离散程度 。
随机过程在金融领域应用
股票价格预测
利用随机过程理论对股票价格进行建模和预测，包括布朗运动、 随机游走等模型。
风险管理
运用随机过程方法对金融风险进行管理和控制，如信用风险、市 场风险等。
金融衍生品定价
基于随机过程理论，对金融衍生品如期权、期货等进行定价和估 值。
THANKS
正态分布在统计学中具有重要地位，广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。例如，在质量 控制中，正态分布可用于描述产品质量的波动情况；在金融领域，正态分布可用于描述股票价格的波动 等。
PART 04
随机变量函数数学期望与 方差
REPORTING
WENKU DESIGN
数学期望定义及性质
定义：数学期望是随机变量取值的平均 值，反映了随机变量取值的“中心位置 ”或“平均水平”。
https://
随机变量函数及其分 布
https://
REPORTING
• 随机变量与函数概述 • 离散型随机变量函数分布 • 连续型随机变量函数分布 • 随机变量函数数学期望与方差 • 多维随机变量函数分布 • 随机变量函数在实际问题中应用
目录
PART 01
随机变量与函数概述
REPORTING
随机变量的数学期望具有线性性质，即 多个随机变量的线性组合的数学期望等 于各随机变量数学期望的线性组合。
随机变量线性变换的数学期望等于该随 机变量数学期望的线性变换。
性质 常数的数学期望等于该常数本身。
方差定义及性质
性质
随机变量线性变换的方差等于该 随机变量方差的线性变换的平方 。
定义：方差是随机变量取值与其 数学期望之差的平方的平均值， 反映了随机变量取值的离散程度 。
随机过程在金融领域应用
股票价格预测
利用随机过程理论对股票价格进行建模和预测，包括布朗运动、 随机游走等模型。
风险管理
运用随机过程方法对金融风险进行管理和控制，如信用风险、市 场风险等。
金融衍生品定价
基于随机过程理论，对金融衍生品如期权、期货等进行定价和估 值。
THANKS
随机变量函数分布 PPT资料共16页
x2y2 z
zd
0
2 e222d
0
(
0
x cos y sin z,0
2
)
z 0
e
2 2 2
d
2 2 2
1e2z22雅可比(z式：0J)
fZ
(z)
z
2
z2
e 22 , z 0
的分布 设 z g(x, y)是一个二元函数 怎样求 r.vZg(X,Y)的分布？
FZ(z)P{Zz}
P{g(X,Y)z}
f(x,y)dxdy
g(x,y)z
zfZ(u)du
Z~ fZ(z)
第三章 多维随机变量及其分布
§5 两个随机变量的函数的分布 4/15
Fmax(z)F2(z)
fm a x (z ) 2 f(z )F (z )
2f(z)zf(t)dt
F m in(z) 1 [1F (z)]2
fm a x ( z ) 2 f( z ) [ 1 F ( z ) ]
2f(z)[1zf(t)dt]
第三章 多维随机变量及其分布
0 , x 0
z 0
1ex/
1e(zx)/I dx,z0
0,
I I z 0
z
2
ez
/
,
z
0
0 , z 0
设 X1,X2,,Xn相互独立且都服从参数为 的指数分布 求 X1X2Xn的分布密度.
设法导出递记推公X 1 式X ，2然后用Xn归~纳第fn三(法z章),证则多明维f随2(机z变) 量及z 其f1分(z布)
随机变量的函数的变量分布
01
02
均匀分布
在一定区间内均匀分布的随机变 量，如时间间隔、长度等。
03
04
二项分布
成功次数的问题中常用，如抛硬 币、抽奖等。
03
随机变量的函数的变量分布
随机变量函数的分布类型
1
离散型随机变量函数
离散型随机变量函数的取值是离散的， 其分布可以用概率分布列或概率质量函 数来表示。常见的离散型随机变量函数 包括二项式随机变量、泊松随机变量等 。
统计推断
通过分析随机变量的分布，可以 进行统计推断，例如参数估计和 假设检验等。
02
随机变量的分布
离散随机变量的分布
伯努利分布
适用于独立重复试验，如抛硬币、抽奖等。
二项分布
适用于成功次数的问题，如投掷n次硬币，成功k次的概率。
泊松分布
适用于单位时间内随机事件的次数，如放射性衰变次数。
连续随机变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的分布
科学研究
随机变量的函数变量分布在科学研究中也具有广泛的应用价值，例如在物理学、生物学、社会科 学等领域中，可以通过研究随机现象来揭示自然规律和社会现象。
研究展望与未来发展方向
拓展应用领域
将随机变量的函数变量分布应用到更多的领域中，例如在人工智能、大数据分析、物联网等领域中，可以利用这些知 识进行数据分析和预测。
随机变量的函数的方差
方差的性质
如果$X$是一个随机变量，那么对于 任意的常数$a$，有
Var(aX)=a^2Var(X)。
方差的交换律
对于任何两个随机变量$X$和$Y$， 有Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。
方差的非负性
对于任何随机变量$X$，有 Var(X)>=0。
随机变量的函数的分布ppt课件
布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2。求 任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。 解 由题意
X ~ p ( ) 且 P , X 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) 3 e 2
e e 3 e 2 2
P ( X 3 ) 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) P ( X 2 )
➢ k 阶中心矩：k = E[XE(X)]k ， k = 1, 2, ….
注意: 2 = Var(X).
.
2.7.2 变异系数
方差（或标准差）反映了随机变量取值的 波动程度，但在比较两个随机变量大小时 会产生不合理的现象。 原因有二： （1）方差（或标准差）是有量纲的； （2）有一个相对性问题，取值较大的随机变量 的方差（或标准差）也允许大一些。
52051 60 2
.
例5 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公 司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际 费用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外 开支波动较小，设实际费用Y~N(3,0.22)。现假定工程资 方掌握资金(1)3亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种情况 下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合 理？
pY ( y)
pX [h( y)] | h( y) |
pX [ln
y]
1 y
1
y(1 ln 2 y)
由此得
pY ( y)
1 y(1 ln2
, y)
0,
y0 其它
.
正态变量的线性不变性
定理2.6.2 设 X ~N (, 2)，则当a 0 时， Y = aX+b ~ N (a +b, a22).
习题
2、设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，且 P{X 1} P{X 2}，则 E（X）= ，D（X）=
X ~ p ( ) 且 P , X 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) 3 e 2
e e 3 e 2 2
P ( X 3 ) 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) P ( X 2 )
➢ k 阶中心矩：k = E[XE(X)]k ， k = 1, 2, ….
注意: 2 = Var(X).
.
2.7.2 变异系数
方差（或标准差）反映了随机变量取值的 波动程度，但在比较两个随机变量大小时 会产生不合理的现象。 原因有二： （1）方差（或标准差）是有量纲的； （2）有一个相对性问题，取值较大的随机变量 的方差（或标准差）也允许大一些。
52051 60 2
.
例5 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公 司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际 费用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外 开支波动较小，设实际费用Y~N(3,0.22)。现假定工程资 方掌握资金(1)3亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种情况 下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合 理？
pY ( y)
pX [h( y)] | h( y) |
pX [ln
y]
1 y
1
y(1 ln 2 y)
由此得
pY ( y)
1 y(1 ln2
, y)
0,
y0 其它
.
正态变量的线性不变性
定理2.6.2 设 X ~N (, 2)，则当a 0 时， Y = aX+b ~ N (a +b, a22).
习题
2、设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，且 P{X 1} P{X 2}，则 E（X）= ，D（X）=
《概率论与数理统计》第四节随机变量函数的分布
y，
(ln
y)
1， y
故Y的概率密度为：
fY
(
y)
1 2y
,
1
y e2,
0, 其它.
求连续型随机变量函数分布律的方法：
(2) 设y g( x)在区间I（k k 1,2,, s)上严格单调，且反函数分别
为x
hk (
y)，则Y
g( X )的概率密度为： s
fY ( y) f X [hk ( y)] h'k ( y) .
P(Z 1) P( X 1) P( X 1) 0.2 0.1 0.3，
P(Z 4) P( X 2) 0.3，P(Z 9) P( X 3) 0.3，
因此Z的分布律为：
Z P
0 0.1
1 0.3
4 0.3
9 0.3
.
从例1看到，根据X的分布确定Y g( X )分布，只需用“事件相 同，概率相等”的思想处理. 一般地有，
h'(
y)
,
y ，
其它.
其中 min{ g(), g()}， max{g(), g()}.
一、分布函数
1. 分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数 x，事件{X x}的
概率P( X x)称为随机变量X的分布函数，记作F( x)，即
F( x) P( X x).
2. 分布函数的性质：
P( X k) k e，k 0，1，2,， 0， 则称X服从泊松分布，记k为! ：X～ ( ).
4. 几何分布: 若随机变量X所有可能取值为1, 2, , 且分布律为:
P( X k) pqk1, k 1, 2,, 0 p 1, q 1 p,
则称X服从几何分布，记为：X～G( p).
随机变量及其分布PPT课件
35
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
随机变量函数的分布解读
X Y 2 1 0
1
1
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
12 12 12
1
2
6
例2 设 X pk
1 1 6
1 2 6
2 3 6
求 Y X 2 5的分布律.
解 Y 的分布律为
Y 4
1
1
1
p
2
2
7
三、连续型随机变量函数的分布
例3 设 随 机 变 量X 的 概 率 密 度 为
f
X
(
x)
x 8
,
0 x 4,
0, 其 他.
求 随 机 变 量Y 2X 8 的 概 率 密 度.
解 先求随机变量Y X 2 分布函数,
FY ( y) P{Y y} P{X 2 y} P{ y X y}
y
y
FX ( y) FX ( y) f X ( x)d x f X ( x)d x.
再由分布函数求概率密度. fY ( y) FY ( y) fX ( y)( y) fX ( y)( y)
证明 X 的概率密度为
fX (x)
1
e
(
x μ)2 2σ2
,
x
.
2πσ
设 y g( x) ax b,
得 x h( y) y b , 知 h( y) 1 0.
a
a
14
由公式
fY
( y)
fX [h( y)]h( y) , y
0,
其它.
,
得 Y aX b 的概率密度为
fY ( y)
16
有一大群人,令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压,并且已知 Z 与 X , Y 的函数关系 Z g( X ,Y ), 如何通过 X ,Y 的 分布确定 Z 的分布.
概率论-随机变量函数的分布
个连续型r.v，它的概率密度为
fY
(
y
)
f
[h(
y)]
dh( y dy
)
,
y
0,
其它
其中， min g(x), max g(x),
a xb
a xb
x=h (y) 是 y=g (x) 的反函数 .
此定理的 证明与前 面的解题 思路类似
注意 利用以上公式直接写出Y g( x) 的概率 密度时，要注意两点：
即
z y
FX (z y) fX ( x)dx
于是
FZ (z)
z y
fY ( y)[ f X ( x)dx]dy
fY
(
y)FX
(z
y)dy
将上式两边关于z求导，得
FZ (z) ຫໍສະໝຸດ fZ (z)fY ( y) fX (z y)dy
由X和Y的对称性, fZ (z) 又可写成
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
y)
fY
(
y)dy
z
1
e
ydy,
0
0 z 1
fZ
(z)
z z 1
fX
(z
y)
fY
(
y)dy
0,
z 1 e ydy, z 1
z 1
其他
1 ez , 0 z 1
(e
1)e
z
,
z 1
0,
其他
f
X
(
x
)
1,
0,
0
x 其它
1 ,
e y , y 0
fY ( y)
0,
其它
方法二
若由卷积公式
fY
(
y
)
f
[h(
y)]
dh( y dy
)
,
y
0,
其它
其中， min g(x), max g(x),
a xb
a xb
x=h (y) 是 y=g (x) 的反函数 .
此定理的 证明与前 面的解题 思路类似
注意 利用以上公式直接写出Y g( x) 的概率 密度时，要注意两点：
即
z y
FX (z y) fX ( x)dx
于是
FZ (z)
z y
fY ( y)[ f X ( x)dx]dy
fY
(
y)FX
(z
y)dy
将上式两边关于z求导，得
FZ (z) ຫໍສະໝຸດ fZ (z)fY ( y) fX (z y)dy
由X和Y的对称性, fZ (z) 又可写成
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
y)
fY
(
y)dy
z
1
e
ydy,
0
0 z 1
fZ
(z)
z z 1
fX
(z
y)
fY
(
y)dy
0,
z 1 e ydy, z 1
z 1
其他
1 ez , 0 z 1
(e
1)e
z
,
z 1
0,
其他
f
X
(
x
)
1,
0,
0
x 其它
1 ,
e y , y 0
fY ( y)
0,
其它
方法二
若由卷积公式
随机变量函数的分布
1 1 2
三、连续型随机变量函数的分布 一般 地，连续型随机变量的函数不一定是连续型随 机变量， 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还 是连续型随机变量的情形， 此时我们不仅希望求出 随机变量函数的分布函数， 而且还希望求出其概率 密度函数. 设已知 X 的分布函数 FX ( x ) 或概率密度函数 f X ( x ), 则随机变量函数 Y g( X ) 的分布函数
1 y b fX ( ). k k
例
设X ~ N ( , 2 ), Y aX b,(a, b为常数, 且a 0), 则Y ~ N (a b, a 2 2 ).
f X ( x)
1 2
1
e
( x )2 2 2
,( x )
1 2 a
2
P{Y x } P{ X 2 x } P{ X x } P{ X x }.
完
二、离散型随机变量函数的分布
设 X 为离散型随机变量， 其概率分布已知。 Y g( X )为X的函数.
若X 为D.r .v.
问题
Y g( X ) 为D.r .v .
如何根据随机变量 X 的分布 求得随机变量 Y g( X )的分布 ?
一、随机变量的函数 主要 我们讨论变量间的函数关系时， 在微积分中， 注： 研究函数关系的确定性特征， 例如： 导数、积分等. 而 在概率论中，我们主要研究的是随机变量函数的随机
即由自变量 X 的统计规律性出发研究因变量 Y 特征，
的统计性规律. 一般地， 对任意区间 I , 令 C { x | g( x ) I }, 则
( y ( a b ))2 2 a 2 2
1 yb 1 fY ( y ) fX ( ) k k a
随机变量函数的分布的范围
随机变量函数的分布的范围
随机变量函数的分布的范围取决于函数的定义域和原随机变量的分布的范围。
假设原随机变量为X，函数为Y = g(X)。
1. 如果函数的定义域包含了原随机变量的所有可能取值，则函数的分布范围是函数在定义域上的取值范围。
2. 如果函数的定义域不包含原随机变量的某些可能取值，则函数的分布范围是函数在定义域上的取值范围与原随机变量分布范围的交集。
需要注意的是，如果函数是非线性的，分布的范围可能与原随机变量的分布范围不同。
例如，如果原随机变量X服从正态分布，而函数Y = X^2，则函数的分布范围是[0,+∞)，而原随机变量的分布范围是(-∞,+∞)。
随机变量的分布函数
f (x)
−∞
f (t)dt
，则称X为连续型随机 则称 为连续型随机
o
x
由定义知： 连续型随机变量的分布函数F(x) 由定义知：1. 连续型随机变量的分布函数
是连续函数. 是连续函数 2. 对f(x)的连续点，有 的连续点， 的连续点
F'( x ) = f ( x )
可以互推。 由此 F(x)与f(x)可以互推。 与 可以互推
下面我们从图形上来看一下. 下面我们从图形上来看一下
注意右连续
0, 1/ 3, F( x) = 1/ 2, 1,
x <0 0 ≤ x <1 1≤ x < 2 x≥2
X P
0
1
2
1 3
1 6
1 2
概率函数图 分布函数图
P( X = x) F(x)
1
1 2
画 分布函 数图
12 13 16
即
x < −1 0, x 1 1 2 F( x) = 1− x + arcsin x + , −1 ≤ x ≤ 1 2 π π x >1 1, (3).
1 1 2 2 P( − < X ≤ ) = ∫ 1 − x dx 2 2 π sin 2t 6 1 1 1 3 = (t + ) π = F( ) − F( − ) = + . π 2 −6 2 2 3 2π 1
F( x) = P( X ≤ x), − ∞ < x < ∞
分布函数是一个普通的函数， 分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 通过它， 随机变量. 研究 随机变量
二、离散型 r.v的分布函数 的分布函数 设离散型r.vX 的概率分布列是 设离散型 P{ X=xk } = pk , 则 F(x) = P(X ≤ x) = k =1,2,3,…
−∞
f (t)dt
，则称X为连续型随机 则称 为连续型随机
o
x
由定义知： 连续型随机变量的分布函数F(x) 由定义知：1. 连续型随机变量的分布函数
是连续函数. 是连续函数 2. 对f(x)的连续点，有 的连续点， 的连续点
F'( x ) = f ( x )
可以互推。 由此 F(x)与f(x)可以互推。 与 可以互推
下面我们从图形上来看一下. 下面我们从图形上来看一下
注意右连续
0, 1/ 3, F( x) = 1/ 2, 1,
x <0 0 ≤ x <1 1≤ x < 2 x≥2
X P
0
1
2
1 3
1 6
1 2
概率函数图 分布函数图
P( X = x) F(x)
1
1 2
画 分布函 数图
12 13 16
即
x < −1 0, x 1 1 2 F( x) = 1− x + arcsin x + , −1 ≤ x ≤ 1 2 π π x >1 1, (3).
1 1 2 2 P( − < X ≤ ) = ∫ 1 − x dx 2 2 π sin 2t 6 1 1 1 3 = (t + ) π = F( ) − F( − ) = + . π 2 −6 2 2 3 2π 1
F( x) = P( X ≤ x), − ∞ < x < ∞
分布函数是一个普通的函数， 分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 通过它， 随机变量. 研究 随机变量
二、离散型 r.v的分布函数 的分布函数 设离散型r.vX 的概率分布列是 设离散型 P{ X=xk } = pk , 则 F(x) = P(X ≤ x) = k =1,2,3,…
随机变量的函数分布
其他.
y8 32
,
8 y 16,
0,
其他.
8
例4 设随机变量 X 的概率密度为
fX
(
x)
0,
x
3e
x
2
,
x 0, x 0.
求随机变量Y X 2 和 Y 2X 3 的概率密度.
解 先求随机变量Y X 2 分布函数,
FY ( y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y}
)2
2πσ
x .
设 y g( x) ax b,
得 x h( y) y b , 知 h( y) 1 0.
a
a
13
由公式
fY
( y)
fX [h( y)]h( y) , y
0,
其他.
,
得 Y aX b 的概率密度为
1 yb fY ( y) a fX ( a ), y .
解
因为v
g(θ)
A sin θ
在
π 2
,
π 2
上恒有
g(θ) Acosθ 0,
所以反函数为 θ h(v) arcsin v , A
h(v) 1 , A2 v2
15
又由Θ
~
U
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π 2
,
π 2
,
知
Θ
的概率密度为
f
(θ
)
1 π
,
π θ π,
2
2
0, 其他.
由定理得V Asin Θ 的概率密度为
5
例2 设 X
1
1
2
pk
1 6
23 66
求 Y X 2 5 的分布律.
y8 32
,
8 y 16,
0,
其他.
8
例4 设随机变量 X 的概率密度为
fX
(
x)
0,
x
3e
x
2
,
x 0, x 0.
求随机变量Y X 2 和 Y 2X 3 的概率密度.
解 先求随机变量Y X 2 分布函数,
FY ( y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y}
)2
2πσ
x .
设 y g( x) ax b,
得 x h( y) y b , 知 h( y) 1 0.
a
a
13
由公式
fY
( y)
fX [h( y)]h( y) , y
0,
其他.
,
得 Y aX b 的概率密度为
1 yb fY ( y) a fX ( a ), y .
解
因为v
g(θ)
A sin θ
在
π 2
,
π 2
上恒有
g(θ) Acosθ 0,
所以反函数为 θ h(v) arcsin v , A
h(v) 1 , A2 v2
15
又由Θ
~
U
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π 2
,
π 2
,
知
Θ
的概率密度为
f
(θ
)
1 π
,
π θ π,
2
2
0, 其他.
由定理得V Asin Θ 的概率密度为
5
例2 设 X
1
1
2
pk
1 6
23 66
求 Y X 2 5 的分布律.
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例如 X ~ e
Y P
求Y的概率分布。
0
1
P(X>1) P(X≤1)
1
P( X 1)
Y P
p( x)dx e dx e
x 1
1
0 e-1
1 1- e-1
CH2-6 小结 r.v.函数的分布
• 1. 离散型（列举法） • 2. 连续型（分布函数法）
Ch2-6-23
分 布 函 数 法
例2-6-2 X ~ U [0,1] , Y = 2 X +1, 求 pY (y)
解1 FY ( y ) P(Y y )
用密度求 y 1
Ch2-6-7
1, 0 x 1 pX ( x ) y 1 ) P( 2 X 1 y ) P ( X 0, 其他
练2-6-3 练习册P18 三、3.
1, 1 x -17
当 y 0 时，FY (y) = 0
2X P ( e y) FY ( y) P(Y y)
当 y > 0 时，
1 1 P( X ln y ) FX ( ln y ) 2 2
( y ) p ( y ) X X
p y
1 2y
y e 2
Ch2-6-19
故
y 1 2,y0 e pY ( y ) 2y y0 0,
Ch2-6-20
注意
连续型r.v.的函数未必是连续型
0, X 1 (1),Y 1, X 1
1 y b pY ( y ) F Y ( y ) p X a a
'
类似的，当a < 0 时，
y b y b FY ( y ) P X ) 1 P( X a a
y b 1 FX a
'
Ch2-6-10
k 1,2,
将X的所有取值代入 f ( X)，求出 Y 的所有 可能取值(相同值合并)，则 Y 的概率分布为
P( Y yi )
k : f ( x k ) y i
pk ,
i 1,2,
二. 连续型r.v.函数的分布
方法: 分布函数法
解 题 步 骤 （1）先求Y = f ( X ) 的分布函数
1 y b pY ( y ) F Y ( y ) p X a a
故
1 y b p Y ( y) pX |a| a
例如 设 X ~ N ( ,2) , Y = a X +b, 则
1 y b pY ( y) pX |a| a
pY ( y) FY ( y ) h ( y)
Ch2-6-6
例2-6-2 设 X ~ U [0,1] , Y = 2 X +1, 求 pY ( y ) 解2 FY ( y ) P(Y y )
P( 2 X 1 y )
1, 0 x 1 pX ( x ) 0, 其他
例2-6-3 已知 X 密度函数为 p X ( x ),Y aX b, a, b为常数，且 a 0, 求 pY ( y )
解
FY ( y ) P(Y y ) P(aX b y )
Ch2-6-9
当a > 0 时，
y b y b FY ( y ) P X FX a a
y 1 2
] •
y 1 2
]
x
1 / 2, 1 y 3 pY (y) FY ( y ) 0, else
y 1 1 2
y3
Ch2-6-8
结论1 若 X ~ U [0,1] ,则 Y = 2 X +1 ~ U [1,3] 一般地 若 X ~ U [m, n] , 则 Y = a X + b ~ U [ a m + b, a n + b ] （其中a>0）
X 特别地 Z ~ N ( 0, 1 )
练2-6-2 练习册P15 二.
Ch2-6-16
1, 0 x 1 二. 1. 当 y 0 时，FY (y) = 0 p X ( x ) 0, 其他 当 y > 0 时，
FY ( y) P(Y y) P( e X y )
2
0
2
p X ( x ) dx
y 1 2
] •
0 y 1 0 dx 2 1 dx y 1 0 - 2 y 1 0 1 0 dx 1 dx 2 0 dx 1 0 1 -
'
0 1 y 1 0 y 1 2 y 1 0 1 1 y 3 2
P( X ln y ) FX (ln y )
1 1 , 1 y e p Y ( y ) F 'Y ( y ) p (ln y ) y X y 0, y (0,1) (e,) 1 , 1 y e pY ( y ) y 综上, 0, 其它
1 1 1 , e2 y e4 p Y ( y ) F'Y ( y ) p X ( ln y ) 2 y 2 2y 其它 0,
练2-6-4 已知 X ~ N (0,1) , Y = X 分布函数法
pX ( x ) 1 2
x2 e 2
2,
求 pY (y)
Y f(X )
Ch2-6-5
已知 X 的密度 pX (x) ，求 Y 的密度 pY (y)
FY ( y ) P( Y y ) P( f ( X ) y )
P( X {x : f ( x) y})
h( y )
'
可用密度或分布函数求概率
'
（2）对Y 的分布函数求导, 得Y 的密度
y 1 y 1 用分布函数求 FX P( X ) 2 2 1 y 1 ' pY ( y ) F Y ( y ) p X 2 2
1 , 2 0, y 1 0 1 2 其它
1 , 1 y 3 2 其它 0,
Ch2-6-2
X
Y1 = 2X – 1 P
-1
-3
1 8
0
-1
1 8
1
1
1 4
2
3
1 2
Ch2-6-3
X Y2= X 2 P
Y2 P 0
-1
1
1 8
0
0
1 8
1
1
1 4
2
4
1 2
1
4
1 8
3 8
1 2
练2-6-1 练习册P15 一、1
Ch2-6-4
方法: 列举法
设r.v. X 的分布律为
P( X xk ) pk ,
§2.6 随机变量函数的分布
问题 已知 求 r.v. X 的概率分布 r.v. Y= f ( X )的概率分布
Ch2-6-1
方法 将与Y 有关的事件转化成与X 有关的 事件, 再用X的概率分布求解
一. 离散型r.v.函数的分布 Y f ( X )
例2-6-1 已知 X 的概率分布律 求 Y1= 2X – 1 与 Y2= X 2 的分布律 解
1 p X ( x) e 2
( x )2 2 2
Ch2-6-11
, xR
1 e 2 | a |
[ y ( a b )]2 2 a 2 2
y
结论2 若 X ~ N ( ,2) ,
则 Y = a X + b ~ N ( a +b , a22 )
x
Ch2-6-18
pY ( y ) 0 当 y 0 时，FY (y) = 0 2 FY ( y) P(Y y) P( X y ) 当y > 0 时，
p Y ( y ) F 'Y ( y )
1 2
P( y X y ) FX ( y ) FX ( y )