北京市海淀区2016届高三上学期期中考试数学理试题

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2015.11本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则集合中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是3．在△ABC中，的值为A．1 B．－1 C．12D．－124．数列的前n项和为，则的值为A．1B．3C．5 D．65．已知函数，下列结论错误的是A．B．函数的图象关于直线x＝0对称C．的最小正周期为 D．的值域为6．“x＞0 ”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．若函数且）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足8． 已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 c ＝4，则11．已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若n a ＝0 ，则n ＝12．已知向量，点A （3,0） ，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB a ，则点B的坐标为 ． 13．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为 14．对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质．⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为 ；⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a 的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知等比数列的公比，其n 前项和为（Ⅰ）求公比q 和a 5的值； （Ⅱ）求证：16．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：18．（本小题满分13分）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若=15时，Sn取得最小值，求a的值．20．（本小题满分14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如对于函数f(x)，若存在，使得，则称函数函数．（Ⅰ）判断函数是否是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)是定义R 在上的周期函数，其最小正周期为T ，若f(x)不是函数，求T 的最小值．（Ⅲ）若函数是函数，求a 的取值范围．海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （理科） 2015.11阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. B2. B3. A4. C5. D6. C7. A8. D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 3 10. 11. 5 12. (3,6)-- 13. 4 14. 2； [36,)+∞说明；第10，14题第一空3分，第二空2分三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）法一：因为{}n a 为等比数列， 且3244a a a =，所以2334a a =，所以34a =， 因为233141a a q a ===，所以2q =±. 因为0n a >，所以q >，即2q =---------------------------3分所以45116a a q ==.--------------------------6分法二：因为{}n a 为等比数列，且3244a a a =，所以24114a q a q =，所以24q =，所以2q =±, 因为n a >，所以0q >，即2q =---------------------------3分 所以45116a a q ==.--------------------------6分（Ⅱ）法一：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, --------------------------８分因为1(1)211n n n a q S q-==--,--------------------------10分所以11211222n n n n n S a ---==-,因为1102n ->，所以11222n n n S a -=-<.--------------------------13分法二：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, --------------------------８分所以1(1)211n n n a q S q-==--,--------------------------10分所以11202n n n S a --=-<，所以2nnS a <.--------------------------13分法三：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, --------------------------８分所以1(1)211n n n a q S q-==--.--------------------------10分 要证2nnS a <，只需2n n S a <， 只需212n n -< 上式显然成立，得证.--------------------------13分 16.解：（Ⅰ）因为ππ())cos(2)33f x x x =+++,所以πππππ())cos(2)66363f =⋅++⋅+, 2π2π313sin()cos()13322=+=-=.--------------------------4分（Ⅱ）因为ππ())cos(2)33f x x x +++,所以π1π()s i n (2)c o s (2)]323f x x x =+++ππππ2[c o ss i n (2)s i n c o s (2)]6363x x =+++ ππ2sin[(2)]36x =++π2sin(2)2x =+--------------------------7分 2cos 2x = ,--------------------------9分 所以周期2ππ2T == .--------------------------11分令2ππ22πk x k -≤≤，--------------------------12分 解得πππ2k x k -≤≤，k ∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为π(π,π),2k k -k ∈Z .--------------------------13分法二：因为ππ())cos(2)33f x x x +++, 所以ππππ()3f x =+-------------------7分113(sin 2)(cos22)22x x x x =+- 2cos 2x = --------------------------9分所以周期2ππ2T == .--------------------------11分 令2ππ22πk x k -≤≤，--------------------------12分 解得πππ2k x k -≤≤，k ∈Z , 所以()f x 的单调递增区间为π(π,π),2k k -k ∈Z .--------------------------13分17．解： （Ⅰ）法一：在ABD ∆中，因为1cos 7ADB ∠=，(0,π)ADB ∠∈,所以sin ADB ∠=,--------------------------3分根据正弦定理，有sin sin BD ABA ADB=∠∠,--------------------------6分 代入8,,3AB A π=∠= 解得7BD =.--------------------------7分 法二：作BE AD ⊥于E .因为π8,3AB A =∠=，所以在ABD ∆中，πsin 3BE AB =⋅= --------------------------3分在BDE ∆中，因为1cos 7ADB ∠=，(0,π)ADB ∠∈，所以sin ADB ∠=,--------------------------6分 所以7s inBEBD BDE==∠.--------------------------7分 （Ⅱ）法一： 在BCD∆中，根据余弦定理 222c o s2BC CD B DC B C C D+-∠=⋅,--------------------------10分代入3,5BC CD ==，得1cos 2C ∠=-， (0,π)C ∠∈,所以2π3C ∠=.--------------------------12分所以 πA C ∠+∠=，而在四边形ABCD 中 +2πA ABC C ADC ∠+∠+∠∠= 所以πAB C ∠+∠.--------------------------13分法二：在ABD ∆中，11cos ,14ABD ∠=所以sin ABD ∠=1cos 7ADB ∠=， 所以sin ADB ∠=.--------------------------8分在BCD ∆中，11cos ,14DBC ∠=所以sin ABD ∠=,13cos 14BDC ∠=， 所以sin ADB ∠=.--------------------------9分所以cos cos()ABC ABD DBC ∠=∠+∠，23cos cos sin sin 98ABD DBC ABD DBC =∠∠-∠∠=--------------------------11分c o s c o s (A D C A D B B D C ∠=∠+∠，23cos cos sin sin 98ADB BDC ADB BDC =∠∠-∠∠=---------------------------12分 即cos cos ABC ADC ∠=-∠, 所以πA B C A D C∠+∠=. --------------------------13分 18．解（Ⅰ）因为(0)1f =，所以曲线()y f x =经过点(0,1), 又2'()2f x x x a=++,--------------------------2分 所以'f a ==-,--------------------------3分 所以2'()23f x x x =+-.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:--------------------------5分所以函数 ()f x 的单调递增区间为(,3)-∞-，(1,+)∞, 单调递减区间为(3-.--------------------------7分 （Ⅱ）因为函数()f x 在区间[2,]a -上单调,当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递减时，'()0f x ≤对[2,]x a ∈-成立， 即2'()20f x x x a =++≤对[2,]x a ∈-成立，根据二次函数的性质，只需要'(2)0'()0f f a -≤⎧⎨≤⎩， 解得30a -≤≤.又2a -<，所以20a -<≤.--------------------------9分当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增时，'()0f x ≥对[2,]x a ∈-成立， 只要2'()2f x x x a =++在[2,]a -上的最小值大于等于0即可， 因为函数2'()20f x x x a =++≥的对称轴为1x =-， 当21a -<≤-时，'()f x 在[2,]a -上的最小值为'()f a ，解2'()=30f a a a +≥，得0a ≥或3a ≤-，所以此种情形不成立. --------------------------11分当1a -<时，'()f x 在[2,]a -上的最小值为'(1)f -， 解'(1)120f a -=-+≥得1a ≥，所以1a ≥， 综上，实数a 的取值范围是20a -<≤或1a ≥.--------------------------13分 19．解：（Ⅰ）因为 12n n n S a a +=，所以1122S a a =，即1122a a a =,因为10a a =≠，所以22a =, --------------------------2分（Ⅱ）因为 12n n n S a a += ， 所以112(2)n n n S a a n --=≥，两式相减，得到112()n n n n a a a a +-=-， --------------------------4分因为0n a ≠，所以112n n a a +--=，所以212{},{}k k a a -都是公差为2的等差数列，当21n k =-时，12(1)n a a k n =+-=, --------------------------6分当2n k =时， 22(1)2n a k k n =+-==,所以1,n n a a n n +-⎧=⎨⎩为奇数,为偶数. --------------------------8分（Ⅲ） 法一：因为12n n n S a a +=，由（Ⅱ）知道 1, , n n a n a n n +-⎧=⎨⎩为奇数,为偶数, 所以1(121()2n n a S n n ⎧+-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数, --------------------------10分注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的，所有偶数项构成的数列是一个单调递增的，当n 为偶数时，0n a >，所以此时1n n S S ->，所以15S 为最小值等价于13151517,S S S S ≥≤， --------------------------12分所以141516170, 0a a a a +≤+≥，所以141510, 161710a a ++-≤++-≥，解得3a -≤≤.--------------------------13分 因为数列{}n a 是由整数组成的，所以{32,31,30,29,28}a ∈-----.又因为0n a ≠，所以对所有的奇数n ，10n a n a =+-≠，所以a 不能取偶数，所以31, 29a a =-=-. --------------------------14分法二：因为12n n n S a a +=， 由（Ⅱ）知道 1, , n n a n a n n +-⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,所以1(121()2n n a S n n ⎧+-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数, --------------------------10分因为15S 为最小值，此时n 为奇数，当n 为奇数时，1(1)(1)2n S n a n =+-+， 根据二次函数的性质知道，有14162a ≤-≤，解得3228a -≤≤-， --------------------------12分因为数列{}n a 是由整数组成的，所以{32,31,30,29,28}a ∈-----.又因为0n a ≠，所以对所有的奇数n ，10n a n a =+-≠，所以a 不能取偶数，所以31, 29a a =-=-. --------------------------13分经检验，此时n S 为最小值，所以 31, 29a a =-=-. --------------------------14分20. 解： （Ⅰ）21()3f x x x =-是Ω函数， --------------------------2分()sin πg x x=不是Ω函数.--------------------------4分 （Ⅱ）T 的最小值为1. --------------------------6分因为()f x 是以 T 为最小正周期的周期函数，所以()(0)f T f =.假设1T <，则[]0T =，所以([])(0)f T f =，矛盾. --------------------------8分所以必有1T ≥，而函数()[]l x x x =-的周期为1，且显然不是是Ω函数，综上，T 的最小值为1. --------------------------9分（Ⅲ） 当函数()a f x x x=+是Ω函数时， 若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾. --------------------------10分若0a <，则2'()10a f x x=->， 所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增，此时不存在(,0)m ∈-∞，使得 ()([])f m f m =，同理不存在(0,)m ∈∞，使得 ()([])f m f m =，又注意到[]0m m ≥，即不会出现[]0m m <<的情形，所以此时()af x x x =+不是Ω函数.--------------------------11分当0a >时，设()([])f m f m =，所以[][]a a m m m m +=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠， 当0m >时，因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m <<+，所以2[][m a m <<+.--------------------------12分当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m >>+，所以2[][]([]1)m a m m >>+. --------------------------13分记[]k m =, 综上，我们可以得到“0a >且*2,k a k ∀∈≠N 且(1)a k k ≠+”.--------------------------14分。