07应力应变分析、强度理论

− (σ x −σ y ) sin 2α0 − 2τ xy cos 2α0 = 0
(σ − y ) x σ −2 sin2α+τ cos2α = −2τ0 = 0 0 xy 0 α 2
即α＝α0 时，切应力为零
15
7-2 解析法分析二向应力状态
tan 2α0 = − 2τ xy
σ x −σ y
4
3、单元体法 、 （1）单元体截取方法 围绕 ）单元体截取方法: 该点取出一个单元体。 该点取出一个单元体。 例如 图 9-1a 所示矩形截面 悬臂梁内A点的应力状态 悬臂梁内 点的应力状态
τ
(b) (a)
P A
a
τ σ τ τ τ
σ
b σ
(c)
d A τ τ c
τ
σ
5
7—1 应力状态的概念
6
7—1 应力状态的概念
l
S平面
T y
1 4
S
F a
1
z
2 3 Mz
T τ= Wp
σ = Mz Wz
x
Fa
T
(+) (−)
3
τ= T Wp
σ =−
7
M
Fl
Mz Wz
目录
7—1 应力状态的概念
σz
z
τ zy τ yz
σ2 σ1
σy
τ zx
x
σx
τ xz
τ xyτ yx
y
σ3
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
3、几种对应关系 点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着 点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着 微元某一截面上的正应力和切应力
y
σy
H
τ
n
H (σa ,τa )
2α
τ yx
τ xy α x σx
c
D (σx ,τxy)
(σy ,τyx)
D/
σ
σ x +σ y
2
29
30
求图示单元体的主应力及主平面的位置。 单位 单位： 例 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)
31
主应力及主平面如图
25 3
σ2
45 B
150°
95
A
σ 1 =120 σ 2 =20 σ 3 =0
α0
25 3
σ1
α 0 = − 30 o
τα (MPa)
B A 2σ 0 C 20MPa
σ3
O σ2
σ1
σ坐标系如图 解析法：分析 解法 解析法 建立坐标系如图
由上式可以确定出两个相互垂直的平面， 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为： 所以，最大和最小正应力分别为：
σmax = σ x +σ y
2 1 + 2 1 − 2
(σ (σ
τ2 −σ y ) + 4 xy x
25 3
45
150°
95
60°
σ1 σ x +σ y σ x −σ y 2 2 ±（ ） τ xy + = 2 2 σ 2
25 3
σ y =45 MPa τ yx =25 3MPa =−τ xy
y O x25
3
45
150°
σ x =?
95
25 3
σ 60 =95 MPa τ 60 =25 3MPa
σ 1 = 68 .3MPa, σ 2 = 0, σ 3 = −48 .3MPa
19
7-2 解析法分析二向应力状态
σy
τ xy
α 主平面的方位： 主平面的方位：
tg2α0 = −
2τ xy
σx
− 60 =− = 0.6 60+ 40
α0 = 15.5o , α0 = 15.5o + 90o = 105.5o
2
σmin =
σ x +σ y
2
τ2 −σ y ) + 4 xy x
2
16
主应力按代数值排序：σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 主应力按代数值排序： 按代数值排序
7-2 解析法分析二向应力状态
例题1 一点处的平面应力状态如图所示。 例题1：一点处的平面应力状态如图所示。 已知
σ x = 60MPa， τ xy = −30 MPa,
(σα −
σ x +σ y
2
) +τ
2
2
α
=(
σ x −σ y
2
)2 +τ 2 xy
这个方程恰好表示一个圆， 这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
26
7-3 图解法分析二向应力状态
应力圆： 1. 应力圆：
τ
R= (
(σ α −
σ x +σ y
2
) +τ
2
2
α
=(
σ x −σ y
2
)2 + τ 2 xy
破坏分析
低碳钢 :σ
s
= 240 MPa ;τ s = 200 MPa
Lb
灰口铸铁 :σ
=98 ~ 280 MPa
σ yb = 640 ~ 960 MPa ;τ b =198 ~ 300 MPa
低碳钢
铸铁
25
7-3 图解法分析二向应力状态
1 1 σα = (σ x +σ y ) + (σ x −σ y ) cos 2α −τ xy sin 2α 2 2 1 τα = (σ x −σ y ) sin 2α +τ xy cos 2α 2
tg 2α 0 = − 2τ xy
σ x −σ y
= −∞ ∴ α 0 = − 45 o
′ σ x −σ y 2 2 τ max = ±（ ） + τ xy = ±τ ′ 2 τ min
σ x −σ y tg 2 α 1 = = 0∴α 1 = 0 2 τ xy
23
低碳钢
铸铁
24
7-2 解析法分析二向应力状态
解： 主应力坐标系如图 在坐标系内画出点
25 3
σ2
45 B
150°
95
A
α0
25 3
σ1
A ( 95 , 25
3)
B ( 45 , 25
3)
τα (MPa)
B A 2σ0 C 20MPa
AB的垂直平分线与σα 轴的交点C便是圆心， 以C为圆心，以AC为 半径画圆——应力圆
σ3
O σ2
σ1
σα
(MPa)
τα =
σ x −σ y
2
sin 2α +τ xy cos 2α
33
例题
q
图为承受均布载荷作用的 简支梁。 简支梁。 m − m 截面距离 左端支座为 a(a < l 2) 。 横截面1至 ①指出 m − m 横截面 至5 点沿纵横截面截取的单元 体各面上的应力方向。 体各面上的应力方向。 ②若2点的横截面上的正 点的横截面上的正 应力为 σ = −70MPa，剪应 试确定2 力为 τ = 50MPa，试确定 点的主应力及主平面的方 位。
σ y = −40MPa, α = − 30 o 。
σy
τ xy
α
试求（ 斜面上的应力； 试求（1）α 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； 主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。 绘出主应力单元体。
σx
17
7-2 解析法分析二向应力状态
（ 解： 1）α 斜面上的应力 σ x + σ y σ x −σ y σα = + cos 2α − τ xy sin 2α
τ yx
σy
t
∑F =0
t
τ α dA − τ xy (dA cos α ) cos α − σ x (dA cos α ) sin α + τ yx (dA sin α ) sin α + σ y (dA sin α ) cos α = 0
12
7-2 解析法分析二向应力状态
利用三角函数公式
{
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α ) 2
8
单元体上没有切应力的面称为主平面； 单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 主平面 称为主应力， 表示， 称为主应力，分别用 σ1,σ2 ,σ3 表示，并且 主应力 该单元体称为主应力单元。 该单元体称为主应力单元。 主应力单元
7—1 应力状态的概念
空间（三向）应力状态： 空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态： 平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态： 单向应力状态：两个主应力为零
并注意到 τ yx = τ xy 化简得
2sinα cosα = sin2α
1 1 σα = (σ x +σ y ) + (σ x −σ y ) cos 2α −τ xy sin 2α 2 2
1 τα = (σ x −σ y ) sin 2α +τ xy cos 2α 2
13
7-2 解析法分析二向应力状态
1、一点处的应力状态: 受力构件内一点处不同方 、一点处的应力状态 位的截面上应力的集合, 称为一点处的应力状态。 位的截面上应力的集合 称为一点处的应力状态。 2、受力构件内应力特征： 、受力构件内应力特征： （1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的； ）构件不同截面上的应力状况一般是不同的； （2）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是 ） 不同的； 不同的； （3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况 ）构件同一点处， 一般是不同的。 一般是不同的。