李建军-半导体器件模拟及数值分析第六章 有限元法模拟

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连续介质离散化及插值函数
6.2.2 元素和插值函数概述
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构造具有 c 0 连续性的元素和插值函数并不特别困难，但 需要具有高阶连续性时，困难将迅速增加。对于要求 c 0 连续 性的问题，可以构造出无限个合适的元素，但通常要从这多 种元素中选用类型最简单的元素，以避免过大的计算工作量。 由此可见，当对所要解决的问题选用合适的元素类型时， 必须包括元素的形状、节点的数目和类型、节点变量的类型 和插值函数的类型，这些特性中只要缺少一项，对元素的描 述就是不完整的。虽然可以设想许多类型的函数都可以作为 插值函数，但是只有多项式得到了广泛的应用。原因是多项 式的数学运算较为容易，可以毫无困难地进行积分和微分。
1 2D 1 1
xi xj xk
yi yj yk
2 [顶点为i,j,k的三角形的面积]
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连续介质离散化及插值函数
6.2.4 二维元素及其插值函数 把方程(6.2.6)代入方程(6.2.4)，整理各项，有
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连续介质离散化及插值函数
6.2.2 元素和插值函数概述
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在有限元素法中，求解区域的元素网格一旦确定，则在 每个元素上的未知场变量的特性就由连续函数近似地表达。 这些连续函数用场变量的节点值以及其直到某阶导数的节点 值表示。定义在每个有限元素上的函数称为插值函数。整个 求解区域上插值函数的集合提供场变量的一个分片近似。 除了用直接法建立有限元方程外，用其他三种方法建立 元素特性方程都需要选择每个元素上的插值函数。插值函数 不是任意选取的，它应满足如下要求： (1). 在元素的交界面（边界）处，场变量及其任一阶偏 导数 ( 直至比在有限元积分方程中出现的最高阶偏导数少一 阶为止)都必须连续。
y
k
用此方程可在每个节点 上计算 的节点值。 i( e ) ( x , y ) b1( e ) b2( e ) xi b3( e )yi
j
点值的平面 i
( x, y) b b xj b yj
(e ) j (e ) 1 (e ) 2 (e ) 3
( x, y )
x
(e) b1 , b(2e ) , b(3e )。
b
(e ) 1

i ( x j yk yi xk ) j ( xk yi yj xi ) k ( xi y j xj yk )
(6.2.6)
b2( e ) b3( e )
2D i ( y j yk ) j ( yk yi ) k ( yi y j ) 2D i ( xk x j ) j ( x i xk ) k ( x j xi ) 2D
以下将本着上述原则，讨论在半导体器件模拟中常用的 元素类型和插值函数。
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连续介质离散化及插值函数
6.2.3 一维元素及其插值函数
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最简单的元素是沿x轴的直线线段，叫做线元素。 1 外节点 元素 2 外节点 1 元素 3 内节点 6
图6-1 一维线元素
2

1
3
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基本概念
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那么有限元法的实质是什么呢？在任何维数的连续介 质问题中，场变量（无论它是压力、温度、位移 、应力或 者某些其它量）是物体或求解区域内每个点的函数，因此 这是一个具有无限个未知数的问题。 现在把求解区域分成很多元素，并用每个元素内假设 的近似函数来表示未知的场变量，那么，通过有限元素离 散化过程便把问题简化为有限个未知数的问题。 近似函数（有时称为插值函数）则由称之为节或节点的指 定点上的场变量值来确定。 节点通常选在元素的边界上，相邻的元素由节点连接 在一起；除边界节点外，元素也可能有一些内部节点。
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第六章 有限元法
哈尔滨工业大学(威海) 王新胜 微电子中心
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§6-1 基本概念
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有限元法(Finite Element Method)，又译为有限元素法， 是离散数值分析方法之一。是现在公认的一个有效的用途 广泛的数值分析工具，它能应用于几乎所有的连续介质问 题和场问题。70年代，有限元法在半导体器件模拟领域中 得到了发展，并且自那以后，研究它在器件模拟中的应用， 超过了有限插分法。 有限元法不象有限差法那样把求解区域看作是网格点 的排列，而是把求解区域看作由许多小的互相连接的子区 域(称为元素)所构成。对某一问题，其有限元法模型给出 基本方程的分片近似。 有限元法的基本思想是：用一组离散元素集合体来代 替求解区域，解析地模拟或逼近求解区域。因为这些元素 可按各种不同的方式组合在一起，所以能用来表示极其复 杂的形状。
( e ) ( x )
2
N1(x)和N2(x)称为插值函数。
x1
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x2
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6.2.4 二维元素及其插值函数
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(a) (b) (c)
(d)
(e) 图6-3 二为元素
(a) 三节点三角形 (b) 矩形 (c) 六节点三角形 (d) 十节点三角形 (e) 梯形
(e)
(e)
(6.2.1)
1 ( x) N1 , N 2 N( e ) ( e ) N11 N 22 2
x2 x N1 ( x) , x 2 x1 x x1 N 2 ( x) x 2 x1
1
(6.2.2)
(6.2.3)
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基本概念
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有限元法的另一个优点是建立各单独元素特性公式的 途径的多样性。一般来讲，得到元素特性的方法有四种： 直接法、变分法、加权余数法和能量平衡法。各种方法的 特点概括如下：
直接法：来源于结构分析的直接刚度法，应用于比较 简单的问题，易于掌握。
变分法：依靠变分计算，涉及到泛函的极值问题，变 分法既适用于形状简单的元素又适用于形状的复杂的元素。 加权余数法：这种推导元素特性的方法，完全建立在 数学知识上，从问题的基本方程出发，在推导元素特性时 不依赖于泛函或者变分原理。
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基本概念
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§6-2 连续介质离散化及插值函数
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连续介质离散化及插值函数
6.2.1 连续介质离散化
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如上所述，有限元法的基本概念是把求解区域分为有限 个数目的子区域，这些子区域称之为元素。 这些元素只在求解区域内的节点处和元素的边界上互相 连接。 元素的节点是元素的一部分，这样求解区域就被离散了， 并且表示为许多元素的一个组合体。 有限元素的边界常常是直线或平面。所以，如果求解区 域有曲线或曲面边界的话，就可被一系列直线段或平面近似 地表示出来。有限元素网格的数学解释就是空间的再分割。
x2
图6-2 场变量在一维元素上的线性表示
(e) (e) (a)一维直线元素,(b) ( x) 在元素(e)上的线性变化,(c) ( x)的线性插值函数
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6.2.3 一维元素及其插值函数
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x2 x x x1 ( x) x x 1 x x 2 2 2 1 1
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场变量的节点值和元素的插值函数完全确定了元素内 部场变量的特性。一个问题用有限元素表示后，场变量的 节点值变成了新的未知数，一旦求出这些未知数，则插值 函数便确定了整个元素集合体的场变量。 显然，解的性质和近似程度不但取决于所采用的元素 的大小和数目，而且还取决于所选择的插值函数。插值函 数的选择不是任意的，通常选取的函数，要使场变量或其 导数在通过相邻元素的边界时是连续的；同时插值函数必 须是针对每个元素来定义的。 有限元法的一个重要特点是把各个单独的元素集合在 一起表示整个问题之前，能够为单独元素的解建立公式， 这使得有限元法不同于其他的近似数值方法。
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能量平衡法：取决于系统的热平衡或机械能的平衡。 象加权余数法一样不需要应用变分法原理。因为极大地扩 大了有限元素法可能应用的范围。 不论用哪种方法求解元素特性，采用有限元法求解连 续介质问题，总是按照一定步骤进行的，基本上可分成以 下五个步骤： 1. 连续介质离散化 把连续介质或求解区域划分成很多元素。有各种不同 形式的元素可供采用，并且在同一个求解区域中可以应用 不同形式的元素。
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2. 选择插值函数 指定每个元素上的节点，选择插值函数的类型以表示 每个元素上场变量的变化。通常是选择多项式作为场变量 的插值函数，因为多项式易于积分和微分。场变量及其导 数的大小在节点上可能是未知的。 3. 求出元素特性 有限元素模型一经建立（亦即，只要选择好元素和它 们的插值函数），就可准备确定表示各个元素特性的矩阵 方程，可以应用上面提到的直接法、变分法、加权余数法 和能量平衡法四种方法中的任一种。所采用的方法完全取 决于问题的性质。
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6.2.4 二维元素及其插值函数 在半导体器件模拟中常采用的二维元素是三节点三角形 元素。根据区域离散化的形式，可以允许 在每个元素上按 线性变化，如图6-4。与元素(e)相联系的 的三个节点值的 平面由下述方程描述。 (6.2.4) ) 通过 的三节 ( e ) ( x , y ) b1( e b2( e )x b3( e )y
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4
2
用线元素的节点值和节点坐标可以唯一地表示场变量 在元素上的线性变化。
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6.2.3 一维元素及其插值函数
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外节点
元素
2
外节点
1
( e ) ( x )
2
(a) 1
x1
(b)
x2
1
N1(x) x1 x2
(c)
N2(x) x1
(e ) ( ) ( ) () k ( x , y ) b1 e b2 e xk b3 e yk
图6-4 分片的线性求解曲面
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(6.2.5)
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6.2.4 二维元素及其插值函数 从而求得用元素节点的坐标和 的节点值来表示的常数
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6.2.2 元素和插值函数概述
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的全部均 (2). 在极限情况下当元素的尺寸缩小为零时， 匀状态及其偏导数(直至在有限元积分方程中出现的最高阶 (e) 的偏导数)都能用 来表示。
这些要求由菲利帕(Felippa)、克劳夫给出，并为奥利维 拉(Oliverira)所证明。前一个要求称为协调性要求，第二个 要求称为完备性要求。插值函数满足第一个要求的元素称为 协调元素或保续元素；满足第二个要求的元素称为完备元素。 采用以下的定义和记号表达场变量在元素交界面上连续 性的程度。如果场变量在元素交界面上是连续的就说有 c 0 连 续；此外，若一阶导数也是连续的，就说 c 1有连续；若二阶 导数也是连续的，就说有 c 2 连续等等。
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4. 集合元素特性以求得系统方程组 要求出由元素网格构成的模型所表示的整个系统的特 性，必须将表示元素状态的矩阵方程组加以合并，形成表 示整个求解区域或系统的矩阵方程组。 系统矩阵方程组包括所有的节点，其形式和一个单独元 素的方程组相同。在准备求解系统方程组以前，还要考虑 到问题的边界条件，并对系统方程组加以修正。 5.求解系统方程组 用有限元方法得到的系统方程组可能是线性的或是非 线性的，选用适当的求解方法，求解这组联立方程，即可 求得场变量在未知节点上的值。 由上所述，建立有限元方程的方法有多种，此处将着重 介绍其中应用最广泛的加权余数法。