圆的基本性质复习
《圆的基本性质》复习
(3)平分弦， (4)平分弦所对的优弧 ， (5)平分弦所对 的劣弧。“知二推三” 注意:当已知(2)(3)时,应对（3）中的弦增加“不是直
径”的限制.
垂径定理的几个基本图形
C
A
D
B
O
A
O
A
E
B
D
B
O
A
O
C
B
D
C C
在解决圆中求弦长、半径、弦心距、弓形的高时，
常构造以下直角三角形.
C
弦心距2+半弦2=半径2
AB与CD间距离是 1或7 cm.
O
典型例题：
1.如图，AB是⊙O的直径，AB=AC。 求证：DE=DC
证明：∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形
∴∠AED+∠B=180° ∵∠AED+∠DEC=180° ∴∠B=∠DEC ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∴∠C=∠DEC ∴DE=DC
2.（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦
学习反馈：
1.(2014·舟山)如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点
E，且CE=2，DE=8，则AB的长为( D )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形； ②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等； ③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直 径平分弦所对的两条弧.其中真命题的个数有
弓形的高=半径±弦心距
D
3.圆心角定理：在同圆或等圆中，如果圆心
角相等，那么它们所对的两条弧 相等 ， 所对的弦相等 ，所对的弦心距也 相等
几何语言：∵ ∴
∠AOB=∠COD
AB=CD A⌒B=C⌒D OE=OF
推论：在同圆或等圆中，（1）圆心角，（2）弧，
圆的有关性质基础复习
圆的有关性质基础复习一、知识要点：1.垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推理（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。
推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。
2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
3.圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。
4.圆的内接四边形多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
例如图1，连EF后，可得：∠DEF＝∠B，∠DEF＋∠A＝180°∴∠A＋∠B＝180°∴BC∥DA二、典型例题：D．5例题4图A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°例5． AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，∠CDB＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ）A ．3cm 2B ．3cmC ．D ．9cm 例 6.如图，BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．． （1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①___ ___，②___ _____ ，③_____ _，④____（不添加其它字母和辅助线）；（2）A ∠=30°，CD ，求O ⊙的半径r ．例7. 如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边；以AC 中点O 为圆心，AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连接AE 、AD 、DC ．（1）求证：D 是的中点； （2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD ；（3）若，且AC=4，求CF 的长．三、巩固提高：1．矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝3 5，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A. 点B 、C 均在圆P 外B. 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内C. 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外 D ．点B 、C 均在圆P 内2．如图，∠AOB ＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB的度数为( )A ．50° B ．80°或50°C ．130° D ．50° 或130°3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的度数等于( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°4．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB ＝10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是( )A ．16B ．10C ．8D ．65．在半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为( )A ．6B ．8C ．10D ．126．如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD ＝50°，则∠ACD ＝______度．7．如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB ＝CD ，已知CE ＝1，ED ＝3，则⊙O 的半径是_____________．8．如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，DC 的度数等于84°，CA 是∠OCD 的平分线，则∠ABD ＋∠CAO ＝________.9．如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE ＝5，BE ＝1，CD ＝4 2，则∠AED ＝___________.10．如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连接CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE ＝OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2＝CE ·AB .其中正确结论的序号是_______．11．如图，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上，且OA ＝3，AC ＝2， CD 平行于AB ，并与AB 相交于点M 、N .(1)求线段OD 的长；(2)若tan ∠C ＝12，求弦MN 的长．12．如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为2 3，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点(B 、C 两点除外)．(1)求∠BAC 的度数；(2)求△ABC 面积的最大值．13．●观察计算当a ＝5，b ＝3时， a ＋b 2与ab 的大小关系是__________________； 当a ＝4，b ＝4时， a ＋b 2与ab 的大小关系是__________________． ●探究证明如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝a ，BD ＝b .(1)分别用a 、b 表示线段OC 、CD ；(2)探求OC 与CD 表达式之间存在的关系(用含a 、b 的式子表示)．●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出a ＋b 2与ab 的大小关系是：_________________. ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．14．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD.(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ；(2)求证：P 是线段AF 的中点；(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝152，求tan ∠ABF 的值． .15．如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC ＝45°，等腰直角三角形DCE 中∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上．(1)证明：B 、C 、E 三点共线；(2)若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN ＝2OM ；(3)将△DCE 绕点C 逆时针旋转α(00<α<900)后，记为△D 1CE 1(图2)，若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段AD 1的中点，M 1N 1＝2OM 1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．四、课外作业：。
24.1 圆的基本性质复习上课用
E A
B
圆的B= COD
AB=CD AB=CD OE=OF （OE⊥AB于E OF⊥ CD于F）
推论
圆周角定理： 在同圆或等圆中,同弧或 等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所 对的圆心角的一半。
C C B A O
A
O
B
推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90圆周角所对的弦是直径。
练习1
3.如图所示，弦AB的长等于⊙O 的半径，点C在AmB上,则 ∠C= 30° 。
4.A、B、C是⊙O上三个点,连 接弧AB和弧AC的中点D、E的 弦交弦AB、AC于F、G，试判 断△AFG的形状.
练习2
在足球比赛场上,甲、乙两名对员互相配合向对方 球门MN进攻,当甲带球攻到球门前处时,乙已跟随 冲到B点.这里甲是选择自己攻门好,还是迅速将球 M 解: 传给乙,让乙射门?
. O
同心圆：圆心相同，半径不相等的圆。
D A E O C B
AB是直径 AB CD 圆的轴对称性： 推论1：CE=DE AC=AD （BC=BD）
A C
B D
E
垂径定理:AB是直径 AC=AD AB CD CD=DB
CE=DE
AB CD AB 是直径 推论2： CE=DE AC=AD ⌒ ⌒ AC=BD AB∥CD
3、A、C、D、E是⊙ O上的点，ＡＤ为⊙ O直径， 则∠Ａ＋∠Ｅ＋∠Ｄ＝ ＿＿＿
A
C
Ｅ O
P B D O A A O O O C
Ｄ
Ｂ
课时训练
1.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为 3 ，那么 这条弦所对的圆周角为 ( D ) A.60° B.120° C.45° D.60°或120° ２ . 过圆Ｏ内一点Ｍ的最大弦长为４厘米，最短弦长 为２厘米，则ＯＭ的长度为＿＿＿＿． ３ . 等边三角形ＡＢＣ的三个顶点在圆Ｏ上，Ｄ在Ａ Ｃ弧上，则∠ＡＤＣ＝＿＿＿＿． ４ . 在圆Ｏ中弦ＢＣ平行半径ＯＡ， ＡＣ、ＯＢ交于Ｍ，∠Ｃ＝２０° OＭ Ａ Ｃ 则∠ＡＭＢ＝——。 Ｂ
最新版：圆的基本性质复习
3.同圆或等圆中：圆心角、弧、弦三者关系定理
在同圆或等圆中，如果两个 圆心角 ，两条弧 、 两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各 组量都分别相等． 知“一”得“二”，用来
D O
证明：
∵ ∠COD =∠AOB 等角 ∴
︵ =︵ AB CD
AB=CD
等弧 等弦
C A
B
4.圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半．
F
G
C B2
●
A
B1
D
例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆
心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。5
B “垂线段OC”看做直径：
构造Rt△，运用 “勾股 定理及垂径定理”解题。
C半弦长4 A
弦心距3 半径
O
【例 2】
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修
人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径。如图所 示是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水 管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度
AB为直径
∠C= 900
3.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 E
F
A
●
O
∵AB=CD ∴∠E=∠F ∵∠E=∠F ∴AB=CD
C
B D 圆周角相等
弧相等
6.圆内接四边形性质定理
圆内接四边形对角和互为补角（1800）； 一个外角等于它的内对角。 C D
内对角
●
外角 E
O
A
B
∵四边形ABCD内接于圆O ∴∠A+∠C=∠B+∠D=1800
为4 cm，求这个圆形截面的半径．
圆的基本性质复习教案
圆的基本性质复习教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解圆的定义及基本性质；（2）掌握圆的直径、半径、弧、弦等基本概念；（3）学会运用圆的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力；（2）学会用圆的性质解释和解决几何问题。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对圆的性质的兴趣，体验数学学习的乐趣；（2）培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。
二、教学内容：1. 圆的定义及基本性质；2. 圆的直径、半径、弧、弦的概念及性质；3. 圆的周长和面积的计算公式；4. 圆的性质在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆的基本性质、直径、半径、弧、弦的概念及性质。
2. 教学难点：圆的周长和面积的计算公式的应用。
四、教学准备：1. 教学用具：黑板、粉笔、圆规、直尺、多媒体课件。
2. 学习材料：教材、练习题。
五、教学过程：1. 导入新课：（1）复习已学过的圆的定义及基本性质；（2）引导学生回顾圆的直径、半径、弧、弦的概念及性质。
2. 知识讲解：（1）讲解圆的周长和面积的计算公式；（2）通过实例演示圆的性质在实际问题中的应用。
3. 课堂练习：（1）针对本节课的内容，设计一些练习题，让学生独立完成；（2）选取部分学生的作业进行点评，讲解正确答案及解题思路。
4. 小组讨论：（1）布置一道综合性的几何问题，要求学生分组讨论、合作解决；（2）邀请部分小组分享他们的解题过程和答案。
5. 总结与布置作业：（1）对本节课的内容进行总结，强调圆的性质的重要性；（2）布置一些有关圆的性质的练习题，要求学生课后完成。
六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究圆的性质；2. 利用多媒体课件展示圆的性质和实际应用问题，增强学生的空间观念；3. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中巩固圆的性质；4. 鼓励学生开展小组合作学习，提高学生的团队协作能力。
九年级数学圆的基本性质的复习
一、知识点：
１、圆的基本元素: 圆心、半径 ２、圆的对称性: 圆的旋转对称性、圆是中心对称图形、圆 是轴对称图形. 3、圆周角、圆心角、弦、弦心距的关系: 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦、 所对弦心距的也相等. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦、两条 弦心距中有一组量相等,那么它 们所对应的其余各组量都分 别相等. 4、过三点的圆: (1)定理:不在同一直线上的三点确定一个圆. (2)三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点. 5、垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对 的两条弧.
４、垂径定理：_______________。
５、半圆或直径所对的圆周角都是_____。 ６、９０°的圆周角所对的弦是_____。
７、在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____， 都等于该弧所对的_____的一半，相等的圆周角所对 的____相等。
如图，在⊙O中，AB是⊙O 的直径，∠AOC＝130°， 则∠D的度数为_______．
（第 1 题）
如图，⊙I是△ABC的内 切圆，与AB、BC、CA 分别相切于点D、E、F， ∠DEF＝50°，求∠A的 度数．
(第 2 题)
如图，⊙O是△ABC的外接 圆，已知∠ACO＝30°， 求∠B的度数
第3题
Hale Waihona Puke 两圆有多种位置关系，图中不存在的 位置关系是 ． ⊙O的半径为3cm，点M是⊙O外一 点，OM=4 cm，则以M为圆心且与⊙O 相切的圆的半径是 ｃｍ．
如图，⊙O是⊿ABC的外接圆， 且AB=AC=13,BC=24， 求⊙O的半径．
A
B O
C
如图，⊿ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为 ⊙O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD． （1）求证：AE=BD； （2）若AC⊥BC，求证：AD+BD= 2 CD．
圆的基本性质复习课教案
圆的基本性质复习课教案seek； pursue； go/search/hanker after； crave； court； woo； go/run after第三章圆的性质1班级__________ 姓名___________复习内容：圆、圆的对称性、圆周角、确定圆的条件.复习要求：1.进一步理解圆及有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系,探索并了解点与圆的位置关系；2.探索圆的性质,了解圆心角与圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征.复习重点：圆的有关性质的应用复习过程：一.梳理有关知识点：基本概念：弧、弦、圆心角、圆周角确定圆的条件：对称性：基本性质垂径定理：圆圆心角、弧、弦的关系定理：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆心角是它所对的圆周角的推论：1同弧或等弧所的圆周角290°的圆周角所对弦是 ,二.基础练习训练：1. 小红的衣服被一个铁钉划了一个呈直角三角形的一个洞,其中三角形两边长分别为1cm和2cm,若用同色圆形布将此洞全部覆盖,那么这个圆布的直径最小应等于 .2.⊙O的半径为6㎝,OA、OB、OC的长分别为5㎝、6㎝、7㎝,则点A、B、C 与⊙O的位置关系是：点A在⊙O_____,点B在⊙O_______.OACB3. 如图,△ABC 的三个顶点都在⊙O 上,∠ACB=40°,则∠AOB=____,∠OAB=_____.4. 如图,方格纸上一圆经过2,5、-2,2、2,-3、6,2四点,则该圆圆心的坐标为A ．2,-1B ．2,2C ．2,1D ．3,1 三、典型例：例1：如图,要把破残的圆片复制完整, 已知弧上的三点A 、B 、C, 1用尺规作图法,找出弧ABC 所在圆的圆心O 保留作图痕迹,不写作法； 2设△ABC 是等腰三角形,底边BC = 10cm,腰AB = 6 cm,求圆片的半径R 结果保留根号；3若在2题中的R 的值满足n 〈R 〈mm 、n 为正整数,试估算m 和n 的值.例2 、1如图,在半径为5cm 的⊙O 中,圆心O 到弦AB 的距离为3cm,则弦AB 的长是_______ ; 弦AB 所对的圆心角的度数为___________. 2如图,在⊙O 中,弦AB ＝60,弓高CD ＝9,求圆的半径.3已知点P 是半径为5的⊙Ο内一定点,且PO=4,则过点P 的OA D BCOA D BCABC所有弦中,弦长可取到的整数值共有的条数是 . 例3 、如图所示,AB 是⊙O 的弦,半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F,•且AE=BF,请你找出弧AC 与弧BD 的数量关系,并给予证明．例4：如图,在⊙O 中,直径AB=10,弦AC=6,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.求BC 和AD 的长.例5 、如图,ABC △是⊙O 的内接三角形,AC BC =,D 为⊙O 弧AB 上一点,延长DA 至点E ,使CE CD =．1求证：AE BD =；2若AC BC ⊥,求证：2AD BD CD +=．O ACＥＡＯＤ Ｂ四、达标检：1．如图,BD 为⊙O 的直径,∠A=30°,则∠CBD 的度数为A ．30°B ．60°C ．80°D ．120°2．如图,AB 是⊙O 的直径,BC,CD,DA 是⊙O 的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD 等于 A ．100° B ．110° C ．120° D ．130°3．如图,⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G,∠EOD=40°,则∠DCF 等于 A ．80° B ．50° C ．40° D ．20°4、如图,点A 、B 、C 是⊙O 上的三点,∠BAC=40°,则∠OBC 的度数是________5．如图,已知圆心角∠AOB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 等于____________º.OAC BAB O COBACO BA CE D6.在半径为2的⊙O 中,弦AB 的长为22,则弦AB 所对的圆心角∠AOB 的度数是__________7．如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C,D 在⊙O 上,且AB=6,BC=3． 1求∠BAC 的度数；2如果OE ⊥AC,垂足为E,求OE 的长；3求∠ADC 的度数．课后作业： 一、选择题：1、半径为6的圆中,圆心角α为60°,则角α所对弦长等于• A ．42 B ．10 C ．8 D ．62、若一个直角三角形的两边分别为6和8,则这个直角三角形外接圆直径是B.10或4或83．在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧AB 与CD 关系是 A ．AB =2CD B ．AB >CD C ．AB <2CD D ．不能确定 4．如图,⊙O 中,如果AB =2AC ,那么 ．A ．AB=2ACB ．AB=AC C ．AB<2ACD ．AB>2AC 5．如图,AB 和DE 是⊙O 的直径,弦AC ∥DE,若弦BE=3,则弦CE=________．二、填空1．⊙O 的直径为10,弦AB =8,P 是弦AB 上一动点,那么OP 长的取值范围是____.第四题第五题2．如图,△ABC 为⊙O 的内接三角形,O 为圆心,OD ⊥AB,垂足为D,OE ⊥AC,•垂足为E,•若DE=3,则BC=________．3．如图,矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G,B,F,E,GB=8cm,AG=1cm,DE=2cm,则EF=_______cm ．4．如图,在⊙O 中,∠ACB=∠D=60°,AC=3,则△ABC 的周长为________． 5．在半径为1的⊙O 中,弦AB 、AC 分别是2、3,则∠BAC 的度数为_______________.6. 如图,已知△ABC 的一个外角∠CAM ＝120°,AD 是∠CAM 的平分线,且AD 的反向延长线与△ABC 的外接圆交于点F ,连接FB 、FC ,且FC 与AB 交于E , 1判断△FBC 的形状,并说明理由；2请探索线段AB 、AC 与AF 之间满足条件的关系式并说明理由.7.已知：⊿ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D,交AC 于E,1如图1,当∠A 为锐角时,连接BE,试判断∠BAC 与∠CBE 的关系,并证明你的结论；2如图1中的边AB 不动,边AC 绕点A 按逆时针旋转,当∠BAC 为钝角时,如图2CA 的延长线与⊙O 相交于E,请问：∠BAC 与∠CBE 的关系是否与1中你所得出的关系相同 若相同加以证明；若不同,请说明理由.FBCDMA E(2)(1)C。
圆的基本性质复习
Ⅱ、教学内容：圆的基本性质一、认识圆1、圆的定义 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所 形成的图形叫圆，固定的端点 O 叫圆心，线段 OA 叫半径。
由圆的定义可知： 各点到定点（圆心 O）的距离等于定长的点都在圆上。
d = r 就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。
d < r 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
d > r (d 为任意一点到圆心 O 的 距离，r 为圆 O 半径) 连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆; 圆上任意一条弦（不是直径）的两个端点分圆成大小不同的两条弧， 大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。
一个优弧对应一个劣弧！ 圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆 ； 能够重合的两个圆叫等圆 ； 两个面积相等的圆叫等圆 ； 周长相等的两个圆是等圆 ； 半径相等的两圆能重合，所以是等圆。
同圆指的是在同一个圆中。
显然，同圆或等圆的半径相等。
圆心和半径都确定了，那么这个圆就确定了。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
随堂练习：1.下列结论正确的是（ ） B.半圆是弧 C.一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优 A.长度相等的两条弧是等弧 弧 D.弧是半圆2.过已知点 A 且半径为 3 厘米的圆的圆心的轨迹是_________________________．3.过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（ A.1 定 4.下列说法正确的是（ A．弦是直径 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是弦且同一个圆中最长的弦 B.2） C.3 D.无法确）5.下列命题中是真命题的有（ ） ① 两个端点能够重合的弧是等弧； ② 圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分； ③ 过圆中一个定点可以有无数条弦，但直径只能有一条； ④ 半径相等的圆是等圆； ⑤ 直径是最大的弦； ⑥ 半圆所对的弦是直径； ⑦ 两条半径组成一条直径； ⑧ 圆上两点之间的部分叫做弦； ⑨ 过圆心的线段叫做圆的直径； ⑩ 直径的长度是半径的 2 倍. A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个6.下列说法中，不正确的是（ A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是弧 C．圆上的点到圆心的距离都相等）D．同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长7.矩形 ABCD 中，AB=8，BC=3 5 ，点 P 在边 AB 上，且 BP=3AP，如果圆 P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ A．点 B、C 均在圆 P 外 B．点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内 C．点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外 D．点 B、C 均在圆 P 内 ）8.如图，铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇，∠ QON=30° ，公路 PQ 上 A 处距离 O 点 240 米，如果火车行驶时，周围 200 米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路 MN 上沿 MN 方向以 72 千米/小时的速度行驶时，A 处受到噪音影响的时间为（ ）A.12 秒B.16 秒C.20 秒D.24 秒9.已知矩形 ABCD 的边 AB=6，AD=8．如果以点 A 为圆心作⊙ A，使 B，C，D 三点中在圆 内和在圆外都至少有一个点，那么⊙ 的半径 r 的取值范围是（ A ） A.6<r<10 B.8<r<10 C.6<r 8 D.8<r 1010.如图，在 Rt△ABC 中∠ ACB=90° ，AC=6，AB=10，CD 是斜边 AB 上的中线，以 AC 为 直径作⊙ O，设线段 CD 的中点为 P，则点 P 与⊙ 的位置关系是（ O ）A.点 P 在⊙ 内 OB.点 P 在⊙ 上 OC.点 P 在⊙ 外 OD.无法确定11.一个点到圆的最大距离为 11cm，最小距离为 5cm，则圆的半径为（ A.16cm 或 6cm B.3cm 或 8cm C.3cm） D.8cm能力提升：12.如图，点 A、D、G、M 在半圆 O 上，四边形 ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形，设 BC=a，EF=b， NH=c，则 a、b、c 的大小是 _____________________.二、过三点的圆由圆的定义可知：圆心到圆上任意一点的距离都相等（长度为该圆的半径） 。
九年级数学《圆的基本性质》知识点复习
九年级数学《圆的基本性质》知识点复习一、圆1、圆的定义在一个个平面内，线段oA绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点o叫做圆心，线段oA叫做半径。
2、圆的几何表示以点o为圆心的圆记作“⊙o”，读作“圆o”二、圆形的旋转1.图形的旋转定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。
生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等;另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。
图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。
会找对应点，对应线段和对应角。
三、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
四、圆心角把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角.因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧.圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.五、圆周角有关计算公式①L=n/180Xπr；②S=n/360Xπr²③扇形圆心角n=/。
④k=2Rsink=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。
六、圆内接四边形四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。
性质1、圆内接四边形的对角互补。
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
3、圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
七、正多边形重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系.难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系.[:学,科,网]正多边形的中心：所有对称轴的交点;正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
圆的基本性质知识点及经典例题总复习
圆的基本性质总复习（一）【知识理解】知识点一：圆的定义及相关概念1.圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做圆心,线段OP叫做圆的半径．记作“⊙O”.第二种定义：到定点O的距离等于定长r的点的集合．弦；直径；注：在同一个圆中，直径是最长的弦，一个圆中有无数条弦和直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示.半圆；优弧；劣弧；等弧2. 等圆：半径相等的圆.同圆：同一个圆.同心圆：圆心相同，半径不相等的圆.知识点二：点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，平面内任一点P到圆心的距离为d，则：⇔点在圆外⇔点在圆上⇔点在圆内知识点三：确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆知识点四：三角形的外接圆1、经过三角形的各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形．2、三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点注：一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形知识点五：圆的对称性1、圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线，每个圆都有无数条对称轴2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心知识点六：图形的旋转由一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点 都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形改变叫做图形的旋转变换，简称旋转．这个固定的点叫做旋转中心．（1）旋转的三要素旋转中心、旋转方向、旋转角度（2）图形旋转的性质①图形经过旋转所得的图形和原图形全等；②对应点到旋转中心的距离相等；③任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度．知识点七：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．垂径定理的逆定理：定理1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.总结： 如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.CD 是直径,CD ⊥AB, AM=BM,⌒AC =⌒BC ,⌒AD =⌒BD .知识点七：圆心角及圆心角定理圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.知识点八：圆周角及圆心角定理圆周角：顶点在圆上，两边都和角相交的角.注：同一条弦所对的圆周角有2个圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半.推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角●O A B C D M └推论2：90°的圆周角所对的弦是直径推论3：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.知识点九：圆的内接四边形圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．定理一：圆内接四边形的对角互补．定理二：圆内接四边形的外角等于它的内对角（内角的对角）．判定定理：（1）定理：如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）．（2）推论：如果四边形的一个外角等于它内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．知识点十：正多边形各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形．经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形．任何正多边形都有一个外接圆．性质：（1）正n边形的内角度数的和为：，正n边形每个内角的度数为：；（2）任意正n边形的外角度数的和都为360°，正n边形每个外角的度数为；（3）正多边形是对称图形．当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．知识点十一：弧长及扇形的面积1. 弧长公式半径为R的圆，周长公式为C=2πR半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长为：l=2. 扇形面积公式半径为R的圆，面积公式为S=πR2扇形半径为R，圆心角为n°，扇形弧长为l，扇形面积为S，则：S= =【知识应用】（例题）例1.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。
圆的基本性质复习
圆的基本性质1、点与圆的位置关系：如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：d＜点P在圆；d r 点P在圆上；d＞点P在圆；2、（1）经过一个．．已知点能作个圆；（2）经过两个已知点A,B 能作个圆；过点A,B任意作一个圆,圆心应该在怎样的一条直线上？（3）不在同一条直线上的三个点一个圆经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆的；三角形的外心是的交点。
锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在。
2、圆是图形，它的对称轴是。
如图，直径CD垂直于弦AB，根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：∵CD是直径，CD⊥AB∴（文字描述）垂径定理：。
3、顶点在圆心的角叫做。
圆心角定理：在中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等。
在中，相等的圆心角所对两条弦的相等符号语言在⊙O中：∵∠AOB=∠COD∴(弦相等)(弧相等)(弦心距相等)4、圆心角定理的逆定理：在中，如果两个、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量。
5、顶点在，角的两边都和圆的角叫做圆周角圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的度数的一半。
已知一条弧所对的圆周角等于70°，则这条弧所对的圆心角是°。
一条50°的弧所对的圆心角是°，圆周角是°。
一条弧所对的圆心角的度数为95°，则这条弧是°，它所对的圆周角是°。
一条弧的度数是180°，则它所对的圆心角是°，圆周角是°。
推论：半圆（或）所对的圆周角是。
推论：90°的圆周角所对的弦是。
5、如果一个四边形的各个顶点在，那么这个四边形叫做，这个圆叫做。
性质：圆内接四边形的对角。
圆内接四边形的外角等于它的。
6、在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：公式变形：半径R= 圆心角的度数n=公式运用：（1）半径为3的圆弧的度数为100°，则这条弧长为；（2）半径为5的圆弧长为5π，则这条弧所对的圆心角的度数为；（3）已知圆弧的度数为60°，弧长为6π，则圆的半径为。
中考数学考点29圆的基本性质总复习(解析版)
圆的基本性质【命题趋势】圆的基本性质是中考考查的重点.常以选择题.填空题和解答题考查为主；其中选择题和填空题的难度不会太大.对应用、创新、开放探究型题目.会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题.进一步体现数学来源于生活.又应用于生活。
【中考考查重点】一、运用垂径定理及其推论进行计算二、运用圆周角定理及其推论进行计算三、垂径定理雪与圆周角定理结合考点：圆的有关概念圆的定义：在一个平面内.线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周.另一个端点A所形成的图形叫圆。
这个固定的端点O叫做圆心.线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O.读作圆O。
圆的特点：在一个平面内.所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置.半径长度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同.半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。
2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜.读弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧。
以A、B为端点的弧记作AB作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中.能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧.每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
1．（2021秋•顺义区期末）如图.在⊙O中.如果＝2.则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【答案】D【解答】解：如图.取弧AB的中点D.连接AD.BD.则＝2＝2.∵＝2.∴＝＝.∴AD＝BD＝AC．在△ABD中.AD+BD＞AB.∴AC+AC＞AB.即AB＜2AC．故选：D．2．（2021秋•平原县期末）下列语句.错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦【答案】B【解答】解：直径是弦.A正确.不符合题意；在同圆或等圆中.相等的圆心角所对的弧相等.B错误.符合题意；弦的垂直平分线一定经过圆心.C正确.不符合题意；平分弧的半径垂直于弧所对的弦.D正确.不符合题意；故选：B．3．（2021秋•玉林期末）如图.从A地到B地有两条路可走.一条路是大半圆.另一条路是4个小半圆．有一天.一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走.它不敢与猫同行（怕被猫吃掉）.就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同.那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定【答案】C【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：π•AB；设四个小半圆的直径分别是a.b.c.d.则a+b+c+d＝AB．则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π•AB．故猫和老鼠行走的路径长相同．故选：C．考点：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦.并且平分弦所对的两条弧。
2020初三数学：《第3章 圆的基本性质》章节知识点复习专题
【文库独家】第3章 圆的基本性质章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
圆的基本性质复习
圆的基本性质基础知识复习【学习目标：】1.复习巩固圆的基本概念2.熟练掌握圆的基本性质3.掌握垂径定理的内容，并熟练应用垂径定理解决有关问题【基本知识点：】一、圆的定义1.一个圆形水池的直径为10米，则它的面积为平方米．2．到点O的距离等于8的点的集合是____________________．3．已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆心角是．4．过圆内的一点（非圆心）有条直径．5.已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）A．4B．8C．10D．12二、垂径定理：1．⊙O的弦AB长为4cm，弦AB所对的圆心角为120°，则弦AB的弦心距为cm．2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为______题2 题4 题5 题63．已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm，EF＝16cm，则弦MN和EF之间的距离为_________cm．4．如图，MN为⊙O的直径，MN＝10，AB为⊙O的弦，已知MN⊥AB于点P，AB＝8，现要作⊙O的另一条弦CD，使得CD＝6且CD∥AB，则PC的长度为．5．如图所示，AB为圆O的直径，弦CD交AB于E，已知OE＝2，BE＝1，∠AEC＝45°，则CD＝．6．如图，在⊙O中，OA、OB为半径，连接AB，已知AB＝6，∠AOB＝120°，那么圆心O到AB的距离为．7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为．题7 题8 题98．如图，将半径为1cm的圆形纸片折叠后，圆弧AB总在圆心O的下方，那么折痕AB的长度d的取值范围cm．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（2，0），直线y＝x+与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长为．10．如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE＝DF．求证：△OEF是等腰三角形．11．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12．（1）求线段OD的长；（2）当EO＝BE时，求DE的长．四、圆周角、圆心角1．如图，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝．2．如图所示，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝45°，则∠BOC＝．3．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝度．4．如图，AB为⊙O的直径，△P AB的边P A，PB与⊙O的交点分别为C、D．若＝＝，则∠P的大小为度．题4 题5 题6 题75．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D．若∠A＝60°，∠ADC＝88°，则∠C的度数是．6．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是75°、45°，则∠1的度数为．7．如图，在⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE＝6，BC＝9，∠BAC+∠EAD＝180°，则⊙A的直径等于．五、圆内接四边形:1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．题1 题2 题3 题42．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，点B是弧AC的中点，如果∠ABC＝70°，那∠ADB＝．3．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．5．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE＝∠DAC．求证：DB＝DC．六、基础最值：1．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，过O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是．题1 题2 题3 题42．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O 于点D，则CD的最大值为．3．如图，在⊙O中，直径AB⊥GH于点M，N为直径上一点，且OM＝ON，过N作弦CD，EF．则弦AB，CD，EF，GH中最短的是．4．如图点A是半圆上一个三等分点（靠近点N这一侧），点B是弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，若⊙O半径为3，则AP+BP的最小值为．5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P 是直径AB上的一动点，若MN＝1，则△PMN周长的最小值为．题5 题6 实例1 题26．如图，P是矩形ABCD点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝．七、实际应用：1．如图，圆弧形拱桥的跨径AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为米．2．“圆材埋壁”是我国古代一数学著作（九章算术中的一个问题“今有圆材，理壁中不知大小，以据锯之，深一寸，锯道长一尺，向径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，其中1尺＝10寸，则直径CD长为寸．3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是．4．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），C（6，0），解答下列问题：（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，并写出D点坐标为；（2）连结AD，CD，求⊙D的半径（结果保留根号）．5．如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F）EF 为2米．求所在⊙O的半径DO．6．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12米，拱顶高出水面4米．（1）求这座拱桥所在圆的半径．（2）现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．。
24.1《圆的基本性质》复习(用)PPT课件
最新课件
5. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则
∠CAD=_2_5__°__；
6、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为
(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_20°_；
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例1
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
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课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
最新课件
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB 2
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
1
∵AO=BO， CO= 2 AB,
A O
C
∠BAC=
1 ∠BOC
2
B
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圆周角的性质(2)
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有 的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
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D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
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圆周角的性质:
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等, 都等于 900(直角) 。 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的 直径..
一条弦所对的圆心角只有一个，但所对的 圆周角却有两类，是互补的。
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与圆有关的角度计算
1.一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角
为
度。
2.⊙O中，一条弦的长度等于半径，则它所对的劣弧
圆的基本性质复习
第三章 圆的基本性质复习(三)【知识要点】1．在半径为R 的圆上，n 0的圆心角所对的弧长l 的的计算公式为180n R l π=2．由弧长公式可推出：180l n R π=，180l R n π= 3．如果扇形的半径为R ，圆心角为n 0，扇形的弧长为l ，那么扇形面积的计算公式为：213602n R S lR π== (注意：要根据已知条件选择适当的公式来求扇形面积)。
4．如果弓形的面积是S ，弓形所在扇形的面积是S 1，圆心角是n 0，扇形的两条半径与弓形的弦所成的三角形面积是S 2，则（1）当n ＝1800时，S=S 1；（等于半圆）（2）当n ＜1800时，S=S 1-S 2；（小于半圆）（3）当n > 1800时，S=S 1+S 2 （大于半圆）5．圆锥可以看做是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所成的图形，斜边旋转而成的曲面叫做面锥的侧面．无论转到什么位置，这条斜边都叫做圆锥的母线，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面如果记圆锥的高线长为h ，地面半径为r ，母线长为l ，则h 2+r 2=2l .6．圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长l ，弧长是圆锥的底面周长C =2лr ，侧面积S 侧=лr l 。
7．圆锥的侧面积与底面积的和叫圆锥的全面积（或表面积）．S 全=2rl r ππ+。
【基本题型】1. 己知扇形的圆心角为1200，半径为6，则扇形的弧长是（ ）A. 3πB. 4π C . 5π D . 6π2. 已知1000的圆心角所对弧长为5π cm ，则这条弧所在圆的半径为（ ）A. 7cm B 8cm C. 9cm D. 10cm3. 弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是（ )A.0360π B. 0180π C. 090π D.6004. 在⊙O 中，300的圆心角所对的弧长是圆周长的 ；300的圆周角所对的弧长是圆周长的 。
5. ⊙O 的周长是24π，则长为6π的弧所对的圆心角为 ，所对的圆周角为 。
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A． B． C．等于6D．随P点位置的变化而变化
9.（2012•宁波）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB= ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为.
D．6
3.若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，则优弧所对的圆周角为（ ）
A．45°
B．90°
C．l35°
D．270°
4.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
5.如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为（ ）
10.如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC=3，则DE=.
提高题:
（2012•上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出来自求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
9．（2012•宁德）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，∠D=30°．
（1）求∠A的度数；
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为E，交⊙O于点F，CF= ，求弧BF的长度．（结果保留π）
10.（2012•荆门）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）
如皋市实验初中九年级数学（上）期末复习
课题：圆的基本性质
1.下列结论正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧B．半圆是弧
C．相等的圆心角所对的弧相等D．弧是半圆
2.一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（ ）
A．16
B．10
C．8
A．35°
B．40°
C．50°
D．80°
6.如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为.
7．（2012•珠海）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，
那么sin∠OCE=.
8.（2012•南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．