刀补和插补计算原理
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插补和刀补计算原理
数控机床原理与系统
西工大机电学院
§2-1 概述
2. 分类
插补是数控系统必备功能,NC中由硬件完成, CNC中由软件实现,两者原理相同. 基准脉冲插补(脉冲增量插补) 逐点比较法 数字脉冲乘法器 数字积分法 矢量判别法 比较积分法 数据采样插补(单位时间)
数控机床原理与系统 西工大机电学院
§2-2 逐点比较法
第二章 插补和刀补计算原理
概述 逐点比较法 数字积分法 数字脉冲乘法器 数据采样插补法 其它插补方法 刀具半径补偿
插补技术是数控系统的核心技术
数控机床原理与系统
西工大机电学院
§2-1 概述
1. 插补的定义
加工直线的程序 N3G01X-45000Y-75000F150
数控机床原理与系统
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Fij < 0 时: Fi +1, j = Fi , j + 2 x i + 1 x i +1 = x i + 1 y j = y j Fij ≥ 0 时: Fi +1, j = Fi , j 2 x i + 1 x i +1 = x i 1 y j = y j Fij < 0 时: Fi , j +1 = Fi , j + 2 y j + 1 x i = x i y j +1 = y j + 1
2 2 Fi , j +1 = xi2 x0 + ( y j + 1) 2 y0 = Fij + 2yj +1
y j +1 = y j + 1
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xi = xi
§2-2 逐点比较法
数控原理与系统——插补和刀补计算原理
一、逐点比较法直线插补 y
2. 算法分析（第Ⅰ 象限）
偏差判别
直线上 直线上方
y j ye xi xe
y j ye xi xe
xe y j xi ye 0
o
xe y j xi ye 0
A(xe,ye) F>0 P(xi,yj) F<0
x
直线下方 y j ye
xi xe
xe y j xi ye 0
一、逐点比较法直线插补
2. 算法分析（第Ⅰ 象限）
终点比较
用Xe+Ye作为计数器，每走一步对计数器进行减1计算， 直到计数器为零为止。
总结
Fij xe y j xi ye
第一拍 判别 第二拍 进给 第三拍 运算 第四拍 比较
Fij 0
Fij 0
x
y
Fi1, j Fi, j ye
Fi , j1 Fi , j xe
1. 基本原理
在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不 断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据 比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小误差的 方向进给。其算法最大偏差不会超过一个脉冲当量δ。
每进给一步需要四个节拍： 偏差判别 坐标进给 新偏差计算
终点比较
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
1. 插补的定义
数据密集化的过程。数控系统根据输入的基本 数据（直线起点、终点坐标，圆弧圆心、起点、终 点坐标、进给速度等）运用一定的算法，自动的在 有限坐标点之间形成一系列的坐标数据，从而自动 的对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹 分析，以满足加工精度的要求。
要求：实时性好，算法误差小、精度高、速度均匀性好
Fi1, j Fi, j 2 xi 1 Fi, j1 Fi, j 2 y j 1
插补与刀补计算原理
B
现在，我们来计算逐点比较法的合成进给速度。
01
我们知道，逐点比较法的特点是脉冲源每产生一个脉冲，不是发向x轴（ ），就是发向y轴（ ）。令 为脉冲源频率，单位为“个脉冲/s”，则有
02
从而x和y方向的进给速度 和 （单位为mm/min）分别为
03
合成进给速度 为
下面举例说明插补过程。设欲加工第Ⅰ象限逆时针走向 的圆弧 (见图2—3)， 起点A的坐标是 ，终点E的坐标是 ，终点判别值： 加工过程的运算节拍见表2—2，插补后获得的实际轨迹如图2—3折线所示。 逐点比较法插补第Ⅰ象限直线和第Ⅰ象限逆圆弧的计算流程图分别见图2—3和图2—4。 图2-3 圆弧实际轨迹
设加工点P(xi, yj)在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差为
x坐标需向负方向进给一步(—Δx)，移到新的加工点P(xi, yj)位置，此时新加工点的x坐标值为xi-1，y坐标值仍为yj，新加工点P(xi+1, yj)的加工偏差为
01
03
02
设加工点P(xi, yj)在圆弧的内侧，则
那么，y坐标需向正方向进给一步(+Δy)，移到新加工点P(xi+1, yj)，此时新加工点的x坐标值仍为xi,y坐标值则改为yj+1，新加工点P(xi, yj+1)的加工偏差为
我们用SR1，SR2，SR3，SR4分别表示第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ象限的顺时针圆弧，用NR1，NR2，NR3，NR4分别表示第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ象限的逆时针圆弧，如图2—6（a）所示；用L1，L2，L3，L4分别表示第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ象限的直线，如图2—6（b）所示。由图2—6可以看出：按第Ⅰ象限逆时针走向圆弧NR1线型插补运算时，如将x轴的进给反向，即走出第Ⅱ象限顺时针走向圆弧SR2；将y轴的进给反向,即走出SR4；将x和y轴两者进给都反向，即走出NR3。此时NR1，NR3，SR2，SR4四种线型都取相同的偏差运算公式，无须改变。
第四章 插补、刀具补偿与速度控制
被积函数寄存器
根据上面几个公式，可以建立一 个数学模型——数字积分器。
Δt
＋ 累加器 Δx
数字积分器模型
例子：求在区间设被积函数为5(二进制101B)，取累加器 为3位二进制，容量为23=8。
101
101
101
101
101
101
101
101
) 000 )101 ) 010 )111 )100 ) 001 )110 ) 011 101
1 010
111
1 100
1 001
110
1 011
1 000
（2） 线段插补
如右图所示，线段位于第一象限，起点与 坐标原点重合，终点坐标A(Xe,Ye)。设有 一动点，以速度V在线段上匀速运动，其 在X、Y方向的分速度分别为Vx、Vy。则 动点在Δt时间内沿X、Y轴移动的微小位移 量为： ΔX=VxΔt
Δx
Δy
KX
i
m
e
KmX
e
Xe
Y
KY
i
m
K 1
e
Δt
m
n
＋
KmY
e
Ye
m 2
Y被积函数寄存器(KYe)
2
n
K 1
线段插补数字积分器
例3. 用数字积分法插补下图所示线段，起点坐标 O(0,0)，终点坐标为A(5,7)，写出插补该线段的过程。
数字积分插补实例
脉 冲 当 量
插补的任务就是在一段零件轮廓的起点和终点之间，根 据给定的进给速度要求，计算出若干个中间点的坐标值。
加工直线的程序
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第4章插补原理刀补原理与速度控制
Fi ,i 1 F X e
X e 1
Fi 1,i F Ye F (Ye )
Ye 1
插补前将坐标数据符号与数据本体分离，用数据本体进行插补计算，由 数据符号确定坐标进给方向。
插补工作寄存器：
FR：偏差函数寄存器 LR：X坐标偏差函数递推项寄存器，存放（－Ye） MR：Y坐标偏差函数递推项寄存器，存放Xe LC： X坐标终点判别寄存器，存放X坐标应输出的脉冲总数 MC：Y坐标终点判别寄存器，存放Y坐标应输出的脉冲总数 RL： X坐标进给方向寄存器，存放X坐标数据的符号 RM：Y坐标进给方向寄存器，存放Y坐标数据的符号
贵州大学机械工程学院
第四章 插补，刀具补偿与速度控制
贵州大学机械工程学院
第一节 插补原理与程序设计 一. 插补及其算法 插补的任务就是在一段零件轮廓的起点和终点之间，计算 出若干个中间点的坐标值。 直线和圆弧是构成工件轮廓的基本线条，大多数CNC系统 都具有直线和圆弧的插补功能。高档CNC系统还具有抛物 线、螺旋线等插补功能。
若F<0, 下一步应该向+Y方向走，则： Fi,i1 X eYi 1 X iYe X eYi X iYe X e F X e Yi 1 Yi 1
插补开始
逐点比较法直线插补，每进一步需要四个节拍： 偏差判别 1，偏差判别； 2，坐标进给； 3， 偏差计算；4， 终点判别
动点沿OA匀速移动， V，Vx，Vy, 均为常数。
V V V X Y K OA X e Ye
X Vx t KX e t, Y Vy t KYe t,
直线积分插补近似表达式
X ( KX e )t , Y ( KYe )t
i 1 i 1 m m
插补原理与刀具补偿原理
偏差判别
进给输出
偏差计算
终点判别
终点退出
逐点比较法工作过程图
四个工作节拍： 偏差判别——判别当前动点偏离理论曲线的位置。 进给控制——确定进给坐标及进给方向。 新偏差计算——进给后动点到达新位置，计算出
新偏差值，作为下一步判别的依据。 终点判别——查询一次，终点是否到达。
特点
适用场合：交、直流伺服电机为伺服驱动系统的闭 环，半闭环数控系统，也可用于以步进电机为伺服 驱动系统的开环数控系统，而且，目前所使用的 CNC 系统中，大多数都采用这类算法最典型的代表，它是一种 最早的插补算法，该法的原理是：CNC系统在控 制过程中，能逐点地计算和判别运动轨迹与给定 轨迹的偏差，并根据偏差控制进给轴向给定轮廓 靠扰，缩小偏差，使加工轮廓逼近给定轮廓。
1．第1象限直线插补基本Y 原理
A(Xa,Ya) E （Xe、Ye）
B(Xb,Yb) C(Xc,Yc)
o X
如图所示，定直线起点为坐标原点，终点坐标为E（Xe、Ye）, 动点坐标为I （Xi、Yi）,若每运动一步在X或Y方向进给一个 脉冲当量，则插补过程如下：
（1）偏差判别 直线的一般表达式为： Y / X = Ye / Xe（可改写为YXe －XYe=0）
Y
A(Xa,Ya) E （Xe、Ye）
B(Xb,Yb) C(Xc,Yc)
o X
（3）新偏差计算
Y
设任意动点I （Xi、Yi）的
F值为Fi,i,且
Fi,i=YiXe －XiYe
若Fi≥0沿+X方向进给一步，有
Xi+1=Xi+1 , Yi+1=Yi
则 Fi+1= Yi+1Xe －Xi+1Ye
插补与刀补计算原理
Xi|、坐标|Yi|、总步数Σ＝＋|Ye－Ys|在内存中均占用三个字节，
并且F采用补码形式，其余数据采用绝对值或正数，地址分配 情况如表3-6所示。
14603C
表3-6 第Ⅰ象限逆圆插补参数地址分配表
14603C
(三)插补实例
例3-4设将要加工的零件轮廓为第Ⅰ象限逆圆，如图3-9所示， 圆心在坐标原点，起点为S(4，3)，终点为E(0，5)，试用逐点比
4。该圆弧插补运算过程如表3-11所示，插补轨迹如图3-25的折
线所示。
14603C
表3-11 DDA圆弧插补运算过程
14603C
四、数字积分法插补的象限处理
表3-12 DDA法插补不同象限直线和圆弧情况
14603C
五、提高数字积分法插补质量的措施
(一)合成进给速度 (二)进给速度均匀化的措施
14603C
(三)插补实例
例3-6设有第Ⅰ象限逆圆弧，如图3-25所示，起点为S(4，0)，终 点为E(0，4)，且寄存器位数N=3。试用DDA法对该圆弧进行插
补，并画出插补轨迹。
解 插补开始时，被积函数寄存器初值分别为 JVX＝Ys＝0，J
VY＝Xs＝4，终点判别寄存器JΣX＝|Xe－Xs|＝4，JΣY＝|Ye－Ys|＝
图3-17 合成进给速度 与轴速度的关系
14603C
四、逐点比较法合成进给速度
图3-18 合成进给速度变化曲线
14603C
第三节 数字积分法 一、数字积分法基本原理 二、数字积分法直线插补
三、数字积分法圆弧插补
四、数字积分法插补的象限处理 五、提高数字积分法插补质量的措施
14603C
一、数字积分法基本原理
→NR2→NR3→NR4→NR1→…；顺圆过象限的转换顺序是：SR1→
插补原理与刀具补偿原理
件轮廓之间的偏差,作为下一步偏差判别的依据。
第四节拍——终点判别。刀具每进给一步均要判别刀具是否到达被 加工工件轮廓的终点，若到达则插补结束，否则继续循环，直至终 点。 第三节 数字积分法
第三章 插补原理与刀具补偿原理
第四节 数据采样插补法
第五节 刀具补偿原理
第一节 概
述
一、脉冲增量插补
二、数据采样插补
二、大板式结构和功能模块式结构 三、开放式数控系统结构 四、ＳＩＥＭＥＮＳ ８０２Ｄ数控系统的硬件组成与连接
一、单微处理器和多微处理器结构
(一)单微处理器结构
•当控制功能不太复杂、实时性要求不太高时，多采用单微处理器结构。其特点是通过一个ＣＰ １）只有一个ＣＰＵ，采用集中控制、分时处理的方式完成各项控制任务。 ２）虽然有两个或两个以上的ＣＰＵ，但各微处理器组成主从结构，其中只有一个ＣＰＵ能够控 制系统总线，占有总线资源。而其他ＣＰＵ不能控制和使用系统总线，它只能接受主ＣＰＵ的控 制，只能作为一个智能部件工作，处于从属地位。 ３）数据存储、插补运算、输入／输出控制、显示和诊断等所有数控功能均由一个ＣＰＵ来完成， ＣＰＵ不堪重负。因此，常采用增加协ＣＰＵ的办法，由硬件分担精插补，增加带有ＣＰＵ的Ｐ Ｃ和ＣＲＴ控制等智能部件减轻主ＣＰＵ的负担，提高处理速度。
间的偏差,作为下一步偏差判别的依据。
第四节拍——终点判别。刀具每进给一步均要判别刀具是否到达被加工工件
轮廓的终点，若到达则插补结束，否则继续循环，直至终点。
一、逐点比较法第一象限直线插补 二、逐点比较法第一象限逆圆插补 三、象限处理 四、逐点比较法进给速度
一、逐点比较法第一象限直线插补
1.基本原理
第二节 逐点比较法
图3-1 逐点比较法 工作流程图
数控插补
运动轨迹的插补原理
三、逐点比较法
逐点比较法又称区域判别法或醉步式近似法。
原理：被控制对象在数控装置的控制下，按要求的轨
迹运动时，每走一步都要和规定的轨迹比较，根据 比较的结果决定下一步的移动方向。 逐点比较法可以实现直线和圆弧插补。 逐点比较法的应用对象主要在两坐标开环CNC系统 中应用。
(一) 原理
第1章 数控插补与刀补计算原理
学习目标
• 数控插补 • 刀补计算原理
1.1 数控插补 -- 运动轨迹的插补原理
1、运动轨迹插补的概念 在数控加工中，一般已知运动轨迹的起点 坐标、终点坐标和曲线方程，如何使切削加 工运动沿着预定轨迹移动呢？
数控系统根据这些信息实时地计算出各个 中间点的坐标，通常把这个过程称为“插 补”。 插补实质上是根据有限的信息完成“数据 点的密化”工作。
1)判别函数及判别条件 • 若P点在圆弧上，则： • X2＋Y2=R2 • 若P点在圆弧外，则： • X2＋Y2>R2 • 若P点在圆弧内，则： • X2＋Y2<R2 定义F= X2＋Y2－R2为偏差函数， 则 可得到如下结论： • F=0 动点在圆弧上 • F> 0 动点在圆弧外 • F<0 动点在圆弧内
i=3<N
i=4<N i=5<N i=6<N i=7<N i=8=N 到达 终点
Y A(5,3) 8
5
4 3
6
7
2
O 1
X
逐点比较法直线插补轨迹
4、四个象限直线插补进给方向
以II象限为例，直线起点在原点O，
终点位于A（-Xe,Ye）。 设点P（-Xi，Yi）为任一动点。 F≥0时向-X轴进给， Xi+1= Xi +1 , Yi+1 = Yi Fi+1= XeYi – Xi+1Ye= XeYi – (Xi+1)Ye = XeYi – XiYe - Ye=Fi – Ye F<0时向+Y轴进给， Xi+1= Xi, Yi+1 = Yi +1 Fi+1= XeYi+1 – XiYe= Xe(Yi+1) – XiYe = XeYi – XiYe +Xe=Fi + Xe
第2-2讲数控机床的刀具补偿原理
直线插补 以第一象限直线段为例。用户编程时，给出要加工直线 的起点和终点。如果以直线的起点为坐标原点，终点坐 标为（Xe,Ye），插补点坐标为（X，Y），如右图所 示，则以下关系成立： 若点（X，Y）在直线上，则 XeY - YeX = 0 若点（X，Y）位于直线上方，则Xe Y- Ye X>0 若点（X，Y）位于直线下方，则 XeY - Ye X<0 因此取偏差函数F = XeY - YeX。 事实上，计算机并不善于做乘法运算，在其内部乘法运 算是通过加法运算完成的。因此判别函数F的计算实际 上是由以下递推迭加的方法实现的。 设点（Xi，Yi）为当前所在位置，其F值为F = XeYi YeXi 若沿+X方向走一步，则Xi+1=Xi+1 Yi+1=Yi Fi+1=XeYi+1—Ye Xi+1=XeYi—Ye(Xi+1) = Fi—Ye 若沿+Y方向走一步，则Xi+1=Xi Yi+1=Yi+1 Fi+1=XeYi+1—Ye Xi+1=Xe(Yi +1)—YeYi= Fi+Xe 由逐点比较法的运动特点可知，插补运动总步数n = Xe+Ye，可以利用n来判别是否到达终点。每走一步使 n = n - 1，直至n = 0为止。终上所述第一象限直线插补 软件流程如图下图所示。
节拍 起始 1
2
3 4 5 6
F1 = -2 < 0
F2 = 2 > 0 F3 = 0 F4 = -2 < 0 F5 = 2 >0
+Y
+X +X +Y +X
第三章 插补原理与刀具补偿原理
第二节 逐点比较法
偏差计算 设在某加工点处N（Xi，Yi），有Fi≥0时，为了逼近给定轨迹，应沿＋X方向进 给一步，走一步后新的坐标值为
Xi+1＝Xi+1, Yi+1＝Yi
新的偏差为
Fi+1＝Yi+1Xe－Xi+1Ye＝Fi－Ye
若Fi＜0时，为了逼近给定轨迹，应向＋Y方向进给一步，走一步后新的坐标值为
规模的数字电路——现场可编程逻辑门阵列(Field Programmi
ng Gate Array缩写为FPGA)来实现该插补功能，从而克服了 原来硬件插补线路灵活性差的缺点，同时保留了硬件电路处理
速度快的优点。
第二节 逐点比较法
&
别存放X轴终点坐标值Xe；Y轴终点坐标值Ye； 以及每次偏差计算的结果。而J∑是个减法寄
Xi+1＝Xi, Yi+1＝Yi ＋1
新的偏差为
Fi+1＝ Yi+1Xe－Xi+1Ye ＝ Fi＋Xe
可见、偏差函数F的计算只与终点坐标Xe、Ye有关，与动点点判别方法： （1）总步长法 把每个程序段中的总步数求出来，即n=xe+ye ,每走一步， 进行n-1，直到n=0时为止。 （2）终点坐标法 每走一步判断最大坐标的终点坐标值（绝对值）与该坐标 累计步数坐标值之差是否为零，若等于零，插补结束。
应的位置增量数据(如ΔX、ΔY)，再与采样所获得的实际位置反馈值 相比较，求得位置跟踪误差。位置伺服软件就根据当前的位置误差 计算出进给坐标轴的速度给定值，并将其输送给驱动装置，通过电 动机带动丝杠和工作台朝着减少误差的方向运动，以保证整个系统 的加工精度。由于这类算法的插补结果不再是单个脉冲，而是一个 数字量，所以，这类插补算法适用于以直流或交流伺服电动机作为 执行元件的闭环或半闭环数控系统中。
插补和刀补计算原理
刀具补偿计算是数控加工中的一项重要 技术，用于补偿刀具的尺寸、形状和位 置误差，提高加工精度和表面质量。
刀具补偿计算包括刀具长度补偿、刀具半 径补偿和刀具角度补偿等，分别用于补偿 刀具长度、半径和旋转角度的误差。
刀具补偿计算基于刀具路径数据和刀具参 数，通过计算刀具实际轮廓与工件理论轮 廓之间的偏差，实现对刀具路径的修正。
刀具补偿计算的优缺点
优点
通过刀具补偿计算，可以减小加工误差，提高加工精度和表面质量。同时，还可以通过补偿刀具磨损、热变形等 因素，延长刀具使用寿命。
缺点
刀具补偿计算需要精确的刀具参数和加工数据，如果数据不准确或误差较大，会导致修正后的刀具路径偏离实际 加工需求，影响加工质量和效率。此外，对于复杂零件的加工，需要进行复杂的刀具补偿计算，对计算资源要求 较高。
缺点
多项式插补可能过于复杂，需要选择合适 的多项式形式和系数，否则可能导致过拟 合或欠拟合。此外，对于大规模数据集， 多项式插补可能计算量大，效率较低。
04
样条插补
样条插补原理
插补原理概述
样条插补是一种数学方法，通过 构建多项式曲线来平滑数据点之 间的空隙，从而生成连续的插值
曲线。
多项式选择
在样条插补中，通常选择多项式函 数作为插值函数，例如二次样条、 三次样条等。
插补算法基于数学原理，通过构建多项式函数来 逼近给定的数据点，从而生成平滑的曲线或曲面。
2
多项式插补通过选择合适的多项式函数形式，如 线性、二次、三次等，来适应不同的插补需求。
3
插补过程中，需要确定多项式的系数，通常采用 最小二乘法或其他优化算法来求解。
多项式插补的应用场景
数据平滑处理
01
在数据分析中，多项式插补可用于对离散数据进行平滑处理，
数控技术11第三章 插补计算原理、刀具半径补偿与速度控制
速
f
度
与 加
调节时间 t延= t - t程=（2-0.1）ms =1.9 ms
减
速 控
用软件编一程序实现上述延时，即可达到进给速度控
制 制的目的。
19
下午12时52分
数控技术
（2）中断控制法 由进给速度计算出定时器/计数器
控
制
18
下午12时52分
数控技术
例3-9 设某数控装置的脉冲当量 0.01mm ，插补程序运
行时间 t 程 0.1ms ，若编程进给速度F 300mm/ min ，求调节
第 时间 t 延。
七
节 解: 由 v 60f 得
f v 300 500
60 60 0.01
（1/ s）
进 给
则插补时间间隔 t 1 0.002 s 2ms
数控技术
rx
r cos
r
xe R
第
ry
r sin
r
ye R
六 点的坐标为
节 刀 具 半
xe
xe
rx
xe
r
xe R
ye
ye
ry
ye
r
ye R
径
刀偏计算的方法很多，常用的有：DDA法、极坐标法、逐点比较
补 偿 原
法（又称刀具半径矢量法，或r 2 可适用于各种插补方法。
法）、矢量判断法等。矢量判断法
3. 编程轨迹转接类型
数控技术
1）直线与直线转接
2）直线与圆弧转接
第
3）圆弧与直线转接
六
节
4）圆弧与圆弧转接
刀 具
根据两个程序段轨迹矢量的夹角（锐角、钝角）
和刀具补偿的不同，过渡类型分类：
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return finish
刀具半径补偿的分类
B刀补
程序的运行是读 一段，走一段，不知 下一段对本段的影响， 插入圆弧过渡。需要 编程人员分析过渡情 况，编程处理过渡情 况。
return finish
刀具半径补偿的分类
C刀补
在计算本程序段刀 具中心轨迹时，除了读入本 程序段编程轮廓轨迹外，还 提前读入下一程序段编程轮 廓轨迹，然后根据他们之间 转接的情况，直接计算出正 确的本段刀具中心轨迹，增 加直线和圆弧过渡。
return finish
C刀补轨迹过渡方式和转接类型
程序段间过渡方式
直线与直线转接 圆弧与圆弧转接 直线与圆弧转接和圆弧与直线转接
程序段间转接类型
根据两个要进行刀补的编程轨迹在转接处工件内侧 （非加工侧）所形成的角度a的不同，可分为： 伸长型 (900≤a<1800)
缩短型(1800≤a<3600)
+y
f4=f3+xe=+4 ∑=7-1=6
+x
f5=f4-ye=0 ∑=6-1=5
+x
f6=f5-ye=-4 ∑=5-1=4
+y
f7=f6+xe=+2 ∑=4-1=3
+x ∑=3-1=2 ∑=3-1=2
+y
f9=f8+xe=+4 ∑=2-1=1
+x
f10=f9-ye=0 ∑=1-1=0
return finish
圆弧逐点比较法
圆弧插补（第Ⅰ象限逆圆弧）
NR1
偏差判别：
圆弧上 Xi2+yi2=x02+y02
(xi2—xo2)+(yi2-y02)=0
圆弧外 圆弧内
Xi2+yi2>x02+y02 Xi2+yi2<x02+y02
xi2—xo2)+(yi2-y02)>0 xi2—xo2)+(yi2-y02)<0
插入型（插入直线、插入圆弧） (00≤a<900)
return finish
刀具半径补偿举例
刀具
return finish
刀具过切
在启动阶段开始后的刀补状态中，如果存在有二段 以上的没有移动指令或存在非指定平面轴的移动指令，则 有可能产生进刀不足或进刀超差。
return finish
§3-7 插补计算
return finish
概述
插补的定义
数据密集化的过程，数控系统根据输入的基本数 据（直线起点、终点坐标，圆弧圆心、起点、终点坐标、 进给速度等）运用一定的算法，自动的在有坐标点之间形 成一系列的坐标数据，从而自动的对各坐标轴进行脉冲分 配，完成整个线段的轨迹分析，以满足加工精度的要求。
return finish
yb xe
R
return finish
C刀具半径补偿的计算
圆弧（NR1）
设圆弧C1的方程为：
x xr 2 y yr 2 R2
则圆弧C2的方程为：
则
xr'
xr
r
cos
xr
rxr R
yr'
yr
r
sin
yr
ryr R
B' xe' , ye'
Bxe , ye
A' x0' ,
Ax0, y0
C刀具半径补偿的计算
根据零件尺寸和刀具半径计算出刀 具中心的运动轨迹 直线 设L的方程为y=k1x+b1，并且直 线的终点为A（xe,ye）,起点为B（xb，yb) 求出L方程为：
则L’,L’’ 的方程分别如下：
y
yb xb
ye xe
x
ye xb
yb xe
R
y
yb xb
ye xe
x
ye xb
概述
分类 插补是数控系统必备功能，NC Nhomakorabea由硬件完成，CNC中由软件实现，两者原理相 同。
脉冲增量插补（基准脉冲插补）
❖ 逐点比较法 ❖ 数字积分法 ❖ 最小偏差法
数字增量插补
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逐点比较法
逐点比较法又称区域判断法或醉步法。广泛应用于两坐标轴联动的数 控机床中。 基本原理：
序号 偏差判别 坐标进给 新偏差计算 终点判别
1 f0=0 2 f1<0 3 f2>0 4 f3<0 5 f4>0 6 f5=0 7 f6<0 8 f7>0 9 f8<0 10 f9>0
+x
f1=f0-ye=-4 ∑=10-1=9
+y
f2=f1+xe=+2 ∑=9-1=8
+x
f3=f2-ye=-2 ∑=8-1=7
当fi,j<0时，向+y方向进给，即yi+1=yi+1， xi+1=xi
fi+1,j=yi+1xe-yexi+1=(yi+1)xe-yexi=fi,j+xe
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直线逐点比较法
➢ 终点判别
1. 总步长法，∑=|xe-x0|+|ye-y0|,每走一步，∑减1，直到减为零。 2. 投影法，∑中存入|xe-x0|，|ye-y0|中较大了一个。 3. 终点坐标法，∑x, ∑y分别存入|xe-x0|，|ye-y0|。 逐点比较法直线插补运算举例（第Ⅰ象限）
直线插补
算法分析（第Ⅰ象限） 偏差判别
Axe,ye Pxi,yi
偏差判别函数：
0在直线上
fij
yixe
yexi
0直线上方
0直线下方
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直线逐点比较法
算法分析
➢ 坐标进给
通常将fij>0和fij=0归于一类处理，即fij≥0
➢ 新偏差的计算
当fi,j≥0时，向+x方向进给，即yi+1=yi，xi+1=xi+1; fi+1,j=yi+1xe-yexi+1=yixe-ye(xi+1)=fi,j-ye
量，自动计算出刀具中心的运动轨迹。 分类
➢ 左刀补 ➢ 右刀补
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刀具半径补偿的执行过程
➢ 刀补建立 ➢ 刀补进行 ➢ 刀补撤销
实线是刀具中心的编程轨迹，虚线是刀具中心的实际轨迹。
刀具半径补偿只能在二维平面（G17、G18、G19）进行， 刀具半径值通过刀具号来指定。
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刀补和插补计算原理
❖§3-4 刀具半径补偿 ❖§3-7 插补计算
刀具半径补偿的概念
概述
刀具半径补偿的执行过 直线逐点比较法
程
圆弧逐点比较法
刀补的分类
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§3-4 刀具半径补偿
❖ 刀具半径补偿的概念
半径补偿的作用
➢ 更换刀具方便 ➢ 粗、精加工共用程序代码 ➢ 模具加工
实现方式 要求数控系统根据工件轮廓程序和刀具中心偏移
在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具与被 加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进给方向， 是刀具向减少误差的方向进给，其算法最大偏差不会超过一个脉冲当量
每进给一步，都需要以下四个节拍：
偏差判别
坐标进给 新偏差计算 终点判别
return finish
直线逐点比较法