柱面坐标系和球面坐标系求三重积分

z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习 试用三种坐标系算 分三 别重 计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切 系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为 影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
1、球面坐标
z
在球面坐,空 标间 系 P(点 x,中 y,z)用
(,,)表.示
其中 rsin
其中 x,y与,之间关系 : 为 z •P
xco ,y ssin ,zz
z
o
y
当 常数：以z轴为中心轴的圆柱面； x
•P
当 常数：过 z轴的半平面；
当z 常数：垂直于z轴的平面；
2、体积元素
当用三族坐标面来划分 (V ) :
,d;
z
dv
,d;
dz
zz,zzd;z
o
则体积元素
dvdddz
x d
d
(z):x2y22 zz2;0z2.
I
2 0
(zzd)dz
2
z
0
zdz
x
2z(2zz2)dz 0
4 . 3
z
2
1
o
z
y
解法2 柱面坐标系计算zdv (V)
z
2
x2y2(z1)21
•
xo面 y 上投 (影 ):x2 为 y21; xy
1
则z的范围:
112z112.
o•
y
2
1 1 1 2
则体积元素dv:
o d
d
y
dv sind d d x
dv2sinddd
(V) f(x,y,z)dv
f(si c n , o ss i sn i ,c n) o 2 ssd id n d . ( V )
3、化为累次积分
z 2,
( 1 ) 用 x sic n o ,y ssisn i,n
此0时 z R22.
z
•
•
y
( xy )
I
R2 2
[
zdz ]dd
( xy ) 0
2dR1(R22)d 1 R 4 .
0
02
4
思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三I重 积(x分 2y2)d,v (V) 其(中 V)由 zx2y2,zh所.围
解 (V )在 xo 面 y 投 (x)y 影 为:0 域 圆 h, 02
z
例3 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与
z 0所围.
分析 (V)为由半球x面 oy面 与所,围
y
故可用球面, 坐标
x
此 ,0 时 2 ,0 ,0R .
2
2
I d
/2
d
Rcos2 R4.
4
z
例4 计算三重I积分 (x2 y2 z2)dv, (V) 其中 (V)由z R2 x2 y2与
本讲主要内容
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
（1）三重积分在柱坐标系下的计算； （2）三重积分在球坐标系下的计算； （3）举例 ；
作业：P215 2, 3, 4.
4-2-1 柱面坐标系下三重积分的计算
1、柱面坐标 在直角坐标,系 当x中 oy面上点用极坐标表
对应空间P点 (x, y,z)可用(,,z)表示.
y
(V) f(x,y,z)dv(V)f(co ,ssin ,z)ddd.z
设 3、区 化(V为)域 f(累V(x次),:积y,在 分z)xdovy面 投(V 影 )f(域 (c为 ):o ,zssin ,•z)d z 2d d ,.z
（投影域用极坐标表示 ）
z1 (,)zz2(,). y
o
•
•
z1,
•
zcos
•
化被积函数为球坐标系
下形式 ( , );
1,
o
y
(2)任取 、 作一射 (V)于 线两 交 x点，
即得单积分：
(3)再对 、作积.分
(V) f(x,y,z)dv
2 d
1
2 d
1
1 2 ( ( , , ) )f(sic n o , ssisn i,n co )2 s sid n
x rc o ss ic n o , s
yrsin sin si.n
zcos
x
其中 0 ,02,0.
•P
o
z
r
P •
y
当 常数：中心在原点的球面；
当 常数：过 z轴的半平面； 当 常数：顶点在原点，中心z轴为 的圆锥面；
2、体积元素
当用三族坐标面去划分 (V ) :
z
d
dv
,d; sin
,d; ,d