一元二次方程压轴题含答案

一元二次方程

1．（北京模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2

＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2． （1）用含p 的代数式表示q ；

（2）求证：抛物线y 1＝x 2

＋px ＋q 与x 轴有两个交点；

（3）设抛物线y 1＝x 2

＋px ＋q 的顶点为M ，与y 轴的交点为E ，抛物线y 2＝x 2

＋px

＋q ＋1

的顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．

2．设关于x 的方程x 2

－5x －m 2

＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m 的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．

3．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2

＋2ax ＋a ＝0的两个实数根． （1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；

（2）求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．

4．（江苏模拟）已知关于x 的方程x 2

－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根

x 1、x 2，且x 1≤x 2． （1）求证：x 1≤1≤x 2

（2）若点A （1，2），B （1

2，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上

运动，问是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝5

4？若存在，求出点P 的坐标；若不存

在，请说明理由．

5．（福建模拟）已知方程组⎩

⎪⎨⎪⎧y 2

＝4x y ＝2x ＋b 有两个实数解⎩⎨⎧x ＝x 1y ＝y 1和⎩⎨⎧x ＝x 2y ＝y 2，且x 1x 2≠0，

x 1≠x 2．

（1）求b 的取值范围；

（2）否存在实数b ，使得1x 1＋

1

x 2

＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理

由．

6．（成都某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求

c 的取值范围．

7．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3a －1x 2＋y 2＝4a 2

－2a ＋2 ，求x y 的取值范围．

8．（福建某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2

＝a 2

(1－x 2

)（a ＞1）的两个实数根x 1、

x 2满足x 1＜x 2，求证：

－1＜x 1＜0＜x 2＜1．

（答案）

1．（北京模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2

＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2． （1）用含p 的代数式表示q ；

（2）求证：抛物线y 1＝x 2

＋px ＋q 与x 轴有两个交点；

（3）设抛物线y 1＝x 2

＋px ＋q 的顶点为M ，与y 轴的交点为E ，抛物线y 2＝x 2

＋px

＋q ＋1

的顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．

解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2

＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2 ∴22

＋2p ＋q ＋1＝0，整理得：q ＝－2p －5

（2）∵△＝p 2

－4q ＝p 2

－4(－2p －5)＝p 2

＋8p ＋20＝(p ＋4)2

＋4 无论p 取任何实数，都有(p ＋4)2

≥0

∴无论p 取任何实数，都有(p ＋4)2＋4＞0，∴△＞0 ∴抛物线y 1＝x 2

＋px ＋q 与x 轴有两个交点

（3）∵抛物线y

1

＝x2＋px＋q与抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的对称轴相同，都为直线

x＝－p

2

，且开口大小相同，抛物线y

2

＝x2＋px＋q＋1可由抛物线y1＝x2＋px＋q沿y

轴方向向上平移一个单位得到∴EF∥MN，EF＝MN＝1

∴四边形FEMN是平行四边形

由题意得S四边形FEMN＝EF·|－p

2|＝2，即|－

p

2

|＝2

∴p＝±4

2．（安徽某校自主招生）设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．

解：∵△＝52－4(－m2＋1)＝4m2＋21

∴不论m取何值，方程x2－5x－m2＋1＝0都有两个不相等的实根

∵x2－5x－m2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m2

∵|α|＋|β|≤6，∴α2＋β2＋2|αβ|≤36，即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ|≤36 ∴25－2(1－m2)＋2|1－m2|≤36

当1－m2≥0，即－1≤m≤1时，25≤36成立

∴－1≤m≤1 ①

当1－m2＜0，即m＜－1或m＞1时，得25－4(1－m2)≤36

解得－15

2

≤m≤

15

2

∴－15

2

≤m＜－1或1＜m≤

15

2

②

综合①、②得：－

152≤m ≤152

3．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2

＋2ax ＋a ＝0的两个实数根． （1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；

（2）求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．

解：（1）∵x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2

＋2ax ＋a ＝0的两个实数根

∴⎩

⎪⎨⎪

⎧a －6≠04a 2－4a (a －6)≥0 即⎩⎨⎧a ≠6a ≥0 假设存在实数a 使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立，则4＋(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0 ∴4＋

－2a a －6－a

a －6

＝0，得a ＝24

∵a ＝24满足a ≥0且a ≠6

∴存在实数a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立 （2）∵(x 1＋1)(x 2＋1)＝(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋1＝

－2a a －6＋a a －6＋1＝－a

a －6

∴要使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数，则只需a 为7，8，9，12

4．（江苏模拟）已知关于x 的方程x 2

－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根

x 1、x 2，且x 1≤x 2．

（1）求证：x 1≤1≤x 2

（2）若点A （1，2），B （1

2，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上

运动，问是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝5

4？若存在，求出点P 的坐标；若不存

在，请说明理由．

解：（1）由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，x 1x 2＝a