一元二次方程压轴题(含答案)

一元二次方程

1.（北京模拟)已知关于x 得一元二次方程x 2+px ＋q +1＝０有一个实数根为

2. (１)用含p 得代数式表示ｑ;

(2）求证:抛物线y 1＝x 2+ｐx +q 与x 轴有两个交点;

（3)设抛物线y 1=x ２

＋ｐx +q 得顶点为M ,与y 轴得交点为E ,抛物线ｙ2＝ｘ2+px ＋q ＋1得顶点为N ,与y 轴得交点为F ,若四边形FEM Ｎ得面积等于２,求p 得值.

2．设关于x 得方程x ２

－5x －ｍ２

＋1＝0得两个实数根分别为α、β,试确定实数ｍ得取值范围,使｜α|＋|β｜≤6成立.

３．（湖南怀化)已知x 1,x 2就是一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a ＝０得两个实数根.

（1）就是否存在实数a ,使-x １＋x １x ２=4＋ｘ2成立？若存在,求出a 得值；若不存在,请您说明理由;

(2)求使(x 1+１)(x 2＋1)为负整数得实数ａ得整数值.

4.(江苏模拟)已知关于ｘ得方程ｘ2-(a +ｂ+１）x ＋a ＝0（ｂ≥0)有两个实数根x 1、x ２,且ｘ1≤

ｘ2.

(1)求证:x 1≤1≤x 2 (2)若点A (1，２),B (＼F （1,２),1),C (1,1),点P (x 1，x 2)在△ＡBC 得三条边上运动,问就是否存在这样得点Ｐ,使a ＋b ＝5

4若存在，求出点P 得坐标;若不存在,请说明理由．

５.(福建模拟)已知方程组错误!有两个实数解错误!与错误!，且x １x 2≠0，ｘ1≠x 2. (1)求ｂ得取值范围；

(２）否存在实数b ,使得1

x １

＋错误!=１？若存在,求出b 得值;若不存在，请说明理由.

6．(成都某校自主招生)已知a ，b ,c 为实数,且满足a +b +c =0,abc ＝8,求ｃ得取值范围. ７.(四川某校自主招生)已知实数ｘ、y 满足错误! ，求x y 得取值范围.

8.（福建某校自主招生）已知方程(a ｘ＋1）2＝ａ2（1－x 2)(a >1)得两个实数根ｘ1、x 2满足x 1＜x 2，求证: -1＜x 1＜0＜x 2＜1.

(答案)

１.(北京模拟)已知关于ｘ得一元二次方程ｘ2＋px ＋q ＋１=0有一个实数根为２． (1)用含p 得代数式表示ｑ;

(2)求证:抛物线y 1＝x ２

＋p ｘ+q 与x 轴有两个交点;

(3)设抛物线y 1=ｘ2+px +q 得顶点为M ,与y 轴得交点为Ｅ,抛物线y 2＝x 2+px +q +1得顶点为N ,与ｙ轴得交点为Ｆ，若四边形ＦＥM Ｎ得面积等于２,求ｐ得值.

解:（1)∵关于x 得一元二次方程x 2＋px ＋q +1＝0有一个实数根为2 ∴２２

＋2p +q ＋１＝0，整理得:q =-２p -5

(2)∵△=p 2－４q ＝p ２－4（-2p －5)＝p ２

＋8p +20=(p +4）2+4 无论p 取任何实数，都有（ｐ+4）2≥0

∴无论ｐ取任何实数,都有(p ＋4)2＋４>0,∴△＞0

∴抛物线y 1＝ｘ２

+px +q 与x 轴有两个交点

(3)∵抛物线ｙ1=x 2＋px ＋ｑ与抛物线ｙ２＝x 2+px ＋q ＋1得对称轴相同,

都为

直线x=－ｐ

２

,且开口大小相同,抛物线y2＝x2＋ｐx＋q＋1可由抛物线ｙ１=x2+px+q沿y轴方向向上平移一个单位得到

∴EF∥MＮ,EF=MN＝１

∴四边形ＦEMN就是平行四边形

由题意得S四边形FＥＭＮ=EF·｜-错误!|=２，即|－错误!|=2

∴p=±4

2.(安徽某校自主招生)设关于x得方程ｘ２-5x－m２+1＝0得两个实数根分别为α、β,试确定实数m得取值范围，使｜α|＋|β|≤6成立.

解:∵△＝5２－４(-m２＋1)=4ｍ2＋21

∴不论m取何值,方程x2-5x-m2+1＝0都有两个不相等得实根

∵x２－5ｘ-m2＋1=０,∴α+β＝5,αβ=１－ｍ2

∵｜α｜+｜β|≤6,∴α２+β2＋2|αβ｜≤36,即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ｜≤36

∴2５－2(１－ｍ2)+2｜1-ｍ２|≤3６

当１－ｍ2≥0,即-1≤ｍ≤1时,25≤３6成立

∴－1≤m≤1①

当１-ｍ2＜0,即m＜－1或m>1时,得25-4（1-m2）≤36

解得-错误!≤m≤错误!

∴-15

2≤

ｍ＜－1或1

综合①、②得:－＼F(１５,2）≤m≤错误!

３.(湖南怀化)已知x１,x２就是一元二次方程(ａ-6)ｘ2＋2ax+a=０得两个实数根．

（１）就是否存在实数a,使-x1＋x1ｘ２＝4+x2成立?若存在,求出a得值;若不存在,请您说明理由;

（2）求使(x1+１)（x2+１）为负整数得实数a得整数值.

解：（1)∵ｘ１,x2就是一元二次方程（a－6)x2+2aｘ+a＝０得两个实数根

∴错误!即错误!

假设存在实数a使－ｘ１+ｘ1x2＝4＋x２成立,则４+（x1＋ｘ２）－x1x２=0

∴4＋错误!－错误!=0,得a=２４

∵ａ=24满足a≥0且a≠6

∴存在实数ａ=24,使－x1+x1ｘ2=4＋ｘ2成立

(2)∵(x１＋1)（ｘ2+１)=(x1＋x2)+x１x2＋１=＼F(－2a,ａ-６)+

a

a－６+

1=-错误!

∴要使(x１＋１)(x２＋1）为负整数,则只需a为7,８,9，12

4.（江苏模拟)已知关于x得方程x2-(a＋b+1)ｘ+a=0(b≥0）有两个实数根x1、x２，且ｘ1≤x2.

(1)求证：x1≤1≤ｘ2

(2）若点A（1,2),B(1

２

，1）,C(1,1)，点P（x1,ｘ2)在△ABC得三条边上运动，问就是否存在这样得点P，使a＋b＝错误!？若存在,求出点P得坐标;若不存在，请说明理由.

解:(1）由根与系数得关系得：x1＋x2=a＋b+1，x1x２＝a

∴a＝x１x2,b=x1＋x2-x１x2－1

∵b≥0,∴ｘ1＋x2－x1x２-１≥０

∴1－x1－x2+x1x2≤0

∴(1－ｘ１)(1－x2)≤0