高中数学必修五抛物线的定义知识点
抛物线基础知识(详尽版)
抛物线基础知识标准方程的求法：若已知对称轴在坐标轴上而不知开口方向，可简单设为22,ax y ay x ==，避免讨论。
1. 直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0(>p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有>∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 （1）相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21或2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21（2）中点),(00y x M , 2210x x x +=，2210y y y +=（3）点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-，2121212y y px x y y +=--a.在涉及斜率问题时，212y y p k AB+=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，0212121222y py p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB=，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）。
高中数学抛物线知识点(2)
mn
则
等于（
mn
） A.
1 B.
1
C. 2a D. a
2a
4a
4
uuur uuur 47、 设抛物线 y2 2 x 与过其焦点的直线交于 A, B 两点，则 OA ? OB 的值（ ）
A3
B3
C3
D3
4
4
48、 如图，已知 O 是坐标原点，过点 P (5, 0) 且斜率为 k 的直线 l 交
抛物线 y 2 5 x 于 M (x1, y1 ) 、 N ( x2 , y2) 两点 .
B
．6
C
37、过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于
．4
D
．3
A(x 1,y 1),B(x 2 ,y 2), 如果 x1+x2=6, 那么 |AB|=( )
A.8 B.10 C.6 D.4
38、设抛物线 x2 4 y 的焦点为 F , 经过点 P (1,2) 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点 , 又知点 P 恰好为 AB 的中
A．
B
．
C
．
D
．
x2 10、 已知椭圆 a2
y2 b2
x2 1 ( a＞ b＞ 0) ，双曲线 a2
y2 b2
1和抛物线 y2
2 px ( p＞ 0 ) 的离心率分别为
e3，则（
） A. e1e2 ＜e 3
B.
e1e2 ＝e3
C.
e1e2＞ e3
D.
e1 e2≥e3
e1、 e2、
抛物线曲线几何意义
11、动点 P 到点 F (2,0) 的距离与它到直线 x 2 0 的距离相等 , 则 P 的轨迹方程为 ____.
高二数学抛物线知识点总结归纳
高二数学抛物线知识点总结归纳抛物线是数学中一个重要的曲线，它在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
在高二数学学习中，我们学习了关于抛物线的基本知识和性质，下面对这些知识进行总结和归纳。
1. 抛物线的定义和特点抛物线是一个平面曲线，其定义可以通过以下公式表示：y =ax^2 + bx + c（其中a≠0）。
抛物线关于y轴对称，并且其开口方向由a的正负决定。
如果a>0，抛物线开口向上；如果a<0，抛物线开口向下。
抛物线上的所有点到其焦点的距离都相等，这个距离称为焦距。
2. 抛物线的顶点抛物线的顶点是其最高点或最低点，它的横坐标为 -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
顶点是抛物线的对称中心，即抛物线关于顶点对称。
3. 抛物线的焦点和准线抛物线的焦点是指平面内与抛物线上的任意一点的距离相等的动点P。
焦点的坐标可以通过计算得到，当抛物线开口向上时，焦点的坐标为（-b/2a，c - (b^2-1)/4a），当抛物线开口向下时，焦点的坐标为（-b/2a，c + (b^2-1)/4a）。
抛物线上的准线是与抛物线关于焦点对称的直线，它的方程为y = c - (b^2-1)/4a。
4. 抛物线的判别式对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，判别式D = b^2-4ac 可以用来判断抛物线的性质。
如果D>0，抛物线与x轴有两个交点，开口方向向上或向下；如果D=0，抛物线与x轴只有一个交点，开口方向向上或向下；如果D<0，抛物线与x轴没有交点，开口方向向上或向下。
5. 抛物线的对称性抛物线具有以下对称性质：- 抛物线关于y轴对称，即对于抛物线上的任意一点P(x, y)，都有P'(-x, y)在抛物线上。
- 抛物线关于x轴对称，即对于抛物线上的任意一点P(x, y)，都有P'(x, -y)在抛物线上。
6. 抛物线的平移和缩放对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，当把x替换为x-h（h 为任意实数）时，抛物线向右平移h个单位；当把y替换为y-k （k为任意实数）时，抛物线向上平移k个单位。
高中数学抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
高二数学《认识抛物线》知识点梳理
高二数学《认识抛物线》知识点梳理抛物线是高中数学中重要的曲线之一，具有广泛的应用。
在高二数学学习中，学生将进一步认识抛物线的性质和特点，掌握相关的基本知识。
本文将对高二数学中关于抛物线的知识点进行梳理和总结。
一、抛物线的定义与性质抛物线是平面上一组点的集合，满足到一个定点距离与到一条定直线距离相等的性质。
具体来说，设平面上一点P的坐标为(x, y)，定点F的坐标为(a, b)，定直线l的方程为y=kx+d，则点P在抛物线上当且仅当满足以下条件：(1) 点P到定点F的距离等于点P到定直线l的距离，即√[(x-a)²+(y-b)²]=|kx-y+d|。
(2) 抛物线开口的方向由二次项的系数a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、一般式与顶点式在解决实际问题中，常常需要将抛物线的方程转化成标准形式，即一般式或顶点式。
(1) 一般式：抛物线的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
通过一般式，可以直观地了解抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(2) 顶点式：抛物线的顶点式为y=a(x-h)²+k，其中(a, k)为抛物线的顶点坐标。
通过顶点式，可以直接获得抛物线的对称轴和顶点坐标。
三、焦点和准线抛物线的焦点和准线是抛物线的两个重要特点。
(1) 焦点：设抛物线的焦点为F，焦点到定直线l的距离为PF，焦距为p，抛物线的焦点公式为PF²=4pa，其中a为抛物线的二次项系数。
(2) 准线：设抛物线的准线为l，定直线l的方程为y=-p，其中p为抛物线的焦距。
抛物线上任意一点的横坐标与它到准线的距离的平方成正比。
四、抛物线的平移与缩放抛物线可以通过平移和缩放进行变换，从而得到不同的抛物线。
(1) 平移：对于抛物线y=ax²+bx+c，若将其沿x轴平移h个单位，沿y轴平移k个单位，则新抛物线的方程为y=a(x-h)²+k，平移后的抛物线与原抛物线具有相同的形状。
高三抛物线知识点归纳总结
高三抛物线知识点归纳总结抛物线是数学中的一种曲线，它在高三数学课程中占据着重要的地位。
掌握抛物线的相关知识，对于高三学生来说至关重要。
本文将对高三抛物线的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和应用这一概念。
一、抛物线的基本定义和性质抛物线是一条平面曲线，其定义为到一个定点距离与到一条直线距离相等的点的轨迹。
抛物线具有以下基本性质：1. 对称性：抛物线关于其对称轴对称。
2. 定点和定线：抛物线上的每个点到焦点的距离与到直线（准线）的距离相等。
3. 焦距和准线：焦距是定点到准线的距离，准线是焦点垂直平分切线的直线。
4. 弧长和面积：抛物线的弧长和面积计算可以通过积分得到。
二、抛物线的标准方程和一般方程抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
通过标准方程我们可以了解抛物线的开口方向、顶点坐标以及对称轴的方程。
一般方程是经过对标准方程的平移、旋转、伸缩等变换得到的，形式为 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0。
通过一般方程可以确定抛物线的具体形状和位置。
三、抛物线的性质和应用1. 高考重点：掌握抛物线的性质对于应对高考数学考试非常重要。
在高考中，抛物线相关的题目通常包括求焦点、顶点、对称轴、切线等问题，也可能涉及到与其他图形的求交点等问题。
2. 物理应用：抛物线在物理学中有广泛的应用，描述了自由落体、抛体运动等过程。
理解抛物线的性质和应用可以帮助我们更好地理解和解决与自由落体和抛体运动相关的物理问题。
3. 工程应用：抛物线的形状具有美学上的优点，因此在建筑和设计中经常被应用。
例如，拱桥的形状和抛物线非常相似，这是因为抛物线形状具有均匀分散应力的特点，是一种力学上最优的形状。
四、抛物线的图像绘制和计算1. 使用计算机软件绘制抛物线的图像可以辅助我们更好地理解抛物线的形式和变化规律。
常用软件如Geogebra、MATLAB等都可以绘制抛物线的图像。
高三数学知识点总结抛物线
高三数学知识点总结抛物线高三数学知识点总结：抛物线抛物线是数学中一个重要且有趣的曲线形状，它在几何、物理以及工程学等领域中都有广泛的应用。
而在高三数学学习中，对于抛物线的理解和掌握则显得至关重要。
本文将围绕着抛物线在高三数学中的重要性以及具体的知识点进行总结和探讨。
一、抛物线的定义和基本性质抛物线是指平面上任意一点到定点和定直线的距离相等的点的轨迹。
它的定义可以通过几何方法来解释，也可以通过二次方程来表达。
抛物线有很多基本性质，包括对称性、焦点和准线等。
对于一个标准形式的抛物线，其对称轴与x轴平行，并且与对称轴垂直的直线称为准线。
二、抛物线的图像和方程在高三数学中，我们通常会遇到求抛物线的方程或者给定方程画抛物线的问题。
要确定一个抛物线的方程，我们需要知道它的焦点和准线，以及一些已知的坐标点。
通过解方程组，我们可以找到抛物线的标准方程或顶点形式方程。
而给定一个方程，我们可以通过分析求解，找到抛物线的一些基本特征。
三、抛物线的性质和相关应用在高三数学学习中，我们需要掌握抛物线相关的一些重要性质，如最值、切线和法线、焦点和准线等。
这些性质可以帮助我们解决各种与抛物线相关的问题，比如最值问题、弦长问题、轨迹问题等。
在物理学中，抛物线也有广泛的应用，例如炮弹的抛物线轨迹、反射器的抛物线形状等。
四、抛物线与其他函数的关系抛物线和其他函数如直线、圆以及其他二次曲线等都有一定的联系和区别。
通过比较抛物线与直线的方程、圆与抛物线的交点等，我们可以深入了解抛物线与其他函数的不同特点。
在高三数学中，我们还需要掌握如何通过转化和组合函数，将抛物线与其他函数相互转化或者求解。
五、抛物线的实际问题解析在高三数学学习中，我们还需要解决一些实际问题，例如抛物线的拟合问题、抛物线的最值问题以及抛物线在工程学中的应用等。
通过结合实际问题，我们可以更好地理解和应用抛物线的知识，提高我们的数学建模和问题解决能力。
总之，掌握抛物线的相关知识点是高三数学学习中的重要任务。
高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线，定点F 不在定直线l 上。
它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e ）不同，当e ＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。
2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数p 的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：标准方程y px p 220=>() y px p 220=->() x py p 220=>() x py p 220=->()图形xy l PO Fx y lPOFy x F O P lyx FO P l范围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对称轴 x 轴y 轴顶点坐标 原点O （0，0）焦点坐标 ,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =离心率 e=1焦半径02p PF x =+02p PF x =-+02p PF y =+02p PF y =-+其中()00,P x y 为抛物线上任一点。
3. 对于抛物线()220y px p =≠上的点的坐标可设为200,2y y p ⎛⎫⎪⎝⎭，以简化运算。
4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线y px p 220=>()的焦点F 的直线与抛物线交于()()1122,A x y B x y 、，，直线OA 与OB 的斜率分别为12k k 、，直线l 的倾斜角为α，则有212y y p =-，2124p x x =，124k k =-，1cos pOA α=-，1cos p OB α=+，22sin pAB α=，12AB x x p =++。
高三抛物线的基本知识点
高三抛物线的基本知识点在高三数学学习中，抛物线是一个重要的知识点。
它不仅是高考重点，还在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍抛物线的基本知识点，包括定义、特点、方程和性质等方面。
一、抛物线的定义抛物线是平面解析几何中一种重要的曲线，它是一个二次曲线。
抛物线由一个定点（焦点）F和一条定直线（准线）l组成。
准线l 与焦点F之间的距离等于点P到焦点F的距离，即PF = PM。
其中P是抛物线上任意一点，M是准线上的垂足。
二、抛物线的特点抛物线具有以下特点：1. 对称性：抛物线是关于准线对称的，即抛物线上任意一点P关于准线l有相应的对称点P'。
对称轴是准线l，焦点F在对称轴上。
2. 焦点和准线的关系：焦点F到抛物线上任意一点的距离等于焦距，焦距等于焦点到准线的垂直距离。
在抛物线上，焦点F距离准线的距离相等，且等于焦距的一半。
3. 宽度和高度：抛物线的宽度取决于焦点到准线的距离，高度取决于焦点到顶点的距离。
三、抛物线的方程抛物线的标准方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
根据a的正负可以确定抛物线开口的方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
通过已知条件可以确定抛物线方程的具体形式。
例如，已知抛物线过定点P(x1, y1)，则可以将这个点带入标准方程，得到一个方程组。
通过解方程组可以求得a、b、c的值，从而确定抛物线方程。
四、抛物线的性质抛物线具有以下性质：1. 切线和法线：抛物线上任意一点处的切线方向与过此点的准线方向垂直。
法线方向与切线方向相互垂直。
2. 定点关系：抛物线上任意一点P到焦点F的距离等于焦点到准线的距离，即PF = PM。
3. 对称性：抛物线是关于准线对称的。
对称轴是准线，焦点F 在对称轴上。
4. 最值问题：抛物线的顶点是抛物线的最值点。
当抛物线开口向上时，顶点是最小值点；当抛物线开口向下时，顶点是最大值点。
除了以上介绍的基本知识点外，抛物线还与其他数学概念和定理密切相关，例如二次函数、平移变换、焦半径定理等。
高三网抛物线知识点
高三网抛物线知识点抛物线是高中数学中一个重要的曲线形状，具有许多独特的性质和应用。
在高三网的学习中，对于抛物线的理解和掌握是至关重要的。
本文将介绍一些关于抛物线的基本知识点，帮助你更好地理解和应用抛物线。
一、抛物线的定义和性质抛物线可以通过焦点和直线的定义来描述。
对于一个给定焦点F 和直线直径 L，抛物线定义为到焦点 F 的距离等于到直径 L 的距离的所有点的集合。
抛物线可表示为一般方程 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 分别是实数常数，并且a ≠ 0。
抛物线有许多重要的性质，包括：1. 抛物线是对称的：关于焦点 F 所在的直线是对称轴。
对称轴将抛物线分成两个相等的部分。
2. 焦点和直径的关系：焦点到对称轴的距离等于焦距的一半，即 PF = PD。
3. 焦点和顶点的关系：顶点是抛物线上的最高点，它位于抛物线的对称轴上。
4. 焦点和直线的关系：对于任意点 P(x, y) 在抛物线上，焦点到点 P 的距离等于点 P 到直线的距离。
二、抛物线的方程抛物线的一般方程为 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数。
根据 a 的取值不同，抛物线可以向上开口或向下开口。
- 当 a > 0 时，抛物线向上开口，顶点是最小值点。
- 当 a < 0 时，抛物线向下开口，顶点是最大值点。
为了确定抛物线的方程，我们需要知道顶点的坐标和另一个点的坐标。
顶点的坐标可以通过对称轴的方程和焦点的性质来获得。
另一个点的坐标可以通过代入其他已知的点的坐标，或通过焦点和顶点的距离关系来求得。
三、抛物线的应用抛物线在生活和工程领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的抛物线的应用示例：1. 摄像头：某些类型的摄像头使用抛物面镜头来聚焦光线，以实现更好的图像质量。
2. 物理运动：在物理学中，抛物线可以描述抛体的运动轨迹，例如投掷物体和抛出的诸如炮弹等。
3. 卫星通信：卫星通信天线往往是抛物面形状的，因为该形状可以确保信号被聚焦到一个点上，以提供更好的通信质量。
高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线，定点F 不在定直线l 上。
它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e ）不同，当e ＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。
2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数p 的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：其中()00,P x y 为抛物线上任一点。
3. 对于抛物线()220y px p =≠上的点的坐标可设为200,2y y p ⎛⎫⎪⎝⎭，以简化运算。
4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线y px p 220=>()的焦点F 的直线与抛物线交于()()1122,A x y B x y 、，，直线OA 与OB 的斜率分别为12k k 、，直线l 的倾斜角为α，则有212y y p =-，2124p x x =，124k k =-，1cos p OA α=-，1cos p OB α=+，22sin pAB α=，12AB x x p =++。
说明：1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
【解题方法指导】例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆224x y +=相交的公共弦长等于解析：设所求抛物线的方程为22y px =或22y px =- 设交点()()1122,A x y B x y 、，（y 1>0）则12y y +=1y =224x y +=得1x =±∴点(在22y px =上，(-在22y px =-上 ∴32p =或()321p =--，∴32p =故所求抛物线方程为23y x =或23y x =-。
数学高三抛物线知识点
数学高三抛物线知识点高中数学的抛物线是一种非常重要的曲线，它在生活中的应用广泛。
在数学高考中，抛物线相关的知识点也是必考内容之一。
本文将详细介绍高三数学中与抛物线相关的重要知识点，帮助高三学生系统地掌握这一部分内容。
一、抛物线的定义及性质抛物线是平面上一点到定直线（称为准线）和定点的距离之比（称为离心率）为常数的轨迹。
它的定义可以用数学方程表示为：y=ax^2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为常数，a决定了抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
1. 对称性：抛物线关于准线和对称轴对称。
2. 焦点与准线之间的关系：离心率e=焦距f/准线与焦点之间的距离。
3. 切线和法线：抛物线上任意一点的切线与过该点的准线垂直，且过该点的法线经过焦点。
二、抛物线的方程和图像1. 标准方程：当抛物线的顶点为原点时，抛物线的标准方程为y^2=4ax。
2. 顶点坐标：对于标准方程y^2=4ax，抛物线的顶点为(0,0)。
3. 对称轴和焦点坐标：对于标准方程y^2=4ax，抛物线的对称轴为x轴，焦点坐标为(F,0)，其中焦距F=a/2。
三、抛物线的平移和旋转1. 平移：抛物线的平移是指将抛物线上所有点的坐标同时增加或减少一个固定的数值。
设抛物线的标准方程为y^2=4ax，平移后的抛物线的方程为(y-k)^2=4a(x-h)，其中(h,k)为平移的距离。
2. 旋转：抛物线的旋转是指将抛物线绕原点或其他点旋转一定角度。
抛物线的旋转方程相对复杂，这里不再展开。
四、抛物线的焦点与准线问题1. 已知抛物线方程求焦点和准线：根据抛物线的标准方程或一般方程，可以求得焦点和准线的坐标。
2. 已知焦点和准线求抛物线方程：通过已知的焦点和准线的坐标，可以推导出抛物线的方程。
五、抛物线的应用抛物线在生活中有着广泛的应用，以下举几个例子：1. 投射问题：抛物线可以用来描述抛体的运动轨迹，比如抛物线的顶点表示抛体的最高点，焦点表示抛体的着地点。
高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程
高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。
它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e ）不同，当e ＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。
2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：其中为抛物线上任一点。
3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。
4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，，，，，，。
说明：1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
【解题方法指导】例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。
解析：设所求抛物线的方程为或设交点（y1>0）则，∴，代入得∴点在上，在上∴或，∴故所求抛物线方程为或。
例2. 设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。
解析：证法一：由题意知抛物线的焦点故可设过焦点的直线的方程为由，消去得设，则∵∥轴，且在准线上∴点坐标为于是直线的方程为要证明经过原点，只需证明，即证注意到知上式成立，故直线经过原点。
证法二：同上得。
又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。
于是，知三点共线，从而直线经过原点。
证法三：如图，设轴与抛物线准线交于点，过作，是垂足则∥∥，连结交于点，则又根据抛物线的几何性质，∴因此点是的中点，即与原点重合，∴直线经过原点。
高二数学抛物线的基本知识点
高二数学抛物线的基本知识点抛物线是数学中一个重要的曲线，具有很多有趣的性质和应用。
在高二数学学习中，学生需要掌握和运用抛物线的基本知识点。
本文将介绍抛物线的定义、标准方程、焦点、准线和顶点等概念，以及与抛物线相关的一些重要公式和性质。
一、抛物线的定义抛物线是一个平面曲线，其定义可以通过以下几种方式：1. 定义为动点和定点到定直线的距离相等的轨迹；2. 定义为二次函数的图像；3. 定义为依赖于平方的方程。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数且a≠0。
三、抛物线的焦点和准线1. 焦点：抛物线的焦点是一个特殊的点，可以通过焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦点到抛物线的准线的距离来定义。
焦点的坐标为（h，k）。
2. 准线：抛物线的准线是与焦点到抛物线上任意一点的距离相等的一条直线，准线的方程为x = h - p，其中p为焦距的绝对值。
四、抛物线的顶点抛物线的顶点是曲线上最低点或最高点的位置，顶点的坐标可以通过求解抛物线的顶点坐标公式得到：h = -b/2ak = c - b^2/4a五、抛物线的对称轴抛物线是关于对称轴对称的，对称轴的方程可以通过求解抛物线的标准方程进行推导。
对称轴的方程为x = -b/2a。
六、抛物线的开口方向1. 当a > 0时，抛物线向上开口；2. 当a < 0时，抛物线向下开口。
七、抛物线的焦距焦距是抛物线的一个重要参数，可以通过以下公式计算：p = 1/(4a)八、抛物线的性质和公式1. 焦距与顶点之间的距离相等，即|PF| = |PG| = |p|；2. 焦点到准线的垂直距离等于焦距的绝对值，即|FD| = |EG| = |p|；3. 切线的斜率是抛物线在切点处的导数；4. 切线方程的斜率为2a；5. 抛物线经过顶点的轴对称点。
九、抛物线的应用抛物线广泛应用于物理学、工程学和计算机图像处理等领域，例如：1. 抛物线反射：抛物面或抛物线反射器可以将平行入射的光线聚焦到一点上，被广泛应用于太阳能反射器等设备；2. 抛物线运动：抛物线运动是一种常见的物理运动模型，描述了质点在重力作用下的运动轨迹。
抛物线的知识点总结
抛物线的知识点总结抛物线是数学中的一种重要曲线，具有广泛的应用背景，如物理、工程、建筑等领域。
本文将对抛物线知识点进行总结，包括抛物线的定义、性质、常见公式及其应用。
一、定义抛物线是经典的二次函数曲线，其定义为：一个点到定点的距离与到定直线的距离相等，这个点所在的轨迹就是抛物线。
抛物线有两个焦点，定点称为焦点，与定直线的垂线交点称为顶点。
抛物线可以分为开口上和开口下两种形式，开口朝上的抛物线可以看作是一个碗状物体，开口朝下的抛物线则类似于一个桥洞或弓形。
二、性质1. 切线的性质在抛物线上任意一点处，其切线与通过焦点的直线平行。
2. 焦点的性质在抛物线上任意一点到焦点的距离，等于此点到顶点的距离。
3. 对称性抛物线的顶点是对称轴的最低点，平面中心坐标系的原点即为其对称轴。
三、常见公式1. 标准式开口朝上的抛物线标准式为y = ax² + bx + c，开口朝下的则为y = -ax² + bx + c，其中a、b、c分别为系数，决定抛物线的位置、形状和方向。
2. 参数式开口朝上的抛物线参数式为x = 2py，y = px²，开口朝下的则为x = 2py，y = - px²，其中p为参数，决定抛物线形状和大小。
3. 领域式开口朝上的抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b²/4a)，开口朝下的为(-b/2a, c + b²/4a)。
四、应用1. 物理学抛物线在物理学中广泛应用，如研究自由落体、抛物运动等。
在自由落体的模型中，物体受到重力作用后沿着一条抛物线运动，其中，重力的作用相当于给物体一个竖直方向的加速度，而水平方向则保持匀速直线运动。
2. 建筑工程抛物线也常见于建筑工程中，如拱门、拱桥等的设计中，为了达到更好的强度和美观度，常采用抛物线形式。
例如，古罗马建筑就广泛使用拱形结构，而拱形恰好是一种由抛物线延伸而来的三维形式。
3. 电子技术在无线通信和射频电子学领域中，抛物线天线已经被广泛应用。
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结
1、定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式。
从简单化角度出发，焦点在x轴的，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴的，设为x2＝by(b≠0)。
2、单位长度的规定：一般情况下横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
3、由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程
y^2=2pxy^2=-2pxx^2=2pyx^2=-2py。
4、对于平面内任意一点C，过点C分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y 轴上的.对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。
5、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
有关抛物线的所有知识点
有关抛物线的所有知识点在数学的广袤天地中，抛物线是一个极为重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际生活的众多领域有着广泛应用。
首先，我们来聊聊抛物线的定义。
简单来说，平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹就叫做抛物线。
这个定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
想象一下，有一个点在平面内运动，它到一个固定的点和一条固定的直线的距离总是一样的，这样形成的曲线就是抛物线。
抛物线的标准方程有多种形式。
比如，当抛物线的焦点在 x 轴正半轴上，开口向右时，标准方程是 y²＝ 2px（p＞0），其中 p 表示焦点到准线的距离。
焦点的坐标是（p/2，0），准线方程是 x ＝ p/2。
同样地，如果焦点在 x 轴负半轴，开口向左，方程就是 y²＝－2px（p＞0），焦点是（p/2，0），准线是 x ＝ p/2。
当焦点在 y 轴正半轴，开口向上时，方程是 x²＝ 2py（p＞0），焦点为（0，p/2），准线是 y ＝p/2。
要是焦点在 y 轴负半轴，开口向下，方程则是 x²＝－2py（p＞0），焦点是（0，p/2），准线是 y ＝ p/2。
接下来，我们看看抛物线的性质。
抛物线具有对称性。
以 y²＝ 2px 为例，它关于 x 轴对称。
而且，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。
这是一个非常重要且实用的性质。
比如，已知抛物线上一点到准线的距离，就能迅速得出它到焦点的距离。
在抛物线的图像中，p 的值决定了抛物线的开口大小和方向。
p 越大，开口越宽；p 越小，开口越窄。
而且，p 的正负决定了抛物线的开口方向。
抛物线在实际生活中的应用也非常广泛。
比如，在物理学中，抛物运动的轨迹就是抛物线。
当我们扔出一个物体，它在只受重力作用的情况下，其运动轨迹就是一条抛物线。
还有，在建筑设计中，一些桥梁的拱形、一些天线的形状等也会用到抛物线的原理。
高中数学抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
抛物线基础知识
抛物线基础知识一、抛物线的定义、标准方程及参数的意义定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．p的意义：焦准距二、标准方程的求法：1.定义法2.待定系数法：作判断（判断焦点位置）、设方程（设标准方程y2＝2px或x2＝2py，p≠0（或y2＝mx与x2＝my(m≠0)））、解方程（求出参数p或m）、写答案。
注：①标准方程：顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上 ②抛物线的方程：一次变量定位置，开口方向看正负③p 的几何意义：焦点到准线的距离，焦点到顶点及顶点到准线的距离为2p 。
④焦点的非零坐标为一次项系数的正负，准线与坐标轴的交点与抛物线的焦点关于原点对称。
⑤思考2(0)y ax a =≠与y 2＝2px (p ＞0)、y 2＝mx 与x 2＝my (m ≠0)的焦点位置与准线方程：四、抛物线的焦点弦常用性质抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，AB 是经过抛物线焦点F 的弦，M 为线段AB 的中点，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，过点A,B,M 作抛物线准线l 的垂线，垂足分别为111,,A B M ，连结11,AM BM ，求证：（1）11||||2MM AB =； （2）以AB 为直径的圆必与准线l 相切；（3）以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切；（4）11AM BM ⊥； （5）11A F B F ⊥； （6）1FM AB ⊥； 于Q ，（7）设1MM 与抛物线交则Q 是1MM 的中点；（8）112||||FA FB p+=； （9）0||2()2pAB x =+（焦点弦长与中点的关系）12x x p =++（韦达定理）22sin pα=（α为直线AB 的倾斜角）； （10）221212,4p x x y y p ==-（A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值）； （11）通径是最短的焦点弦。
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高中数学必修五抛物线的定义知识点
高中数学抛物线的定义知识点(一)
抛物线方程
1设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
图形
焦点
准线
范围
对称轴轴轴
顶点(0，0)
离心率
焦点
注：①顶点
.
②则焦点半径
;则焦点半径为
.
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
④(或)的参数方程为
(或
)(为参数).
高中数学抛物线的定义知识点(二)
抛物线的性质(见下表):
抛物线的焦点弦的性质：
关于抛物线的几个重要结论：
(1)弦长公式同椭圆.
(2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线外部
(3)抛物线y2=2px上的点P(x1，y1)的切线方程是
抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y=kx+
(4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是
(5)过抛物线y2=2px上两点
的两条切线交于点M(x0，y0)，则
(6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F,又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F.。