数量关系讲义(1)

数学运算

第01讲直接代入

一、题型评述

数学运算试题都是四选一的客观单项选择题，将选项直接代入进行验证，显然是一种准确、高效并且易于操作的重要方法。很多试题，正面求解相当困难，但结合选项来看却相当容易。“答案选项”永远是整个试题的有机组成部分，孤立地看题干而忽略选项是考生答题时最大的误区之一。

二、破题密钥

“直接代入法”广泛运用于多位数问题、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问题、复杂行程问题、和差倍比问题等等。这种方法不仅可以单独使用达到一招制胜的效果，还可以与其它方法进行结合使用。

三、例题精析

【例 1】（深圳 2013-47）小王的旅行箱密码为 3 位数，且三个数字全是非 0 的偶数，而

且这个三位数恰好是小王今年年龄的平方数。则小王今年（）岁。

A. 17

B. 20

C. 22

D. 34

【例 2】（浙江 2013-50）某市场运来苹果、香蕉、柚子和梨四种水果，其中苹果和柚子

共 30 吨，香蕉、柚子和梨共 50 吨。柚子占水果总数的 1/4。一共运来水果多少吨？(

)

A. 56 吨

B. 64 吨

C. 80 吨

D. 120 吨

【例 3】(江苏 2013B-91)三位数 A 除以 51，商是 a（a 是正整数），余数是商的一半，则 A 的最大值是

A. 927

B. 928

C. 929

D. 990

【例 4】（山东 2013-62）甲、乙两仓库各放集装箱若干个，第一天从甲仓库移出和乙仓库集装箱总数同样多的集装箱到乙仓库，第二天从乙仓库移出和甲仓库集装箱总数同样多的集装箱到甲仓库，如此循环，则到第四天后，甲、乙两仓库集装箱总数都是 48 个。问甲仓

库原来有多少个集装箱？

A. 33

B. 36

C. 60

D. 63

【例 5】（河北 2013-44）一个金鱼缸，现已注满水。有大、中、小三个假山，第一次把小假山沉入水中，第二次把小假山取出，把中假山沉入水中，第三次把中假山取出，把小假山和大假山一起沉入水中。现知道每次从金鱼缸中溢出水量的情况是：第一次是第二次的

1/3，第三次是第二次的 2 倍。问三个假山的体积之比是（）。

A. 1∶3∶5

B. 1∶4∶9

C. 3∶6∶7

D. 6∶7∶8

第02讲倍数特性

一、题型评述

“倍数特性法”是一种特殊的“代入排除法”，也是代入排除法中最重要的内容。这种

方法通过正确答案所应该满足的某种倍数特性来直接锁定答案。熟练运用本方法最关键的要点，就是牢牢掌握各种倍数关系的性质和判定方法。

二、破题密钥

①2、4、8 整除及余数判定基本法则

1.一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除；

2.一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除；

3.一个数能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。

②3、9 整除及余数判定基本法则

1.一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除；

2.一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除。

③7 整除判定基本法则

1.一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数；

2.一个数是7的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为7的倍数。

【示例】∵362末一位“2”的2倍与“36”差“32”不能被7整除∴362不能被7整除

【示例】∵12047末三位“047”与“12”差“35”能被7整除∴12047能被7整除

④11 整除判定基本法则

1. 一个数是 11 的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为 11 的倍数；【示例】∵7394奇数位之和“7+9＝16”与偶数位之和“3+4＝7”做的差“16-7＝9”不是

11 的倍数∴7394不能被11整除

三、例题精析

●题型一：直接倍数

【例1】（上海2011A-61）某人共收集邮票若干张，其中1/4是2007年以前的国内外发行的邮票，1/8是2008年国内发行的，1/19是2009年国内发行的，此外尚有不足100张的国外邮票。则该人共有（）张邮票。

A. 87

B. 127

C. 152

D. 239

【例2】（2011年424联考-43）某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10 个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和可能是多少?（）

A. 9

B. 12

C. 15

D. 18

●题型二：因子倍数

【例 3】（北京 2014-75）甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的 1.5 倍还多 40 个，乙工

厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多 20 个。则两个工厂每天共能生产多少个零件？

A. 400

B. 420

C. 440

D. 460

【例4】（2012年421联考－61）某公司三名销售人员2011年的销售业绩如下：甲的销售额是乙和丙销售额的 1.5倍，甲和乙的销售额是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56

万元，问甲的销售额是：（）

A. 140 万元

B. 144 万元

C. 98 万元

D. 112 万元

●题型三：比例倍数

核心提示

若a:b m:n( m, n互质) ，则说明a占m份，是m的倍数；b占n份，是n 的倍数；

a+b 占 m+n 份，是 m+n 的倍数；a-b 占 m-n 份，是 m-n 的倍数。

【例 5】（广州 2013-26）少年宫学习美术、舞蹈和唱歌专业的学生共有 90 人，美术和舞蹈专业的学生比例为 2∶3，舞蹈和唱歌专业的学生比例为 3∶4,则学生人数最多的专业有

多少人？

A. 25

B. 30

C. 35

D. 40

【例6】（2012年915联考－49）甲、乙两种商品的价格比是3∶5，如果它们的价格分别下降50元，它们的价格比是4∶7，这两种商品原来的价格各为（）。

A. 300 元 500 元

B. 375 元 625 元

C. 450 元 750 元

D. 525 元 875 元

第03讲化归为一

一、题型评述

如果试题当中没有涉及到某个具体量的大小，并且这个具体量的大小并不影响最终结果的时候，我们可以使用“化归为一法”，将这个量设为某一个利于计算的数值，从而简化计算。这种方法又被为“设1法”或者“设1思想”。

我们一般可能在工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问题、几何问题、经济利润问题、和差倍比问题等等诸多问题当中使用“化归为一法”。

二、破题密钥

在“化归为一法”中，我们一般都不设之为“1”，而是设之为“其中某些量的公倍数”，

从而避免分数，简化计算。

三、例题精析

【例 1】（重庆 2013-90）甲、乙两个烧杯装有一些盐水，甲杯中盐水的质量是乙杯的 2 倍，但甲杯盐水的浓度是乙杯的 1/2，则将两个烧杯中的盐水混合后得到的盐水浓度为甲杯

浓度的多少倍？（）

A. 3/2

B. 4/3

C. 6/5

D. 7/6