平面直角坐标系中的距离公式
初中数学知识归纳平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标
初中数学知识归纳平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标平面直角坐标系中，两点的距离和中点的坐标是初中数学中的基础知识。
通过学习和归纳，我们可以更好地理解和应用这些概念。
本文将对初中数学中关于平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标进行归纳总结。
1、两点间的距离在平面直角坐标系中，两点的距离可以通过勾股定理来求解。
设两点的坐标分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则两点间的距离d可表示为：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2、中点的坐标中点是指连接两点线段的中心点，也是线段的对称点。
我们可以通过平均两点的x坐标和y坐标来求解中点的坐标。
设两点的坐标分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标M（x，y）可表示为：x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 2下面，结合具体的例子来说明两点的距离和中点的坐标的计算方法。
例子1：已知平面直角坐标系中点A（2，3）和点B（5，6），求两点间的距离和中点的坐标。
解：根据两点间的距离公式，可以得到两点A、B间的距离d：d = √((5-2)^2 + (6-3)^2)= √(9 + 9)= √18≈ 4.24根据中点的坐标公式，可以得到中点M的坐标：x = (2 + 5) / 2 = 3.5y = (3 + 6) / 2 = 4.5所以，点A和点B间的距离为4.24，中点的坐标为（3.5，4.5）。
例子2：已知平面直角坐标系中点C（-1，2）和点D（3，-4），求两点间的距离和中点的坐标。
解：根据两点间的距离公式，可以得到两点C、D间的距离d：d = √((3-(-1))^2 + (-4-2)^2)= √(16 + 36)= √52≈ 7.21根据中点的坐标公式，可以得到中点N的坐标：x = (-1 + 3) / 2 = 1y = (2 + (-4)) / 2 = -1所以，点C和点D间的距离为7.21，中点的坐标为（1，-1）。
两点坐标距离公式是什么初中
两点坐标距离公式是什么初中引言初中数学中的坐标系是一种重要的图示工具，用于表示平面上的点的位置。
在坐标系中，我们可以使用坐标来表示点的位置。
当我们想要计算任意两点之间的距离时，需要用到两点坐标距离公式。
本文将介绍初中中常用的两点坐标距离公式，以帮助初学者更好地理解和应用。
问题描述在平面直角坐标系中，给定两个点的坐标，我们希望计算它们之间的距离。
这个问题可以通过以下的两点坐标距离公式来解决。
两点坐标距离公式假设平面直角坐标系中有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么这两个点之间的距离可以通过以下公式得到：距离= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)在这个公式中，x1和y1分别表示点A的横坐标和纵坐标，x2和y2分别表示点B的横坐标和纵坐标。
公式推导该公式的推导基于勾股定理。
根据勾股定理，直角三角形两直角边a和b的平方和等于斜边c的平方，即a² + b² = c²。
在这里，我们可以将两点A(x1, y1)和B(x2, y2)看作直角三角形的两个直角边，而它们之间的距离就是斜边的长度。
根据勾股定理，我们得到以下推导：距离² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)²将等式两边开方，得到距离的表达式：距离= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)这就是两点坐标距离的公式。
举例说明为了更好地理解和应用这个公式，我们可以通过一个例子来说明。
假设点A的坐标为A(2, 3)，点B的坐标为B(5, 7)。
我们希望计算点A和点B 之间的距离。
根据公式，我们可以计算距离如下：距离= √((5 - 2)² + (7 - 3)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5因此，点A和点B之间的距离为5。
总结两点坐标距离公式是初中数学中的重要内容，用于计算平面上任意两点之间的距离。
平面直角坐标系中的距离公式(经典)
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法一) 由k1=k2 可得： l1//l2
在直线l1上取点(4, 0)，其到直线l2的距离
d | 6 4 9 0 3 | 7 13
62 (9)2
13
∴直线l1与l2间的距离
d 7 13 13
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法二) 由k1=k2 可得： l1//l2
将l2的方程变形为 ： 2x－3y－1＝0
∴直线l1与l2间的距离：
d | -18 | 7 13
22 (-3)2
想一想：
怎样用坐标的方法求点P(-3, 5)到直线 3x-4y＋5＝0的距离？P y
o
x
点ห้องสมุดไป่ตู้0(x0, y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离呢?
写出直线PQ的方程，
与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 |PQ|
.
y
P
l
Q
o
x
二、点到直线的距离公式：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
二、点到直线的距离公式
d Ax0 By0 C . A2 B2
三、两条平行直线间的距离公式
d | C1 C2 | A2 B2
课后练：
1. 求过点M(－2, 1)，且与A(－1, 2)， B(3, 0)距离相等的直线方程.
2. 求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为2的直线的方程.
2.1.5平面直角坐标系中的距离公式
x1 x2 5 x1 x2 3
2
| AB | 1 k | x1 x2 | 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2
1 2 5 4 3 65
2 2
抽象概括
1. 平面上，点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的距离为：
§1.5 平面直角坐标系中的
距离公式
（一）
分析理解
1. x轴上，点P1(x1，Fra bibliotek)和P2(x2，0)的距离为：
|P1P2|=|x1-x2|
y轴上，点P1(0，y1)和P2(0，y2)的距离为：
|P1P2|=|y1-y2|
2. 平面上，点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的距离为：
| PP 1 2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
| x2 x1 | ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
例题分析
例6 设直线2 x y 1 0与抛物线y x 3x 4
2
相交于点A、B，求 | AB | 的值.
2x y 1 0 2 解：由 x 5x 3 0 2 y x 3x 4
解：设P( x, y), 则
| PA |2 | PB |2 10 y2 18 y 10
9 9 19 当P为( , )时，最小值为 . 5 10 10
几何意义：AB的中点M 与P的连线MP l.
例题分析
变式：已知等边三角形ABC的边长为a，P为ABC 平面内一点，求 | PA | | PB | | PC | 的最小值.
（ 2）点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : y y1 的距离是 d y0 y1 。
距离公式及中点公式
距离公式及中点公式距离公式和中点公式是数学中经常用到的公式，它们在解决空间几何问题和平面几何问题时非常有用。
本文将介绍距离公式和中点公式的概念、推导及应用。
一、距离公式距离公式用于计算平面上两点之间的距离。
假设平面上有点A(x1,y1)和点B(x2, y2)，我们可以使用以下距离公式来计算它们之间的距离：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]其中d表示点A和点B之间的距离。
这个公式的推导可以从勾股定理开始。
以点A和点B为两条直角边，连接点A和点B的线段为斜边，根据勾股定理可得到上述距离公式。
这个公式可以应用于多种问题，比如计算两个坐标点之间的直线距离或者判断某个点到直线的距离等。
通过计算平面上两点之间的距离，我们可以更好地理解它们之间的几何关系。
二、中点公式中点公式用于计算平面上线段的中点坐标。
假设平面上有一条线段AB，其中点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，我们可以使用以下中点公式来计算该线段的中点坐标：M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)其中M表示线段AB的中点坐标。
这个公式的推导非常简单，我们只需要计算线段的横坐标和纵坐标的平均值即可得到中点的坐标。
中点公式常用于平面几何和坐标系的计算中。
通过求解线段的中点坐标，我们可以更准确地确定线段的位置、长度和方向，并能够在计算中起到简化问题的作用。
三、应用示例接下来我们通过两个应用示例来演示距离公式和中点公式的具体应用。
应用示例一：平面直角坐标系中两点距离计算假设平面直角坐标系中有两点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以使用距离公式来计算它们之间的距离。
根据距离公式，代入坐标值进行计算得：d = √[(5 - 2)² + (7 - 3)²] = √[3² + 4²] = √(9 + 16) = √25 = 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。
平面直角坐标系中的距离公式
2 2
y
1 3 C( ， ) 2 2
O
B( 1， 0)
x
1 3 1, 4
AB 2，
3 3 AC 2 2
2
2
3,
2
所以 AC BC AB . 即ABC是直角三角形 .
34 . 5
l1 : 5x 12y 9 0的距离 . 例18 (1)求原点到直线
(2)求P(1 ， 2)到直线l2 : 2 x y 10 0的距离.
解 (1)原点到直线的距离为
d 5 0 12 0 9
9 . . 2 13 52 （ 12）
(2)点P到直线l2的距离为
d 2 (1) 2 10 2 1
2 2
2 5.
Ax0 By0 C 1.求下列点到直线的距离 . d . 2 2 （ 1 ）（0,0）， 3x 2 y 4 0; A B 解 (1)点(0,0)到直线的距离为
d 3 0 (2) 0 4
2 32 （ 2）
用上述方法可以得到
d
Ax0 By0 C A B
2 2
.
即点P到直线Ax By C 0的距离公式 .
点P(3,5)到直线l： 3x 4 y 5 0的距离 .
3 （ 3） （ 4） 5 （ 5） d . 2 2 （ 3） （ 4）
9 20 5 9 16 .
P78练习
4 4 13 . 13 13
（3）（2,3），x y; 解 (3)点(2,3)到直线的距离为
d 1 2 (1) (3) 0 1 （ 1 ）
平面直角坐标系中的距离公式
平面直角坐标系中的距离公式在平面直角坐标系中，可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。
平面直角坐标系由x轴和y轴构成，每个点都有唯一的坐标表示(x,y)。
设两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，根据勾股定理，两点之间的距离可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)根据这个公式，我们可以计算出平面直角坐标系中任意两点之间的距离。
下面我们通过几个例子来说明如何使用距离公式。
例1：计算两点之间的距离设点A(2,3)和点B(5,7)。
我们可以使用距离公式来计算两点之间的距离。
根据公式：d=√((5-2)²+(7-3)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以点A和点B之间的距离为5个单位。
例2：判断点的位置关系设点A(0,0)和点B(3,4)。
我们可以使用距离公式来计算两点之间的距离。
根据公式：d=√((3-0)²+(4-0)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以点A和点B之间的距离为5个单位。
如果我们进一步观察可以发现，点A到原点(0,0)的距离也是5个单位。
这说明点A和点B在平面上的位置关系是相等距离，也即位于同一个圆上。
这是因为在平面直角坐标系中，两点之间的距离就是它们在平面上的直线距离。
所以两点的距离可以帮助我们判断它们在平面上的位置关系。
例3：计算线段长度除了计算两点之间的距离，距离公式还可以用于计算线段的长度。
线段的长度是线段上各个点之间的距离之和。
设有线段AB的两个端点坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)。
要计算线段AB的长度，可以计算每个相邻点之间的距离，然后将它们的距离相加。
设有n个相邻点，距离公式可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) + √((x3 - x2)² + (y3 - y2)²) + ... + √((xn - xn-1)² + (yn - yn-1)²)这样就可以计算出线段的长度。
高中数学课件-平面直角坐标系中的距离公式
A．1
B．2
1 C.2
D．4
B [∵63＝m4 ≠－143，∴m＝8，直线 6x＋my＋14＝0 可化为 3x＋
4y＋7＝0，两平行线之间的距离 d＝|－332＋－472|＝2.]
21
3．已知两平行直线，其距离可利用公式 d＝ |CA1－2＋CB2|2求解，也可 在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
.
思考：点到直线的距离公式对于 A＝0 或 B＝0 时的直线是否仍 然适用？
4
提示：仍然适用，①当 A＝0，B≠0 时，直线 l 的方程为 By＋C ＝0，
即 y＝－CB，d＝y0＋CB＝|By|0B＋| C|，适合公式． ②当 B＝0，A≠0 时，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0，x＝－CA，d＝ x0＋CA＝|Ax|0A＋| C|，适合公式．
则这两条直线间的距离是________． 5 [d＝|3－(－2)|＝5.]
8
两点间的距离公式
【例 1】 (1)若 x 轴的正半轴上的点 M 到原点的距离与点(5，－
3)到原点的距离相等，则点 M 的坐标为( )
A．(－2,0)
B．(1,0)
C.32，0
D．( 34，0)
(2)直线 2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为
5
3．两平行线间的距离公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
距离d＝
|C1－C2| A2＋B2
.
6
1．已知 A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则||CACB||的值为( )
1 A.3 C．3
1 B.2 D．2
坐标内两点间的距离公式
坐标内两点间的距离公式在平面直角坐标系中，很多时候需要计算两点间的距离。
计算两点间的距离是解决很多问题的基础，比如测量线段长度、计算几何图形的面积等等。
那么，该如何计算坐标内两点间的距离呢？下面将为你详细介绍。
首先，让我们先来了解一下什么是坐标。
坐标是一个点在平面直角坐标系中的位置表示，通常用(x,y)表示。
其中(x,y)中的x称为横坐标，y称为纵坐标。
因此，两点之间的距离可以通过它们在坐标系中的坐标来计算。
那么，该如何计算两点间的距离呢？很简单，只需要应用勾股定理即可。
勾股定理指出，在直角三角形中，较长边的平方等于两短边平方和。
换言之，假设有直角三角形ABC，其中∠ABC为直角，AB与AC分别为短边和长边，则有BC²=AB²+AC²。
同样的，我们可以应用勾股定理来计算两点间的距离。
假设在平面直角坐标系中有两点坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，它们之间的距离d可以通过如下公式计算：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]其中√表示平方根，(x2-x1)²表示横坐标之差的平方，(y2-y1)²表示纵坐标之差的平方。
这个公式用起来十分方便。
以原点和点(3,4)为例，它们之间的距离d可以通过如下步骤计算：1. 计算横坐标之差：3-0=32. 计算纵坐标之差：4-0=43. 将横坐标之差和纵坐标之差的平方相加：3²+4²=9+16=254. 对横坐标之差和纵坐标之差的平方和取平方根：√25=5因此，原点和点(3,4)之间的距离为5。
同样的，我们也可以用这个公式来计算坐标系中任意两点之间的距离。
总之，坐标内两点间的距离是通过横坐标和纵坐标之差的平方和计算出来的。
应用勾股定理，我们可以得到一个简单而方便的公式。
在实际应用中，可以通过这个公式来计算任意两点之间的距离，解决各种实际问题。
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式
如图所示．设 M(x，y) 是 A(x1，y1) ，B(x2，y2) 的中点．
y
B2
B
M2 M
A A2
A1 O M1 B1 x
过 A，B，M 分别向 x 轴作垂线 AA1，BB1， MM1，垂足分别为 A1， B1 ，M1 ；
过 A，B，M 分别向 y 轴作垂线 AA2，BB2， MM2，垂足分别为A2， B2 ，M2 ．
例4 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(－3，0)， B(2，－2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标．
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同． 设点 D 的坐标为 (x，y) ，则
x2 2 y2 35 1Βιβλιοθήκη 202 122
解得
x 0
y
4
所以顶点 D 的坐标为 (0，4) ．
平面直角坐标系中的距离公 式和中点公式
1.数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
2.数轴上的中点公式
一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2) 的中点坐标 x 满足关系式
x=
x1
2
x2
．
如图所示．设 A(x1，y1)，B(x2，y2) ．
（1）以上四个垂足 A1，B1，A2，B2 的坐标分别是多少？
B
（2）|AC| 与 |A1B1| 关系如何？ 如何求 |A1B1| ？
C （3）|BC| 等于多少？
B1 x （4）在直角三角形中，如何求 |AB| ？ （5）你能表示出 |AB| 吗？
平面上两点间的距离公式
y
A(x2 ，y2) O
B(x2，y2)
c 平面坐标系距离公式
c 平面坐标系距离公式一、两点间距离公式。
（一）在平面直角坐标系中。
1. 公式内容。
- 设平面直角坐标系中有两点A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，则两点间的距离d(A,B)=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)。
2. 推导过程。
- 以A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)两点为例，过A，B两点分别向x轴和y轴作垂线，两垂线相交于点C。
- 则AC = x_2 - x_1，BC=y_2 - y_1。
- 根据勾股定理，在直角三角形ABC中，AB^2 = AC^2+BC^2。
- 所以AB=√(AC^2 + BC^2)=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)。
3. 应用示例。
- 例：已知A(1,2)，B(4,6)，求A，B两点间的距离。
- 解：根据两点间距离公式d(A,B)=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)，这里x_1 = 1,y_1 = 2,x_2 = 4,y_2 = 6。
- 则d(A,B)=√((4 - 1)^2+(6 - 2)^2)=√(3^2+4^2)=√(9 + 16)=√(25)=5。
（二）在平面极坐标系中。
1. 公式内容。
- 设平面极坐标系中有两点A(ρ_1,θ_1)，B(ρ_2,θ_2)，则两点间的距离d(A,B)=√(ρ_1^2)+ρ_2^{2-2ρ_1ρ_2cos(θ_2-θ_1)}。
2. 推导过程（略，超出高中基础要求，可作为拓展知识）3. 应用示例。
- 例：已知A(2,(π)/(3))，B(3,(π)/(6))，求A，B两点间的距离。
- 解：根据公式d(A,B)=√(ρ_1^2)+ρ_2^{2-2ρ_1ρ_2cos(θ_2-θ_1)}，这里ρ_1 = 2,θ_1=(π)/(3),ρ_2 = 3,θ_2=(π)/(6)。
- 首先计算cos(θ_2-θ_1)=cos((π)/(6)-(π)/(3))=cos(-(π)/(6))=cos(π)/(6)=(√(3))/(2)。
平面直角坐标系点到直线的距离公式
平面直角坐标系点到直线的距离公式
（一）平面直角坐标系点到直线的距离
平面直角坐标系是一种用直角坐标系统表示的坐标系统，其中点的坐标是一组满足两个线
性方程的数值。
今天，我们来学习一下平面直角坐标系点到直线的距离的计算方法。
要计
算一个点到一条直线的距离，首先我们要找到这个点在这个直线上最近的点，然后用这两
个点之间的距离计算点到直线的距离。
首先，给定一条直线ax+by+c=0，我们可以找到直线上最近点到指定点（x0，y0）的参数
是X和Y。
我们用x和y代替a、b和c求解参数X和Y，求出这两个参数之后，形成直线
上最近点的坐标（x1，y1），就可以用求两点之间距离的公式计算它们之间的距离。
问题就变成求x和y的值，求解的方法是将原直线中的x和y替换为x1=x-x0，y1=y-y0，将得到的方程组解出X和Y：
X= (by1-c-ax0)/a
Y= (c+ax1-bx0)/b
根据求两点距离d=(x1-x0)2+(y1-y0)2的公式，已知x1=X+x0,y1=Y+y0，便得到点（x0,y0）到直线 ax+by+c=0的距离d=(XY+x0Y+x1Y+x0y0)/a2+b2 。
总之，通过上述公式，我们可以求出平面直角坐标系点到直线的距离。
计算的过程中，需
要用数学方法解决方程组，还要求出x和y两个参数，最后再用两点距离公式加以求解。
整个计算过程简单，但要注意参数的精确性，以免出现误差。
平面直角坐标系的距离公式洋葱数学
平面直角坐标系的距离公式洋葱数学【原创实用版】目录一、平面直角坐标系的概念及基本元素二、距离公式的定义及应用三、平面直角坐标系中两点间距离的计算方法四、总结正文一、平面直角坐标系的概念及基本元素平面直角坐标系是一个由横轴（x 轴）和纵轴（y 轴）组成的平面，它们相互垂直，将平面划分为四个象限。
在平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序实数对（x, y）来表示，其中 x 表示点在 x 轴上的坐标，y 表示点在 y 轴上的坐标。
二、距离公式的定义及应用距离公式是用来计算平面直角坐标系中两点间距离的数学公式。
公式如下：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，(x1, y1) 和 (x2, y2) 分别是两点的坐标，d 表示两点间的距离。
通过这个公式，我们可以计算出任意两个点之间的距离。
三、平面直角坐标系中两点间距离的计算方法在平面直角坐标系中，要计算两点间的距离，可以按照以下步骤进行：1.确定两点的坐标，例如点 A(x1, y1) 和点 B(x2, y2)。
2.将两点的坐标代入距离公式：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
3.计算公式右边的值，得到两点间的距离。
例如，如果点 A 的坐标是 (1, 2)，点 B 的坐标是 (4, 6)，那么两点间的距离为：d = √((4 - 1)^2 + (6 - 2)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5所以，点 A 和点 B 之间的距离是 5。
四、总结平面直角坐标系是一个基本的数学工具，它可以帮助我们直观地表示和计算平面上的点。
距离公式是计算两点间距离的一种方法，通过这个公式，我们可以快速地计算出任意两个点之间的距离。
坐标系距离公式数学
坐标系距离公式数学在我们的数学世界里，坐标系距离公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们解开很多几何谜题。
还记得我读中学的时候，有一次和同学一起参加数学兴趣小组的活动。
那是一个阳光明媚的下午，老师带着我们在校园的小花园里做一个有趣的实验。
老师在地上用粉笔画了一个简单的直角坐标系，然后在不同的位置标记了几个点。
他让我们分组，去计算这些点之间的距离。
我和小伙伴们一开始有点懵，看着那些点不知所措。
但很快，我们就想起了刚刚学过的坐标系距离公式。
坐标系距离公式是这样的：对于平面直角坐标系中的两个点 A(x1, y1)和 B(x2, y2)，它们之间的距离d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] 。
我们拿起小本子和笔，认真地记录下点的坐标，然后代入公式进行计算。
有个小伙伴算得特别快，可一着急把数字给写错了，结果差了好远，大家都笑了起来。
我们互相检查，互相讨论，那种热烈的氛围至今都让我难以忘怀。
这公式看似简单，其实用处可大了。
比如说，在解决几何图形的边长问题时，如果把图形的顶点放在坐标系里，那距离就能通过这个公式轻松算出来。
再比如，在实际生活中，如果我们要知道两个地点在地图上的距离，也可以建立一个类似的坐标系来估算。
想象一下，你要规划一次旅行，从一个城市到另一个城市，通过坐标和距离公式，就能大致算出路程有多远，好提前做好准备。
还有在建筑设计中，设计师们要确定不同构件之间的位置关系，坐标系距离公式就能派上大用场，保证建筑的结构准确无误。
而且，学习这个公式对于我们培养逻辑思维和解决问题的能力也非常有帮助。
它让我们学会有条理地思考，从看似复杂的情况中找到规律，用简单的数学方法解决难题。
总之，坐标系距离公式就像是我们数学之旅中的得力助手，虽然它可能不像游戏那么好玩，也不像美食那么诱人，但只要我们认真去理解它、运用它，就能在数学的世界里畅行无阻，发现更多的精彩和乐趣。
就像那次在小花园里的活动，让我深深地感受到了数学的魅力，也让我更加喜欢探索数学的奥秘。
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式
A A2
（3）M2是A2，B2的中点吗？它们的
A1 O M1 B1 x 坐标有怎样的关系？
（4）你能写出点 M 的坐标吗？
精品
中点公式
在坐标平面内，两点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 的中点 M(x，y) 的坐标之间满足：
x x1 x2 ， y y1 y2 ．
2
2
精品
例4 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(－3，0)， B(2，－2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标．
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同． 设点 D 的坐标为 (x，y) ，则
x2 2 y2
35 1 2
02 1
2
2
解得
x 0
y
4
所以顶点 D 的坐标为 (0，4) ．
精品
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)， 求顶点 D 的坐标．
S3
计算 d＝
d
2 x
d
2 y
；
S4 给出两点的距离d．
精品
例1 已知 A(2，－4)，B(－2，3) ，求 |AB| ． 解： 因为
x1＝2，x2＝－2，y1＝－4，y2＝3， 所以
dx＝x2－x1＝－2－2＝－4， dy＝y2－y1＝3－(－4)＝7． 因此 |A| Bdx 2dy 2(4)2726． 5
x=
x1 x 2 ． 2
精品
如图所示．设 A(-1，1)，B(2，3) ．
y
B2
B
A A2 A1 O
C B1 x
过 A，B 分别向 x 轴作垂线 AA1，BB1，垂足分别为 A1，B1 ；
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y
3 2 1
如图，A,B两点间的距 离为5
B
A
-2 -1 -1 -2
0
1
2
3
x
结论：
y
|x2 –x1|
P1(x1 , y)
P2(x2 , y)
|x2 –x1|
P1(x1 , 0) O
P2(x2 , 0)
x
( x2 x1 ) x2 x1 当y1 = y2时, | P 1P 2 |
解： 作 AO ^ BC ，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴， 以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系如图 . 设 A(0, a), B(b,0), C (c,0), D(d ,0) .
因为 | AB |2 = | AD |2 + | BD | ?| DC | ,所以，由距离公式可得
1, 0), B(2,3) A(4,3), B(7, - 1) （2 ）
解: (1) AB
（1）A(-
直接利用公 式
2 1
2
3 0 3 2.
2 2
2 AB
7 4
1 3 5.
2
【变式练习】
求下列两点间的距离： (1）A(-3,0) , (2) C(2,1) , B(2,0) D(-5,1)
思考：已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，如
何求点P1和P2的距离|P1P2|？
y
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
O
x
y y2 P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
y1
P1(x1,y1) Q(x2,y1) x2 x
O
x1
| P1Q || x2 x1 |
1.5 平面直角坐标系中的距离公式 第1课时 两点间的距离公式
在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公式； 如果把这个问题拓展到平面直角坐标系内又如何来 求两点间的距离呢？
xA A 0 AB ＝ x B -x A xB B
(x1,y2)
探究点 两点间的距离公式 思考：A（-2，0），B（3，0）两点间的距离是多
已知：P ，y1 和P2 x2，y2 ， 1 x1
试求：P1，P2两点间的距离.
P1 P2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
o
y
P ，y1 1 x1
x
Qx1，y2
当y1=y2时， P 1P 2 | x2 x1 | 当x1=x2时， P 1P 2 | y2 y1 |
2
思考：A（0，2），B（0，-2）两点间的距离是 多少？我们能得到什么结论？ y
3 2 1 -2 -1 -1 -2 B A
如图，A,B两点间的距 离为4
1
0
2
3
x
结论：
y
|y2 –y1|
P1(0, y1) P1(x1 , y1)
|y2 –y1|
O x
P2(0, y2)
P2(x1 , y2)
2 | PP | ( y y ) y2 y1 当x1 = x2时, 1 2 2 1
解：因为 | BC |=
(3 - 5) 2 + (4 - 0) 2 = 2 5 ，
| AB |= | AC |=
(1- 3) 2 + (2 - 4) 2 = 2 2, (1- 5) 2 + ( 2 - 0) 2 = 2 5,
有 | AC |= | BC | , 所以 D ABC 是等腰三角形.
例 3. D ABC 中，D 是 BC 边上任意一点（D 与 B，C 不重合） ， 且 | AB |2 = | AD |2 + | BD | ?| DC | ， 求证： D ABC 为等腰三角形.
b2 + a2 = d 2 + a2 + (d - b)(c - d ) ,
即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d). 又d - b? 0, 故- b- d = c- d , 即- b = c .
根据图形特点，建立适当 的直角坐标系，利用坐标 解决有关问题，这种方法 叫坐标法也称为解析法.
所以|AB|=|AC|定下列两点间的距离: (1)A（-3，1） ，B（5，1）. (2)A（1,-2）,B(1,7). (3)A(3,2), B(-1,5).
|AB|=8
|AB|=9 |AB|=5
4. 已知 D ABC 的三个顶点是 A(1,1),B(4,5),C(5,3), 试判断
D ABC 的形状.
解:|AB|=5,|BC|=
2
【提升总结】
用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤： 第一步:建立坐标系， 用坐标系表示有关的量 第二步：进行 有关代数运算
第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系
1.已知点A（-2,-1），B（a，3）且AB=5，则a的值 是（ C ） A.1 B.-5 C.1或-5 D.-1或5 2.已知点M（-1,3），N（5,1），点P（x，y）到M,N 的距离相等，则点P（x，y）所满足的方程是（ B ） A.x+3y-8=0 C.x-3y+9=0 B.3x-y-4=0 D.x-3y+8=0
y
·
1 3 C( , ) 2 2
| AB |= 2,| AC |=
3 2 3 2 ( ) +( ) = 2 2
· O A(-1,0)
·
B(1,0) x
有 | AC |2 + | BC |2 = | AB |2 ， 所以 D ABC 是直角三角形 .
根据边的 关系判断.
【变式练习】
已知 D ABC 的三个顶点是 A(1, 2), B(3, 4), C(5,0) ,试判断 D ABC 的形状.
P2 x 2，y2
两点间距离公式
y2)，则A,B两点间的距离公式为
一般地，若两点A,B的坐标分别为(x1，y1)， (x2，
| AB | ( x2 x1 )2 ( y2 y 1 )2
特别地，点A（x，y）到原点（0，0）的距离为
| OA |
x2 y2
例1 求下列两点间的距离：
5 ,|AC|=
2 5,
满足|AB|2=|AC|2+|BC|2，所以 D ABC 是直角 三角形.
1.x轴上A，B两点间的距离公式
AB x B x A
2.平面直角坐标系中，A（x1,y1),B(x2,y2)两点间 的距离公式
AB ( x 2 x1 ) ( y 2 y1 )
2
3 (3) E ( , 2
答案： (1）5
2),
3 F ( 2, ) 2
(2) 7 (3)26 2
1 3 ), 例 2.已知 D ABC 的三个顶点是 A(- 1, 0), B(1, 0), C ( , 2 2
试判断 D ABC 的形状 .
解：如图,因为 | BC |=
1 3 (1- )2 + ( )2 = 1 ， 2 2 3,