平面图形的推导过程及公式
平面图形公式
一.公式：1.长方形：周长=(长+宽)×2——【长=周长÷2-宽；宽=周长÷2-长】字母公式：C=(a+b)×2面积=长×宽字母公式：S=ab2.正方形：周长=边长×4字母公式：C=4a面积=边长×边长字母公式：S=a3.平行四边形的面积=底×高字母公式： S=ah4.三角形的面积=底×高÷2 ——【底=面积×2÷高；高=面积×2÷底】字母公式： S=ah÷25.梯形的面积=（上底+下底）×高÷2字母公式： S=（a+b）h÷2【上底=面积×2÷高－下底，下底=面积×2÷高-上底；高=面积×2÷（上底+下底）】二.平行四边形面积公式推导：剪拼、平移1.三角形面积公式推导：旋转平行四边形可以转化成一个长方形；两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，长方形的长相当于平行四边形的底；平行四边形的底相当于三角形的底；长方形的宽相当于平行四边形的高；平行四边形的高相当于三角形的高；长方形的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。
因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷22.梯形面积公式推导：旋转两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2 等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
平面图形的推导过程及公式
平面图形的推导过程及公式Prepared on 22 November 2020周长：圆、椭圆或其他闭合的曲线的周界长度。
面积：物体的表面—平面图形的大小，叫做它们的面积。
圆面积推导过程：1、把圆16等份分割后拼插成近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一（C/4=πr/2）,高等于圆半径的2倍(2r),所以S=πr/2·2r=πr22、把圆16等份分割后可拼插成近似的等腰三角形。
三角形的底相当于圆周长的1/4,高相当于圆半径的4倍,所以S=1/2·2πr/4r=πr23、把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。
梯形上底与下底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的2倍,所以S=1/2·πr·2r=πr2 。
4、小结:无论我们把圆拼成什么样的近似图形,都能推导出圆的面积公式S=πr2,验证了原来猜想的正确。
说明在求圆的面积时,都要知道半径。
三角形面积推导过程：1：把一个等腰三角形对折，然后从中间剪开拼成了一个长方形，这个长方形的底是三角形的底的一半，高是三角形的高，因为长方形的面积是长×宽，长方形的面积等于三角形的面积，所以三角形的面积是底×高÷2。
2：把一个直角三角形的上面对折下来，然后剪开，把它补在一边，拼成了一个长方形。
这个长方形的长是三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的面积是底×高÷2。
3：把一个三角形沿着两边的重点对折，然后又把底边的重点这样对折，折成了一个长方形，这个长方形的底是三角形底的一半，宽是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面积是底×高÷24：把一个长方形沿对角线折叠，因为长方形的面积是长×宽，长方形是两个三角形拼成的，所以，三角形的面积是底×高÷2梯形面积推导过程：1、用两个完全一样的梯形通过旋转拼成了一个长方形，观察后发现：梯形的上下底之和相当于长方形的长、梯形的高相当于长方形的宽、梯形的面积=长方形的面积÷2（或梯形的面积等于长方形的面积的一半），根据拼成图形的面积公式是：长方形的面积=长×宽，所以：梯形的面积=（上底+下底）×高÷22、梯形的上下底之和相当于平行四边形的底，梯形的高相当于平行四边形的高，梯形的面积相当于平行四边形面积的一半。
平面图形的周长、面积计算公式
平面图形的周长、面积的计算公式1、长方形（a 长、b 宽、c 周长、s 面积） b a二、正方形（s 面积、a 边长、c 周长）1、长方形的周长=（长+宽）×2 2、长=长方形的周长÷2－宽 C=(a+b)2 a=c÷2－b 3、宽=长方形的周长÷2－长 b=c÷2－a 1、长方形的面积=长×宽 2、长=长方形的面积÷宽 S=ab b=s ÷b 3、宽=长方形的面积÷长 b=s ÷aa a3、正方形的面积=边长×边长 s=a ×a 或者s=a21、正方形周长=边长×4 C=4a2、边长=正方形周长÷4 a=c ÷4三、平行四边形（a 底、h 高）a四、三角形 （a 底、h 高、s 面积）ah1、平行四边形的面积=底×高S=ah2、底=平行四边形的面积÷高 a=s ÷h3、高=平行四边形的面积÷底 h=s ÷ah 1、三角形的面积=底×高÷2 S=ah ÷22、底=三角形的面积×2÷高 a=s ×2÷h3、高=三角形的面积×2÷底 h=s×2÷a五、梯形（a 上底、b 下底、h 高、s 面积） a b六、圆（r 半径、d 直径、o 圆心、s 面积、c 周长）h1、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=(a+b)×h ÷22、高=梯形的面积÷（上底+下底）×2h=s ÷ (a+b)×23、（上底+下底）=梯形的面积÷高×2 (a+b)=s ÷h ×24、上底=梯形的面积÷高×2－下底 a=s ÷h ×2－brd o1、圆的周长=直径×圆周率 C=d ∏2、圆的周长=半径×2×圆周率 C=2∏r3、圆的面积=圆周率×半径的平方S=∏ r 2七、扇形常见立体图形的表面积、体积计算公式 一、长方体二、正方体面积=圆周率×半径的平方×360nS=∏ r2×360nh a 1、长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2S 表=(ab+ah+bh)×22、体积=长×宽×高 V=abha a1、长方体的表面积= 棱长×棱长×6 S 表=a ×a×62、体积=棱长×棱长×棱长 V=a ×a×a三、圆柱体三、圆锥体h1、侧面积=半径×2×∏ ×高S 侧=2∏ rh2、底面积=圆周率×半径的平方 S 底=∏r 23、表面积=侧面积+2个底面积， s 表=2∏ rh+2∏r 2。
推导面积计算公式的方法
推导面积计算公式的方法面积是几何学中一个重要的概念，它描述了一个平面图形所占据的空间大小。
在数学中，有许多不同的图形，如矩形、三角形、圆形等，它们都有各自的面积计算公式。
本文将介绍一些常见图形的面积计算方法，并简要推导它们的计算公式。
一、矩形的面积计算方法矩形是最简单的图形之一，它由四条边组成，且相邻两边互相垂直。
矩形的面积计算公式为：面积 = 长 ×宽。
这个公式的推导非常直观，可以通过将矩形划分为若干个小正方形来理解。
假设矩形的长为a，宽为b，我们可以将矩形划分为a ×b个小正方形，每个小正方形的边长都是1。
因此，矩形的面积就等于所有小正方形的面积之和，即a × b。
二、三角形的面积计算方法三角形是另一个常见的图形，它由三条边和三个内角组成。
计算三角形的面积有多种方法，其中最常用的方法是利用底边和高的关系。
三角形的面积计算公式为：面积 = 底边 ×高 / 2。
这个公式的推导可以通过将三角形划分为两个等腰三角形来理解。
假设三角形的底边为a，高为h，我们可以将三角形划分为两个等腰三角形，每个等腰三角形的底边为a，高为h。
因此，三角形的面积就等于两个等腰三角形的面积之和，即a × h / 2。
三、圆形的面积计算方法圆形是一种没有边界的图形，它由一个圆心和一条半径组成。
计算圆形的面积需要用到圆周率π，它是一个无理数，约等于3.14159。
圆形的面积计算公式为：面积= π × 半径²。
这个公式的推导可以通过将圆形划分为许多个小扇形来理解。
假设圆形的半径为r，我们可以将圆形划分为许多个小扇形，每个小扇形的面积可以近似看作是一个三角形的面积，即底边为r，高为r。
因此，圆形的面积就等于所有小扇形的面积之和，即π × r²。
四、其他图形的面积计算方法除了矩形、三角形和圆形，还有许多其他图形，如梯形、正方形、菱形等，它们都有各自的面积计算方法。
平面图形和立体图形的计算公式
平面图形和立体图形的计算公式1、正方形（C：周长 S：面积 a：边长）周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a=2a2、正方体（V:体积 a:棱长）表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a=3a3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长）周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)面积=长×宽 S=ab4、长方体（V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高）(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高 V=abh5、三角形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高÷2 s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高6、平行四边形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高 s=ah7、梯形（s：面积 a：上底 b：下底 h：高）面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷28、圆形（S：面积 C：周长л d=直径 r=半径）(1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr(2)面积=半径×半径×л=π2r9、圆柱体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长）(1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径10、圆锥体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径）体积=底面积×高÷3。
附录A 平面图形的几何性质
n
同理 I y
I
， Ai
y
i 1
n
I xy
I Ai xy
i 1
§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径
三、惯性积的性质
y -x x
当 x 、 y 轴中有一轴为对称轴
A
A
I xy
xyd A
A
y
y
2n
lim
Ai 0
i 1
xi
yi Ai
O
x
n
lim Ai 0 i 1
xi yi Ai
xi
r2 z2
yC 0 Sz 0
z dA
z dz
dA 2 r2 z2 dz
r
y
Sy
zdA
A
r
z2
2r3 r2 z2 dz
o
0
3
zC
Sy A
2r3
r2
3 2
4r
3
§A.1 形心和静矩
三、组合图形的静矩和形心
组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等） 组成的平面图形
如：
§A.1 形心和静矩
Ix Iy
2
4
I
2 xy
故
I I
x0 y0
Ix
2
Iy
1 2
(Ix
I
y
)2
4
I
2 xy
§A.4 转轴公式 主惯性矩
4.主惯性矩的性质
当Ix1取极值时，对应的方位为1
令 dI x1
d
(I x I y )sin 21 2I xy cos 21 0
1
得到
tg21
2I xy Ix I
常见的平面图形常用公式
常见的平面图形常用公式如直线、射线、角、三角形、平行四边形、长方形(正方形)、梯形和圆也差不多上几何图形，这些图形所表示的各个部分都在同一平面内,称为平面图形。
常见平面图形常用公式：长方形S=ab C=(a+b)2正方形S=aa 或对角线对角线2 C=4a平行四边形S=ah三角形S=ah2梯形S=(a+b)h2圆形S=rr C=d椭圆S=rr平面图形名称符号周长C和面积S正方形a边长C=4aS=a2长方形a和b-边长C=2(a+b)S=ab三角形a,b,c-三边长h-a边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2=ab/2sinC=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2=a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D-对角线长-对角线夹角S=dD/2sin平行四边形a,b-边长h-a边的高-两边夹角S=ah=absin菱形a-边长-夹角D-长对角线长d-短对角线长S=Dd/2=a2sin梯形a和b-上、下底长h-高m-中位线长S=(a+b)h/2 =mh圆r-半径d-直径C=rS=r2=d2/4扇形r扇形半径a圆心角度数C=2r+2(a/360)S=r2(a/360)弓形l-弧长b-弦长h-矢高r-半径-圆心角的度数S=r2/2(/180-sin)=r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =r2/360 - b/2[r2-(b/2)2]1/2=r(l-b)/2 + bh/22bh/3圆环R-外圆半径r-内圆半径D-外圆直径d-内圆直径S=(R2-r2)=(D2-d2)/4椭圆D-长轴d-短轴S=Dd/4立方图形名称符号面积S和体积V 正方体a-边长S=6a2V=a3长方体a-长b-宽c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc棱柱S-底面积h-高V=Sh棱锥S-底面积h-高V=Sh/3棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3拟柱体S1-上底面积S2-下底面积S0-中截面积h-高V=h(S1+S2+4S0)/6圆柱r-底半径h-高C底面周长S底底面积S侧侧面积S表表面积C=2rS底=r2S侧=ChS表=Ch+2S底V=S底h=r2h空心圆柱R-外圆半径r-内圆半径h-高V=h(R2-r2)直圆锥r-底半径h-高V=r2h/3圆台r-上底半径R-下底半径h-高V=h(R2+Rr+r2)/3球r-半径d-直径V=4/3d2/6球缺h-球缺高r-球半径a-球缺底半径V=h(3a2+h2)/6=h2(3r-h)/3a2=h(2r-h)球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=h[3(r12+r22)+h2]/6圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=22Rr2=2Dd2/4桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=h(2D2+d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
平面图形的推导过程及公式
平面图形的推导过程及公式Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT周长：圆、椭圆或其他闭合的曲线的周界长度。
面积：物体的表面—平面图形的大小，叫做它们的面积。
圆面积推导过程：1、把圆16等份分割后拼插成近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一（C/4=πr/2）,高等于圆半径的2倍(2r),所以S=πr/2·2r=πr22、把圆16等份分割后可拼插成近似的等腰三角形。
三角形的底相当于圆周长的1/4,高相当于圆半径的4倍,所以S=1/2·2πr/4r=πr23、把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。
梯形上底与下底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的2倍,所以S=1/2·πr·2r=πr2 。
4、小结:无论我们把圆拼成什么样的近似图形,都能推导出圆的面积公式S=πr2,验证了原来猜想的正确。
说明在求圆的面积时,都要知道半径。
三角形面积推导过程：1：把一个等腰三角形对折，然后从中间剪开拼成了一个长方形，这个长方形的底是三角形的底的一半，高是三角形的高，因为长方形的面积是长×宽，长方形的面积等于三角形的面积，所以三角形的面积是底×高÷2。
2：把一个直角三角形的上面对折下来，然后剪开，把它补在一边，拼成了一个长方形。
这个长方形的长是三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的面积是底×高÷2。
3：把一个三角形沿着两边的重点对折，然后又把底边的重点这样对折，折成了一个长方形，这个长方形的底是三角形底的一半，宽是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面积是底×高÷24：把一个长方形沿对角线折叠，因为长方形的面积是长×宽，长方形是两个三角形拼成的，所以，三角形的面积是底×高÷2梯形面积推导过程：1、用两个完全一样的梯形通过旋转拼成了一个长方形，观察后发现：梯形的上下底之和相当于长方形的长、梯形的高相当于长方形的宽、梯形的面积=长方形的面积÷2（或梯形的面积等于长方形的面积的一半），根据拼成图形的面积公式是：长方形的面积=长×宽，所以：梯形的面积=（上底+下底）×高÷22、梯形的上下底之和相当于平行四边形的底，梯形的高相当于平行四边形的高，梯形的面积相当于平行四边形面积的一半。
最全的平面图形公式
1过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a 2+b2=c247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d85 (3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(ASA)92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS)95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交 d﹤r②直线L和⊙O相切 d=r③直线L和⊙O相离 d﹥r122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135①两圆外离 d﹥R+r ②两圆外切 d=R+r③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)④两圆内切 d=R-r(R﹥r) ⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长142正三角形面积√3a/4 a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4144弧长计算公式：L=n∏R/180145扇形面积公式：S扇形=n∏R/360=LR/2146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)。
所有的平面图形的求面积和周长的公式
所有的平面图形的求面积和周长的公式:
长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 2、
正方形的周长=边长×4 C=4a
长方形的面积=长×宽 S=ab
正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a
三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2
平行四边形的面积=底×高 S=ah
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2
直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2
圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr
圆的面积=圆周率×半径×半径 =πr
长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2
长方体的体积 =长×宽×高 V =abh
正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a.a.a= a
圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 S=ch
圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch
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小学图形面积周长公式推导
三角形
平行四边形
底
高
高
底
等底等高
转化 两个完全相同的三角形
三角形面积= 平行四边形面积 ÷ 2
底×高
梯形
上底
高
下底
上底
高
下底
上底
高
下底
梯形
两个完全相同的梯形
高
拼
成
下底
上底
底
平行四边形的底 = 上底 + 下底
一个平行四边形
平行四边形的高 = 梯形的高
梯形面积 =（上底平+行下四底边）形面积 ÷ 2
底×高
圆的周长
3倍多一些
圆的周长是直径的3倍多一些。
固定的数
圆周率
圆的周长 圆的周长是直径的3倍多一些。
C ÷d = C = d × = d C = 2r × = 2r
圆的面积 把圆平均分成32份
圆的面积 把圆平均分成32份
圆的面积 把圆平均分成32份
圆的面积 把圆平均分成32份
新人教版六年级图形总复习
平面图形面积推导
数学是思维的体操！
马楼镇后秦小学 孙颜红
长方形
长 宽
长方形周长= （长+宽）×2 长方形面积= 长 × 宽
正方形Βιβλιοθήκη 边长长 边长 宽 长 = 宽
正方形面积= 边长长 × 边宽长 正方形周长= 边长×4
平行四边形 把平行四边形转化为长方形
高 =宽 底 =长
平行四边形面积= 长底 × 宽高
圆的面积
圆的面积
圆的面积
圆的面积
圆的面积
圆的面积
圆的面积
C 2
=πr
r
长等于圆周长的一半 宽等于圆的半径
平面几何定理及公式
初等几何选讲复习资料二平面几何定理及公式1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 错角相等，两直线平行11 同旁角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，错角相等14 两直线平行，同旁角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形角和定理三角形三个角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c 的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形角和定理n边形的角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
平面图形和立体图形的计算公式
平面图形和立体图形的计算公式
1、正方形（C:周长S:面积a:边长）
周长=边长x 4 C=4a 面积=边长x边长S=a x a=a2
2、正方体（V:体积a:棱长）
表面积=棱长x棱长x 6 S 表=a x a x6
体积=棱长x棱长x棱长V=a x a x a=a3
3、长方形（C :周长S :面积a :边长）
周长=（长+ 宽）x 2 C=2（a+b）
面积=长乂宽S=ab
4、长方体（V: 体积s: 面积a: 长b: 宽h: 高）
（1）表面积（长x宽+长x高+宽x高）x 2 S=2（ab+ah+bh）
⑵体积=长乂宽x高V=abh
5、三角形（s :面积a :底h :高）
面积=底乂咼* 2 s=ah 宁2
三角形高= 面积x 2宁底三角形底=面积x 2宁高
6、平行四边形（s :面积a :底h：高）
面积=底乂高s=ah
7、梯形（s :面积a：上底 b :下底h：高）
面积=（上底+下底）x高* 2 s=（a+b）x h宁2
8、圆形（S :面积C :周长JI d=直径r=半径）
（1）周长=直径x J =2x J x 半径C= J d=2 J r
⑵面积二半径x半径x J = n r2
9、圆柱体（v:体积h:高s:底面积r:底面半径c:底面周长）（1）侧面积=底面周长x高=ch（2 J r或J d）（2）表面积= 侧面积+底面积
x 2
（3）体积=底面积x高（4）体积=侧面积* 2x半径。
平面图形的推导过程及公式
平面图形的推导过程及公式Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】周长：圆、椭圆或其他闭合的曲线的周界长度。
面积：物体的表面—平面图形的大小，叫做它们的面积。
圆面积推导过程：1、把圆16等份分割后拼插成近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一（C/4=πr/2）,高等于圆半径的2倍(2r),所以S=πr/2·2r=πr22、把圆16等份分割后可拼插成近似的等腰三角形。
三角形的底相当于圆周长的1/4,高相当于圆半径的4倍,所以S=1/2·2πr/4r=πr23、把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。
梯形上底与下底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的2倍,所以S=1/2·πr·2r=πr2 。
4、小结:无论我们把圆拼成什么样的近似图形,都能推导出圆的面积公式S=πr2,验证了原来猜想的正确。
说明在求圆的面积时,都要知道半径。
三角形面积推导过程：1：把一个等腰三角形对折，然后从中间剪开拼成了一个长方形，这个长方形的底是三角形的底的一半，高是三角形的高，因为长方形的面积是长×宽，长方形的面积等于三角形的面积，所以三角形的面积是底×高÷2。
2：把一个直角三角形的上面对折下来，然后剪开，把它补在一边，拼成了一个长方形。
这个长方形的长是三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的面积是底×高÷2。
3：把一个三角形沿着两边的重点对折，然后又把底边的重点这样对折，折成了一个长方形，这个长方形的底是三角形底的一半，宽是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面积是底×高÷24：把一个长方形沿对角线折叠，因为长方形的面积是长×宽，长方形是两个三角形拼成的，所以，三角形的面积是底×高÷2梯形面积推导过程：1、用两个完全一样的梯形通过旋转拼成了一个长方形，观察后发现：梯形的上下底之和相当于长方形的长、梯形的高相当于长方形的宽、梯形的面积=长方形的面积÷2（或梯形的面积等于长方形的面积的一半），根据拼成图形的面积公式是：长方形的面积=长×宽，所以：梯形的面积=（上底+下底）×高÷22、梯形的上下底之和相当于平行四边形的底，梯形的高相当于平行四边形的高，梯形的面积相当于平行四边形面积的一半。
园的面积、周长,圆环面积公式推导过程
圆的面积公式是通过将圆分割成无数个小的扇形，然后求和这些扇形的面积得到的。每个扇形的面积近似于一个 等腰三角形的面积，其底为圆的半径，高为圆的半径。因此，每个扇形的面积为(1/2)r^2，圆的面积为πr^2。
圆的周长公式
圆的周长公式
C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π是一个常数， 约等于3.14159。
推导过程
圆的周长公式是通过将圆分割成无数个小的弧形，然后求和这 些弧形的长度得到的。每个弧形的长度近似于一个正弦波的波 长，其波长为2πr/n，其中n是弧形所在的等分点数。因此，圆 的周长为2πr。
03
圆环面积公式推导
圆环的定义
圆环定义
圆环是一个由两个同心圆围成的区域，其中大圆的半径为R，小圆的半径为r。
目标
能够运用这些公式解决实际问题，并 理解其几何意义。
02
圆的面积和周长
圆的定义
圆的定义：圆是一种几何图形，由所 有与固定点（称为圆心）距离相等的 点组成。
通过圆心并垂直于半径的线段称为直 径，通常用字母d表示。
圆上任意一点到圆心的距离称为半径， 通常用字母r表示。
圆的面积公式
圆的面积公式
A = πr^2，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径，π是一个常数，约等于3.14159。
04
结论
总结
通过对圆的面积、周长以及圆环面积的公式推导，我们深 入理解了这些几何概念的基本原理。
圆的面积公式是基于对圆的分割和近似，通过极限的思想 得到的。周长的推导则是基于圆的定义和几何特性。圆环 的面积则是基于大圆减小圆的原理。
这些公式不仅在理论上具有重要意义，而且在解决实际问 题中也有广泛的应用。
未来研究方向
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周长：圆、椭圆或其他闭合的曲线的周界长度。
面积：物体的表面—平面图形的大小，叫做它们的面积。
圆面积推导过程：
1、把圆16等份分割后拼插成近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一（C/4=πr/2）,高等于圆半径的2倍(2r),所以S=πr/2·2r=πr2
2、把圆16等份分割后可拼插成近似的等腰三角形。
三角形的底
相当于圆周长的1/4,高相当于圆半径的4倍,所以S=1/2·2πr/4r=πr2
3、把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。
梯形上底与下底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的2倍,所以S=1/2·πr·2r=πr2 。
4、小结:无论我们把圆拼成什么样的近似图形,都能推导出圆的面积公式S=πr2,验证了原来猜想的正确。
说明在求圆的面积时,都要知道半径。
三角形面积推导过程：
1：把一个等腰三角形对折，然后从中间剪开拼成了一个长方形，这个长方形的底是三角形的底的一半，高是三角形的高，因为长方形的面积是长×宽，长方形的面积等于三角形的面积，所以三角形的面积是底×高÷2。
2：把一个直角三角形的上面对折下来，然后剪开，把它补在一边，拼成了一个长方形。
这个长方形的长是三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的面积是底×高÷2。
3：把一个三角形沿着两边的重点对折，然后又把底边的重点这样对折，折成了一个长方形，这个长方形的底是三角形底的一半，宽是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面积是底×高÷2
4：把一个长方形沿对角线折叠，因为长方形的面积是长×宽，长方形是两个三角形拼成的，所以，三角形的面积是底×高÷2
梯形面积推导过程：
1、用两个完全一样的梯形通过旋转拼成了一个长方形，观察后发现：梯形的上下底之和相当于长方形的长、梯形的高相当于长方形的宽、梯形的面
积=长方形的面积÷2（或梯形的面积等于长方形的面积的一半），根据拼成图形的面积公式是：长方形的面积=长×宽，所以：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
2、梯形的上下底之和相当于平行四边形的底，梯形的高相当于平行四边形的高，梯形的面积相当于平行四边形面积的一半。
根据拼出图形的面积公式是：平行四边形的面积=底×高，所以：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
平行四边形面积推导过程：
平行四边形：由长方形面积推导而来的，把平行四边形的一角切割平移至另外一角，拼成一个长方形，长方形的长就是平形四边形的底，宽就是平行四边形的高，因为长方形的面积是长*宽，所以平形四边形的面积就是底*高圆形：把一个圆沿半径剪成若干等份，再让一系列圆心角互相咬合，便拼成了一个近似的长方形；而且，平分的份数越多，拼成的与长方形越近似；可以想象，若能无限分割，则就拼成了一个长方形，长相当于圆周长的一半，宽就是圆的半径，所以S长=a*b=πr*r=πr²
所以S圆=πr²
三角形：把两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高，每个三角形的面积是这个拼成的平行四边形面积的一半，因为平行四边形的面积＝底×高，所以三角形的面积＝底×高÷2.用字母表示为S=ah÷2.
平行四边形：由长方形面积推导而来的，把平行四边形的一角切割平移至另外一角，拼成一个长方形，长方形的长就是平形四边形的底，宽就是平行四边形的高，因为长方形的面积是长*宽，所以平形四边形的面积就是底*高梯形：由平行四边形面积得到。
两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底就梯形的上底+下底，平行四边形的高就是梯形的高，因为平行四边形的面积是底*高，所以梯形的面积为（上底+下底）*高/2。