虚部和共轭复数也是方程的解

t t0
t0 [a,b]，
连续
lim
t t0
z(t)

z(t0 )
t0
[a, b]，
导数 lim z(t) z(t0 ) lim (t) (t0 ) i lim (t) (t0 )
tt0 t t0
t t0
t t0
lim
tt0
z(t) z(t0 ) t t0
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 an1(t ) dt an (t )x u(t )
和
dnx dt n

a1(t )
d n1 x dt n1


an1
(t
)
dx dt

an
(t
)
x

v(t
)
的解.
二、常系数齐次线性方程
n 阶常系数齐次线性方程：

a1(t)
d n1x dt n1


an1
(t
)
dx dt

an
(t
)
x

0
()
定理 如果方程（ ）中所有系数 ai (t)(i 1,2,L, n)
都是实值函数，而 x z(t) (t) i (t)是方程的复
值解，则 z(t) 的实部 (t) ，虚部 (t) 和共轭复数
因此要使
L[et ] net a1n1et an1et anet 0
只需 满足 F() 0
结论：x e t 是方程 () 的解的充要条件是 F () 0
特征方程 特征根
F () n a1n1 an1 an 0
n1 2
....
n1 n
e(12 n )t (i j ) 0 1i jn
因此 e1t , e2t , , ent 线性无关，是方程的基本解组。 ① 1, 2 ,L, n 均为实根
方程 () 的通解可表示为 x c1e1t c2e2t cnent
②若特征方程有复根
因方程的系数是实常数。复根将成对共轭出现
设 1 a ib 是方程的一个特征根 2 a ib 也是一个特征根

z(t0 )
dz dt
t t0

d
dt
t t0
i d
dt
t t0
易验证
d dt
( z1 (t )

z2 (t))

dz1(t) dt

dz2 (t) dt
d dt
[cz1
(t
)]

c
dz1(t dt
)
d dt
(z1(t)
z2 (t))

dz1(t) dt
z2 (t)

z1(t)
函数 z(t) 也是方程（ ）的解。
定理 设方程
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 an1(t ) dt an(t)x u(t ) iv(t )
有复值解x U(t) iV (t),这里ai (t), u(t),v(t)都是实 函数,那么这解的实部U(t)和虚部V (tห้องสมุดไป่ตู้分别是方程
cos bt 1 eibt eibt 2
sin bt 1 eibt eibt 2i
性质1 et et
性质2 性质3 性质4
e e e(12 )t
1t 2t
det et
dt
d net dt n
net
3、复值解 定义 如果定义在 [a,b] 上的实变量的复值函数 x z(t) 满足方程
特征方程的根
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。
1)特征根为单根的情况
设 1, 2 ,L, n 是 F () 0 的n个互不相等的根，
则相应的方程 () 有如下n个解
e1t , e2t , , ent
由于
e1t
W (t) 1e1t
.....
e n1 1t 1
L[x]

dnx dt n

a1
d n1 x dt n1

an1
dx dt

an x

0
()
关键： 找n个线性无关的解
考虑 x e t ?
代入 L[et ] net a1n1et an1et anet 0
令
F () n a1n1 an1 an 0 L[et ] et F()
e2t
2e2t
.....
e n1 2t 2
.... ent
.... nent
..... .....
....
e n1 nt n
1
e (1 2 Ln )t 1
...
1 .... 1
2 .... n 范德蒙行列式
.... .... ....
n1 1
dnx
d n1x
dx
dtn a1(t) dtn1 an1(t) dt an (t)x f (t) ()
其中 ai (t) (i 1,2,L, n) 及 f (t) 都是区间 a t b 上的实值函数, 则称 x z(t) 为方程的一个复值解。
考虑方程
dnx dt n
线性齐次常系数方程
一、概念 二、常系数齐次线性方程 三、变系数齐次线性方程
一、概念 n 阶齐线性微分方程：
x(n) a1(t)x(n1) an1(t)x an (t)x 0 () 当 a (x) ( i 1, 2,L, n ) 均为常数时，称为常系 数方程；
i
常系数齐线性微分方程：
dz2 (t) dt
2、 复指数函数
复指数函数 et , a i b a, b 为实数，t 为实变量。
定义 et e(a ib )t eateibt
eat (cos bt i sin bt)
e(a ib )t eat (cos bt i sin bt)
欧拉公式
x(n) a1x(n1) an1x an x 0
1、复值函数
定义 z(t) (t) i (t) t [a,b]，
(t)， (t)是定义在[a, b] 上的实函数。
极限
lim z(t) lim (t) i lim (t)
t t0
t t0