复数代数形式的乘除运算教案
高中数学_复数代数形式的乘除运算教学设计学情分析教材分析课后反思
3. 2. 2 复数代数形式的乘除运算教学设计
主备人：
学习目标
1．理解并掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，理解除法是乘法运算的逆运算.
2．理解并掌握复数的乘法实质就是多项式展开，除法运算实质是分母实数化类问题．
重点：复数的乘除运算法则及其应用．
难点：复数的代数形式的化简．
学习过程
一．认知预习
阅读教材P109-P111页的内容，并解答问题：
1、类比两个多项式相乘，()()a b c d ac ad bc bd ++=+++。你能总结出复数相乘的运算规则吗？
设1z a bi =+，2z c di =+(,,,)a b c d R ∈是任意两个复数
二、探究新知
探究一、乘法运算律：
①交换律：1221z z z z =，②结合律：()()123123z z z z z z =，③分配律：
()1231213z z z z z z z +=+.
这些运算律对复数成立吗？你能推导①吗？
小试牛刀
(1)
(2＋i)(2－i) （2）1-2i 3+4i -2+i ⋅⋅（）（）（）
（3）3+4i 3-4i （）（） 2
41+i （）（）
思考：观察（1）（3）计算结果，它们的实部与虚部有什么特点？
探究二、共轭复数
共轭复数有什么特点？
1、实部虚部特点：
2、模有什么关系：
3、乘积有什么特点：
总结共轭复数的概念：
探究三、复数除法、运算规则
类比实数的除法
如：（1）34342-3=
2-3a a a a ++÷（）（）
22÷==(2)（（ 两个实数相除可以写成分数的形式，在进行复数运算的时候我们也将复数相除写成分数的形式
复数的乘、除运算(教学设计)
复数的乘除运算教学设计
教学目标
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养；
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，提升数学运算的核心素养。
教学重难点
1.重点：掌握复数的乘法和除法运算；
2.难点：复数的除法运算
教学过程
（一）新知导入
1.创设情境，生成问题
两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？
2.探索交流，解决问题
【问题1】设z
1＝a＋b i，z
2
＝c＋d i(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，
应如何规定两个复数相乘？
[提示]z
1z
2
＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋
ad)i.(实部相乘减去虚部相乘的差为实部，实部与另一复数虚部相乘的和为虚部）【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗？
[提示]满足．
【问题3】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z z的共轭复数等于什么？z z是一个
怎样的数？
[提示]z＝a－b i，z z＝a2＋b2是一个实数．
（二）复数的乘除运算
1.复数的乘法运算
复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式，如平方差公式、完全平方公式等
(1)复数的乘法法则
设z 1＝a ＋b i，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，
则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律
新人教版高中数学必修第二册《复数的乘除运算》教学设计
【新教材】7.2.2 复数的乘除运算
教学设计（人教A版）
复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.
课程目标：
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;
3.理解且会求复数范围内的方程根.
数学学科素养
1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;
2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;
3.数学运算：复数四则运算;
4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.
重点：复数代数形式的乘法和除法运算．
难点：求复数范围内的方程根.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.
教学工具：多媒体.
一、情景导入
前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本77-79页，思考并完成以下问题
1、复数乘法、除法的运算法则是什么？
2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．复数代数形式的乘法法则
已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
复数代数形式的加减乘除运算及其几何意义(用)
.
特别地，a+bi=0
问题：
a=0是z=a+bi(a、bR)为 纯虚数的
必要不充分条件
复数的几何意义(一)
复数z=a+bi
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量
y
OZ
Z(a,b)
a
z=a+bi
b
o
x
小结
复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义(二)
对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离.
[精解详析]
设 z＝a＋bi(a，b∈R)，
则 z ＝a－bi(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即 a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
2 2 a ＋ b －3b＝1， 则有 －3a＝3，
a＝－1， 解得 b＝0，
a＝－1， 或 b＝3.
5 5
z1 1 i , z2 2 i
（3） (1 i) 2i;
2
1 1 i i; i; i 1 i
1 i i. 1 i
拓 展 求满足下列条件的复数z:
(1)z+(3－4i)=1;
(2)(3+i)z=4+2i
高中数学_复数代数形式的加减乘除运算及其几何意义教学课件设计
z 通常复数Z的共轭复数记为
思考 若z1, z2是共轭复数,那么
1 在复平面内, 它们所对应的点有怎样的位置关系? 2 z1 z2是一个怎样的数?
在示复复平数面Z 内,那,如么果点点ZZ和表Z示关复于数实z ,轴点对Z称表. 复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和 Z
则z1+z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，z2+z1=（a2+a1)+(b2+b1)i
显然
z1+z2=z2+z1z+1z2=z2+z1
同理可(得z1+z2)+(zz13+=zz21)++(zz32=+zz13+) (z2+z3)
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中 依然成立。
复数代数形式的加减运算及其几何意义
实数b 0
虚数 b
纯虚数 a 0，b 0 0 非纯虚数 a 0，b
0
(3) 复数相等的等价条件？（a+bi=c+di）
a+bi=c+dia=c且b=d 特别地，a+bi=0 a=0且b=0
.
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要不充分条件
(4) 复数的几何意义是什么？
复数代数形式的乘除运算教案
复数代数形式的乘除运算教案
一、教学目标：
1.了解复数的定义和性质；
2.掌握复数的加减乘除运算；
3.能够应用复数进行实际问题求解。
二、教学重点：
1.复数的加减乘除运算；
2.复数的相关性质。
三、教学难点：
1.复数乘除运算的步骤；
2.复数运算过程中的常见问题。
四、教学过程：
第一步：了解复数的定义和性质（10分钟）
1. 复数的定义：复数由实数和虚数相加得到，形式为a + bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位。
2.复数的性质：复数的加法、减法、乘法、除法满足相应运算规则；
- 加法性质：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- 减法性质：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
- 乘法性质：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
- 除法性质：(a + bi) / (c + di) = (ac + bd) / (c^2 + d^2) + (bc - ad) / (c^2 + d^2)i
第二步：复数的加法和减法运算（15分钟）
1.讲解复数的加法和减法运算规则，并进行示例演练。
2.学生们自己动手进行练习，解决一些简单的加法和减法题目。
3.学生互相检查答案，解析错误的题目。
第三步：复数的乘法运算（25分钟）
1.讲解复数的乘法运算规则，并进行示例演练。
2.学生们自己动手进行练习，解决一些简单的乘法题目。
3.学生互相检查答案，解析错误的题目。
第四步：复数的除法运算（25分钟）
复数代数形式的乘除运算
复数代数形式的乘除运算说课稿
说课教师：张晶晶
一教材分析
1、教材的地位和作用
《§3.2.2 复数代数形式的乘除运算》是高中数学选修2-2（人教A版）第
三章的第二小节，其主要内容是复数代数形式的乘除运算。前面已学习了《§3.1.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义》, 在此基础上，继续学习复数的乘除运算，让学生认识到实数集中的许多性质在复数集中仍然适用，同时也是对学习复数知识的加深和巩固。它进一步揭示了虚数与实数辩证统一的关系，对培养学生类比学习的观点和转化的思想起到了一定的帮助作用，为提高学生的推理论证能力和解决问题的能力也起到了十分重要的作用。
2．教学重点与难点
教学重点：复数代数形式的乘法与除法运算法则.
教学难点：对复数除法运算法则的运用(分母实数化的问题)。
3. 教学目标
（1）知识与技能：通过类比学习熟练掌握复数代数形式的乘法与除法运算
法则，深刻体会复数的除法运算实质是分母实数化的问题。
（2）过程与方法：通过学生自学、兵教兵、探究等教学形式提高学生分
析问题和解决问题的能力。
（3）情感与价值观：在教学中要注重培养学生思维的灵活性，辩证性和
创新性，活跃课堂气氛，激发学生学习数学的热情，培养学生学习数
学的兴趣，增强他们学习数学的信心。
二教法分析
1、要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化，注意知识前后的联系，形成知识框架；其次要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。
2、根据上述教材分析和目标分析，在教学中采用“洋思模式”，以学生为主体，学生自学为核心构建课堂教学，培养问题意识，孕育创新精神，提出恰当的对学生的数学思维有适度启发的问题，引导学生自学，培养学生良好的学习方法。
高中数学_3.2.2 复数的乘法和除法教学设计学情分析教材分析课后反思
3．2.2 复数代数形式的乘除运算---教学设计
整体设计
教材分析
本节课是《复数代数形式的四则运算》的第二课时，是四则运算的重点，也是本章的重点．复数的乘法法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数乘法的法则是一致的，而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立．由除法是乘法的逆运算的这种规定，可以得到复数除法的运算法则．
教材在内容编排上使用问题探究式的方法，引导学生能够自己探究新知，发现新知，理解新知．学生不仅学到了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积极性．
教学目标 知识与技能目标
1．掌握复数代数形式的乘除运算法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．
2．理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质． 过程与方法目标
1．运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程． 2．培养学生的发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性． 情感、态度与价值观
通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．
重点难点
重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算． 难点：复数除法的运算法则．
教学过程
【复习回顾】
1. 复数的加减法的几何意义是什么？
2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ = （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ = （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[=
【 引入新课】
提出问题：试计算（1）(1(2⨯= （2）()()a b c d +⨯+ =（类比多项式的乘法引入复数的乘法）（3）5(2＋i)＝
复数的代数形式的乘除运算
3．2.2 复数代数形式的乘除运算
一、教学目标：
（1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算；
（2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题；
（3）让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法；
（4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
二、重点、难点分析
本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质．
复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数．
三、教学过程：
设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，
问题1：如何规定两复数相乘？
提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即
z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
问题2：根据问题1中的规定复数的乘法运算是否满足交换律、结合律、分配率？
提示：满足．
z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，
复数代数形式的四则运算(教学设计)(2)
(C)
1 i
(D) 1 i
1 1 i 1 i 1 i ，故选A 1 i (1 i )(1 i ) 2 2 2
【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。复数的运算要做到细心准确。
5
8.【2012高考江西文1】若复数 z 1 i （ i 为虚数单位) z 是z的共轭复数 ， 则 z 2 + z ²的虚部为 A 0 B -1 C 1 【答案】A D -2
3 i (3 i )(2 i ) 5 5i 1 i ，所以其共轭复数为 z 1 i ，选D. 2i (2 i )(2 i ) 5
4
3.【2012高考山东文1】若复数z满足 z (2 i ) 11 7 i(i 为虚数单位)，则 z 为 (A)3+5i 【答案】A 【解析】 z
∴(a+bi)÷(c+di)=
ac bd bc ad i. c2 d 2 c2 d 2
点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法 ，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的 3 2 的对偶式 3 2 ，它们之积为1是有理数， 而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法
高中数学_复数代数形式的 乘除运算教学设计学情分析教材分析课后反思
§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学设计
一．教学目标:
1．掌握复数乘法与除法的运算法, 并能熟练地进行乘除运算； 2．理解共轭复数的概念；
3．知道复数乘法法则满足交换律、结合律，乘法对加法的分配律以及正整数幂的运
算律．
4．通过教师引导学生进行的探究活动和必要讲解，消除知识出现的生硬感，使其出现得合情合理，促使学生对研究方法与过程的关注和理解，避免学生对结论的机械记忆，鼓励学生在学习中敢于质疑，深入思考，积极探索的习惯。让学生体验数学发现和知识发生发展的过程，在思维的层层推进中享受不断获取新发现的快乐，发展学生的创新意识和能力，树立正确的数学学习观。
教学重点：复数乘法与除法的运算; 教学难点: 复数的除法运算;
二．回顾知识：
问题（1）：复数的加法，减法法则分别是什么？
类比：多项式相乘
问题（2）：两个多项式的积怎样运算 ？
在这里配一些练习帮助学生回忆,通过解题来感受,达到本节课的导入新课的目的. 练习:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) (a+b)(c+d) (1+2x)(2+3x) (a+b)(a-b) 三．教学过程：
1. 复数的乘法法则：
),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+= 则_________________21=z z
两个复数的积依然是一个复数，它的实部是 ，它的虚部是 总结：（1）、其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2
i 换
成－1，并且 把实部与虚部分别合并.
（2）、两个复数的积仍然是一个复数
例1、计算()()()i i i +-+-24321
复数代数形式的四则运算(教学设计)(2)
复数代数形式的四则运算（教学设计）（2）
§3.2.2复数代数形式的乘除运算
教学目标：
知识与技能目标：
理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算。理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质
过程与方法目标：
理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
情感、态度与价值观目标：
复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教学过程：
一、复习回顾，新课引入：
1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
3、复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.
4、复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
二、师生互动、新课讲解：
１．乘法运算规则：
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
2.乘法运算律：
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
高中数学选修2-2教学设计8：3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
教学目标
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.理解共轭复数的概念．
问题导思
知识点一 复数的乘法及其运算律
思考 怎样进行复数的乘法运算？
[答案] 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
梳理 (1)复数的乘法法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积
(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.
(2)复数乘法的运算律
对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 交换律
z 1z 2＝z 2z 1 结合律
(z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3) 乘法对加法的分配律
z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3
知识点二 共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.
知识点三 复数的除法法则
思考 类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝(1＋3)(3＋2)(3－2)(3＋2)，你能写出复数的除法法则吗？
[答案] 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)，
则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2
i. 教学案例
类型一 复数代数形式的乘除运算
例1 计算：
(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭
复数的乘除运算(教学设计)
§
一、内容和内容解析
内容：复数的乘除运算．
内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第2节第二课时的内容．复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.
通过实例，明确复数的乘除运算法则，发展数学运算素养.经历复数四则运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.
二、目标和目标解析
目标：
（1）掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养．
（2）理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，会求在复数范围内方程的根，提升数学运算的核心素养．
目标解析：
（1）与复数的加法法则类似，教学时要引导学生结合引入复数集的过程，在希望保持运算律的指引下，自主探索如何“合理地”规定复数的乘法法则．
（2）鉴于复数的乘法法则的形式较为复杂，因此在引入复数的乘法法则后，更应引导学生加强与多项式的乘法进行类比，以发现两者的共性和差异，将复数看作关于i的“一次二项式”，将复数的乘法按多项式乘法进行，只要在结果中把2i换成1,并且把实部和虚部分别合并即可.
（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在本节课的教学中，推导乘法的运算法则是进行数学类比教学的很好机会．
基于上述分析，本节课的教学重点定为：掌握复数的乘法和除法运算．
高中数学_3.2复数代数形式的四则运算教学设计学情分析教材分析课后反思
选修2-2 第三章 复数代数形式的四则运算教学设计
教学目标：
掌握复数的代数形式的加减乘除运算法则， 会进行复数代数形式的运算；
了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义
教学重点：复数的代数形式的加减乘除运算法则 教学难点：复数的代数形式的乘、除运算法则
一、课前热身：
1．复数
i －2
1＋2i
＝( ) A ．i B ．－i C ．－45－3
5i
D ．－45＋35i
2．复数(3＋4i)i (其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．复数z ＝2＋m i
1＋i (m ∈R )是纯虚数，则m ＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
4复数3
)2
321(i +等于（ ） （A ）
i - （B ）i （C ）1- （D ） 1
5．若i i
z 21+=
,则复数z = 6.复数的1
1Z i =-模为（ ）
A ．1
2
B ．2
C
D ．2
教学过程 二、题型分析
题型一、复数的代数运算
例1、计算
（1）)1)(2
123)(2321(i i i +++- （2）
i
i
i i 32233223+--
-+
变式训练：（1）已知2i -3是关于x 的方程2x 2+px+q=0的一根，求p,q 的值
（2）已知z 是纯虚数，i
z +-12
是实数，求z
i z b b i
b b i
b b i i i bi i bi i z b R b bi 2202
2
22
222
)2(2)1)(1()1)(2(1212)
0(z -=∴-==+++-=++-=-+--=+-=+-≠∈=，，设 拓展探究：
《3.2.2复数的乘法和除法》导学案1
《3.2.2复数的乘法和除法》导学案
学习目标
1.自主学习、合作交流，探索复数的代数形式的乘、除运算；
2.激情投入、高效学习，培养严谨的数学思维品质.
课前导学
一、(预习教材P 59~ P 61，找出疑惑之处)
复习1：计算(1)(14)(72)i i +-+ ；(2)(52)(14)(23)i i i --+--+；
(3)(32)(43)(5)]i i i --+-+-[
复习2：计算： 1)2()a b ±= ；2)(32)(32)a b a b +-= ； 3)(32)(3)a b a b +--=
二、学情反馈
我的疑惑：
三、学习内容
探究任务一：复数代数形式的乘法运算
规定，复数的乘法法则如下：
设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么
2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++ =()()ac bd ad bc i -++
即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可.
问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？
试试：计算(1)(14)(72)i i +⨯-；(2)(72)(14)i i -⨯+；(3)[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+；
新知：对于任意123,,z z z C ∈，有：1)1221z z z z ⋅=⋅；2)123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅； 3)1231213())z z z z z z z +=+
反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律. 例1已知12122,34,.z i z i z z =+=-∙计算
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复数代数形式的乘除运算教案
教学目标：
1 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算
2 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
3 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
课型:新知课
教具准备：多媒体
教学过程：
复习提问：
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是
实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.
复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
讲解新课：
一．复数的乘法运算规则：
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
探究:
复数的乘法是否满足交换律、结合律?
乘法对加法满足分配律吗?
二.乘法运算律：
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，
z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.
又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.
∴z1z2=z2z1.
(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)
=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i
=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，
同理可证：
z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3 -b1b2b3)i，
∴(z1z2)z3=z1(z2z3).
(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］
=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i
=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.
z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)
=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3
)i
=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i
=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i ∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)
解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.
复数的乘法与多项式的乘法是类似的我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
例2计算：
（1）(3+4i) (3-4i) ；（2）（1+ i)2.
解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;
(2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.
练习课后第2题
三.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，
这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数z的共轭复数为z。
思考:若z1, z2是共轭复数,那么
(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?
(2)z1z2是怎样的一个数?
探究:
类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法法则.
四:除法运算规则：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者
di
c bi
a ++ ①设复数a +bi (a ，
b ∈R)，除以
c +di (c ，
d ∈R)，其商为
x +yi (x ，y ∈R)，
即(a +bi )÷(c +di )=x +yi
∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i . ∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .
由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,
b cy dx a dy cx
解这个方程组，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=++=.,222
2d c ad bc y d c bd ac x
于是有:(a +bi )÷(c +di )=
2
222d
c ad
bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2
+d 2
.于是将di
c bi
a ++的分母有理化得： 原式=
22
()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i
c di c di c di c d
++-+⋅-+-==++-+ 222222
()()ac bd bc ad i ac bd bc ad
i c d c d c d
++-+-=
=++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=
i d c ad
bc d c bd ac 2
222+-+++. 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分