高三上学期期末考试试题数学理
四川省自贡市市蜀光中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析
四川省自贡市市蜀光中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）参考答案：D【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的图象．【分析】利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．故选D．2. 某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图所示的柱状图：则下列结论正确的是（）A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加参考答案：D【分析】设2015年该校参加高考的人数为S，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．3. 已知命题，则是( )A．B．C．D．参考答案：【知识点】命题的否定． A3【答案解析】C 解析：命题p：x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故?p：x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0故选C【思路点拨】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项.4. 设动直线与函数的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为A． B． C． D．参考答案：A，令，当时，；当时，；当时，有极小值也有极大值，即故选A5. 如果椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率为（） A． B． C． D．2参考答案：A略6. 设集合，C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠?，则实数λ的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】集合A、B是表示以（3，4）点为圆心，半径为和的同心圆；集合C在λ＞0时表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形；结合题意画出图形，利用图形知（A∪B）∩C≠?，是菱形与A或B圆有交点，从而求得实数λ的取值范围．【解答】解：集合A={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心，半径为的圆；集合B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心半径为的圆；集合C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}在λ＞0时，表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，如下图所示：若（A∪B）∩C≠?，则菱形与A或B圆有交点，当λ＜时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与小圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=2；当2＜λ＜时，菱形在大圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与大圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=6，故λ＞6时，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足答案；综上实数λ的取值范围是[，2]∪[，6]，即[，2]∪[，6]．故选：A．7. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. .0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8参考答案：C【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．8. 在中，“”是“为钝角三角形”的（）A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A试题分析：由题设条件可知中必有一个是负数,即三个内角中必有一个是钝角,所以是钝角三角形,是充分条件;反之,若三角形是钝角三角形,则的积必为负数,即是必要条件,应选答案A.考点：解三角形．【易错点晴】本题以解三角形的问题的形式为背景，考查的是充分必要条件的有关知识及推理判断的能力. 解答好本题的关键是搞清楚钝角三角形的概念是什么?其外延是什么?其实钝角三角形的概念是有一个内角是钝角即可了.解答这个问题的过程中常常会出现三个内角都是钝角的错误,将锐角三角形的概念和钝角三角形的概念混淆在一起,从而误判得出不正确的答案.9. 设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A.4B.3C.2D.1参考答案：C略10. 长方体的长、宽、高分别为3、2、1，从A到沿长方体的表面的最短距离为（）A．B．C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列的前上，则数列 .参考答案：由题意可得：12. （几何证明选讲选做题）如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上一点。
北京市石景山区—第一学期期末考试试卷高三数学（理科）
北京市石景山区—第一学期期末考试试卷高三数学（理科）考生须知 1. 本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟． 2. 本试卷共8页，各题答案均答在本题规定的位置．题号 一 二 三 总分 15 16 17 18 19 20 分数一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，则AB =（ ）A ．]2,0[B ．]2,1[C ．]4,0[ D ．]4,1[2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a =-，则8S 等于（ ）A ．144B ．72C ．54D ．363．现有3名男生和2名女生站成一排，要求其中2名女生恰好站在两端的不同的排法种数为（ ） A ． 120 B ．24 C ．12 D ．48 4．已知53)2sin(=-απ，则)2cos(απ-=（ ） A ．257B ．2524C ．257-D ．2524-5．若|a |＝2，|b |＝2，且a b a ⊥-)(，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．125π 6．nxx )1(+的展开式中常数项等于20，则n 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④C ．①④D ．②③8．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿着路径--B A M C -运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数)(x f y =的图象的形状大致是图中的（ ）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．计算：=+-∞→3423limn n n ．10．复数ii+-12（i 是虚数单位）的实部为 ． 11．不等式01|25|>--x 的解集是_______________________． 12．函数)2(log 221x x y -=的单调递减区间是__________________．13．某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）14．一种计算装置，有一个数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序． （1）当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数31，记为=)1(f 31； （2）当从A 口输入自然数)2(≥n n 时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果3)1(21)1(2)1(+----n n n f 的倍．当从A 口输入3时，从B 口得到 ；要想从B 口得到23031， 则应从A 口输入自然数 .三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知：02<<-x π，51cos sin =+x x ． （Ⅰ）求x 2sin 和x x sin cos -的值；（Ⅱ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值．16．（本题满分12分）在某电视节目的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1000元，答对问题B 可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为12、14． （Ⅰ）记先回答问题A 获得的奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值分别是多少？ （Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．17．（本题满分14分）正项数列{a n }的前n 项和为n S ，且12+=n n a S ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，数列{n b }的前n 项和为n T ，求证：21<n T ．18．（本题满分14分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点G ，使得D 点到平面PAG 的距离为1？若存在，求出BG 的值；若不存在，请说明理由．19．（本题满分14分） 已知：在函数x mx x f -=3)(的图象上，以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为4π．（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由；PA BCDE（Ⅲ）求证：)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）．20．（本题满分12分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在],[b a 上的值域为],[b a ；那么把函数)(x f y =（D x ∈）叫做闭函数．（Ⅰ）求闭函数3x y -=符合条件②的区间],[b a ；（Ⅱ）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由； （Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．北京市石景山区—第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A B B D A二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：第14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分） 解：（Ⅰ）∵ 51cos sin =+x x ，∴ 251)cos (sin 2=+x x . ∴ 2524cos sin 2-=x x ，即25242sin -=x . ………………………………4分∵ 02<<-x π，∴ x x sin cos >. ………………………………5分∴ 5725241cos sin 21)sin (cos sin cos 2=+=-=-=-x x x x x x . ………………………………8分（Ⅱ）xx x x x x x x x x x x x x cos sin cos )sin (cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22-+=-+=-+x x x x x x x x x x x sin cos )cos (sin 2sin sin cos )sin (cos cos sin 2-+=-+=…………………12分=⨯-=5751)2524(17524-. ………………………………14分16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）随机变量ξ的可能取值为0，1000，3000. …………………………3分 （Ⅱ）设先答问题A 获得的奖金为ξ元，先答问题B 获得的奖金为η元.则有21211)0(=-==ξP ，83)411(21)1000(=-⨯==ξP ，814121)3000(=⨯==ξP ，∴ 75086000813000831000210==⨯+⨯+⨯=ξE . ………………………7分 答案43 21 2|{<x x ，或}3>x（2，+∞）c351，24同理：43)0(==ηP ，81)2000(==ηP ，81)3000(==ηP ， ∴ 62585000813000812000430==⨯+⨯+⨯=ηE . ……………………11分故知先答问题A ，所获得的奖金期望较多. ………………………………12分17．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 1211+=a S ，∴ 11=a . ………………………………2分 ∵ 0>n a ，12+=n n a S ，∴ 2)1(4+=n n a S . ① ∴ 211)1(4+=--n n a S （2≥n ）. ② ①-②，得 1212224----+=n n n n n a a a a a ，即0)2)((11=--+--n n n na a a a ，而0>n a ，∴)2(21≥=--n a a n n . ………………………………6分故数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列.∴ 12-=n a n . ………………………………8分 （Ⅱ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n . ………………………………10分n n b b b T +++= 21)121121(21)5131(21)311(21+--++-+-=n n 21)1211(21<+-=n . ………………………………14分18．（本题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明： ∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ CD PA ⊥. …………1分 ∵ 四边形ABCD 是矩形，EP∴ CD AD ⊥. 又 A AD PA =⋂∴⊥CD 平面PAD . …………3分 又 ∵ ⊂CD 平面PDC ，∴ 平面⊥PDC 平面PAD . ……5分 （Ⅱ）解：设CD 的中点为F ，连结EF 、AF .∵ E 是PD 中点， ∴ EF ∥PC .∴ AEF ∠是异面直线AE 与PC 所成角或其补角. ……………………7分 由1==AB PA ，2=BC ，计算得2521==PD AE ，2621==PC EF ，217=AF ， 10302625241746452cos 222-=⋅⋅-+=⋅-+=∠EF AE AF EF AE AEF ，…………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030. ……………………10分 （Ⅲ）解：假设在BC 边上存在点G ，使得点D 到平面PAG 的距离为1. 设x BG =，过点D 作AG DM ⊥于M .∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ DM PA ⊥,A AG PA =⋂. ∴ ⊥DM 平面PAG .∴ 线段DM 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DM . ……………12分又1121212=+=⋅=∆x DM AG S AGD ， 解得 23<=x .所以，存在点G 且当3=BG 时，使得点D 到平面PAG 的距离为1.……………………14分解法二：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），C（1，2，0），D （0，2，0），E （0，1，12），P （0，0，1）．∴ CD ＝（－1，0，0），AD ＝（0，2，0），AP ＝（0，0，1）， AE ＝（0，1，12）， PC ＝（1，2，－1）. …………2分（Ⅰ）∵ 0=⋅AD CD ，∴ AD CD ⊥.∵ 0=⋅AP CD ，∴ AP CD ⊥.又 A AD AP = ，∴ ⊥CD 平面PAD . …………………………5分∵ ⊂CD 平面PAD ，∴ 平面PDC ⊥平面PAD ． ……………………7分（Ⅱ）∵ ||||,cos PC AE PC AE ⋅>=<10306411212=⋅+-=， …………………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030． ………………10分（Ⅲ）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，令x BG =，则)0,,1(x G .作AG DQ ⊥于Q ，∵ ⊥PA 平面ABCD ， ∴ DQ PA ⊥.又 A AG PA =⋂，∴ ⊥DQ 面PAG .∴ 线段DQ 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DQ . …………12分 ∵ ADG S ∆2=S 矩形ABCD ，∴ 2||||||||=⋅=⋅AD AB DQ AG .QGzyxEDCBAP∴ 2||=AG . 又 12+=x AG ，∴ 23<=x .故存在点G ，当BG ＝3时，使点D 到平面PAG 的距离为1． …………14分19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）13)(2-='mx x f ，依题意，得=')1(f 4tanπ，即113=-m ，32=m . ………………………………2分 ∵ n f =)1(， ∴ 31-=n . ………………………………3分 （Ⅱ）令012)(2=-='x x f ，得22±=x . ………………………………4分当221-<<-x 时，012)(2>-='x x f ；当2222<<-x 时，012)(2<-='x x f ； 当322<<x 时，012)(2>-='x x f . 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，15)3(=f . 因此，当]3,1[-∈x 时，15)(32≤≤-x f . ………………………………7分 要使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立，则2008199315=+≥k . 所以，存在最小的正整数2008=k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于 ]3,1[-∈x 恒成立. ………………………………9分（Ⅲ）方法一：|)(cos )(sin |x f x f +|)cos cos 32()sin sin 32(|33x x x x -+-=|)cos (sin )cos (sin 32|33x x x x +-+= |]1)cos cos sin (sin 32)[cos (sin |22-+-+=x x x x x x|31cos sin 32||cos sin |--⋅+=x x x x3|cos sin |31x x +=3|)4sin(2|31π+=x 322≤. …………………11分 又∵ 0>t ，∴ 221≥+t t ，14122≥+tt .∴ )21(2t t f +)]21()21(32[23tt t t +-+=]31)41(32)[21(222-++=tt t t 322)3132(22=-≥. …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）. …………………………14分方法二：由（Ⅱ）知，函数)(x f 在 [-1，22-]上是增函数；在[22-,22]上是减函数；在[22，1]上是增函数. 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，31)1(-=f . 所以，当x ∈[-1，1]时，32)(32≤≤-x f ，即32|)(|≤x f . ∵ x sin ，x cos ∈[-1，1]，∴ 32|)(sin |≤x f ，32|)(cos |≤x f . ∴ 3223232|)(cos ||)(sin ||)(cos )(sin |=+≤+≤+x f x f x f x f . ………………………………11分又∵0>t ，∴ 1221>≥+tt ，且函数)(x f 在),1[+∞上是增函数. ∴ 322]2)2(32[2)2(2)21(23=-=≥+f t t f . …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）.……………14分20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，3x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=ab b a a b 33，解得⎩⎨⎧=-=11b a .所以，所求的区间为[-1，1] . ………………………3分 （Ⅱ）取11=x ，102=x ，则)(107647)(21x f x f =<=， 即)(x f 不是),0(+∞上的减函数. 取,1001,10121==x x )(100400310403)(21x f x f =+<+=， 即)(x f 不是),0(+∞上的增函数.所以，函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数.………………………6分 （Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f y =的值域为[b a ,].容易证明函数2++=x k y 在定义域内单调递增，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a .∴ b a ,为方程2++=x k x 的两个实数根.即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不相等的实根.………………………8分当2-≤k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+≥->∆22120)2(0k f ，解得249-≤<-k .当2->k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥>∆k k k f 2120)(0，无解.综上所述，]2,49(--∈k . ………………………12分注：若有其它解法，请酌情给分．。
2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=（ ）．A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A【分析】解绝对值不等式、一元二次不等式分别求集合A 、B ，再由集合并运算求A B ⋃. 【详解】由题设{|22}A x x =-<<，{|03}B x x =<<， 所以(2,3)A B =-. 故选：A2．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-1或1【答案】C【分析】根据纯虚数的定义列出方程(组)求解.【详解】由已知得21010x x ⎧-=⎨+≠⎩，解得1x =,故选：C3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5 【答案】C【分析】利用各组的频率之和为1，求得a 的值，判定A ；根据众数和中位数的概念判定BC ；根据频率估计概率值，从而判定D.【详解】()0.0350.0300.0200.010101a ++++⨯=，解得0.005a =，故A 正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为4050452+=，所以众数为45，故B 正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为()0.0200.010100.30.5+⨯=<，所以60不是中位数，故C 错误；由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为()0.030.02100.5+⨯=，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5，故D 正确. 故选:C4．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）．A ．1-B ．4C ．5D ．14【答案】B【分析】由题设作出不等式组表示的区域，结合2z x y =+的几何意义即可求出答案. 【详解】作出不等式组表示的区域如下图中阴影部分，直线2z x y =+化为：1122y x+z =-表示斜率为12-的一组平行线，当1122y x+z =-经过点B 有最小值，由302101x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以()2,1B ，则2z x y =+的最小值为：224z =+=.故选：B.5．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为（ ）A ．14B ．18C ．116D ．132【答案】C【分析】由已知的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运算过程，即可得解.【详解】解：执行下面的程序框图，已知S ＝1，n ＝0，m ＝12； 执行循环体S ＝12，m ＝14，n ＝1；S ＝14，m ＝18，n ＝2；S ＝18，m ＝116，n ＝3；S ＝116，m ＝132，n ＝4； 如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为116． 故选：C ．6．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bty ae-=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（ ）. A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min【答案】D【分析】依题意有8b ae -= 12a ，解得ln28b =，得到ln 28t y ae -=，再令8a y =,求解得到t 的值，减去最初的8min 即得所求． 【详解】依题意有8b ae -=12a ，即8b e -= 12，两边取对数得ln281ln28ln ln2,,28t b b y ae --==-∴=∴= ， 当容器中只有开始时的八分之一，则有ln2ln2881188t t ae a e --=∴=， 两边取对数得ln21ln 3ln2,2488t t -==-∴=， 所以再经过的时间为()24816min -=． 故选:D ．7．已知α满足sin()4πα+，则2tan tan 1αα=+（ ）A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-【答案】D【分析】首先化简sin()4πα+得到8sin 29α=-，接着化切为弦将2tan tan 1αα+表示成1sin 22α，代入求解即可.【详解】解：∵sin()cos )4a παα+=+，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，∴8sin 29α=-， 故222tan 12sin cos 14sin 2tan 12sin cos 29ααααααα=⨯==-++；故选：D ．【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-=相切，则实数=a （ ） A ．2或3- B ．2-或3 C ．2 D ．3【答案】A【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：因为322y x x x =-++，当1x =时3y =，又2321y x x '=-+，所以1|2x y ='=，所以曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为()321y x -=-，即210x y -+=，又222:250C x y ax a +-+-=，即()22:5C x a y -+=，即圆心(),0C a ，半径r =因为直线l 与C 相切，所以圆心到直线的距离d ==2a =或3a =-；故选：A9．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是（ ） A ．25B ．12C ．35D ．310【答案】D【分析】根据题意，设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，进而()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.【详解】设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.故选：D.10．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（ ） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =， 利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x=,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增， 又()f x 为偶函数，21y x = 为偶函数， 所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）; ()19f x x x <， 当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ； 当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃. 故选：A【点睛】需对题中的信息联想到构造函数利用单调性解不等式，特别是分为当0x > 时， 当0x < 时两种情况，因为两边同时除以x ，要考虑其正负.11．已知曲线1C ：e x y =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．e 1-BC ．1D ．e 1+【答案】A【分析】根据题中条件，得到()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，推出()2e 201ln e x x m -<+-≤；证明ln 1x x ≤-，分离参数得2e2ex m x -≥-，构造函数求出2e2ex x --的最大值，即可得出结果.【详解】因为当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，所以有：()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，()2e 201ln e x x m -∴<+-≤，21ex m ∴>+，令()ln 1g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-=， 所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减； 因此()()10g x g ≤=，即ln 1x x ≤-显然恒成立；因为21x m e->，所以()22ln 1x m x m -≤--，即()221ln x m x m +-≤-；为使()2e21ln e x x m -+-≤恒成立，只需2e2ex x m --≤恒成立；即2e2ex m x -≥-恒成立；令()e e x f x x -=-，则()e1e x f x -=-'，由0f x解得e x <；由()0f x '<解得e x >；所以()f x 在(),e -∞上单调递增；在()e,+∞上单调递减； 所以()()max e e 1f x f ==-；e 1m ∴≥-，因此m 的最小值为e 1-.故选：A12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】在ABC 中，由余弦定理，求得BC =得到BD =证得AB AD ⊥，进而证得AB ⊥平面PAB ，得到PA AD ⊥，证得PA ⊥平面ABC ，结合球的截面圆的性质，即可求得球O 的半径.【详解】如图所示，在ABC 中，因为2AB AC ==，23BAC π∠=， 可得222212cos 22222()232BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，又因为2BD DC =，所以433BD =， 由6ABC π∠=，2AB =，可得233AD =，可得22BD AB AD =+，所以AB AD ⊥， 又由AD PB ⊥，PB AB B ⋂=且,PB AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ， 又由PA ⊂平面PAB ，所以PA AD ⊥， 又由2PAB π∠=，即PA AB ⊥，且AB AD A ⋂=，可得PA ⊥平面ABC ，设ABC 外接圆的半径为r ，则24sin BDr A==，可得2r =，即12AO =， 设三棱锥-P ABC 的外接球的半径为R ，可得22222221111()2152PA R AO OO AO =+=+=+=，即5R =. 球O 的半径为5. 故选：D.【点睛】解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.二、填空题13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．【答案】()3,0-，()3,0【分析】通过标准方程确定2a 和2b ，根据,,a b c 的关系，得到焦点(),0c ±． 【详解】由题意得：225a =，216b = 由222a b c =+得：25163c =-= ∴焦点坐标为()3,0±本题正确结果：()3,0-，()3,0【点睛】本题考查了椭圆标准方程的定义和简单几何性质，属于基础题． 14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．【答案】63【分析】本题首先可根据正三棱锥正视图绘出原图，然后通过原图得出正三棱锥的侧视图，即可求出结果.【详解】如图，根据正三棱锥正视图可绘出原图，正三棱锥高为22534-=，底面边长为6，结合原图易知，ABC 即正三棱锥的侧视图，BC 为底面三角形的高， 则侧视图的面积1334632S ， 故答案为：6315．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________. 【答案】116【分析】设直线AB 、CD 的方程联立抛物线，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，应用韦达定理求12x x +、12x x 、34x x +、34x x ，根据抛物线的定义易得12(2)(2)AF BF x x ⋅=++、34(2)(2)CF DF x x ⋅=++，进而求目标式的值. 【详解】由题设，直线AB 、CD 的斜率一定存在，设AB 为(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立抛物线方程，可得2222(48)40k x k x k -++=且264(1)0k ∆=+>，∴21224(2)k x x k ++=，124x x =，而1||2AF x =+，2||2BF x =+，∴2121212216(1)(2)(2)2()4k AF BF x x x x x x k +⋅=++=+++=，由CD AB ⊥，设CD 为2xy k-=，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立抛物线，可得22(84)40x k x -++=，同理有23484x x k +=+，344x x =，∴216(1)CF DF k ⋅=+，综上，222111116(1)16(1)16k AF BF CF DF k k +=+=⋅⋅++. 故答案为：116. 【点睛】关键点点睛：设直线方程联立抛物线，结合韦达定理及抛物线的定义求AF BF ⋅、CF DF ⋅，进而求目标式的值.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的编号为________． 【答案】①②④．【分析】①利用函数()()f a f b =-⇔()f x 关于点(,0)2a b+对称.即可得出答案. ②利用函数()()f a x f x -=⇔()f x 关于2ax =轴对称，再结合①即可得出答案. ③利用函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，即可求出周期的取值范围，当T 取最小值时，实数解最多.求出其实数解即可判断.④利用函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点结合①可得出81033w <≤，再结合()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调时3w ≤，即可得出ω的取值范围. 【详解】①因为73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且73212423πππ+=，所以203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.①正确. ②因为5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()f x 的对称轴为255162x ππ==, 125=3244TT ππππ-==⇒.②正确. ③在一个周期内()1f x =只有一个实数解，函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥.当23T π=时，()sin3f x x =，()1f x =在区间[)0,2π上实数解最多为53,,662πππ共3个.③错误 ④函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，213251325632632222T T w w ππππππ-≤⇒-≤⋅<⋅<，解得81033w <≤；又因为函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥，即2233w w ππ⇒≤≥， 所以8,33w ⎛⎤∈⎥⎝⎦.④正确 故填：①②④.【点睛】本题考查三角函数曲线.属于难题.熟练掌握三角函数曲线的性质是解本题的关键.三、解答题17．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC 面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2． 【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABCSac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．18．体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1:3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在[]0,60范围内，且规定分数在40分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（1）将下面的22⨯列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别 非城镇学生城镇学生合计 优良不优良 115合计200（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取3名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这3名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？ 附参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0k2.0722.7063.841【答案】（1）填表见解析，没有；（2）34．【分析】（1）根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，由条件可知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】（1）根据题意以及频率分布直方图，因为非城镇与城镇学生人数之比为1:3，且样本容量为200， 所以非城镇学生人数为50，城镇学生人数为150， 故城镇学生优良人数为15011535-=，又因为优良学生的人数为()0.0050.021020050+⨯⨯=，所以非城镇优良学生共为503515-=，则非城镇不优良学生人数为501535-=，代入数据计算()222001511535350.889 2.7065015050150K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关； （2）由题意及频率分布直方图可知，成绩“优良”的概率为5012004p ==， 记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，则1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()13344E X =⨯=，故成绩为“优良”人数的期望值为34．【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.19．如图，在三棱锥-P ABC 中，ABC 为直角三角形，90ACB ∠=，PAC △是边长为4的等边三角形，BC =P AC B --的大小为60，点M 为P A 的中点．（1）请你判断平面P AB 垂直于平面ABC 吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由； （2）求CM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）垂直，证明见解析；（2）3913． 【分析】（1）平面PAB ⊥平面ABC ；分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，即60PDE ∠=，进而根据勾股定理得PE ED ⊥，根据AC ⊥平面PED 得AC PE ⊥，进而可得答案；（2）根据题意，以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）平面PAB ⊥平面ABC 理由如下：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则//DE BC ．因为90ACB ∠=，3BC = 所以DE AC ⊥，3DE因为PAC △是边长为4的等边三角形， 所以PD AC ⊥，23PD =于是，PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，则60PDE ∠=，在PDE △中，由余弦定理，得222cos603PE PD DE PD DE =+-⋅=， 所以222=PD PE ED +， 所以PE ED ⊥．因为ED AC ⊥，PD AC ⊥，ED PD D =， 所以AC ⊥平面PED ， 所以AC PE ⊥． 又ACED D =，所以PE ⊥平面ABC因为PE ⊂平面ABC ． 所以平面PAB ⊥平面ABC ．（2）以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,23,0)B ，(4,0,0)A ，3,0)E ，3,3)P ，33)2M 332CM →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,23,0CB →=，()3,3CP →=．设平面PBC 的一个法向量为()111,,n x y z →=， 则00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111230,2330x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 取13x =，则()3,0,2n →=-．所以CM 与平面PBC 所成角的正弦值sin cos,CM nθ→→===【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面所成角的求解，考查空间想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力，是中档题.本题第一问在探究过程中，先假设平面PAB⊥平面ABC，再根据逻辑关系推理论证，关键在于分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE，构造辅助线.20．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>F，上顶点为A，左顶点为B，且||||10FA FB⋅=+（1）求椭圆的方程；（2）已知()4,0C-，()4,0D，点P在椭圆上，直线PC，PD分别与椭圆交于另一点M，N，若CP CMλ=，DP DNμ=，求证：λμ+为定值.【答案】（1）221105x y+=；（2）证明见解析.【分析】（1）先表示出,FA FB，然后计算出FA FB⋅，结合离心率公式cea=和222a b c=+求解出22,a b的值，则椭圆方程可求；（2）设出,,P M N的坐标，通过将向量共线表示为坐标关系可得到,λμ的关系式①，再通过点差法分别求得,λμ满足的关系式②和关系式③，通过将关系式②和③作差可得,λμ的关系式④，再结合关系式①可证明λμ+为定值.【详解】解：()1设(),0F c.由题意得||FA a=，||FB a c=+，ca=，222a b c=+，()||||10FA FB a a c∴⋅=+=+解得210a=，25b=.∴椭圆的方程为221105x y+=.()2设()00,P x y，()11,M x y，()22,N x y.由CP CMλ=，DP DNμ=，得()()00114,4,x y x yλ+=+，()()00224,4,x y x yμ-=-，()010141,,x xy yλλλ⎧-=-∴⎨=⎩，()020241,,x xy yμμμ⎧-=-⎨=⎩()1284x xλμλμ∴-=-+，①又点P ，M ，N 均在椭圆上，由220022222111,105,105x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且01,y y λ=得()()01012110x x x x λλλ-+=-， ()01512x x λλ∴+=-+.②同理，由220022222221,105,105x y x y μμμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且02,y y μ=得()()22002110x x x x μμμ-+=-()02512x x μμ∴+=+.③ 联立②③得()12552x x λμλμ-=-+-.④ 联立①④得263λμ+=， λμ∴+为定值263. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对于向量共线的坐标表示以及点差法求解参数与坐标之间的关系，每一步都是通过构建关于,λμ的方程，结合联立方程的思想完成证明. 21．已知函数()ln a xf x bx x=+在1x =处的切线方程为1y x =-. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x kx ≤在区间()0,∞+上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【答案】（1）()ln x f x x =；（2）1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）证明见解析. 【分析】（1）求得函数()y f x =的导数，由题意得出()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()y f x =的解析式； （2）利用参变量法得出2ln xk x ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()2ln x g x x=，利用导数求得函数()y g x =在区间()0,∞+上的最大值，即可得出实数k 的取值范围； （3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，变形得出42ln 112x x e x≤⋅，利用放缩法得出()42ln 111112221n n n e n e n n ⎛⎫≤⋅<-≥ ⎪-⎝⎭，依次得到4ln 2111222e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，()4ln 111221n n n e n n ⎛⎫<-≥ ⎪-⎝⎭，利用不等式的可加性即可证得所证不等式成立. 【详解】（1）()ln a xf x bx x =+，该函数的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x b x -'=+， 由题意可知，点()()1,1f 在直线1y x =-上，()10f ∴=， 由题意得()()1011f b f a b ⎧==⎪⎨=+'=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()ln x f x x ∴=；（2）对任意的()0,x ∈+∞，由()f x kx ≤，得ln x kx x≥，即2ln xk x ≥，令()2ln xg x x =，其中0x >，则()max k g x ≥， ()312ln xg x x -'=，令()0g x '=，可得x =所以，函数()y g x =在x ()max 12g x g e==. 12k e ∴≥，因此，实数k 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，则42ln 112x x e x≤⋅， 当2n ≥时，42ln 11111221n n e n e n n ⎛⎫<⋅=- ⎪-⎝⎭， 4ln 2111222e ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，4ln 11121n n e n n ⎛⎫<- ⎪-⎝⎭， 上述不等式全部相加得444ln 2ln 3ln 11112322n n e n e⎛⎫+++<-<⎪⎝⎭. 因此，对任意的2n ≥，444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数解析式、利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查运算求解能力与推理能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【分析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）由题意，先设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，将3πθ=代入直线l 的极坐标方程，得到2ρ；将3πθ=代入圆的极坐标方程，得到1ρ，再由12ρρ=-PQ ，即可得出结果.【详解】（1）因为，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数可得：()2211x y -+=；把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y -+=，化简得：2cos ρθ=，即为此圆的极坐标方程； （2）设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，因为直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=，将3πθ=代入()sin ρθθ=12ρ⎫=⎪⎪⎝⎭23ρ=； 将3πθ=代入2cos ρθ=得12cos13πρ==，所以122PQ ρρ=-=．【点睛】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型. 23．设()|1||3|f x x x =+--．（1）对一切x R ∈，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）已知0,0,()a b f x >>最大值为M ，(2)2a b M ab +=，且224128a b +≤，求证：216a b +=． 【答案】（1）(,4]-∞-；（2）证明见解析.【分析】（1）由零点分段法可得4,1()22,134,3x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，求得()f x 的最小值后，即可得实数m 的取值范围；第 21 页 共 21 页 （2）由题意转化条件得2(2)1a b ab+=，利用基本不等式可得216a b +≤、216a b +≥，即可得证. 【详解】（1）由题意4,1()1322,134,3x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪≥⎩, 所以[]min ()4f x =-，所以，实数m 的取值范围是(,4]-∞-；（2）证明：由（1）知，4M =，由(2)2a b M ab +=得2(2)1a b ab+=，224128a b +≤，所以216a b +≤≤=，当且仅当2b a =，且224128a b +=，即4a =，8b =时，等号成立；2(2)42(2)242416a b a b a b a b ab b a ⎛⎫+⎛⎫+=+⋅=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4a b b a =，且2(2)1a b ab+=，即4a =，8b =时，等号成立； 综上所述，216a b +=．【点睛】本题考查了绝对值不等式恒成立问题的解决，考查了利用基本不等式证明不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.。
四川省泸县第四中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学(理)试题含答案
四川省泸县四中高2023届高三上期末考试理科数学本试卷共4页。
考试结束后，只将答题卡交回注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,32．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．-1或13．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.54．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．1-B ．4C ．5D ．145．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为A ．14B ．18C ．116D ．1326．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bt y ae -=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min7．已知α满足sin()4πα+2tan tan 1αα=+A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-= 相切，则实数=a A ．2或3-B ．2-或3C ．2D ．39．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是A ．25B ．12C ．35D ．31010．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞11．已知双曲线1C ：x y e =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意1x ，2x 都有AB e ≥恒成立，则m 的最小值为A ．1e -B C ．1D ．1e +12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为A ．1B CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．15．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π；③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦．其中所有正确结论的编号为________．三、解答题：共70分。
高三数学上学期期末试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市通渭县榜罗中学高三（上）期末数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}2．若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i3．已知数列{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q=（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．﹣2或14．已知，则tanα=（）A．﹣1 B．C．D．15．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β6．设变量x，y满足，则x+2y的最大值和最小值分别为（）A．1，﹣1 B．2，﹣2 C．1，﹣2 D．2，﹣17．已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．9．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．10．已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x11．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A．8 B．2 C．D．12．已知函数f（x）=的图象与直线y=x恰有三个公共点，则实数m的取值X围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，2）C．[﹣1，2] D．[2，+∞）二．填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13．设向量满足，则||=．14．曲线在点（﹣1，﹣1）处的切线方程．15．已知a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则的最小值是．16．观察如图等式，照此规律，第n个等式为．三．解答题（本大题共6个小题，其中17题10分，其余各题均为12分，共70分）17．已知等差数列{a n}满足a2=2，a6+a8=14（1）求数列{a n}的通项公式（2）求数列{}的前n项和S n．18．设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．19．已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．21．已知四棱锥P﹣ABCD的直观图（如图1）及左视图（如图2），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求异面直线PD与AB所成角的余弦值；（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小．22．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，D为C1B的中点，P为AB边上的动点．（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若DP⊥AB，求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．2015-2016学年某某省某某市通渭县榜罗中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．【解答】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}，所以M∩N={0，1}．故选B．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2．若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z==，运算求得结果．【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，∴z===﹣1﹣i，故选A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．已知数列{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q=（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．﹣2或1【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：数列{a n}是递增等比数列的公比为q，∵a2=2，a4﹣a3=4，∴，解得，（舍去），则此数列的公比q=2．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知，则tanα=（）A．﹣1 B．C．D．1【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】由条件可得 1﹣2sinαcosα=2，即sin2α=﹣1，故2α=，α=，从而求得tanα 的值．【解答】解：∵已知，∴1﹣2sinαcosα=2，即sin2α=﹣1，故2α=，α=，tanα=﹣1．故选A．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求得α=，是解题的关键，属于基础题．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题．6．设变量x，y满足，则x+2y的最大值和最小值分别为（）A．1，﹣1 B．2，﹣2 C．1，﹣2 D．2，﹣1【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合．【分析】根据已知中的约束条件，画出满足的平面区域，并画出满足条件的可行域，由图我们易求出平面区域的各角点的坐标，将角点坐标代入目标函数易判断出目标函数x+2y 的最大值和最小值．【解答】解：满足的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2当x=0，y=﹣1时x+2y取最小值﹣2故选B【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，画出满足条件的可行域及各角点的坐标是解答线性规划类小题的关键．7．已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求．【解答】解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）从而可知二次函数y=f（x）=﹣x2+1∴它与X轴所围图形的面积为=（）=（﹣+1）﹣（﹣1）=故选B．【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，解题的关键是求出被积函数，属于基础题．8．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选A．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．【解答】解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选C．【点评】本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力．10．已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．11．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A．8 B．2 C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，求出ω的值即可．【解答】解：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，k∈Z，所以ω=6k+；k=0时，ω=故选C【点评】本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式的求法，常考题型．12．已知函数f（x）=的图象与直线y=x恰有三个公共点，则实数m的取值X围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，2）C．[﹣1，2] D．[2，+∞）【考点】函数的零点；函数的图象；函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得只要满足直线y=x和射线y=2（x＞m）有一个交点，而且直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2的两个交点即可，画图便知，直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2的图象的两个交点为（﹣2，﹣2）（﹣1，﹣1），由此可得实数m的取值X围．【解答】解：由题意可得射线y=x与函数f（x）=2（x＞m）有且只有一个交点．而直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2，至多两个交点，题目需要三个交点，则只要满足直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2的图象有两个交点即可，画图便知，y=x与函数f（x）=x2+4x+2的图象交点为A（﹣2，﹣2）、B（﹣1，﹣1），故有m≥﹣1．而当m≥2时，直线y=x和射线y=2（x＞m）无交点，故实数m的取值X围是[﹣1，2），故选B．【点评】本题主要考查函数与方程的综合应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．二．填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13．设向量满足，则||= 1 ．【考点】向量的模．【专题】计算题．【分析】根据向量的公式：||2=，直接代入数据进行计算即可．【解答】解：由于||2==4+3+=8，∴||=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了向量的模，向量的一个重要公式：||2=．属于基础题．14．曲线在点（﹣1，﹣1）处的切线方程2x﹣y+1=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】先求曲线的导数，因为函数在切点处的导数就是切线的斜率，求出斜率，再用点斜式写出切线方程，再化简即可．【解答】解：的导数为y′=，∴曲线在点（﹣1，﹣1）处的切线斜率为2，切线方程是y+1=2（x+1），化简得，2x﹣y+1=0故答案为：2x﹣y+1=0．【点评】本题主要考查了函数的导数与切线斜率的关系，属于导数的应用．15．已知a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则的最小值是9 ．【考点】基本不等式．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；不等式．【分析】利用导数的运算法则化简表达式，通过基本不等式求解最值即可．【解答】解：a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，可得a+b=1，==5+≥5+2=9，当且仅当b=2a=时取等号．故答案为：9．【点评】本题考查对数运算法则以及基本不等式的应用，考查计算能力．16．观察如图等式，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．【考点】归纳推理；进行简单的合情推理．【专题】探究型．【分析】根据前4个式子的规律，利用归纳推理进行归纳即可．【解答】解：等式的右边为1，9，25，49，即12，32，52，72…，为奇数的平方．等式的左边为正整数为首项，每行个数为对应奇数的和，∴第n个式子的右边为（2n﹣1）2，左边为n+（n+1）+…+（3n﹣2），∴第n个等式为：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．故答案为：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，观察等式的取值规律，进行归纳是解决归纳推理的基本方法，考查学生的观察和分析能力．三．解答题（本大题共6个小题，其中17题10分，其余各题均为12分，共70分）17．已知等差数列{a n}满足a2=2，a6+a8=14（1）求数列{a n}的通项公式（2）求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列公差由已知条件求出a1=1，d=1，由此能求出a n=n．（2）由，利用错位相减法能求出数列{}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}满足a2=2，a6+a8=14，∴，解得a1=1，d=1，∴a n=n．（2）∵，∴S n=+…+，①=，②①﹣②，得===1﹣，∴．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．18．设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）由条件求得，的值，再根据以及x的X围，可的sinx的值，从而求得x的值．（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣）+．结合x的X围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．【解答】解：（1）由题意可得=+sin2x=4sin2x， =cos2x+sin2x=1，由，可得 4sin2x=1，即sin2x=．∵x∈[0，]，∴sinx=，即x=．（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+．x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19．已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值得到f（1）=，f′（1）=0得到a、b 即可；（2）找到函数的定义域，在定义域中找到符合条件的驻点来讨论函数的增减性求出单调区间即可．【解答】解：（1）因为函数f（x）=ax2+blnx，所以．又函数f（x）在x=1处有极值，所以即可得，b=﹣1．（2）由（1）可知，其定义域是（0，+∞），且当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣ 0 +f（x）↘极小值↗所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数增减性的能力．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用．【专题】解三角形．【分析】（1）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值，再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为π﹣（A+C），利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值；（2）由tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，将sinC的值代入sinB=cosC中，即可求出sinB的值，由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，最后由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得： cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，则S△ABC=acsinB=×××=．【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．已知四棱锥P﹣ABCD的直观图（如图1）及左视图（如图2），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求异面直线PD与AB所成角的余弦值；（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小．【考点】简单空间图形的三视图；异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】作图题；证明题；综合题．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O连接PO，证明AD垂直平面PAB内的两条相交直线PO，AB，即可证明AD⊥PB；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出，利用cos==，求异面直线PD与AB所成角的余弦值；（Ⅲ）平面PABD 法向量=（1，0，0）设平面PCD的法向量=（x，y，z），通过cos，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O连接PO，则PO⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，PO⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=ABPO⊂平面PAB，可得PO⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AD⊥AB，PO∩AB=0可得AD⊥平面PABPB⊂平面PAB所以AD⊥PB（Ⅱ）过O作AD的平行线为x轴，OB、OP分别为y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0）D（2，﹣1，0），B（0，1，0），C（2，1，0）由已知左视图知PO=2，故P（0，0，2）=（2，﹣1，﹣2），cos==（Ⅲ）平面PABD 法向量=（1，0，0）设平面PCD的法向量=（x，y，z）取cos即所求二面角的大小为【点评】本题主要考查三视图、直线与直线直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想像能力，推理论证能力，以及运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．22．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，D为C1B的中点，P为AB边上的动点．（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若DP⊥AB，求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）点P为AB的中点时，连接AC1，因为在△ABC1中DP是三角形的中位线，DP∥AC1．然后证明DP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）以AB的中点O为原点，CO、OB、过点O平行AA1的直线分别为x、y、z轴，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，即可求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）当点P为AB的中点时，连接AC1，因为在△ABC1中DP是三角形的中位线，DP∥AC1．AC1⊂平面ACC1A1；DP不在平面ACC1A1；所以DP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）解：如图，以AB的中点O为原点，CO、OB、过点O平行AA1的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，在三角形ABC中，则B（0，1，0），C（，0，0），P（0，，0），C1（，0，3），D（，，），，，设平面CDP的法向量为=（x，y，z），则∴，不妨令x=，则y=﹣6，z=1，∴，CBP的法向量为： =（0，0，1）∴二面角D﹣CP﹣B的余弦值为：conθ===．【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，计算能力．。
河北省衡水中学2023届高三上学期期末考试数学(理)试题
2015〜2016学年度上学期高三年级期末考试数子试卷(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷（非选择题)两部分,共150。
考试时间120分钟。
第I 卷(选择題共60分）一、选择题（每小题5分,共60分。
下列每小题拼给选项只有一项符合题意,请将正确解析地序 号填涂在答题卡上）1.若复数63aii+-（其中a ∈R,i 为虚数単位）地实部与虚部相等,则a=A.3 B.6C.4D.122.若集合A= {x Z ∈∣2<2x+2≤8} B=(22x x ->0},则A ⋂(R C B )所含地元素个数为（）A. 0 B. 1C. 2D. 33.…..,那么是这个数列地第（）项A. 23 B. 25 C. 19 D. 244.若曲线a x 2+by 2= l 为焦点在X 轴上地椭圆,则实数a,b 满足（）A.a2>b2B.1a >1bC. 0<a<bD. 0<b<a5.已知函数f (x)=sin x+λcos x 地图象地一个对称中心是点(3π,0),则函数g(x)=Asin xcos x+sin 2 x 地图象地一条对称轴是直线A. x=56π B. x= 43π C. x =3πD. x=3π-6.某程序框图如下图所示,若该程序运行后输出地值是7/4,则A. a=3 B a = 4 C.a = 5 D. .a = 67.如图,在∆ABC 中,13AN NC = ,P 是BN 上地一点,若AP =mAP +29AC则实数m 地值为()A. 1 B 1/3 C 1/9 D 38,在(1-2x)（1+x）5地展开式中,x3地系数是A.20B.-20C.10D. -109.如图,棱长为1地正方体ABCD —A1B1C1D1中,P为线段A1B上地动点,则下列结论错误地是A．DC1⊥D1PB．平面D1A1P⊥平面A1APC.∠APD1地最大值为90°D.AP+PD110.甲、乙、丙3人进行擂台赛,每局2人进行单打比赛,另1人当裁判,每一局地输方当下一局地裁判,由原来裁判向胜者挑战,比赛结束后,经统计,甲共打了5局,乙共打了6局,而丙共当了2局裁判,那么整个比赛共进行了（）A.9 局B.11 局C.3局D. 18局11.某几何体地三视图如下图所示,三视图是边长为1地等腰直角三角形和边长为1地正方形,则该几何体地体积为（）A 16B13. C.12D.2312.已知函数(](]1,1()12,1,3xf xx x⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩,其中m>0,且函数()(4)f x f x=+,若方程3()f x-x= 0恰有5个根,则实数m地取值范围是（AB.83C.4(3D.48(,)33第II 卷(非选择題共90分）二、填空题(每题5分,共20分,把解析填在答题纸地横线上）13.函数:y=log 3(2cos x+1),x 22,33ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭ 地值域为 。
2023届江西省临川第一中学高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2023届江西省临川第一中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合2{|230}A x Z x x =∈--≤，{0,1}B =，则A C B = A ．{3,2,1}--- B ．{1,2,3}-C ．{1,0,1,2,3}-D ．{0,1}【答案】B【详解】由题可知{}1,0,1,2,3A =-，则{}1,2,3A B =-．故本题选B ．2．在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是(1,2)OA =-，(3,1)=-OB ，则复数12z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】利用复数的几何意义写出复数1z ，2z ，再结合共轭复数、复数的乘法运算求解作答.【详解】因复数1z ，2z 对应的向量分别是(1,2)OA =-，(3,1)=-OB ，则2112i,3i z z =-=-+，23i z =--， 于是得12(12i)(3i)55i z z =---=-+， 所以复数12z z 对应的点(5,5)-位于第二象限. 故选：B3．对于实数x ，条件p ：152x x +≠，条件q ：2x ≠且12x ≠，那么p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解分式不等式，得到解集，从而作出判断. 【详解】152x x +≠，解得：2x ≠且12x ≠且0x ≠，故p q ⇒，但q p ⇒/，所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：A4．设0a >，0b >，且21a b +=，则12a a a b++（ ）A ．有最小值为4B ．有最小值为1C ．有最小值为143D ．无最小值【答案】B【分析】0a >，0b >，且21a b +=，可得12b a =-．代入12a a a b++，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．【详解】0a >，0b >，且21a b +=， 120b a ∴=->，解得102a <<．∴12122(1)1212122(1)()2321111a a a a a a a a b a a a a a a a a ---+=+=+-=+-+-=++-+---- 122111a aa a-+=-，当且仅当1a =，3b =-∴12aa a b++有最小值1． 故选：B ．【点睛】本题考查基本不等式的性质、方程的解法，考查推理能力与计算能力． 5．设537535714a ,,log 755b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则,,a b c 的大小顺序是 A ．b a c << B ．c<a<b C ．b<c<a D ．c b a <<【答案】D【分析】先利用指数函数的性质比较得a>b>1,再分析得c<1，从而得到a,b,c 的大小关系.【详解】553775577()()()755a b -==>=，30577()()1,55b =>=因为314log 5c =3log 31<=，所以c b a <<. 故答案为D【点睛】(1)本题主要考查指数对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较大小，一般先把所有的数分成正负两个集合，再把正数和1比，负数和-1比.6．已知(0,)4πα∈，4cos25α=，则2sin ()4πα+=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】D【解析】首先由角(0,)4πα∈知sin20α>，再利用同角三角函数平方关系求sin 2α，二倍角余弦公式以及诱导公式求2sin ()4πα+即可.【详解】(0,)4πα∈，∴2(0,)2πα∈，又4cos25α=，∴3sin 25α=.2311cos(2)1sin 2452sin ()42225παπαα+-++∴+====. 故选：D.7．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()()222cos cos a b c a B b A abc +-⋅+=，则角C =（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】C【分析】根据余弦定理和正弦定理将条件转化为1cos 2C =，由此可得60C =︒． 【详解】由条件及余弦定理得：()2cos cos cos ab C a B b A abc ⋅+= ∴()2cos cos cos C a B b A c ⋅+=，由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， ∴2cos sin()sin C A B C +=，即2cos sin sin C C C = ∵sin 0C ≠，∴1cos 2C =， 又0180C ︒<<︒，∴60C =︒． 故选：C ．8．已知函数()()2log 3a f x x ax =-+在[]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()1,4C ．()()0,11,4⋃D ．[)2,4【答案】D【分析】根据给定的函数，结合对数函数、二次函数单调性，分类讨论求解作答.【详解】函数()()2log 3a f x x ax =-+在[]0,1上是减函数，当01a <<时，22223()330244a a a x ax x -+=-+-≥->恒成立， 而函数23u x ax =-+在区间[]0,1上不单调，因此01a <<，不符合题意，当1a >时，函数log a y u =在(0,)+∞上单调递增，于是得函数23u x ax =-+在区间[]0,1上单调递减， 因此12a≥，并且21130a -⋅+>，解得24a ≤<， 所以实数a 的取值范围是[)2,4. 故选：D9．已知圆C ：()()22344x y -+-=和两点(),0A，)(),00Bm >.若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最小值为（ ）ABC ．2 D【答案】D【分析】根据点P为半径的圆上和在圆C 上，由两圆有交点求解. 【详解】解：由题意得：点P为半径的圆上， 又因为点P 在圆C 上， 所以只要两圆有交点即可，252-≤≤+，m ≤≤， 所以m故选：D10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 的坐标为,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点P 是双曲线在第二象限的部分上一点，且1212∠=∠F PF F PA ，112PF F F ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．2C ．32D【答案】B【分析】由角平分线的性质可得1122||||||||PF AF PF AF =及双曲线的定义，化简方程即可求双曲线的离心率. 【详解】如图，因为112PF F F ⊥，所以=-P x c ，由2222(1)ya c b-=-可得21||||b PF y a ==，由双曲线定义可知22||2b PF a a=+，由1212∠=∠F PF F PA 知：PA 平分12F PF ∠，所以1122||||||||PF AF PF AF =，即22222b ac aa b c a a-=++，整理得：222222b c a a b c a -=++， 由222b c a =-，c e a =，可化简为22121121e e e e --=++，即22211121e e -=-++，可得2121e e +=+，解得2e =或1e =（舍去）， 故选：B11．在ABC 中，4AB =，3BC =，5CA =，点P 在该三角形的内切圆上运动，若BP mBC nBA =+（m ，n 为实数），则m n +的最小值为（ ） A ．12B ．13C ．16D ．17【答案】C【分析】设该三角形的内切圆的半径为r ，CA 边上的高为 h ，由BP mBC nBA =+，得到BPm n m nBC BA m n m n+=+++，再利用平行线等比关系求解. 【详解】解：在ABC 中，4AB =，3BC =，5CA =， 设该三角形的内切圆的半径为r ， 则()113453422r ⨯++⨯=⨯⨯，解得 1r =， 设CA 边上的高为 h ，则1153422h ⨯⨯=⨯⨯，解得 125h =，因为 BP mBC nBA =+，所以()m n BP m n BC BA m n m n ⎛⎫=++⎪++⎝⎭， 因为点P 在该三角形的内切圆上运动，所以BPm n m nBC BA m n m n+=+++， 设m n BE BC BA m n m n+=++，则 ()BP m n BE =+， 因为1m n m n m n+=++， 则BP m n BE+=，且,,B P E 三点共线，E 在AC 上，由平行线等比关系得：要使m n +，即BP 与BE 之间的比例最小，则点P 内切圆的最高点，如图所示：由222BA BC AC +=，知2B π=，所以()111222ABCS BA BC h AC r BA BC AC =⋅=⋅=⋅++， 由12,5h =所以1r = 所以m n +的最小值为216h r h -=， 故选：C12．若函数()f x 的定义域为R ，且()21f x +偶函数，()31f x -关于点()1,3成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ） ①()f x 的一个周期为2； ②()()222f x f x =-；③()f x 的一个对称中心为()6,3；④()19157i f i ==∑.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由()()2121f x f x +=-+得到()()222f x f x =-+，故②正确；由()31f x -关于点()1,3成中心对称，得到()f x 关于()2,3中心对称，推理出()()4f x f x +=，从而得到周期为4，①错误；由函数的周期及()f x 关于()2,3中心对称，得到一个对称中心为()6,3，③正确；利用函数的周期性及对称性求出函数值的和.【详解】由题意得：()()2121f x f x +=-+，将x 替换为12x -得：11212122f x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()()222f x f x =-+，②正确；()()2121f x f x +=-+中将x 替换为12x 得：()()11f x f x +=-+，因为()31f x -向左平移13个单位得到()3f x ，而()31f x -关于点()1,3成中心对称，所以()3f x 关于2,33⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故()f x 关于()2,3中心对称，所以()()226f x f x ++-+=，故()()()()()2626116116f x f x f x f x f x +=--+=---=-+-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以()()()()()46266f x f x f x f x +=-+=--=， 所以()f x 的一个周期为4，①错误；()f x 关于()2,3中心对称，又()f x 的一个周期为4，故()f x 的一个对称中心为()6,3，③正确；()()226f x f x ++-+=中，令1x =得：()()316f f +=，()()226f x f x ++-+=中，令0x =得：()()226f f +=，故()23f =， ()()226f x f x ++-+=中，令2x =得：()()406f f +=，又因为()()04f f =，故()246f =，所以()43f =， 所以()()246f f +=，其中()()()1717441f f f =-⨯=，()()()18181623f f f =-==，()()()1919163f f f =-=，故()()()()()()()()19141234171819i f i f f f f f f f ==++++++⎡⎤⎣⎦∑()()()()466123483657f f f =⨯++++=++=，④正确.故选：C【点睛】若()()f x a f x b c ++-+=，则函数()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称， 若()()f x a f x b +=-+，则函数()f x 关于2a bx +=对称.二、填空题13．已知P 是椭圆22110036x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1260F PF ∠=︒，则12PF F △的面积为________.【答案】【分析】借助韦达定理得1248PF PF ⋅=，再套用面积公式即可. 【详解】易得1212220,216PF PF a F F c +====， 则222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠()21212121222cos PF PF PF PF PF PF F PF =+-⋅-⋅∠，即22121211620222PF PF PF PF =-⋅-⋅⨯，故1248PF PF ⋅=121211sin 604822PF F SPF PF =⋅︒=⨯=,故答案为：14．若(13)n x -展开式中第6项的二项式系数与系数分别为p q ､，则pq=__________. 【答案】1243-【分析】根据二项式定理中二项式系数与项系数的求解即可得. 【详解】有题意可知5C n p =，55C (3)n q =-，所以555C 1C (3)243n n p q ==--．故答案为：1243-.15．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 棱长为26，则模型中九个球的表面积和为__________.【答案】9π【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高即可求解.【详解】如图所示正四面体A BCD -，记棱长为a ，高为h ，O 为正四面体A BCD -内切球的球心，延长AO 交底面BCD 于E ，E 是等边三角形BCD △的中心，过A 作AF CD ⊥交CD 于F ，连接BF ，则OE 为正四面体A BCD -内切球的半径， 因为3AF BF ==，233BE BF ==，133EF BF ==， 所以226h AE AF EF ==-， 所以()2222OE BO BE AE OE BE =---614r OE h ===， 由图可知最大球内切于高6264h ==大的正四面体中，最大球半径114r h ==大，中等球内切于高22h h r =-=中大大的正四面体中，中等球半径1142r h ==中中， 最小求内切于高21h h r =-=小中中的正四面体中，最小球半径1144r h ==小小， 所以九个球的表面积之和222114π1449π24V ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故答案为：9π16．若函数()3e 3ln x f x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的极小值点只有一个，则a 的取值范围是_________.【答案】32e e ,49【分析】对()f x 求导，利用导数与函数极值的关系，分类讨论3是否为极值点，结合2e xy x=的图像性质即可求得a 的取值范围.【详解】因为()3e 3()ln 0x f x a x x x x ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以()()4222333e e xx x x x f x a a x x x x -⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭'，设2(e )xg x x=（0x >），因为32(e )x x g x x -'=，所以当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>， 则2(e )xg x x =在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，①若2e 0x a x -≥恒成立，即2e xa x≤在(0,)+∞上恒成立，因为2222e e e ()24x g x x =≥=，所以22min e e 4x a x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，此时令()0f x '<，解得03x <<；令0fx，解得3x >；所以()f x 在()0,3单调递减，在(3,)+∞单调递增，有唯一极小值点，满足题意； ②方程2e 0xa x-=有两个不同的根1x ，2x ，且12x x <，当10x x <<和2x x >时，2e 0x a x ->；当12x x x <<时，2e 0xa x-<，因为()f x 只有一个极小值点，所以3是2e 0x a x -=即2e xa x =的一个根，且存在另一个根02m <<，此时3e 9a =；当3e 9a =时，()()3223e e 9x x f x x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭'， 令()0f x '<，解得0x m <<；令0fx，解得x >m ；所以()f x 在()0,m 单调递减，在(,)m +∞单调递增，满足题意， 综上：2e 4a ≤或3e 9a =，即32e e 9,4a. 故答案为：32e e ,49. 【点睛】()()223e x x f x ax x-⎛⎫=- ⎝'⎪⎭，因为函数()f x 只有一个极小值点，需对2ex y a x =-的符号进行分类讨论.三、解答题17．已知数列{}n a 满足数列{}1n n a a +-为等比数列，11a =，22a =，且对任意的n *∈N ，2132n n n a a a ++=-. (1)求{}n a 的通项公式；(2)n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和S n .【答案】(1)12n n a -=(2)()121nn -+【分析】(1)利用等比数列的定义以及累加法求通项； (2)利用错位相减法求和.【详解】（1）设{}1n n a a +-的公比为q ，2132n n n a a a ++=-，()2112n n n n a a a a +++-=-又211a a -=，112n n n a a -+∴-=，()()()1211213211211221212n n n n n n a a a a a a a a -----∴=+-+-++-=++++=+=-，又11a =符合上式，所以{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）()1122n n n n b n a n n --=⋅=⋅=⋅，{}n b 的前n 项和为01211222322n n -⋅+⋅+⋅++⋅记01211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅， 则12321222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，作差可得01211222222212nn nn n S n n ---++++-⋅=-⋅-＝，()121n n S n ∴=-+，因此，数列{}n b 的前n 项和为()121nn -+.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E ，F ，G 分别为线段111,B C B B 及AC 的中点，P 为线段1A B 上的点，1,8,62BG AC AB BC ===，三棱柱111ABC A B C -的体积为240．(1)求点F 到平面1A AE 的距离；(2)试确定动点P 的位置，使直线FP 与平面11A ACC 所成角的正弦值最大． 【答案】2473(2)P 为1BA 中点【分析】（1）由题意，建立空间直线坐标系，求解平面法向量，根据点面距向量计算公式，可得答案；（2）由（1）的空间直角坐标系，求解平面法向量以及直线方向向量，根据线面角与向量夹角的关系，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）在ABC 中，12BG AC =，G 为AC 的中点，=90ABC ∴∠，即AB BC ⊥， 由直三棱柱111ABC A B C -的体积111==2ABC V BB SBB AB BC ⋅⋅⋅⋅，则11×8?6=2402BB ⋅，解得110BB =， 以B 为原点，并分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()8,0,0A ，()18,0,10A ，()10,0,10B ，()10,6,10C ，()0,0,0B ， 由E 为11B C 的中点，则()0,3,10E ，由F 为1BB 的中点，则()0,0,5F ，在平面1AA E 中，取()10,0,10AA =，()=8,3,10AE -，设该平面的法向量为(),,n x y z =， 则1=0=0n AA n AE ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即10=08+3+10=0z x y z ⎧⎨-⎩，令=3x ，则8,0y z ==，故平面1AA E 的一个法向量为()3,8,0n =，取()=8,0,5AF -，由点面距公式，可得F 到平面1AA E 的距离242473==9+64AF n d n⋅-（2）由（1）可知：()8,0,0A ，()18,0,10A ，()0,6,0C ，()10,6,10C ，()0,0,5F ， 由1P A B ∈，1A B ⊂平面11AA B B ，则设(),0,P a b ，08,010a b ≤≤≤≤， 设1==(4,0,5)2kBP BA k k ，即()4,0,5P k k ，02k ≤≤，在平面11AA B B 内，取()10,0,10AA =，()=8,6,0AC -，设其法向量(),,m x y z '''=， 则1=0=0m AA m AC ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即10=08+6=0z x y ''-'⎧⎨⎩，令=3x '，则=4,=0y z ''，故平面11AA B B 的一个法向量()3,4,0m =，取()=4,0,55FP k k -，设直线FP 与平面11A ACC 所成角为θ，则sin =|cos ,|m FP θ， 则212sin ==53m FP m FP⋅θ⋅⋅ 当=0k 时，P 与B 重合，sin 0θ= 当0k ≠时，12sin =5θ⋅令11=[,)2x k +∞∈，1212sin =55=θ⋅当=1x 时，即=1k ，P 为1BA 中点时，()max 123sin 55θ== 19．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张. （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X （元）的分布列. 【答案】（1）23；（2）分布列见解析.【分析】（1）根据古典概型的概率公式，结合组合数即可求解；（2）求得X 所有可能的取值为（单位：元）：0，10，20，50，60，求出对应的概率，即可列出分布列.【详解】（1）记顾客中奖为事件A ，11204646210302()453C C C C P A C ⋅+⋅===，即该顾客中奖的概率为23； （2）X 所有可能的取值为（单位：元）：0，10，20，50，60，且02462101(0)3C C P X C ⋅===，11362102(10)5C C P X C ⋅===， 232101(20)15C P X C ===，11162102(50)15C C P X C ⋅===，11132101(60)15C C P X C ⋅===， 故X 的分布列为：20．已知抛物线C ：22y px =，抛物线上两动点()11,A x y ，()22,B x y ，12x x ≠且126x x +=(1)若线段AB 过抛物线焦点，且10AB =，求抛物线C 的方程.(2)若2:8C y x =,线段AB 的中垂线与x 轴交于点C ，求ABC 面积的最大值. 【答案】(1)28y x =【分析】(1)假设,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，利用12AF BF x x p +=++辨析即可；(2)先计算AB 方程：()0043y y x y -=-，联立抛物线方程，结合韦达定理得AB ，再计算出d =，进而计算三角形面积.【详解】（1）(1)取抛物线焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，12p AF x =+，22p BF x =+，126AF BF x x p p +=+=++因为AF BF AB +≥，AB 最大值为10， 所以610p +=，4p =，抛物线方程为28y x =.（2）令()11,A x y ，()22,B x y ，设M 为AB 中点，()00,M x y , 又因为126x x +=，所以03x =，()03,,M y 212112084AB y y k x x y y y -===-+， 所以AB 中垂线方程为：()0034y y y x -=--，令()07,0y C =⇒ 所以AB 方程为：()0043y y x y -=- 与抛物线方程联立()022000243222408y y x y y y y y y x ⎧-=-⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩，显然，()22000442240y y y ∆=-->⇒-<<.1202y y y +=，2120224y y y ⋅=-AB，.()C 7,0到AB 的距离为d ，12ABC S AB d =⋅==△≤所以ABC S21．已知()2e x f x x x =+-，()2g x x ax b =--，,a b ∈R(1)若()f x 与()g x 在1x =处的切线重合，分别求a ，b 的值. (2)若b ∀∈R ，()()()()f b f a g b g a -≥-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)1a e =-，0b = (2)0a =【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()()11f g =且()()11f g ''=，即可得到方程组，解得即可；（2）依题意可得()()e e 10b ab a a -+--≥对b ∀∈R 恒成立，令()()()e e 1b a H b b a a =-+--，求出函数的导函数，由()0H a =可得()0H a '=，从而求出a 的值，再验证即可.【详解】（1）解：因为()2e x f x x x =+-，()2g x x ax b =--，所以.()e 21xf x x '=+-，()2g x x a '=-，因为()()11f g =且()()11f g ''=， 即e 212a +-=-且22e 1111a b +-=-⨯-， 解得1a e =-，0b =.（2）解：因为()()()()f b f a g b g a -≥-对b ∀∈R 恒成立，.()()()22222e e b a b b a a b ab b a a b ∴+--+-≥-----对b ∀∈R 恒成立，即()()e e 10b ab a a -+--≥对b ∀∈R 恒成立，令()()()e e 1b a H b b a a =-+--，()e 1bH b a '=+-因为()0H a =，所以a 是()H b 的最小值点，且a 是()H b 的极值点，即()e 10aH a a '=+-=，因为()a H '在R 上单调递增，且()00H '=，所以0a =，下面检验：当0a =时，()e 10bH b b =--≥对b ∀∈R 恒成立，因为()e 1bH b '=-，所以当0x <时()0H b '<，当0x >时()0H b '>，所以()H b 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增. 所以()()00H b H ≥=，符合题意， 所以0a =.22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线1:12x l y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与圆23cos :3sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)相交于,A B 两点.(1)求直线l 及圆C 的普通方程； (2)已知()1,0F ，求FA FB +的值. 【答案】(1) ()2229x y -+=(2)【分析】（1）利用代入消元法可得直线l 普通方程；利用平方关系可得圆C 的普通方程； （2）将直线参数方程代入圆的标准方程得280t -=，再利用参数的几何意义求解.【详解】解：(1)由112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去t，得10x -=，即直线l的普通方程为10x -=，由23cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，得3cos 23sin x y θθ=-⎧⎨=⎩，两式平方相加得()2229x y -+=， 即圆C 的普通方程为()2229x y -+=.(2)将1:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入()2229x y -+=，得280t -=.设方程的两根为12,t t ，则12t t +=128t t =-.所以1212FA FB t t t t +=+=-=23．已知0a >，0b >.（1）求证：3322a b a b ab +≥+； （2）若3a b +=，求14a b+的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）根据条件得33220a b a b ab -+-≥，从而证明不等式成立；（2）根据条件得()141143a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式，即可求14a b +的最小值，注意等号成立的条件.【详解】（1）证明：∵0a >，0b >.∴()()332222a b a b ab a a b b b a +--=-+-()()()()2220a b a b a b a b =--=-+≥，∴3322a b a b ab +≥+.（2）∵0a >，0b >，3a b +=，∴()1411414455333b a a a b a b a b a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即1a =，2b =时取等号，∴14a b+的最小值为3.。
山东省济南市2022届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
高三教学质量调研考试数学(理科)本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共5页。
满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 留意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第II 卷必需用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：假如大事A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；假如大事A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =.1.若()12z i i +=+（i 是虚数单位），则z = A.322i+ B.322i -C. 322i -- D. 322i -+ 2.设集合{}{}1,0,1,2A x x x R B =+<3,∈=，则A B ⋂= A. {}02x x << B. {}42x x -<< C. {},1,2xD. {}0,13.在ABC ∆中，“60A ∠=”是“3sin 2A =”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.要得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 2y x =的图象 A.向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位 C.向左平移6π个单位D. 向右平移6π个单位5.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A.6πB.3π C.2πD. π6.已知,x y 满足约束条件40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值为A.6B.8C.10D.127.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P.若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为 A.2B.3C.2D.58.已知向量 的夹角为60，且2,=1a b a xb =-，当取得最小值时，实数x 的值为 A.2B. 2-C.1D. 1-9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201620170,0S S ><，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为 A.1006B.1007C.1008D.100910.已知R 上的奇函数()f x 满足()2f x '>-，则不等式()()2132ln f x xx -<-+()312x -的解集是A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,1C. ()1,+∞D. (),e +∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11.某高校为了了解教科研工作开展状况与老师年龄之间的关系，将该校为[)[)35,40,40,45，不小于35岁的80名老师按年龄分组，分组区间[)[)[)45,5050555560，，，，，由此得到频率分布直方图如图，则这80名老师中年龄小于45岁的老师有________人.12. 执行右图的程序框图，则输出的S=_________.13. 二项式636ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的开放式中5x 的系数为3，则20ax dx =⎰_________.14.已知M,N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，则BMN ∆的面积为___________.15.对于函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列5个结论：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤； ②函数()y f x =在区间[]4,5上单调递增；③()()()22f x kf x k k N +=+∈，对一切[)0,x ∈+∞恒成立； ④函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；⑤若关于x 的方程()()f x m m =<0有且只有两个不同实根12,x x ，则123x x +=. 则其中全部正确结论的序号是_________.（请写出全部正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 已知向量()()3sin ,cos ,cos ,cos ,m x n x x x R ==∈，设()f x m n =（I ）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（II ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为ABC ∆内角A,B,C 的对边，且()1,2,1a b c f A =+==，求ABC ∆的面积.17. （本小题满分12分）如图，边长为2的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面相互垂直，其中AB//CD ，112AB BC CD BC AB ⊥===，，点M 在线段EC 上. （I ）证明：平面BDM ⊥平面ADEF ；（II ）若2EM MC =，求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的大小.18. （本小题满分12分）某卫视的大型消遣节目现场，全部参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票打算是否通过进入下一轮，甲、乙、丙三名老师都有“通过”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必需且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率均为13，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该节目获得“通过”，否则该节目不能获得“通过”。