04 推理理论
逻辑推理理论(简明汇总)
逻辑常识（逻辑学习总体把握）一、逻辑推理是指由一个或几个已知的判断推导出另外一个新的判断的思维形式。
一切推理都必须由前提和结论两部分组成。
一般来说，作为推理依据的已知判断称为前提，所推导出的新的判断则称为结论。
推理大体分为直接推理和间接推理。
（一）直接推理只有一个前提的推理叫直接推理。
例如：有的高三学生是共产党员，所以有的共产党员是高三学生。
（二）间接推理一般有两个或两个以上前提的推理就是间接推理。
例如：贪赃枉法的人必会受到惩罚，你们一贯贪赃枉法，所以今天你们终于受到法律的制裁和人民的惩罚。
一般说，间接推理又可以分为演绎推理、归纳推理和类比推理等三种形式。
（1）演绎推理所谓演绎推理，是指从一般性的前提得出了特殊性的结论的推理。
例如：贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的，你们一贯贪赃枉法，所以，你们今天是必定要受到法律的制裁、人民的惩罚的。
这里，“贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的”是一般性前提，“你们一贯贪赃枉法”是特殊性前提。
根据这两个前提推出”你们今天是必定要受到法律的制裁和人民的惩罚的”这个特殊性的结论。
演绎推理可分为三段论、假言推理和选言推理。
a三段论b假言推理c选言推理（2）归纳推理归纳推理是从个别到一般，即从特殊性的前提推出普遍的一般的结论的一种推理。
一般情况下，归纳推理可分为完全归纳推理、简单枚举归纳推理。
a完全归纳推理也叫完全归纳法，是指根据某一类事物中的每一个别事物都具有某种性质，推出该类事物普遍具有这种性质的结论。
正确运用完全归纳推理，要求所列举的前提必须完全，不然推导出的结论会产生错误。
例如：在奴隶社会里文学艺术有阶级性；在封建社会里文学艺术有阶级性；在资本主义社会里文学艺术有阶级性；在社会主义社会里文学艺术有阶级性；所以，在阶级社会里，文学艺术是有阶级性的。
（注：奴隶社会、封建社会、资本主义社会、社会主义社会这四种社会形态构成了整个阶级社会。
）b简单枚举归纳推理是根据同一类事物中部分事物都具有某种性质，从而推出该类事物普遍具有这种性质的结论。
意思表示解释理论——哲学解释学—修辞学视域中的私法推理理论
意思表示解释理论——哲学解释学—修辞学视域中的私法推理理论引言：在人类交流的过程中，语言是一种基本工具，可以传达意思并表达观点。
然而，理解和解释言语背后的意思却并非一件容易的事情。
这就需要借助于哲学解释学和修辞学的视角，来探讨言语意思的表达和理解的私法推理理论。
一、哲学解释学视域中的私法推理理论哲学解释学是研究解释现象的学科，旨在理解与阐释人与世界的关系。
在哲学解释学中，私法推理理论是指通过推敲个人意图、背景和语言表达方式，对言辞进行解读和理解的一种方法。
私法推理理论强调对背后意图和文化背景的理解，并试图将其与特定的社会背景联系起来。
通过私法推理理论，我们可以更准确地理解和解释别人的言辞含义，提高沟通的效果。
以一个简单的例子来说明私法推理理论。
假设一个人说：“我脑袋疼”，那么我们可以通过私法推理理论来揣测其真实意思。
从私法推理的视角来看，我们会考虑这个人可能想要表达的其他含义，比如他可能感到疲倦、情绪低落等等，而这些可能是导致他脑袋疼痛的原因。
因此，私法推理理论可以帮助我们更好地理解别人的意思，并避免误解。
二、修辞学视域中的私法推理理论修辞学是研究言辞运用和修辞技巧的学科，其研究范围包括文本、口头表达和传播等方面。
在修辞学的视域中，私法推理理论是指通过分析语言修辞手法来理解言辞背后的意义。
修辞手法可以是比喻、夸张、反问等等，通过运用这些修辞手法，语言能够更富有表现力和感染力。
以一个简单的比喻为例，当一个人说：“你是我的太阳”，我们可以通过私法推理理论来解读其意思。
从修辞学的视角来看，这句话使用了比喻的修辞手法，表达了对对方的深情和依赖。
通过私法推理理论的分析，我们可以理解到说话人认为对方是自己生活中不可或缺的存在，给了对方一种特殊的情感寄托。
三、哲学解释学与修辞学的融合哲学解释学和修辞学作为两个独立的学科，都在探讨言辞的意义和表达方式，但两者的重点略有不同。
哲学解释学注重从个体的背景和意图出发理解言辞的意思，而修辞学注重语言修辞手法的运用。
4,2,4,-4推理
4,2,4,-4推理
摘要：
1.推理的定义和重要性
2.推理的分类
3.推理的方法和技巧
4.推理在实际生活中的应用
正文：
推理是一种通过观察和分析已知事实，从中推断出新结论的思维过程。
它在我们的日常生活中起着至关重要的作用，无论是解决日常生活中的问题，还是进行科学研究，都离不开推理。
推理能力是人类智慧的重要组成部分，能够帮助我们更好地理解世界，发现事物之间的联系和规律。
推理可以分为逻辑推理和非逻辑推理两大类。
逻辑推理是指根据已知的事实和逻辑规则，通过逻辑推理得出新的结论。
非逻辑推理则是指通过直观、感觉、经验等方式进行推理，它不受逻辑规则的限制，更注重对事物的直接感知和理解。
推理的方法和技巧有很多，常见的有归纳法、演绎法、类比法等。
归纳法是通过观察大量的具体事实，从中找出共性，从而推断出一般性的结论。
演绎法是从已知的一般性原理出发，推导出具体的结论。
类比法则是通过发现事物之间的相似性，从而推断出它们在其他方面也可能有相似之处。
推理在实际生活中的应用非常广泛。
例如，在侦探小说中，侦探就是通过推理来破解案件的。
在科学研究中，科学家们也需要通过推理来发现新的规律
和理论。
在商业决策中，推理也能够帮助我们预测市场趋势，制定出更加有效的策略。
总的来说，推理是一种重要的思维方式，它能够帮助我们更好地理解世界，发现事物之间的联系和规律。
第4章经典逻辑推理
2019/5/17
郑州大学振动工程研究所
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4.1基本概念
• 推理、推理方式及其分类
• 运用已经掌握的知识，找出其中蕴涵的事实，或归 纳出新事实的过程称为推理。
• 推理有以下不同的方式： • 1.演绎推理、归纳推理、默认推理 • 2.确定性推理、不确定性推理 • 3.单调推理、非单调推理 • 4.启发式推理、非启发式推理 • 5.基于知识的推理、统计推理、直觉推理
2019/5/17
郑州大学振动工程研究所
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• Ⅱ. 确定性推理，不确定性推理（按推理时
所用知识的确定性来划分）
•
• 确定性推理—— 指推理时所用的知识都是精确的， 推出的结论也是确定的，其真值或为“真”，或 为“假”，没有第三种情况出现。
• 下面将要讨论的经典逻辑推理就属于这一类。
• 不确定性推理——指推理时所用的知识不都是精 确的，推出的结论也不完全是肯定的，其真值位 于“真”和“假”之间，命题的外延模糊不清。
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• 求解策略 • 求解策略是指，推理是只求一个解，还是求所有
解以及最优解等。
• 限制策略 • 所谓限制策略是指为了防止无穷的推理过程，以
及由于推理过长增加时间及空间上的复杂度，可 在控制策略中指定推理的限制条件，以对推理的 深度、宽度、时间、空间等进行限制。
2019/5/17
郑州大学振动工程研究所
断。
例如：1) 足球运动员的身体都是强壮的； 2) 高波是一名足球运动员； 3) 所以，高波的身体是强壮的。
2019/5/17
郑州大学振动工程研究所
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• 归纳推理——归纳推理是从足够多的事例中 归纳出一般性纳论的推理过程，是一种从个 别到一般的推理。归纳推理又分为完全归纳 和不完全归纳两种。
推理理论 推理规则
则 如果A1 ,A2,…,An,~ B不相容， 则说明B是A1 ,A2,…,An的逻辑结论。
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例：构造下面推理的证明
p→(~(r∧s)→~q), p, ~s⇒~q
①p→(~(r∧s)→~q)
前提
②p
前提
③~(r∧s)→~q
当谓词与一个个体相联系时，刻 划了个体性质；当与两个或两个以 上个体相联系时，刻划个体之间的 关系。
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谓词常项、谓词变项
谓词常项：表示具体性质和关 系的谓词；表示特定的谓词。
用F，G，H，…表示
谓词变项：表示抽象或泛指的 谓词；表示不确定的谓词。
也用F，G，H，…表示
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P(x) ：变元x满足某种性质 称P(x)为一元谓词,或一元关系 Q(x,y) 二元谓词或二元关系 R(x,y,z) 三元谓词或三元关系 由一个谓词(如P)和n个个体变 元如(x1,x2,……,xn)组成 P(x1,x2,……,xn ) ，称为n元原子谓 词或n元命题函数，简称n元谓词。
使用量词注意事项(6-2、3）
2. 如果事先没有给出个体域，都应 以全总个体域为个体域。
3. 在引入特性谓词后，使用全称量 词与存在量词符号化的形式是不 同的。
32
例题
例：每个自然数都是实数 引入特性谓词N(x)：x是自然数 R(x)：x是实数
∀x(N(x) →R(x)) 例：有的有理数是整数 引入特性谓词R(x)：x是有理数 G(x)：x是整数
1
推理规则
3. 置换规则：在证明的任何步骤上， 命题公式中的任何子命题公式都可 以用与之等值的命题公式置换。 在以下的推理规则中，用A1, A2,…, Ak ╞B表示B是A1, A2,…, Ak的 逻辑结论，在证明的序列中，若已 有A1, A2,…, Ak ，则可引入B.根据8条 推理定律可得下面推理规则：
推理理论——精选推荐
12.5 推理理论授课时间：2学时教学重点：掌握基本蕴涵式，会使用三个推理规则：规则P 、规则T 和规则CP 教学难点：形式证明授课内容：12.5.1 命题的蕴含关系推理是从前提推出结论的思维过程，前提是已知的命题公式，结论是从前提出发应用推理规则得到的命题公式。
从某些给定的前提出发，按照严格定义的形式规则，推出有效的结论，这样的过程称为形式证明或演绎证明。
定义12.5-1 设B A A A k ,,,,21 都是命题公式，若B A A A k →∧∧∧)(21 为重言式，记作B A A A k ⇒∧∧∧)(21 ，则称A 1，A 2，…，A k 能推出结论B ，或称B 是前提集合{A 1，A 2，…，A k }的逻辑结论(Logical consequence)或者有效结论。
同用“B A ⇔”表示“B A ↔”为重言式类似，“B A ⇒”当且仅当“B A →”是重言式。
于是，判断推理是否有效的方法就是判断重言蕴涵式的方法，比如我们前面所讲的真值表法、等值演算和主范式法等。
例12.5-1 判断如下推理是否有效。
如果天气凉快，小王就不去游泳。
天气凉快。
所以小王没有游泳。
解 命题符号化， p ：天气凉快，q ：小王去游泳，前提：p q p ,⌝→结论：q ⌝推理的形式结构：q p q p ⌝⇒∧⌝→))((，要判断其推理是否有效，就是判断q p q p ⌝→∧⌝→))((是否是重言式。
①真值表法：作出q p q p ⌝→∧⌝→))((的真值表如表12.5-1所示。
由其真值表可以看出，最后一列均为1，即q p q p ⌝→∧⌝→))((重言式，所以推理有效。
②等值演算法：q p q p ⌝→∧⌝→))((⇔q p q p ⌝∨∧⌝∨⌝⌝))((⇔q p q p ⌝∨∧∧⌝⌝))((⇔q p q p ⌝∨⌝∨∧))((⇔)()(q p q q p p ⌝∨⌝∨∧⌝∨⌝∨⇔1∧1⇔1。
即q p q p ⌝→∧⌝→))((为重言式。
推理理论
(6) p (r s ) q 前提引入
例8 用归谬法构造下列推理的证明 前提: p q r , p r 结论: q r 证明(p.31,例1.37)
(1) p q r (2)(q r ) (3) p (4) p r (5)r (6)q r ( 7 ) r (8)r r
(1) p ((r s) q) 前提引入 ( 2) p (3)(r s) q (4)q (5)r s (5)s (6) s ( 7 ) s s 前提引入 (1)(2) 假言推理 否定前提引入 (3)(4 ) 拒取式 前提引入 (5) 化简 (5)(6) 合取引入
前提引入 前提引入 (1)(2)假言推理 前提引入 前提引入 (4)(5)假言推理 (3)(6)析取三段论
例14用附加前提证明法证明下面的推理
前提:p,qr,q(ps) 结论:rs 证明: (1) r 附加前提引入 (2) qr 前提引入 (3) q (2)析取三段论 (4) q(ps) 前提引入 (5) ps (3)(4)假言推理 (6) p 前提引入 (7)s (5)(6)假言推理
前提引入 (1)化简 (2)附加 (3)置换 前提引入 (4)(5) 假言推理 (1)化简 (6)(7) 假言推理
例12 用构造证明的方法证明下面 推理的正确性.(36页31(2))
如果张华守第一垒且李阳向乙队投球, 则甲队取胜.如果甲队取胜,则甲队成为 联赛的冠军.张华守第一垒.甲队没有成 为联赛的第一名.因此,李阳没有向乙队 投球.
二.如何判断推理正确？ 既然从A得到B的推理正确就是表 明A B为永真式,所以判断永真 式的方法就可以用来判断推理正 确.这些方法是 (1)真值表; (2)等值演算;
例1 判断以下推理的正确性 前提: pq r 结论(pr) (qr)
04不确定性推理
第四章 不确定性推理方法
4.1 概述
在人类的知识和思维行为中，精确性只是相对的，不精确性 才是绝对的。知识工程需要各种适应不同类的不精确性特点的不 精确性知识描述方法和推理方法。
由于以上某种或多种原因，人工智能系统常采用非标准意义 下的不确定性推理方法。
不确定性推理是指建立在不确定性知识和证据的基础上的推 理。它实际上是一种从不确定的初始证据出发，通过运用不确定 性知识，最终推出既保持一定程度的不确定性，又是合理和基本 合理的结论的推理过程。
6
第四章 不确定性推理方法
4.2 确定性方法
4.2.1 规则的不确定性度量
CF(B, A)的特殊值：
CF(B, A) = 1， 前提真，结论必真
CF(B, A) = -1， 前提真，结论必假
CF(B, A) = 0 ， 前提真假与结论无关
实际应用中CF(B, A)的值由专家确定，并不是由P(B|A), P(B)
1．知识不确定性的表示 2．证据不确定性的表示 3．组合证据不确定性的算法 4．不确定性的传递算法 5．结论不确定性的合成算法
第四章 不确定性推理方法
4.2 确定性方法
4.2.1 规则的不确定性度量 规则以A→B表示，其中前提A可以是一些命题的合取或析取。
MYCIN系统引入可信度CF作为规则不确定性度量。 在不确定推理过程中，通常要考 虑的是A为真时对B为真的支持 程度，甚至还考 虑A为假(不发生)时对B为真的支持程度。
2
第四章 不确定性推理方法
4.1 概述
由于知识本身的不精确和不完全，采用标准逻辑意义下的推 理方法难以达到解决问题的目的。对于一个智能系统来说，知识 库是其核心。在这个知识库中，往往大量包含模糊性、随机性、 不可靠性或不知道等不确定性因素的知识。为了解决这种条件下 的推理计算问题，不确定性推理方法应运而生。
《人工智能导论-》- 04 推理-0...(1)
P(X, Y) = P(X)P(Y|X) 又如： P(X, Y, Z) = P(X)P(Y)P(Z|X, Y)
Z Y P(Y)
CPT表为： P(S) = 0.4 P(C) = 0.3 P(E|S,C) = 0.9 P(E|S,～C) = 0.3 P(E|～S,C) = 0.5 P(E|～S,～C) = 0.1 。
i
，
P( Bk | A)
P( Bk ) P( A | Bk ) P( Bi ) P( A | Bi )
i
贝叶斯公式容易由条件概率的定义，乘法公式和全概率公式得到。 在贝叶斯公式中，P(Bi), i=1, 2, …, n称为先验概率，而P(Bi|A) i=1, 2, …, n称为后验概率也是条件概率。
贝叶斯网络（基本概念）
一系列变量的联合概率分布的图形表示。 一个表示变量之间的相互依赖关系的数据结构；图论 与概率论的结合。
贝叶斯网络（因果关系网络）
假设：
命题S(smoker)：该患者是一个吸烟者 命题C(coal Miner)：该患者是一个煤矿矿井工人 命题L(lung Cancer)：他患了肺癌 命题E(emphysema)：他患了肺气肿
P( AB) P( B | A) P( A)
为事件A已发生的条件下，事件B的条件概率，P(A) 在概率推理中称为边缘概率。 简称P(B|A)为给定A时B发生的概率。P(AB)称为A与B 的联合概率。有联合概率公式：
P( AB) P( B | A) P( A)
P( | A) 1
P( | A) 0
( A ) 1 ，且对于一事件B有
n n
P( B) P( An B)
n
• 有若{An, n=1, 2, …}为一基本事件族，则
推理理论中的推理规则(离散数学)
推理理论中的推理规则（离散数学）推理理论是一个研究推理方法与规则的学问，其中推理规则是重要的一部分。
推理规则是指在一定的条件下，由一个或多个命题出发，推出另一个命题的规则。
在离散数学中，推理规则包括一些基础的规则和一些复杂的规则。
1. 充分必要条件充分必要条件是指一个命题P能成立的充分必要条件是命题Q 成立。
即P⇔Q。
这里的充分必要条件是指两个命题是等价的，即当且仅当P成立时Q成立，Q成立时P也成立。
例如，一个三角形是等腰三角形的充分必要条件是它有两个相等的角。
2. 反证法反证法是一种常用的推理规则，它常用于证明一个命题的反命题成立。
即假设命题P不成立，通过推理得到矛盾，从而证明了P成立。
例如，证明“所有偶数都不是素数”这个命题可以采用反证法，假设有一个偶数是素数，然后推导出矛盾，从而证明“所有偶数都不是素数”。
3. 等价变形等价变形是指在推理过程中将命题变形成等价的命题。
例如，将P∧Q推导为Q∧P是一种等价变形。
等价变形可以通过逻辑符号的转换、语法规则的变换等方式实现。
4. 全称推理全称推理是指从一个全称命题出发，推出另一个全称命题。
例如，从“对于任意一个自然数n，n+1>n”这个全称命题可以推出“对于任意一个自然数m，m+2>m”。
5. 假言推理假言推理是指从一个条件命题和它的前件出发，推出它的后件的命题。
例如，从“如果今天下雨，那么他就不去逛公园。
今天不下雨”这两个命题可以推出“他会去逛公园”。
6. 假命题推理假命题推理是指从一个假命题出发进行推理，最终得到矛盾。
例如，从假设“1=2”出发，我们可以通过推导得到矛盾，并证明1不等于2。
7. 归谬法归谬法是指从前提推导出矛盾的方法，一般用于证明前提错误的情况。
例如，如果要证明“所有汉语拼音都是辅音加韵母”这个命题是错误的，可以通过归谬法证明，即找出一个汉语拼音不符合这个规则。
8. 消解法消解法是推理中常用的一种方法，可用于在两个命题中推导得到新的命题。
命题逻辑的推理理论ch
命题逻辑的符号体系
命题逻辑使用特定的符号来表示命题 和推理规则，这些符号包括逻辑联结 词（如∧、∨、→、¬等）、量词（如 ∀、∃）和括号等。
通过这些符号，命题逻辑能够精确地 表示命题之间的逻辑关系，并建立严 密的推理体系。
命题逻辑的基本概念
命题
命题是具有真假值的陈述句，它 描述了某个事物的性质或关系。 在命题逻辑中，每个命题都有一 个与之对应的真值，即真或假。
02
03
析取式推理
如果一个命题A的真，导致命题B或C 的真，那么我们可以从A推导出B或C。
推理规则的应用
01
逻辑推理
通过应用直接和间接推理规则， 我们可以推导出新的命题或验证 现有命题的真假。
演绎推理
02
03
归纳推理
通过应用直接和间接推理规则， 我们可以从一般到特殊推导出结 论。
通过应用直接和间接推理规则， 我们可以从特殊到一般推导出结 论。
规划与决策
03
基于逻辑推理的规划算法，用于机器人行动规划、智
能控制等领域。
在法律领域的应用
法律推理
利用逻辑推理对法律案例进行推理和分析，辅 助法官进行裁决。
法律知识表示
将法律知识表示为逻辑命题，构建法律知识库， 用于法律咨询、案例检索等。
法律证据分析
利用逻辑推理对法律证据进行分析和推理，辅助律师进行辩护。
方式，结论不是必然的，只是一种可能性。
02
归纳推理可以采用不同的方法，如简单枚举归纳、科
学归纳等。
03
归纳推理在科学研究、数据分析等领域中广泛应用，
可以帮助人们从大量数据中找出规律和趋势。
04 命题逻辑的推理方法
演绎推理方法
定义
推理的理论概述
2.1推理的涵义G〃波利亚在《数学与猜想》川一书中讨论了推理的特征、作用、范例、模式，并且还指出了推理的教学意义和教学方法。
他是通过对数学创造和数学学习等具体思维过程的再现、分析提出了‚推理‛的思维模式，开辟了一条与传统的思辨方式截然不同的新途径;他首先肯定了论证推理在确定数学命题的真理性和其科学体系建构中的作用，然后说数学与其他学科一样，数学知识也是从零散的猜想开始，通过归纳、检验等非论证的思维方式而发生发展，而这种思维方式就是推理。
G〃波利亚的主要成就是有效地拓宽了数学推理的范围;有关推理的概念的展开、模式概括和技能训练都是密切结合数学发现和数学学习的具体思维活动;他的不足之处是对推理的界定比较模糊和不完全。
1988年，我国著名数学家徐利治指出:‚要用G〃波利亚的思想改革数学教和教学方法，要培养G〃波利亚的数学工作者‛，从而在我国正式拉开了把数学方法论和G〃波利亚的数学教育思想应用于课堂教学进行创新教育实践的序幕。
从此，人们逐渐开始探索，在培养学生逻辑思维能力的同时进行推理能力的培养。
杨世明的《数学发现的艺术》(30]，是用G〃波利亚风格写出的数学方法论专著。
从数学史、数学课本、众多数学家的著作和手稿中采集了丰富的素材，归纳、研究了推理方法，对数学学习、解题、教学和研究中广泛应用的观察、实验、归纳、类比、联想、猜测、检验、推广、限定以及抽象、概括等思维方法进行了探讨。
可以说推理的思想萌芽很早。
开拓它，发展它，使之趋于完善的是G。
波利亚。
G〃波利亚是在与传统观念普遍认可的演绎推理相对立的意义上引入合情推理的，并力图将数学推理的非演绎机制尽可能地涵盖其中。
目前，数学教育理论对推理的涵义说法众多，但仔细探究可分为两大类。
一类从逻辑学的角度出发，认为推理是根据已知判断提出新的判断的思维式，推理有两种，论证推理与推理，前者回答如何证明定理的问题，后者回答如何发现定理的问题，并且认为，推理主要包括归纳推理和类比推理。
命题演算(推理理论)
#2022
*
例3 构造下面推理的证明 2是素数或合数. 若2是素数，则 是无理数. 若 是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数. 解 用附加前提证明法构造证明 (1) 设 p：2是素数，q：2是合数， r： 是无理数，s：4是素数 (2) 推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
*
(2) 写出证明的形式结构 前提：(pq)r, rs, s 结论：pq (3) 证明（证明过程三列式） 序号 当前得到的结论 当前得到结论的理由 ① rs P( 前提引入) ② s P ③ r T ①②I (拒取式) ④ (pq)r P ⑤ (pq) T ③④E (拒取式) ⑥ pq T⑤E 德摩根率
附加前提证明法实例
#2022
*
归谬法 (反证法) 欲证 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 做法 在前提中加入B，推出矛盾. 理由 A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) (A1A2…AkB)0 A1A2…AkB0
归谬法实例
*
11 p
⑥ (pq) T④⑤I(析取三段论) ⑦ pq T⑥E 德摩根率 ⑧ p T①⑦I(析取三段论) ⑨ p P pp (矛盾） T⑧⑨I（合取引入） 反证法
A B ∴AB
(11) 破坏性二难推理规则
推理规则
*
判断有效结论的过程就是论证过程。 基本方法： （1）真值表法 （2）直接证明法 （3）间接证明法（反证法） 具体：等值演算、 主析取范式、构造证明法等
三、逻辑证明方法
#2022
*
真值表法
例：判断下列推理是否正确。 今天杨尚树或去网吧或去教室。他没去教室，所以他去网吧了。 设 p：杨尚树去网吧。q：杨尚树去教室。则， 前提：p ∨ q , ¬ q 结论：p 推理的形式结构： ((p ∨ q) ∧¬ q) p
推 理 理 论
(7)CD为真 前提条件
(8)DC为真 (7)及原命题逆否命题
(9)C为真
(6)(8)假言推理式(DC)DC
求证 (WR)V, V(CS),SU,C,UW 提示：此处用逗号简写前述各例中的合取式， 从而鼓励大家直接引用前提。 利用假言推理、传递律及前面所学的等值式， 可以推出结论。在黑板上演示一番 考虑到本题的结论是W，可采用反证法。 根据定义2可知“当前提为真时结论也为真”， 反证法是“前提为真时，假设结论不为真即结 论的否定为真”。 即基于前提、结论否定进行推理。 如果推出了一个矛盾的结论出来，则说明“假
假如我今年进入年级前10名老爸给我买iphone 4; 期末考试后我为年级第8名，所以老爸应该给 我买iphone4。这是假言推理。
A(AB)B 从形式上看，结论B是AB的后件，推导的结 果是将后件分离出来，故也称为分离原则。 利用假言推理规则或分离规则，结合析取、合
取、否定的定义，只要不歉麻烦，几乎可推出所 有的结论。
(A(AB))B
(的等值式)
((AA)(AB))B
(分配律)
(0(AB))B
(合取的性质)
(AB)B
(析取的性质)
(AB)B
(德摩律)
A(BB)
(结合律)
A1
(析取的性质)AB)) B是重言式，真值表也证永真
所以A(AB)B。这是有名的“假言推理
(modus ponens)”，或“分离原则”
应用题 天气情况要么天晴，要么天下雨；如果天晴我 去爬山，如果我去爬山那么我回来后不做饭， 结论是：如果我已做饭那么肯定天下雨了。 解：用M表示天晴，
R表示天下雨， C表示爬山， F表示做饭，则问题可表示为 MR，MC，CFFR (MR)(MR) ，MC，CFFR
推理理论
附加前提证明法 (续)
15
例 构造下面推理的证明: 2是素数或合数. 若2是素数，则 2是无理数. 若 2 2是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是 素数，则2是合数. 用附加前提证明法构造证 明 解 设 p：2是素数，q：2是合数， r： 2 2是无理数，s：4是素数 推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
推理定律 (续)
8
(AB)(AB) B 构造性二难（特殊形式） (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
说明： A, B, C为元语言符号 若某推理符合某条推理定 律，则它自然是正确的 AB产生两条推理定律 : A B, B A
推理规则
9
证明 : 描述推理过程的命题公式序列，其中每个命 题公式或者是已知的前提，或者是由前面的命题公 式应用推理规则得到的结论. (1) 前提引入规则：在证明的任何一步都可引入前提 (2) 结论引入规则：在证明的任何一步，前面已经证 明的结论都可做为后续证明的前提引入 (3) 置换规则：在证明的任何一步，命题公式中的任 何子命题公式都可以用与之等值的命题公式置换
实例 (续)
6
(2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以今天是1号. 解 设p：今天是1号，q：明天是5号. 推理的形式结构为: (pq)qp 证明（用主析取范式法）
(pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0 m2m3 结果不含m1,故01是成假赋值，所以推理不正确.
实例
5
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号. 解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 推理的形式结构为: (pq)pq 证明（用等值演算法） (pq)pq ((pq)p)q pqq 1 得证推理正确
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22
推理规则
(8) 假言三段论规则
AB BC ∴AC – 蕴涵传递
• 若今天下雨，则今天不野餐
• 若今天不野餐，则明天野餐
• 所以，若今天下雨，则明天野餐
23
推理规则
(9) 析取三段论规则
AB B ∴A
– 当前要么气温零度以下，要么下雨
– 当前没下雨
– 所以，当前气温零度以下
24
推理规则
p: 今天下午没出太阳
q: 今天比昨天冷 r: 我们去游泳
s: 我们乘船游览
t: 我们在黄昏时候回家
– 结论
•t
43
直接证明法练习
1.
pq
前提引入
今天下午没出太阳且今天比昨天冷 只有今天下午出太阳，我们才去游泳 若我们不去游泳，则我们乘船游览
pq rp rs
2.
3. 4. 5. 6. 7. 8.
命题逻辑的推理理论
主要内容
– 推理的形式结构 – 判断推理正确的方法
• 真值表法 • 等值演算法 • 主析取范式法
1
命题逻辑的推理理论
主要内容(续)
– 推理定律 – 构造推理证明的方法
• 直接证明法 • 附加前提证明法 • 归谬法(反证法)
2
命题逻辑的推理理论
基本要求
– 理解并记住推理形式结构的两种形式
p
rp r rs s st t
1 化简
前提引入 3 4拒取 前提引入 4 5 假言推理 前提引入 6 7假言推理
若我们乘船游览，则我们在黄昏时候回家 st
44
证明中的错误：谬误
否定假设谬误
– pq, p – ∴q
• ((pq)p)q：非重言式
– 若你做教材的每道习题，则你学习离散数学
30
构造证明的方法
推理一般形式： pq
– 无义证明
– 平凡证明 – 直接证明 – 间接/逆反证明
• 推广间接证明
– 附件前提证明/演绎定理
– 分情况证明
– 归谬证明/反证
31
平凡证明
已知命题函数P(n)
– 若a, b是满足a>=b的整数, 则an>=bn
求证命题P(0)为真
– 若a>=b, 则a0>=b0 – 后件真，蕴涵式自然为真
• (AC)((AC)(BC)) 吸收律
• (AC)
13
推理理论的基本思想
(AC)((AB)C)AC
– 利用已知命题恒等式
• 基本恒等式：公理
– 利用推理规则
• 什么是推理规则？
14
推理理论的基本思想
((AB)C)(AB)C
① rs
规则
前提引入
② s
③ r ④ (pq)r ⑤ (pq) ⑥ pq
前提引入
①②拒取式 前提引入 ③④拒取式 ⑤替换
前提：(pq)r, rs, s 结论：pq
39
直接证明法练习
练习1
– 前提
• 今天下午没出太阳且今天比昨天冷
• 只有今天下午出太阳，我们才去游泳
• 推广间接证明
– 附件前提证明(演绎定理)
– 分情况证明
– 归谬证明/反证
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附加前提证明法
欲证
– 前提： A1, A2, …, Ak，结论：CB
• 等价于，前提： A1, A2, …, Ak, C，结论：B • 为什么？
– 适用范围：结论是蕴涵逻辑公式
52
附加前提证明法
前提： A1, A2, …, Ak ，结论：CB
• 无需前提
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构造证明的方法
推理一般形式： pq
– 无义证明
– 平凡证明 – 直接证明 – 间接/逆反证明
• 推广间接证明
– 附件前提证明/演绎定理
– 分情况证明
– 归谬证明/反证
33
直接证明法
p真 推出q真 则pq真
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直接证明法推理实例
构造下面推理的证明
– 若明天是星期一或星期三，我明天就有课。 若我明天有课，今天必备课。我今天没备课，
• 1. (A1A2…Ak)B • 2. 前提：A1, A2, … , Ak，结论：B
– 熟练掌握判断推理是否正确的不同方法
• 真值表法、等值演算法、主析取范式法等
3
命题逻辑的推理理论
基本要求
– 牢记各条推理规则 – 熟练掌握构造证明的方法
• 直接证明法、附加前提证明法和归谬法
– 会解决实际中的简单推理问题
练习1
– 前提符号化
• 今天下午没出太阳且今天比昨天冷 pq
• 只有今天下午出太阳，我们才去游泳 rp
• 若我们不去游泳，则我们乘船游览 rs • 若我们乘船游览，则我们在黄昏时候回家 st
– 结论符号化
• 我们在黄昏时候回家 t
42
直接证明法练习
练习1
– 前提
• pq, rp, rs, st
36
直接证明法推理实例
– 前提：(pq)r, rs, s，结论：pq – (3) 证明
• ① rs 前提引入
• ② s
• ③ r • ④ (pq)r • ⑤ (pq) • ⑥ pq
前提引入
①②拒取式 前提引入 ③④拒取式 ⑤替换
37
直接证明法
(1) 划分命题并符号化
4
推理理论的基本思想
什么是推理理论？
– 人类思维过程中需要研究推导过程是否合理
• 命题逻辑、一阶谓词逻辑概念/符号刻划推理事实(前提、结论) • 逻辑公式刻划推理事实之间的关系 • 如何进行符号推理过程？
– 命题逻辑中验证推理有效/正确的方法
• 前提及结论组合成蕴涵逻辑公式 • 证明该蕴涵逻辑公式为重言式
– 今天不野餐，或者不开会
– 所以，今天不下雨或不是周四
26
推理规则
(12) 合取引入规则
A B ∴AC
– 当前下雨
– 当前气温零度以下
– 所以，当前气温零度以下且下雨
27
推理规则
恒等式都是推理规则
– 2个
重言蕴涵式也推理规则
– 1个
28
构造证明的方法
推理一般形式： pq
– 无义证明
– 你没做教材的每道习题
– 所以，你没学习过离散数学
45
证明中的错误：谬误
肯定结论谬误
– pq, q – ∴p
• ((pq)q)p：非重言式
– 若你做教材的每道习题，则你学习离散数学
– 你学习过离散数学
– 所以，你做教材的每道习题
46
证明中的错误：谬误
循环论证谬误
– pq, qr, rp, p – ∴p
– 真值表法 – 等值演算法 – 主析取范式法
5
推理理论的基本思想
什么是推理理论？
– 真值表法
• n元公式的真值表行数2n，单元格个数？ • 更多采用推导法建立
– 等值演算法
– 主析取范式法
6
推理实例
判断下面推理是否正确
– 若今天是1号，则明天是5号。
• 今天是1号，所以明天是5号
7
推理实例
– De. Morgan 定律
• (AB)AB
– 形式结构上有差异 – 需要代入规则
15
推理理论的基本思想
((AB)C)(AB)C
– (AC)(((AB)C)(AC)((A B)C) – 需要替换规则
16
推理理论的基本思想
推理过程基本思想
– 平凡证明 – 直接证明 – 间接/逆反证明
• 推广间接证明
– 附件前提证明/演绎定理
– 分情况证明
– 归谬证明/反证
29
无义证明
已知命题函数P(n)
– 若n>1, 则n2>n – (n>1)(n2>n)
求证命题P(0)为真
– P(0): (0>1)(02>0) – 前提假，蕴涵式P(0)自动为真
– p：明天是星期一，q：明天是星期三 – r：我明天有课，s：我今天备课
(2) 写出证明的形式结构
– 前提：(pq)r, rs, s、
– 结论：pq
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直接证明法推理实例
(3) 利用推理规则完成证明
符号化命题
p：明天是星期一
q：明天是星期三 r：我明天有课 s：我今天备课
断言(为真命题)
推理理论
– 用数学方法刻划推导方法
如何进行推理？
– 反复利用重言式
• 书写相对繁复 • 与实际推理过程有差异 • 是否足够？
12
推理理论的基本思想
(AC)((AB)C)化简为AC
– 即证明：(AC)((AB)C)AC
• (AC)((AB)C) • (AC)(((AB)C) • (AC)((AB)C) De. Morgan De. Morgan 分配律
(A1A2…Ak)(CB)
(A1A2…Ak)(CB)
(A1A2…AkC)B (A1A2…AkC)B
前提： A1, A2, …, Ak, C，结论：B
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附加前提证明法实例
19
推理规则
(5) 附加规则
A ∴AB
– 当前气温在零度以下 – 所以，当前气温零度以下或正在下雨
20
推理规则
(6) 化简规则